克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则
作者介绍
克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书， 1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的 旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数 学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一 生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。
克莱姆法则
线性代数中一个关于求解线性方程组的定理
01 作者介绍
目录
02 基本介绍
03 法则总结
04 技术应用
05 不确定的情况
克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于 变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》 中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。
记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为 记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解 为 其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。 记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用克莱姆法则（Cramer's rule）是线性代数中的一个重要定理，它提供了一种求解线性方程组的方法。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，并且可以应用于求解n个未知数的n个线性方程组。
下面我们将详细介绍克莱姆法则的证明以及其应用。
证明：假设有一个n个未知数的线性方程组，可以表示为Ax=b，其中A为一个n阶方阵，x为未知数向量，b为常数向量。
1.首先，我们求解方阵A的逆矩阵A^-12.接下来，我们用行列式的形式表示方程组的解x_i。
(1)当i=1时，我们将方程组的第i列替换为常数列b，得到矩阵A_i。
(2) 计算矩阵A_i的行列式det(A_i)，并用方程组的解x_i表示为x_i=det(A_i)/det(A)。
3.重复步骤2，直到求解出n个方程的解x_1,x_2,...,x_n。
通过上述步骤，我们证明了克莱姆法则。
应用：1.求解2x2线性方程组：当线性方程组只包含两个未知数时，可以直接应用克莱姆法则求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂其中a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知常数，求解x和y的值可以通过下面的公式计算：x=(c₁b₂-b₁c₂)/(a₁b₂-b₁a₂)y=(a₁c₂-c₁a₂)/(a₁b₂-b₁a₂)2.求解3x3线性方程组：对于包含三个未知数的线性方程组，同样可以利用克莱姆法则进行求解。
例如，对于方程组：a₁x+b₁y+c₁z=d₁a₂x+b₂y+c₂z=d₂a₃x+b₃y+c₃z=d₃其中a₁、b₁、c₁、d₁等为已知常数，可以通过克莱姆法则计算x、y、z 的值。
3.求解特殊矩阵的逆矩阵：4.分析线性方程组的可解性：总结：克莱姆法则是一种求解线性方程组的有效方法，其基本思想是通过行列式运算推导出方程组的解。
克莱姆法则的证明可以通过矩阵的行列式理论进行推导，其应用范围广泛，可以用于求解不同数量未知数的线性方程组，也可以应用于求解特殊矩阵的逆矩阵和判断线性方程组的可解性。
行列式克莱姆法则
利用克莱姆法则，可以将一个行列式表示为一个数值，通过计算该数值即可得到行列式的值。这种方法适用于系 数行列式不为零的情况，可以简化行列式的计算过程。
实例三：解的唯一性验证
总结词
克莱姆法则可以用于验证线性方程组解的唯一性。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式，利用克莱姆法则判断解的唯一性。如果行列式不为零，则线性方程组有 唯一解；如果行列式为零，则线性方程组可能无解或有无穷多解。这种方法可以用于判断线性方程组 解的情况，为求解问题提供依据。
03 适用范围
研究克莱姆法则的适用范围，探索其在更广泛领 域的应用可能性。
应用领域的拓展
数值分析
将行列式克莱姆法则应用于数值分析中，解决 大规模线性方程组的求解问题。
科学计算
将克莱姆法则与其他科学计算方法相结合，提 高计算效率和精度。
工程领域
将克莱姆法则应用于工程领域，解决实际工程问题，如结构分析、流体动力学 等。
线性方程组解的唯一性条件是克莱姆法则应用的 重要前提之一，它确保了线性方程组的解是唯一 的，从而使得行列式中的每个子式可以代表一个 唯一的解向量。
03
克莱姆法则的推导过程
推导步骤一：行列式的计算
计算行列式的值
根据行列式的定义，按照行或列展开，计算得到行列 式的值。
展开方式的选择
选择合适的展开方式，使得计算过程简化，提高计算 效率。
计算方法的改进
算法优化
优化克莱姆法则的计算方法，提高计算效率，减少计算量。
并行计算
利用并行计算技术，实现克莱姆法则的高效计算，处理大规模数 据。
软件实现
开发适用于克莱姆法则的软件或库，方便用户进行实际应用和计 算。
THANKS
线性代数课件1-5克莱姆法则
线性方程组的解的个数
有唯一解
当系数矩阵的行列式不为零时，线性方 程组有唯一解。
VS
无解或多解
当系数矩阵的行列式为零时，线性方程组 可能无解或多解，此时克莱姆法则不适用 。
03
克莱姆法则的证明过程
系数矩阵的行列式的性质
系数矩阵的行列式不为零
克莱姆法则的前提条件是系数矩阵的行列式 不为零，这是保证线性方程组有唯一解的重 要条件。
线性方程组解的个数的判断
总结词
克莱姆法则可以用于判断线性方程组解的个数。
详细描述
通过计算系数矩阵的行列式值和各列的代数余子式，可 以确定线性方程组的解的个数。如果行列式值不为零， 则线性方程组有唯一解；如果行列式值为零且系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多解；如 果行列式值为零且系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩， 则线性方程组无解。
Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数矩阵，b是常数矩阵。
特殊形式
当系数矩阵A为方阵时，即行数和列数相等的矩阵，克莱姆法则适用。
系数矩阵的行列式
非零行列式
克莱姆法则的前提是系数矩阵的行列式不为零，即|A|≠0。
行列式的计算
行列式的值是通过其对应元素的代数余子式计算得出的，即|A|=Σ(-1)^(i+j)a_{ij}，其中a_{ij}是A的元 素。
解的唯一性
除了证明解的存在性，还需要证明解是唯一 的。这可以通过利用系数矩阵的行列式不为 零的条件和线性方程组的解的性质来证明。
克莱姆法则的证明
证明过程
克莱姆法则的证明过程涉及多个步骤，包括利用代数余子式计算系数矩阵的行列式、将 线性方程组的解表示为系数矩阵的行列式的值等。这个过程需要仔细推导和计算，确保
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则的证明及应用a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,...a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n.我们将系数矩阵记作A，未知数向量记作X，常数向量记作B，则上述线性方程组可以写成矩阵形式为AX=B。
根据矩阵的乘法，可以将AX表示为列向量的线性组合：AX=x_1A_1+x_2A_2+...+x_nA_n其中A_1，A_2，...，A_n分别是A的列向量。
现在我们假设A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n都不变，而将A_i替换成B。
则记新的系数矩阵为A'。
原方程组可以写成AX=B，新的方程组可以写成A'X=B。
根据线性方程组的解唯一性定理，在方程组有解时，系数矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵C，使得AX=B等价于CAX=CB。
即X=C^-1B。
而根据矩阵乘法的结合性，CAX=CB可以改写为ACX=CB。
我们可以将AC视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，C，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
同样，我们可以将CB视为n个列向量A_1，A_2，...，A_{i-1}，B，A_{i+1}，...，A_n组成的矩阵形式。
则ACX=CB可以写成AX=B的形式。
由于X=C^-1B，所以原方程组的解为X=C^-1B。
同理，新方程组的解为X'=(AC)^-1CB。
我们可以通过计算矩阵(AC)^-1和AC，然后使用矩阵乘法运算得出X'。
将X'中位于第i行的元素记作x'_i。
则根据X'=(AC)^-1CB得出x'_i=，AC_i，/，A，其中，X，表示矩阵X的行列式。
克莱姆法则的应用可以用于求解n个方程和n个未知数的线性方程组。
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
克莱姆法则求解行列式
克莱姆法则求解行列式1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：概述部分应该介绍文章的主题和背景，同时概述克莱姆法则在求解行列式中的重要性和应用。
可以简要介绍克莱姆法则的定义和原理，以及它在线性代数中的重要性和广泛应用的领域。
克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一种方法，通过利用行列式的性质来求解方程组中的变量。
它得名于法国数学家克莱姆，被广泛应用于数学、物理学、工程学等各个领域中。
在解决实际问题时，常常需要求解一些线性方程组，通过克莱姆法则，我们可以将这一过程转化为求解行列式的问题，从而简化求解过程。
克莱姆法则基于行列式的性质，将方程组的系数矩阵转化为行列式，然后通过计算行列式的值来求解方程组的解。
这种方法在一些具有特殊结构的方程组中特别有效。
克莱姆法则在求解行列式中具有一些重要的优势。
首先，它提供了一种简便的方法来求解行列式，避免了其他复杂的计算过程。
其次，它可以通过行列式的性质直接得到方程组的解，无需进行矩阵的求逆等运算。
这使得克莱姆法则在一些特殊情况下具有更高的效率和精度。
通过本文的研究，我们旨在深入探讨克莱姆法则在求解行列式中的原理和应用，分析其优势和局限性，并总结出一些有关克莱姆法则的重要结论。
在后续的章节中，我们将介绍克莱姆法则的详细原理和应用，并通过具体的例子来说明其实际应用的过程和效果。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下内容进行讨论和阐述克莱姆法则在求解行列式中的应用：1. 克莱姆法则的介绍和原理：我们将详细介绍克莱姆法则的基本概念和原理。
包括行列式的定义和性质，以及克莱姆法则的推导和证明过程。
通过深入理解克莱姆法则的基本原理，我们可以更好地应用该法则解决实际问题。
2. 克莱姆法则的应用：本节将重点讨论克莱姆法则在求解行列式中的具体应用。
我们将通过一些实例和案例来说明如何利用克莱姆法则求解各种规模的行列式。
同时，我们将介绍一些常见的应用场景，如线性方程组的求解和矩阵的逆运算等，以展示克莱姆法则在实际问题中的广泛适用性。
克莱姆法则矩阵及其运算
......
an1 an2......ann
等……
n阶方阵
●零矩阵 ——所有元素都为零的矩阵，简记作 0mn。
如 0 ... 0
0
0
0
0 0
0
0
0 00
0
0
0
等……
●对角形矩阵——主对角线上的元素不全为零，其它的
元素都为0的方阵，简记作 。
0 0
0
2
2 0 0
0
0
0
（2）1
1
2
0
11
1 2
1
0
1
11 1 2 1 0
0 0 0
1
2
0
1 2 0
AB与BA不同型
AB BA
1 2 0 1 2 1
（3）
1
2
1
0
2
1
0
（4）
1
1 1
0
1
2 1
2
1
2
2
（5）
1 0
1 2 1 0
3
2
2 0
5
2
（6）
2 0
31
解 系数行列式为
11 1 1
1 2 1 4
D
142
2 3 1 5
3 1 2 11
5111
2 2 1 4
D1 2
3
1
142 5
0 1 2 11
11 5 1
1 2 2 4
D3 2
3
2
426 5
3 1 0 11
15 1 1
1 2 1 4
D2 2
2
1
284 5
关于克莱姆法则推论的证明补充
关于克莱姆法则推论的证明补充
克莱姆法则也称为克莱米法则，它原本是一种量子物理的定理，表示粒子在同一时间点中
的状态不会改变。
但是，它也被拓展到非物理领域，比如传播学、组织管理等，进而变成
一种推论原则。
在克莱姆法则下，如果对一个系统进行了动力学模型建模，那么这个系统
会处于一种恒定的状态，即势能是恒定的，即大小不会发生改变。
克莱姆法则的推论原理提供了无限多的用途。
简而言之，它主要是建立在动能定律的基础
上的，意思是某一当前状态中，一切不变量、势能、运动量等任何不能发生变化的对象都
是恒定不变的。
换句话说，它针对的是在系统中没有任何外力或是刺激作用，自身状态不
变的情况，强调量子系统不能自己波动或变化。
证明克莱姆法则推论原理的关键是概括它所涉及的动力学概念，即系统的势能不会改变。
根据牛顿的动力学第三定律，“当物体作用于某物上的力之和为零，动能不会改变”，即
动能是恒定的，没有发生任何变化，所以，可以证明某些特定情况下，量子状态不会改变，也就是克莱米法则。
克莱姆法则不仅涉及动力学定律，而且在有条件的情况下可以实际应用到传播学、组织管
理等领域，对于满足条件的系统的行为进行预测，即处于恒定状态。
如果物体能改变它自
身的动能，即表现出不稳定的状态，这是很难有结论的。
证明克莱米法则推论的完整性要
求认真地研究大量的数学等公式，以便满足外界的一致性要求，说明克莱米法则中所涉及
的假设系统条件。
用克莱姆法则求解方程 概述及解释说明
用克莱姆法则求解方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将介绍克莱姆法则在解方程中的应用。
克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，通过使用矩阵和行列式的概念，能够简洁地求得方程组的解。
本文将详细说明该方法的原理、适用条件、算法步骤以及其在不同领域中的应用。
1.2 文章结构文章分为以下几个部分：引言、克莱姆法则概述、克莱姆法则的应用领域、克莱姆法则局限性与优缺点分析以及结论和总结。
下面将对每个部分进行详细说明。
1.3 目的本文旨在全面介绍克莱姆法则，并通过实例和案例分析展示其在实际问题中的应用。
同时，对于该方法所具有的局限性和优缺点进行客观评述，以便读者深入理解和掌握克莱姆法则并对其进行合适的应用选择。
请根据以上内容撰写“1. 引言”部分内容，确保信息传达清晰连贯，并避免包含网址或其他特殊格式。
2. 克莱姆法则概述:2.1 原理说明:克莱姆法则（Cramer's Rule）是一种用于求解线性方程组的方法。
它基于矩阵论和行列式的相关知识，通过分别计算系数矩阵和增广矩阵的行列式来求解未知量。
克莱姆法则适用于含有n个方程、n个未知量的线性方程组，并且假设该方程组有唯一解。
在克莱姆法则中，我们首先需要构建一个系数矩阵A，然后将其与一个列向量B 进行合并形成增广矩阵。
接下来，我们可以通过计算A和B的行列式来求得每个未知量对应的结果。
具体而言，若方程组为Ax=B，则克莱姆法则给出了如下公式：x_i = det(A_i) / det(A)其中，x_i表示第i个未知量的值，det(A_i)表示将第i列替换为B所形成的新矩阵A_i的行列式，det(A)表示原始系数矩阵A的行列式。
2.2 适用条件:克莱姆法则适用于以下条件：- 方程组必须是线性方程组；- 方程组中包含的未知量个数和方程个数相同；- 系数矩阵A必须是一个非奇异矩阵，即其行列式不为零。
2.3 算法步骤:克莱姆法则的求解步骤如下：1. 根据给定的线性方程组，构建系数矩阵A和列向量B。
克莱姆法则定义
克莱姆法则定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊一个超厉害的东西——克莱姆法则！这可是线性代数里的一个重要知识点哦！
那克莱姆法则到底是啥呢？简单来说呀，它就是用来求解线性方程组的一种方法。
想象一下，你面前有一堆方程，就像一团乱麻，而克莱姆法则就像是一把神奇的梳子，能把这团乱麻给理顺喽！
比如说吧，咱有这样一组线性方程组，里面有好几个方程，每个方程都有几个未知数。
那怎么才能知道这些未知数到底是多少呢？这时候克莱姆法则就闪亮登场啦！它通过一些计算，就能得出这些未知数的具体值。
克莱姆法则就像是一个解题高手，它有自己的一套独特方法呢！它会先计算出一些行列式的值，可别小瞧这些行列式，它们可是关键所在。
然后呢，再根据这些行列式的值来确定未知数的值。
这是不是很神奇？
咱可以把线性方程组想象成是一个迷宫，而克莱姆法则就是找到走出迷宫的那条正确路径。
它能让我们在看似复杂的方程中找到答案，就像在黑暗中找到了那盏明灯！
那克莱姆法则有啥用呢？用处可大啦！在很多领域都能看到它的身影呢。
比如在工程学里，要计算各种结构的受力情况；在计算机科学里，解决一些算法问题。
它就像是一把万能钥匙，能打开很多知识的大门。
你们说，克莱姆法则是不是超级厉害？它让我们能更轻松地应对那些复杂的线性方程组，让数学变得更有趣、更有魅力！所以啊，可别小瞧了这个克莱姆法则，它真的是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！。
克莱姆法则
如何结合其他决策方法提高克莱姆法则的决策效果
结合其他决策方法
• 将克莱姆法则与直觉决策、群体决策等其他决策方法相 结合 • 实现决策方法的互补和优化，提高决策效果
决策效果评估
• 建立决策效果评估机制，对决策过程进行监督和反馈 • 根据评估结果，不断调整和优化决策方法，提高决策效 果
CREATE TOGETHER
政策方案的选择
• 通过克莱姆法则对政策方案进行评估和选择，实现最优政策效果 • 克莱姆法则有助于提高政策制定的科学性和民主性，增强政策的可信度
克莱姆法则在个人决策中的应用实例
职业规划
• 通过克莱姆法则明确职业目标，分析个人能力和市场需求，制定合适的职业规划 • 克莱姆法则可以帮助个人实现职业发展目标，提高职业满意度
克莱姆法则的发展历程
• 20世纪60年代，克莱姆法则开始受到广泛关注 • 20世纪70年代，克莱姆法则被广泛应用于项目管理领域 • 20世纪80年代，克莱姆法则逐渐成为决策科学的一个重要分支
克莱姆法则的核心要义与基本原理
克莱姆法则的核心要义
• 明确问题：首先需要清晰地定义问题和决策目标 • 收集信息：收集与问题相关的所有信息和数据 • 列出解决方案：根据收集到的信息，提出所有可能的解决方案 • 评估风险：对每个解决方案的风险进行评估，选择风险最小的方案
决策步骤优化
• 对决策步骤进行精简，提高决策效率 • 引入人工智能和大数据技术，辅助决策过程
如何提高克莱姆法则在复杂问题决策中的准确性
提高信息质量
• 采用多种渠道收集信息，确保信息的真实性、可靠性和全面性 • 提高信息处理的能力和技巧，挖掘信息价值
增强决策者的能力
• 培养决策者的批判性思维和创新能力 • 提高决策者的风险意识和风险应对能力
克莱姆法则的推广及应用
克莱姆法则的推广
引理2.2.1 在阶行列式中，任意取定k行(列)，则 位于这k行(列)中的一切k阶子式与它们对应的 代数余子式的乘积的和等于D。 引理2.2.2 设是一个n阶行列式，在中任取k行(列)， 则位于这k行(列)中所有的k阶子式与另k行 (列)(即与前面所取的k行或列不完全相同)中对 应的子式的代数余子式乘积的和等于零。
a1 A a2 0 b1 b2 b3 0 c 2 a1b2 c3 a 2 b1c3 a1b3 c 2 0 c3
由克莱姆法则, 方程组(3.1.2)的解为
1
x b2 b3 c2 c3 2 b1 b2 A 0 c3 3 b1 b2 0 c2
的系数行列式D： a11 a12 a a 21 22 D ... ... a n1 a n 2
(2.1.1)
... a1n ... a 2 n 0 ... ... ... a nn
则有唯一解： Dn D1 D2 x1 , x2 ,..., x n D D D D j 为将D中第j列元素换成常数 其中， 项 b1 , b2 ,...,bn ,其余各列元素不变所得到 的行列式。
x (n 1) x x (n 1) x
i 1 i 1
n
n
x1 (n 1)
i.
x (n 1) x
i 1 i
n
n
xn (n 1)
x1 x2 ...xn 1 1 x2 x3 ...xn x1 x3 ...xn ... n(n 2) n 1 x1 x2 xn 1 n n n 1 n n 2 . n 1 n 1
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆(cramer)法则的两种证明方法
克莱姆法则是线性代数中的一个定理，用于求解n元线性方程组的解。
它有两种证明方法：代数法证明和几何法证明。
1. 代数法证明：
- 首先，假设有一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个
n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
- 根据克莱姆法则，如果A是可逆矩阵，即det(A)≠0，那么方程组有唯一解，解为x=A⁻¹b，其中A⁻¹是A的逆矩阵。
- 现在我们使用线性代数的定理，在矩阵A的逆矩阵存在的条件下，通过线性方程组的变换可以得出唯一解的表达式。
- 我们可以通过对Ax=b两边同时左乘A的逆矩阵A⁻¹，得到x=A⁻¹b。
- 这样就证明了克莱姆法则成立。
2. 几何法证明：
- 首先，我们将n元线性方程组转化为矩阵形式Ax=b，并将其视为方程组的几何表示。
- 根据几何直观，如果矩阵A是可逆的，即行向量或列向量的线性组合不为零，那么方程组有唯一解。
- 当A是可逆矩阵时，矩阵A的行向量或列向量构成一个n维的空间，称为列空间或行空间。
- 如果矩阵A是可逆的，那么由于列空间或行空间的维数等于n，所以方程组有唯一解。
- 因此，几何上的直观理解也证明了克莱姆法则的成立。
这些证明方法都是基于线性代数的基本原理和定理，可以通过严谨的推导和数学推理来证明克莱姆法则的正确性。
克莱姆法则及证明
第７节克莱姆(Cｒamｅr）法则一、线性方程组元线性方程组就是指形式为：（1）得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数，,；称为方程组得系数,称为常数项.线性方程组得一个解就是指由个数组成得有序数组，当个未知量分别用代入后,式（１）中每个等式都成为恒等式.方程组(1）得解得全体称为它得解集合,如果两个线性方程组有相同得解集合，就称它们就是同解方程组.ﻫ为了求解一个线性方程组,必须讨论以下一些问题：(1）、这个方程组有没有解?ﻫ (2）、如果这个方程组有解，有多少个解?（３）、在方程组有解时,解之间得关系，并求出全部解.本节讨论方程得个数与未知量得个数相等（即）得情形。
二、克莱姆法则ﻫ定理1（克莱姆法则)如果线性方程组(2）得系数行列式：那么这个方程组有解,并且解就是唯一得，这个解可表示成:(3)其中就是把中第列换成常数项所得得行列式，即。
分析：定理一共有３个结论：方程组有解；解就是唯一得；解由公式（3）给出.因此证明得步骤就是：第一,把代入方程组，验证它确实就是解。
这样就证明了方程组有解，并且(3)就是一个解,即证明了结论与。
第二，证明如果就是方程组（２）得一个解，那么一定有.这就证明了解得唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式得一个性质,设阶行列式,则有：接下来证明定理.首先,证明(3）确实就是（2)得解。
将行列式按第列展开得：，其中就是行列式中元素得代数余子式。
现把代入第个方程得左端，得：这说明将（3)代入第个方程后,得到了一个恒等式，所以(３)就是（2）得一个解。
其次，设就是方程组(2）得一个解,那么，将代入(2）后,得到个恒等式：（4)用系数行列式得第列得代数余子式依次去乘(4）中个恒等式,得到：将此个等式相加，得：从而有:。
这就就是说，如果就是方程组（2)得一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊得线性方程组，即常数项全为零得方程组，称为齐次线性方程组。
克莱姆法则推导范文
克莱姆法则推导范文克莱姆法则（Cramer's Rule），又称为克莱默法则，是一种求解线性方程组的方法。
它是由瑞士数学家克莱姆（Gabriel Cramer）于18世纪提出的。
克莱姆法则通过计算方程组的系数矩阵的行列式和替换其中一列为方程组的常数项列来求解未知数的值。
下面将详细推导克莱姆法则的原理。
假设我们有一个包含n个未知数的线性方程组：```a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn```其中a11, a12, ..., ann为方程组的系数，b1, b2, ..., bn为方程组的常数项，x1, x2, ..., xn为未知数。
我们首先求出这个方程组的系数矩阵A和常数项矩阵B：```A = ， a11 a12 ... an1a21 a22 ... an...........an1 an2 ... anB=，b1b..b```首先，我们计算系数矩阵A的行列式值D，即：```D = ， a11 a12 ... an1a21 a22 ... an...........an1 an2 ... an```然后，我们计算将常数项矩阵B替换在A的第i列的行列式值Di，其中i为方程组的未知数的下标，即：```Di = ， a11 a12 ... bi ... an1a21 a22 ... bi ... an.................an1 an2 ... bi ... an```求得Di之后，我们可以利用克莱姆法则的推导公式计算第i个未知数的值xi，即：```xi = Di / D, i = 1, 2, ..., n```接下来我们将推导克莱姆法则的公式。
假设我们有方程组：```A·X=B```其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数项矩阵。
克莱姆法则的应用
克莱姆法则的应用郭杰假若有n 个未知数，n 个方程组成的方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩或者写成矩阵形式为Ax=b ，其中A 为n*n 方阵，x 为n 个变量构成列向量，b 为n 个常数项构成列向量。
而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai 〔i = 1，2，……，n 〕是矩阵A 中第i 列的a 1i ，a 2i ，……a ni （即第i 列）依次换成b1，b2，……bn 所得的矩阵。
克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。
使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。
当b1,b2,...,bn 不全为0时，方程组为非齐次性方程组。
系数矩阵A 非奇异时，或者说行列式|A|≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵A 奇异时，或者说行列式|A|=0时，方程组有无数个解或无解。
当b1=b2=...=bn=0时，方程组为齐次性方程组。
若系数矩阵A 非奇异时，则方程组有唯一的解，其所有分量均为0，我们通常称这个解为平凡解。
若齐次线性方程组有非零解，系数矩阵必然奇异，或者说对应的系数行列式必为0。
怎么用克莱姆法则解方程组？例题1解方程组：12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩方程组的系数行列式2151130627002121476d ---==≠--因之可以用克拉默法则，由于181********52120476d ---==---2285119061080512176d --==----3218113962702521406d --==--4215813092702151470d --==---所以方程组的唯一解为12343,4,1,1x x x x ==-=-=注：克拉默默法则所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组。
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对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用 Cramer 法则，有
定理 若其次线性方程组
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn =0,
a21x1
+ a22 x2 + + a2n xn
=0,
an1x1 + an2 x2 + + ann xn =0.
（1-3）
用 D 的第 j 列元素 a1 j , a2 j ,, anj 的代数余子式 A1J , A2J ,, Anj 依次乘所得的 n 个恒等式的两端再相加，得
A1 j : a11k1 + a12k2 + + a1 jk j + + a1nkn =b1, A2 j : a21k1 + a22k2 + + a2 jk j + + a2nkn =b2 Anj : an1k1 + an2k2 + + anjk j + + annkn =bn , 0k1 + 0k2 + + Dk j + + annkn =Dj ,
克莱姆法则及其应用
前言
克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士 数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，， 曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等 代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式， 在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
+
=
1 D
[b1D
+
b2
⋅
0
+
+
bn= ⋅ 0]
b1
这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余 n-1
个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。
其次，设=x1 k= 1, x2 k2 ,= , xn kn 是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得 n 个恒等式，再
= D1
d1
d= 2 a2
dn
an
d1a= 2 an , D2
a1 d1 = d2
a1d2 an ,
dn
an
......,
= Dn
a1
d1
=
an−1 dn−1
dn
a1 an−1dn .
于是
x=1
da=11
D1 , D
x=2 da=22
D2 , D
,
x=n
da=nn
Dn . D
定理 齐次线性方程组
程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组 (d) 无非零解. 这与开始的假设矛盾.
(⇐) 此时, 以 | aij |n = 0 为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知, 方程组 (d) 与方程组
b11x1 + b12 x2 + + b1n xn = 0
(e)
例 1 解线性方程组
3x1 + x2 − x3 + x4 =−3,
2xx11
− +
x2 x2
+ +
x3 2 x3
+ −
x4 = 4, x4 = 7,
x1 +
2x3 = + x4 = 6.
解 由于方程组的系数行列式
3 1 −1 1
1 −1 1 2
D=
=−13 ≠ 0,
2 1 2 −1
10 2 1
( ) ( ) ( ) 1
D
b1
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
+ b2
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
+ + bn
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
1 D
[b1
D
+
b2
⋅
0
+
+
bn= ⋅ 0]
b1
=1 D
a11(b1 A11 + +a12 (b1 A12 +a1n (b1 A1n
=x1
D D= 1 , x2
D2 D
,= , xn
Dn . D
（1-2）
期中
D J
是将
D
的第
j
列换成常数项
b1
,
b 2
,, bn
而其余列不变的行列式。即
a11 a1, j−1 b1 a1, j+1 a1n
Dj
=
a21
a2, j−1
b2
a2, j+1
a2n
an1 an, j−1 bn an, j+1 ann
（1-1）
其系数构成的行列式
a11 a12 a1n
D = a21 a22 a2n
an1 an2 ann
称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义
克莱姆法则（Cramer Rule）：一个含有 n 个未知量 n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式
D ≠ 0 时，有且仅有一个解：
1 −1 1 4
= D4
= 13, 21 2 7
10 2 6
所以方程的唯一解是：
x1
= DD1 = 1, x2
= DD2 = −2, x3
= DD3 = 13, x4
= D4 = −1. D
在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn =0,
a21x1
+ a22 x2 + +
a2n xn
=0,
an1x1 + an2 x2 + + ann xn =0.
称此为其次线性方程组。这种方程组显然有解：=x1 0= , x2 0,= , xn 0, 称其为零解。其次线性方程组若有其他
的解，即 xi 不全为零的解，成为非零解。
即 = Dk j D= j , j 1, 2,, n.
由
D
≠
0,
= k j
知
D= j , j 1, 2,, n. D
这就是说，如果 (k1, k2 ,, kn ) 是方程组（1-1）的一个解，则
= k j
D= j ,( j 1, 2,, n).
D
即方程组只有一个解。
2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用
a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
(d)
a21x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0
an1x1 + an2 x2 + + ann xn = 0
有非零解 ⇔ 系数行列式 | aij |n = 0 .
证明 (⇒) 设齐次方程组 (d) 有非零解, 我们用反证法来证实 | aij |n = 0 . 假设 | aij |n ≠ 0 , 由克莱姆法则知此方
b2 A21 + + b2 A22 + b2 A2n
bn An1) +bn An2 +bn Ann
) )
+
( ) b1 a11 A11 + a12 A12 +a1n A1n
( ) =1 ( ) D
+b2 +bn
a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n a11 A11 + a12 A12 + a1n A1n
(3) 若 a1=1 = an=1 0 , 结论成立.
对于方程组 (c) 的后 n −1个方程再进行同样的处理即知本引理成立.
克莱姆法则 若线性方程组 (a) 的系数行列式=D | aij |n ≠ 0 , 则此方程组有唯一的一组解
=x1
DD= 1 , x2
D2 , D
= , xn
Dn , D
这里 Di 是将 D 中的第 i 列 a1i , , ani 换成 b1, , bn 得到的行列式.
= b1A1 j + b2 A2 j + + bn Anj , ( =j 1, 2,n).
2. 克莱姆法则的证明方法
克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是
2.1 克莱姆法则的一般证明方法
2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法
在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。现在就有一般方法来证明
证明 由上述引理, 方程组 (a) 与 (b) 同解, 且它们的系数行列式相等, 即 b11bn=n D ≠ 0 . 再对方程组 (b)
从下向上逐步消元知, 方程组 (a) 与
a1 x1
= d1
(c) ຫໍສະໝຸດ a2 x2= d2
an xn = dn
同解,= 且 D a1an ≠ 0. 再由行列式的性质, 我们还有
引理 线性方程组