人教A版高中数学必修四同步检测第3章3.2简单的三角恒等变换

1．已知 sin α－cos α＝－ ， 则 sin 2α 的值等于( )
16
B ．－
7
16
C ．－
9
16
D. 9 A. 7
解析：由 sin α－cos α＝－ ，
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝ 25 所以 sin 2α＝－ 9
2．若函数 f (x )＝－sin 2 x ＋ (x ∈R)，则 f (x )是( )
A ．最小正周期为 的奇函数 解析：f (x )＝－ 1－cos 2x 1 1
3．若 sin(π－α)＝－ 5 3 且 α∈ π， 2 ⎪，则 sin 2＋2⎪等于(
第三章
三角恒等变换
3.2
简单的三角恒等变换
A 级 基础巩固
一、选择题
5
4
5
4
16.
答案：C
1
2
π
2
B ．最小正周期为 π 的奇函数
C ．最小正周期为 2π 的偶函数
D ．最小正周期为 π 的偶函数
2 ＋2＝2cos 2x .
答案：D
⎛ 3π⎫ ⎛π α⎫
⎝ ⎭ ⎝
⎭ 16
16 ，
)
A ．－ 6
B ．－ C. D. 解析：由题意知 sin α＝－ ，α∈ π，2π
⎪，3
所以 cos α＝－ ，
因为 ∈ 2，4π
⎪，2 所以 sin 2＋2⎪＝cos －
1＋cos α ＝－ . 5．若函数 f (x )＝(1＋ 3tan x )cos x ，0≤x ＜ ，则 f (x )的最大值 1＋ 3 cos x ⎪⎭cos x ＝ 3sin x ＋cos x ＝ 2sin x ＋ ⎪.
6 6 6
3 6 6
3
5 ⎛ 3 ⎫ ⎝
⎭
2
3
α ⎛π 3 ⎫
⎝
⎭
⎛π α⎫ α ⎝ ⎭
2
＝
6
2 6
答案：B
4．若 sin(α＋ β )cos
β－cos(α＋ β )sin β＝0，则 sin(α＋2 β )
＋sin(α－2 β )等于(
)
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．±1
解析：因为 sin(α＋ β )cos
β－cos(α＋ β )sin β＝sin(α＋ β－
β )＝sin α＝0，
所以 sin(α＋2 β )＋sin (α－2 β )＝2sin αcos 2 β＝0.
答案：C
π
2
是(
)
A ．1
B ．2 C. 3＋1
D. 3＋2
解析：f (x )＝(1＋ 3tan x )cos x ＝
⎛
sin x ⎫ ⎝
⎛
π⎫ ⎝ 6⎭
因为 0≤x ＜ ，所以 ≤x ＋ ＜ π，
所以当 x ＋ ＝ 时，f (x )取到最大值 2.
6．若 sin α＝cos 2α，α∈ 2 ，π⎪，则 tan α＝________．
解得 sin α＝ 或－1.
又 α∈ 2
，π⎪，所以 α＝ π，6 tan α＝tan π＝－ .
答案：－ 3
解析 ： 因为 3sin x － 3cos x ＝ 2 3 sin x － cos x ⎪ ＝ 2 3
sin x －6⎪，因为 φ∈(－π，π)，所以 φ＝－ .6
2 18 18
cos － 3sin 18 18
π π π 2
2 6 6 3
π π
6 2
答案：B
二、填空题
⎛π ⎫ ⎝
⎭
解析：由题意得 2sin 2 α＋sin α－1＝0，
1
2
⎛π ⎫ 5 ⎝
⎭
5 3
6 3
3
7．若 3sin x － 3cos x ＝2 3sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则 φ＝
________．
⎛ 3
1 ⎫
⎝ 2 ⎭
⎛ π⎫ π ⎝
⎭
答案：－
π
6
8.
1 3
π － π ＝________．
sin cos
π π
18 18
解析：原式＝ ＝
π π
sin cos
18⎪⎭ ⎝2
2 cos － sin sin 2tan
4－α⎪）sin 2 4＋α⎪
2tan 4－α⎪sin 2（ ＋α）4
2cos 4＋α⎪
2
＋α⎪
·sin 4 sin 4＋α⎪
＝ ＝1.
sin 2＋2α⎪
10．已知 2sin 4＋α⎪＝sin θ ＋cos θ ，2sin2β ＝sin 2θ ，求证：
sin 2α ＋ cos 2β ＝0.
证明：由 2sin 4
＋α⎪＝sin θ＋cos θ， 即 2sin 2α＋cos 2β＝0，所以 sin 2α＋ cos 2β＝0.
⎛1 π 3 π ⎫ 18 2 1 π
2 9
＝
4sin
sin
π 9 π
＝4.
9
答案：4
三、解答题
2cos 2 α－1
9．化简 .
⎛π ⎫ ⎛π ⎫ ⎝
⎭ ⎝ ⎭
2cos 2α－1
解： ＝
⎛π ⎫ π ⎝
⎭
cos 2α
⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎛π ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝
⎭
＝
cos 2α cos 2α
⎛π ⎫ cos 2α ⎝
⎭
⎛
π ⎫ ⎝
⎭
1
2
⎛π ⎫ ⎝
⎭
得 2cos α＋ 2sin α＝sin θ＋cos θ，
两边平方得，2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，①
又 sin2β＝sin 2θ，②
由①②两式消去 sin 2θ，得 2(1＋sin 2α)＝1＋2sin2β，
1
2
2 2
＝4 sin x ＋ cos x ⎪ cos x － sin x ⎪
＝4sin x ＋6⎪cos x ＋6⎪＝2sin 2x ＋3⎪， 所以 T ＝ 2π
＝π.
＝sin 2x ＋ 3cos 2x ＝2sin 2x ＋3⎪，
所以 T ＝ 2π
＝π.
2．在△ABC 中，若 cos A ＝ ，则 sin 2 ＋cos 2A 等于________． 解析：在△ABC 中，
＝ － ， ⎫⎛ 3
2 2 所以 sin 2B ＋C 2 － ＋cos 2A ＝sin 2
2 ⎪⎭
＋cos
2A ＝
＋cos 2A ＝
＋2cos 2 A －1＝－ .
B 级 能力提升
1．(2016· 山东卷)函数 f (x )＝( 3sin x ＋cos x )( 3cos x －sin x )的最
小正周期是(
)
π A.
3π C. B ．π
D ．2π
解析：法一：因为 f (x )＝( 3sin x ＋cos x )( 3cos x －sin x )
⎛ 3 1 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭
⎛ π⎫ ⎛ π⎫ ⎛ π⎫
⎝
⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
2
法二：因为 f (x )＝( 3sin x ＋cos x )( 3cos x －sin x )
＝3sin x cos x ＋ 3cos2x － 3sin2x －sin x cos x
⎛ π⎫
⎝
⎭
2
答案：B
1
B ＋
C 3 2
B ＋
C π A
2 2 2
⎛π 2
⎝
A ⎫
cos 2 A 1＋cos A 1
2 2 9
(2)求 f (x )在区间⎢0， ⎥上的最大值和最小值．
＋cos 2x ＝ 2sin 2x ＋ ⎪＋1，
所以函数 f (x )的最小正周期为 T ＝ ＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝ 2sin 2x ＋4⎪＋1.
当 x ∈⎢0，2⎥时，2x ＋ ∈⎢4， 4 ⎥，4 由正弦函数 y ＝sin x 在⎢4， 4 ⎥上的图象知，
当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时，f (x )取得最大值 2＋1；
当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时，f (x )取得最小值 0.
综上，f (x )在⎢0，2⎥上的最大值为 2＋1，最小值为 0. ⎣
答案：－
1
9
3．(2015· 安徽卷)已知函数 f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .
(1)求 f (x )的最小正周期；
⎡
π⎤ ⎣
2⎦
解：(1)因为 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2 x ＝1＋sin 2 x
⎛
π⎫ ⎝
4⎭
2π
2
⎛ π⎫ ⎝
⎭
⎡ π⎤ π ⎡π 5π⎤
⎣
⎦ ⎦
⎡π 5π⎤
⎣
⎦
π π π
4 2 8
π 5π π
4 4 2
⎡ π⎤
⎣
⎦。