贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）1．（5分）已知集合A={x|﹣3≤x＜4}，B={x|﹣2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤5} B．{x|﹣2≤x＜4} C．{x|﹣2≤x≤5} D．{x|﹣3≤x＜4}2．（5分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（）A．B．C．D．3．（5分）平面向量与的夹角为60°，，，则=（）A．B．C．3D．74．（5分）某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．205．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a9=19，则a5为（）A．13 B．12 C．11 D．106．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．36 C．24 D．727．（5分）函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）8．（5分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0C．1D．310．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或411．（5分）已知a=2log52，b=21.1，c=，则a、b、c的大小关系是（）A．.a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a12．（5分）函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5分）已知△ABC中，BC=4，AC=8，∠C=60°，则=．14．（5分）设函数，则f（f（3））=．15．（5分）函数的定义域是．16．（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g （﹣10）=．三、解答题（本题共6小题，共70分．请将解答写在答题卡指定位置．）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．19．（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）80～90这一组的频率和频数分别是多少？（2）估计这次环保竞赛的平均数、众数、中位数．（不要求写过程）（3）从成绩是80分以上（包含80分）的同学中选两人，求他们在同一分数段的概率．20．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a5﹣2a2=3，又等比数列{b n}中，b1=3且公比q=3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．22．（12分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上．）1．（5分）已知集合A={x|﹣3≤x＜4}，B={x|﹣2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{x|﹣3≤x≤5} B．{x|﹣2≤x＜4} C．{x|﹣2≤x≤5} D．{x|﹣3≤x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：题设中两个集合已经是最简，故由集合的交集的定义直接求出它们的公共部分，得到交集解答：解：∵集合A={x|﹣3≤x＜4}，集合B={ x|﹣2≤x≤5}，∴A∩B={|﹣2≤x＜4}故选B．点评：本题考查交集及其运算，解答本题关键是理解交集的定义，由定义进行运算求出交集．2．（5分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式知sin（+a）=cosα=，根据二倍角的余弦公式从而有cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．解答：解：sin（+a）=cosα=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．故选：D．点评：本题主要考察二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用，属于中档题．3．（5分）平面向量与的夹角为60°，，，则=（）A．B．C．3D．7考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算及其性质即可得出．解答：解：∵平面向量与的夹角为60°，，，∴===1．∴===．故选：．点评：本题考查了数量积运算及其性质，属于基础题．4．（5分）某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．解答：解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．5．（5分）等差数列{a n}中，a3=7，a9=19，则a5为（）A．13 B．12 C．11 D．10考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据公式a3=a1+2d=7，a9=a1+8d=19，可求a1，d，代入等差数列的通项公式可求．解答：解：根据公式a3=a1+2d=7，a9=a1+8d=19，解方程得到故a5=a1+4d=11，故选C点评：本题主要考查了利用基本量a1，d表示等差数列的通项公式，属于基础试题．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．12 B．36 C．24 D．72考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是以主视图为底面的三棱锥，求出底面面积和高，代入可得答案．解答：解：该几何体是以主视图为底面的三棱锥，底面面积S==12，高h=3，故体积．故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状是解答的关键．7．（5分）函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：本题可求出相应区间端点的值，由连续函数根的存在性定理，端点值异号时，该区间内有根，得本题的解．解答：解：∵函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1，∴f（0）=﹣|0﹣5|+2﹣1=﹣＜0，f（1）=﹣|1﹣5|+20=﹣3＜0，f（2）=﹣|2﹣5|+21=﹣1＜0，f（3）=﹣|3﹣5|+22=2＞0，f（4）=﹣|4﹣5|+23=7＞0．∵f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（2，3）．故选C．点评：本题考查了方程根的存在性定理，本题难度不大，属于基础题．8．（5分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间线线、线面、面面间的关系求解．解答：解：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a⊥α，a∥b，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α，故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α，或b⊂α，或b与α相交，故D错误．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0C．1D．3考点：条件语句；循环语句．专题：算法和程序框图．分析：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．解答：解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B点评：涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．10．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．解答：解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选D．点评：本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．（5分）已知a=2log52，b=21.1，c=，则a、b、c的大小关系是（）A．.a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：转化为同底数：a=2log52=log＜1，b=21.1，c==2，根据函数y=2x 单调性判断答案．解答：解：∵a=2log52，b=21.1，c=，∴a=2log52=log54＜1，b=21.1＞2，c==2＜2，1＜c＜2根据函数y=2x单调性判断：b＞c＞a，故选；A点评：本题考查了指数函数的单调性，属于容易题．12．（5分）函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A．B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决．解答：解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln（x2+1）=﹣（sinx•ln（x2+1））=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，∵sinx存在多个零点，∴f（x）存在多个零点，故f（x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象．故选B．点评：本题通过图象考查函数的奇偶性以及单调性，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5分）已知△ABC中，BC=4，AC=8，∠C=60°，则=﹣16．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．解答：解：因为△ABC中，BC=4，AC=8，∠C=60°，所以=||||cos120°=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．14．（5分）设函数，则f（f（3））=．考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据分段函数的定义域先求出f（3），再求出f（f（3）），注意定义域；解答：解：∵函数，3＞1∴f（3）=，∴f（）=（）2+1=+1=，故答案为；点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，此题是一道基础题；15．（5分）函数的定义域是（，1）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据题意列出方程组解此不等式组求得x的范围，即为所求．解答：解：要使函数有意义，则解得：﹣＜x＜1故函数的定义域为（﹣，1），故答案为（，1）．点评：本题考查函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16．（5分）已知函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，若函数g（x）=f（x）+4，则g （﹣10）=2014．考点：函数奇偶性的判断；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数是偶函数，构建方程求出f（﹣10）的值，即可以得到结论．解答：解：∵函数y=f（x）+x3为偶函数，且f（10）=10，∴f（﹣10）+（﹣10）3=f（10）+103=10+103，∴f（﹣10）=2010，则g（﹣10）=f（﹣10）+4=2010+4=2014，故答案为：2014点评：本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性是解决本题的关键．三、解答题（本题共6小题，共70分．请将解答写在答题卡指定位置．）17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的面积公式，求出sinA=，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．解答：解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．点评：本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）设AC∩BD=H，连接EH，由平行四边形的性质结合题意证出MH为△PAC中位线，从而得到MH∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面MBD．（2）由线面垂直的定义证出PD⊥AD，结合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根据PD⊥BD且PD、AD是平面PAD内的相交直线，可得BD⊥平面PAD．解答：解：（1）设AC∩BD=H，连接EH，∵H为平行四边形ABCD对角线的交点，∴H为AC中点，又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线，可得MH∥PA，MH⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，结合BD⊂平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD内的相交直线∴BD⊥平面PAD．点评：本题在特殊的四棱锥中证明线面平行和线面垂直，着重考查了空间的平行、垂直位置关系的判定与证明的知识，属于中档题．19．（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题：（1）80～90这一组的频率和频数分别是多少？（2）估计这次环保竞赛的平均数、众数、中位数．（不要求写过程）（3）从成绩是80分以上（包含80分）的同学中选两人，求他们在同一分数段的概率．考点：等可能事件的概率；频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（1）根据频率分步直方图的意义，计算可得40～50、50～60、60～70、70～80、90～100这5组的频率，由频率的性质可得80～90这一组的频率，进而由频率、频数的关系，计算可得答案；（2）根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案；（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E，计算可得80～90之间与90～100之间的人数，并设为a、b、c、d，和A、B，列举可得从中取出2人的情况，可得其情况数目与取出的2人在同一分数段的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（1）根据题意，40～50的这一组的频率为0.01×10=0.1，50～60的这一组的频率为0.015×10=0.15，60～70的这一组的频率为0.025×10=0.25，70～80的这一组的频率为0.035×10=0.35，90～100的这一组的频率为0.005×10=0.05，则80～90这一组的频率为1﹣（0.1+0.15+0.25+0.35+0.05）=0.1，其频数为40×0.1=4；（2）这次竞赛的平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5，70～80一组的频率最大，人数最多，则众数为75，70分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为70；（3）记“取出的2人在同一分数段”为事件E，因为80～90之间的人数为40×0.1=4，设为a、b、c、d，90～100之间有40×0.05=2人，设为A、B，从这6人中选出2人，有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，A）、（a、B）、（b，c）、（b，d）、（b，A）、（b、B）、（c、d）、（c、A）、（c、B）、（d、A）、（d、B）、（A、B），共15个基本事件，其中事件A包括（a，b）、（a，c）、（a，d）、（b，c）、（b，d）、（c、d）、（A、B），共7个基本事件，则P（A）=．点评：本题考查等可能事件的概率计算，涉及频率分步直方图的应用，关键利用频率分步直方图，从中得到数据信息．20．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a5﹣2a2=3，又等比数列{b n}中，b1=3且公比q=3．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比，由此能求出等差数列{a n}的通项公式；由数列{b n}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，能求出{b n}的通项公式．（Ⅱ）由，利用分组求和法能求出数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由题设得，解得a1=1，d=2，∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵数列{b n}是以b1=3为首项，公比为3的等比数列，∴．（Ⅱ）∵c n=a n+b n，∴，∴S n=1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（3+32+33+…+3n）==．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．解答：（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA 1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积．点评：题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．22．（12分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．解答：解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化为f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）为奇函数，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）为（﹣1，1）上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；联立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集为．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理．。