高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教A版选
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质(2)(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业20 抛物线的简单几何性质(2)知识点一直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 B解析 由题意知，点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，所以过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B.2．已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点. 知识点二中点弦问题3.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 中点为(2,2)，则直线l 的方程为__________．答案 y ＝x解析 由题意知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，①②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1. ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 知识点三直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.90°C.60°D.120°答案 B解析 如图，由抛物线定义知 |AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO . 同理∠BFB 1＝∠B 1FO .于是∠AFA 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.故选B. 5．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，求|PQ |的最小值． 解 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x ，消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值等于直线x ＋y ＋5＝0与x ＋y ＋12＝0间的距离，即等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A.2或－2B.1或－1C.2D.3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0.又由Δ＝42(k ＋2)2－16k 2＞0，得k＞－1.则由4k ＋2k 2＝4，得k ＝2.故选C. 2．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A.2x －y －4＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＋4＝0D.2x ＋y ＋4＝0答案 A解析 设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4.又直线l 的斜率存在，∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，∴直线l 的方程为2x －y －4＝0，故选A. 3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2的值为( )A.4B.－4C.p 2D.－p 2答案 B解析 解法一：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线方程为x ＝my ＋p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.又x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24.于是y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4.故选B. 解法二：采用特例法，当直线与x 轴垂直时，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－4.故选B.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B.[－2,2]C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋2，消去x 得到关于y 的方程ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点； 当k ≠0时，令Δ＝64－64k 2≥0， 解得－1≤k <0或0<k ≤1. 故－1≤k ≤1.故选C.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D.2答案 D解析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.二、填空题6．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2有两个公共点，则a 的取值X 围是________． 答案 a >－14且a ≠0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，得ax 2－x －1＝0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12－4×a ×－1>0，解得a >－14且a ≠0.7．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是__________． 答案 (1,1)解析 把直线2x －y －4＝0平移至与抛物线y ＝x 2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x －y ＋b ＝0，联立y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，由题意得Δ＝4＋4b ＝0，b ＝－1.即x 2－2x ＋1＝0，解x ＝1，y ＝1.8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为抛物线C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)， 则x 0＋2＝42，∴x 0＝32， ∴y 20＝42×32＝24， ∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3.三、解答题9．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点． (1)若|AB |＝10，某某数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，某某数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.Δ>0解得m <2，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．10．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－k y ＝x －2.不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_2_1抛物线的简单几何性质课件新人教A版
又因为点M在抛物线上,所以( 3 )2=-2p(-2 3 ),即
p= 3 .因此所求方程是x2=- 3 y.
4 2
答案:x2=-
3 y 2
类型一
抛物线的性质及其应用
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的 焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
k x
3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直
的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
B.y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可
得抛物线方程.
4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,
(
A. 1
2Hale Waihona Puke )B.1C. 3
2
D.2
(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+
小值为________.
1 2 y +4的最 2
【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方
程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= k .
x
(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.
D. ( 79 , 29 )
8 16
【解析】选B.因为抛物线方程为y=
1 4
x2,所以焦点为
F(0,1),准线为l:y=-1,设所求点的坐标为P(x,y),作 PQ⊥l于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的
长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=±4,故
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用
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2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用1。
直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2,则k= ( )A。
2或-2 B。
—1 C.2 D.3【解析】选C。
由得k2x2—4(k+2）x+4=0,则=4，即k=2或k=-1，又由Δ=16（k+2）2—16k2〉0,知k=2.2。
已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FA｜—|FB｜|的值等于（)A.4B.8C.8D.16【解析】选C。
依题意F(2，0），所以直线方程为y=x—2，由消去y得x2—12x+4=0。
设A（x1，y1），B(x2，y2）,则｜|FA｜—｜FB||=｜(x1+2)—（x2+2）|=|x1-x2｜===8.3.若函数f（x)=log2（x+1)—1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=________.【解析】由f(x)=log2(x+1)—1=0，知x=1，抛物线x=ay2焦点的坐标是F，由题设条件知=1，所以a=。
【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)
解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，
2022高中数学第二章圆锥曲线与方程4抛物线2抛物线的简单几何性质3作业含解析新人教A版选修2_
抛物线的简单几何性质(二)一、基础过关1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且|P 1F |，|P 2F |，|P 3F |成等差数列，则有( )A ．x 1＋x 2＝x 3B ．y 1＋y 2＝y 3C ．x 1＋x 3＝2x 2D ．y 1＋y 3＝2y 23．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为 ( ) A.214p B.212p C.136p D.1336p 4．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是 ( )A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2 5．抛物线x 2＝ay (a ≠0)的焦点坐标为__________．6．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、能力提升7．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值是( )A.3－1B.102－1 C ．2 D.112－1 8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是( )A ．|AB |>|CD | B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |<|CD | D ．|AB |≠|CD |9．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF＝________. 10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．12．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点．(1)直线l 的斜率为22，求证：FA →·FB →＝0； (2)设直线FA 、FB 的斜率为k FA 、k FB ，探究k FB 与k FA 之间的关系并说明理由．三、探究与拓展13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|FA |＋1|FB |＝2p ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案1．B 2．C 3．B 4．A5.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 46.34 2 7．D 8．A10．解 如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知，|AF |＝d A ＝x 1＋p 2， |BF |＝d B ＝x 2＋p 2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p . 当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ，直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0. x 1＋x 2＝p k 2＋2k 2＝32p ，解得k ＝±2. ∴直线AB 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 11．解 (1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ，令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．12．(1)证明 ∵Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0， ∴直线l 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p2y 2＝2px .消去x 得y 2－22py ＋p 2＝0.解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋222p ，2＋1p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－222p ，2－1p .而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，故FA →＝((1＋2)p ，(1＋2)p )，FB →＝((1－2)p ，(2－1)p )，∴FA →·FB →＝－p 2＋p 2＝0.(2)解 k FA ＝－k FB 或k FA ＋k FB ＝0.因直线l 与抛物线交于A 、B 两点，故直线l 方程：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p2 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p2y 2＝2px ，消去x 得ky 2－2py ＋kp 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝p 2.k FA ＝y 1x 1－p 2，k FB ＝y 2x 2－p2，∴k FA＝p2y2y212p－p2＝p2y2⎝⎛⎭⎪⎫p2y222p－p2＝y2p2－y222p＝－k FB.13．证明 如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ，化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝y 1y 224p 2＝－p224p 2＝p 24.(2)根据抛物线定义知|FA |＝|AA 1|＝x 1＋p 2，|FB |＝|BB 1|＝x 2＋p2，∴1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p＝22x 2＋p ＋22x 1＋p2x 1＋p 2x 2＋p＝4x 1＋x 2＋4p4x 1x 2＋2p x 1＋x 2＋p2＝4x 1＋x 2＋p 2p x 1＋x 2＋p ＝2p.(3)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1. 则|CC 1|＝12·(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12·|AB |.∴以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修1
学习资料2．3。
2 抛物线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握抛物线的简单几何性质．2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题．3。
掌握直线与抛物线的位置关系.利用直观想象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第42页[基础认识］知识点一抛物线的几何性质错误!类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？提示：范围、对称性、顶点、离心率等．知识梳理抛物线的几何性质设图形中的P1（x1，y1），P2(x2，y2）。
标准方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p>0）x2＝2py(p〉0）x2＝－2py(p>0）图形性质范围x≥0,y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴焦半径｜P1F｜＝p2＋x1|P1F｜＝错误!－x1|P1F｜＝错误!＋y1｜P1F|＝p2－y1焦点弦|P1P2|＝p＋（x1＋x2)|P1P2|＝p－(x1＋x2）｜P1P2|＝p＋（y1＋y2）P1P2＝p－(y1＋y2) 顶点(0，0)离心率e＝1知识梳理直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0）的交点个数决定于关于x的方程组错误!解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有2个不同的公共点;若Δ＝0，直线与抛物线有1个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时,直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．［自我检测］1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16y答案：C2．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0）上的一点，则下列点一定在抛物线上的是(）A．（a，－b）B．(－a，b)C．（－a，－b) D．（b，a）答案：B3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝错误!y的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定答案:C授课提示：对应学生用书第43页探究一抛物线几何性质的应用[阅读教材P60例3］已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，－2错误!)，求它的标准方程．题型：利用抛物线的几何性质,求其标准方程．方法步骤：①根据条件设出抛物线的标准方程．②将点M代入标准方程，求出p的值．③写出抛物线的标准方程．［例1](1）已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0,b〉0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p>0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为错误!，则抛物线的焦点坐标为（）A．（2，0)B．(1,0)C．(8,0) D．(4,0）[解析］因为错误!＝2,所以错误!＝错误!＝4，于是b2＝3a2，则错误!＝错误!，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±错误!x。
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教A版
2．3.2抛物线的简单几何性质[提出问题]问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线y2＝2px有对称性吗？提示：有，关于x轴对称．[导入新知]抛物线的简单几何性质y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 类型(p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0) 图形x≥0，x≤0，x∈R，x∈R，范围y∈R y∈R y≥0y≤0对称轴x轴y轴性质顶点O(0,0)离心率e＝1开口向右向左向上向下方向[化解疑难]1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．2．p的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.抛物线方程及其几何性质[例1]已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，1且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．[解]如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知B(x0，－y0)，p又F (，0 )是△AOB的垂心，2则AF⊥OB，∴k AF·k OB＝－1，y0 y0即·(－x0 )＝－1，px0－2p∴y20＝x0(x0－，2)又y20＝2px0，p5p∴x0＝2p＋＝.2 25p因此直线AB的方程为x＝.2[类题通法]根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O 为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则p p 焦点F (，0 )，直线l：x＝，2 2p p∴A ，B两点坐标分别为(，p)，(，－p)，2 2∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面积为4，1 p∴··2|p|＝4，2 2∴p＝±2 2.∴抛物线方程为y2＝±4 2x.直线与抛物线的位置关系[例2]若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB.证明：由Error!消去y，2得x2－12x＋16＝0.∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.―→―→∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，―→―→∴OA⊥OB，即OA⊥OB.[类题通法]将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．解：显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由Error!消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．由Error!即Error!1得k＝或k＝－1.31所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，3即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.抛物线中的最值问题[例3]在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．[解]法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离3|x 0－y 0＋3| d ＝ ＝ 2y 20 2 y 0 3 2 |y 0－12＋5| ＝ ， 2 2 5 2 当 y 0＝1时，d min ＝ ，41 ∴P(，1 ).2法二：设与抛物线相切且与直线 x －y ＋3＝0平行的直线方程为 x －y ＋m ＝0， 由Error!得 y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0， 1 ∴m ＝ . 21 ∴平行直线的方程为 x －y ＋ ＝0，2此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则 d min ＝ 3 1 2 25 2 ＝ ，此时点 P4 1 的坐标为(，1 ).2 [类题通法]解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之， 与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]点 P 在抛物线 2y 2＝x 上，点 Q 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，求|PQ |的最小值． 解：圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为 M (2,0)， 设 P (2y 21，y 1)，则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4715 15 ＝4(y22＋≥ ，8)16 1615∴|PM|≥，4415∴|PQ|min＝|PM|min－1＝－1.44.探究抛物线中焦点弦问题[典例]已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．求证：p2(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；4(2)|AB|＝x1＋x2＋p.p p p[证明](1)过焦点F (，0 )的直线AB的方程为y＝k(x－2 )或x＝.2 2p 当直线AB的方程为y＝kx－时，2由Error!消去x，得ky2－2py－kp2＝0.∵AB与抛物线有两个交点，∴k≠0.由根与系数的关系得y1y2＝－p2.又y21＝2px1，y＝2px2，2y21y y1y2 2 p22∴x1x2＝·＝＝.2p2p4p2 4p p2当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，y2＝－p，2 4∴y1y2＝－p2.(2)由抛物线的焦半径可知：p p|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，2 2∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.[多维探究]解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．π1．若本例中，AB是经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦，其弦长为6，4求抛物线方程．5p解：直线l的方程可写为y＝x－.2因|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由Error!消去y，p得(x－2 )2＝2px，p2 即x2－3px＋＝0.4∴x1＋x2＝3p，代入①式，得3p＝6－p，3∴p＝.2∴抛物线的标准方程是y2＝3x.1 12．在本例条件下，试求＋的值．|AF| |BF|p p解：设直线AB：y＝k (x－2 )或x＝.2p 当直线AB的方程为y＝k(x－2 )时，由Error!k2p2 消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.4∵AB与抛物线有两个交点，∴k≠0.p k2＋2p2∴x1＋x2＝，x1x2＝.k2 4p p又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，2 2∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.p p|AF|·|BF|＝(x1＋2)(x2＋2)p p2＝x1x2＋(x1＋x2)＋2 4p p2＝(x1＋x2)＋2 2p＝(x1＋x2＋p)2p＝(|AF|＋|BF|)，262即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，p1 1 2∴＋＝.|AF| |BF| pp 当直线AB的方程为x＝时，2px1＝x2＝，2y1＝p，y2＝－p.∴|AF|＝|BF|＝p.1 1 2∴＋＝.|AF| |BF| p3．在本例条件下，若M是AB的中点，过点A，B，M向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1.试证：(1)以AB为直径的圆与准线l相切；(2)∠AM1B＝90°；(3)∠A1FB1＝90°.证明：如图．1(1)∴|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)21 1＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.2 2∴以AB为直径的圆与准线l相切．(2)由(1)知，以AB为直径的圆与准线l相切于点M1，则∠AM1B＝90°.(3)如图：∵|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BB1F＝∠BFB1.又AA1∥x轴，BB1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∠BB1F＝∠B1FO.7∴∠AFA1＝∠A1FO，∠BFB1＝∠B1FO.∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，即∠A1FB1＝90°.[随堂即时演练]1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是() A．(6，＋∞)B．[6，＋∞) C．(3，＋∞)D．[3，＋∞) 解析：选D∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，p∴＝3，即p＝6.2p又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，2∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于() A．2或－1 B．－1C．2 D．3解析：选C由Error!得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.由Δ＝(4k＋8)2－16k2＞0，得k＞－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，4k＋8 则x1＋x2＝＝4，k2解得k＝2或k＝－1(舍去)．3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案：81 4．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝20的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，1 7∴x1＋x2＝4－＝，2 281 1 x1＋x2 1 7 1 9 ∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.2 2 2 2 4 2 49答案：45．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3 5，求m的值．解：由Error!得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，m2则由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，4∴|AB|＝1＋k2 x1＋x22－4x1x2m2＝1＋22 1－m2－4·4＝51－2m.由|AB|＝3 5，即51－2m＝3 5，解得m＝－4.[课时达标检测]一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11x B．y2＝11xC．y2＝－22x D．y2＝22x解析：选C在方程2x－4y＋11＝0中，11令y＝0得x＝－，211 p11(－，0)，即＝，∴抛物线的焦点为F2 2 2∴p＝11，∴抛物线的方程是y2＝－22x.2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．―→―→3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22) B．(1，±2)9C．(1,2) D．(2,2 2)解析：选B设A(x，y)，则y2＝4x，①―→―→OA ＝(x，y)，AF ＝(1－x，－y)，―→―→OA ·AF ＝x－x2－y2＝－4，②由①②可解得x＝1，y＝±2.―→4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则| FA―→―→|＋| FB |＋| FC |的值为()A．1 B．2C．3 D．41解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F(，0 )，所以x1＋21 3 ―→―→―→ 1 1 1 3x2＋x3＝3×＝，则| |＋| FB |＋| |＝1＋2)＋(x ＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋FA FC 2)(x 2＋2 2 2 23 3＝＋＝3.2 25．(全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A，B 两点，交C 的准线于D，E 两点．已知|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，则C的焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4 2，|DE|p 4 p 4＝2 5，抛物线的准线方程为x＝－2，∴不妨设A (，2 2)，D(－，5).∵点A(，2 2)，Dp 2 pp 16 p2(－，5)在圆x2＋y2＝r2上，∴Error!∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准2 p2 4线的距离为4.二、填空题6 ．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4 的抛物线方程是________________．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py或x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.答案：x2＝16y或x2＝－16y7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB 的中点M到抛物线准线的距离为________．10解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.p p 由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，2 25即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.25 7因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.2 27答案：28．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两|AF|点(点A在y轴左侧)，则＝________.|FB|p(0，2 )，解析：由题意可得焦点F3 p故直线AB的方程为y＝x＋，3 2与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为3x A＝－p，x B＝p，333 1 3故A－p，p，B3p，p，3 6 22所以|AF|＝p，|BF|＝2p，3|AF| 1所以＝.|BF| 31答案：3三、解答题9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长．解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝2px1，y＝2px2.又|OA|＝|OB|，2所以x21＋y21＝x＋y，2 2即x21－x＋2px1－2px2＝0，2整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，113所以y1＝x1，与y＝2px1联立，123解得y1＝2 3p.所以|AB|＝2y1＝4 3p.10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．p(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，2＝4－1＝3.从而x＝±2 3.代入y2＝4x，解得y∴点A的坐标为(3,2 3)或(3，－2 3)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得Error!消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A，B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，4∴x1＋x2＝2＋.k24 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.k212当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.13。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质讲义含解析新人教A版选修1_10417119.doc
2.3.2 抛物线的简单几何性质预习课本P60～63，思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？[新知初探]抛物线的简单几何性质[点睛] 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线x 2＝2py (p >0)有一条对称轴为y 轴( ) (2)抛物线y ＝－18x 2的准线方程是x ＝132( )答案：(1)√ (2)×2．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则点A 的横坐标为( ) A ．2 B ．0 C ．2或0 D ．－2或2答案：B3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64答案：B4．若双曲线x 23－16y 2p2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案：4[典例] y 2＝4相交的公共弦长为23，求抛物线的方程．[解] 设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，抛物线与圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3.由对称性，知y 2＝－y 1，代入上式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1，所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，可得p ＝32.于是所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程． 1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C. 2．已知点M (x ，y )在抛物线y 2＝8x 上，则f (x ，y )＝x 2－y 2＋12x ＋9的取值范围为________．解析：f (x ，y )＝x 2－8x ＋12x ＋9＝(x ＋2)2＋5，又x ∈[0，＋∞)，所以当x ＝0时，f (x ，y )取得最小值9.所以f (x ，y )的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)[典例] 过抛物线A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解] 由于抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4，由p >0，可得p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 由抛物线的定义知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.2．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p . ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .[典例] OA ⊥OB .[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA ―→⊥OB ―→，即OA ⊥OB .过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解：显然，直线斜率k 存在，设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋，y 2＝4x ，消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，16－4k ＋12k ＝0，得k ＝13或k ＝－1.所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0.层级一 学业水平达标1．以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y解析：选C 依题意设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．若直线y ＝2x ＋p2与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：选B 将直线方程代入抛物线方程， 可得x 2－4px －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p . ∵直线过抛物线的焦点， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① 又OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )， 所以OA ―→·AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4.② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1. ∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋－＝5×12＝215.5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3， ∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)7．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________． 解析：设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以|AB |＝x －2＋y 2＝x －2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74.所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |min＝72. 答案：728．已知AB 是抛物线2x 2＝y 的焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标为________． 解析：设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′.由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2.又|PQ |＝y 0＋18，所以y 0＋18＝2，解得y 0＝158.答案：1589．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，直线l ：x ＝a2，∴A ，B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－a ， ∴|AB |＝2|a |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·a2·2|a |＝4，∴a ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x .10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若点B (0,2)，求过点B 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程． 解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)， 可得16＝4p ，解得p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ， 其准线方程为x ＝－2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0符合题意． ②当直线l 的斜率为0时，y ＝2符合题意． ③当直线l 的斜率存在且不为0时， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x 得ky 2－8y ＋16＝0.由Δ＝64－64k ＝0，得k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0. 综上直线l 的方程为x ＝0或y ＝2或x －y ＋2＝0.层级二 应试能力达标1．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 易知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2＋k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx 1－，y 2＝k x 2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－x 1＋x 2＋4]. ③∵MA ―→·MB ―→＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D 项．5．已知抛物线y 2＝12x ，则弦长为定值1的焦点弦有________条．解析：因为通径的长2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a ，若a >2p ，则焦点弦存在两条；若a ＝2p ，则焦点弦存在一条；若a <2p ，则焦点弦不存在．由y 2＝12x 知p ＝14，则通径长2p ＝12，因为1>12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：26．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：487．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值． 解：(1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.∵|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·4k 2＋8 ＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m2|y 3－y 4|＝1＋1m2·y 3＋y 42－4y 3y 4＝m 2＋2m 2＋1m 2.由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于 |AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋22＝m 2＋2m 2＋m 4.化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝ca ＝53. 2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1解析：选A ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C ∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12， 则C 的渐近线方程为y ＝±12x .5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点， 故||PF 1|－|PF 2||＝4， 而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.6．已知直线y ＝kx －k (k 为实数)及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线没有公共点解析：选C 因为直线y ＝kx －k 恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，所以当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．7．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1―→·PF 2―→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：选C 由渐近线方程为y ＝x ，知双曲线是等轴双曲线， ∴双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是两焦点分别是F 1(－2,0)和F 2(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取点P (3，1)， 则PF 1―→＝(－2－3，－1)，PF 2―→＝(2－3，－1)． ∴PF 1―→·PF 2―→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1) ＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.8．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2， 所以a 2∈(0,1)∪(1,2)． 另一方面e ＝1a2＋1，则a 2＝1e 2－1， 从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 9．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)， 由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．11.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选A 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知，得A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)， 则BF ―→＝(－c ，－b )，BA ―→＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝c a ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2 ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF ―→·BA ―→＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°.12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223解析：选D 将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8－4k2k2，x 1x 2＝4，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)， 即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4， 整理得x 22＋x 2－2＝0， 解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)． 所以x 1＝4，8－4k 2k 2＝5，解得k 2＝89，又因为k >0，所以k ＝223.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)， 故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y 212＝114．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线x ＝14y 2的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线x ＝14y 2的方程化为标准形式为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)，则得a 2＋b 2＝1，又e ＝c a ＝5，易求得a 2＝15，b 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案：5x 2－54y 2＝115．已知二次曲线x 24＋y 2m＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤62. 答案：52，6216．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10， |PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2| ＝10＋－2＋42＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2 ]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189＝133· －m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.19．(本小题满分12分)双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若直线l 的斜率存在，且(F 1A ―→＋F 1B ―→)·AB ―→＝0，求l 的斜率． 解：(1)设A (x A ，y A )．由题意得F 2(c,0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4， 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由题意知F 1(－2,0)，F 2(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k x －得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点， 所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A ―→F 1A ―→＋F 1B ―→)·AB ―→＝0即F 1M ―→·AB ―→＝0， 知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6kk 2－3， kF 1M ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，解得k 2＝35， 故l 的斜率为±155. 20．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l 1：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，求|PQ |的最大值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在， 又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线l 2的斜率为0时，|PQ |＝4 2. 当直线l 2的斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)， 即得k ＝x 1＋x 24＝t2， 则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， 则|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－t 2－＝－t2＋t 2≤6，当且仅当t ＝±2时取等号．所以|PQ |的最大值为6.21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0.①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k 1＋3k2，x 1x 2＝91＋3k 2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1. 即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .22．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC ―→与BD ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点， 所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |，所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k2＋8k22＋4×649＋8k2， 即16(k 2＋1)＝162k 2＋＋8k22， 所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案新人教B版选修
§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：【自学目标】通过自学本节内容，理解抛物线的几何性质，并能进行简单的应用。
【自学内容提炼】一、基本知识：二、典型例题归纳：（通过自己看书，归纳书上的典型题型，并回答书上的几个探究问题） 例3. 抛物线几何性质的基本应用变式练习：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且过点M(2, 的抛物线有几条？并求其标准方程。
例5. 直线与抛物线的位置关系三、提出疑点与解决：【达标训练】1. 课内完成：课本P63练习1-3，P64 A 组62. 课外完成：P64 A 组4及同步练习2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）班级： 组别： 姓名： 组评： 师评：【自学内容提炼】一、例题探究：自学课本例4，掌握抛物线的焦半径、焦点弦弦长公式探究焦点弦的常用性质：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，1122(,),(,)A x y B x y ，点F 是抛物线的焦点，AB 的倾斜角为θ，过A 、B 分别作准线l 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，则有以下结论：（1）1222sin p AB x x p θ=++=（2）112AF BF p +=（3）22sin ABCp S θ∆=（4）CF FD ⊥（5）以AB 为直径的圆与准线l 相切（6）以CD 为直径的圆与AB 切与点F（7）221212122,,4sinp p y y p x x y yθ=-=-=二、提出疑点与解决：【达标训练】1. 课内完成：P64 B组22. 课外完成：P68 A组6、7及同步练习。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质一导学案无答案新人教A版(1)
§2.3.2抛物线的简单几何性质（一）【自主学习】阅读课本P-P 内容，完成导学案自主学习内容. 一．学习目标掌握双曲线的简单几何性质及其应用 二．自主学习三．自主检测1、过定点(0,2)P 作直线l ，使l 与曲线24y x =有且仅有1个公共点，这样的直线l 有 条。
2、抛物线2y x =上到焦点距离等于2的点的坐标是 。
3若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m ＝ 。
答案：1.2; 2.7(4或7(,4； 3.8± §2.3.2抛物线的简单几何性质（一）【课堂检测】1、0(,2)P x 是抛物线24y x =上任一点，则P 到焦点的距离是 。
2、抛物线216y x =上一点P 到x 轴的距离为12，则点||PF ＝ 。
3．抛物线28y x = 上一点 P 到顶点的距离等于它到准线的距离，点P 坐标是【拓展探究】探究一：已知2(2,1),4A y x -=-的焦点是F ，P 是抛物线上一点，则使||||PA PF +取得最小值的点P 的坐标为 。
探究二：已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ，它到焦点F 的距离为5，求OFM ∆的面积。
【当堂训练】1.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝ 。
2.抛物线的焦点F 在x 轴上，点(,3)A m -在抛物线上，且||5AF =，求抛物线的标准方程。
3.已知点(3,2)A ，F 为抛物线22y x =的焦点，在抛物线上求一点M ，使||||MA M F +最小并求出这个最小值。
小结与反馈：1. 类比椭圆、双曲线的几何性质，推导抛物线的几何性质，需注意抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线.2.解题时注意数形结合的数学思想方法【课后拓展】1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，求这个正三角形的边长．2.已知抛物线24x y =，点P 是此抛物线上一动点，点A 的坐标为(12,6)，求点P 到点A 的距离与到x 轴距离之和的最小值。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质课
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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抛物线的简单几何性质一、选择题(每小题5分，共25分）（2016·吉安高二检测)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点，｜AF|+|BF|=3，1。
则线段AB的中点到y轴的距离为（）A。
B。
1 C.D。
【解析】选 C.由抛物线的定义,有｜AF｜+|BF|=+=x A+x B+p=3,故x A+x B=3-p=，故线段AB的中点到y轴的距离为。
【延伸探究】若将上题改为F是抛物线x2=2y的焦点，A,B是抛物线上的两点，｜AF|+|BF｜=6，则线段AB的中点到x轴的距离为.【解析】｜AF｜+｜BF｜=6,由抛物线的定义可得|AD｜+｜BE|=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=—的距离为（｜AD|+|BE|)=3,所以线段AB的中点到x轴的距离为.答案:2.（2016·温州高二检测)已知抛物线y2=6x的焦点为F,准线为1,点P为抛物线上一点,且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF｜=2，则直线AF的倾斜角为( )A。
B. C.D。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课件2新人教A
为由:条y2件=2(ptxiáojiàn)可得A (代40入,30方), 程得:
302=2p·40 解之: p= 45
4
故所求抛物线的标准方程为: y2=
45
2 x,
焦点为( 45 ,0)
8
第四页，共18页。
思考：设M x0 , y0 是抛物线y2 2 px上的任一点,
F是其焦点,求 | MF | .
解 :由问题2知: AB 2 p
sin2 sin2 1 2 p 2 p,
sin2
AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :
1通径的长度 : 2 p; 2 通径越大, 抛物线开口越大; 3 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.
第十二页，共18页。
例3.(抛物线的焦点弦问题)
解:
koA
y1 x1
y1 y12
2p y1 , koB1
y2 p
2 y2 , p
2p
2
而y1 y2
p2 , koA
2p p2
2 y2 p
koB1 ,
y2 A,O, B1三点共线. 同理可证( 2), (3), ( 4).
第十五页，共18页。
例3.(抛物线的焦点弦问题)
已知过抛物线y2 2 px p 0的焦点F的直线l交抛 物线于A x1, y1 , B x2 , y2 两点.
AF
P
BF
P FA FB p
解法2 : 若直线l的斜率不存在,结论显然成立,
若直线l的斜率存, 设为k , 则
y
k(x
p) 2
y2 2 px
k 2 x2 p(k 2 2)x k 2 p2 0 4
1 1 1 1 2
2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质学案新人教A版选修1_1
2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标：1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．抛物线的几何性质直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．[基础自测]1．思考辨析(1)抛物线关于顶点对称． ( ) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心． ( ) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.【导学号：97792102】2 [F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1. ∴AF ⊥x 轴，∴|BF |＝|AF |＝2.][合 作 探 究·攻 重 难]弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] (1)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [答案] y 2＝3x 或y 2＝－3x(2)由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba＝3，即渐近线方程为y ＝±3x . 而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－3p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，3p 2，从而△AOB 的面积为12·3p ·p2＝3，可得p ＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y 2＝4x .1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x C [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C.]方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.①求该抛物线的方程；②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[思路探究] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解． ②根据(1)求出点A 、B 的坐标，设出点C 的坐标，由OC →＝OA →＋λOB →，可用λ表示点C 的坐标，最后根据点C 在抛物线上求出λ值．[解] (1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)， 即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4. ∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)， 即4x －y －15＝0.法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标， 由根与系数得y 1＋y 2＝8k.又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0.(2)①直线AB 的方程是y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .②由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.2．(1)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．y 2＝4x [设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②，②－①整理得y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2又y 2－y 1x 2－x 1＝1，y 1＋y 2＝4，所以2p ＝4. 因此抛物线C 的方程为y 2＝4x .](2)直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程.【导学号：97792103】[解] 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若直线l 与x 轴垂直，则直线l 的方程为x ＝1， 此时|AB |＝4，不合题意，所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8，所以2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[思路探究] (1)直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，根据定点与抛物线的位置关系判断． (2)直线与抛物线方程联立，根据“Δ”的正负判断．[解析] (1)直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C.[答案] C(2)由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2) 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x ＋，y 2＝4x(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①. Ⅰ：当k ＝0时，由方程①得y ＝1， 把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. Ⅱ：当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点．b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12.于是k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．3．若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax (a ≠0)恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．[解] 因为直线l 与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋x －1，y 2＝ax 只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程． 令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45.所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45.1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．2．如何求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小值？ 提示：法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8＝153t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. ∴当t ＝23时，d 有最小值43.法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.如图235所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图235(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值.【导学号：97792104】[思路探究] 第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA 与PB 两条直线的倾斜角互补与直线AB 的斜率联系起来．[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1.图236[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)记Q 的轨迹为曲线E ，过点F 作两条互相垂直的直线交曲线E 的弦为AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 过定点(3,0)．如何求解？[解] (1)因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0.于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋1，－2m .因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2mm 2＋－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0.显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6yC [由题意知抛物线方程为x 2＝±2py ，且p2＝3，即p ＝6，因此抛物线方程为x 2＝±12y .]2．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A.12B.14C.16D.18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12.] 3．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14， ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154， 故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________.【导学号：97792105】(4,2) [由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2y 2＝4x 得x 2－8x ＋4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，故线段AB 的中点坐标为(4,2)．]5．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24. ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝1－2b . ∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3 2.3.2 抛物线的简单几何性质(教师用书)教案 新人教A
2.3.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图形性质焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R性质对称轴x 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率 e ＝1直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .3．直线与抛物线的位置关系 直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，假设Δ>0，那么直线与抛物线有两个不同的公共点；假设Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；假设Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，那么抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4xC [由准线方程为x ＝－2，可知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝2px ＝8x .]2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，假设x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4B [|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]3．直线y ＝2x －1与抛物线x 2＝12y 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2＝12y ，得2x 2－2x ＋1＝0，即Δ＝4－8<0， ∴y ＝2x －1与x 2＝12y 无交点，应选C ．]抛物线的几何性质物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[解] 当焦点在x 轴的正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)．当x ＝p2时，y ＝±p ，由|AB |＝2p ＝8，得p ＝4.故抛物线方程为y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2. 当焦点在x 轴的负半轴上时， 设方程y 2＝－2px (p >0)．由对称性知抛物线方程为y 2＝－8x ， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为p 2.[跟进训练]1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33xC [设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，那么有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .应选C ．]抛物线的焦点弦问题(1)假设直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)假设|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．[思路点拨] (1)设出l 的方程，与抛物线联立，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用|AB |＝x A ＋x B ＋p 求解．(2)由代数法或几何法求解． [解](1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.法二：如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，ME ⊥l ，易知|ME |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝12×9＝92.1．AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)；(3)S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；(4)1|AF |＋1|BF |＝2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .[跟进训练]2．过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解]由于抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4. 由p >0，可得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .直线与抛物线的位置关系1．过点(1,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个公共点的直线有几条？提示：两条，如图．2．借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？ 提示：不一定．当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切．[例3] 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点？ (2)两个公共点？ (3)没有公共点？[思路点拨]联立方程组――→消元关于x 的方程――――――――――――→讨论x 最高项的系数再分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三类求解[解]将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离．综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)假设k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)假设k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．[跟进训练]3．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． [解]如下图，假设直线的斜率不存在， 那么过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．假设直线的斜率存在，设为k ，那么过P 的直线方程为y ＝kx ＋1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0， 当k ＝0时，得x ＝12，y ＝1.故直线y ＝1与抛物线相交，只有一个公共点． 当k ≠0时，由直线与抛物线只有一个公共点， 那么Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，∴k ＝12，此时直线y ＝12x ＋1与抛物线相切，只有一个公共点．∴y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法〞的运用．3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．1．判断正误(1)在抛物线y 2＝2px (p >0)中，p 值越大，抛物线的开口越开阔，p 值越小，开口越扁狭．( )(2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形． ( ) (3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．( )(4)直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线相切．( ) (5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√2．假设抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B 且AB 垂直于x 轴，假设|AB |＝22，那么抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，那么焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，那么此抛物线的方程为( )A ．y 2＝3xB ．y 2＝9xC ．y 2＝32xD ．y 2＝92xA [过A 、B 作l 的垂线，分别交l 于A 1、B 1点． 因为|BB 1|＝|BF |，|BC |＝2|BF |，所以∠B 1BC ＝60°， 所以∠A 1AF ＝60°，又因为|AA 1|＝|AF |，所以|A 1F |＝3，所以|O 1F |＝32＝p ，所以抛物线的方程为y 2＝3x .]4．抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点的距离为6.(1)求抛物线C 的方程；(2)假设抛物线C 与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．[解] (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，因为P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以4＋p2＝6，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.因为直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同的两点A ，B ，那么有k ≠0，Δ＝64(k ＋1)>0， 解得k >－1且k ≠0. 又x 1＋x 22＝2k ＋4k2＝2，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)，所以k 的值为2.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的
问题1:类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论抛物线哪些几何性质? 答案:可以讨论抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 问题2:与椭圆、双曲线相比较,抛物线的几何性质有哪些不同? 答案:抛物线只有一条对称轴、一个顶点,它没有对称中心,抛物线的离心率 是常数1.
解:设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)因为 y2=4x,所以 F(1,0),又因为直线 l 的斜率为 1, 所以直线 l 的方程为 y=x-1,代入 y2=4x,得 x2-6x+1=0,
由根与系数的关系得
(5)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切.
(6)∠CFD=90°.
(7)|AB|= 2 p (α 为直线 AB 的倾斜角) sin2
知识点三 直线与抛物线的位置关系
梳理 设直线方程为y=kx+b,抛物线方程为y2=2px(p>0),两方程联立并消 去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0. (1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行(b=0时重合),直线与抛物线有一 个交点; (2)当k≠0时,若Δ >0,直线与抛物线有两个不同的交点;若Δ =0,直线与抛 物线相切,有一个公共点; 若Δ <0,直线与抛物线相离,没有公共点.
准线 方程
e= 1 .
x p 2
.
x p 2
.
y p 2
.
y p 2
.
范围 x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口 方向
向右
向左
向上
向下
焦半径 (其中 P(x0,
p
|PF|= x0 2
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质导学案(答案不全)新人教A版选修1-
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抛物线的几何性质1.理解抛物线的几何性质，并能解决相关问题。
重点:抛物线的几何性质．难点：抛物线的几何性质及相换问题的应用．方法:合作探究一新知导学1．抛物线y2＝2px（p>0）的简单几何性质(1）对称性：以－y代y，方程y2＝2px(p>0）不变，因此这条抛物线是以__________轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的__________，抛物线只有一条对称轴．（2)顶点：抛物线和它的__________的交点叫做抛物线的顶点．（3）离心率：抛物线上的点到__________的距离和它到__________的距离的比，叫做抛物线的离心率，（4）通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径,其长为__________.(5）范围：由y2＝2px≥0，p〉0知x≥0，所以抛物线在y轴的__________侧；当x的值增大时，|y｜也__________，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p值越大，它开口__________．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A（x0，y0）,则四种标准方程形式下的焦半径公式为：3。
2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质学案 新人教A版选修1-
2.3.2 抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用.(重点))2.掌握直线与抛物线的位置关系.(难点[基础·初探]教材整理抛物线的简单几何性质阅读教材P60思考～例3以上部分，完成下列问题.1.抛物线的几何性质2.直线与抛物线的位置关系及判定判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形.( ) (2)抛物线没有渐近线.( )(3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .( )(4)直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×[小组合作型]16，则抛物线方程为________.【自主解答】 因为过焦点且与对称轴y 轴垂直的弦长等于p 的2倍，所以2p ＝16. 故所求抛物线方程为x 2＝±16y . 【答案】 x 2＝±16y(2)已知抛物线的方程为y ＝ax 2(a ≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程. 【导学号：97792029】【自主解答】 抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay (a ≠0).当a ＞0时，抛物线开口向上，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .当a ＜0时，抛物线开口向下，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 综上所述，抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .把握三个要点确定抛物线简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.[再练一题]1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.【解】 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k (k ∈R ).当k为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？【精彩点拨】 要解决这个问题，只需讨论直线l 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l 与抛物线的位置关系.【自主解答】 由题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，把直线l 的方程和抛物线的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x ＋，y 2＝4x ，(*)消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①(1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x 中，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1). ①由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12.于是，当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点.②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解.这时，直线l与抛物线有两个公共点.③由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12.于是，当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，这时，直线l与抛物线没有公共点.综上，我们可得：当k ＝－1或k ＝12或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点.1.直线与抛物线的位置关系判断方法通常使用代数法：将直线的方程与抛物线的方程联立，整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，利用判别式解决.Δ＞0⇒相交；Δ＝0⇒相切；Δ＜0⇒相离.(2)当a ＝0时，方程只有一解x ＝－cb，这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切，这是因为平行于抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点，而这时抛物线与直线是相交的.[再练一题]2.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B.[－2,2] C.[－1,1]D.[－4,4]【解析】 抛物线y 2＝8x 的准线(直线x ＝－2)与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋，消去y ，得k 2x 2＋(4k2－8)x ＋4k 2＝0，由其判别式Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1.故选C.【答案】 C[探究共研型]探究 直线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，能否用A ，B 点的坐标表示弦长|AB |?【提示】 由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程.【精彩点拨】 本题考查抛物线的焦点弦的性质及抛物线的标准方程问题，可根据已知条件利用待定系数法求解.【自主解答】 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A 、B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A 1、B 1.则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1| ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .代入①式，得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.2.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.[再练一题]3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________. 【导学号：97792030】【解析】 抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7， 得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.【答案】 721.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A.(6，＋∞)B.[6，＋∞)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)【解析】 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞). 【答案】 D2.已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 【解析】 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0).又∵点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点. 【答案】 C3.过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________. 【解析】 由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x ，得(x －2)2＝8x ，即x 2－12x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝12，弦长＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.【答案】 164.已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________. 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14，∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4， ∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158. 【答案】1585.如图233，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .图233(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【导学号：97792031】【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离. 即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质(第2课时)抛物线的几何性质的应用学案(含解析)新人
学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系与公共点个数2.直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与 抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × ) 2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝x 1＋x 2＋p .( × ) 3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )题型一 直线与抛物线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ，问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)． (1)若直线与抛物线有两个交点， 则k 2≠0且Δ>0， 即k 2≠0且16(1－k 2)>0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)． 所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点， 则k 2＝0或当k 2≠0时，Δ＝0， 解得k ＝0或k ＝±1.所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点， 则k 2≠0且Δ<0. 解得k >1或k <－1. 所以当k >1或k <－1时， 直线l 和抛物线C 无交点．反思感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练1 平面内一动点M (x ，y )到定点F (0,1)和到定直线y ＝－1的距离相等，设M 的轨迹是曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)在曲线C 上找一点P ，使得点P 到直线y ＝x －2的距离最短，求出P 点的坐标； (3)设直线l ：y ＝x ＋m ，问当实数m 为何值时，直线l 与曲线C 有交点？ 解 (1)x 2＝4y .(2)设点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 204，点P 到直线y ＝x －2的距离为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－x 204－22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 204－x 0＋22＝14x 0－2＋12，当x 0＝2时，取得最小值，此时P (2,1)．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x ＋m ，得x 2－4x －4m ＝0，Δ＝42－4×(－4m )≥0，m ≥－1.所以当m ≥－1时，直线l 和曲线C 有交点． 题型二 与弦长中点弦有关的问题例2 已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．解 (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.由②－①得，(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2. 所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0.反思感悟 中点弦问题有两种解法：(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k ＝y 1－y 2x 1－x 2求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率． 跟踪训练2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.解 方法一 由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0. 当k ＝0时，y ＝1，显然不成立． 当k ≠0时，Δ＝62－4k (－24k ＋6)>0.① 设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24kk.∵P 1P 2的中点为(4,1)， ∴6k＝2，∴k ＝3，适合①式．∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋1922－－＝22303.方法二 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． 则y 21＝6x 1，y 22＝6x 2，∴y 21－y 22＝6(x 1－x 2)，又y 1＋y 2＝2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴所求直线的斜率k ＝3， 所求直线方程为y －1＝3(x －4)， 即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －11，y 2＝6x ，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2 ＝1＋19·22－－＝22303.题型三 抛物线性质的综合应用命题角度1 抛物线中的定点(定值)问题例3 已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB . (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB 过定点．(1)解 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则有k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2.因为OA ⊥OB ，所以k OA ·k OB ＝－1， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0.因为y 1≠0，y 2≠0， 所以y 1y 2＝－4p 2， 所以x 1x 2＝4p 2.(2)证明 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2， 所以k AB ＝2py 1＋y 2， 故直线AB 的方程为y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， 即y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.因为y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2，所以y ＝2py 1＋y 2(x －2p )， 即直线AB 过定点(2p,0)．反思感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 方法一 设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为－k . 把直线AB 的方程y －2＝k (x －4)与y 2＝x 联立得y －2＝k (y 2－4)，即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一个解， ∴2y B ＝－4k ＋2k ，∴y B ＝1－2kk，∴x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k2， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ＋4k 2k 2，1－2k k .∵k AC ＝－k ，∴以－k 代替k 代入B 点坐标得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k ＋4k 2k 2，1＋2k －k . ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k2＝－14，为定值．方法二 设B (y 21，y 1)，C (y 22，y 2)，则k BC ＝y 2－y 1y 22－y 21＝1y 2＋y 1. ∵k AB ＝y 1－2y 21－4＝1y 1＋2，k AC ＝y 2－2y 22－4＝1y 2＋2， 由题意得k AB ＝－k AC ， ∴1y 1＋2＝－1y 2＋2，则y 1＋y 2＝－4， 则k BC ＝－14，为定值．命题角度2 对称问题例4 在抛物线y 2＝4x 上恒有两点A ，B 关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围． 解 因为A ，B 两点关于直线y ＝kx ＋3对称， 所以可设直线AB 的方程为x ＝－ky ＋m . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线AB 的方程代入抛物线方程，得y 2＋4ky －4m ＝0， 设AB 的中点坐标为M (x 0，y 0)， 则y 0＝y 1＋y 22＝－2k ，x 0＝2k 2＋m .因为点M (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋3上， 所以－2k ＝k (2k 2＋m )＋3，即m ＝－2k 3＋2k ＋3k.因为直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点， 所以Δ＝16k 2＋16m >0， 把m ＝－2k 3＋2k ＋3k代入，化简，得k 3＋2k ＋3k<0，所以k ＋k 2－k ＋k<0.因为k 2－k ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122＋114>0，所以k ＋1k <0，解得－1<k <0.反思感悟 轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．跟踪训练4 已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，求A ，B 两点间的距离．解 由题意可设l ：y ＝x ＋b ，把直线方程代入y ＝－x 2＋3中，得x 2＋x ＋b －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2b －1. 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b －12，因为该点在直线x ＋y ＝0上． 所以－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12＝0，得b ＝1.所以|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2－2－－＝3 2.所以A ，B 两点间的距离为3 2.与抛物线有关的最值问题典例 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离． 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线的综合问题解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点， 则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离 d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203 ＝35⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋43.所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[素养评析] (1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决．二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得．(2)探究运算思路，选择运算方法，能提升数学运算能力，同时促进数学思维发展，形成良好的数学运算素养．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案 B解析 当斜率不存在时，过P (0,1)的直线是y 轴，与抛物线y 2＝x 只有一个公共点． 当斜率存在时，设直线为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝kx ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0， 当k ＝0时，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －1)2－4k 2＝0， 得k ＝14.∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条．2．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( ) A ．2∶ 5 B ．1∶2 C ．1∶ 5 D ．1∶3答案 C解析 如图所示，由抛物线定义知|MF |＝|MH |，所以|MF |∶|MN |＝|MH |∶|MN |. 由△MHN ∽△FOA ， 则|MH ||HN |＝|OF ||OA |＝12，故|OF ||AF |＝15， 则|MH |∶|MN |＝1∶5，即|MF |∶|MN |＝1∶ 5.3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，设C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43 答案 D解析 ∵点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线x ＝－p 2上，∴－p2＝－2，p ＝4，∴抛物线C ：y 2＝8x .设直线AB 的方程为x ＝k (y －3)－2，①将①与y 2＝8x 联立，得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0，② 令Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0， 解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝－12时，切点在第四象限，与题意不符，舍去．将k ＝2代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)．又F (2,0)，∴k BF ＝43.故选D.4．过抛物线y 2＝4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM ，ON ，则M 的横坐标x 1与N 的横坐标x 2之积为________． 答案 16解析 由已知设OM 的斜率为k ，则ON 的斜率为－1k.从而OM 的方程为y ＝kx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ，解得M 的横坐标x 1＝4k2.同理可得N 的横坐标x 2＝4k 2，可得x 1x 2＝16.5．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝ax ，消去y ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0， 由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又∵x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，∴|AB |＝＋22x 1＋x 22－4x 1x 2]＝35，即5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45，∴a ＝4或a ＝－36.∴所求抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．一、选择题1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D解析 设直线方程为2x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋m ＝0，y ＝x 2，得x 2－2x －m ＝0， Δ＝4＋4m ＝0，∴m ＝－1， ∴直线方程为2x －y －1＝0.2．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝20x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积是( )A ．5πB ．9πC ．16πD ．25π 答案 D解析 抛物线D ：y 2＝20x 的准线方程为x ＝－5. 圆C 的圆心(－2,0)到准线的距离d ＝3. 又由|AB |＝8， ∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝25，故圆C 的面积S ＝25π，故选D.3．已知抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(0,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交， 设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，即4x 2－4x －m ＝0.①设此直线与抛物线相切有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，得x ＝12，y ＝1，所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 4．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．22B ．23C ．4D ．2 5 答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4B ．8C ．16D ．32 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的其他应用 答案 B解析 易知F (2,0)，K (－2,0)，过点A 作AM 垂直准线于点M ，则|AM |＝|AF |.∴|AK |＝2|AM |，∴△AMK 为等腰直角三角形． 设A (m 2,22m )(m >0)，则△AFK 的面积S ＝12×22m ×4＝42m .又由|AK |＝2|AM |，得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2， 解得m ＝ 2.∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2 D ．3答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4，∴k ＝2或－1，经判别式检验知k ＝2符合题意．7．已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( ) A.13B.23C ．22D.223 答案 D解析 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为m ：x ＝－2. 直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2,0)，如图，过点A ，B 分别作AM ⊥m 于点M ，BN ⊥m 于点N . 由|AM |＝2|BN |，得点B 为AP 的中点，连接OB ， 则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1， ∴点B 的坐标为(1,22)．把B (1,22)代入直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)， 解得k ＝223，故选D.二、填空题8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由题意知机器人进行的轨迹为以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)． 代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0. ∵机器人接触不到该直线， ∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，∴k 2>1，∴k >1或k <－1.9．抛物线焦点在y 轴上，截得直线y ＝12x ＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________． 答案 x 2＝－20y 或x 2＝4y解析 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝12x ＋1，得x 2－a2x －a ＝0.设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a2，x 1x 2＝－a ，|AB |＝1＋14·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·a 24＋4a ＝5，得a ＝－20或4，经检验，a ＝－20或4都符合题意． ∴抛物线方程为x 2＝－20y 或x 2＝4y .10．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称．若2x 1x 2＝－1，则2m 的值是________． 答案 3解析 由题意，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 22－2x 21x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＋x 1＝－12.∵y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m ，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ， ∴2x 21＋2x 22＝－12＋2m ，即2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝－12＋2m ，∴2m ＝3.11．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析 抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y 23＝1，得|x |＝3＋p 24.若△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p ＝3＋p 24p＝33， 解得p 2＝36，p ＝6. 三、解答题12．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)证明 如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝－1k.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上， 所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2， 所以y 21·y 22＝x 1x 2. 因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解 设直线与x 轴交于点N ，显然k ≠0， 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)， 因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12|ON |·|y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4. 因为S △OAB ＝10， 所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4. 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线l 过定点(2,0)．14．如图，已知点F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 是其准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于A ，B 两点．若点P 的纵坐标为m (m ≠0)，点D 为准线l 与x 轴的交点，则△DAB 的面积S 的取值范围为________．答案 (4，＋∞)解析 由抛物线C ：y 2＝4x 可得焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线PF 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 22－4＝＋k2k 2. 点D (－1,0)到直线AB 的距离d ＝|2k |k 2＋1，∴S ＝12d ·|AB |＝|k |1＋k 2·＋k2k2＝41k 2＋1＞4，∴△DAB 的面积S 的取值范围为(4，＋∞)．15．已知F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (4,2)为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，|PA |＋|PF |的最小值为8. (1)求抛物线的方程；(2)是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B ，C 两点(异于坐标原点)，且以BC 为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设抛物线的准线为l ，过点P 作PD ⊥l 于点D ，过A 作AE ⊥l 于点E (图略)． 由抛物线的定义，知|PF |＝|PD |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PD |≥|AE |，当且仅当A ，P ，E 三点共线时取等号． 由题意知|AE |＝8，即4＋p2＝8，得p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x .(2)假设存在点M ，当直线BC 的斜率存在时，设过点M 的直线方程为y ＝kx ＋b . 显然k ≠0，b ≠0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 由以BC 为直径的圆恰好过坐标原点，得OB →·OC →＝0， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，把y ＝kx ＋b 代入y 2＝16x ，得k 2x 2＋2(bk －8)x ＋b 2＝0，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－bk －k 2，x 1x 2＝b2k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2， 所以y 1y 2＝16bk，所以16b k ＋b2k2＝0，得b ＝－16k .所以过点M 的直线方程为y ＝kx －16k ＝k (x －16)，必过定点(16,0)．当直线BC 的斜率不存在时，直线x ＝16交抛物线于B (16，－16)，C (16,16)或B (16,16)，C (16，－16)，仍然有OB →·OC →＝0. 综上，存在点M (16,0)满足条件．。
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2．3.2 抛物线的简单几何性质[提出问题]问题1：抛物线有几个焦点？ 提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？ 提示：不对．问题3：抛物线y 2＝2px 有对称性吗？ 提示：有，关于x 轴对称． [导入新知]抛物线的简单几何性质[化解疑难]1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．2．p 的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.[例1] 若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解] 如图所示．设A (x 0，y 0)，由题意可知B (x 0，－y 0)，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0是△AOB 的垂心， 则AF ⊥OB ， ∴k AF ²k OB ＝－1， 即y 0x 0－p 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 0x0＝－1，∴y 20＝x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，又y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ＋p 2＝5p2.因此直线AB 的方程为x ＝5p2.[类题通法]根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p2，∴A ，B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ， ∴|AB |＝2|p |. ∵△OAB 的面积为4， ∴12²p2²2|p |＝4， ∴p ＝±2 2.∴抛物线方程为y 2＝±42x .[例2] 若抛物线y 2＝4x 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A ，B ，求证：OA ⊥OB .证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16. ∵OA ―→²OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4) ＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4³12＋16＝0， ∴OA ―→⊥OB ―→，即OA ⊥OB . [类题通法]将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解：显然，直线斜率k 存在， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋3 ，y 2＝4x ，消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件．(2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，16－4k 8＋12k ＝0，得k ＝13或k ＝－1.所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0.[例3] 离的最小值．[解] 法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝＝| y 0－1 2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝524，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4³2m ＝0， ∴m ＝12.∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝524，此时点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.[类题通法]解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]点P 在抛物线2y 2＝x 上，点Q 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，求|PQ |的最小值．解：圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为M (2,0)， 设P (2y 21，y 1)，则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫y 21－782＋1516≥1516，∴|PM |≥154， ∴|PQ |min ＝|PM |min －1＝154－1.4.探究抛物线中焦点弦问题[典例] 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点．求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p .[证明] (1)过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝kx －p2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，得ky 2－2py －kp 2＝0.∵AB 与抛物线有两个交点，∴k ≠0.由根与系数的关系得y 1y 2＝－p 2. 又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴x 1x 2＝y 212p ²y 222p ＝ y 1y 2 24p 2＝p 24. 当直线AB 的方程为x ＝p 2时，x 1x 2＝p 24，y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2.(2)由抛物线的焦半径可知： |AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . [多维探究]解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．1．若本例中，AB 是经过焦点且倾斜角为π4的直线l 被抛物线所截得的弦，其弦长为6，求抛物线方程．解：直线l 的方程可写为y ＝x －p2.因|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∴x 1＋x 2＝6－p .①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ， 即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式， 得3p ＝6－p ， ∴p ＝32.∴抛物线的标准方程是y 2＝3x .2．在本例条件下，试求1|AF |＋1|BF |的值．解：设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或x ＝p2.当直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.∵AB 与抛物线有两个交点， ∴k ≠0.∴x 1＋x 2＝p k 2＋2 k 2，x 1x 2＝p 24.又|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2， ∴|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p . |AF |²|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1x 2＋p2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 2(x 1＋x 2)＋p 22 ＝p 2(x 1＋x 2＋p ) ＝p2(|AF |＋|BF |)， 即|AF |＋|BF |＝2p²|AF |²|BF |，∴1|AF |＋1|BF |＝2p. 当直线AB 的方程为x ＝p2时，x 1＝x 2＝p2，y 1＝p ，y 2＝－p .∴|AF |＝|BF |＝p . ∴1|AF |＋1|BF |＝2p . 3．在本例条件下，若M 是AB 的中点，过点A ，B ，M 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1.试证：(1)以AB 为直径的圆与准线l 相切； (2)∠AM 1B ＝90°； (3)∠A 1FB 1＝90°. 证明：如图．(1)∴|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. ∴以AB 为直径的圆与准线l 相切．(2)由(1)知，以AB 为直径的圆与准线l 相切于点M 1， 则∠AM 1B ＝90°.(3)如图：∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， ∴∠AA 1F ＝∠AFA 1， ∠BB 1F ＝∠BFB 1.又AA 1∥x 轴，BB 1∥x 轴， ∴∠AA 1F ＝∠A 1FO ， ∠BB 1F ＝∠B 1FO .∴∠AFA 1＝∠A 1FO ，∠BFB 1＝∠B 1FO . ∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°， 即∠A 1FB 1＝90°.[随堂即时演练]1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， ∴p2＝3，即p ＝6. 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为p2，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．2．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.由Δ＝(4k ＋8)2－16k 2＞0，得k ＞－1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)．3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：84．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋12＝0的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝72，∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝94.答案：945．已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长|AB |＝35，求m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1²x 2＝m 24，∴|AB |＝ 1＋k 2x 1＋x 2 2－4x 1x 2 ＝ 1＋221－m 2－4²m 24＝ 5 1－2m .由|AB |＝3 5，即 5 1－2m ＝3 5， 解得m ＝－4.[课时达标检测]一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22x D ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0，即p 2＝112， ∴p ＝11，∴抛物线的方程是y 2＝－22x .2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→²AF ―→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )， OA ―→²AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4，② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA ―→ |＋| FB ―→|＋|FC ―→|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3³12＝32，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．(全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)．∴C 的焦点到准线的距离为4.二、填空题6．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是________________．解析：顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py 或x 2＝2py (p ＞0)． 由顶点到准线的距离为4知p ＝8，故所求抛物线的方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y . 答案：x 2＝16y 或x 2＝－16y7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52.因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.答案：728．过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________. 解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2， 与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ， 故A －33p ，16p ，B 3p ，32p ， 所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13.答案：13三、解答题9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个正三角形的边长．解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0， 整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. 因为x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， 所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即点A ，B 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p . 所以|AB |＝2y 1＝43p .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3.∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1 ，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2＞4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。