高次方程解法

当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
1．卡尔丹公式
一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω，
２．盛金公式
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
【盛金公式】
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
【盛金定理】
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。
一般式一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式，
可化为适合卡尔丹公式求解的特殊型三次方程Y^3＋pY＋q=0。
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)
【盛金判别法】
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根；
②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；
③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；
y是一元三次方程
8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0
的任一实根。
7.三次方程解法
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
所有根相加等于系数bn-1的相反数
所有根两两相乘再相加等于系数bn-2
所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数
依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb0
5.阿贝尔定理
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
令a=1，则
X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，
此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；
2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中
M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。
重根判别式：
A=b^2－3ac；
B=bc－9ad；
C=c^2－3bd，
总判别式：
Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：
X⑴=－b/a＋K；X⑵=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：
X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；
X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)；
所以高次方程一般形式又可写为
x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=0
3.高次方程解法思想
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解
4.高次方程根与系数的关系+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有
1.高次方程的定义
整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式 高次方程的一般形式为
anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0
等式两边同时除以最高项系数，得：
anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0
X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)；
X(2，3)=(－2b＋Y⑴^(1/3)＋Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)；
其中Y(1，2)=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法
卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】
一元四次方程
aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，
（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。