第十六章分式计算
第十六章分式复习
第十六章分式知识点和典型例习题第一讲 分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac ∙=,b c b d bda d a c ac ÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 1-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+. 【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）112---a a a（4）mn mn m n m n n m ---+-+22；（5） 2121111x x x ++++- （6）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
八年级数学下册 第16章 分式 16.2 分式的运算 第2课时 分式的加减法课件
第十五页，共二十四页。
1 7．计算：(1)[2018·自贡]x＋1 1＋x2－2 1＝__x_－__1_．
1 (2)[2018·沈阳]a22－a 4－a－1 2＝__a_＋__2_． 8．计算： (1)x2－x21－x－1； (2)(x－3x2－x＋x 2)·x2－x 4.
第六页，共二十四页。
类型之二 异分母分式的加减运算
计算：(1)a6－ab92b－a9＋a23bb； (2)a22－a 4－a－1 2.
解：(1)3a2－1289aa2bb－2 6b2
1 (2)a＋2
【点悟】 异分母分式相加减时，先通分，化为同分母分式后再进行加 减．整式一般可以看成分母为1的式子，最好整体考虑，便于计算．
(2)进行分式混合运算时，要灵活地运用交换律、结合律和分配律．
第五页，共二十四页。
归类探究
[学生(xué sheng)用书P8]
类型之一 同分母分式的加减运算
计算：
(1)a＋a2b＋b2a＋＋2bab；(2)mn＋－2mn－m－n n－n－2nm.
解：(1)a＋bm＋n (2n－m【点悟】 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，最后结果 要化成最简分式或整式．
情景问题引入 将价值200元的甲种糖果和价值480元的乙种糖果混合成什锦糖，其单 价比原甲糖少3元，比原乙糖多1元．已知什锦糖单价为x，那么： (1)甲糖、乙糖各有多少千克？(用含有x的代数式表示) (2)乙糖比甲糖多多少千克？(3)甲、乙两种糖共有多少千克？ 如何列式计算？
第二页，共二十四页。
知识管理
解：(1)xx2－＋11 (2)2x＋8
第十六章分式-精选.ppt
a n b
a n b n.
分式的乘方法则：
分式的乘方,把分子分母分别乘方.
•
a 即：
是正整数）
例题2:
(1)
( 3x )2 2y
(3x)2 32x2 (2y)2 22y2
9x2 4y2
(2)
(ab)3 2c
(ab )3
2c
(ab )3 (2c)3
a3b3 8c3
(am)n a mn (ab)n anbn
a a a n中的 可以是数,也可以是整式,那
可不可以是一个分式呢?即两个整式的商
n 的次 方? 即
( a )n
?
b
动脑筋
填一填：
a2 b
ba
ba
ba
2
2
;
a3 b
ba
a
b
ba
ba 33 ;
b a 4ba
ba
ba
ba
ba 44
;
猜想
利用率（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到
1%）.解 设易拉罐的底面半径为r由题意得，易拉罐的总数为
l b 2r 2r
lb 4r2
（个）
由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等，因此易拉罐
所占空间的总体积与纸箱的容积之比为
4 lr 2 b •r2• h lb • h l 4 r b • 2• r l2 b • • h h 4 7% 9 l
(3)
( xy )3 xy
(xy)
3
x3y3
(xy)3 (xy)3
例3:计算
(1)
2a2b 3c
2
(2) ac2bd33d2a3 •2ca2
(1)( 2x4 y2 )2 3z
第十六章本章整合分式
2
3������-1
-1=
同时乘以 2(3x-1), 得 4-2(3x-1)=3. 化简,得-6x=-3.解得 x= .
2 1
检验:x= 时,
2
1
2(3x-1)=2× 3 × -1 ≠0.
2
1
所以,x= 是原方程的解.
2
1
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11.(2012·江苏泰州中考)当 x 为何值时,分式 的值比分式 解:由题意,得
通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数. 分析:设原来每天加固 x 米,则加固了 600 米后,每天加固 2x 米,加固了 (4800-600)米.
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解:设原来每天加固 x 米,根据题意,得
600 4800-600 + =9, ������ 2������
去分母,得 1200+4200=18x(或 18x=5400), 解得 x=300. 检验:当 x=300 时,2x≠0(或分母不等于 0). ∴ x=300 是原方程的解. 答:该地驻军原来每天加固 300 米.
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=
1 ������-1
的解为(
).
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 解析:去分母,得 3x-3=2x. 移项,得 3x-2x=3, 合并同类项,得 x=3. 检验:把 x=3 代入最简公分母 2x(x-1)=12≠0,故 x=3 是原方程的解,故选 C. 答案:C
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=
1 转化为一元一次方程时,方程 ������
两边需同乘以(
).
A.x B.2x C.x+4 D.x(x+4) 解析:由两个分母 x+4 和 x 可得最简公分母为 x(x+4),所以方程两边需同乘 以 x(x+4).故选 D. 答案:D
第十六章分式的基本性质
16、 1、2分式的基本性质（1）学习目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。
2、 理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。
3、 通过类比分数的基本性质，推出分式的基本性质，在学生已有数学经验 的基础上，提高学生学数学的乐趣。
重点：分式的基本性质及其应用。
难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。
一、 预习新知：1、 小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？2 22、 分解因式（1）x -2x（ 2）3x +3xy 23、 计算：（1） b （a+b ） （2）（ 3x +3xy ）- 3x4、 你能通过小学里学过的分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试。
5、 自主探究：P 5的“思考”。
归纳：分式的基本性质： _____________________________________________________________ 用式子表示为 __________________________________________________________ 。
二、 课堂展示：1、例1、p 5的“例2”2、例2、下列分式的变形是否正确？为什么?3、例3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号:2a-©b匸 的分子与分母各项的系数化为整数。
(1) a -2b (2) -2x 3y (3)钊 -4n (4)— -4m 5n (1)xy 2 a —b ⑵THb (a-b)2 a 2 -b 24、例4、不改变分式的值，使分式三、随堂练习: 1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号: -3x / c 、 2x(1) 、( 2) 、(3)— -3b 2y -2a6x(y z)2 —3( y z) y z 四、课堂检测:1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“一”号/八-2m a (1) = 、(2) 2 - 。
n -b 23、若把分式一丄 中的x 、y 都扩大3倍，那么分式的值是 ______________________x —y4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。
(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
分式的运算
分式的运算一、分式的定义分式是由两个整数构成的比值形式，写作“a/b”，其中a称为分子，b称为分母。
分数常用于表示部分、比率、系数等概念。
二、分式的四则运算1. 分式的加法当分式的分母相同时，可以直接将分子相加，分母保持不变，即：a c a + c- + - = -----b b b例如：计算1/3 + 2/3 = 3/3 = 12. 分式的减法当分式的分母相同时，可以直接将分子相减，分母保持不变，即：a c a - c- - - = -----b b b例如：计算5/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3将两个分式相乘，分子相乘，分母相乘，即：a c a * c- * - = -----b b b * d例如：计算2/5 * 3/4 = 6/20 = 3/104. 分式的除法将一个分式除以另一个分式，即：a c a d a * d- / - = - * - = -----b d bc b * c例如：计算2/3 ÷ 1/4 = 2/3 * 4/1 = 8/3 = 2 2/3三、分式的化简1. 分式的最简形式如果一个分式的分子和分母没有相同的约数，那么这个分式就是最简形式。
例如：4/6可以化简为2/3，因为4和6的最大公约数是2，通过分子和分母同时除以最大公约数，可以得到最简形式。
将分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，得到的新分式与原分式相等，但是分子和分母的数值更小。
这个过程叫做约分。
例如：8/12可以通过约分化简为2/3。
3. 分式的通分当需要进行分式的加减运算时，如果两个分式的分母不同，需要进行通分。
通分就是让两个分式的分母相等，通过对分子和分母同时乘以一个适当的数使得分母相等。
例如：计算2/3 + 1/4，通分后的分式为8/12 + 3/12 = 11/12四、分式运算的注意事项1. 注意分母为0的情况分母为0的分式是没有意义的，因此在分式运算中，要注意分母是否为0，如果为0，需要特别处理。
华师大版八年级数学下册说课稿《第16章分式16.2.2分式的加减(第3课时)》
华师大版八年级数学下册说课稿《第16章分式16.2.2分式的加减（第3课时）》一. 教材分析华师大版八年级数学下册第16章分式16.2.2分式的加减，是学生在学习了分式的概念、分式的乘除法之后，进一步深入学习分式的加减法。
本节课的内容是分式加减法的基本运算规则，包括分式的通分、约分，以及分式的加减运算。
这部分内容是分式运算的基础，对于学生理解和掌握分式的运算法则，提高解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念，以及分式的乘除法运算。
但是，对于分式的加减法运算，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学，帮助学生理解和掌握分式的加减法运算。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解分式加减法的运算规则，掌握分式的通分、约分方法，能够正确进行分式的加减运算。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生在学习过程中获得成就感。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式加减法的运算规则，分式的通分、约分方法。
2.教学难点：分式加减法运算中，如何正确进行通分、约分，以及解决实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学，使抽象的数学概念形象化、具体化，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习分式的概念和乘除法运算，引出本节课的内容——分式的加减法运算。
2.知识讲解：讲解分式加减法的运算规则，演示通分、约分的过程，让学生在理解的基础上，掌握分式的加减法运算。
3.案例分析：分析一些实际问题，让学生运用所学的分式加减法知识，解决问题，提高学生的应用能力。
八年级数学下册第16章分式16.2分式的运算16.2.1分式的乘除课件新版华东师大版
第16章 分式
16.2 分式的运算
16.2.1 分式的乘除
1.
2 3
9 10
等于多少？
2 9 29 233 3 3 10 310 3 2 5 5
2. 2 4 等于多少？ 39
2 4 2 9 233 3 3 9 3 4 322 2
分式的乘法法则：
4xg(x 1)
3(x 1)2
4x 3x 3
4x 3(x 1)
从例2看到，有时需要把分子或分母中的某些多项
式因式分解，然后约分，化成最简分式
x2 9
x2 4x 4
(1) x2 6x 9 ; (2) x2 2x
解：(1)
x2 9 x2 6x 9
(x
3)(x (x 3)2
最简分式
计算
x 1 4x2
8x2
6x
(1) 2x x2 1; (2) x2 2x 1 x 1
(1)
x2x1gx42
x2 1
(x 1)g4x2
2xg(x2 1)
(x 1)g2x (x 1)(x 1)
2x x 1
(2)
x2
8x2 2x
1
6x x 1
x2
8x2 2x
gx 1 1 6x
8x2 g(x 1) (x2 2x 1)g6x
5-2 5
3 5
本课小结 • 本课我们学习了分式的乘除法及会对分式约分化为
最简分式
• 注意：分式乘除运算时，有时要把分子或分母中的 某些多项式因式分解，然后约去，化成最简分式.
(2) 3x2 2x x 1 x 1
2x2 解：（1）5 y
y2 x3
2x2 y2 2y 5y x3 5x
八年级数学下册第16章分式16.2分式的运算1分式的乘除ppt课件(新版)华东师大版
4y2
2x3z 4y2
2xz2
y 2xz2
2xyz 4x2y
4x 2 y
.
2xyz z
z
3ab a2 a2 b2
a 3b ab
a 3b a a b(a b)
ab a 3b
3b a(a b) a a . a b(a 3b) a b a b
【互动探究】在进行分式的乘除运算时可以先对各分式约分吗？
知识点 2 分式的乘方
【例2】计算：1
(
2y x
)2
.
2
(
2a 2 b4 5c3
)3.
【思路点拨】根据分式乘方的法则进行计算，特别注意分式本
身的符号也要同时乘方.
【自主解答】(1)
( 2y )2 x
2y 2 x 2
4y2 x2
.
2(
2a 2 b4 5c3
)3
2a2b4 3 5c3 3
8a 6 b12 125c9
b2 3a 2
.
( √)
(2)计算：y3 x2 y3 x2 y2. ( × )
x xy x xy
(3)计算：1 b a . ( √ )
ab
(4)
( y )2 2x
y2 2x 2
.
( ×)
(5) b b a b b b 1 1 . ( × )
a a a ab a
知识点 1 分式的乘除
a
D.a 2
1 a b ab；a b ab 1；
b
b a ab
1 a
1 a2
a2 a
a；a2
1 a2
a2
a2
a4.
∴选项A错误.
2.计算
华师版八年级下册数学精品教学课件 第16章 分式 分式的运算 分式的乘除
（2）高的单位面积产量 是低的单位面积产量的 多少倍？
1m am
（a-1）m
解：（1）“丰收1号”小麦的试
验田面积是（a 2-1）m2，单位
500
面积产量是a2 1 kg/m2； “丰收2号”小麦的试验田面积
是（a－1）2m2，单位面积产
量是 500
(a 1)2
kg/m2.
∵a>1,∴0＜（a－1）2, a 2-1>0，
(x y)(x y) • (x y) (x y)(x y) • x
xy x
当x=1999,y=－2000时,得
x y 1999 2000 1
x
1999
1999
二 分式的乘方
根据乘方的意义计算下列各式：
34 3333 81
2 3
2
2 3
2 3
4 9
2 3
4
2 3
例 3 若 x＝1999，y＝－2000，你能求出分式
x2 2xy y2 x y
x2 xy • x y 的值吗?
解：原式 (x y)2 • x y x(x y) x y
(x y)2 • (x y) (x y)2(x y)
x(x y) • (x y) x(x y)(x y)
6y2 x
解：（1）原式
2 y3 =
3x
4
x2 x3
y
= 2x2 y3 12x4 y
y2 = 6x2
（2）原式 = 3xy2 2y
x 6y2
=
3x2 y2 12 y3
= x2 4y
方法归纳
分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接 按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运 算步骤为：
16c(分式专题系列)八年级数学下册第十六章《分式》专题系列：分式的化简求值等专题合辑(共5个专题)
页数
26 34 12 13 23
佳文韵赢
分式专题系列
分式的化简求值
分式的化简求值
• 分式的化简求值是主要考察的数学基本技能。其中涉及的知识 点主要有分式的运算，有理数的运算。当然其中可能会运用到 分式以外的知识。化简求值的方法也是考查的一部分。主要的 化简方法有：
• 化简后直接带入 • 化简后整体代入 • 化简后自选代入 • 化简后说理
，其中x、y满足
x
2
(2x
y
3)2
0
举一反三练习解析
1解：原式 a a 1 [ a 1 ] a 1 a a 2 a(a 2)
a a 1 a2 1 a a 1 a(a 2) a 1 a a(a 2) a 1 a (a 1)(a 1)
a a2 2 a 1 a 1 a 1
x2
x 1
x(x 1) (x 2)2
x(x 2)
x2
2x
x 2 x 1
x2 2x 5 0, x2 2x 5,
原式 5
三、化简后自选代入求值
化简分式
(
a
a2 2
3a 6a
9
3
2
a
)
a2 a2 9
，并在
2、3、4、5
这四个数中取一个合适 的数作为 a的值代入求值。
例题解析
解ห้องสมุดไป่ตู้原式
a(a 3) (a 3)2
a
2
3
(a
3)(a a2
3)
a 2 (a 3)(a 3) a 3 a3 a2
当a 4时，原式 4 3 7
举一反三练习
1.化简代数式：( 3x x 1
x
x) 1
第十六章分式全章总结
全章总结一、知识结构图二、专题总结 （一）知识技能专题 ◆专题1：分式运算的常用技巧专题概说：分式的知识通过类比会发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识.从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧，无一不体现类比思想的重要性，同时运算也是中考的重要内容例1：化简 34241211111x x x x x x +++++-+解：原式=2234241211111x x x x x x x x ++++-++--=2342412121x x x x x x ++++- =2243441)1)412(12(1x x x x x x x x +--+++- =33444141x x x x -++ =344388(1)(1)4141x x x x x x +---+ =7881x x - 点拨：有些异分母分式相加，最简公分母很复杂，如果采用一般方法先通分再加减会很繁琐，甚至无法求出结果，本题先把前面两个分式相加减，再把所得结果与第三个分式相加减，顺次运算下去，即顺次相加法，就容易解决例2：计算：1111+(1)(1)(2)(2)(3)(2009)(2010)a a a a a a a a ++++++++++…解：原式=1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++（））））（（…（ =1111----12320101111+122009a a a a a a a a ++++++++++… =120101a a +—=2010(2010)a a +=220102010a a+ 点拨：对于分子相同，分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，这样的分式无法进行通分，因此，可以用公式：111(1)1n n n n =-++，这样可以抵消一些项，即巧用裂项法；要注意裂项法计算时可能会出现公式：1111(()n n k k n n k=-++）●专题1的即时练习1．计算：2411241-111x x x x ++++++ 2．计算：1271651231222++++++++x x x x x x◆专题2：与增根有关的问题专题概说：分式方程我们通常转化为已经学习过的整式方程来解决．在去分母时，方程两边同时乘以所有分母的最简公分母．这种转化可能是等价转化，也就是说转化前的分式方程的解与转化后的整式方程的解完全一致；也可能是非等价转化，即在将分式方程转化为整式方程的过程中，x 的的取值范围发生了变化，这时整式方程的解不一定是原分式方程的解，这种解题过程中增加的根称为分式方程的增根． 例3：a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 解： 在方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，得2(2)3(2)x ax x ++=-整理，得(1)10a x -=- 如果方程有增根，则x=2或-2当x=2时，(1)210a -⨯=-，解得4a =- 当x=-2时，(1)(2)10a -⨯-=-，解得6a = 所以，当46a =-或时，原方程会产生增根点拨：分式方程的增根是使最简公分母为零的根，但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根。
第十六章分式#
第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 16.1.2分式的基本性质 16．2分式的运算 16．2．1分式的乘除(一) 16．2．1分式的乘除(二) 16．2．1分式的乘除(三) 16．2．2分式的加减（一） 16．2．2分式的加减（二） 16．2．3整数指数幂 16．3分式方程(一) 16．3分式方程(二)第十六章 分式16．1分式16.1.1从分数到分式一、 教学目标1． 了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，as ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v+20100=v-2060.3. 以上的式子v+20100，v-2060，a s ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 ,209y +, 54-m , 238y y -，91-x2.当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3）3.当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.(3)x 与y 的差于4的商是.2．当x 取何值时，分式 无意义？3.当x 为何值时，分式的值为0？ 八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 238y y -，91-x2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b,b a s +,4y x -; 整式：8x,a+b, 4y x -;分式：x 80,ba s + 2． X = 3. x=-1课后反思：1-m m32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-x x x --221x 802332xx x --212312-+x x16.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5. 四、课堂引入1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？ 3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.a b 56--， yx 3-， nm --2， nm 67--， yx 43---。
(寒假班内部讲义)第十六章----分式(后面为提高部分)
第十六章分式第一部分：知识点及重难点一、学习目标1、切实掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分。
2、能准确、顺畅地进行分式的乘除、加减以及混合运算。
3、会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算。
4、明确分式方程的步骤，并能列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。
二知识结构网络三重点难点1、分式重点：（1）正确理解分式的概念，分式的值为零和分式有无意义的条件：分式是两整式相除的商式，分数线有除号和括号的作用，比如表示；分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区分一个代数式是整式还是分式的依据，分式的分母不能为0，如分式中是该分式的一个隐含条件当时分式无意义。
（2）准确理解分式的基本性质：要特别注意分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，其值不变。
例如由分式一定可以变形为但由分式就不一定变形为，这是因为分式的分母，一定有而a是分子，有可能等于0。
（3）分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
如果一个分式的分子或分母没有公因式，则该分式叫做最简分式。
（4）分式的通分：把几个异分母的分式化为与原来相等的同分母的分式的过程称为分式的通分。
分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母，找最简公分母要注意以下几点：①各分母所有因式的最高次幂指凡出现的字母或含字母的式子为底数的幂的因式选取指数最大②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。
难点：正确理解分式的概念，在分式的分子与分母同时乘以或除以整式A时，应首先判断A是否为0，分子、分母中的系数都是分数（或小数）时，要把分式化简，都是分数时，应把分子、分母都乘以分子、分母中各系数分母的最小公倍数如，分子、分母中的系数都是小数时，应把分子、分母都乘以可使系数互质的整数。
如2、分式的乘除法重点：分式的乘除运算，其中约分是关键。
第十六章分式计算.doc
第十六章分式一、真空（每题2分，共26分）1、如果分式＝0，则x ＝。
2、如果分式的值为正，则x的取值范围是。
3、分式无论x为何值，它都有意义，则m满足条件是。
4、不改变分式的值，把下列分子、分母中的各项系数都化成整数：=5、已知a b0,且3b2a＝0，则的值是。
6、如果n：m＝2：3且n 2，则= 。
7、已知分式－的值是正整数，则x 的整数值是。
8、分式的值是整数，则整数x的值为。
9、若－x－2＝0，则的值是。
10、使有意义的x的取值范围是。
11、若＝2x，＝，＝，，＝，则＝12、若x＝，则的值是。
13、若a + ＝2，则= 。
二、选择题（每题3分，计24分）1、＝。
A B C D2、计算)2等于（）A B b C D3、化简：的结果是（）A B C D4、若m ＝999，则的值是（）A 1000B 998C 10000D 9995、已知，a、b均为实数，且a、b均不为0，试探究代数式的值是（）A 3 ，－3B 3 ，－1 C、3，1 D －3，－16、下列分式是最简分式的是（）A B C D7、如果把分式中的x，y均扩大3倍，则分式的值为（）A 不变B 扩大3倍C 缩小3倍D 缩小6倍8、已知x ＝t+1 ，y＝,则用x的代数式表示y＝（）A B C D三、计算，（每题5分，计50分）1、2、3、24、5、6、7、8、如果x+=3,求的值9、化简：10小明，小亮两人两次同时在同一超市购卖大米（假设两次购买大米的单价分别是x 元/千克，y元/千克）小明每次购买大米100千克，小亮每次购买大米用去100元，若规定：谁两次购买大米的平均单价低，谁的购买方式就比较合算，请你通过计算说明哪一种更合算？。
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第十六章 分式计算
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、计算:223)3(a a ÷-的结果是（ ）
（A ）49a - （B ）46a （C ）39a （D ）4
9a
2、下列算式结果是－3的是（ ）
（A ）、1)3(-- （B ）、0)3(- （C ）、)3(-- （D ）、|3|-- 3、当=2时,分式1
2112+-++x x x 的值为（ ） (A)、2 (B)、1 (C)、0 (D)、3
5、纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种花粉的直径为3 500纳米，•那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）
（A ）、3.5×104米 （B ）、3.5×10-5米 （C ）、3.5×10-9米 （D ）、3.5×10-6米 6、分式22(1)x x --，323(1)x x --，51
x -的最简公分母为（ ） （A ）、（x-1）2 （B ）、（x-1）3 （C ）、（x-1） （D ）、（x-1）2（1-x ）3
7、计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅2438234
2y x y x y x 的结果是（ ） （A ）、x 3- （B ）、x 3 （C ）、x 12- （D ）、x 12
8、绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a 天用水m 吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来每天少用水 ( )
（A ）、吨3+a m （B ）、吨)
3(3+a a m （C ）、吨a m （D ）、吨)3(3-a a m 9、如果x ＞y ＞0，那么x
y x y -++11的值是（ ） （A ）、0 （B ）、正数 （C ）、负数 （D ）、不能确定 10、如果m 为整数，那么使分式
13++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）、2个 （B ）、3个 （C ）、4个 （D ）、5个
二、填空题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
11、计算：－16-＝ ．2)
2(--＝ ，1)32(-＝ 12、计算(3．4×10
－10) ×(5．9×106)≈________(结果保留两个有效数字)．
13、如果，2=b a 那么b
a a +=____ ． 14、计算： =+-+3
932a a a __________，x y y y x x -+-= 15、半径为r 的圆的面积与半径为R 的圆的面积比是__________．
16、一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：
1u ＋1v ＝1f
.用V ，f 的关系式表示U ___________ 17、甲、乙两人同时同地同向而行，甲每小时行m 千米，乙每小时行n 千米（n<m ），出发t 小时后，甲、乙两人相距________千米；终点离出发地为s 千米，那么甲比乙早到_______小时.
18、如果20)63(2)3(----x x 有意义，那么x 的取值范围是 。
19、观察下列有规律的数：30
1,201,121,61,21，……其中第10个数是 ，第n 个数是 （n 为正整数）， 计算前2008个数的和为 。
20、若1)1(1=-+x x ，则x ＝ ．
三、解答题（本题共40分）
21、（5分）化简：322)3()3(xy y x -⋅-
．
22、（6分）计算：m
n m n m n m n n m ---+-+22．
23、（8分）计算：
（1）)6()43(8232y
x z y x x -⋅-⋅ ； (2)212293m m --- .
24、（6分）计算：
(1)4xy 2z ÷（-2x -2yz -1
） ; (2)112
---a a a .
25、（7分）求（a+11a -）（311a
+-1）÷31a a -的值，其中a=2．
26、（8分）已知)(2)(,22
2y x y y x Q y
x y y x x P +-+=---= 小敏、小聪两人在1,2-==y x 的条件下分别计算了P 和Q 的值，小敏说P 的值比Q 的大，小聪说Q 的值比P 大，请你判断谁的结论正确，并说明理由.。