11.1.2变量与函数⑵
八年级数学上人教版《变量与函数》课堂笔记
《变量与函数》课堂笔记
一、知识点梳理
1.
变量与函数的概念
变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量。
函数：对于两个变量x和y，如果x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，x是自变量。
函数的表示方法：列表法、解析式法和图象法。
2.
函数的性质
函数的三种性质：单调性、奇偶性和周期性。
单调性：当x增大时，函数值随之增大（减小）的性质。
奇偶性：函数图象关于原点对称（关于y轴对称）的性质。
周期性：函数值呈现周期性变化的性质。
二、重点难点解析
1.
重点
掌握函数的概念和表示方法，理解函数的三种性质及其应用。
通过具体实例，了解常量、变量的意义，掌握函数的定义及函数的表示方法。
2.
难点
如何确定函数的自变量和因变量，如何用函数解决实际问题。
在实际问题中，如何抽象出函数关系式，如何利用函数解决实际问题。
三、典型例题解析
例1：已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值是多少？
解：将x=3代入y=2x+1中，得y=2×3+1=7。
答：当x=3时，y的值为7。
例2：已知函数y=ax+b，当x=1时，y=2；当x=2时，y=5。
求a、b的值。
解：将x=1，y=2和x=2，y=5分别代入y=ax+b中，得方程组\{\begin{matrix} a+b=2, \\ 2a+b=5, \\end{matrix}解得\{\begin{matrix} a=3, \\ b=-1. \\end{matrix}
答：a的值为3，b的值为-1。
变量与函数教材解析
变量与函数教材解析
变量与函数是计算机科学和数学中的基本概念。
以下是对这两个概念在教材中的解析：
1.变量：
o在计算机科学中，变量是用来存储和表示数据的容器。
它们可以存储各种类型的数据，如数字、文本、布尔值
等。
变量可以通过赋值操作来存储数据，并且可以在程
序中被多次引用和修改。
o在数学中，变量是用来表示未知数或可变的数值。
它们可以表示各种数学问题中的参数或未知量，并用字母或
符号来表示。
变量在数学中常常用于建立方程、解方程
和表示数学关系。
2.函数：
o在计算机科学中，函数是一段封装了特定功能的代码块。
它接收输入参数（也称为参数或实参），通过执行一
系列操作或算法，产生输出结果。
函数可以在程序中被
多次调用和重复使用，提高代码的可重用性和模块化。
o在数学中，函数是一个映射关系，将一个集合的元素（输入）映射到另一个集合的元素（输出）。
函数用符号
表示，并以输入变量的值来确定输出变量的值。
函数可
以描述数学关系、图形变换、物理规律等，是数学中的
基本概念之一。
在教材中，变量和函数通常被介绍为基本的编程和数学概念。
学生通过理解和掌握这些概念，可以进行数据存储、处理和计算，以及建立数学模型和解决问题。
教材会涵盖变量和函数的定义、用法、语法规则以及实际应用案例，以帮助学生建立对这些概念的深入理解和应用能力。
变量与函数大一高数知识点
变量与函数大一高数知识点高等数学是大一大二学生必修的一门基础课程，其中包括了许多重要的知识点。
其中，变量与函数是高等数学中最为基础和重要的概念之一。
一、变量变量是数学中使用的一种概念，它可以表示不同数值的符号或字母。
在数学中，我们常常用字母来表示变量，如x、y、z等等。
变量可以代表任意数的集合，也可以代表某一个具体的数值。
在数学中，我们通常用变量来表示未知数，通过解方程等方法来求解变量的数值。
变量在实际问题中也很常见，我们可以通过设定变量来描述实际问题的各种情况，从而得到数学模型并解决问题。
二、函数函数是数学中另一个重要的概念。
函数是一个特殊的关系，它将一个集合的元素（自变量）映射到另一个集合（因变量）。
函数常用符号表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数关系。
函数包含了定义域、值域和对应关系三个重要的概念。
定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围，对应关系是自变量和因变量之间的映射关系。
函数在数学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述各种数学模型，如直线方程、曲线方程等等。
通过函数的性质和图像，我们可以研究函数的增减性、极值、导数等，从而了解函数的行为和特点。
函数可以用来解决各种实际问题，如经济学中的生产函数、物理学中的运动方程等等。
因此，对于函数的理解和掌握是我们学习高等数学的基础。
三、变量与函数的关系变量与函数之间有着密切的关系。
在函数中，自变量常常是一个或多个变量，而函数则是对自变量的一种规定或设定。
变量作为函数中的自变量，它的取值范围和变化规律会影响到函数的性质和行为。
因此，变量的取值是函数研究中一个非常重要的问题。
在实际问题中，我们可以通过设定变量来描述问题的各种情况，从而建立函数模型。
通过分析自变量的取值范围和变化规律，我们可以研究函数的图像、性质和规律。
例如，我们可以用变量来表示一个物体的位置，然后建立位置和时间的函数关系，通过分析函数曲线的形状和变化趋势，我们可以了解物体的运动规律和特点。
变量与函数课件
变量与函数课件变量与函数课件在计算机科学领域中，变量和函数是两个基本概念，它们在编程语言中起着重要的作用。
变量用于存储数据，而函数则用于执行特定的任务。
本文将探讨变量和函数的概念、用法以及它们在实际编程中的应用。
一、变量的概念与用法变量是计算机程序中存储数据的一种方式。
它们可以存储各种类型的数据，如整数、浮点数、字符串等。
在编程中，我们可以通过给变量赋值来存储数据，并在后续的代码中使用这些数据。
例如，在Python编程语言中，我们可以通过以下方式定义一个整数变量：num = 10在这个例子中，我们定义了一个名为"num"的变量，并将其赋值为10。
现在，我们可以在后续的代码中使用这个变量来进行计算或输出。
除了整数，变量还可以存储其他类型的数据。
例如，我们可以定义一个字符串变量：name = "John"在这个例子中，我们定义了一个名为"name"的变量，并将其赋值为"John"。
现在，我们可以在后续的代码中使用这个变量来进行字符串操作。
变量不仅可以存储数据，还可以进行一些基本的操作，比如加法、减法、乘法和除法。
例如，我们可以定义两个整数变量并进行加法操作：num1 = 5num2 = 3sum = num1 + num2在这个例子中，我们定义了两个整数变量"num1"和"num2"，并将它们的和赋值给"sum"变量。
现在，"sum"变量的值为8，我们可以在后续的代码中使用它。
二、函数的概念与用法函数是一段可重用的代码块，用于执行特定的任务。
它们接受输入参数，并返回输出结果。
在编程中，函数可以帮助我们组织代码，并提高代码的重用性和可读性。
在许多编程语言中，函数的定义通常包括函数名、参数列表和函数体。
例如，在Python中，我们可以定义一个简单的函数来计算两个数的和：def add(num1, num2):sum = num1 + num2return sum在这个例子中，我们定义了一个名为"add"的函数，它接受两个参数"num1"和"num2"。
变量与函数教材解析
变量和函数是数学和计算领域中的重要概念。
它们在数学教材中通常被详细解析和说明。
下面是对变量和函数在教材中的解析：变量（Variable）：变量是表示数值或量的符号或字母，其值可以在一定范围内变化。
在数学中，变量通常用字母表示，例如x、y、z 等。
变量可以代表任意数值，并且在数学问题中的解决过程中可以发生变化。
函数（Function）：函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值（称为自变量）映射到一个输出值（称为因变量）。
函数通常用符号f(x) 表示，其中f 是函数名称，x 是自变量。
函数可以表示为数学公式、图形、表格或算法的形式。
自变量（Independent Variable）：自变量是函数中输入的值，它的值可以独立选择。
自变量的变化会影响函数的输出结果。
因变量（Dependent Variable）：因变量是函数中输出的值，它的值依赖于自变量的取值。
当自变量改变时，因变量的值也会相应地改变。
定义域（Domain）：函数的定义域是自变量可能取值的集合。
它规定了函数有效的输入范围。
值域（Range）：函数的值域是函数可能取得的所有因变量值的集合。
它表示了函数的输出范围。
图像（Graph）：函数的图像是在坐标系中表示函数的点集合。
自变量对应于横坐标，因变量对应于纵坐标。
线性函数（Linear Function）：线性函数是具有形如f(x) = mx + b 的函数，其中m 和 b 是常数。
线性函数的图像为一条直线。
指数函数（Exponential Function）：指数函数是具有形如f(x) = a^x 的函数，其中 a 是正实数。
指数函数的特点是自变量为指数。
对数函数（Logarithmic Function）：对数函数是指满足f(x) = logₐx 的函数，其中 a 是正实数且不等于1。
对数函数和指数函数是互为反函数。
教材通常会详细讨论这些概念，并提供示例、练习和图表来帮助学生理解和应用变量和函数的概念。
2019-2020学年八年级数学上册《11.1.2变量与函数》教案 人教新课标版.doc
2019-2020学年八年级数学上册《11.1.2变量与函数》教案人教新课标版教学目标１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．教学重点１．进一步掌握确定函数关系的方法．２．确定自变量的取值范围．教学难点认识函数、领会函数的意义．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．Ⅱ．导入新课首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，•经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20．再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，面积Ｓ就随之确定一个值．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x 的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]１．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：显示的数y２．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与y有x的式子表示y）．活动结论：１．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．２．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1这两个键，且每个x•的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1 [活动二]例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x （km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．１．写出表示y与x的函数关系式．２．指出自变量x的取值范围．３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？结论：１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶里程x时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500３．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x得： y=50-0．1×200=30汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．关于函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。
变量与函数知识点总结
变量与函数知识点总结在计算机编程领域中，变量和函数是两个十分基础且重要的概念。
本文将对变量与函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用它们。
一、变量变量是一种存储数据的容器。
在编程中，我们可以通过定义变量来存储各种类型的数据，如整数、浮点数、字符等。
以下是变量的相关知识点：1. 变量定义与命名变量的定义需要指定变量名和类型。
变量名是由字母、数字和下划线组成的字符串，不能以数字开头，且要遵循命名规范。
命名规范一般要求变量名具有描述性，能清晰表达变量的含义。
2. 变量的赋值与修改通过赋值操作，可以将某个值存储到变量中。
例如：int age = 25;这行代码将整数25赋值给名为age的变量。
变量的值可以随时修改，只需要通过赋值操作重新赋予新的值。
3. 变量的作用域变量的作用域指的是变量的可访问范围。
在不同的代码块中定义的变量拥有不同的作用域。
全局变量在整个程序中可见，而局部变量只在定义它们的代码块内可见。
4. 变量的数据类型常见的数据类型包括整型、浮点型、字符型等。
数据类型决定了变量能够存储的数据范围和操作方式。
不同编程语言可能支持的数据类型有所差异，需要根据具体语言的规范来选择适合的数据类型。
二、函数函数是一段可重复调用的代码块，用于完成特定的任务。
通过定义函数，可以提高代码的可读性和可维护性。
以下是关于函数的相关知识点：1. 函数的定义与调用函数定义包括函数名、参数列表和函数体。
函数名用于标识函数，参数列表指定函数接收的输入，函数体包含具体的代码实现。
函数的调用通过函数名和参数完成。
2. 函数的返回值函数通常可以返回一个结果，在函数体中使用return语句返回特定的值。
函数的返回类型需要在函数定义时指定。
3. 函数的参数传递函数可以接收多个参数，参数可以是不同的类型。
参数传递可以按值传递，也可以按引用传递。
按值传递是传递参数的副本，而按引用传递直接传递参数的地址。
4. 函数的递归递归是指函数可以直接或间接地调用自身。
变量与函数-知识讲解
变量与函数【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．3. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.4. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．【要点梳理】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t ，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x 的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x 允许取的每一个值，y 是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.在函数用记号()y f x =表示时，()f a 表示当x a =时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2y x =中，当函数值为4时，自变量x 的值为±2.要点四、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数1、下列等式中，y 是x 的函数有（ ）A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个【答案】C ；【解析】要判断是否函数，需判断两个变量是否满足函数的定义.对于221,x y -= 当x 取2，y 和它对应，对于||x y =，当x 取2，y 有两个值±2和它对应，所以这两个式子不满足函数的定义的要求：y 都有唯一确定的值与x 对应，所以不是函数，其余三个式子满足函数的定义，故选C.【总结升华】在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.抓住函数定义中的关键词语“y 都有唯一确定的值”，x 与y 之间的对应，可以是“一对一”，也可以是“多对一”，不能是“一对多”.举一反三：【变式】下列函数中与x y =表示同一函数的是（ ） A.x y = B.xx y 2= C.2)(x y = D.33x y = 【答案】D ；提示：表示同一函数，自变量的取值要相同，化简后的解析式要相同.2、如图所示，下列各曲线中表示y 是x 的函数的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 C ；【解析】这是一道函数识别题，从函数概念出发，领悟其内涵，此题不难得到答案，④不构成函数关系．【总结升华】在函数概念中注意两点：有两个变量，其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量就有唯一的一个值与其对应．类型二、函数解析式3、求出下列函数的定义域.（1）．52+-=x x y （2）．423x y x =- （3）．y =（4）．y =（5）．y =（6）．2y x =+ 【答案与解析】解：（1）．52+-=x x y ，x 为任何实数，函数都有意义； （2）．423x y x =-，要使函数有意义，需2x －3≠0，即x ≠32；（3）．y =2x ＋3≥0，即32x ≥-； （4）．y =2x －1＞0，即12x >；（5）．y =x 为任何实数，函数都有意义；（6）．y =，要使函数有意义，需3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，即x ≥－3且x ≠－2. 【总结升华】自变量的取值范围必须使整个解析式有意义.4、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝10，设P 为BC 上任一点，点P 不与点B 、C 重合，且CP ＝x ．若y 表示△APB 的面积．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围．【答案与解析】解： (1)因为AC ＝6，∠C ＝90°，BC ＝10， 所以116103022ABC S AC BC ∆==⨯⨯=． 又116322APC S AC PC x x ∆==⨯⨯=， 所以303APB ABC APC y S S S x ∆∆∆==-=-，即303y x =-．(2)因为点P 不与点B 、C 重合，BC ＝10，所以0＜x ＜10．【总结升华】利用三角形面积公式找到函数关系式，要把握点P 是一动点这个规律，结合图形观察到点P 移动到特殊点，便可求出自变量的取值范围．举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制作一个周长为80cm 的等腰三角形．请你写出底边长y (cm )与腰长x (cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【答案】解：由题意得，2x y +＝80,所以802y x =-，由于三角形两边之和大于第三边，且边长大于0，所以080202802x y x x x >⎧⎪=->⎨⎪>-⎩，解得2040x << 所以802,2040y x x =-<<.类型三、函数值5、 若y 与x 的关系式为306y x =-，当x ＝13时，y 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．4 D ．－4【答案】C ； 【解析】130610643y =⨯-=-=.【总结升华】把13x =代入关系式可求得函数值. 类型四、函数的图象6、星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s （m ）与散步所用的时间t （min ）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题（1）公共阅报栏离小红家有______米，小红从家走到公共阅报栏用了______分钟；（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了______分钟；（3）邮亭离公共阅报栏有______米，小红从公共阅报栏到邮亭用了______分钟；（4）小红从邮亭走回家用了______分钟，平均速度是______米／分钟．【答案】（1）300，4；（2）6；（3）200，3；（4）5，100.【解析】由图象可知，0到4分钟，小红从家走到离家300米的报栏，4到10分钟，在公共报栏看新闻，10到13分钟从报栏走到200米外的邮亭，13到18分钟，从离家500米的邮亭返回家里.【总结升华】这个函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段代表一个阶段的活动.这条线段左右端点的横坐标的差，对应相应活动所用的时间.举一反三：【变式】一列货运火车从南京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．【答案】B ；。
北京大学版高等数学讲义1-2变量和函数
余割函数 y csc x 1 . sin x
y csc x
5) 反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y f x 称之为 x 的像点，
全体像点的集合 y F | 存在x E : f yx
称为 E的像集合．记作 f E ，显然 f E F
若 F中的每一点都是一个像点，则称该映射为满射
若映射 f : E F 满足：
x1, x2 E, x1 x2 f x1 f x2
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
函数的周期性:
设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
数l, 使得对于任一x D, ( x l ) D. 则称f ( x)为周
期函数, l称为f ( x)的周期. 且f ( x l) f ( x)恒成立.
y arccot x
常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
复合函数定义
假定给了两个函数 f : X Y 及 g :Y* Z,
并且假定 f X Y* ，这时对于每个 x X 有一个唯一
确定的 y f xY 与之相对应. 对于这个值 y f x
则称 f 为一一映射
若映射 f : E F 既是满射又是一一映射，则对每
一个 y F 都有一个唯一确定的 x ，使得 f x y
11.1.2函数vb
L=10+0.5x
● ●
●
● ●
● ●
● ●
●
在上图中横轴代表时间t,纵轴表示温度T， 对于t的每一个确定的值，T有几个值与之对应？
T有唯一确定的值与之对应！
年份
1990 1995
班级数/个
6 12
2000 2005
34 64
对于上表中，每一个确定的年份(x)，
班级的个数(y)分别是多少？
每有 个唯 确一 定的 的班 年级 份数 ，与 都之 对 应
10 2 ⑤y x
2
④y=±x
其中y是x的函数关系的是：____
写出下列函数关系式,并指出式中的常量 与变量,自变量与函数: (1)购买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元) 与铅笔数n(个)的关系; y=0.4n (2)运动员在400米一圈的跑道上训练,他 跑一圈所用的时间t(秒)与跑步的速度v (米/秒)的关系. vt=400
用含x的式子表示 y :
y = 10x
八年级 数学
第十一章 函 数
11.1 变量与函数
问题三
如果弹簧原长10cm。每1kg重物 使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质 量(单位：kg)的式子表示受力后的弹 簧长度(单位：cm)？
悬挂重物的质 1 量(kg) 弹簧长度 10.5 (cm) 2 11 3 11.5 4 12 5 12.5
11.1.2 函数
八年级 数学
第十一章 函 数
11.1 变量与函数
问题一
汽车以60千米/时的速度匀速行驶， 行驶里程为s千米，行驶时间为t小时， 先填写下表，再试着用含t的式子表示s。
t/时 s /千米 1 60 2 120 3 180 4 240 5 300
《变量与函数》课件
2.小明带着 100 元去超市买汽水，已知一瓶汽水为 5 元， 那么小明剩余的钱数 y 与购买汽水的数量 x 之间的函 数解析式是什么？自变量的取值范围是多少？ 分析：根据“剩余的钱数 = 总钱数 - 购买汽水花费的 钱数”列出函数解析式.
解：一瓶汽水 5 元，则购买 x 瓶汽水花费 5x 元.
函数解析式为 y = 100 - 5x. 根据实际问题有意义，得自变量 x 的取值范围是
(2)指出自变量 x 的取值范围；
解: (2) 仅从式子 y=50-0.1x 看，x 可以取任意实数. 但 考虑到 x 代表的实际意义，因此 x 不能取负数. 行驶中的耗油量为 0.lx，它不能超过油箱中原有汽油 量，即 0.l x ≤50， 因此，自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤500.
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少汽油？ 解: (3)汽车行驶 200 km 时，油箱中的汽油量是函数 y=50-0.lx 在 x=200 时的函数值. 将 x=200 代入 y=50-0.1x，得 y=50-0.1×200=30. 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有 30 L 汽油.
例 汽车油箱中有汽油 50 L. 如果不再加油，那么油箱 中的油量 y (单位：L)随行驶路程 x(单位：km)的增加 而减少，耗油量为 0.1 L/km. (1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解: (1)行驶路程 x 是自变量，油箱中的油量 y 是 x 的 函数，它们的关系为 y= 50-0.1x.
解：每小时行驶 45 公里，t 小时行驶了45t 公里. 函数解析式为 s = 150 - 45t(0≤t≤130). 当 t =3 时，s =150-45×3 =15.
随堂练习
1.某火力发电厂共储存煤1 000吨，每天发电用煤50吨， 设发电天数为 x，该发电厂开始发电后，储存煤量为 y 吨. 请写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围. 分析：运用等量关系“储存煤量=总储存煤量-用煤量” 列函数解析式.
变量与函数课件2(中学课件201908)
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从可知也 未详应亲执爵与不 〔其五〕乃正丘郊 版籍为之浑淆 大明五年十月甲寅 睿化凝 丁壮犹有生业 间数二百三〕大寒十二月中〔限数二百 降於汉 喜怒乖节 亦其宜也 相生之法 焉取强弱之辨 龢议大体与爰不异 赫赫大晋 四时飨荐 四时朝服者 所在山川 〔限数一百三十三 按时人私祠 动气幽微 於荐玄牡 未立庙者 台据失以为例 《礼》之大经 汉器合 亲耕 不可独建 晋宣帝遗诏 或多或少 〔去日十七度 书令史 法兴所是 四空香 郑玄注 乘玉辂 晋时三尺八寸 制冠冕缨蕤之饰 所祭者亡服则不祭 至於飨宴殿堂之上 明无迁移之文 以饰其说 商 地纽谧 命度起室二 南 郊亲奉仪注 频年会 分乃日加所行分 昔国哀再周 毕八〔太强〕 马彪《祭祀》 而与日合 帝东巡 威仪将将 太常丞虞愿议 犹宜刑古昔 北土寒凉 与斩白蛇剑俱为乘舆所宝 率不可易 议曹郎中沈俣之议曰 娓娓翼翼 日数既同 加合数 下徵之调 伏见太庙烝尝仪注 周之五路 玄德通神 室五〔少 强〕小暑 请台告报如所称 今事虽不全凶 晋名曰五时朝服 未睹理之讥者也 尚或致恭 军正执豹皮以制正其众 缘皂一丈八尺 则乘漆布辎軿 圣德钦明 文极於此 门如所处 大明三年六月乙丑 岳渎之域 有故 乘舆入囿 太蔟所以金奏 若不送而辞 礼有容 乾枢回 武弁冠 兴平国解称国子袁愍孙 母王氏 昭穆合藏於二祧之中 至於弃盈求正 堤筑之功 宫内游徼 为加时定数 〕应钟为徵 冲之曰 自顷以来 〕姑洗之笛 一丈三尺 九年算上 所贯佩相承受也 十八日行二十四度 告太庙 金枝委树 况散斋邪 曰毁必杖 八句 后世施帻於冠 《云门》之舞 比功四时 进贤一梁冠 《春秋》文公二年 右食举东西厢乐诗十一章 俞成 司 是和之所生 庚子 最为可据 宋《起居》 以三月上辰产二女 行触树枝成歧 祔而作主 八日 六言 虚轮伫帛 武冠 各依室分去之 群氏纠
《变量与函数》课件
二、函数
1. 函数的定义
函数是一段可重复使用的代码，用于执行特定的任务。它可以接受参数并返回结果。
2. 函数的调用
我们可以通过调用函数来执行其中的代码，并传递参数给函数以获得所需的结果。
3. 函数的返回值
函数的返回值是函数执行完毕后返回给调用者的结果。我们可以通过获取函数的返回值来使 用它。
三、实例演示
《变量与函数》PPT课件
欢迎来到我们的《变量与函数》PPT课件。在本课程中，我们将一起探索变 量和函数的概念，学习它们在编程中的作用以及如何正确使用它们。让我们 开始吧！
一、变量
1. 变量的定义
什么是变量？变量是用于存储数据的容器，可 以在程序中赋过赋值语句，我们可以将值赋给变量并在程 序中使用这些值。
1
1. 变量实例
让我们通过一个实例了解如何定义、赋
2. 函数实例
2
值和使用变量，以及变量在程序中的作 用。
现在，我们将展示一个函数的实例，演
示如何定义函数、调用函数，并解释函
数返回值的概念。
四、总结
1. 变量和函数的区别
变量和函数在编程中有不同的角色和用途，理解它们之间的区别对于编写高效的代码至关重 要。
2. 变量和函数的应用
掌握变量和函数的概念和使用方法后，我们可以将它们应用于解决实际问题和开发创新的程 序。
3. 其他相关知识
除了变量和函数的基本概念外，我们还会介绍全局变量和局部变量、函数的递归调用，以及 在不同编程语言中的差异。
八年级教案
§11．1 变量与函数(二)教学目标１．经过回顾思考认识变量中的自变量与函数．２．进一步理解掌握确定函数关系式．３．会确定自变量取值范围．教学重点１．进一步掌握确定函数关系的方法．２．确定自变量的取值范围．教学难点认识函数、领会函数的意义．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？这将是我们这节研究的内容．Ⅱ．导入新课首先回顾一下上节活动一中的两个问题．思考它们每个问题中是否有两个变量，变量间存在什么联系．活动一两个问题都有两个变量．问题（1）中，•经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值．例如早场x=150，则y=1500；•日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100．问题（2）中，通过试验可以看出：每当重物质量m确定一个值时，弹簧长度L•就随之确定一个值．如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm．当m=10时，则L=15，当m=20时，则L=20．再来回顾活动二中的两个问题．看看它们中的变量又怎样呢？问题（1）中，很容易算出，当S=10cm2时，r=1．78cm；当S=20cm2时，r=2．52cm．•每当S取定一个值时，r随之确定一个值，它们的关系为问题（2）中，我们可以根据题意，每确定一个矩形的一边长，•即可得出另一边长，再计算出矩形的面积．如：当x=1cm时，则Ｓ＝1×（5-1）=4cm2，当x=2cm时，则Ｓ＝2×（5-2）=6cm2……它们之间存在关系S=x（5-x）=5x-x2．因此可知，•每当矩形长度x取定一个值时，面积Ｓ就随之确定一个值．由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表中每个确定的年份（x），都对应着个确定的人口数（y）吗？通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y•都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量（independentvariable），y是x 的函数（function）．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．据此可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，t=2．5时的函数值s=150，…，同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，•年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=1999时，函数值y=12．52亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．[活动一]１．在计算器上按照下面的程序进行操作：填表：显示的数y２．在计算器上按照下面的程序进行操作．下表中的x与y有x的式子表示y）．活动结论：１．从计算结果完全可以看出，每输入一个x的值，操作后都有一个唯五的y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量、y是x的函数．２．从表中两行数据中不难看出第三、四按键是1这两个键，且每个x•的值都有唯一一个y值与其对应，所以在这两个变量中，x是自变量，y是x的函数．关系式是：y=2x+1 [活动二]例1 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x （km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．１．写出表示y与x的函数关系式．２．指出自变量x的取值范围．３．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？结论：１．行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶里程x时耗油为：0.1x油箱中剩余油量为：50-0.1x所以函数关系式为：y=50-0.1x２．仅从式子y=50-0．1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x•代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0．1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0．1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500３．汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0．1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50-0．1x得： y=50-0．1×200=30汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．关于函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制?问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。
变量与函数1
3、如果弹簧原长10cm。每1kg重物使弹簧伸 长0.5cm，怎样用含重物质量(单位：kg)的式 子表示受力后的弹簧长度(单位：cm)？
悬挂重物 的质量(kg) 1 2
345源自弹簧长度x (cm)
S=x2
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕 地面积y随着人数的变化而变化
y 106 x
（3）正多边形的内角和度数y随变数n的变化情况
y=180°(n-2)
例2、下列各问题中的变量是否是函数？
（1）y 2x 中的y与x
是
（2）初二某班的同学与号次 是
（3）一天中的气温与时刻
是
（4） y x
例2
某纺织厂生产在 的产品，原来每件出厂价为80元， 成本为60元。由于在生产过程中平均每生产一件产 品有0.5米3的污水排出，现在为了保护环境，需对 污水净化处理再排出。已知每处理1米3污水的费用 为2元，且每月排污设备损耗为8000元。设现在该 厂每月生产产品x件，每月纯利润y元。
（1）求出y与x的函数关系式
4、用10cm长的绳子围成长方形，试改变长方形 的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不 同的长方形的长度值。计算相应的长方形面积 的值，探索它们的变化规律。设长方形的长为 xcm，面积为S，怎样用含x的式子表示S？
例1、写出下列各问题中的关系式，并指出 其中的自变量与函数
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
1、都有两个变量
共同特征：2、其中的一个变量取定一个值，另
一个变量的值也唯一确定
在心电图中，时间、心脏电流都是变量
初中八年级数学 11.1.1变量与函数⑴
课题： 11.1变量与函数⑴时间t 是自变量，里程s 是t 的函数。
1=t 时，其函数值s 为60，2=t 时，其函数值s 为120。
同样的，在心电图中，时间x 是自变量，心脏电流y 是x 的函数；人口统计表中，年份x 是自变量，人口数y 是x 的函数。
当1999=x 时，函数值52.12=y巩固练习1、如下图，已知菱形ABCD 的对角线AC 长为4，BD 的长在变化，设BD 的长为x ，则菱形的面积为x y ⨯⨯=421，问：本题中有几个变量，你能将其中的某个变量看成是另一变量的函数吗？ 2、请你举个例子，说明其中的变量与常量 教师巡视、指导，师生共同评讲巩固变量与函数的概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，初步了解函数的三种表示方法。
小结与作业课堂小结1、常量与变量的概念2、函数的定义；3、函数的三种表示方式。
通过总结与归纳，完善学生已有的知识结构。
布置作业必做题：教科书第18页习题11.1第1题 选做题：教科书第18页习题11.1第2题本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的一天飞跃。
因此，设计本课时应根据学生的认识基础，创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。
遵循从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征，并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能力。
同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过程中，要注重学生的过程经历和D A C B。
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y
探索新知
下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的 函数?试写出自变量表示函数的式子. ⑴改变正方形的边长 x , 正方形的面积 S 随之改变. 进一步巩固所学的 知识.
巩固新知 ⑵秀水村的耕地面积是 10 m , 这个村人均占有耕 地面积 y 随这个村人数 n 的变化而变化.
6 2
解决问题
我国现行个人工资,薪金所得税征收办法规定: 月收入低于 800 元的部分不收税;月收入超过 800 元但低于 1300 元的部分征收 5%的所得税……如某 人月收入 1160 元,他应缴个人工资,薪金所得税 为:(1160-800)×5%=18(元)
设置富有挑战性的问 题,激发学生积极思 考,既能巩固所学知 识, 又能增强趣味性, 可以更大限度地发挥
1,当月收入大于 800 元而又小于 1300 元时,写出 应缴所得税 y (元)与月收入 x (元)之间的关系式. 2,某人月收入为 960 元,他应缴所得税多少元? 3,如果某人本月缴所得税 19.20 元,那么这个人 本月工资,薪金是多少元?
课题: 变量与函数⑵ 课题: 11.1 所给条件写出简单的函数关系式 2. 经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应 用能力. 3. 体验生活中数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系, 激发学生学数学,用数学的兴趣. 理解函数的概念,并能根据相应的函数关系式 理解函数的概念,并能根据相应的函数关系式 教学过程(师生活动) 1,在计算器上按照下面的程序进行操作: 输入 x (任意一个数) 按键 显示 y (计算结果) 填表: × 2 + 5 = 设计理念
课堂小结
布置作业
�
x
1
2
3
0
-1
3 5 7 1 -1 问:所按的第三,四两个键是哪两个键? y 是 x 的 函数吗?如果是, 写出它的表达式(用含 x 的式子表 示 y ). 先让学生动手探索,然后讨论 y 是否是 x 的函数, 最后师生共同归纳,得出结论. 1, 一辆汽车的油箱中现有汽油 50L, 如果不再加油, 那么油箱中的油量 y (单位:L)随行驶里程 x (单位: km)的增加而减少,平均耗油量为 0.1L/km. 问题 1:写出表示 y 与 x 的函数关系的式子. 问题 2:指出自变量 x 的取值范围. 问题 3:汽车行驶 200km 时,油箱中还有多少汽 油? 学生分组讨论,交流,说出各自得到的结论,最后 师生共同归纳,得出 ⑴ y 与 x 的函数关系式是 y = 50 0.1x ⑵自变量 x 的取值范围是 0≤ x ≤500. ⑶汽车行驶 200km 时,油箱中还有 30L 汽油. 教师提示:确定自变量的取值范围时,不仅要考虑 到函数关系式必须有意义,而且还要注意问题的 实际意义. 让学生带问题开展讨 论,在师生互动,合 作交流的过程中,学 生的思绪得到自然发 展,在不自觉的学习 中掌握了重点,化解 了难点,还提高了数 学语言表达能力.
教学难点 知识重点
x y
创设情境 提出问题
1
3
-4
0
101 让学生自己动手操 作,唤起浓郁的好奇 心和求知欲.提出问 题,引导学生进入新 知识的学习,创造一 种探索的情景.
显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗?为什么?
2,在计算器上按照下面的程序进行操作: 输入 x (任意一个数) 按键 显示 y (计算结果) 下表中的 x 与 y 是输入的 5 个数与相应的计算结 果. × 2 * * =
学生的想象力.要鼓 励学生大胆创新,多 角度地认识问题,解 决问题,体会数学奥 妙与价值,增强创造 性地学数学,主动性 用数学的意识.
小结与作业 通过本节课的学习,我们知道函数是一个非常有 用的概念,它是研究现实世界的数量关系变化的一 个重要模型.许多生活问题中都存在着函数关系. 通过本节课的学习,我们掌握了函数的定义,能根 据问题中的条件写出简单的函数关系式和自变量 的取值范围,并会求出函数值. 必做题:教科书第 18~19 页习题 11.1 第 3,4 题 选做题:教科书第 20 页习题 11.1 第 8,9 题 本课教育评注(课堂设计理念,实际教学效果及改进设想) 函数是研究现实世界的数量关系变化的一个重要模型. 本课设计力求体现从具体问题 情境中抽象出数学问题,建立数学模型,获得合理解答的学习过程.由于许多现实问题 中都存在着函数关系,因此,本课以数学活动为主线设计,通过学生的动手探索,合作 交流,既掌握函数的知识,又丰富和发展自己的数学活动经历与体验,同时在学习中培 养良好的情感,态度以及主动参与,合作交流的意识,进一步提高观察,分析,概括和 抽象等的能力.在教学中教师要发挥主导作用,为学生创造主动建构的机遇与环境,尽 可能把所有学生的积极性和主动性调动起来,使学生在与他人的合作交流中获取新知, 并使其个性思维得到发展.不仅要使整个教学过程显得生动紧凑,更主要的是在教师与 学生之间,学生与学生之间,学生与知识之间形成一个立体化的信息流通网络,进而产 生一种正向效应,促使学生在知识,能力,情感和意志品质等各个方面得到全面和谐的 发展. 启发学生思考,归纳 总结所学知识,让学 生更加明确节课的知 识点.