条件概率
名词解释条件概率的概念
名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
关于条件概率的判定与计算
条件概率是指在某些条件下，某事件发生的概率。
条件概率的判定和计算方法如下：
1.判定条件概率的表达式：条件概率的表达式通常为P(A|B)，其中
A 是某事件，
B 是条件，P(A|B) 表示在条件B 下，事件A 发生
的概率。
2.计算条件概率的方法：条件概率的计算公式为P(A|B) =
P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B) 表示事件A 和B 同时发生的概率，P(B) 表示条件B 发生的概率。
例如，设A 为“取到红球”，B 为“取到黑球”，那么P(A|B) 就表示在取到黑球的条件下，取到红球的概率。
若有一个球盒子中有 3 个红球和2 个黑球，那么取到黑球的概率P(B) = 2/5，取到红球和黑球的概率P(A∩B) = 3/5，则在取到黑球的条件下，取到红球的概率P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 3/5 / 2/5 = 3/2。
注意，在计算条件概率时，应保证条件 B 发生的概率P(B) 不为0，否则条件概率的值就没有意义。
条件概率
全概率公式
设B1,B2,…,Bn是n个互不相容的事
n
件,且 P(Bi)>0 (i=1,2,…,n) ,若 A
则 P ( A) P ( Bi ) P ( A | Bi )
i 1 n
i1
Bi
A AB
1
AB
2
AB
B2
n
B1
A B3
P ( A)
P ( B ) P ( A| B
0 . 02 0 . 3 0 . 01 0 . 5 0 . 01 0 . 2 0 . 013 .
例6 两批相同种类的产品各有十二件和 十件,每批产品中各有一件废品,现在先从 第一批产品中任取一件放入第二批中,然 后再从第二批中任取一件,求这时取到废 品的概率 解: A:“取到废品” B:“从第一批中取到的是废品” 有,
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A 2
B ) P ( A1 A 2
B)
P(A
B) 1 P(A B)
P ( A1 A 2
B ) P ( A1 B ) P ( A1 A 2
B)
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P ( A | B) P ( AB) P ( B) ,
P(B)>0
掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 1
P(A|B）=
3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
概率论条件概率
三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱 装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白 球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一 箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.
每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即 P(A|B)仍是概率.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
3
∑ P( A) = P(Bi )P( A｜Bi ) i =1
对求和中的每一项 代入数据计算得：P(A)=8/15
运用乘法公式得
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
全概率公式
定理二、设B1，…, Bn是Ω的 一个划分，且P(Bi)>0，(i＝1 ，…，n)，则对任一事件A，
求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}，
则C 表示“抽查的人不患癌症”.
已知 P(C)=0.005,P( C)=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C )=0.04
求P(C|A).
由贝叶斯公式，可得
P(C | A) =
P(C)P( A | C)
P(C)P(A | C) + P(C )P(A | C )
条件概率P(A|B)与P(A)数值关系
条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发 生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么,是 否一定有:
条件下的条件概率
条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。
条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。
例如，在掷一个六面骰子的情况下，如果已知前两次掷出的结果，求第三次掷出骰子出现特定数字（如数字3）的概率。
这就是一个条件概率的问题，因为第三次掷骰子的结果是在前两次结果已知的条件下的事件。
条件概率可以用决策树进行计算。
在计算过程中，需要注意概率的基本性质，例如非负性、规范性等。
同时，也需要注意条件概率和无条件概率之间的关系，以及如何根据实际问题的需求进行合理的假设和推断。
在某些情况下，人们可能会犯条件概率的谬误，例如假设P(A|B)大致等于P(B|A)。
为了避免这种错误，可以使用实数而不是概率来描述数据。
条件概率
§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。
它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。
那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。
解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。
讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。
什么是条件概率举例说明
什么是条件概率举例说明条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在概率论与数理统计中，条件概率是一种重要的概率概念，用于描述事件之间的相关性。
条件概率的计算可以通过知道的先验信息来确定。
本文将详细解释条件概率的概念，并通过一个具体的例子来说明其应用。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和B共同发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
下面通过一个简单的例子来说明条件概率的应用。
假设有一个班级，其中男生和女生的人数分别为20人和30人。
该班级参加了一次足球比赛。
已知男生中有18人喜欢足球，女生中有15人喜欢足球。
现在想要知道如果从班级中随机选择一个喜欢足球的学生，那么这个学生是男生的概率是多少？解答：假设事件A表示选择的学生是男生，事件B表示选择的学生喜欢足球。
根据已知数据，P(A) = 20 / (20 + 30) = 0.4，P(B) = (18 + 15) / (20 + 30) = 0.66，P(A∩B) = 18 / (20 + 30) =0.36。
根据条件概率的公式，可以计算得知：P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.36 / 0.66 ≈ 0.545因此，在选择的学生喜欢足球的条件下，这个学生是男生的概率约为0.545。
通过这个例子可以看出，条件概率可以用来描述事件之间的相关性，并且可以通过已知的先验信息进行计算。
在实际生活中，条件概率的应用非常广泛，例如医学诊断、市场营销、金融风险评估等领域都会用到条件概率的概念和计算方法。
以下是一些相关的参考内容：1. 《概率导论与数理统计》（第四版）吕建中著 - 这本教材是概率论和数理统计的经典教材，对条件概率的定义和计算方法有详细的介绍。
2. 《概率论与数理统计》谭其骧、郑石萍编著 - 这本教材详细介绍了概率论和数理统计的基本原理，包括条件概率的定义、计算方法以及其在实际问题中的应用。
条件概率及条件分布知识点整理
条件概率及条件分布知识点整理
1. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
用符号表示为 P(A|B)，表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
2. 条件分布
在概率论和统计学中，条件分布是指在给定某个条件下，随机变量的概率分布。
条件分布可以通过条件概率来计算。
给定随机变量 X 和随机变量 Y，条件分布可以表示为
P(X|Y=y)，表示在事件 Y=y 发生的条件下，随机变量 X 的概率分布。
条件分布的计算公式为：
P(X|Y=y) = P(X∩Y=y) / P(Y=y)
其中，P(X∩Y=y) 表示随机变量 X 和事件 Y=y 同时发生的概率，P(Y=y) 表示事件 Y=y 发生的概率。
3. 应用
条件概率和条件分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
一些
常见的应用包括：
- 贝叶斯定理：用于计算后验概率，即在已知观测数据的情况下，更新先验概率。
- 马尔科夫链：用于建模状态转移过程，在给定当前状态的情
况下，预测未来状态的概率分布。
- 事件独立性检验：通过计算条件概率是否等于边缘概率，来判断事件是否独立。
- 条件随机场：用于序列标注、自然语言处理等任务，通过建模给定条件下，序列输出的概率分布。
以上是关于条件概率和条件分布的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的概率模型和方法来进行推断和计算。
概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义 设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
解 设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想 是把一个未知的复杂事 件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明 因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，
条件概率及全概率公式
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的 缩减样本空间 中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1
条件概率
0.25
3
0.04
0.25
(1)设这家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且
无区别的标记，在仓库中随机地取一只晶体管，
求它是次品的概率,(2)在仓库中随机地取－只元 件,若巳知取到的是次品,问它来自哪个厂的可能 性最大?
例9 根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验 具有以下的效果:若以A表示事件“试验反应为 阳性”,以C表示事件“被ห้องสมุดไป่ตู้断者患有癌症”,则 有:
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi ) i 1
上式称为全概率公式
证明： 因为B1,…Bn为Ω的一个划分
n
n
所以 A A S A ( Bi ) ABi
i 1
i 1
且 AB1, AB2 , , ABn 互不相容
故由概率的有限可加性和乘法公式得
n
P( A) P( ABi )
P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B发生的条件下，事件A的条 件概率.
条件概率的性质
设B是一事件，且P(B)>0，则P(.|B)满足概率的 三条公理，即
(1). 非负性：对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
(2). 规范性： P (Ω | B) =1 ；
(3). 可列可加性：设 A1,…,An…互不相容，则
n
P( A) P(Bi )P( A | Bi )
i 1
—— 将复杂事件A分解成若干互不相容的较简 单事件之和，然后求相应的概率.
—— 做题时，注意将复杂事件表述出来，再来 寻找导致该事件发生的各种可能的原因（或途
径，或前提条件），由此找到Ω的划分。
请思考以下问题： 条件概率P(A|B)与P(A)的区别 条件概率P(A|B)与P(A)数值的大小关系 有没有P(A)=P(A |B)的情形，若有请举出例子
什么是条件概率举例说明
什么是条件概率举例说明条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
为了更好地理解条件概率的概念，下面将举例说明。
1. 假设某个班级有40个学生，其中20个是男生，20个是女生。
现在随机选择一个学生，已知选中的学生是男生，那么他是某个特定学生的概率是条件概率。
2. 在一批产品中，有10%的次品。
现从中随机抽取一个产品，已知抽中的产品是次品，那么它是某个特定次品的概率是条件概率。
3. 假设某个城市的天气情况有30%的可能是晴天，20%的可能是阴天，50%的可能是雨天。
现已知今天是雨天，那么明天也是雨天的概率是条件概率。
4. 在一批电视节目中，有60%的节目是娱乐类节目，30%的节目是新闻类节目，10%的节目是体育类节目。
现已知某个节目是体育类节目，那么下一个节目也是体育类节目的概率是条件概率。
5. 假设某个餐厅的顾客中，有40%的人喜欢吃牛肉，30%的人喜欢吃鸡肉，30%的人喜欢吃鱼肉。
现已知某个顾客喜欢吃鸡肉，那么他也喜欢吃鱼肉的概率是条件概率。
6. 在某个学校中，有60%的学生喜欢数学，40%的学生喜欢英语，30%的学生同时喜欢数学和英语。
现已知某个学生同时喜欢数学和英语，那么他是喜欢数学的概率是条件概率。
7. 假设某个地区的人群中，有70%的人喜欢看电影，50%的人喜欢看电视剧，20%的人同时喜欢看电影和电视剧。
现已知某个人同时喜欢看电影和电视剧，那么他是喜欢看电视剧的概率是条件概率。
8. 在某个公司中，有60%的员工是男性，40%的员工是女性。
现已知某个员工是男性，那么他是某个特定员工的概率是条件概率。
9. 假设某个市场上，有50%的产品是手机，30%的产品是电脑，20%的产品是平板电脑。
现已知某个产品是手机，那么下一个产品是平板电脑的概率是条件概率。
10. 在一批学生中，有70%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打足球，20%的学生同时喜欢打篮球和足球。
现已知某个学生同时喜欢打篮球和足球，那么他是喜欢打篮球的概率是条件概率。
条件概率公式
条件概率公式条件概率：设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。
说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。
记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。
注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。
举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T.样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT）设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH）设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT）求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。
（例子来自浙大版概率与统计第四版）从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。
所以可以直接求出A的概率与B的概率。
即P(A)=3/4 ,A事件与B事件相交事件只有一个即HH。
即P(AB)=1/4.有公式1可知P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3.1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。
即得到乘法公式。
如式P(AB)=P(B|A) P(A)。
全概率公式：在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。
积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。
P(A∩B)表示A和B相交的概率。
而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。
比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)。
条件概率
0.7
A
3.甲 3.甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放 人参加面试抽签， 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是 10个试题签中有 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1） 甲抽到难题签， 甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到 甲和乙都抽到难题签， 难题签而乙抽到难题签， 难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签 的概率。 的概率。 分别表示“ 丙抽到难签” 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签” ， ， 分别表示
条件概率(1) 条件概率
我们知道求事件的概率有加法公式： 我们知道求事件的概率有加法公式： 若事件A 互斥， 若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 那么怎么求A 积事件AB的概率呢? AB的概率呢 那么怎么求A与B的积事件AB的概率呢? 注: 1.事件 事件A 至少有一个发生的事件叫做A 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B 和事件,记为A∪B A∪B( A+B); 的和事件,记为A∪B(或A+B); 2.事件 事件A 都发生的事件叫做A 积事件, 2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件, A∩B( AB); 记为A∩B 记为A∩B(或AB); 3.若AB为不可能事件,则说事件A与B互斥. 3.若AB为不可能事件,则说事件A 互斥. 为不可能事件
表示“ 解 设A表示“活到 岁”(即≥20)，B表示 表示 活到20岁 即 ， 表示 活到25岁 “活到 岁” (即≥25) 即 则 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.56 所求概率为
P( AB) P( B ) P ( B A) = = = 0.8 P( A) P( A)
条件概率的三种求解方法
条件概率的三种求解方法：
在概率论中，条件概率表示一个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
常见的三种求解条件概率的方法如下:
1.通过贝叶斯公式求解: 贝叶斯公式是P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B) 表示
条件概率，P(B|A) 表示B 在A 发生的条件下发生的概率，P(A) 表示A 发生的概率，P(B) 表示B 发生的概率。
2.通过乘法公式求解: 乘法公式是P(A and B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)，其中P(A
and B) 表示A 和B 同时发生的概率。
3.通过联合概率公式求解: 联合概率公式是P(A and B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)，
其中P(A and B) 表示A 和B 同时发生的概率。
这三种方法都可以求解条件概率，但是要根据具体情况选择使用哪一种方法。
条件概率的性质概念
条件概率的性质概念条件概率是概率论中的基本概念之一，它描述了在给定某个条件下的事件发生的概率。
条件概率是一种经验性的或者统计性的概率，它需要依赖于一定数量的观察结果来计算。
在理解条件概率的性质之前，我们先从条件概率的定义开始。
条件概率的定义：设A和B是两个事件，且P(B)>0，那么在事件B已经发生的条件下，事件A 发生的概率称为事件A在事件B的条件下发生的条件概率，记作P(A B)。
条件概率的性质：1.非负性：条件概率是一个概率值，因此它的取值范围在0到1之间，即对于任何事件A和B，有0≤P(A B)≤1。
2.规范性：当事件A包含在事件B中时，即A⊆B时，有P(A B)=1。
3.对立性：当事件A与事件B互斥时，即A与B不可能同时发生时，有P(A B)=0。
4.可加性：当事件B的概率大于0时，有P(A∪B)=P(A B)P(B)+P(A B')P(B')，其中B'表示事件B的补事件。
5.乘法公式：对于任何两个事件A和B，有P(A∩B)=P(A B)P(B)=P(B A)P(A)。
这一性质也称为乘法规则。
6.独立性：当事件A和B相互独立时，即P(A∩B)=P(A)P(B)，根据乘法公式可知P(A B)=P(A)，即事件B的发生与否对事件A的发生概率没有影响。
条件概率的性质可以帮助我们更好地理解和计算各种事件之间的关联关系。
在实际应用中，条件概率常常用于解决与观察结果有关的问题，例如医学诊断、金融风险评估等。
通过计算各种疾病的发生概率以及与之相关的症状，医生可以利用条件概率来判断某位患者是否患有某种疾病。
类似地，金融机构可以利用条件概率来评估某个投资项目的风险程度，进而作出合理的决策。
此外，条件概率还可以应用于事件的预测和分类。
通过观察某个事件已经发生的条件下的频率，我们可以计算出在给定观察结果下其他事件发生的概率。
这对于制定决策、进行预测以及进行风险评估等具有重要作用。
条件概率和贝叶斯公式
条件概率和贝叶斯公式一、条件概率的概念和原理条件概率是指在一些条件下事件发生的概率。
在概率论中，事件A在事件B发生的条件下的概率被称为条件概率，记作P(A，B)，读作“在B 条件下A的概率”。
条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率的计算可以通过总体概率的思想进行推导。
总体概率的思想是指将事件的发生分解为不同条件下的发生，然后将这些条件下的发生概率加总得到整体的发生概率。
条件概率在实际中具有广泛的应用。
例如，在疾病诊断中，医生经过观察和检测后，在患者出现一些症状的条件下，判断该患者是否患有其中一种疾病。
这时，医生利用条件概率进行判断，计算患者在出现症状的条件下患病的概率，从而得出最终的诊断。
二、贝叶斯公式的概念和原理贝叶斯公式是由英国统计学家贝叶斯（Thomas Bayes）在18世纪提出的一种计算条件概率的公式，被广泛应用于概率推断和统计学中。
贝叶斯公式的表达式为：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B分别发生的概率。
贝叶斯公式的推导基于条件概率的计算公式和乘法法则。
通过将条件概率的计算公式改写成两个事件发生同时的概率，然后利用乘法法则进行概率计算，最终得到贝叶斯公式的表达式。
贝叶斯公式在实际中具有广泛的应用。
例如，在信息检索中，利用贝叶斯公式可以计算一些关键词出现的条件下文档属于一些类别的概率，从而进行文档的分类和检索。
此外，在机器学习中，贝叶斯公式也被用于构建和更新模型的参数。
三、条件概率和贝叶斯公式的应用案例1.疾病诊断：如前文所述，医生可以利用条件概率和贝叶斯公式计算患者在出现一些症状的条件下患病的概率，从而进行疾病的诊断和治疗。
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B
i 1
i
,
P( Bi ) 0, i=1, 2, …
则对任一事件A, 有P( Bi | A)
证明: 由条件概率 P( Bi A) P( Bi | A) , P( A)
P( B ) P( A | B )
j 1 j j
ห้องสมุดไป่ตู้
P( Bi ) P( A | Bi )
.
再由概率乘法公式 由全概率公式
2 9
3 2 1 10 9 15
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 )
注：乘法公式可以推广到有限个事件积的概率情形： 设 A1 , A2 ,, An 为n个事件，且 P( A1 A2 An1 ) 0 ，则
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )P( An A1 A2 An1 )
条件概率 P( | B)具有概率的三个基本性质. 1) 非负性: 对任一事件 A F , 都有 P( A | B) 0; 2) 规范性: P( | B) 1; 3) 可列可加性: 若A1, A2, …是互不相容的事件, 即 Ai Aj (i j ), 则有
P( Ai / B) P( Ai / B).
P( AB4 ) 应承担 P( B4 | A) 大的责任. P( A) 4
由全概率公式
P( A) P( Bi ) P( A | Bi ) 0.0315
i 1
而P( AB4 ) P( B4 ) P( A | B4 ) 0.35 0.02 0.007 0.007 于是 P( B4 | A) 0.222 . 即: 第4流水线应负 0.0315 22.2%的责任.
则对任一事件A, 有 P( A) P( Bi ) P( A | Bi ). 全概率公式
定理5.1 设 B1 , B2 ,...是两两互不相容事件, 且有
B
i 1
i
,
P( Bi ) 0, i=1, 2, …
i 1
则对任一事件A, 有 P( A) P( Bi ) P( A | Bi ).
5.2.2 全概率公式和逆概率公式 在实际中, 某一事件A的发生可能有各种原 因 , 故 A 发生的概率应该是各原因引起 A 发生的 概率之和, 即全概率公式. 定理3.1 设 B1 , B2 ,...是两两互不相容事件, 且有
B
i 1
i
,
P( Bi ) 0, i=1, 2, …
i 1
证明: P( A) P( A ) P A ( Bi） i 1
P ( ABi ) i 1
i 1
P( AB )
i 1 i
P( Bi ) P( A | Bi ).
概率乘法公式
定理5.2 设 B1 , B2 ,...是两两互不相容事件, 且有
3
例5.7 一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先 后两次从中任意各取一球（不放回），求两次取到的
均为黑球的概率。 解 设表示事件“第i次取到的是黑球”（i=1,2），则 A1A2表示事件“两次取到的均是黑球”。由题设知：
P( A1 )
于是，根据乘法公式，有
3 10
P ( A2 A1 )
解 以Ai（i=1,2,3）表示事件“透镜第i次落下 时打破”，以B表示事件“透镜落下三次而 B A1 A2 A3 未打破”。因为 ，故有
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) 2 10 10 200
3 36 P( B)
5.2.1 条件概率的定义及性质 定义5.2 若 (, F , P)是一个概率空间, B F , 且P(B)>0, 则对任意的 A F , 称
P( AB) P( A | B) P( B)
为在已知事件B发生的条件下, 事件A发生的条件 概率. 由定义可知, 对任意两个事件A, B, 若P(B)>0, 则有 P(AB)=P(B)P(A|B). 并称此式为概率的乘法 公式.
条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质.
如 : P ( A | B) 1 P ( A | B) P( A C | B) P( A | B) P(C | B) P( AC | B)
但在 P( A | B) 中: A, B交换位置, 意义就完全不同了.
5.8 某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概 率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率 为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率 为9/10。试求透镜落下三次而未打破的概率。
逆概率公式是已知结果推原因, 即用A发生了 来检验先验概率, 即 P( Bi | A)与P( Bi ) 之间的差别. P( Bi | A) 也叫后验概率.
例5.9 某工厂有四条流水线生产同一种产品, 该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%, 35%, 又这四条流水线的不合格品率依次为 0.05, 0.04, 0.03, 0.02. 现在从出厂产品中任取一件, 问恰好抽到不合格品的概率为多少？ 解: 令 A={任取一件, 恰好抽到不合格品}, Bi {任取一件, 恰好抽到第i条流水线的产品}, (i=1, 2, 3, 4). 由全概率公式:
§5.2 条件概率 在实际应用中, 除了要研究事件A的概率P(A) 之外, 有时还需要研究在事件B已经发生的条件 下, 事件A发生的概率. 我们称这种概率为条件概 率, 记为P(A|B). 一般说来P(A|B) P(A). 例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, 则 P(A )= 1/6 ，P(A|B)=？ 若已知事件B已经发生, 此时试验所有可能 结果构成的集合就是B, B中共有3个元素, 它们的 出现是等可能的, 其中只有1个在集合A中, 于是 P(A|B)= 1/3. 1 1 6 P( AB) 容易看到 P(A|B) .
独立与互不相容的关系: 如图所示: A, B是独立的吗? 显然A, B是互不相容的, 因为 A B A发生, B就不会发生, 反之亦然. 但如果 P(A)≠0, P(B)≠0, 则 P(AB)≠P(A)P(B). 故 A, B不独立.
关于独立性的一点说明: 在实际应用中, 往往可以根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立. 例如: 甲, 乙两人向同一目标射击, 记A={甲命中}, B={乙命中}, A与B是否独立？ 答: 因为事件A发不发生与事件B无关, 反之亦然, 所以A, B是独立的. 又如: 一批产品共n件, 从中抽取2件, 设 Ai={第i件是合格品}, i=1, 2. 若抽取是有放回的, 则A1与A2 独立 . 若抽取是无放回的, 则A1与A2不独立 .
例5.6 一家中有两个小孩, 已知其中有一个 是女孩, 问这时另一个小孩也是女孩的概率是多 少? (假定一个小孩是男还是女是等可能的). 解: 根据题意, 样本空间为 { (男, 男), (男, 女), (女, 男), (女, 女) }, B={ 已知有一个是女孩 } = { (男, 女), (女, 男), (女, 女) }, A={另一个也是女孩}= { (女, 女) }, 于是所求概率为 P( AB) 1 / 4 1 . (1) 用定义计算: P( A | B) P( B) 3/ 4 3 1 (2) 在缩减的样本空间B上计算: P( A | B) .
.
P( Bi | A)
P( Bi ) P( A | Bi )
j j
P( B ) P( A | B )
j 1
i=1, 2, …
(逆概率公式 )
说明: 全概率公式和逆概率公式都需找一个两两互 不相容事件组： B1 , B2 ,...,Bn 且 Bi , 把事件
i 1 n
B1 , B2 ,...,Bn看作是导致事件A发生的原因, 而这些 原因的概率 P( Bi )称为先验概率, 它们是已知的或 容易求出的. 全概率公式是“由原因推结果”, 每个原因 对结果的发生有一定的“作用”.
2. 有三个箱子, 分别编号为1, 2, 3, 1号箱装有1 个红球4个白球, 2号箱装有2红3白球, 3号箱装 有3红球. 某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸 出一球, 求取得红球的概率. 解: 令A={取得红球}, Bi={球取自i 号箱}, i=1, 2, 3; 则 A AB1 AB2 AB3 ,
i 1 i 1
由此可知, 如果P(B)>0, 则 P( | B) 满足概率的 公理化定义, 因此, P( | B) 是 (, F )上的一个概率. 特别地, 当 B 时, P( | B ) 就是原来的概率 P(). 换句话说, P( | B) 是将原样本空间 缩减为了B.
练习题: 1. 一盒子装有5只产品, 其中3只一等品, 2只二 等品. 从中取产品2次, 每次任取一件, 做不放回 抽样. 设事件B为“第一次取到的是一等品”, 事件A为“第二次取到的是一等品”, 试求 P (A|B ). 解法 1: P( AB) P32 / P52 1 P( A | B) 1 1 2 , P( B) P3 P4 / P5 2 2 1 解法2: P( A | B) . 4 2
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1 4
0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02
0.0315 3.15%.
例5.10 某工厂有四条流水线生产同一种产品, 该四条流 水线的产量分别占总产量的15%, 20%, 30%, 35%, 又这 四条流水线的不合格品率依次为0.05, 0.04, 0.03, 0.02. 该 厂规定: 出了不合格产品要追究经济责任. 现在已出厂产 品中任取一件, 结果为不合格品, 但该产品是哪一条流水 线生产的标志已经脱落. 问各流水线应承担多大责任? 解: 从概率论的角度考虑可以按 P( Bi | A) 的大小来追究 第i条(i=1, 2, 3, 4)流水线的经济责任. 例如: 第4流水线