用割线法解非线性方程组
计算方法21-非线性方程
区间,如此反复,直到求出满足精度要求的近似根.
具体步骤如下：
10
令 (a, b) (a0 , b0 )
取a0 , b0 中点 x0
a0 b0 2
将其二分，
这时有三种情况： 若 f x0 0 , 则 x x0 ; 否则， x f a f x 0 , 则 a , x0 , 令 a1 a , b1 x0 ; 若 0
1 1 b2 a2 (b1 a1 ) 2 (b a ) , 2 2 ba bk ak k 2
ak bk 区间 ak , bk 的中点 xk 形成一个序列 x0 , x1 ,, xk ,, 2
显然有 lim x k x .
k
13
实际计算中，对于给定的根的允许误差 0 ,
5
求方程根的近似值，需要解决的问题：
⑴ 根的存在性. ⑵ 根的隔离. 要判断方程有没有根，有几个； 找出有根区间，使得在较小的区间内
方程只有一个根，以得到根的近似值.
⑶ 根的精确化. 利用合适的数值计算方法，逐步 把根精确化，直至满足精度要求.
6
二、逐步搜索法
假设f(x)在有根区间[a,b]单值连续，且f(a)<0.
一般步骤：
取合适的步长
y
ba h , n
f(x) 0 a x* b x
从x0=a出发，按步长逐步向右跨进行搜索，
若发现f(xk)与f(a)异号，则确定一个缩小的有根区间
[ xk 1 , xk ], 其宽度等于步长h.
特别地，若f(xk)=0,则xk就是所求的根.
7
例 对方程f (x)=x3-x-1=0 搜索有根区间.
12
非线性方程求解
⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
计算方法—非线性方程求解
计算方法—非线性方程求解计算方法是数学中的一个重要分支，它研究如何利用计算机和数值方法解决各种数学问题。
在实际应用中，非线性方程是一个常见的问题。
非线性方程是指其表达式中包含一个或多个非线性项的方程。
与线性方程相比，非线性方程更加复杂，通常不能通过代数方法直接求解。
因此，我们需要借助计算方法来求解非线性方程。
常见的非线性方程求解方法包括迭代法、牛顿法和二分法等。
首先，迭代法是一种基本的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
迭代法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用迭代公式x_{n+1}=g(x_n)，计算下一个值x_{n+1}；3.不断重复步骤2，直到计算出满足精度要求的解为止。
其中，g(x)是一个逼近函数，通常是通过原方程进行变形得到的。
在实际应用中，迭代法的关键是选择适当的初始值x0和逼近函数g(x)。
如果选取的初始值离方程的根较远，可能会导致迭代结果不收敛；如果逼近函数不恰当，迭代结果也可能不收敛。
因此，在使用迭代法时需要注意这些问题。
其次，牛顿法是一种较为高效的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过线性近似来逼近方程的根。
牛顿法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用泰勒展开将原方程线性化，得到一个线性方程；3.解线性方程，计算下一个值x_{n+1}；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
在实际应用中，牛顿法的关键是计算线性方程的解。
通常可以通过直接求解或迭代方法求解线性方程。
此外，牛顿法还需要注意选择适当的初始值x0，特别是对于多根方程需要选择不同的初始值。
最后，二分法是一种简单但较为稳定的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过区间缩减来逼近方程的根。
二分法的一般步骤如下：1.选取一个包含根的初始区间[a,b]；2.计算区间的中点c=(a+b)/2；3.判断中点c的函数值与0的关系，从而确定下一个区间；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序1. fzero函数：fzero函数是MATLAB中最常用的求解非线性方程的函数之一、它使用了割线法、二分法和反复均值法等多种迭代算法来求解方程。
使用fzero函数可以很方便地求解单变量非线性方程和非线性方程组。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以使用以下语法：``````2. fsolve函数：fsolve函数是MATLAB中求解多维非线性方程组的函数。
它是基于牛顿法的迭代算法来求解方程组。
使用fsolve函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````3. root函数：root函数是MATLAB中求解非线性方程组的函数之一、它采用牛顿法或拟牛顿法来求解方程组。
使用root函数可以非常方便地求解非线性方程组。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：``````4. vpasolve函数：vpasolve函数是MATLAB中求解符号方程的函数。
它使用符号计算的方法来求解方程，可以得到精确的解。
vpasolve函数可以求解多变量非线性方程组和含有符号参数的非线性方程。
例如，要求解方程组F(x) = 0，可以使用以下语法：```x = vpasolve(F(x) == 0, x)```vpasolve函数会返回方程组的一个精确解x。
5. fsolve和lsqnonlin结合：在MATLAB中，可以将求解非线性方程转化为求解最小二乘问题的形式。
可以使用fsolve函数或lsqnonlin函数来求解最小二乘问题。
例如，要求解方程f(x) = 0，可以将其转化为最小二乘问题g(x) = min，然后使用fsolve或lsqnonlin函数来求解。
具体使用方法可以参考MATLAB官方文档。
6. Newton-Raphson法手动实现：除了使用MATLAB中的函数来求解非线性方程，还可以手动实现Newton-Raphson法来求解。
非线性方程数值求解法总结
（一）非线性方程的迭代解法1.非线性方程的一般形式：f(x)=02.非线性方程的分类：⎩⎨⎧=为其他函数。
超越方程，次代数多项式；为代数方程，)()(0)(x f n x f x f 3.方程的根：若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程(4.1)的根，又称s 是函数f(x)的零点。
4.重根：若f(x)能分解为)()()(x s x x f m ϕ-= 则称s 是方程(4.1)的m 重根和f(x)的m 重零点。
当m=1时，s 称为方程(4.1)的单根和f(x)的单零点。
5.结论：(1)零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，那么在开区间（a,b ）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0.(2)根的唯一性判别：一阶导数不变号且不为零(3)n 次代数方程在复数域上恰有n 个根(4)高于4次的代数方程没有求根公式6.方法：(1)搜索根方法：①作图法：②逐步搜索法：确定方程根的范围的步骤：步骤1 取含f(x)=0根的区间[a,b]，即f(a)•f(b)<0；步骤2 从a 开始，按某个预定的步长h ，不断地向右跨一步进行一次搜索， 即检查kh a x k +=上的函数)(k x f 值的符号。
若0)()(1<•-k k x f x f ，则可以确定一个有根区间],[1k k x x -.步骤3 继续向右搜索，直到找出[a,b]上的全部有根区间],[1k k x x -（k=1,2,…,n).(2)二分法①基本思想：含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列 {}k I ,在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。
②迭代终止的条件ε<)(k x fε2<-k k a b或者ε<-≤-2k k k a b s x(3)简单迭代法及其收敛性)(0)(x x x f ϕ=⇔=,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐 步精确化,最后得到满足精度要求的解。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))解读
returnx-(f(x)/fderivatives(x));
}
//牛顿迭代
doublenewton(doublex0){
doublex1=newtonitera(x0);
while(fabs(x1-x0)>precision){
x0=x1;
if(newtonitera(x0)==-1)break;
-1.00005
1
-0.975
6
-1.00078
11
-0.999976
2
-1.0125
7
-0.999609
12
-1.00001
3
-0.99375
8
-1.0002
13
-0.999994
4
-1.00312
9
-0.999902
14
-1
表1-2
区间[1.5,1.8]
k
xk
k
xk
k
xk
0
1.65
7
1.69102
3
1.69126
0.0157988
4
1.69027
-0.000313515
5
1.69028
-6.3006e-007
表4-3
从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦截法的收敛速度。二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算，牛顿迭代法虽然收敛高，但要求导数，计算的复杂度高！双点弦法随稍慢于牛顿跌代法，可以用差商代替牛顿迭代法中的导数，降低了计算的复杂度！
cout<<"f(x3)"<<f(x3)<<endl;//输出x3的函数值
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。
解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种）
数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种）数值分析中求解非线性方程的MATLAB求解程序（6种）1.求解不动点function [k,p,err,P]=fixpt(g,p0,tol,max1)%求解方程x=g(x) 的近似值，初始值为p0%迭代式为Pn+1=g(Pn)%迭代条件为：在迭代范围内满足|k|<1(根及附近且包含初值)k为斜率P(1)=p0;for k=2:max1P(k)=feval(g,P(k-1));err=abs(P(k)-P(k-1));relerr=err/(abs(P(k))+eps);p=P(k);if (err<tol)|(relerr<tol)< p="">break;endendif k==max1disp('超过了最长的迭代次数')endP=P';2.二分法function [c,err,yc]=bisect(f,a,b,delta)%二分法求解非线性方程ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0break;max1=1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));for k=1:max1c=(a+b)/2;yc=feval(f,c);if yc==0a=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif b-a<delta< p="">break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(f,c);3.试值法function [c,err,yc]=regula(f,a,b,delta,epsilon,max1) %试值法求解非线性方程%f(a)和飞(b)异号ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0disp('Note:f(a)*f(b)>0');for k=1:max1dx=yb*(b-a)/(yb-ya);c=b-dx;ac=c-a;yc=feval(f,c);if yc==0break;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;enddx=min(abs(dx),ac);if abs(dx)<delta|abs(yc)<epsilon< p="">break;endendc;err=abs(b-a)/2;yc=feval(f,c);4.求解非线性方程根的近似位置function R=approot(X,epsilon)%求解根近似位置%为了粗估算方程f(x)=0在区间[a,b]的根的位置，%使用等间隔采样点(xk,f(xk))和如下的评定准则：%f(xk-1)与f(xk)符号相反，%或者|f(xk)|足够小且曲线y=f(x)的斜率在%(xk,f(xk))附近改变符号。
非线性方程的数值计算方法实验解析
非线性方程的数值计算方法实验一、实验描述：在科学研究和工程实践中，经常需要求解大量的非线性方程。
本实验正是通过计算机的程序设计，使用迭代法、波尔查诺二分法、试值法、牛顿-拉夫森法和割线法，来实现非线性方程的求解。
本实验中通过对各种方法的实践运用，可以比较出各种方法的优缺点。
并且，通过完成实验，可加深对各种方法的原理的理解，熟悉掌握C语言在这些方法中的运用。
二、实验内容：1、求函数cos(x)=的不动点（尽可能多）近似值，答案g x-(x)x精确到小数点后12位；2、如果在240个月内每月付款300美元，求解满足全部年金A为500000美元的利率I，的近似值（精确到小数点后10位）。
3、利用加速牛顿-拉夫森算法，用其求下列函数M阶根p的近似值。
(a)、f(x)=(x-2)5，M=5,p=2，初始值p0=1。
(b)、f(x)=sin(x3)，M=3,p=0，初始值p0=1。
(c)、f(x)=(x-1)ln(x),M=2,p=1，初始值p0=2。
4、设投射体的运动方程为：y=f(t)=9600(1-e-t/15)-480tx=r(t)=2400(1-e -t/15)(a)求当撞击地面时经过的时间，精确到小数点后10位。
(b)求水平飞行行程，精确到小数点后10位。
三、实验原理：(1)、不动点迭代法：它是一种逐次逼近的方法,即用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的结果。
它利用计算机运算速度快，适合做重复性操作的特点，让计算机对一个函数进行重复执行，在每次执行这个函数时，都从变量的原值推出它的一个新值，直至推出最终答案为止。
迭代法一般可用于寻找不动点，即：存在一个实数P ，满足P=g(P)，则称P 为函数g(x)的一个不动点。
且有定理：若g(x)是一个连续函数，且{p n }n=0∞是由不动点迭代生成的序列。
如果lim n→∞p n =P ,则P 是g(x)的不动点。
所以，不动点的寻找多用迭代法。
第6章 非线性方程(组)和最优化问题的
[ a n +1 , bn +1 ] ⊂ [ a n , bn ]， 用 不 等 式 表 达 为 ：
a n ≤ a n + 1 ≤ bn + 1 ≤ bn , n = 1, 2, 3, L (2)区 间 的 长 度 单 调 趋 于 零 ， 即 lim ( bn − a n ) = 0,
n→ ∞
则 存 在 ξ 使 lim a n = ξ = lim bn , 并 且 这 个 ξ 是 所 有 闭 区 间 [ a n , bn ]的 唯 一 公 共 点
lim
ε k +1 εk
p
k →∞
= lim
x* − xk +1 x − xk
* p
k →∞
=C ≠0
则称此迭代格式是p阶收敛的，或称该方法具有 阶敛速。 则称此迭代格式是 阶收敛的，或称该方法具有p 阶敛速。 阶收敛的 迭代格式为线性 一次）收敛； 为线性（ 当p = 1时，称迭代格式为线性（一次）收敛； 时 当p >1时，称迭代格式为超线性收敛。 时 迭代格式为超线性收敛。 为超线性收敛 迭代格式为平方 二次）收敛； 为平方（ 当p = 2时，称迭代格式为平方（二次）收敛； 时
所 定 义 的 序 列 { x k }收 敛 到 方 程 f ( x ) = 0的 根 ， x * − x k +1 f ''( x *) 且 有 = lim =− * 2 k→∞ （ x − x k） 2 f ′ ( x *) 即 N ew ton 迭 代 法 是 平 方 收 敛 的
例:利用Newton迭代法求方程 于[0,2]内的根
将 (x* − x0)2 看成高阶小量，则有： 看成高阶小量，则有：
0 = f ( x*) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x * − x0 ) ⇒ x* ≈ x0 −
非线性方程组求解的新方法
非线性方程组求解的新方法在实际生活中，许多复杂问题都可以转化为非线性方程组的解法问题。
非线性方程组的求解一直是数值计算领域中的一个重要课题。
传统的求解方法包括牛顿法、割线法、迭代法等。
但是在实际应用中，这些方法常常存在不收敛、收敛速度慢等缺点。
近年来，随着计算机性能的提高和算法的发展，针对非线性方程组求解的新方法应运而生。
本文将介绍一些新的非线性方程组求解方法，包括逆迭代法、多步迭代法、牛顿-Krylov方法等。
一、逆迭代法逆迭代法是解决非线性方程组的一种有效方法，它将非线性方程组的求解问题转化为线性方程组的求解问题。
逆迭代法主要是通过求解线性方程组来逼近非线性方程组的根。
具体地说，逆迭代法首先需要将原始的非线性方程组转换为F(x)=0的形式，然后我们采用牛顿法或者其他迭代法求解。
接着，我们将得到的解带入到原始的方程组中，得到一个新的线性方程组。
然后，我们对这个线性方程组进行求解，得到一个新的解x1。
然后，我们将x1作为新的解反复代入到原始方程组中，直到收敛到所要求的精度。
逆迭代法的实现很简单，但是要求方程组的雅可比矩阵非奇异，否则该方法就不收敛。
此外，逆迭代法的求解过程中会产生大量的向量运算和矩阵运算，因此需要有高性能的计算机支持。
二、多步迭代法多步迭代法是另外一种解决非线性方程组的方法。
它的特点在于每次迭代需要使用前面多步的信息。
由于多步迭代法具有更强的全局收敛性和更高的收敛速度，因此成为了解决非线性方程组的一种重要方法。
多步迭代法的基本思路是将每个分量进行独立迭代，并且每个分量之间都是相互独立的。
例如对于一个有n个分量的非线性方程组，我们可以采用如下的多步迭代方法：首先，设置一个初始向量x0。
然后，对于每一个分量Xi，我们可以设置一个递归计算公式Xi(k+1) = a1*Xi(k) + a2*Xi(k-1) + ... + an*Xi(k-n+1) - Fi(Xi(k),Xi(k-1),...,Xi(k-n+1))其中，a1,a2,...,an是待定常数，Fi是分量函数。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法如何构造合适的迭代法求解非线性方程是数值计算中的一个基本问题。
本文对解非线性方程的迭代法进行分析与拓展，以经典的牛顿迭代法和弦截法为基础，构造了三种新的迭代法。
通过数值例子表明，这三种迭代法在一定程度上加快了收敛速度。
标签：非线性方程；迭代法；数值模拟众所周知，现实生活中的许多问题都可以转化为非线性方程解的问题。
但是，由于方程求解问题的复杂性以及直接求解问题的多变性，使得非线性方程的求解绝非易事，一般不能直接对其求解。
因此，迭代法[1-3]是非线性方程求根中最基本、最常用的方法，其思想是寻找一个精确度较高的近似解来代替无法得到的精确解，而不同的迭代格式具有不同的逼近速度与准确度。
近年来，很多学者在牛顿迭代方法的基础上提出了许多改进的迭代法。
张旭[4]构造了一种三阶含牛顿迭代法；单吉宁等[5]对解非线性方程的牛顿法进行了改进；张辉等[6]基于四点牛顿-柯特斯求积公式提出了六阶迭代方法；黄娜等[7]提出一种新的三阶迭代法；王小瑞等[8]构造了条件最优两步迭代法；高建强等[9]探究了牛顿迭代对收敛速度的影响；王尧等[10]提出求解非线性方程的三步六阶迭代法。
为此，本文在上述工作基础上提出了一些新的迭代格式用于求解非线性方程，通过数值例子来检验迭代法的有效性与实用性。
1 三种新的迭代格式1.1 迭代格式一设非线性方程，在方程的解区间之内有一个近似解为，将在近似解点处依泰勒公式对其作展开处理：在牛顿迭代格式中取前两项近似的表示原方程，即：类似地，取前三项近似表示原方程，可以得到：设方程的解为且则有如下：经处理得到新的迭代格式如下：迭代格式（1）式中的右边存在了这一项，将其记作加以区分，将迭代格式更改为：同时对于这一项的计算利用牛顿迭代格式来计算，即，则可得新的迭代格式一：设可控制误差为，则在进行次迭代之后的近似值为。
那么只需时，迭代终止。
1.2 迭代格式二牛顿迭代格式中用差商替换得到了割线法的迭代格式。
第二次实验报告(非线性方程求根)
班级： 学号： 姓名： 成绩：实验2 非线性方程的数值解法实验1实验目的1）进一步熟练掌握求解非线性方程的牛顿迭代法和弦截法。
2）根据牛顿迭代法和弦截法的原理，编写程序求解非线性方程，提高编程解决问题的能力。
2 实验内容（1）用牛顿法和割线法求下列方程的根x^2-e^x=0;x*e^x-1=0;（23实验原理（1）牛顿迭代公式：1()/'()k k k k x x f x f x +=- 双点弦法公式：111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- （2）令2()f x x A =-，再用牛顿法求根。
4实验步骤1)根据牛顿迭代法，双点弦法的算法编写相应的求根函数；2)用牛顿迭代法和双点弦法分别对方程进行求解；5 程序设计牛顿迭代法x0=1.0;N=100;k=0;eps=5e-6;delta=1e-6;while(1)x1=x0-fc1(x0)/fc2(x0);k=k+1;if k>Ndisp('Newton method failed')breakendif(abs(x1-x0)<delta || abs(fc1(x1))<delta) break;endx0=x1;endfprintf('%f',x0)fprintf('%f',abs(fc1(x1)))双点弦法function cutline(x0,x1)N=100;k=0;delta=5e-8;while(1)(abs(x1-x0)>=delta)c=x1;x1=cutnext(x0,x1);x0=c;k=k+1;if k>Ndisp('Cutline method failed')break;endif(abs(x1-x0)<delta || abs(fc1(x1))<delta) break;endendfprintf('%10f\n',x1);function y=cutnext(a,b)y=b-fc(b)/(fc(b)-fc(a))*(b-a);1）原函数function fc1=fc1(x)fc1=x^2-exp(x);end导函数function fc2=fc2(x)fc2=2*x-exp(x);end2）原函数导函数3）原函数导函数6实验结果及分析注：牛顿迭代法由于设置delta=1e-6，所以算出的误差e<1.0*10^-6;割线法由于设置delta=5e-8，所以误差e<5.0*10^-8.7总结。
数值分析第2章习题
第二章非线性方程（组）的数值解法考题第二章非线性方程（组）的数值解法考题一、选择题(每题5分，共计20分)1、已知方程0523=--x x 在区间[]32，存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（代（ C ）次可以保证误差不超过31021-´。
（二分法二分次数） A 5； B 7； C 10；D 12 2、用一般迭代法求方程()0=x f 的根，将方程表示为同解方程()x x j =，则()0=x f 的根是（的根是（C C ）（不动点迭代法根的几何意义） A.x y =与()x y j =的交点的交点 B. B.x y =与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标C.x y =与()x y j =交点的横坐标交点的横坐标D. D.()x y j =与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标3、分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是:（B ）（迭代的收敛性）A. 前者收敛，后者发散前者收敛，后者发散B. 前者发散，后者收敛前者发散，后者收敛C. 两者均收敛发散两者均收敛发散D. 两者均发散两者均发散分析：()x ,j <14、解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法的收敛阶为（的牛顿迭代法的收敛阶为（D ）。
（收敛阶数） A 线性收敛；线性收敛； B 局部线性收敛；局部线性收敛； C 平方收敛；平方收敛；D 局部平方收敛。
二、填空题（每小题5分，共计20分）分）1、非线性方程0)(=x f 的迭代函数)( x x j =在有解区间满足在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
（迭代函数）答案：1)(<¢x j2、在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0的选取依据为的选取依据为。
割线法求方程原理
割线法，又称弦割法、弦法，是一种基于牛顿法改进的求解非线性方程根的方法，属于逐点线性化方法。
它的基本思想是用弦的斜率近似代替目标函数的切线斜率，并用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的根的近似。
具体来说，割线法使用两点割线来代替切线，即通过两次迭代得到的两个点(x_{k-1},f(x_{k-1})) 和(x_k,f(x_k)) 来计算割线斜率。
其中，割线斜率为：secant = \frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}$。
然后，用这个secant斜率来替代牛顿法中的f'(k) ，从而得到割线法的迭代式。
从几何的角度来看，该方法首先选取两个初始迭代点P_ {0} 、P_ {1} ，然后作直线P_ {0}P_ {1} 交于x 轴与一点，记这点为(x_ {2},0) ，这样就可以得到第2个迭代点P_ {2} ；接着作直线P_ {1}P_ {2} 交于x 轴与一点，记此点为(x_ {3},0) ，得到第3个迭代点P_ {3} ，以此类推。
非线性方程组
非线性方程组前言非线性方程组，顾名思义就是未知数的幂除了不是1，其他都有可能！线性方程组其实只是非常小的一类，非线性方程组才是大类！也正因此非线性方程组包含各种各样的方程形式，所以它的解和对应的求解方法不可能像线性方程组那样完美，即都是局部收敛的。
先给出一个直观的非线性方程组例子：个人对两个问题的理解：1、非线性方程组如果有解，一般都有很多解！如何理解：把方程组的解看成是各个函数图像的交点的。
我们知道非线性方程组的各个函数就都是复杂曲线、面，甚至是高纬空间里的复杂东西；线性方程组的各个函数就是最简单的直线、面！各个复杂函数图像间的相交机会很多，并且只要相交，就是多个交点(因为交线、交面里有无数的交点)，也就是有多个解，可以想象，非线性方程组有多解是很平常的一件事，对于复杂的非线性函数没解才不正常！可以想象，这些解是等价的！没有说是等级更高，谁等级低一些。
都是解！因为：只要是解，它就只满足一个条件：让方程组中的各个方程=0。
所以无法用什么评判标准(比如范数)来说哪个解的等级高一些或者效果更好一些。
注意：这里的解等价和欠定线性方程组通解中的唯一极小范数解不一样！可以想象二者的区别：非线性方程组中的解都是实打实存在的；而欠定线性方程组中除了特解，其他通解中的解说存在也行，说不存在那就是因为方程条件(个数)都不够！这些是啥都行的通解和非线性方程组中实打实存在的解肯定不能比！这样的话各个非线性方程组的局部收敛性就可以理解，即：空间中有很多解时，我每次只能找一个，那我找谁？找离我出发点最近的那个解呗。
所以不同的出发点，就有可能找到不同的解，这就是局部收敛性。
意思是：每个方程中把所有和有关的用一个变量代替，所有有关的用一个变量代替，即方程1中用：，但是很明显方程2的第一项两个变量相乘，没法用变量代替，并且，即使在方程2中能代替，那么就会有和，这样总未知数变成4个而方程只有2个，还是解不了。
所以，非线性方程组不可能用简单的线性变量代换来解。
类与对象作业H61割线法方程求根
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6.2 类与对象作业(H6_1)
——割线法方程求根
设计并测试一个方程类Function和割线法求方程根类 Secant。要求：
1. Function类体外定义名为Fun的成员函数，用于返 回待求解的方程式的值；
2. 定义Secant的类数据成员：初值Var1,Var2，及函 数值LowVal,UpVal，绝对值后者大，误差精度 ErrPre，方程根Solut，预设迭代次数MaxIt，实际 迭代次数RealIt；
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6.2 类与对象作业(H6_1)
——割线法方程求根
参考结果：
割线法求解过程—迭代次数、方程根与误差变化：
1 -1.8 -4.8
2 -1.7619
0.0380952
3 -1.735
0.0269051
4 -1.73219 0.00280968
5 -1.73205 0.000138526
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6.2 类与对象作业(H6_1)
——割线法方程求根
7.定义Secant的构造函数Secant()，有参数： (1) 完成变量MaxIt,Var1, Var2,ErrPre的初始化； (2) 完成初值LowVal,UpVal,Var1, Var2次序调整； (3) 完成求根。
8.定义Secant的成员函数print()，无参数，完成： (1) 若求解过程是失败的，给出提示； (2) 根据具体迭代次数,从数组Result[2][30]提取迭
代中间结果-函数值与解,并显示； (3) 打印满足误差精度或函数值为零要求的根；
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6.2 类与对象作业(H6_1)
——割线法方程求根
割线法
非线性方程求根班级：计算062 姓名：王保翔 学号：3060811028算 法：几何上，1k x +是过点()()1-k 1k x f ,x -及()()k k x f ,x 的弦与X 轴的交点。
故迭代过程称为弦截法，它是二步定长迭代法。
迭代格式为()()()k 10k 0k k 1k x f x x x f x f x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=，是二步迭代，其迭代函数为()()()()()0x f x f x f x x x x 0---=ϕ 目的意义：非线性方法是求解方程的一个简便的方法，经过几次迭代之后求得x 近似的就等于方程的解。
这使得在计算计算特征值时有了简便的方法。
源程序#include<stdio.h>#define N 100#define eps 0.000001#define f(x) x*x*x-x-1void main(){int k;double t,q,o,s,x[N],y[N],p[N];printf("input x[0],x[1]:");scanf("%lf,%lf",&x[0],&x[1]);for(k=1; ;k++){o=f(x[0]);s=f(x[k]);t=(x[k]-x[0])*s;q=s-o;x[k+1]=x[k]-t/q;y[k]=x[k+1]-x[k];if(y[k]>=0)p[k]=y[k];else p[k]=-y[k];if(p[k]<=eps)break;printf("x[%d]=%lf\n",k+1,x[k+1]);}printf("k=%d,x=%lf\n",k+1,x[k+1]);}及运行结果：分析：输入初始x ，输出迭代后的结果，结果可靠。
参考文献[1]刑志栋，矩阵数值分析，陕西：陕西科学技术出版社，2005。