不等式课后作业
高中数学第二章不等式及其性质同步课时作业含解析新人教B版必修第一册
高中数学课时分层作业：2.2.1不等式及其性质1.(多选)设,a b 为正实数，则下列命题为真命题的是()A.若221a b -=,1a b -<B.若111b a -=,则1a b -<C.1=,则1a b -<D.若1,1a b ≤≤，则1a b ab -≤-2.已知,0x y z x y z >>++=,则下列不等式中一定成立的是（）A.xy yz >B. xz yz >C.xy xz >D. x y z y > 3.若,a b 均为不等于零的实数，条件甲：对任意的10,0x ax b -<<+>恒成立；条件乙：20b a -<,则甲是乙 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5.已知R a ∈，2(1)(3),(2)p a a q a =--=-,则 p 与q 的大小关系为（ )A.p q >B.p q ≥C.p q < D . p q ≤6.若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A. 22a b < B.2ab b < C. 0a b +< D. a b a b +>+7.已知2,3b a d c <<，则下列不等式一定成立的是( )A. 23a c b d ->-B.23ac bd >C. 23a c b d +>+D. 6ad bc >8.下列结论中正确的是（ ）A.若a b >，则ac bc >B.若a b >，则11a b< C.若22ac bc >，则 a b >D.若a b >，则22ac bc >9.若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集是{|32}x x -<<，则a b += . 10.用”>”“<”或“=”填空:①已知0a b c <<<,则ac ________bc ;c a ________c b ②已知x R ∈,则22x +________2x11.给出四个条件:①0b a >>;②0a b >>;③0a b >>;④0a b >>. 其中能推出11a b<成立的是________. 12.已知三个不等式:①0ab >;②c d a b >;③bc ad >,以其中两个作条件余下一个作结论,则可组成________个真命题.13.已知a b >,则下列不等式:①22a b >; ②11a b <; ③11a b a<-; ④22a b >;⑤()0lg a b ->中,你认为正确的是________.(填序号)14.如果a b >,那么2c a -与2c b -中较大的是________15.已知()2f x ax bx c =++(1)当1,2,4a b c =-==时,求()1f x ≤的解集(2)当()()130f f ==,且当()1,3x ∈时,()1f x ≤恒成立,求实数a 的最小值答案以及解析1.答案：AD解析：对于A,由,a b 为正实数,221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+,故0a b a b +>->.若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 为真命题;对于B ，取55,6a b ==,则111b a -=,但5516a b -=->,所以B 为假命题;对于C ，取4,1a b ==1=，但31a b -=<不成立，所以C 为假命题;对于 D ，22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 为真命题.综上可知，真命题为A ，D.2.答案：C解析：因为x y z >>，0x y z ++=，所以30,30x x y z z x y z >++=<++=，所以0,0,x z ><又y z >，所以可得xy xz >.3.答案：A解析：当10x -<<时，恒有0ax b +>成立，∴当0a >时，0ax b b a +>->,当0a <时，0ax b b +>>，0,0,20,b a b b a ∴->>∴->∴甲⇒乙.当 3,02a b b =>时，1202b a b -=>，但当56x =-时,551()0644a b b b b ⋅-+=-+=-<，此时，乙⇒/甲，∴甲是乙的充分不必要条件. 4.答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5.答案：C解析：因为222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<,所以p q <,故选 C.6.答案：D 解析：222110,0,,,0,,,b a b a ab b a b A B C a b<<∴<<∴><+<∴中结论均正确，0,,b a a b a b D <<∴+=+∴中结论错误.故选D.7.答案：C解析：由2,3b a d c <<以及不等式的性质，得32b d a c +<+，故选C.8.答案：C解析：当0c ≤时,ac bc ≤,故选项A 不正确；取2,1a b ==-，11a b>，故选项B 不正确；由22ac bc >，知0c ≠,所以20c >,所以a b >,故选项C 正确；当0c =时,22ac bc =,故选项D 不正确.9.答案：0解析：解不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩,得1223a x x b +⎧<⎪⎨⎪>+⎩,由已知条件，可知122233a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以0a b +=.10.答案：>；<；>；>解析：00a b c <<<，ac bc ∴> 又1100,0a b c a b<<⇒>>< c c a b ∴<再由00a b a b <<⇒->->⇒22(22110)x x x -=-++>222x x ∴+>11.答案：①②④解析：由①0a b <<，有110,0a b <>，所以11a b <；由②0a b >>，有10ab >，故有11a b <；由③0a b >>，有110a b >>；由④0a b >>，得11a b< 12.答案：3解析：由不等式性质,得0ab bc ad c d a b >⎫⎪⇒>⎬>⎪⎭；0ab c d bc ad a b >⎫⇒>⎬>⎭；0c d ab a b bc ad ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭ 13.答案：④解析：当0,1a b ==-时，经验证①，②，③，⑤均不正确．结合指数函数2x y ＝是增函数可知当a b >时，有22a b >，因此④正确14.答案：2c b -解析：,(2)(2)2()0,22a b c a c b b a c a c b >∴---=-<∴-<-15.答案：(1)当1,2,4a b c =-==时，()2241f x x x ≤＝－＋＋，即2230x x ≥－－()(310)x x ∴≥－＋1x ∴≤－或3x ≥(2)方法一 因为()()130f f ＝＝所以()()()()(131(1)3)f x a x x f x a x x ≤＝－－，＝－－在()1,3x ∈上恒成立 即1(1)(3)a x x -≤--在()1,3x ∈上恒成立而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-⎡⎤<--≤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当13x x －＝－，即2x ＝时取到等号 所以1a ≤－，即1a ≥－，所以a 的最小值是1－方法二 ()()(13)1f x a x x ≤＝－－在()1,3x ∈上恒成立即()130()1a x x ≤－－－在()1,3x ∈上恒成立 令()22()13143(2)1)1(g x a x x ax ax a a x a -=-=+-=-----当0a ＝时，()10g x <＝－在()1,3x ∈上恒成立，符合 当0a >时，易知()0g x <在()1,3x ∈上恒成立，符合当0a <时，则10a ≤－－，所以10a ≤<－ 综上所述，1a ≥－所以a 的最小值是1-。
高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么 ；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即 可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻 底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示 式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据 （1）文字叙述：如果 a－b 是 ，那么 a>b；如果 a－b 等于 ，那么 a＝b；如果 a－b 是 反过来也对． （2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质 （1）a>b⇔b a(对称性)； （2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)； （3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)； （4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc； （5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d； （6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd； （7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn； （8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.
2020高考文科数学总复习：不等式课时作业 (3)
答案：B
7．(20xx年福建省××市闽侯第六中学高二上学期期中考试)若不等式x2＋2x＜ ＋ 对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是 ( )
A．(－2，0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4，2)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：因为a，b∈(0，＋∞)，所以 ＋ ≥2 ＝8，(当且仅当a＝4b时等号成立)
A．(38－3 )m3B．16 m3
C．4 m3D．14 m3
解析：设长方体车厢的长为xm，高为hm，则2x＋2×2h＋2xh＝32，即x＋2h＋xh＝16，
∴16＝x＋2h＋xh≥2 ＋xh，
即xh＋2 －16≤0，
解得0＜ ≤2 ，
∴0＜xh≤8.
∴车厢的容积为V＝2xh≤16(m3)．当且仅当x＝2h且x＋2h＋xh＝16，即x＝4，h＝2时等号成立．
答案：
三、解答题
17．(20xx年陕西省××市汉台中学西乡中学高二上学期期末联考)(1)若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证： ＋ ≥4.
(2)已知实数a＞0，b＞0，且ab＝1，若不等式(x＋y)· ＞m，对任意的正实数x，y恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，∴ ＞0， ＞0，
答案：B
4．(20xx年高考数学)已知点M是△ABC内的一点，且 · ＝2 ，∠BAC＝ ，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为 ，x，y，则 的最小值为 ( )
A．16B．18C．20D．27
解析：由已知得 · ＝bccos∠BAC＝2 ，∴bc＝4，
故S△ABC＝x＋y＋ ＝ bcsinA＝1，∴x＋y＝ ，
解析：依题意，得3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)(当且仅当x＝2y时等号成立)．
七年级数学第九章《不等式(组)-复习训练》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第23讲(有答案)
第23讲 不等式（组）－复习训练⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3211、用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子叫做不等式。
2、不等式的符号统称不等号，有“＞” “＜” “≠”. 其中“≤” “≥”,也是不等号.其中，“≤”表示，不大于、不超过，“≥”表示不小于、不低于。
3、使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
4、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
5、解与解集的关系：不等式的解集包括不等式全体的解；解集中的任何一个数都是不等式的解。
6、用数轴表示解集：在数轴上标出某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解。
①方向线向左表示小于，方向线向右表示大于；②空心圆圈表示不包括； ③实心圆圈表示包括。
7、用数轴表示解集的步骤：①画数轴；②找点；③定向；④画线。
8、求不等式的解集的过程叫做解不等式。
9、含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
1、不等式的性质1 不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c 。
不等式的性质2 不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc （或c a ＞cb ）。
不等式的性质3 不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改。
如果a＞b,c ＜0,那么ac ＜bc （或c a ＜cb ）。
2、解未知数为x 的不等式，就是要使不等式逐步化为x ＞a 或x ＜a 的形式。
3、解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向。
4、解不等式时要注意未知数系数的正负，以决定是否改变不等号的方向。
14八年级下册第二章第二节不等式的基本性质课后作业
不等式的基本性质课后作业一、基础性作业(必做题)1．已知−12a≥b，则a≤﹣2b，其根据是（）A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变D．以上答案均不对2．已知a＜b，则下列四个不等式中，不成立的是（）A．a+2＜b+2B．2a＜2b C．2a﹣1＞2b﹣1D．−12a＞−12b3．若x＞y，试比较大小：﹣3x+5 ﹣3y+5．（填“＞”、“＜”或“＝”）4．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：（1）若3x＜2x+1，则；（2）若−12x＜8，则．5．若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜21−a，则a的取值范围是．6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x+1＞2 ；（2）3x＜27；（3）−x3>5；（4）x＜12x﹣4．7．举例说明不等式的基本性质与等式的基本性质的区别．二、拓展性作业（选做题）1．高斯函数[x ]，也称为取整函数，即[x ]表示不超过x 的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．当0＜x ＜1时，[x +1]+[﹣x +1]值为 ．2．已知关于x ，y 的二元一次方程ax +2y ＝a ﹣1．（1）若{x =2y =−1是该二元一次方程的一个解，求a 的值； （2）若x ＝2时，y ＞0，求a 的取值范围；（3）不论实数a （a ≠0）取何值，方程ax +2y ＝a ﹣1总有一个公共解，试求出这个公共解．3．阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a 和b 比较大小，有如下规律：若a ﹣b ＞0，则a ＞b ；若a ﹣b ＝0，则a ＝b ；若a ﹣b ＜0，则a ＜b ．上面的规律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：（1）比较大小：3+√5 √10+√5；（填“＜”，“＝”或“＞”）（2）已知x +2y ﹣2＝0，且x ≥0，若A ＝5xy +y +1，B ＝5xy +2y ，试比较A 和B 的大小．。
课时作业(四) 基本不等式
课时作业(四) 基本不等式[基础保分练]1．(2023·广州揭阳模拟)设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B2．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3 上的最小值为( ) A ．12 B ．43 C ．－1 D ．0答案：D3．(2022·黑龙江哈九中三模)已知x ，y 都是正数，且x ≠y ，则下列选项不恒成立的是( ) A ．x ＋y 2 >xyB ．x y ＋yx >2C ．2xy x ＋y <xyD ．xy ＋1xy >2答案：D4．若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．22C ．4D ．42 答案：B5．(2022·湖北十堰三模)函数f (x )＝16x ＋14x ＋12x －1 的最小值为( )A ．4B ．22C ．3D ．42 答案：A6．(2022·江苏南京调研)设a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则1a ＋2aa ＋b 的最小值为( )A ．22 ＋1B ．2 ＋1C ．143 D ．4答案：A7．(多选)已知x 2＋y 2＝4(xy ≠0)，则下列结论正确的是( ) A ．|x ＋y |≤22 B ．|xy |≤2 C ．log 2|x |＋log 2|y |<2 D ．1|x | ＋1|y | >2答案：ABC8．(多选)已知a >b >0，a ＋b ＋1a ＋1b ＝5，则下列不等式成立的是( )A ．1<a ＋b <4B ．⎝⎛⎭⎫1a ＋b ⎝⎛⎭⎫1b ＋a ≥4C ．⎝⎛⎭⎫1a ＋b 2>⎝⎛⎭⎫1b ＋a 2D ．⎝⎛⎭⎫1a ＋a 2>⎝⎛⎭⎫1b ＋b 2答案：AB9．函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案：15解析：y ＝x －1x －1＋4＋x －1，当x －1＝0时，y ＝0，当x －1>0时，y ＝1x －1＋4x －1＋1 ≤14＋1 ＝15 ，当且仅当x －1 ＝4x －1 ，即x ＝5时等号成立，y max ＝15. 10．(2023·浙江模拟)已知xy >0，x ＋2y －2x －4y ＝7，则x ＋2y 的最小值是________．答案：9 解析：由题意得， x ＋2y ＝7＋2x ＋4y ，①2x ＋4y ＝2x ＋82y，② 所以⎝⎛⎭⎫2x ＋82y ()x ＋2y ＝2＋4y x ＋8x 2y ＋8≥10＋216 ＝18⇒2x ＋82y ≥18x ＋2y⇒2x ＋4y ≥18x ＋2y， 所以①式x ＋2y ＝7＋2x ＋4y ≥7＋18x ＋2y ，令t ＝x ＋2y ，t >0，所以t ≥7＋18t⇒t 2≥7t ＋18⇒t 2－7t －18≥0⇒t ≥9，即(x ＋2y )min ＝9.[技能提分练]11．(2023·辽宁模拟)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，则4xy －3x －6y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．12 答案：C12．(2022·天津红桥二模)设a >0，b >0，若a ＋2b ＝5，则()a ＋1()2b ＋1ab的最小值为( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．4 3D 解析：因为a >0，b >0，且a ＋2b ＝5，所以ab >0， 所以()a ＋1()2b ＋1ab＝2ab ＋a ＋2b ＋1ab＝2ab ＋6ab＝2ab ＋6ab≥22ab ·6ab＝43 ，当且仅当2ab ＝6ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1a ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32a ＝2 时取等号．即（a ＋1）（2b ＋1）ab 的最小值为43 .13．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( )A ．甲合适B ．乙合适C ．油价先高后低甲合适D ．油价先低后高甲合适答案：B14．(多选)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则( ) A ．ab ≥8 B ．a ＋b ≤3＋22 C ．2b >4D ．log 2(a －1)·log 2(b －2)≤14答案：ACD15．(2023·山东枣庄模拟)已知a >b >0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b 的最小值为________．答案：32 解析：因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0，a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝a ＋b 2 ＋4a ＋b＋a －b 2 ＋1a －b≥2a ＋b 2×4a ＋b＋2a －b 2×1a －b＝22 ＋2×22 ＝32 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝22a －b ＝2，即a ＝322，b ＝2 时等号成立． 16．(2023·浙江模拟)已知正实数x ，y 满足：x 2＋xy ＋2x y ＝2，则3x ＋2y ＋2y 的最小值为________．答案：42 解析：因为x 2＋xy ＋2x y ＝2，所以x 2＋xy ＋2xy ＋2＝4，所以x (x ＋y )＋2y (x ＋y )＝4，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫x ＋2y ＝4， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝mx ＋2y ＝4m， 则3x ＋2y ＋2y ＝2(x ＋y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y ＝2m ＋4m ≥22m ·4m＝42 ， 当且仅当2m ＝4m ，即m ＝2 时取等号，所以3x ＋2y ＋2y 的最小值为42 .。
3.4《不等式的实际应用》课时作业(人教B版必修5)
3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。
基本不等式 作业
基本不等式作业1.当x>1时，函数y=x+1-1x的最小值是.2.已知正数x，y满足x+y=1，那么1x+4y的最小值为.3.若x+2y=1，则2x+4y的最小值为.4.(2015·宿迁一模)若a2-ab+b2=1，a，b是实数，则a+b的最大值是.5.(2014·扬州中学)设x，y均为正实数，且32x++32y+=1，则xy的最小值是.6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则11c++99a+的最大值为.7.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为.8.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3 m，AD=2 m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第8题)11.(2015·苏锡常镇二模)已知a，b∈R，a≠0，曲线y=2ax+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，求a2+b2的最小值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·南京、盐城一模)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22-x yx y+的最小值为.13.(2015·镇江期末)已知正数x，y满足1x+1y=1，则4-1xx+9-1yy的最小值为.【检测与评估答案】第47课基本不等式及其应用1.3 【解析】因为x>1，所以y=x+1-1x =(x-1)+1-1x +1=3，当且仅当x-1=1-1x ，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y 的最小值为3.2.9 【解析】1x +4y =14x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x+y )=1+y x +4xy +4≥5+=5+2×2=9，当且仅当x=13，y=23时取等号.3.【解析】易知2x +4y =2x +22y =当且仅当x=12，y=14时，等号成立.4.2 【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3au+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2.5.16 【解析】因为x ，y 均为正实数，32x ++32y +=1，所以8+x+y=xy ，xy 8，2)≥0，xy ≥16，即xy 的最小值是16.6. 20 【解析】设每次都购买x t ，则需要购买200x次，则一年的总运费为200x ×2=400x (万元)，一年的存储费用为x 万元，则一年的总费用为400x +x 40，当且仅当400x =x ，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t .7.65【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为[0，+∞)，则a>0，且Δ=16-4ac=0，即ac=4.欲求11c++99a+的最大值，利用前面关系，建立f(a)=11c++99a+=918(1)(9)c ac a++++=1+53613aa++，由f(a)=1+513aa++≤165，当且仅当36a=a，即a=6时取等号.8.813⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】方法一：令t=xy，则x=ty，于是ty+2yt+3y+4y=10，所以10=23t⎛⎫+⎪⎝⎭y+(t+4)1y，解得1≤t≤83.当23t⎛⎫+⎪⎝⎭y=(t+4)1y时，得y2=423tt++.当t=1时，y=1，x=1；当t=83时，y=43，x=2.所以1≤t≤83为所求.方法二：令t=xy，则y=tx，于是x+2x+3tx+4tx=10，可得41t⎛⎫+⎪⎝⎭x2-10x+2+3t=0，由Δ=100-441t⎛⎫+⎪⎝⎭(2+3t)≥0，得1≤t≤83.9.作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线z=ax+by(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2 a +3b=23236a ba b+⎛⎫+⎪⎝⎭=136+b aa b⎛⎫+⎪⎝⎭≥136+2=256，当且仅当ba=ab，即a=b=65时取等号.故2a+3b的最小值为256.(第9题)10.(1) 设AN=x m(x>2)，则ND=(x-2)m .因为ND DC =AN AM ，即-23x =xAM， 所以AM=3-2x x .所以S 矩形AMPN =23-2x x =23(-2)12(-2)12-2x x x ++=3(x-2)+12-2x +12≥212=24，当且仅当x=4时取等号，即当AN=4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为24 m 2.(2) 由(2)知S 矩形AMPN =3(x-2)+12-2x +12(x ≥6)，令x-2=t (t ≥4)，则f (t )=3t+12t+12.因为f'(t )=3-212t ，当t ≥4时，f'(t )>0，所以f (t )=3t+12t+12在区间[4，+∞)上单调递增，所以f (t )min =f (4)=27，此时x=6.即当AN=6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为27 m 2.11. 令2a x+=ax+2b+1，可得ax 2+(2b+1)x-a-2=0. 方法一：把等式看成关于a ，b 的直线方程(x 2-1)a+2xb+x-2=0， 由于直线上一点(a ，b )到原点的距离大于等于原点到直线的距离，，所以a 2+b 2≥2222(-2)(-1)(2)x x x +=215-24-2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 因为x-2+5-2x 在x ∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-225，b=-350时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100. 方法二：令a 2+b 2=t 2(t>0)，所以a=t cos θ，b=t sin θ. 因为2a x+=ax+2b+1， 所以ax 2+(2b+1)x-(a+2)=0，所以t cos θ·x 2+2x ·t sin θ+x -t cos θ-2=0， 所以(tx 2-t )·cos θ+2xt ·sin θ=2-x ，θ+φ)=2-x ，所以|sin(θ+ φ)≤1，所以t ≥2|-2|1x x +. 下同方法一.12.4 【解析】因为log 2x+log 2y=log 2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xyx y +=x-y+4-x y 4，当且仅当x-y=2，即1，1时取等号.13.25 【解析】因为1y =1-1x，所以4-1x x +9-1y y =4-1x x +911-y=4-1x x +9x=4+4-1x +9(x-1)+9=13+4-1x +9(x-1).又因为1y =1-1x >0，所以x>1，同理y>1，所以13+4-1x +9(x-1)≥13+25，当且仅当x=53时取等号，所以4-1x x +9-1yy 的最小值为25.。
不等式的性质(作业)-七年级数学下册同步备课系列(人教版)
9.1.2不等式的性质作业一、选择题1．若3x >–3y ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．x +y >0B ．x –y >0C ．x +y <0D ．x –y <02．已知实数a ，b 满足a +1>b +1，则下列选项错误的为（）A.a >bB ．a +2>b +2C ．–a <–bD ．2a >3b 3．若a <b ，则下列不等式成立的是（）A.a +c <b +dB ．a +c <b +cC ．a –c <b +cD ．a –c <b –d4．如果不等式（a –1）x <a –1的解集是x >1，那么有（）A.a ≠1B ．a >1C ．a <1D ．a 为任意有理数5．若x >y ，则下列式子错误的是（）A.X –3>y –3B ．–3x >–3yC ．x +3>y +3D ．33x y >6．若32a a-<-，则a 一定满足（）A.a >0B ．a <0C ．a ≥0D ．a ≤07．若x >–y ，则下列不等式中成立的有（）A.X +y <0B ．x –y >0C ．a 2x >–a 2yD ．3x +3y >08．下列不等式的变形不正确的是（）A.若a >b ，则a +3>b +3B ．若–a >–b ，则a <b C ．若12x y -<，则x >–2y D ．若–2x >a ，则12x a >-9．下列说法不一定成立的是（）A.若a <b ，则a +c <b +c B ．若a +c <b +c ，则a <b C ．若a <b ，则a 2c <b 2cD ．若ac 2<bc 2，则a <b 10．若a >b ，则下列不等式变形正确的是（）A.ac 2>bc 2B ．1a b>C ．–ca <–cb D ．3a –c >3b –c二、填空题11．若a <b <0，则ab ____a 212．已知a>b，试比较3a____3b13．若a>b，则(x2+1)a_____(x2+1)b14．已知a>b，则3.5b+1____3.5a+1三、解答题15．把下列不等式化成“x>a”或“x≥a”或“x<a”或“x≤a”的形式（1）x–10<–6（2）12 3x ->-（3）13 2x>-（4）1–x≥2+x16．有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？17．赵军说不等式2a>3a永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以a，就会出现2>3这样的错误结论，你同意他的说法对吗？若同意说明其依据，若不同意说出错误的原因。
不等式课后作业
不等式的概念与性质一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q . 注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).13．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.均值不等式一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab b a +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222b a b a ab +<+< (D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( ) (A)a (B)2a (C)3a (D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 大小关系并加以证明.12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围.一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4} 2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2} (B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a } (B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a }4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________.8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________.三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}， C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价格为140元；另一种是每袋24kg，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A，B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A镇需大米70吨，B镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？不等式全章综合练习一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( )(A)ac 2＞bc 2 (B)ba 11< (C)a －c ＞b －c(D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222xx x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) (A)a ＜1－22 (B)a ＜22－1 (C)a ＞22－1 (D)a ＞1－225．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba 的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ；(2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？三角形、数列、不等式综合练习一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( ) (A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a －b ＜0 (B)0＜b a＜1 (C)ab ＜2b a + (D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(- (C))31,21(--(D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)707．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)2二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________.11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________. 12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号 a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列 的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等 比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1， a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34c o s c o s ==a b B A . (1)证明角C ＝90°；(2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a。
第二章 不等式含答案
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ b a －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a < b (a ∈R ，b >0)．2.等式的性质性质1：如果a =b ，那么b =a ；性质2：如果a =b ，b =c ，那么b =c ； 性质3：如果a =b ，那么a ±c=b ±c ； 性质4：如果a =b ，那么a c=bc ； 性质5：如果a =b ，c 0≠那么cbc a =；3.不等式的性质性质1 a b >⇔ ________；(对称性) 性质2 a b >，b c >⇒ ________；(传递性)性质3 a b >⇒ ______________；(可加性) 推论：a b c >⇒＋___________；(移项法则) 性质4 a b >，0c >⇒ __________，(可乘性)a b >，0c ac bc <⇒<；(乘负反序性) 性质5 a b >，c d >⇒ ______________；(同向可加性) 性质6 0a b >>，0c d >>⇒ __________；(同正同向可乘性) 性质7 0a b >>⇒ __________()2n N n ∈≥，．(可乘方性)性质8 ①a >b ，ab >0⇒1a < 1b . ②a <0<b ⇒1a < 1b.（可倒性）典例例1 某矿山车队有4辆载重为10t 的甲型卡车和7辆载重为6t 的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．例2 已知a ，b +例3 若0a b <<，则下列结论正确的是( )A ．22a b <B 2ab b < C ．11a b> D ．22ac bc > 例4 已知1025m <<，3015n -<<-，求m+n ，m n -与mn 的取值范围．例5 已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．课时作业1.设a ,b ∈R ,若a -|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b -a>0 B.a 3+b 3<0 C.a 2-b 2<0 D.b+a>02、当1x ≤时，比较大小：33x 231x x -+．3、设1≤a －b ≤2, 2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围．4、已知a ∈R ,且a ≠1,比较a+2与31-a的大小.2.2 基本不等式1. 重要的不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．基本不等式：ab ≤a ＋b2:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．（a+b ≥2ab ）注意：(1)此结论运用前提：一正、二定、三相等典例例1．（1）函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞）C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞) （2）．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243（3）.已知x ＜0，则y ＝2＋4x＋x 的最大值为_______例2、当x ＞0时，则y ＝2xx 2＋1的最大值为________．例3、若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．例4、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b的最小值．例5、函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2例6 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？课时作业一、选择题1、已知x ＞0，函数y=x+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．82、当x ∈R 时，x+的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C ．[4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）3、已知x ＞0，y ＞0，且2x+y=1，则xy 的最大值是( ) A ．B ．C ．4D ．84、的最小值为）（函数)0(2>+=ab abb a y A ．B．12C ．4D ．65、函数15(1)1y x x x =++>-的最小值为A ．5B ．6C 7 D.86、已知正数x,y 满足431x y +=，则x+3y 的最小值为A ．5B ．12C ．13D ．25 7、设，，若，则的最小值为 A ． B ．6 C ． D ．8、已知y=，其中x≥0，则y 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．9.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|=x (x>1),求公园ABCD所占面积S 关于x 的函数解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?1a >0b >2a b +=121a b+-3+2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 二、“三个二次”之间的对应关系设()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆ 0=∆0<∆c bx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2三、一元二次不等式的解法： （1）化二次项系数为正；（2）令左边=右边，求出两根x 1 , x 2; （当0<∆时，需另作考虑） （3）大于取两根之外，小于取两根之间。
第2课时一元二次不等式课后作业
第2课时一元二次不等式课后作业1．若不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．13a -<<B ．1a <-或3a >C ．31a -<<D ．3a <-或1a >2．已知一元二次不等式()0f x <的解集为1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100xf >的解集为( )A ．{}|12x x x lg <->-或 B ．{}|12x x lg -<<- C ．{}|2x x lg >- D ．{}|2x x lg <- 3．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}4．对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥5．已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则+a b 的值为（ ）． A ．1B ．1-C ．0D ．2-6．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ） A ．3122a -<< B ．1322a -<< C ．11a -<< D ．02a <<7．若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a > D ．1122a -<< 8．不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．2-9．（多选）设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是( ) A ．1 B ．2- C ．0.5 D ．1.510．（多选）设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120x x +-≤的解可以为（ ）A B ．3C ．-4.5D ．-511．当x∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是______．12．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 13．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2x x <-或12x >-}，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.14．已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠． （1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值． （3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． （4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．15．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围．参考答案1．A 【解析】 【分析】不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，由不等式组解集非空得2124a a +<+，可得答案.【详解】原不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+⇒--<13a ⇒-<<，故选：A ． 【点睛】本题考查不等式解集非空问题，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】由已知条件代入解不等式组 【详解】依题意知()0f x <的解集为1|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或， ()100x f >， 则11102x<<－， 解得122x lg lg <=- 故选D 【点睛】本题主要考查了函数的定义域以及复合函数，将复合部分代入求出解集，较为基础． 3．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C.4．A 【解析】 【分析】2a =时不等式恒成立，2a ≠时只能有20a -<且∆<0，由此可得．【详解】由已知得220,[2(2)]4(2)(4)0,a a a -<⎧⎨∆=---⨯-<⎩即2,22,a a <⎧⎨-<<⎩解得22a -<<． 又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立． 故a 的取值范围是22a -<． 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时要注意讨论二次项系数为0的情形，二次项系数为0时，它已经不是二次不等式了，要注意． 5．C 【解析】 【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求,a b 后可得． 【详解】 由已知得212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，故0a b +=， 故选：C ． 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数，掌握三个“二次”之间的关系是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -⋅--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，∴()21410a a ∆=-⨯-+<，解得1322a -<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题. 7．C 【解析】 【分析】 根据题意得出0a >⎧⎨∆<⎩，由此求出a 的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立， 则00a >⎧⎨∆<⎩， 即20140a a >⎧⎨-<⎩， 解得12a >， 所以实数a 的取值范围是12a >. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题. 8．B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解，即记2()1=++f x xax ，由1(0)0,02f f ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭求出不等式恒成立的必要条件，再在必要条件中验证其中的最小值也是充分的即得． 【详解】记2()1=++f x x ax ，不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则必须有(0)1011110242f f a =≥⎧⎪⎨⎛⎫=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52a ≥-， 52a =-时，22559()1()2416f x x x x =-+=--，在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，min 1()()02f x f ==，满足题意，∴a 的最小值是52-．故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可结合二次函数的性质求解． 9．AC 【解析】 【分析】首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义求出M N ⋂，从而判断可得； 【详解】解：因为{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =< 所以{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =<< 所以{}|01MN x x =<≤所以()1M N ∈，()0.5MN ∈故选：AC 【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题. 10．BC 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到[]43x -≤≤，再根据[]x 表示不小于实数x 的最小整数求解. 【详解】 因为不等式[][]2120x x +-≤，所以[]()[]()340x x -+≤，所以[]43x -≤≤，又因为[]x 表示不小于实数x 的最小整数， 所以不等式[][]2120x x +-≤的解可以为3，-4.5.故选：BC 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及实数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．(],5-∞- 【解析】令()24f x x mx =++，则()f x 的图像是开口向上的抛物线，要当(1,2)x ∈时，()0f x <恒成立，只需(1)140(2)4240f m f m =++≤⎧⎨=++≤⎩，解得5m ≤-.点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把不等式的恒成立问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒成立问题常见解法分离参数法和利用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累.12．121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >．故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了． 13．122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由已知可得0a <，利用方程20ax bx c ++=的两根为12,2--，结合韦达定理，得到,,a b c 的关系，代入所求的不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2x x <-或12x >-}， 10,2,2a ∴<--为方程20ax bx c ++=的两根，5,12b c a a ∴-=-=，即5,12b ca a==所以所求解的不等式20ax bx c -+>可等价为22510,25202x x x x ，解得122x <<. 所以20ax bx c -+>的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于中档题.14．（1）25k =-；（2）k =（3）k <；（4）k ≥．【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的根与系数的关系得到答案.（2）根据题意得到24240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得答案. （3）根据题意得到24240k k <⎧⎨∆=-<⎩，解得答案. （4）根据题意得到24240k k >⎧⎨∆=-≤⎩，解得答案. 【详解】（1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<， 且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根，2(3)(2)k∴-+-=，解得25k =-．（2）由不等式的解集为1x x k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得k =（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得k <．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥． 【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15．(],9-∞． 【解析】 【分析】先解一元二次不等式组得{}23M x x =<<，再根据题意转化为2290x x a -+<在{}23x x <<上恒成立求解即可.【详解】解：{}22(1)(3)01343023(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩．所以{}23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}23x x <<上恒成立． 令229y x x a =-+，只需该函数在{}23x x <<上的最大值不超过0即可． 因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤． 故实数a 的取值范围是(],9-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式组的解法，不等式恒成立问题，是中档题.。
2023版新教材高中数学第二章等式与不等式-不等式及其性质课时作业新人教B版必修第一册
2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( ) A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤2002．下列结论中正确的是( )A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若>，则a＞b D．若<，则a＞b3．设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则( )A．M>NB．M<NC．M＝ND．M与N的大小关系与x有关4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是( )A．(－3，3] B．(－3，5)C．(－3，3) D．(1，4)6．(1)比较x2＋3与2x的大小；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．关键能力综合练7．下列不等式中，正确的是( )A．若a－c>b－d且c>d，则a>bB．若a>b且k∈N＋，则a k>b kC．若a>b>0，c>d，则ac>bdD．若a>b，则ac2>bc28．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )A.①②③ B．①③②C．②③① D．③①②9．要证明＋<2 可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法10．已知α∈(0，)，β∈[0，]，则2α－的取值范围是( )A．(0，) B．(－，)C．(0，1) D．(－，1)11．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0D．若<<0，则<12．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围．核心素养升级练13．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________；(2)该小组人数的最小值为________．14．已知a>0，b>0，试比较＋与＋的大小．2．2.1 不等式及其性质必备知识基础练1．解析：由题意可得，总的工资为50x＋40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50x＋40y≤2 000，化简可得5x＋4y≤200.答案：D2．解析：对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．答案：C3．解析：因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝2(x－)2＋>0，所以M>N.答案：A4．解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞.答案：>5．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.答案：C6．解析：(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以x2＋3>2x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0.所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.关键能力综合练7．解析：若a－c>b－d且c>d，则a>b，故A正确；当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故B错误；令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；令c＝0可知D错误．答案：A8．解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．答案：D9．解析：要证明＋<2最合理的方法是分析法．答案：B10．解析：因为α∈(0，)，β∈[0，]，所以2α∈(0，1)，∈[0，]，则－∈[－，0]，所以2α－∈(－，1).答案：D11．解析：对于A，若ab<0，bc－ad>0，不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；对于B，若ab>0，－>0，不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；对于D，由<<0，可知b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，所以<成立，所以D正确．答案：BCD12．解析：∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.又<<，∴<<，即<<2.综上，a－b的取值范围为(－3，3)，的取值范围为(，2).核心素养升级练13．解析：设男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，则x>y>z.(1)若教师人数为4，则4<y<x<8，当x＝7时，y取得最大值6.(2)当z＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z＝3时，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12.答案：(1)6 (2)1214．解析：方法一 作差法(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝＝.∵a>0，b>0，∴＋>0，>0，(－)2≥0，∴≥0，∴＋≥＋.方法二 作商法＝＝＝＝＝1＋≥1.∵a>0，b>0，∴＋>0，＋>0，∴＋≥＋.方法三 平方法∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，∴(＋)2－(＋)2＝.∵a>0，b>0，∴≥0，∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋.。
课时作业15：第1课时 基本不等式
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2第1课时 基本不等式一、选择题1.a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A.a 2＋b 2≥2|ab |B.a 2＋b 2＝2|ab |C.a 2＋b 2≤2|ab |D.a 2＋b 2>2|ab |考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立).2.若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( )A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b≥2 b a ·a b ＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1x ＋y ≥14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立.4.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A.ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立.5.设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r <pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r >q 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 因为0<a <b ，所以a ＋b 2>ab . 又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q . 而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln(ab )＝ln ab ， 所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.6.已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )A.a ＋b ＋1ab ≥2 2B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥2ab D.2ab a ＋b >ab 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥ 22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立；∵a 2＋b 2≥2ab >0， ∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)，∴2ab a ＋b ≤1，2ab a ＋b≤ab . 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立.二、填空题7.设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)，∴y ＝log a x 是增函数， 又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 8.设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是________.考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 ①②解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确. 9.已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是______________________________. 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 (a －b )(b －c )≤a －c 2解析 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立. 10.设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________.(用“＞”连接)考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n .三、解答题11.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立). (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立). 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立. 四、探究与拓展13.设0<a <1<b ，则一定有( )A.log a b ＋log b a ≥2B.log a b ＋log b a ≥－2C.log a b ＋log b a ≤－2D.log a b ＋log b a >2考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 C解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.14.设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A.x ＋y ≥2(2＋1)B.xy ≤2＋1C.x ＋y ≤(2＋1)2D.xy ≥2(2＋1) 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号.。
课时作业7：2.2.1 不等式及其性质
2.2不等式2.2.1不等式及其性质一、选择题1.要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为()A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法答案B解析要证明3＋7<25最合理的方法是分析法.2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax答案B解析∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.3.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②答案D解析根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.4.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的取值范围是( )A.(－3，3]B.(－3，5)C.(－3，3)D.(1，4)答案 C解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0.又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3.5.已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d ，则( )A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋dD.均上均可能 答案 A解析 ∵a ，b ，c ，d 为正实数，a b <c d ，∴ad <bc ，∴a b －a ＋c b ＋d ＝ab ＋ad －ab －bc b （b ＋d ）＝ad －bc b （b ＋d ）<0， c d －a ＋c b ＋d ＝bc ＋cd －ad －cd d （b ＋d ）＝bc －ad d （b ＋d ）>0， ∴a b <a ＋c b ＋d <c d. 二、填空题6.不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________.答案 a >0>b解析 若a ，b 同号，则a >b ⇒1a <1b .7.给出下列命题：①a >b ⇒ac 2>bc 2；②a >|b |⇒a 2>b 2；③a >b ⇒a 3>b 3；④|a |>b ⇒a 2>b 2.其中正确命题的序号是________.答案 ②③解析 ①当c 2＝0时不成立；②一定成立；③当a >b 时，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立； ④当b <0时，不一定成立.如：|2|>－3，但22<(－3)2.8.设a >b >c >0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________.答案 z >y >x解析 ∵a >b >c >0，y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a )2－a 2－(b ＋c )2＝2ac －2bc＝2c (a －b )>0，∴y 2>x 2，即y >x .同理可得z >y ，故z >y >x .三、解答题9.若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e （a －c ）2>e （b －d ）2. 证明 法一 e （a －c ）2－e （b －d ）2＝e [（b －d ）2－（a －c ）2]（a －c ）2（b －d ）2＝e （b －d ＋a －c ）（b －d －a ＋c ）（a －c ）2（b －d ）2＝e [（a ＋b ）－（c ＋d ）][（b －a ）＋（c －d ）]（a －c ）2（b －d ）2. ∵a >b >0，c <d <0，∴a ＋b >0，c ＋d <0，b －a <0，c －d <0，∴(a ＋b )－(c ＋d )>0，(b －a )＋(c －d )<0.∵e <0，∴e [(a ＋b )－(c ＋d )][(b －a )＋(c －d )]>0.又(a －c )2(b －d )2>0，∴e （a －c ）2－e （b －d ）2>0， 即e （a －c ）2>e （b －d ）2. 法二 e（a －c ）2e （b －d ）2＝（b －d ）2（a －c ）2. ∵c <d <0，∴－c >－d >0.∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴(a －c )2>(b －d )2>0，∴0<（b －d ）2（a －c ）2<1，∴0<e（a －c ）2e （b －d ）2<1. 又e （b －d ）2<0，∴e （a －c ）2>e （b －d ）2. 法三 ⎭⎬⎫c <d <0⇒－c >－d >0 a >b >0⇒a －c >b －d >0⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫（a －c ）2>（b －d ）2>0⇒1（a －c ）2<1（b －d ）2 e <0⇒ e （a －c ）2>e （b －d ）2. 10.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？解 设寝室到教室的路程为s ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2(v 1≠v 2)，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2＝s （v 1＋v 2）2v 1v 2， s ＝t 22v 1＋t 22v 2，即乙用时t 2＝2s v 1＋v 2， t 1－t 2＝s （v 1＋v 2）2v 1v 2－2s v 1＋v 2＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2 ＝（v 1＋v 2）2－4v 1v 22v 1v 2（v 1＋v 2）·s ＝（v 1－v 2）2·s 2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 所以甲用时多，所以乙先到达教室.11.有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a ，b ，c ，d ，已知a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，a ＋c <b ，则这四个小球由重到轻的排列顺序是( )A.d >b >a >cB.b >c >d >aC.d >b >c >aD.c >a >d >b答案 A解析 因为a ＋b ＝c ＋d ，a ＋d >b ＋c ，所以2a >2c ，即a >c ，因此b <d .因为a ＋c <b，所以a <b ，综上可得c <a <b <d .12.(多选题)已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列结论中不成立的是( )A.若a >b ，c >b ，则a >cB.若a >－b ，则c －a <c ＋bC.若a >b ，c <d ，则a c >b dD.若a 2>b 2，则－a <－b答案 ACD解析 A 中，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；C 中，不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；D 中，只有a >b >0时才成立.故选ACD.13.已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，a b 的取值范围.解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3.∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3.又14<1b <13，∴14<a b <63，即14<a b <2.综上，a －b 的取值范围为(－3，3)，a b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________.答案 ①130 ②15解析 ①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元.②设顾客一次购买的水果总价为m 元.由题意易知，当0<m <120时，x ＝0，当m ≥120时，(m －x )×80%≥m ×70%，得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立，又m 8≥15，所以x的最大值为15.。
不等式的性质---含答案
课时作业14 不等式的性质时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2 D ．a 2>－a >a >－a 2【答案】 B【解析】 取值检验或用性质讨论．2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1a >a b【答案】 C【解析】 方法一：a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C. 方法二：(特殊值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ，故选C.3．如果0<a <b <c <d <e ，S ＝a b ＋c d ＋1e ，则把变量________的值增加1会使S 的值增加最大．(填入a ，b ，c ，d ，e 中的某个字母)【答案】 a【解析】 易知，只有将a ，c 增大，才能使S 增大．故有：①若a 增加1，则S 1＝1＋a b ＋c d ＋1e ＝(a b ＋c d ＋1e )＋1b ；②若c 增加1，则S 2＝a b ＋c ＋1d ＋1e ＝(a b ＋c d ＋1e )＋1d .又0<b <d ，则1b >1d >0，所以S 1>S 2，所以填a .4．已知：3<a ＋b <4,0<b <1，求下列各式的取值范围． (1)a ；(2)a －b ；(3)ab .【解析】 (1)∵3<a ＋b <4，又∵0<b <1， ∴－1<－b <0， ∴2<a ＋b ＋(－b )<4， 即2<a <4.(2)∵0<b <1，∴－1<－b <0. 又∵2<a <4， ∴1<a －b <4. (3)∵0<b <1，∴1b >1， 又∵2<a <4，∴ab >2.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．与a >b 等价的不等式是( ) A ．|a |>|b | B ．a 2>b 2 >1 D ．a 3>b 3【答案】 D【解析】 可利用赋值法．令a ＝－5，b ＝0，则A 、B 正确而不满足a >b .再令a ＝－3，b ＝－1，则C 正确而不满足a >b ，所以选D.2．下列命题中，真命题有 ①若a >b >0，则1a 2<1b 2； ②若a >b ，那么c －2a <c －2b ； ③若a >b ，e >f ，则f －ac <e －bc ； ④若a >b ，则1a <1b .( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】 B【解析】 a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b 2，∴①正确；a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ，∴②正确；当c 为负值时，a >b ，e >f ⇒/ f －ac <e －bc ，∴③错；当a >0>b 时，显然1a >1b ，∴④错．故只有①②正确．故选B.3．已知m ∈(b ，a )且m ≠0，1m 的取值范围是(1a ，1b )，则实数a ，b 满足( )A ．a >b >0B ．a >0>bC ．a <0<bD ．a <b <0【答案】 A【解析】 由题意知b <a ，从而排除选项C 、D.若ab <0，则由1b >1a 可得a <b ，不合题意，故选项B 不正确．从而知A 正确．4．已知a <0，－1<b <0，下列不等式成立的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a【答案】 D【解析】 本题可以根据不等式的性质来解，由于－1<b <0，所以0<b 2<1⇒a <ab 2<0，且ab >0，易得答案D.本题也可以根据a ，b 的范围取特殊值，比如令a ＝－1，b ＝－12，也容易得到正确答案．5．若设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β3的范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π6) C ．(0，π) D ．(－π6，π) 【答案】 D【解析】 因为α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)， β∈[0，π2]，∴β3∈[0，π6]．∴－β3∈[－π6，0]．∴2α－β3∈(－π6，π)． 6．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab <0，bc －ad >0，则c a －db >0； ②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】 C【解析】 ①∵ab <0，∴1ab <0，又∵bc －ad >0，∴1ab ·(bc －ad )<0即c a －db <0，∴①错；②∵ab >0，c a －db >0，∴ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －d b >0，即：bc －ad >0，∴②正确；③∵c a －db >0，∴bc －ad ab >0，又∵bc －ad >0，∴ab >0， ∴③正确．7．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2 <a <a ＋b 2<b【答案】 B【解析】 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a <ab <a ＋b2<b .故正确答案为B.8．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a (1＋1a )；②log a (1＋a )>log a (1＋1a )；③a 1＋a <a1＋ 1a；④a 1＋a >a1＋ 1a.其中成立的是( ) A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④【答案】 D【解析】 0<a <1,1＋a <1＋1a ，log a (1＋a )>log a (1＋1a )，①不正确，②正确．a 1＋a >a 1＋ 1a，故③不正确，④正确．二、填空题(每小题10分，共20分)9．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围是________． 【答案】 [－1,6]【解析】 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，∴1－2≤a －b ≤1＋5，即－1≤a －b ≤6.10．已知三个不等式：①ab >0；②c a <db ；③bc <ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．【答案】⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③， ⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②，⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①都可以 【解析】⎭⎬⎫c a <d b ⇒bc －ad ab <0，若③成立，则①成立，∴②③⇒①；若③成立即bc <ad ，若①成立，则bc ab <ad ab ，∴c a <db ，∴①③⇒②；若②成立即c a <db ，若①成立，则bc <ad ，∴①②⇒③.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)已知c >a >b >0.求证：a c －a >bc －b.(2)已知a ，b ，m 均为正数，且a <b ，求证：a ＋m b ＋m >ab .【解析】 (1)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0⎭⎬⎫由a >b >0⇒1a <1b c >0⇒c a <cb⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a <c －bb c －a >0c －b >0⇒a c －a >b c －b . (2)方法一：a ＋m b ＋m －a b ＝m b －ab b ＋m∵0<a <b ，m >0，∴m b －a b b ＋m >0，∴a ＋m b ＋m>ab .方法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －a b ＋m >1－b －a b ＝ab .方法三：∵a ，b ，m 均为正数， ∴要证a ＋m b ＋m>ab ，只需证(a ＋m )b >a (b ＋m )， 只需证ab ＋bm >ab ＋am ， 只要证bm >am ，要证bm >am ，只需证b >a ，又已知b >a ， ∴原不等式成立．12．某二次函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4，求f (3)的范围．【分析】 先将f (1)，f (2)，f (3)用a ，c 表示，再用不等式的性质研究．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧f1＝a ＋c ，f2＝4a ＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝f 2－f 13，c ＝4f 1－f 23.f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f 1－f 23＝8f 2－5f 13. ∵1≤f (1)≤2,3≤f (2)≤4， ∴5≤5f (1)≤10,24≤8f (2)≤32， 则14≤8f (2)－5f (1)≤27.∴143≤8f 2－5f 13≤9，即143≤f (3)≤9.。
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课后作业（不等式练习）
一．选择题（4′×8=32′）
1．若,a a -则a 必为（ ）
A 、负整数 Ｂ、 正整数 Ｃ、负数 Ｄ、正数
２．不等式组⎩
⎨⎧+-0201 x x 的解集是（ ） Ａ、12 x - Ｂ、1 x Ｃ、x 2- Ｄ、无解
３．下列说法，错误的是（ ）
Ａ、33- x 的解集是1- x Ｂ、－１０是102- x 的解
Ｃ、2 x 的整数解有无数多个 Ｄ、2 x 的负整数解只有有限多个
４．不等式组2130x x ≤⎧⎨+≥⎩
的解在数轴上可以表示为（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
5.不等式组⎩
⎨⎧--≥-31201 x x 的整数解是（ ） Ａ、－１，０ Ｂ、－１，１ Ｃ、０，１ Ｄ、无解
６．若a <b <０，则下列答案中，正确的是（ ）
Ａ、a <b Ｂ B 、a >b Ｃ、2a <2b D 、a 3>b 2
７．关于x 的方程a x 4125=+的解都是负数，则a 的取值范围（ ） Ａ、a >３ Ｂ、a <3- Ｃ、a <３ Ｄ、a >-３
2-4-3-2-1012
-4-3-2-1012-4-3-2-1012-4-3-2-101
８．设“○”“△”“□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“○”“△”“□”质量从大到小的顺序排列为（ ）
Ａ、□○△ Ｂ、 □△○ Ｃ、 △○□ D 、△□○
二．填空
９．当x ____ 时，代数式52+x 的值不大于零
１０.若x <１，则22+-x ____ ０（用“>”“=”或“”号填空）
１１.不等式x 27->１，的正整数解是 ____
１２. 不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a ____
１３.若a >b >c ，则不等式组x a
x b x c >⎧⎪>⎨⎪<⎩的解集是 ____ １４.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x <１，则)1)(1(++b a 的值为 ____
１５.有解集２<x <３的不等式组是 ____ （写出一个即可）
１６.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质
的含量为 _____ g
１７.若不等式组⎩⎨⎧3 x a x 的解集为x >３，则a 的取值范围是
三．解答题（５′×２＋６′×２＋８′＋８′＝３８′）
１８.解不等式①1)1(22 ---x x ； ②
341221x x +≤-- 并分别把它们的解集在数轴上表示出来
１９.解不等式组
①⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
-
≤
-
-
x
x
x
x
1
4
2
1
4
)2
3(
②⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
≥
-
-
+
3
5
6
6
3
4
)1
(5
1
3
x x
x
x
２０.关于
y
x,的方程组⎩
⎨
⎧
-
=
-
+
=
+
1
3
1
m
y
x
m
y
x
的解满足x>y
求m的最小整数值
２１.一本英语书共９８页，张力读了一周（７天），而李永不到一周就已读完，李永平均每天比张力多读３页，张力平均每天读多少页？（答案取整数）
附加题(10)
22.某工程队要招聘甲、乙两种工人１５０人，甲、乙两种工种的月工资分别为
６００元和１０００元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的２倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付工资最少？。