基本不等式作业
高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时 基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0， 所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6， 当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1， 则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9， 当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2， 所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1， 所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立， 所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4， 又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4， 所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42， 当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立， 即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 方法二 令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立， 由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12， 当且仅当x ＝1时取等号， 即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值， 由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92， 当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”， 所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。
新教材人教A版数学必修第一册课后作业12利用基本不等式求最值
课后作业(十二)复习巩固一、选择题1．当x >0时，y ＝12x ＋4x 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．8 3D ．16[解析] ∵x >0，∴12x >0,4x >0.∴y ＝12x ＋4x ≥212x ·4x ＝8 3.当且仅当12x ＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x >0时，y 的最小值为8 3.[答案] C2．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．15[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝x ·1x ＋4x y ＋y x ＋y ·4y ＝1＋4＋4x y ＋y x ≥5＋2 4x y ·yx ＝9. [答案] B3．若x >0，y >0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( ) A ．最大值64 B ．最小值164 C ．最小值12D ．最小值64[解析] 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.[答案] D4．已知p >0，q >0，p ＋q ＝1，且x ＝p ＋1p ，y ＝q ＋1q ，则x ＋y 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由p ＋q ＝1，∴x ＋y ＝p ＋1p ＋q ＋1q ＝1＋1p ＋1q ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＋1q (p ＋q )＝1＋2＋q p ＋pq ≥3＋2q p ·p q ＝5，当且仅当q p ＝p q 即p ＝q ＝12时取等号， 所以B 选项是正确的． [答案] B5．若a <1，则a ＋1a －1有最________(填“大”或“小”)值，为________．[解析] ∵a <1， ∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.当且仅当a ＝0时取等号． [答案] 大 －1 二、填空题6．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． [解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．[答案] 127．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________． [解析] ∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋xy ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为3＋2 2. [答案] 3＋2 28．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．[解析] 每年购买次数为400x 次． ∴总费用＝400x ·4＋4x ≥26400＝160， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立． [答案] 20 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y >0，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .[解] x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ayx 时取等号．故(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18，① 又a ＋b ＝10，② 由①②可得{ a ＝2，b ＝8或{ a ＝8，b ＝2.10．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． [解] (1)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0， 得y (x －8)＝2x ，∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2 (x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.解法二：由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy ＋10≥2 8y x ·2xy ＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立， ∴x ＋y 的最小值是18.综合运用11．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1， ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.[答案] C12．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92 [解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋yx＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋y x≥1＋1＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． [答案] C13．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．[解析] 因为x >0，所以x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 14．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．[解析] ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1， ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.[答案] 915．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解] 设矩形温室的一边长为x m ，则另一边长为800xm(2<x <200)．依题意得种植面积：S ＝(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －4＝800－1600x －4x ＋8＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫1600x ＋4x ≤808－21600x ·4x ＝648， 当且仅当1600x ＝4x ，即x ＝20时，等号成立．即当矩形温室的一边长为20 m ，另一边长为40 m 时种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.由Ruize收集整理。
基本不等式作业设计-高一上学期数学人教A版
课题 2.2基本不等式课时 1 作业设计意图、核心素养目标课前预习作业1.基础类（预习教材44页）问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？2.发展类（利用不等式的性质推导基本不等式）问题2：若以a，b分别代替问题1中的a、b，可得出什么结论？并证明ab≤a＋b2、得概念3.探究类（教材45页探究提出的问题）在图2.21中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a, AC＝b，过点Ｃ作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?从已熟悉知识到新知识的认知、推导，体会化旧知为新知的化归过程通过分析法证明基本不等式，并撑握定理中的不等号“≤”取等号的条件是：当且仅当两个数相等通过引导学生观察分析,发现图形中蕴藏的基本不等式,培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养.课中例题讲解（师生互动）4.基础类（完成教材45页例题1、2）例1 已知x>0,求x＋1x的最小值.例2 已知已知x,y都是正数，求证：(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x＋y有最小值2√P(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2通过典型例题的解析，让学生明确应用基本不等式的三个关键步骤：一正、二定、三相等，发展严谨细致的思考习惯、思维的灵活性课题 2.2基本不等式课时 2 作业设计意图、核心素养目标课前预习作业1.发展类（预习完成教材46页例题3）例3(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短? 最短篱笆的长度是多少?(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?通过简单的应用性问题,让学生体会的实际问题中应用基本不等式的步骤.培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养课中例题讲解及探究(师生互动) 2.发展类（完成教材47页例题4）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800m3 ,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?（完成教材59页的习题7）0g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;两将5g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平是小于10g,等于10g,还是大于10g?为什么?通过典型例题解析，发展数学抽象和数学建模的核心素养提高阅读与理解能力，利用基本不等式求最值解决生活中的实际问题,提升建模核心素养课堂训练4.发展类(巩固训练)。
新教材高中数学第一章预备知识3不等式 基本不等式第1课时基本不等式素养作业北师大版必修第一册
第一章 §3 3.2 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3[解析] a ＜0,则a ＋4a≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错；a ＝4,b ＝16,则ab ＜a ＋b2,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( B ) A ．x ≥2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 B ．x ＞2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x ＜2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x －2y ＞0,即x ＞2y ,且等号成立时(x －2y )2＝1,即x －2y ＝1,故选B ．3．已知正数a ,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( D ) A ．10 B ．25 C ．5D ．210[解析] a ＋b ≥2ab ＝210,等号在a ＝b ＝10时成立,故选D ． 4．已知0＜x ＜1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12C ．34D ．23[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(3－3x )22＝13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时取等号．5．设0＜a ＜b ,且a ＋b ＝1,在下列四个数中最大的是( B )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[解析] ∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,∴ab ＜14,∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0,a ＋b ＝1,∴a 2＋b 22＞12,∴a 2＋b 2＞12． ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0,∴b ＞a 2＋b 2,∴b 最大． 6．已知a ＞0,b ＞0,A ＝a ＋b2,B ＝ab ,C ＝2aba ＋b,则A ,B ,C 的大小关系为( D ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] 由基本不等式可知,A ≥B ,2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ,所以B ≥C ,当a ＝b 时等号成立．故选D ．二、填空题 7．若a ＜1,则a ＋1a －1与－1的大小关系是__a ＋1a －1≤－1__． [解析] 因为a ＜1,即a －1＜0, 所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2(当且仅当1－a ＝11－a,即a ＝0时取等号)．即a ＋1a －1≤－1．8．设x ＞0,则x 2＋x ＋3x ＋1的最小值为．[解析] 由x ＞0,可得x ＋1＞1．令t ＝x ＋1(t ＞1),则x ＝t －1,则x 2＋x ＋3x ＋1＝(t －1)2＋t －1＋3t ＝t ＋3t－1≥2t ·3t－1＝23－1,当且仅当t ＝3,即x ＝3－1时,等号成立．三、解答题9．当x 取什么值时,x 2＋1x2取得最小值？最小值是多少？[解析] x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2,当且仅当x 2＝1x2,即x ＝±1时等号成立．∴x ＝1或－1时,x 2＋1x2取得最小值,最小值为2．10．已知x ,y 都是正数,且x ≠y ,求证：(1)x y ＋y x＞2； (2)2xyx ＋y＜xy ． [证明] (1)∵x ＞0,y ＞0,∴x y ＞0,y x＞0, ∴x y ＋y x ≥2x y ·y x ＝2,∴x y ＋yx ≥2． 由于当且仅当x y ＝y x,即x ＝y 时取“＝”,但x ≠y ,因此不能取“＝”． ∴x y ＋y x＞2．(2)∵x ＞0,y ＞0,x ≠y ,∴x ＋y ＞2xy ,∴2xy x ＋y ＜1,∴2xy ·xyx ＋y ＜xy ,∴2xyx ＋y＜xy ． B 组·素养提升一、选择题1．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,当3x ＋4y 取得最小值时,x ＋2y 的值为( B ) A ．245B ．2C ．285D ．5[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ,x ＞0,y ＞0,∴15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2·3x 5y ·12y5x＝5, 当且仅当3x 5y ＝12y5x,即x ＝2y ＝1时取等号,∴当3x ＋4y 取得最小值时,x ＝2y ＝1,∴x ＋2y 的值为2,故选B ． 2．若正数x ,y 满足x 2＋3xy －1＝0,则x ＋y 的最小值是( B ) A ．23 B ．223C ．33D ．233[解析] 由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ．因为x ＞0,所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x＝229＝223(当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22时,等号成立)．故x ＋y 的最小值为223．3．(多选题)设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a ＋b ＝2,则必有( ABC ) A ．ab ＜1 B ．1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22D ．a 2＋b 22＜ab[解析] ∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,a ≠b ,∴ab ＜1,又∵a 2＋b 22＞a ＋b2,a ＋b ＝2,∴a 2＋b 22＞1,∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A ．当x ＞0时,x ＋1x≥2B ．当x ＞2时,x ＋1x的最小值是2C ．当x ＜54时,y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x ＞0,y ＞0时,x y ＋y x≥2[解析] 在A 中,当x ＞0时,x ＞0,x ＋1x≥2,当且仅当x ＝1时取等号,结论成立；在B 中,当x ＞2时,x ＋1x≥2x ·1x＝2,当且仅当x ＝1时取等号,但x ＞2取不到1,因此x ＋1x 的最小值不是2,结论错误；在C 中,因为x ＜54,所以5－4x ＞0,则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2×(5－4x )·15－4x ＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时取等号,结论错误；显然D 正确,故选AD ．二、填空题5．当x ＞0时,若2x ＋ax(a ＞0)在x ＝3时取得最小值,则a ＝__18__．[解析] ∵a ＞0,且2x ＋a x≥22x ·a x ＝22a ,当且仅当2x ＝a x ,即x ＝2a 2时,2x ＋a x取得最小值,∴2a2＝3,解得a ＝18．6．已知3a ＋2b ＝1,a ＞0,b ＞0,则2a ＋1b的最小值为．[解析] ∵3a ＋2b ＝1,∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (3a ＋2b )＝8＋4b a ＋3ab≥8＋212＝8＋43,当且仅当a ＝3－36,b ＝3－14时取到最小值．三、解答题7．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1．证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．[解析] 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca , 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1,所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤13．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2a＋a ≥2c ,故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． 又a ＋b ＋c ＝1,所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．8．已知实数a ,b 满足a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2,且a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥m 恒成立,求实数m 的最大值．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2, 令a ＋1＝p ,b ＋1＝q ,则p ＞1,q ＞1, ∴a ＝p －1,b ＝q －1,p ＋q ＝4, ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(p －1)2p＋(q －1)2q＝p ＋q －4＋1p ＋1q ＝4pq≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22＝1,∴m ≤1,所以实数m 的最大值为1．。
课时作业3：一 第1课时 不等式的基本性质
一 不等式第1课时 不等式的基本性质一、选择题1．已知a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，给出下列不等式：(1)ad ＞bc ；(2)a －c ＞b －d ；(3)a (d －c )＞b (d －c )．其中成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 因为a ＞0，b ＜0，c ＜d ＜0，所以ad ＜0，bc ＞0，故(1)不成立；因为a ＞b ，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ，所以a －c ＞b －d ，故(2)成立；由c ＜d ＜0，知d －c ＞0，又a ＞0＞b ，所以a (d －c )＞b (d －c )，故(3)成立．2．已知a ＞－1且b ＞－1，则p ＝b 1＋a ＋a 1＋b 与q ＝a 1＋a ＋b 1＋b的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q答案 C解析 p －q ＝b －a 1＋a ＋a －b 1＋b＝(b －a )(b －a )(1＋a )(1＋b )＝(b －a )2(1＋a )(1＋b )≥0，∴p ≥q . 3．设a ，b ∈(－∞，0)，则“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 a ，b ∈(－∞，0)，∵a ＞b ，∴1a ＜1b ，即－1a ＞－1b ，∴a －1a ＞b －1b， ∴“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b”成立的充分条件． 又由a －1a ＞b －1b ⇒a －b ＋1b －1a＞0 ⇒(a －b )＋a －b ab ＞0⇒(a －b )·ab ＋1ab＞0 ⇒a －b ＞0⇒a ＞b .∴“a ＞b ”又是“a －1a ＞b －1b”成立的必要条件． 故“a ＞b ”是“a －1a ＞b －1b”成立的充要条件． 4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a，则( ) A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a答案 A解析 由c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a， 可得c a ＋b ＋1＜a b ＋c ＋1＜b c ＋a＋1， 即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋c c ＋a.又a ，b ，c ∈(0，＋∞)， 所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c ，可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a ，可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .5．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )A.1a ＜1bB.1a ＞1b C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b 答案 C解析 ∵－1＜b ＜1，∴b 2＜1＜a .6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( ) A ．－π＜α－β＜0 B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0 D ．－π2＜α－β＜π2答案 A解析 ∵－π2＜α＜β＜π2， ∴－π2＜－β＜π2且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0. 二、填空题 7．已知a ，b ，c 是实数，则a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小关系是__________． 答案 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca解析 ∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .8．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M ，N 的大小关系是________． 答案 M ＞N解析 M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b ). ∵0＜a ＜1b，∴ab ＜1，即1－ab ＞0， ∴M －N ＞0，∴M ＞N .9．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．(填序号)答案 ①②③解析 ①中，b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a (a －1)＝a －b a (a －1). 因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②中，取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＞0，②不成立；③中，取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．10．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc ＞ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成________个正确命题．答案 3解析 若ab ＞0，bc ＞ad 成立，不等式bc ＞ad 两边同除以ab ，得c a ＞d b，即ab ＞0，bc ＞ad ⇒c a ＞d b； 若ab ＞0，c a ＞d b 成立，c a ＞d b两边同乘以ab ， 得bc ＞ad ，即ab ＞0，c a ＞d b⇒bc ＞ad ； 若c a ＞d b，bc ＞ad 成立， 由于c a －d b ＝bc －ad ab＞0， 又bc －ad ＞0，故ab ＞0，所以c a ＞d b，bc ＞ad ⇒ab ＞0. 综上，任两个作为条件都可推出第三个成立，故可组成3个正确命题．三、解答题11．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y . 求证：x x ＋a ＞y y ＋b. 证明 因为a ，b ，x ，y 都是正数且1a ＞1b，x ＞y ， 所以x a ＞y b ，故a x ＜b y， 则a x ＋1＜b y ＋1，即a ＋x x ＜b ＋y y. 所以x x ＋a ＞y b ＋y. 12．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e (b －d )2. 证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0.∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0，∴(a －c )2＞(b －d )2＞0，∴1(a －c )2＜1(b －d )2. 又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e (b －d )2. 13．已知a ＞0，b ＞0，试比较a b ＋b a 与a ＋b 的大小． 解 ⎝⎛⎭⎫a b＋b a －(a ＋b )＝a a ＋b b －ab (a ＋b )ab＝a a ＋b b －a b －b a ab ＝a (a －b )－b (a －b )ab＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，又因为(a －b )2≥0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以(a ＋b )(a －b )2ab ≥0，即a b ＋b a≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时等号成立)． 四、探究与拓展14．若x ＞y ＞0，则y 2＋1x 2＋1与y x的大小关系是________． 答案 y 2＋1x 2＋1＞y x 解析 y 2＋1x 2＋1－y 2x 2＝x 2(y 2＋1)－y 2(x 2＋1)x 2(x 2＋1)＝x 2－y 2x 2(x 2＋1)＝(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1). 因为x ＞y ＞0，所以x －y ＞0，x ＋y ＞0，x 2＞0，x 2＋1＞1，所以(x －y )(x ＋y )x 2(x 2＋1)＞0. 所以y 2＋1x 2＋1＞y 2x2＞0. 故 y 2＋1x 2＋1＞y x. 15．已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．解 设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λ2＝1，λ1－2λ2＝3，解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23， ∴－113≤a ＋3b ≤1，即a ＋3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.。
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.3基本不等式的实际应用作业课件北师大版必修5
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 20 (m)．
解析：如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知 DBCE ＝ 4x0 ＝
AD AB
＝
AF AH
，则AF＝x，故FH＝40－x.则矩形面积S＝x(40－
站的距离x(km)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到
车站的距离x(km)成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，费用
y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓
库应建在离车站( A )
A．5 km处
B．m处
解析：由题意知y1＝
k1 x
解析：C＝
t22＋0t4＝
20 t＋4t
.因为t>0，所以t＋4t
≥2
4 t·t
＝4(当且仅当t
＝
4t ，即t＝2时等号成立)，所以C＝
20 t＋4t
≤240
＝5，即当t＝2时，C取得
最大值．
11．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 56 dm2.
小．设这种汽车使用n年报废最合算，n年汽车的维修总费用为0.2
＋0.4＋0.6＋…＋0.2n＝0.2n＋nn2－1×0.2＝0.1(n2＋n)(万元)，年
平均费用y＝
10＋0.9n＋0.1n2＋n＝10＋
n
n
1n0＋1≥2
1n0·1n0＋1＝
3，当且仅当1n0＝1n0，即n＝10时取等号．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车
基本不等式练习(有答案)
【基本不等式】作业1、若42=+y x ，求y x 42+的最小值 。
2、若4log log 33=+n m ，求n m +的最小值 。
3、若4log log 33≥+n m ，求n m +的最小值 。
4、若2>a ，求a a +-24的取值范围 。
5、求a a +-24的取值范围 。
6、求函数)0(432>--=x xx y 的最大值 。
7、若20<<x ，求函数)24(x x y -=的最大值 。
8、若0,0>>y x ，且18=+y x ，求xy 的最大值 。
9、若0,0>>y x ，且1=+y x ，求)11)(11(yx ++的最小值 。
10、若0,0>>y x ，且1=+y x ，求yx 43+的最小值 。
11、求函数12(01)1y x x x=+<<-的最小值 12、若0,0>>y x ，且3=++xy y x ，求y x +的取值范围 。
13、若0,0>>y x ，且3=++xy y x ，求xy 的取值范围 。
14、若0,0>>y x ，且xy y x =+3，求xy 2的最小值 。
15、若0,0>>y x ，且xy y x =+3，求y x +2的最小值 。
16、求函数41()212y x x x =+>- 的最小值 。
17、若1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值 。
18、求函数21(1)1x x y x x ++=<-的最大值 。
19、求函数2sin (0)sin 2y x x x π=+<≤的最小值 。
20、已知函数x x f lg )(=，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（ ）),3..(+∞A ),22..[+∞B ),22..(+∞C ),3..[+∞D21、若不等式a c a c m a b b c--+≥--对任意a b c >>恒成立，求m 的最大值. 。
《基本不等式》 作业设计方案
《基本不等式》作业设计方案一、作业设计的目标基本不等式是高中数学中的重要内容，通过作业设计，旨在帮助学生巩固基本不等式的知识，提高运用基本不等式解决问题的能力，培养学生的数学思维和逻辑推理能力，同时激发学生对数学的兴趣和探索精神。
具体目标包括：1、学生能够熟练掌握基本不等式的公式及其变形，并能准确地表述和推导。
2、学生能够运用基本不等式解决简单的最值问题，包括代数式的最值、实际问题中的最值等。
3、学生能够理解基本不等式的几何意义，并能通过图形直观地理解不等式的性质。
4、学生能够在解决问题的过程中，体会数学中的转化、分类讨论等思想方法，提高综合运用数学知识的能力。
二、作业内容设计（一）基础知识巩固1、直接运用基本不等式填空（1）若 x＞0，则 x ＋1/x ≥ ＿___。
（2）若 x＜0，则 x ＋1/x ≤ ＿___。
（3）若 x，y 均为正数，且 x ＋ y ＝ 1，则 xy 的最大值为____。
2、推导基本不等式的变形公式（1）推导 a²＋b² ≥ 2ab （a，b∈R）。
（2）由基本不等式推导 2/（1/a ＋1/b) ≤ √ab （a，b 均为正数）。
（二）应用能力提升1、利用基本不等式求最值（1）求函数 y ＝ x²＋ 2/x （x＞0）的最小值。
（2）已知 x＞0，y＞0，且 2x ＋ 8y xy ＝ 0，求 xy 的最小值。
2、解决实际问题（1）某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，容积为 4800m³，深为3m。
如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（三）拓展探究1、探究基本不等式的推广形式（1）证明：对于 n 个正数 a₁，a₂，…，an，有（a₁＋ a₂＋…＋ an)／n ≥ √（a₁a₂…an) （当且仅当 a₁＝ a₂＝… ＝ an 时取等号）。
寒假作业(三)不等式、基本不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
2．解： 3a 4b 0 ， ab 0 ，a 0 ． b 0
log4 (3a 4b) log2 ab ，log4 (3a 4b) log4 (ab) 3a 4b ab ， a 4 ， a 0 ． b 0
b 3a 0 a4
，
a 4
，
则
a
b
a
3a a4
a
3(a
4) 12 a4
A． lg(x2 1 ) lgx(x 0) 4
B． sin x 1 2(x k , k Z ) sin x
C． x2 1 2 | x | (x R)
D．
1 x2 1
1( x
R)
7．设正实数 x ， y ， z 满足 x2 3xy 4y2 z 0 ．则当 xy 取得最大值时， 2 1 2 的最大
若 1 1 1，可取 a 7 ， b 7 ，则 a b 1 ， B 错误；
ba
8
若 | a b | 1 ，则可取 a 9 ， b 4 ，而 | a b | 5 1， C 错误；
由 | a3 b3 | 1，
若 a b 0 ，则 a3 b3 1 ，即 (a 1)(a2 a 1) b3 ， a2 1 a b2 ， a 1 b ，即 a b 1
20．合肥六中德育处为了更好的开展高一社团活动，现要设计如图的一张矩形宣传海报，该 海报含有大小相等的左右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 60000cm2 ，四周空白的宽度 为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5cm ．
（1）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，并求最小值；
有最小值，故选： A ．
5．解：由题意可得若 p f ( ab) ln( ab) 1 lnab 1 (lna lnb) ，
最新人教A版高中数学必修一培优课时作业(十二)基本不等式
课时作业(十二) 基本不等式[练基础]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝02．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤33．“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3 D ．－15．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则xy 的最大值是( )A.14 B ．4 C.18D ．8 6．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a 2＋b 2≥2abB ．a ＋1a≥2 C ．b 2＋1≥2b D.⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥27．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________． 8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则1y ＋8x的最小值为________． 9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2x x 2＋1的最大值．[提能力]11．(多选)下列命题中正确的是( )A ．y ＝x ＋1x()x <0的最大值是－2 B ．y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值是2 C ．y ＝2－3x －4x()x >0的最大值是2－43 D ．y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5 12．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若x <0，则y ＝x ＋1x的最大值为－2 B ．若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22C ．若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b的最大值为9 D ．若x ∈[]0，2，则y ＝x 4－x 2的最大值为213．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝3，则xy 的最大值为________，3x ＋y xy的最小值为________． 14．已知5x 2y 2＋y 4＝1()x ，y ∈R ，则x 2＋2y 2的最小值是________．15．已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．[培优生]16．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交半圆周于点D ，连接OD .作CE ⊥OD 交OD 于点E .由CD ≥DE 可以直接证明的不等式为( )A.ab ≥2ab a ＋b (a >0，b >0)B.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)C. a 2＋b 22≥a ＋b 2(a >0，b >0) D ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)课时作业(十二) 基本不等式1．解析：当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，等号成立．故选B.答案：B2．解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4，所以a 2＋b 2≥2.故选C.答案：C3．解析：若a ，b 为正数，取a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2ab ，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的充分条件；若a ＋b >2ab ，取a ＝1，b ＝0，则b 不是正数，则“a ，b 为正数”不是“a ＋b >2ab ”的必要条件．故“a ，b 为正数”是“a ＋b >2ab ”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D4．解析：y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．故选C.答案：C5．解析：由题意得，xy ＝12×2xy ≤12×⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝12×⎝⎛⎭⎫122＝18， 当且仅当x ＝14，y ＝12时等号成立，所以xy 的最大值是18.故选C. 答案：C6．解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 正确；当a ＞0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a ＜0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 不正确；当b ∈R 时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 正确；⎪⎪⎪⎪b a ＞0，⎪⎪⎪⎪a b ＞0，所以⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2时，故D 正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(1－a )·11－a＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．解析：因为x >0，y >0且x ＋2y ＝2，所以1y ＋8x ＝x ＋2y 2y ＋4x ＋8y x＝5＋x 2y ＋8y x ≥5＋2x 2y ·8y x ＝9(当且仅当x 2y ＝8y x ，即x ＝4y ＝43时取等号)，即1y ＋8x的最小值为9.答案：99．解析：⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下： 因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )] ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c， 又a >b >c ，所以b －c a －b ＋a －b b －c≥2， 故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c时，取“＝”． 10．解析：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22(3－x )·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ≤－22，－⎣⎡⎦⎤2(3－x )＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. 11．解析：对于A ，y ＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎫－x －1x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立，所以y ＝x ＋1x ()x <0的最大值是－2，故A 正确；对于B ，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，因为x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1无解，即等号不成立，所以y ＝x 2＋3x 2＋2取不到最小值2，故B 错误；对于C ，y ＝2－3x －4x (x >0)＝2－(3x ＋4x )≤2－23x ·4x ＝2－43，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时，等号成立，所以y ＝2－3x －4x(x >0)的最大值是2－43，故C 正确；对于D ，y ＝x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2()x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立，所以y ＝x ＋4x －1()x >1最小值是5，故D 正确；故选ACD.答案：ACD 12．解析：A 选项，由x <0可得y ＝x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤()－x ＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2()－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝－2，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时，等号成立；即y ＝x ＋1x 的最大值为－2；A 正确；B 选项，由a >0，b >0，可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－ab ＝a 2＋b 2－2ab 4＝⎝⎛⎭⎫a －b 22≥0，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，故B 正确；C 选项，若a >0，b >0，且a ＋4b ＝1，则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ()a ＋4b ＝1＋4b a ＋a b ＋4≥5＋24b a ·a b ＝9，当且仅当4b a ＝a b，即⎩⎨⎧a ＝13b ＝16时，等号成立；即1a ＋1b 的最小值为9，故C 错；D 选项，因为0≤x ≤2，所以y ＝x 4－x 2≤x 2＋()4－x 22＝2，当且仅当x ＝4－x 2，即x ＝2时，等号成立，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：∵x >0，y >0∴x ＋2y ＝3≥22xy ，解之得：xy ≤98. 当且仅当x ＝2y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立． ∴xy 的最大值为98. 3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝13()x ＋2y ⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝73＋13⎝⎛⎭⎫3x y ＋2y x ≥73＋233x y ·2y x ＝7＋263. 当且仅当3x y ＝2y x ，即x ＝36－35，y ＝18－3610时，等号成立． ∴3x ＋y xy 的最小值为7＋263. 另解： ∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝3∴x ＝3－2y >0，∴0<y <32. ∴xy ＝y ()3－2y ＝－2y 2＋3y ＝－2⎝⎛⎭⎫y －342＋98. ∵0<y <32， ∴当y ＝34时，()xy max ＝98，此时x ＝32. 答案：98 7＋26314．解析：∵5x 2y 2＋y 4＝1∴y ≠0且x 2＝1－y 45y2 ∴x 2＋2y 2＝1－y 45y 2＋2y 2＝15y 2＋9y 25≥215y 2·9y 25＝65， 当且仅当15y 2＝9y 25，即x 2＝815，y 2＝13时取等号． ∴x 2＋y 2的最小值为65. 答案：6515．解析：因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当ay x ＝bx y， 即y x ＝b a时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.16．解析：由三角形相似，知CD 2＝DE ·OD ＝AC ·BC ，即DE ＝DC 2OD ＝ab a ＋b 2＝2ab a ＋b， 由CD ≥DE ，得ab ≥2ab a ＋b，故选A. 答案：A。
基本不等式 作业
基本不等式作业1.当x>1时，函数y=x+1-1x的最小值是.2.已知正数x，y满足x+y=1，那么1x+4y的最小值为.3.若x+2y=1，则2x+4y的最小值为.4.(2015·宿迁一模)若a2-ab+b2=1，a，b是实数，则a+b的最大值是.5.(2014·扬州中学)设x，y均为正实数，且32x++32y+=1，则xy的最小值是.6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则11c++99a+的最大值为.7.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为.8.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3 m，AD=2 m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第8题)11.(2015·苏锡常镇二模)已知a，b∈R，a≠0，曲线y=2ax+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，求a2+b2的最小值.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·南京、盐城一模)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22-x yx y+的最小值为.13.(2015·镇江期末)已知正数x，y满足1x+1y=1，则4-1xx+9-1yy的最小值为.【检测与评估答案】第47课基本不等式及其应用1.3 【解析】因为x>1，所以y=x+1-1x =(x-1)+1-1x +1=3，当且仅当x-1=1-1x ，且x>1，即x=2时等号成立，故函数y 的最小值为3.2.9 【解析】1x +4y =14x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x+y )=1+y x +4xy +4≥5+=5+2×2=9，当且仅当x=13，y=23时取等号.3.【解析】易知2x +4y =2x +22y =当且仅当x=12，y=14时，等号成立.4.2 【解析】方法一：因为a 2-ab+b 2=1，即(a+b )2-3ab=1，从而3ab=(a+b )2-1≤23()4a b +，即(a+b )2≤4，所以-2≤a+b ≤2，所以(a+b )max =2.方法二：令u=a+b ，与a 2-ab+b 2=1联立消去b 得3a 2-3au+u 2-1=0，由于此方程有解，从而有Δ=9u 2-12(u 2-1)≥0，即u 2≤4，所以-2≤u ≤2，所以(a+b )max =2.5.16 【解析】因为x ，y 均为正实数，32x ++32y +=1，所以8+x+y=xy ，xy 8，2)≥0，xy ≥16，即xy 的最小值是16.6. 20 【解析】设每次都购买x t ，则需要购买200x次，则一年的总运费为200x ×2=400x (万元)，一年的存储费用为x 万元，则一年的总费用为400x +x 40，当且仅当400x =x ，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t .7.65【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为[0，+∞)，则a>0，且Δ=16-4ac=0，即ac=4.欲求11c++99a+的最大值，利用前面关系，建立f(a)=11c++99a+=918(1)(9)c ac a++++=1+53613aa++，由f(a)=1+513aa++≤165，当且仅当36a=a，即a=6时取等号.8.813⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】方法一：令t=xy，则x=ty，于是ty+2yt+3y+4y=10，所以10=23t⎛⎫+⎪⎝⎭y+(t+4)1y，解得1≤t≤83.当23t⎛⎫+⎪⎝⎭y=(t+4)1y时，得y2=423tt++.当t=1时，y=1，x=1；当t=83时，y=43，x=2.所以1≤t≤83为所求.方法二：令t=xy，则y=tx，于是x+2x+3tx+4tx=10，可得41t⎛⎫+⎪⎝⎭x2-10x+2+3t=0，由Δ=100-441t⎛⎫+⎪⎝⎭(2+3t)≥0，得1≤t≤83.9.作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线z=ax+by(a>0，b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而2 a +3b=23236a ba b+⎛⎫+⎪⎝⎭=136+b aa b⎛⎫+⎪⎝⎭≥136+2=256，当且仅当ba=ab，即a=b=65时取等号.故2a+3b的最小值为256.(第9题)10.(1) 设AN=x m(x>2)，则ND=(x-2)m .因为ND DC =AN AM ，即-23x =xAM， 所以AM=3-2x x .所以S 矩形AMPN =23-2x x =23(-2)12(-2)12-2x x x ++=3(x-2)+12-2x +12≥212=24，当且仅当x=4时取等号，即当AN=4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为24 m 2.(2) 由(2)知S 矩形AMPN =3(x-2)+12-2x +12(x ≥6)，令x-2=t (t ≥4)，则f (t )=3t+12t+12.因为f'(t )=3-212t ，当t ≥4时，f'(t )>0，所以f (t )=3t+12t+12在区间[4，+∞)上单调递增，所以f (t )min =f (4)=27，此时x=6.即当AN=6 m 时，矩形AMPN 的面积最小，为27 m 2.11. 令2a x+=ax+2b+1，可得ax 2+(2b+1)x-a-2=0. 方法一：把等式看成关于a ，b 的直线方程(x 2-1)a+2xb+x-2=0， 由于直线上一点(a ，b )到原点的距离大于等于原点到直线的距离，，所以a 2+b 2≥2222(-2)(-1)(2)x x x +=215-24-2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 因为x-2+5-2x 在x ∈[3，4]是减函数，上述式子在x=3，a=-225，b=-350时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100. 方法二：令a 2+b 2=t 2(t>0)，所以a=t cos θ，b=t sin θ. 因为2a x+=ax+2b+1， 所以ax 2+(2b+1)x-(a+2)=0，所以t cos θ·x 2+2x ·t sin θ+x -t cos θ-2=0， 所以(tx 2-t )·cos θ+2xt ·sin θ=2-x ，θ+φ)=2-x ，所以|sin(θ+ φ)≤1，所以t ≥2|-2|1x x +. 下同方法一.12.4 【解析】因为log 2x+log 2y=log 2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xyx y +=x-y+4-x y 4，当且仅当x-y=2，即1，1时取等号.13.25 【解析】因为1y =1-1x，所以4-1x x +9-1y y =4-1x x +911-y=4-1x x +9x=4+4-1x +9(x-1)+9=13+4-1x +9(x-1).又因为1y =1-1x >0，所以x>1，同理y>1，所以13+4-1x +9(x-1)≥13+25，当且仅当x=53时取等号，所以4-1x x +9-1yy 的最小值为25.。
_新教材高中数学高效作业10基本不等式的简单应用含解析新人教A版必修第一册
基本不等式的简单应用[A 级 新教材落实与巩固]一、选择题1．已知m ，n>0，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( B ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10【解析】 由m 2＋n 2≥2mn ，得mn≤m 2＋n22＝50，当且仅当m ＝n ＝5 2 时等号成立，故选B.2．已知a>0，b>1，且a(b －1)＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】 a ＋(b －1)≥2a （b －1） ＝2 4 ＝4，当且仅当a ＝2，b ＝3时，等号成立，所以a ＋b≥5.3．已知0<x<14 ，则x(1－4x)取最大值时x 的值是( C )A ． 14B ． 16C ． 18D ． 110【解析】 因为0<x<14 ，所以0<4x<1，1－4x>0，所以x(1－4x)＝14 ·4x(1－4x)≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1－4x 2 2＝116 ，当且仅当4x ＝1－4x ，即x ＝18 时，等号成立．故选C.4．若对x>0，y>0，有(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是( A )A ．m ≤8B ．m>8C ．m<0D ．m ≤4【解析】 因为(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以m≤8.5．下列各函数中，函数的最小值为2的是( A ) A ．y ＝x ＋1x B ． y ＝x 2＋x ＋1xC ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝x －1x 【解析】 y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；y ＝x 2＋x ＋1x＝x ＋1x ＋1，当x>0时，y ≥3，当且仅当x ＝1时，等号成立，当x<0时，y ≤－1，当且仅当x ＝－1时等号成立；y ＝x 2＋3x 2＋2 ＝x 2＋2 ＋1x 2＋2>2x 2＋2·1x 2＋2＝2，等号不能成立；y ＝x －1x没有最值．综上，选项A 符合题意．6．已知x<－2，则2x ＋1x ＋2 的最大值为( C )A ．2 2B ．2 2 －4C ．－2 2 －4D ．－2 2【解析】 由x<－2，知x ＋2<0，2x ＋1x ＋2 ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4≤－2－2（x ＋2）·1－（x ＋2） －4＝－2 2 －4，当且仅当x ＝－22－2时等号成立，故选C.7．【多选题】 下列结论正确的是( BCD ) A ．a>0，b>0，则a ＋bab ≤2B ．a 2＋1a 2＋1的最小值为1C ．a>0，b>0，a ＋b ＝3时，ab 的最大值为94D ．a ＋b ＝3时，a 2＋b 2的最小值是92【解析】 由a ＋b ab ≤2得a ＋b≤2ab ，显然选项A 错误；a 2＋1a 2＋1 ＝(a 2＋1)＋1a 2＋1－1≥2（a 2＋1）·1a 2＋1－1＝1，当且仅当a ＝0时等号成立，所以选项B 正确；ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32 2＝94 ，所以选项C 正确；由2ab≤a 2＋b 2得(a ＋b)2≤2(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥（a ＋b ）22 ＝92，所以选项D 正确．二、填空题8．已知x ，y 都是正数．(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是__2254 __.【解析】 (1)x ＋y≥2xy ＝215 ， 即x ＋y 的最小值是215 ， 当且仅当x ＝y ＝15 时，取最小值．(2)xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152 2＝2254 ，即xy 的最大值是2254 ，当且仅当x ＝y ＝152 时，xy 取最大值．9．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400 km 以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 20 2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__8__h ．(火车长度忽略不计)【解析】 物资全部运送到灾区需t ＝400＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋v25≥8 (h)，当且仅当400v ＝v25，即v ＝100时，等号成立，故最少要用8 h ． 10．x 2＋5x 2＋4的最小值是__52 __． 【解析】 x 2＋5x 2＋4 ＝x 2＋4＋1x 2＋4 ＝x 2＋4 ＋4x 2＋4 －3x 2＋4 . 由于x 2＋4 ＋4x 2＋4≥2x 2＋4·4x 2＋4＝4， －3x 2＋4≥－32 ，从而当x ＝0时，x 2＋5x 2＋4 有最小值为52 .三、解答题11．(1)已知x>1，求x ＋1x －1的最小值； (2)求x （10－x ） 的最大值． 解：(1)因为x>1，所以x ＋1x －1 ＝x －1＋1x －1 ＋1≥2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以x ＋1x －1 的最小值为3.(2)由题意得0≤x≤10，∴x （10－x ） ≤x ＋（10－x ）2 ＝5，当且仅当x ＝5时等号成立，∴x （10－x ） 的最大值为5. 12．(1) 设x>0，y>0，且1x ＋2y ＝1，求x ＋y 的最小值；(2)设x>0，y>0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，且1x ＋2y＝1，∴x ＋y ＝()x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2 ， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2y＝1，y x ＝2x y ，x>0，y>0，即x ＝ 2 ＋1，y ＝2＋ 2 时等号成立， 即(x ＋y)min ＝3＋2 2 .(2)∵x>0，y>0，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝()x ＋2y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋2 2 .当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝xy ，x>0，y>0，即x ＝ 2 －1，y ＝2－22时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y min＝3＋2 2 . [B 级 素养养成与评价]13．已知a>0，b>0，且a ＋b ＝3，则(1＋a)(2＋b)的最大值为__9__．【解析】 由不等式xy≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ，得(1＋a)(2＋b)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋2＋b 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫62 2＝9，当且仅当1＋a ＝2＋b ，即a ＝2，b ＝1时，(1＋a)(2＋b)取得最大值9.14．设x>y>0，则x 2＋1（x －y ）y 的最小值为__4__．【解析】 ∵x>y>0，∴x 2＋1（x －y ）y≥x 2＋4[]（x －y ）＋y 2 ＝x 2＋4x2 ≥4.当且仅当x ＝ 2 y ＝22时取等号． 15．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获得2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3 －118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天完工，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)解：设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118 ＝118－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3 ＝118－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x ＋3）＋784x ＋3－12 ＝130－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x ＋3）＋784x ＋3 ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18， 当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3 ，即x ＝11时取等号，所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．。
(十二)基本不等式及其应用(作业)
§7.4基本不等式及其应用1．基本不等式：ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．823．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 题组三 易错自纠4．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1 D.325．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值． 跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(2)(2017·武汉模拟)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．题型二 基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B.53 C.94 D.256利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．错解展示：(1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42， ∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x ≤1－2 6.∴函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为(－∞，1－26]．错误答案 (1)42 (2)(－∞，1－26] 现场纠错纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1.a,b ∈R,下列不式不恒成立是( ) A.a 2＋b 2≥2ab ．B.b a ＋a b ≥2．C.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ． D.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22．2．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )3．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 4．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．165．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤157．(2018·天津滨海新区八校联考)已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b 取最小值时，b ＝________.8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________．9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2. (1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？13．(2019·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．114．(2019·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________．15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值是( )A ．0B ．1 C.94D ．316．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．17、已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________． 18、已知正数,x y 满足22x y +=，则8x y xy+的最小值为 ． 19、已知正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，则x + y 的最小值为 ．20、已知a ，b 为正数，且直线 ax ＋by －6＝0与直线 2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________．21、已知正实数,x y 满足(x-1)(y+1)=16，则x y +的最小值为 ．23、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．24、若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 25、若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 26、 已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________． 27、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________． 29、 已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |b取最小值时，实数a 的值是________． 30、 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 31.已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为________．32.已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为 ． 33、 若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为________． 34.已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________．35.若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋12y的最大值为________． 36.若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x y 的值为________．37.已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________．38.设实数x ，y 满足x 24－y 2＝1，则3x 2－2xy 的最小值是________．。
高考一轮作业：7-4基本不等式及其应用(含答案)
时间：45分钟 满分：100分 班级：________姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·长春月考)设a ，b 是正实数，以下不等式：(1)a ＋1b≥2；(2)2＋b 2≥a＋b ；(3)ab ≥2ab a ＋b ；(4)a ＜|a －b|＋b ，其中恒成立的有( ) A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(3)(4)D ．(2)(4) 解析：根据基本不等式，有2＋b 2＝2＋b 2＋2＋b 2 ≥2＋b 2＋2ab ＝a ＋b ，故(2)正确；由a ＋b≥2ab ，则2ab a ＋b ≤1，两边同乘以ab ，得2ab a ＋b ≤ab ，故(3)正确．答案：B2．(2018·诸城一中月考)若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3D ．3 3 解析：法一：3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝6. 当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故3a ＋3b 的最小值是6.法二：由a ＋b ＝2，得b ＝2－a ，∴3a ＋3b ＝3a ＋32－a ＝3a ＋93a ≥23a ·93a ＝6. 当且仅当3a ＝93a ，即a ＝1时等号成立． 答案：B3．(2018·桦甸一模)已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝(12)x 2－2(x ＜0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m≤n 解析：∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2－1a －2＋2＝4(当且仅当a ＝3时等号成立)， n ＝22－x 2<4，∴m ＞n.答案：A4．(2018·延吉二模)不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a ＜0对满足a ＞b ＞c 恒成立，则λ的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．(－∞，4]D ．(4，＋∞)解析：变形λ＞(a －c)(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b)＋(b －c)]·(1a －b ＋1b －c )＝1＋a －b b －c ＋b －c a －b＋1≥4，(当且仅当(a －b)2＝(b －c)2时，等号成立)∴λ＞4.故应选D.答案：D5．(2018·莱州模拟)若a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a(a ＋b ＋c)＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2D ．23－2 解析：∵a(a ＋b ＋c)＋bc ＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋c)(b ＋a)＝4－23，∴2a ＋b ＋c ＝(a ＋b)＋(a ＋c)≥2＋＋＝23－2，当且仅当a ＋b ＝a ＋c ＝3－1时取等号．答案：D6．(2018·江西红色六校联考)已知a ，b ∈R ＋，且2a ＋b ＝1，则s ＝2ab －4a 2－b 2的最大值为( ) A.2－12 B.2－1C.2＋1D.2＋12 解析：∵a ，b ∈R ＋，1＝2a ＋b≥22ab ，∴ab ≤24，4a 2＋b 22≥2a ＋b 2，∴4a 2＋b 2≥12，－4a 2－b 2≤－12，∴s ＝2ab －4a 2－b 2≤2ab －12≤2－12，当且仅当2a ＝b 时等号成立，故选A. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·临汾百题精选)若2y ＋4x ＝xy(x ＞0，y ＞0)，则xy 的最小值为________．解析：22y·4x≤2y＋4x ＝xy(x ＞0，y ＞0)，当且仅当2y ＝4x 时“＝”成立，∴xy≥32.答案：328．(2018·山东实验中学诊断)已知不等式(x ＋y)(1x ＋a y)≥9，对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是________．解析：由于x ＞0，y ＞0，所以(1x ＋a y )(x ＋y)＝1＋a ＋(y x ＋ax y )≥1＋a ＋2a(当且仅当y x ＝ax y时“＝”成立)，此不等式恒成立，由题设1＋a ＋2a ≥9，∴a ＋1≥3，a≥4，a min ＝4.答案：49．(2018·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________． 解析：∵a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn)(bm ＋an)＝(a 2＋b 2)mn ＋ab(m 2＋n 2)＝2(a 2＋b 2)＋ab(m 2＋n 2)≥2(a 2＋b 2)＋ab·2mn＝2(a ＋b)2＝2.当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．答案：210．(2018·许昌模拟)已知a 、b 、c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________． 解析：1a ＋1b ＋1c ＝(1a ＋1b ＋1c)(a ＋2b ＋c) ＝4＋(2b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋2b c)≥6＋4 2. 答案：6＋4 2三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．设a ，b ，c 为正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a＋b ＋c. 证明：∵a ，b ，c 均是正数，∴bc a ，ca b ，ab c均是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c，ca b ＋ab c ≥2a，ab c ＋bc a≥2b. 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋b c)≥2(a＋b ＋c)， ∴bc a ＋ca b ＋ab c≥a＋b ＋c. 12．设函数f(x)＝x ＋a x ＋1，x ∈[0，＋∞)． (1)当a ＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0＜a ＜1时，求函数f(x)的最小值．解：(1)把a ＝2代入f(x)＝x ＋a x ＋1中， 得f(x)＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1. 由于x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1＞0，2x ＋1＞0， 所以f(x)≥22－1.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f(x)取得最小值，最小值为22－1.(2)因为f(x)＝x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1，(此时再利用(1)的方法，等号取不到) 设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋a x 1＋1－x 2－a x 2＋1＝(x 1－x 2)·[1－a 1＋2＋]．由于x 1＞x 2≥0，所以x 1－x 2＞0，x 1＋1＞1，x 2＋1≥1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＞1，而0＜a ＜1，所以a 1＋2＋＜1，所以f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2)，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝f(0)＝a.13．(2018·贺兰一中期末)一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形，它们完全重合，把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型)，为保证所需的磁通量，要求十字应具有4 5 cm 2的面积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．解：设y ＝x ＋2h ，由条件知：x 2＋4xh ＝45，即h ＝45－x 24x ，设外接圆的半径为R ，即求R 的最小值，∵4R 2＝x 2＋(2h ＋x)2＝2(x 2＋2hx ＋2h 2)，∴2R 2＝f(x)＝x 2＋45－x 22＋80－85x 2＋x 48x 2＝5＋58x 2＋10x 2(0＜x ＜2R)， ∴2R 2≥5＋2254＝5＋5， 等号成立时，58x 2＝10x2⇒x ＝2， ∴当x ＝2时2R 2最小，即R 最小，从而周长l 最小，此时x ＝2 cm ，y ＝2h ＋x ＝(5＋1) cm.。
课时作业15：第1课时 基本不等式
§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2第1课时 基本不等式一、选择题1.a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A.a 2＋b 2≥2|ab |B.a 2＋b 2＝2|ab |C.a 2＋b 2≤2|ab |D.a 2＋b 2>2|ab |考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立).2.若a ，b ∈R 且ab >0，则下列不等式中恒成立的是( )A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，显然错误；对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b≥2 b a ·a b ＝2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立.3.若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A.1x ＋y ≥14B.1x ＋1y ≥1C.xy ≥2D.1xy ≥1 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1， 当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立.4.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A.ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B.ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C.ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D.ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 因为a ＋b ＝cd ＝4，所以由基本不等式得a ＋b ≥2ab ，故ab ≤4.又因为cd ≤(c ＋d )24，所以c ＋d ≥4，所以ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时，等号成立.5.设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r <pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r >q 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 B解析 因为0<a <b ，所以a ＋b 2>ab . 又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2>f (ab )，即p <q . 而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln(ab )＝ln ab ， 所以r ＝p ，故p ＝r <q ，故选B.6.已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是( )A.a ＋b ＋1ab ≥2 2B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥2ab D.2ab a ＋b >ab 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 D解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥ 22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立；∵a 2＋b 2≥2ab >0， ∴a 2＋b 2ab≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，且a ，b ∈(0，＋∞)，∴2ab a ＋b ≤1，2ab a ＋b≤ab . 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立.二、填空题7.设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”)考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 ≤解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)，∴y ＝log a x 是增函数， 又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 8.设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b；④a b ＋b a ≥2.其中恒成立的不等式是________.考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 ①②解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确. 9.已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是______________________________. 考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 (a －b )(b －c )≤a －c 2解析 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立. 10.设a ＞1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是________.(用“＞”连接)考点 基本不等式比较大小题点 利用基本不等式比较大小答案 m ＞p ＞n解析 ∵a ＞1，∴a 2＋1＞2a ＞a ＋1，∴log a (a 2＋1)＞log a (2a )＞log a (a ＋1)，故m ＞p ＞n .三、解答题11.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，ab c也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.12.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 考点 基本不等式证明不等式题点 运用基本不等式证明不等式证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立). (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a， 同理，1＋1b ＝2＋a b， ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立). 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab. 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立. 四、探究与拓展13.设0<a <1<b ，则一定有( )A.log a b ＋log b a ≥2B.log a b ＋log b a ≥－2C.log a b ＋log b a ≤－2D.log a b ＋log b a >2考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 C解析 ∵0<a <1<b ，∴log a b <0，log b a <0，－log a b >0，－log b a ＞0，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2，当且仅当ab ＝1时，等号成立，∴log a b ＋log b a ≤－2.14.设x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( )A.x ＋y ≥2(2＋1)B.xy ≤2＋1C.x ＋y ≤(2＋1)2D.xy ≥2(2＋1) 考点 基本不等式的理解题点 基本不等式的理解答案 A解析 ∵x ，y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 22－(x ＋y )－1≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)，当且仅当x ＝y ＝1＋2时取等号.。
高中数学 课后作业11 基本不等式 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
课后作业(十一)复习巩固一、选择题1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0[解析]a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0， ∴a ＝1时，等号成立． [答案] B2．对x ∈R 且x ≠0都成立的不等式是( ) A ．x ＋1x ≥2 B．x ＋1x≤－2C.|x |x 2＋1≥12D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 [解析] 因为x ∈R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，所以A 、B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D.[答案] D3．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[解析]a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12.∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab ， ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．[答案]B4．若a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 当a >0，b >0时，a ＋b ≥2ab ，则当a ＋b ≤4时有2ab ≤a ＋b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立．当a ＝1，b ＝4时满足ab ≤4，但此时a ＋b ＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．[答案] A5．已知x >0，y >0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( ) A.1x ＋y B.14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y C.12(x 2＋y 2)D.12xy[解析] 解法一：∵x ＋y >2xy ，∴1x ＋y <12xy ，排除D ；∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y >1(x ＋y )2x ＋y＝1x ＋y ，∴排除B ；∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy <2(x 2＋y 2)，∴1x ＋y >12(x 2＋y 2)，排除A.解法二：取x ＝1，y ＝2.则1x ＋y ＝13；14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝38；12(x 2＋y 2)＝110；12xy ＝122＝18.其中110最小．[答案] C二、填空题6．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________.[解析]∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0. ∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c ，即2b ＝a ＋c 时取等号．[答案](a －b )(b －c )≤a －c27．若不等式x 2＋2x 2＋1≥2恒成立，则当且仅当x ＝________时取“＝”号．[解析]x 2＋2x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2x 2＋11x 2＋1＝2，其中当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1⇔x 2＋1＝1⇔x 2＝0⇔x ＝0时成立．[答案] 08．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.[解析] 令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，⑤正确．[答案]①③⑤ 三、解答题9．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .[证明] 因为a ，b ，c 都是正数，所以bc a ，ac b ，abc也都是正数． 所以bc a ＋ac b ≥2c ，ac b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ac b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.[证明] 证法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab，故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab≥5＋4＝9.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)． 证法二：因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立. 综合运用11．已知a >0，b >0，则a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b中最小的是( ) A.a ＋b2B.abC.a 2＋b 22D.2aba ＋b[解析] 因为a >0，b >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，a ＋b2≥ab ，a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4≥(a ＋b )24＝a ＋b 2(当且仅当a ＝b >0时，等号成立)．所以a ＋b2，ab ， a 2＋b 22，2ab a ＋b中最小的是2aba ＋b，故选D. [答案] D12．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则下列各式恒成立的是( ) A.1ab≥8 B.1a ＋1b≥4C.ab ≥12D.1a 2＋b 2≤12[解析]∵当a ，b ∈(0，＋∞)时，a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，∴2ab ≤1，即ab ≤12.∴ab ≤14.∴1ab ≥4.故选项A 不正确，选项C 也不正确．对于选项D ，∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ，当a ，b ∈(0，＋∞)时，由ab ≤14可得a 2＋b 2＝1－2ab ≥12.所以1a 2＋b 2≤2，故选项D 不正确．对于选项B ，∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋b a ＋ab＋1≥4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选B.[答案] B13．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y x ＝a 时取等号.∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.[答案] B14．给出下列结论： ①若a >0，则a 2＋1>a .①若a >0，b >0，则⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b≥4.③若a >0，b >0，则(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4.④若a ∈R 且a ≠0，则9a＋a ≥6.其中恒成立的是________．[解析] 因为(a 2＋1)－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以a 2＋1>a ，故①恒成立．因为a >0，所以a ＋1a ≥2，因为b >0，所以b ＋1b≥2，所以当a >0，b >0时，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b，又因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b≥2，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a ≥6是错误的．[答案]①②③ 15．设a >b >c ，且1a －b ＋1b －c ≥m a －c恒成立，求m 的取值X 围． [解] 由a >b >c ，知a －b >0，b －c >0，a －c >0. 因此，原不等式等价于a －c a －b ＋a －cb －c≥m . 要使原不等式恒成立，只需a －c a －b ＋a －cb －c的最小值不小于m 即可． 因为a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c≥2＋2 b －c a －b ×a －b b －c＝4， 当且仅当b －c a －b ＝a －bb －c，即2b ＝a ＋c 时，等号成立． 所以m ≤4，即m ∈{m |m ≤4}．。
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
基本不等式作业(5个作业)
基本不等式作业（1）1． 若x ∈R +,则x x 212+___________值，且此最值为__________。
2． 若实数x ＋y ＝4，则x 2＋y 2有最__________值，且此最值为__________。
3． 若实数a ，b 满足a 2＋b 2＋4＝4a ＋4b －2ab ，则（10a ）b 有最大值为__________4． 若x ∈R +，则x ＋18+x 的最小值是__________。
5． 若x ∈R －，x x 92+有最__________值，是__________，此时x ＝__________。
6． 使乘积ab 没有最大值的一个充分条件是 （ ）A. a 2＋b 2为定值B.a ＞0，b ＞0且a ＋b 为定值C.a ＜0，b ＜0，且a ＋b 为定值D.a ＞0，b ＜0，且a ＋b 为定值7．已知a ，b ∈R ，M ＝a 2＋b 2＋1，N ＝a ＋b ＋ab ，则M,N 的大小关系是（ ）A.M ≥NB.M ≤NC.M=ND.无法确定8．两个正数a,b 满足a ＋b ≤4，则下列各式中，恒正确的是 （ ）22111111..12.24A B C D ab a b a b≥+≥≥≤+ 9.下列命题中，不正确的是__________(1)若x ＞0，则111x x +++的最小值为2 （2）若|x|≤1,则的最大值为12（3）若x ＜0，则1x x +的最大值为－2 （4）若|x|≤1，则221x x +的最小值为210．已知a ，b ＞0，，求证（a ＋b ）（11a b +）≥412．设a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝1，求ab 及a ＋b 的取值范围13．当x ＞0，时，求234xx +的最大值。
14．求证：对任意实数x ，142+x ＋x 2≥3并指出等号成立的条件。
15．设ab ≠0，利用基本不等式有如下证明：2222b a b a ab a b ab ab ++=≥=。
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基本不等式作业
1、 若4>x ，求41
-+x x 的最小值
2、 若1<x ，求11
-+x x 的最大值
3、 若23
>x ，求324
-+x x 的最小值
4、 若1>x ，求222
22-+-x x x 的最小值
5、 若0≠x ，求x x x )
2)(1(++的范围
6、 若31
0<<x ，求)31(x x -的最大值
7、 若)21
,0(∈x ，求)21(x x -的最大值
8、 若+∈R y x ,，求)4
1
)((y x y x ++的最小值
9、 若+∈R y x ,，且12=+y x ，当y x ,分别取何值时，
y x 11+的值最
小，最小值为多少？
10、 建造一个容积为82m ，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和
池壁的造价每平方米分别为120元和80元，求此水池的最低造价为多少元？
11、 铁路机车运行一小时所需成本由两部分构成：固定部分m 元，变
动部分与运行速度v （千米/小时）的平方成正比，比例系数为)0(>k k ，如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省，求运行速度。
（甲、乙相距S 千米）
12、
10,0,23x y x y >>+=，则11x y +的最小值是__________． 13.已知0,0>>y x 且112=+y
x ,若m m y x 222+>+恒成立,则实数m 的取值范围是 ．
14、已知正数x ，y ，z 满足023=-+z y x ，则xy
z 2
的最小值为 .
15.下列各式中，最小值为2的有 ①1(0)x x x +≠ ②(0)b a ab a b +> ③22111
x x +++ ④2
2122x x +++ 2 2。