人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.1 不等关系与不等式》优质课教案_3
人教A版高中数学必修五河北省张家口第三章不等关系与不等式学案
3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。
让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。
2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。
二、教学重、难点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
差值比较法：作差→变形→判断差三、教学过程（一）[创设问题情境]下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。
2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。
3. a 与b 的和是非负数。
4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需要满足什么条件？5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。
某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。
【教材分析与导入设计】2014年高中数学必修5(人教A版)第三章 【精品课件】3.1 不等式与不等关系
1、今天的天气预报说：明天白天的最高 温度为13℃；
白天的气温t与13℃之间存在不等关系
t≤13℃ 2、a是一个非负实数。 a≥0
a 的取值与0之间存在不等关系
3、右图是限速40km/h的路标，指示 司机在前方路段行驶时，应使汽车的 速度v不超过40km/h 。 汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系
引例：
1、三角形三边之间的关系。
2、同班同学身高之间的关系。 3、公路上各种车辆的速度之间的关系。
同学们，你能不能再举出一些 存在着不等关系的例子呢?
请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等 关系？
1、今天的天气预报说：明天白天的最高 温度为13℃；
白天的气温t与13℃之间存在不等关系
2、a是一个非负实数。
分析：设甲、乙两种产品产量分别为x，y件，则
感悟体验5、某厂使用两种零件A、B，装配两种产
甲x 需要A 需要B 限制 4x 2x 2500
乙y 6y 8y 1200
限制 14000 12000
由表格可知
0 x 2500 0 y 1200 4 x 6 y 14000 2 x 8 y 12000
说明： 1、分析好各不等关系的内在联系，是用 不等式（组）表示不等关系的前提。 2、在不等关系不容易提炼的情况下，可 以借助表格使问题明朗化。
感悟体验4 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢 管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系 的不等式呢？
a 的取值与0之间存在不等关系
3、右图是限速40km/h的路标，指示 司机在前方路段行驶时，应使汽车的 速度v不超过40km/h 。 汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.1 不等关系与不等式》优质课教案_11
不等式的基本性质.一、教学背景分析1.教学内容分析不等式是初中代数的重要内容之一，这是继方程后的又一种代数形式，继承了方程的有关思想，并实现了数形结合的思想，是初中数学教学的重点和难点.而不等式的性质是本章的重点内容之一，是在学生学习了数轴、等式的基本性质、不等式的概念的基础上进行的，是不等式变形的依据，也是学习一元二次方程、函数、高中不等式等知识的基础，是学生后继学习的重要基础和必备技能.2.学生情况分析我所任教的教学班的学生活泼好动，对学习充满兴趣，有一定的合作与探究意识，但基本功不扎实，缺乏毅力和恒心，应多给以鼓励；在知识方面已经学习了有理数大小的比较，等式的基本性质，有一定的认知基础，这些都为自主探究不等式的性质提供了条件.二、教学目标及重难点设计通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想；掌握不等式的基本性质，并会运用不等式的基本性质将不等式变形，发展符号表达能力、代数变形能力；通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力.重点：不等式的基本性质的应用.难点：不等式的基本性质的灵活应用.三、教学过程与教学资源设计1.教法分析基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容沿两条主线展开．第一条主线是探究性质，设计4组活动，分别是：自主探索性质→类比猜想性质→归纳得出性质→比较异同.第二条主线是应用性质，设计（三道例题）和3道巩固性变式训练.2.学法分析本节课在学法上突出学生的“探索发现”，通过观察、类比、猜想、验证等一系列探究活动，积累数学的探究方法和获得新知的经验.3.教学手段及媒体的选用在教学过程中，适时提出问题，引发学生思考．并借助多媒体辅助教学，增强图形的动感效应，增强教学的直观性和实效性.4.教学过程（略）四、学习效果评价设计1.学生在本节课的学习中，能够积极主动的参与学习活动，乐于与他人合作交流，尝试运用类比的方法探索不等式的基本性质，并能够用文字语言和符号语言描述性质；2.在应用性质解决问题的过程中，能够准确的运用性质进行推理；3.在畅谈收获中，能够说出收获和体会，建立学好数学的自信.五、教学设计特色总的来说，本节课呈现出以下三个特点：（1）以学生活动思索为主线——使学生主动建构.。
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
说课标说教说课稿人教版高中数学必修5第三章不等式
说课标，说教材说课稿人教版高中数学必修5第三章《不等式》各位评委、各位老师，大家好：今天我“说课标、说教材”的内容是人教版高中数学必修5第三章《不等式》。
下面我将从说课标、说教材、说建议三大方面面进行研说。
其中说课标包括数学课程的总体目标、必修五《不等式》课程目标、必修五《不等式》内容标准。
说教材包括教材的编写特点、教材编写体例、目的、教材的内容结构及知识与技能的立体式整合一、说课标（一）、数学课程的总体目标高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
具体目标如下：1、获得数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动2、培养学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应用意识、创新意识3、提高兴趣、树立信心、树立辩证唯物主义世界观这三个目标分别体现了数学课程在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观上对学生提出的要求。
（二）、必修五《不等式》课程目标：1、知识与技能：了解不等式（组）的实际背景。
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式二元一次不等式组模型的过程。
探索并了解基本不等式的证明过程。
会用基本不等式解决简单的最值问题。
2、过程与方法：通过本章学习培养和发展学生勇于自主探索，合作学习，勇于创新精神，体会事物之间普遍联系的思想。
3、情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，拓展学生视野，培养良好的学习习惯。
（三）、必修五《不等式》内容标准：在本模块中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。
二、说教材：（一）、教材的编写特点1、关注数学情境的建立，注重兴趣培养。
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.1 不等关系与不等式》优质课教案_1
难点：综合利用不等式的性质进行不等式的证明及取值范围的讨论。
四、教学策略选择与设计
讲解和探究相结合，个人探索和小组讨论相结合，直观和抽象相结合。在不等式的性质教学中，学生需要在直观上理解这些不等式的性质（主要是针对正数），然后再突破正数的限制，抽象的思考不等式的建立，这时一切推理都要建立在严格的逻辑基础上。
二、学习者特征分析
1、学生在第一课时已经基本了解了什么是不等式，以及不等式的基本证明方法---作差法，具备了进一步学习不等式性质的能力。
2、学生基本具备了从直观到简单抽象的能力。
3、学生对于基本函数有着充分的理解，可以利用函数性质和图像辅助不等式问题的思考。
4、实验班的学生有着较强的探究精神，需要在教学过程中留白，给学生课堂发挥和课后思考的空间。
（教学流程图）
引入—>认识深化性质讲解辨析—>简单证明取值范围讨论—>能力提升—>小结
七、教学评价设计
八、帮助和总结
利用不等式进行取值范围的讨论（加减和乘除分别设计了两个系列的问题）
问题1和2都是比较简单的，几个变式进行升华。老师需要及时的提问，让学生注意到问题的特征。比如提问“这两个问题有什么区别”
在充分思考的基础上进行演算和答题，并且讲清楚自己的方法。
这个部分的设计可以看成是不等式性质的应用，因为有具体数字，所以会更容易处理。加减法中特别引入了一个对比性问题，引发思考，与下一个阶段的线性规划问题衔接。乘除法中特别引入了负的范围，需要学生综合利用性质和进行系统化思考。在这个过程中，学生进一步强化了对不等式性质的认识。
三、教学目标
以不等式的性质探究和应用为载体，培养学生的语言概括、数学抽象和逻辑推理能力。并且:
人教A版高中数学必修五3.1.不等关系与不等式 教学设计
人教版新课标普通高中◎数学⑤必修第三章不等式概述不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.1．内容与课程学习目标本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题.2．教学要求（1）基本要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.1教师备课系统──多媒体教案2 ⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.（2）发展要求①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决.（3）说明①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形.3. 教学内容及课时安排建议3.1不等式与不等关系（约2课时）3.2一元二次不等式及其解法（约2课时）3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时）3.3.2简单的线性规划问题（约2课时）3.4基本不等式：2ba ab +≤（约2课时）人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修33.1 不等关系与不等式教案 A第1课时教学目标一、知识与技能通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯. 教学重点和难点教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系；并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法.教法与学法导航教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.学习方法：从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、主题探究，合作交流1. 用不等式表示不等关系引例1：限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是40v .教师备课系统──多媒体教案4引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示.3.2,5.20000≥≥p f问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥. 问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍. 怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000300.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，， 三、拓展创新，应用提高1. 试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2. 教材第74页的练习 第1、2题.四、小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.五、课堂作业教材第75页习题 3.1A 组 第4、5题.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5第2课时教学目标一、知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.教学重点和难点教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式.教学关键：学生会用不等式的性质证明简单的不等式和比较两个数的大小.教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式，解决学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法：采用探究法，遵循从具体到抽象的原则.学习方法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的基本性质，设计较典型的问题，总结解题的规律.教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课关于不等式的几个基本事实0;0;0.a b a b a b a b a b a b >⇔->⎧⎪=⇔-=⎨<⇔-<⎪⎩在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质，请同学们回忆初中不等式的的基本性质.1. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a b a c b c >⇒±>±；2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若,0a b c ac bc >>⇒>；3. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若,0a b c ac bc ><⇒<.二、主题探究，合作交流1. 不等式的基本性质教师备课系统──多媒体教案6 师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？证明：（1）()()0a cbc a b+-+=->，∴a c b c+>+；（2）()()0>-=---bacbca，∴cbca->-．实际上，我们还有,a b b c a c>>⇒>.（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．）根据两个正数的和仍是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）abba<⇔>；（2）,a b b c a c>>⇒>；（3）a b a c b c>⇒+>+；（4）,0a b c ac bc>>⇒>；,0a b c ac bc><⇒<.例1已知0,0,a b c>><求证c ca b>.证明：因为0a b>>，所以ab>0,1ab>.于是11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.由c<0 ，得c ca b>.例2比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）2. 探索研究思考：利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（5）dbcadcba+>+⇒>>,；（6）bdacdcba>⇒>>>>0,0；人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7（7）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n ；（8）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n .证明：（5）∵ a ＞b ， ∴ a ＋c ＞b +c ． ①∵ c ＞d ， ∴ b ＋c ＞b ＋d ． ②由①②得 a ＋c ＞b ＋d ．（6）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.（7）同学们自己证明.（8）反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．三、知识巩固，练习提高例3 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=.∵0≠x ， ∴02>x . 从而22)1(+x >124++x x .例4 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则ba －c 与ab －d 的大小关系为________．解析：b a －c －ab －d ＝b 2－bd －a 2＋ac (a －c )(b －d )＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac)(a －c )(b －d ).因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0，又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ，即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0，所以（b ＋a ）（b －a ）－（bd －ac ）＜0，所以b a －c －a b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )＜0，即b a －c ＜ab －d ..教师备课系统──多媒体教案8 答案：ba－c＜ab－d.课堂练习：教材第74页的练习第3题.四、小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.五、课堂作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第1题.教案 B第1课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质.教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小.教学过程一、导入新课章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.二、提出问题1.回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与不等式的异同，怎样利用人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9不等式研究及表示不等关系？2. 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？三、应用示例例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则40901000,5,6,N ,x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩，，即. 49100,5,6,N .x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩， 例2．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．四、小结上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用（<>≤≥≠、、、、）表示不等关系. 老师进一步画龙点睛，指出不等式是研究不等关系的重要数学工具．五、练习教材第74页 练习第 1、2题．六、提出新问题怎样比较两个实数的大小？七、作业教材第75页习题3.1 A 组第4、5题； B 组第1、2题．第2课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，教师备课系统──多媒体教案10及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程一、提出问题不等式是研究不等关系的重要数学工具，我们都了解哪些不等式的性质呢？1.请学生回答等式有哪些性质？2.不等式有哪些基本性质？这些性质都有何作用？二、探究不等式的性质性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）.证：∵b a >，∴0>-b a ，由正数的相反数是负数.0)(<--b a ，0<-a b ，a b <.性质2：如果b a >，c b >，那么c a >（传递性）.证：∵b a >，c b >，∴0>-b a ，0>-c b .∵两个正数的和仍是正数，∴+-)(b a 0)(>-c b .∵0>-c a ，∴c a >.由对称性，性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <.性质3：如果b a >，那么c b c a +>+（加法单调性）反之亦然.证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ，∴c b c a +>+.从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(.性质4：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则）.证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>. 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 11证：∵d c < ∴d c ->-；d b c a d c ba ->-⇒⎩⎨⎧->->.或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---.d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0.性质5：如果b a >且0>c ，那么bc ac >.如果b a >且0<c ，那么bc ac <（乘法单调性）.证：c b a bc ac )(-=-.∵b a >，∴0>-b a .根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a ，即：bc ac >；0<c 时0)(<-c b a ，即：bc ac <.性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）.证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.推论：如果0>>b a 且d c <<0，那么d bc a>（相除法则）.证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a dcd bc a >.性质7：如果0>>b a , 那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.证：（反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <=这都与b a >矛盾， ∴nn b a >.三、应用实例例1 比较大小教师备课系统──多媒体教案12 ①已知0>>ba，0<c求证：bcac>；解：∵0a b>>，∴ab>0,1ab>.∴11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.∵c<0 ，∴c ca b>.②231-和10.解：∵23231+=-，∵02524562)10()23(22<-=-=-+.∴231-<10.例2 比较)5)(3(-+aa与)4)(2(-+aa的大小.解：（取差）)5)(3(-+aa-)4)(2(-+aa7)82()152(22<-=-----=aaaa.∴)5)(3(-+aa<)4)(2(-+aa.例3 已知x≠0, 比较22)1(+x与124++xx的大小.解：（取差）22)1(+x-)1(24++xx22424112xxxxx=---++=.∵0≠x，∴02>x.从而22)1(+x>124++xx.小结：比较大小的步骤：“作差－变形－定号－结论”.例4 已知2,x>比较311x x+与266x+的大小．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 13解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+- 2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-=(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1）当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2）当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3）当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +. 说明：实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．四、课堂练习1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->-. 证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->-. 2．||||,0b a ab >>， 比较a 1与b 1的大小. 解：a 1-b 1aba b -=， 当0,0>>b a 时，∵||||b a >即b a >，0<-a b ，0>ab ， ∴0<-ab a b ，∴a 1<b1. 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <，0>-a b ，0>ab ， ∴0>-ab a b ，∴a 1>b1. 3．若0,>b a ， 求证：a b ab >⇔>1. 解：01>-=-aa b a b . ∵0>a ， ∴0>-a b ，∴b a <.0>-⇒>a b a b .∵0>a ，∴01>-=-a b a a b ， ∴1>a b .教师备课系统──多媒体教案14 五、课堂小结1.不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式;2.如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法.六、布置作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第2、3题.。
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面 之间的距离为 d，Ｂ为平面 上任意一点，则点Ａ与平面 的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克， 配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药 至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析
§3.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一 不等关系现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不大于b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二 作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点三 不等式的基本性质不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥1⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒>.n a n b1．2≥1.( √ )2．>1⇒a >b .( × )a b3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4．Error!⇔a ＋c >b ＋d .( × )题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为x 万元，(8－x －2.50.1×0.2)那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20(x ≥2.5)．反思感悟 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：.(不用化简)答案 5x－2(19－x)≥80，x∈N*解析 这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N*.题型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.引申探究1．若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)．∵a ＞0，b ＞0，∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0.∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)，[(x －12)2＋34]又∵2＋＞0，x －1<0，(x －12)34∴(x －1)<0，∴x 3－1<2x 2－2x .[(x －12)2＋34]命题角度2 作商法比较大小例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系．解 ＝＝，|log a (1－x )||log a (1＋x )||log a (1－x )log a (1＋x )||log (1＋x )(1－x )|∵0<x <1，∴＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )，|log (1＋x )(1－x )|11－x∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <，11－x∴log (1＋x )＞1，11－x即＞1，|log a (1－x )||log a (1＋x )|∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.反思感悟 作商法的依据：若b ＞0，则＞1⇔a ＞b .a b跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ＝a a －b b b －a ＝a －b ，a a b b a b b a (a b)∵a ＞b ＞0，∴＞1，a －b ＞0，a b∴a －b ＞1，即＞1，(a b )a a b ba b b a又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a .题型三 不等式的基本性质例4 已知a >b >0，c <0，求证：>.c a c b证明 因为a >b >0，所以ab >0，>0.1ab于是a ×>b ×，即>.由c <0，得>.1ab 1ab 1b 1a c a c b反思感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd .证明Error!⇒ac >bd .用好不等式性质，确保推理严谨性典例 已知12<a <60,15<b <36，求的取值范围．a b[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴<<，1215a b 6036∴<<.45a b 53[点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．[正解] ∵15<b <36，∴<<，又12<a <60，1361b 115∴<<，∴<<4，1236a b 601513a b即的取值范围是.a b (13，4)[素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b答案 C 解析 由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a <b <0.又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.>⇒a >b a c b cC.Error!⇒>D.Error!⇒>1a 1b1a 1b 答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒<，即>，C 成a ab b ab 1a 1b 立．同理可证D 不成立．4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( )A.＞B.<a d b ca dbc C.＞ D.<a c b da cb d 答案 B解析 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0，即＞＞0.1－d 1－c 又a ＞b ＞0，所以＞，a －d b －c从而有<.a d b c5．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．一、选择题1．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是( )A．x2<ax<a2B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax答案 B解析 ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >> B.>>aa b ab 2a b 2a b C.>a > D.>>aa b ab 2a b ab 2答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则＝1，＝－∴>>a .a b a b 212a b ab 23．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.< B ．a 2>b 21a 1b C.> D ．a |c |>b |c |a c 2＋1bc 2＋1答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则>0，<0，1a 1b 此时>，∴A 不成立；1a 1b 对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴>恒成立，∴C 成立；ac 2＋1bc 2＋1对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，Error!则ab >ac .5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.< D.<1ab 21a 2bb a a b 答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，>0，∴<；1a 2b 21ab 21a 2b对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，＝＝－1.b a a b6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， .答案 >a ＋m b ＋m a b 解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是 ．答案 (－32，52)解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝(a ＋b )－(－a ＋b )，1232结合不等式的性质可得，2a －b ∈.(－32，52)9．若x ∈R ，则与的大小关系为 ．x 1＋x 212答案 ≤x 1＋x 212解析 ∵－＝＝≤0.x 1＋x 2122x －1－x 22(1＋x 2)－(x －1)22(1＋x 2)∴≤.x 1＋x 21210．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为 ．答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0.所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表13示出来．解 由题意可得Error!(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝且z ＝1时取等号．1213．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：＞.e a －c eb －d 证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0<<，1a －c 1b －d 又∵e <0，∴＞.e a －c eb －d14．若x >0，y >0，M ＝，N ＝＋，则M ，N 的大小关系是()x ＋y1＋x ＋y x1＋x y1＋y A ．M ＝N B ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0，∴<，<，x 1＋x ＋y x 1＋x y 1＋x ＋y y 1＋y故M ＝＝＋<＋＝N ，即M <N .x ＋y 1＋x ＋y x 1＋x ＋y y 1＋x ＋y x 1＋x y 1＋y 15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是 ．答案 [－6,9]解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴Error!⇒Error!∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.。
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课题: §3.1不等式与不等关系
第1课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】
用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】
1.课题导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：
40v ≤
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2.5%2.3%
f p ≤⎧⎨≥⎩ 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1
x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
2.5(80.2)200.1
x x --⨯≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
2、课本P82的练习1、2
4.课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
5.评价设计
课本P83习题3.1[A 组]第4、5题
【板书设计】
第2课时
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若a b a c b c >⇒±>±
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若,0a b c ac bc >>⇒>
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若,0a b c ac bc ><⇒<
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？
证明：
1）∵(a＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0，
∴a＋c ＞b ＋c
2）()()0a c b c a b +-+=->，
∴a c b c +>+．
z 实际上，我们还有,a b b c a c >>⇒>，（证明：∵a＞b ，b ＞c ，
∴a－b ＞0，b －c ＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得
(a －b)＋(b －c)＞0，即a －c ＞0，
∴a＞c ．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）,a b b c a c >>⇒>（2）a b a c b c >⇒+>+
（3）,0a b c ac bc >>⇒>（4）,0a b c ac bc ><⇒<
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；
（3
）0,,1n n
a b n N n a b >>∈>⇒>>
证明：
1）∵a＞b ，
∴a＋c ＞b ＋
c ． ①
∵c＞d ，
∴b＋c ＞b ＋
d ． ②
由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ． 2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭
⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 3）反证法）假设n n b a ≤，
则：
若a b a b <
⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．
[范例讲解]：
例1、已知0,0,a b c >><求证
c c a b
>。
证明：以为0a b >>，所以ab>0,10ab
>。
于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a
> 由c<0 ，得c c a b > 3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（3＋2）2 ６＋26；（2）（3－2）2 （6－1）2；
（3
；(4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 2
1b 答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。
根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）
随堂练习2
1、 比较大小：
（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2（2）22
56259x x x x ++++与 4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A 组]第2、3题；[B 组]第1题。