数据结构与算法7

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3. 若非空二叉树有n0个叶结点,有n2个度为2的结点, 则 n0=n2+1
证明: 设该二叉树有n1个度为1的结点,结点总数为n,有 --------(1) n=n0+n1+n2 设二叉树的分支数目为B,有 B=n-1 --------(2) 这些分支来自于度为1的结点与度为2结点,即 B=n1+2n2 --------(3) 联列关系(1),(2)与(3),可得 1 n0=n2+1 证毕.
A
左是空返回 T 返回
B
>
C
左是空返回 右是空返回
D
visit(A);
左是空返回 T D 右是空返回 T visit(D); 返回 pre(T L); pre(T R); T 返回 T 返回 T 返回
visit(C); 先序序列：A
>
B D C
L); R);
>
>
>
中序遍历： void inorder (BinNode *rt) { if(rt==NULL) retrun； {inorder(rt->leftchild()); // 中序遍历左子树 visit(rt ); //访问根结点 inorder(rt->rightchild()); //中序遍历右子树 } }
A B D G E H C F
先序序列： ABDGCEFH 中序序列： DGBAECHF 后序序列： GDBEHFCA
练习
1.先序和中序遍历序列相同的二叉树 后序和中序遍历序列相同的二叉树 先序和后序和中序遍历序列相同的二叉树 2.二叉树中序遍历序列CDBAEGF,先序遍历序 列为ABCDEFG，画出该树
4 5 6
3 7
8 9 10 11 12 13 14 15
2. 深度为h 的非空二叉树最多有2h -1个结点.
证明: 由性质1可知,若深度为h的二叉树的每一层的结点 目都达到各自所在层的最大值,则二叉树的结点总数一 达到最大。即有 20+21+22+…+2i-1+ …+2h-1 = 2h-1 证毕.
叶子：K，L，F，G，M，I， 结点I的双亲：D 结点L的双亲： D I J 结点B，C，D为兄 结点K，L为兄弟 结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖 结点A的孩子：B，C， 结点B的孩子：E，F
结点A的层次：1 结点M的层次： 树的深度：
5.1.2
树的抽象数据类型
节点的类定义
树的类定义
2 4 6 5 7 3
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k=⎣log2n⎦+1.
证明：设深度为k， 则由性质2 {深度为h 的非空二叉树最多有2h -1个结点.} 和完全二叉树特性{除了最下层第k层以外，其余各层的结点数均
到达各层最多能有的2
i–1个结点
}
结点数n满足：2k-1-1＜n≤2k-1 或写为2k-1≤n＜2k 于是有：k-1≤log2n＜k 因为 k-1和k均为整数 显然有└log2n┘=k-1,
A
B D
C
遍历序列： A B C D
+ a b c
先序遍历： 中序遍历： 后序遍历： 层次遍历：
/ * d e f
- + a * b- c d/ e f a + b * c - d- e / f a b c d- * + e f / - + / a * e f b- c d
练习:请分别写出先序，中序，后序遍历序列
特点： 非空树中至少有一个结点——根 树中各子树是互不相交的集合
只有根结点的树 A
有子树的树
A C F G H M
根
D I J
B E K L
子树
子树
子树
树的定义可以用如下形式化描述来表
Tree=(D,R)
其中:D是具有相同特性的数据元素的集合;若D只含有 一个元素,则R为空集,否则R是D上的某个二元关系H 集合,即R={H},H为如下描述的二元关系: 1)有且仅有一个结点没有前驱，该结点被称为树的根； 2)除树根结点外，其余每个结点有且仅有一个前驱结 3)包含树根结点在内的每个结点，可以有任意多个(包含 0个)后继。
第五章
树形结构
树是一类重要的非线性数据结构，是以 分支关系定义的层次结构
a*b+(c-d/e)*f
5.1 树的概念 5.1.1 树的基本概念
定义：树是n(n≥0)个结点的有限集T,在一棵非空树
中：
1)有且仅有一个特定的称为根的结点； 2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不 相交的有限集合T1,T2,…,Tm,其中每个集合本身 又是一棵树，并且称为根的子树。
void preorder(BinNode *rt) { if(rt=order (rt->leftchild()); preorder (rt->rightchild()); } }
T 主程序 Pre( T ) T pre(T pre(T A L); R); pre(T pre(T T pre(T pre(T B L); R); C visit(B);
1 2
A
3
B
4 5 6
C
7
BT[1:15]
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D
8 9
E
10
F
G
H
I J
2. 一般二叉树的顺序存储结构
A
2 1
A
3
B D H J E F
C
4
B
5 6
C
7
G
8
D
9 10
E
11 12
F
13
G I
I
H
1 2 4 5 3
5.2.2
二叉树的实
一.二叉树的顺序存储结构
1. 完全二叉树的顺序存储结构
根据完全二叉树的性质5 ,对于深度为h 的完全二叉树, 将树中所有结点的数据信息按照编号的顺序依次存储到一 维数组BT[1:2h-1]中,由于编号与数组的下标一一对应, 该 数组就是该完全二叉树的顺序存储结构.
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 3 7 4 2 5 1 3 6
二叉树的性质
1. 一棵非空二叉树的第i 层最多有2i–1个结点(i≥1)。
证明(采用归纳法) (1).当i=1时,结论显然正确。非空二叉树的第1层有 仅有一个结点,即树的根结点. (2).假设对于第j层(1≤j≤i–1)结论也正确,即第j层最 多有2j-1个结点. (3).由定义可知, 二叉树中每个结点最多只能有两个 孩子结点。而第i–1层最多有2i–2个结点已由假设证明 若第i–1层的每个结点都有两棵非空子树, 则第i层的结点数目达到最大.,于是,应有 1 证毕. 2×2i–2 = 2i–1 2
二叉树的基本形态：
(空) 根 根 根 根
左 子 树
右 子 树
左 子 树
右 子 树
具有三个结点的二叉树具有以下五种基本形
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 3 7 4 2 5 1 3 6
两种特殊形态的二叉树
树型结构和线性结构的比 树型结构 根结点无前驱结 多个叶子结点无后 其它数据元素有一 前驱和多个后继 A B E K L F C G H M D I J 线性结构 第一个数据元素无前 最后一个数据元素无后 其它元素有且仅有一个直接 前驱和一个直接后继
A
B
C
D
5.1.3基本术语：
结点: 表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的 分支 结点的度: 分支个数（结点拥有的子树个数）。 树的度: 树中所有结点的度的最大值 B E K F L A C G H D I J M 叶子结点: 度为零的结点 分支结点: 度大于零的结点 从根到结点的路径：由从根到 结点所经分支和结点构成
访问是一种抽象操作，是对结点的某种处理，例如可
以是求结点的度、或层次、打印结点的信息，或做其 他任何工作。 一次遍历后，使树中结点的非线性排列，按访问的先 后顺序变为某种线性排列。
遍历的次序：若设二叉树根为D，左子树为L，右子树
为R，并限定先左后右，则有以下三种遍历次序： LDR中序遍历； LRD后序遍历； DLR先序遍历
5.2 二叉树
二叉树是一种重要的数据结构类型，它有许多良 好的性质和简单的物理表示，它的特点是最多有两个 孩子，并且二叉树的子树有左右之分，且其子树的顺 序不能任意颠倒。 5.2.1 二叉树的定义及其主要特性 二叉树是有n(n≥0)个结点的有限集合，此集合 或者是空的，或者是由一个根结点加上两棵分别称为 左右子树的、互不相交的二叉树组成。
> >
B D
C B C D L R
> >
先序遍历序列：A B D C
D
中序遍历:
A
L
D
R
A B D C L D R
>
L
>
D R
>
B L
>
D R
>
C
D
中序遍历序列：B D A C
后序遍历:
A
L
R
D
A B D C L R D
>
L B
>
R D
>
C