高中必修1-5错误解题分析系列-12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图 (1)
频率分布直方图茎叶图 (1)
用样本估计总体例一、1、为了了解某中学高二女生的身高情况，该校对高二女生的身高(单位：cm)进行了一次随机抽样测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：分组频数频率[150.5,154.5)10.02[154.5,158.5)40.08[158.5,162.5)200.40[162.5,166.5)150.30[166.5,170.5)80.16[170.5,174.5]m n合计M N(1)(2)绘制频率分布折线图；(3)估计该校女生身高小于162.5 cm的百分比．2、为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组数如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95，11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)根据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多大？例二、1、[2016·盐城高一检测]为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？2、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．例三、1、在某高中篮球联赛中，甲、乙两名运动员的得分如下(单位：分)：甲的得分：14,17,25,26,30,31,35,37,38,39,44,48,51,53,54；乙的得分：6,15,17,18,21,27,28,33,35,38,40,44,56.(1)用茎叶图表示上面的样本数据；(2)分析甲、乙两名运动员中哪一位发挥得更加稳定．2、甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：甲组76908486818786828583乙组82848589798091897974用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．作业：1．如图所示的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机某天的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机该天的销售额为()A．7元B．70元C．27元D．72元2．[2016·贵州思南中学月考]某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是()A．90 B．75C．60 D．453．[2016·河南高一检测]下图是12名同学某次测验的分数的茎叶图，由此可知，这些分数中最低分与最高分之和为________．5678 9⎪⎪⎪⎪3285577 3345 44．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________；(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________．5．[2016·四川省遂宁市期末]从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图．(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值．组号分组频数1[0,2) 6 2[2,4)8 3[4,6)17 4[6,8)22 5[8,10)25 6[10,12)12 7[12,14) 6 8[14,16) 2 9[16,18] 2 合计1006.[2016·湖北省随州市期末]我市三所重点中学进行高二期末联考，共有6000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：分组频数频率[80,90)①②[90,100)0.050[100,110)0.200[110,120)360.300[120,130)0.275[130,140)12③[140,150]0.050合计④(1)________、________、________、________.(2)在所给的坐标系中画出[80,150]上的频率分布直方图．。
苏教版数学高一作业 频率分布直方图与折线图(二)- 茎叶图
2.2.2频率分布直方图与折线图(二)2.2.3茎叶图一、填空题1.某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是______.2.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图.根据茎叶图判断________班的平均身高较高.3.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，现随机抽查了200名工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]，由此得到频率分布直方图如图所示，则这200名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________.4.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________.5.一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为⎪⎪⎪ 1817⎪⎪⎪0 10 3 x 8 9记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为________________________________________________________________________. 6.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为______.7.参加CBA 2013～2014赛季的甲、乙两支球队，统计两队队员的身高(单位：cm)茎叶图如下(以十位百位为茎，个位为叶)：则由图知________队队员的身高更整齐些.8.某中学高一(2)班甲、乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图，则________同学发挥较稳定，平均成绩________同学较高.(填“甲”或“乙”)9.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是________.(填序号)10.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数．．为______.二、解答题11.有一个容量为50的样本，数据分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5，21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5，30.5)，5；[30.5,33.5]，4.(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)画出频率折线图.12.在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.(1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，你会得到什么结论？13.某市2014年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)完成频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.答案精析1.40解析 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在[3.2,4.0)的人数为100×(0.4×0.625＋0.4×0.375)＝40. 2.乙解析 由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间.因此乙班平均身高高于甲班. 3.130解析 由频率分布直方图可得，一天生产该产品数量在[55,75)的频率是(0.040＋0.025)×10＝0.65，所以人数为0.65×200＝130. 4.24 23 解析 x 甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24， x乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23. 5.8解析 由茎叶图可知10＋11＋3＋x ＋8＋97＝7，解得x ＝8. 6.32解析 设中间一个小长方形的面积为x ， 由题意知，x ＋4x ＝1，所以x ＝15.则中间一组的频数为15×160＝32.7.甲解析 由茎叶图知甲队身高大部分是2米零几，而乙队身高拉得较开. 8.乙 乙解析 从茎叶图可知乙同学的成绩在80～90分分数段的有9次，而甲同学的成绩在80～90分分数段的只有7次；再从题图上还可以看出，乙同学的成绩集中在90～100分分数段的最多，而甲同学的成绩集中在80～90分分数段的最多.故乙同学发挥较稳定且平均成绩也比甲同学高.9.①解析由于频率分布直方图的组距为5，去掉③④，又[0,5)，[5,10)两组各一人，应选图①.10.30解析样本数据在(1,4)和(5,6)上的频率为(0.05＋0.10＋0.40＋0.15)×1＝0.7，故样本数据在(4,5)上的频率为1－0.7＝0.3，其频数为100×0.3＝30.11.解(1)频率分布表如下：累计频数频率分组频数[12.5,15.5)330.06[15.5,18.5)1180.16[18.5,21.5)2090.18[21.5,24.5)31110.22[24.5,27.5)41100.20[27.5,30.5)4650.10[30.5,33.5]5040.08合计50 1.00(2)频率分布直方图如下：(3)频率折线图为12.解(1)(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间；而报纸上每个句子的字数集中在20～40之间.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少.说明电脑杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明.13.解(1)频率分布表如下：分组累计频数频数频率[41,51)222 30[51,61)311 30[61,71)744 30[71,81)1366 30[81,91)231010 30[91,101)2855 30[101,111]3022 30合计301 (2)频率分布直方图如图所示：(3)答对下述两条中的一条即可：①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于轻微污染的天数2，占当月天数的1730，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善.。
频率分布直方图与茎叶
通过对数据的可视化，可以更好地进 行统计分析，如找出数据的中心趋势 、离散程度、异常值等，为后续的数 据分析提供基础。
频率分布直方图与茎叶图的概念
频率分布直方图
是一种用直方图形表示数据分布情况的统计图。它将数据分组，并用矩形的面积表示各 组频数，各矩形面积总和代表频数的总和。通过直方图可以清晰地看出数据的分布情况，
在质量控制中的应用
过程能力分析
在质量控制中，需要对生产过程进行能力分析，以评估生产过程是否稳定并满足质量要求。频率分布 直方图和茎叶图可以帮助质量工程师了解产品质量的分布情况，计算过程能力指数并判断过程是否受 控。
异常值检测
在质量控制过程中，异常值的检测和处理是一个重要的环节。通过观察频率分布直方图和茎叶图，可 以发现数据中的异常值，及时进行处理和调整，保证生产过程的稳定性和产品质量的一致性。
• 适用性广：适用于各种类型的数据，包括连续型和离散型 数据。
频率分布直方图的优缺点
信息损失
不能反映数据的原始数值
由于数据被分组，可能会损失一些细 节信息。
只能反映数据的分布情况，不能反映 数据的具体数值。
组距选择
组距的选择对数据的分布情况有一定 影响，不同的组距可能会得到不同的 直方图。
03 茎叶图
异常值。
02
特征选择
在数据分析中，特征选择是一个重要的步骤，通过观察频率分布直方图
和茎叶图，可以发现某些特征与目标变量之间的关系，从而选择重要的
特征进行建模。
03
模型诊断
在建立统计模型后，需要对模型进行诊断，以评估模型的拟合效果和预
测能力。频率分布直方图和茎叶图可以帮助分析师检查模型的残差分布
情况，判断模型是否符合假设条件。
高二数学频率分布直方图和折线图正式版
高二数学频率分布直方图和折线图正式版文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载第20课时频率分布直方图和折线图【学习导航】知识网络学习要求1．频率分布直方图的作法，频率分布直方图更加直观形象地反映出总体分布的情况； 2．频率分布折线图的作法，优点是反映了数据的变化趋势，如果样本容量足够大，分组的组距足够小，则这条折线将趋于一条曲线，称为总体分布的密度曲线。
【课堂互动】自学评价案例1 下表是某学校一个星期中收交来的失物件数，请将5天中收交来的失物数用条形图（1）在EXCEL 工作表中输入数据，光标停留在数据区中; （2）选择“插入/图表”，在弹出的对话框中点击“柱形图”；（3）点击“完成”，即可看到如下频数条形图．案例2 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据如下(单位：cm 。
试作出该样本的频率分布直方图和折线图. 【解】上一课时中, 已经制作好频率分布表，在此基础上, 我们绘制频率分布直方图. （1）作直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示组距频率;（2）在横轴上标上150.5,153.5,156.5, …，180.5表示的点。
（为方便起见，起始点150.5可适当前移）；（3）在上面标出的各点中，分别以连结相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的组距频率至此，就得到了这组数据的频率分布直方图，如下图频率同样可以得到这组数据的折线图. 频率150.5 153.5 156.5 159.5 162.5 165.5 168.5 171.5 174.5 177.5 180.8 【小结】1．利用直方图反映样本的频率分布规律, 这样的直方图称为频率分布直方图(frequencyhistogram, 简称频率直方图。
2. 频率直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
3．如果将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图(frequency polygon4．频率分布折线图的的首、尾两端如何处理: 取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，并取此组距上的x 轴上的点与折线的首、尾分别相连5．如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则这条折线趋于一条曲线，这一曲线称为总体分布的密度曲线。
18.频率分布直方图、折线图与茎叶图
5.某地随机检查了140名成年男性细胞数 ,数据的分组及频数如下表:
分组
频数
频率
分组
频数
频率
[3.8,4.0)
2
[5.0,5.2)
17
[4.0,4.2)
6
[5.2,5.4)
13
[4.2,4.4)
11
[5.4,5.6)
4
[4.4,4.6)
2
0.00020
0.00001
[360,390)
1030
0.10274
0.00342
[60,90)
7
0.00070
0.00002
[390,420)
696
0.06943
0Hale Waihona Puke 00231[90,120)
35
0.00349
0.00012
[420,450)
424
0.04229
0.00141
[120,150)
162
(1)作出这些数据的茎叶图;
(2)比较茎叶图,你能得到什么结论?
8.在有些统计问题中,要求每个分组内的频数不少于5个,这就需要将频数少于5的分组向中心合并.试将第5题的频率分布表进行这样的合并,并作出合并后的频率分布表.
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例2某种羊毛在处理前后,各抽取样本,测得含脂率(%)如下:
处理前:19，18，21，54，23，33，20，6，30，66，42，8，12，30，27；
处理后:15，13，7，12，5，16，26，10，24，19，4，8，20.
(1)将处理前后的羊毛含脂率用茎叶图表示;
高中数学第二章统计2.2.2频率分布直方图与折线图二2.2.3茎叶图学案苏教版必修
2．2.2 频率分布直方图与折线图(二) 2．2.3 茎叶图学习目标 1.了解频率折线图和总体密度曲线的定义；2.理解茎叶图的概念，会画茎叶图；3.了解频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，学会选择不同的方法分析样本的分布，从而作出总体估计．知识点一频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图将频率分布直方图中各个相邻的矩形的______________顺次连结起来，就得到频率分布折线图，简称频率折线图．2．总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的________增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条____________，统计中称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．知识点二茎叶图思考茎叶图是表示样本数据分布情况的一种方法，那么“茎”、“叶”分别指的是哪些数？梳理茎叶图的定义：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．适用范围：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．优点：它不但可以________________，而且可以______________，给数据的记录和表示都带来方便．缺点：当样本数据________时，枝叶就会很长，茎叶图就显得不太方便．类型一频率分布折线图的画法例1 太极拳运动是一项练意、练气、练身三者相结合的运动，它的动作缓慢，柔和自然，心静体松，调和气血，疏通经络，平衡阴阳等特点符合中老年人的运动要求，被大多数中老年人所喜爱．下面是某中老年活动中心选择太极拳项目的人的年龄．57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；(2)用自己的语言描述一下此中老年活动中心选择太极拳项目的人年龄的分布情况．反思与感悟作折线图可以依据直方图，也可以由频率分布表找出折线上各个转折点的坐标从而作出折线图．跟踪训练1 已知50个数据的分组以及各组的频数如下：[153.5，155.5)，2，[155.5，157.5)，7，[157.5，159.5)，9，[159.5，161.5)，11，[161.5，163.5)，10，[163.5，165.5)，6，[165.5，167.5)，4，[167.5，169.5]，1.试画出频率分布直方图和频率分布折线图．类型二茎叶图的画法及应用例2 某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95，81，75，89，71，65，76，86，91，88，94，110，107；乙的得分：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，88，110，101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．反思与感悟茎叶图和频率分布表极为类似，事实上，茎相当于频率分布表中的分组；茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数．跟踪训练2 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.试制作茎叶图来对比描述这些数据．类型三频数(率)分布直方图与茎叶图的比较例3 从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取16台，记录了上午8：00～11：00之间各自的销售情况(单位：元)：甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41；乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23.试用纵坐标为频数的频数分布直方图与茎叶图的方式分别表示上面的数据，并简要说明各自的优点．反思与感悟茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录，但样本容量较大，或者需要比较三组以上的数据时，使用茎叶图就不合适；而频率分布表和频率分布直方图可以处理样本容量很大的数据，但损失了样本的原始数据，而且必须在完成抽样后才能制作．跟踪训练3 试比较例3中用到的频数分布直方图和频率分布直方图的区别．1．如图是总体密度曲线，下列说法正确的是________．①组距越大，频率分布折线图越接近于它；②样本容量越小，频率分布折线图越接近于它；③阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比；④阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比．2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们各自在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生平均每天的课外阅读时间为________小时．3．已知某工厂工人在6月份每天加工的零件个数的茎叶图如图所示(以零件个数的百位、十位数字为茎，个位数字为叶)，那么该工厂工人在该月内加工的零件个数超过130的天数所占的百分比为________．4．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是________．1．估计总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的原始信息，必须在完成抽样后才能制作．3．正确利用三种分布的描述方法，都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、是否具有对称性、样本点落在各分组中的频率等)，这些主要特点受样本的随机性的影响比较小，更接近于总体分布相应的特点．答案精析问题导学知识点一1．上底边的中点2．组数光滑曲线知识点二思考茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．梳理保留所有信息随时记录较多题型探究例1 解(1)以4为组距，列表如下：频率分布直方图及频率分布折线图如图所示：(2)从频率分布表可以看出，将近60%的选择太极拳的中老年人的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下及65岁以上中老年人所占的比例相对较小．跟踪训练1 解频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．例2 解甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图中可以看出，乙同学的得分情况大致是对称的，中位数是98分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定，总体得分情况比甲同学好．跟踪训练2 解以十位数字为茎，个位数字为叶，制作茎叶图如下：例3 解方法一用频数分布直方图表示如图．方法二茎叶图如图，两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数，两边的数字表示甲、乙销售额的个位数．从方法一可以看出频数分布直方图能直观地反映数据分布的大致情况，并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目；从方法二可以看出，用茎叶图表示有关数据对数据的记录和表示都带来方便．跟踪训练3 解首先频数分布直方图的纵坐标为频数，因此其顶点纵坐标是非负整数．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，因此其每个组段的频率就是对应小矩形的面积，且总面积为1.当样本量n增大并且组距越来越小时，相应的小矩形越来越细，其各小矩形上端的中点的连线构成了一条光滑曲线，而这条光滑曲线下的面积为1，这条光滑曲线称为总体分布的密度曲线．当堂训练1．③2．0.9解析由题意可知，50名学生平均每天的课外阅读时间为150×(0.5×20＋1.0×10＋1.5×10＋2.0×5)＝0.9(小时)．3．10%4．2解析去掉最低分87，去掉最高分94(假设x≤4)，则7×91＝80×2＋9＋8＋90×5＋2＋3＋2＋1＋x，所以x＝2，符合题意．同理可验证x>4不合题意．。
频率分布折线图与茎叶图
D.如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线
2.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下： ，2； ，3； ，4； ，5； ，4； ，2，则样本在区间 上的频率为（D）
A． B． C． D．
3.如图是甲、乙两名射击运动员各射击10次后所得到的成绩的茎叶图(茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字)，由图可知
(A)
A．甲、乙中位数的和为18.2，乙稳定性高
B．甲、乙中位数的和为17.8，甲稳定性高
C．甲、乙中位数的和为18.5，甲稳定性高
D．甲、乙中位数的和为18.65，乙稳定性高
4.某化肥厂甲、乙两个车间包装化肥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下（单位：kg）：
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5以上的概率．
解：（1）m=2 ,n=0.04, M=50 , N=1.00
（2）略
（3）153.5～157.5范围内的最多，身高在161,。5以上的概率为0.2
例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：
1.连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.随着__样本容量______的增加，作图时所分的_组数______增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，称之为总体密度曲线，它能够更加精确的反映出___总体在各个范围内取值的百分比___________
2当样本数据数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以_保留原有信息___________，而且___可以随时记录______________，给数据的___记录________和____表示_________都带来了方便.
高中数学频率分布直方图与折线图
§2.2第5课时频率分布直方图与折线图教学目标:(1能列出频率分布表,能画出频率分布的条形图、直方图、折线图;会用样本频率分布去估计总体分布.教学重点:绘制频率直方图、条形图、折线图.教学难点:会根据样本频率分布或频率直方图去估计总体分布.教学过程一、问题情境1.问题:(1列频率分布表的一般步骤是什么?(2能否根据频率分布表来绘制频率直方图?(3能否根据频数情况来绘制频数条形图?二、建构数学1.频数条形图例1.下表是某学校一个星期中收交来的失物件数,请将5天中收交来的失物数用条形图表示.解:象这样表示每一天频数的柱形图叫频数条形图.2.频率分布直方图:例2解:(1根据频率分布表,作直角坐标系,以横轴表示身高,纵轴表示频率/组距;(2在横轴上标上表示的点;(3在上面各点中,分别以连接相邻两点的线段为底作矩形,高等于该组的频率/组距.频率分布直方图如图:一般地,作频率分布直方图的方法为:把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,以此线段为底作矩形,高等于该组的频率/组距,这样得到一系列矩形,每一个矩形的面积恰好是该组上的频率.这些矩形构成了频率分布直方图.2.频率分布折线图在频率分布直方图中,取相邻矩形上底边的中点顺次连结起来,就得到频率分布折线图(简称频率折线图例2的频率折线图如图:3.密度曲线如果样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线,称这条光滑的曲线为总体的密度曲线.例3.为了了解一大片经济林生长情况,随机测量其中的100株的底部周长,得到如下数据表(单位:cm(1编制频率分布表;(2绘制频率分布直方图;(3估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少,周长不小于120cm的树木约占多少.解:(1这组数据的最大值为135,最小值为80,全距为55,可将其分为11组,组距为5.频率分布表如下:(2直方图如图:+++=,样本中不小于(3从频率分布表得,样本中小于100的频率为0.010.020.040.140.21++=,估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占120的频率为0.110.060.020.1921%,周长不小于120cm的树木约占19%.2.练习:(1第57页第1题.(2一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图,根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 85 万盒.三、回顾小结:1.什么是频数条形图、频率直方图、折线图、密度曲线?2.绘制频率分布直方图的一般方法是什么?3.频率分布直方图的特征:(1从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.(2从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.四、课外作业:课本第57页第2题,第59页第2、3、4题.。
高中数学频率分布折线图与茎叶图课件苏教版必修
乙
0
1
2
25
3
54
4
1 6 1 6 79
5
49
50
甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；
乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，
39.
甲
乙
8
0
463 368 389
1
1
2
25
3
54
4
1 6 1 6 79
5
49
50
01 8 23 0 5 4 057
115
3
思考4：一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？
第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分； 第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在 左（右）侧；
第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.
思考5：用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法，你认为茎叶图有哪些优 点？
钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图.图中从左
到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组的频数为12.
（1）第二小组的频
率是多少？
（2）样本容量是多
少？ （3）若次数在110以 上（含110次）为达
0.036
频率/组距
标，试估计该校全体
0.032
高一学生的达标率约
1.00
（2）频率分布直方图：
频率 组距
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O
122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高/cm
高中数学知识点精讲精析 频率分布直方图与折线图
6.2.2 频率分布直方图与折线图画频率分布直方图的步骤：（1）计算最大值与最小值的差（知道这组数据的变动范围）（2）决定组距与组数（将数据分组）组数：将数据分组，当数据在100个以内时，按数据多少常分5-12组.组距：指每个小组的两个端点的距离.（4）决定分点.（5）列出频率分布表.（6）画出频率分布直方图.画频率分布直方图应注意的问题：（1）频率分布直方图的横轴和纵轴与前面学的直角坐标系中的横轴和纵轴有所不同，两轴的单位长度可以不同；两轴的交点也不一定是坐标为（0，0）的点.（2）各个小长方形的面积等于相应各组的频率；各小长方形的面积的和等于1.如果将频率分布直方图中各相临的矩形的上底边中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图.当样本容量无限增大，组距无限缩小，这时与直方图相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线——总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的概率，精确地反映了总体的分布规律.是研究总体分布的工具.100名年龄为17.5岁~18岁试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的总体分布作出估计.【解析】解：按照下列步骤获得样本的频率分布.（1）求最大值与最小值的差.在上述数据中，最大值是76，最小值是55，它们的差（又称为极差）是76－55＝21.所得的差告诉我们，这组数据的变动范围有多大.（2）确定组距与组数.（3）决定分点.根据本例中数据的特点，第1小组的起点可取为54.5，第1小组的终点可取为56.5，为了避免一个数据既是起点，又是终点从而造成重复计算，我们规定分组的区间是“左闭右开”的.这样，所得到的分组是［54.5，56.5］，［56.5，58.5］，…，［74.5，76.5］（4）列频率分布表.频率分布表（5）绘制频率分布直方图，频率分布直方图如图所示由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.在反映样本的频率分布方面，频率分布表比较确切，频率分布直方图比较直观，它们起着相互补充的作用.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如可以估计，体重在（64.5，66.5）kg的学生最多，约占学生总数的16%；体重小于58.5kg的学生较少，约占8%等等.2. 抽查某地区55名12岁男生的身高（单位：cm）的测量值如下：128.1 144.4 150.3 146.2 140.6 126.0 125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 142.7 137.6 136.9 132.3 131.8 147.7 138.4 136.6 136.2 141.6 141.1 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 140.8 127.7 150.7 160.3 138.8 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 142.9 144.7 148.5 138.3 135.3 134.5 140.6 138.4 137.3 149.5 142.5 139.3 156.1 152.2 129.8 133.2试根据以上数据画出样本的频率分布直方图和折线图.【解析】3. 关于频率 分布直方图的下列说法中，正确的是（ ） （A ）、直方图的高表示某数的频率； （B ）、直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率； （C ）、直方图的高表示该组上的个体与组距的比值； （D ）、直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值； 【解析】在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，其面积表示数据的取值落在相应区间上的频率，因此每一个小矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值，所以选（D ）.4. 某校高一某班共有64名学生，下图是该班某次数学考试成绩的频率分布直方图，根据该图可知，成绩在110120间的同学大约有（ ）A 、 10B 、11C 、13D 、16 【解析】通过直方图可知：成绩在110120的频率是：2.023.015.01.005.01=----，所以成绩在110120之间的同学大约有：64×0.2＝12.813≈人.故选择C点评：解决本题需要注意两点：所有小矩形的面积之和等于1；在分布图中若有高度相同的两个矩形，不能出现计算失误.5. 为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中的100株的底部周长，得到如下数据表（长度单位：cm ）：（1）编制频率分布表；（2）绘制频率分布直方图【分析】绘制频率分布直方图之前，一般地可先编制频率分布表，这样便于对数据进行分组及计算频数和频率. 分组一般以7~11组为宜.【解】（1）频率分布表（2）频率分布直方图：6. 如第5题，试画出树林底部周长的频率分布折线图.【分析】在频率分布直方图中，按照分组原则，在左边和右边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，这样得到的一条折线就是频率折线图.【解】取[75，80]的中点作为折线的起点，以（135，140）的中点作为折线的终点，连接各矩形上底中点所得折线即为所求（如图）.。
频率分布直方图与折线图知识学习
频率分布直方图与折线图知识讲解分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，基者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息。
本节学习的重点在于通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据过程中，学会列出频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图，体会它们各自的特点。
本节的学习，难点在理解频率分布直方图的含义，利用频率分布直方图、折线图、估计总体的数据落在某一范围的频率。
本节内容是初中“统计初步”的继续和提高，概念多，要准确地把握各个概念的内涵，统计内容实践性较强，要多动手，于解决实际问题的实践中巩固巩固掌握知识，提高解决问题能力。
我们在初中曾学过一种直观体现数据分布规律的方法------频数分布直方图，纵轴高度表示各组的频数。
1、频率分布直方图：对于样本数据，分组后把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高度等于该组的频率/组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率。
这些矩形就构成了频率分布直方图。
这里要注意频率分布直方图的横轴表示样本数据，纵轴表示各组的频率/组距。
图中小长方形的面积是相应分组的频率。
在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应各组的频率，而各组的频率的和等于1。
因此各小矩形的面积和等于1。
频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在频率分布表中看不出原始的数据模式。
但是从频率分布在直方图本身不能得出原始数据的内容，也就是说，把数据表示成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就补抹掉了。
2、频率分布折线图：把频率分布直方图中的各个矩形上边中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图。
一般为方便看图，习惯上绘制折线图时：按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加左边区间中点开始，将频率分布直方图中各相邻矩形的上底边的中点顺次连接起来，直至右边区间的中点，就得到折线图。
高中数学知识点总结概率与统计中的频率分布与统计之直方与折线
高中数学知识点总结概率与统计中的频率分布与统计之直方与折线在高中数学的学习过程中，概率与统计是一个非常重要的内容。
其中，频率分布与统计中的直方图与折线图是常用的统计图表，用于展示数据的分布特征和趋势。
本文将对频率分布与统计中的直方图与折线图进行总结与概述。
一、频率分布与统计之直方图直方图是用来表示连续变量数据分布情况的一种统计图表。
它将整个数据范围等分成若干个小区间，然后统计每个小区间出现的频率或频数，并在图表上用矩形进行表示。
横轴表示数据的取值范围，纵轴表示对应区间内的频数。
直方图的制作过程一般包括以下几个步骤：1. 确定数据的取值范围和区间间隔；2. 统计每个区间内数据的频数；3. 绘制矩形，使矩形的宽度等于区间间隔，高度与频数成正比；4. 添加横轴和纵轴的标签，使图表清晰易读。
直方图可以直观地展示数据的集中趋势、分散程度以及数据的偏态等特征。
通过观察直方图，我们可以对数据的分布特征有一个初步的了解，为进一步进行统计分析打下基础。
二、频率分布与统计之折线图折线图是用来表示离散变量数据分布情况的一种统计图表。
它通过连接各个离散数据点形成折线，并将横轴划分为不同的数据点。
横轴表示数据的取值，纵轴表示对应数据点的频率或频数。
折线图的制作过程一般包括以下几个步骤：1. 确定离散数据的取值范围；2. 统计每个数据点的频数或频率；3. 在图表上标出数据点，并使用直线段连接各个数据点；4. 添加横轴和纵轴的标签，使图表清晰易读。
与直方图类似，折线图也能直观地展示数据的分布特征和趋势。
通过观察折线图，我们可以分析数据的趋势变化以及各个数据点的相对大小关系。
总结：概率与统计中的频率分布与统计常用的图表有直方图和折线图。
直方图适用于展示连续变量数据的分布特征，而折线图适用于展示离散变量数据的分布趋势。
这两种图表都能直观地展示数据的集中趋势、分散程度以及偏态等特征，帮助我们更好地理解数据。
在实际应用中，我们可以根据需要选择适当的图表来展示数据的分布或趋势。
2.2.1频率分布折线图和茎叶图详解
0.6
0.5
0.5
0.44
0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.16
0.1 0.08
0.1 0.08 0.04
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
总体密度曲线：
在样本频率分布直方图中，当样本容量增加，作图时所 分的组数增加，组距减少，相应的频率折线图会越来越 接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密 度曲线. 它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的 百分比，它能给我们提供更加精细的信息. 频率
茎叶 08 1 345 2 36 8 3 389 4 51
二、合作探究 ：茎叶图 (一种被用来表示数据的图)
例: 甲乙两人比赛得分记录如下： 甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙：49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39 用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好．
2021/4/4
2.（5分）甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如 图所示.则甲、乙两班的最高成绩分别是 ______, ______.从图中看 ______ 班的平均成绩较高.
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你认为茎叶图有哪些优点？
（1）保留了原始数据，没有损失样本信息； （2）数据可以随时记录、添加或修改.
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复习旧知识
画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的步骤 进行: 一、求极差，即数据中最大值与最小值的差 二、确定组距求组数 ：组距=极差/组数
三、分组,通常对组内数值所在区间， 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间
2.2.1频率分布直方图、茎叶图
画一组数据的频率分布直方图, 画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的 步骤进行: 步骤进行:
一、求极差，即数据中最大值与最小值的差 极差， 极差/组数 二、决定组距与组数 ：组距 极差 组数 决定组距与组数 组距=极差 组距 三、分组,通常对组内数值所在区间， 通常对组内数值所在区间， 分组 通常对组内数值所在区间 取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 左闭右开区间 四、登记频数 计算频率 列出频率分布表 登记频数,计算频率,列出 频数 计算频率 列出频率分布表 五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距） 画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距） 频率分布直方图 频率
说明： 说明 ： 样本频率分布与总体频率分布 有什么关系？ 有什么关系？
通过样本的频数分布、频率分布可以 通过样本的频数分布、频率分布可以 频数分布 估计总体的频率分布. 估计总体的频率分布.
如何用样本的频率分布 估计总体分布？ 估计总体分布？
探究： 探究：我国是世界上严重缺水的国 家之一，城市缺水问题较为突出。 家之一，城市缺水问题较为突出。
2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市 2000年全国主要城市中缺水情况排在前10位的城市 年全国主要城市中缺水情况排在前10
某市政府为了节约生活用水， 例 某市政府为了节约生活用水，计划在本市试 行居民生活用水定额管理， 行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水 量标准a ,用水量不超过 的部分按平价收费， 用水量不超过a 量标准a ,用水量不超过a的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费。 a的部分按议价收费。 ①如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那 如果希望大部分居民的日常生活不受影响， 么标准a定为多少比较合理呢？ 么标准a定为多少比较合理呢 ②为了较合理地确定这个标准，你认为需要做 为了较合理地确定这个标准， 哪些工作？ 哪些工作？
频率分布直方图及茎叶图
频率分布直方图及茎叶图1、下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[1000，1500），[1500，2000），[2000，2500），[2500，3000），[3000，3500），[3500，4000]的人数依次为A1、A2、…、A6．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量n= _________；图乙输出的S=_________．（用数字作答）则样本的容量n=；图乙输出的S=．（用数字作答）2、某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99；乙：110，115，90，85，75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？（2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定.3、如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为 （ ）A ． 3与3B ．23与3C ．3与23D ．23与234、右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 数据的平均数和方差分别为（ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，45、为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？8 9 4 4 6 4 7 37 91、 样本的容量n= 10000 ；图乙输出的S= 60002、（1）因为间隔时间相同，故是系统抽样. 2分（2）茎叶图如下：5分（3）甲车间：平均值：1x =71（102+101+99+98+103+98+99）=100，方差：s 12=71［（102-100）2+（101-100）2+…+（99-100）2］≈3.428 6. 9分 乙车间：平均值：2x =71（110+115+90+85+75+115+110）=100，方差：s 22=71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈228.571 4.13分2、 ∵1x =2x ，s 12＜s 22,∴甲车间产品稳定.3、 4、5、50（人）.（3）中位数落在第三小组内.。
高中数学 同步练习 频率分布折线图和茎叶图
第2课时频率分布折线图和茎叶图学习目标 1.了解频率分布折线图和总体密度曲线的定义.2.理解茎叶图的概念,会画茎叶图.3.了解频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图的各自特征,学会选择不同的方法分析样本的分布,从而作出总体估计．知识点一频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图．2．总体密度曲线在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线,它反映了总体在各个范围内取值的百分比．知识点二茎叶图1．将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出(也可以没有大小顺序)．2．茎叶图的优点与不足(1)优点：一是原始数据信息在图中能够保留,所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示．(2)不足：当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便．1．频率分布折线图就是总体密度曲线．( ×)2．对于两位数的茎叶图,中间的数字表示十位数,旁边的数字表示个位数．( √)3．对于三位数的茎叶图,中间的数字表示百位数,旁边的数字表示十位和个位数．( ×)4．茎叶图只可以分析单组数据,不能对两组数据进行比较．( ×)题型一识读茎叶图例1 甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验,成绩的茎叶图如图所示(单位：分),则甲班、乙班的最高成绩分别是________,从图中看,________班的平均成绩较高．答案96,92 乙解析由茎叶图知甲班的最高成绩为96分,乙班的最高成绩为92分,再根据茎叶图的分布特点知,乙班的成绩分布集中在下面,故乙班的平均成绩较高．反思感悟(1)当数据是两位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为“叶”；如果是三位数,通常把百位和十位部分作为“茎”,个位上的数字为“叶”；如果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”．解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶．(2)应用茎叶图对两组数据进行比较时,要从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较．跟踪训练1 (1)如图所示,茎叶图表示某城市一台自动售货机在16天内的销售额情况(单位：元),图中的数字7表示的意义是这台自动售货机该天的销售额为( )A．7元B．70元C．27元D．72元(2)甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是( )A．甲同学比乙同学发挥稳定,且平均成绩也比乙同学高B．甲同学比乙同学发挥稳定,但平均成绩比乙同学低C．乙同学比甲同学发挥稳定,且平均成绩也比甲同学高D．乙同学比甲同学发挥稳定,但平均成绩比甲同学低答案(1)C (2)C解析(1)茎表示十位数字,叶表示个位数字,所以7表示27.(2)由茎叶图的性质可知乙同学比甲同学发挥稳定,且平均成绩比甲同学高．题型二茎叶图及其应用命题角度1 茎叶图的绘制例2 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩,所得亩产量数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445, 445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415, 416,422,430.(1)画出茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点？(3)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,得出统计结论．解(1)茎叶图如图．(2)样本容量不大,画茎叶图很方便,此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况,便于比较,没有任何信息丢失,而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A亩产量的平均数比品种B亩产量的平均数大；②品种A的亩产量波动比品种B的亩产量波动大,故品种A的亩产量稳定性较差．反思感悟(1)画茎叶图时,用中间的数表示数据的十位和百位数,两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位,填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、稳定性等几方面来比较．(2)绘制茎叶图的关键是分清茎和叶,一般地说数据是两位数时,十位数字为“茎”,个位数字为“叶”；如果是小数的,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”,解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．跟踪训练2 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.试制作茎叶图来对比描述这些数据．解以十位数字为茎,个位数字为叶,制作茎叶图如图：命题角度2 茎叶图的应用例3 某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79根据两组数据作出两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可)．解两地区用户满意度评分的茎叶图如图：通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散．反思感悟茎叶图可保留原始数据,还可以通过叶的疏密情形,得到样本数据的分布离散情形．跟踪训练3 某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．解甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的；甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,但分数分布相对于乙来说,趋向于低分阶段．因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好．茎叶图与频率分布直方图的综合应用典例 在某市的青少年才艺表演评比活动中,参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如图所示,据此回答以下问题：求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)矩形的高,并补全频率分布直方图． 解 由茎叶图知,分数在[50,60)的频数为2.由频率分布直方图知,分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08,所以参赛总人数为20.08＝25.所以分数在[80,90)的人数为25－2－7－10－2＝4, 所以分数在[80,90)的频率为425＝0.16,故频率分布直方图中[80,90)矩形的高为0.1610＝0.016.补全频率分布直方图,如图所示．[素养评析] (1)茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录,但样本容量较大时,使用茎叶图就不合适；而频率分布表和频率分布直方图可以处理样本容量很大的数据,但损失了样本的原始数据,而且必须在完成抽样后才能制作．(2)茎叶图和频率分布直方图都是用来整理数据的,根据整理的数据,提取信息,进行推断,获得结论,这是重要的数学素养之数据分析．1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势,比较合适的统计图是( )A．条形图B．折线图C．扇形图D．其他图形答案 B解析能反映各数据的变化趋势的统计图是折线图．2.如图是总体密度曲线,下列说法正确的是( )A．组距越大,频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小,频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比答案 C3．在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151)上的运动员人数是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析由题意知,将1～35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151)的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名．故选B.4．从甲、乙两种玉米苗中各抽6株,分别测得它们的株高如图所示(单位：cm)．根据数据估计( )A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐答案 D解析由题干中的茎叶图可知,甲种玉米的株高集中在20 cm段,乙种玉米的株高集中在30 cm和40 cm段,则甲种玉米的平均株高小于乙种玉米的平均株高,但乙种玉米的株高较分散,故选D.5．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,若乙的平均分是89,则污损的数字是________．答案 3解析设污损的叶对应的成绩是x,由茎叶图可得89×5＝83＋83＋87＋x＋99,所以x＝93,故污损的数字是3.1．估计总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的原始信息,必须在完成抽样后才能制作．一、选择题1．下列关于茎叶图的叙述正确的是( )A．茎叶图可以展示未分组的原始数据,它与频率分布表以及频率分布直方图的处理方式不同B．对于重复的数据,只算一个C．茎叶图中的叶是“茎”十进制的上一级单位D．制作茎叶图的程序是：第一步：画出茎；第二步：画出叶；第三步：将“叶子”任意排列答案 A2．当样本数据增加时,下列说法正确的是( )A．频率分布表不会变化B．茎叶图不会变化C．频率折线图不会变化D．频率分布直方图变化不太大答案 D3．在茎叶图中比40大的数据的个数为( )A．1 B．4 C．3 D．5答案 C4．某校举行演讲比赛,9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若统计员计算无误,则数字x应该是( )A．5 B．4C．3 D．2答案 D解析去掉最低分87,去掉最高分94(假设x≤4),则7×91＝80×2＋9＋8＋90×5＋2＋3＋2＋1＋x,∴x＝2,符合题意．同理可验证x>4不合题意．5．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( )A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6答案 B解析依据茎叶图,在区间[22,30)内的频数为4,样本容量为10,故对应的频率为410＝0.4,故选B.6．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图可知( )A．甲运动员的成绩好于乙运动员B．乙运动员的成绩好于甲运动员C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D．甲运动员的最低得分为0分答案 A解析从茎叶图上看,由于甲运动员的成绩多数集中在31以上,而乙运动员的成绩集中在12到29之间,所以甲运动员成绩较好．7．给出如图所示的三幅统计图及四个命题：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口将达到大约15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢．其中命题正确的有( )A．①②B．①③C．①④D．②④答案 B解析①从折线统计图能看出世界人口的变化情况,故①正确；②从条形统计图中可得：2050年非洲人口大约将达到18亿,故②错误；③从扇形统计图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确；④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误．因此正确的命题有①③.故选B.8.如图是2017年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m,n均为数字0～9中的一个),在去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则有( )A．a1＞a2B．a1,a2的大小与m的值有关C．a2＞a1D．a1,a2的大小与m,n的值有关答案 A解析由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后,两组数据都有五个数据,代入数据可以求得甲的平均分为a 1＝80＋15×(1＋5＋5＋m ＋9)＝84＋m5,乙的平均分为a 2＝80＋15×(1＋2＋4＋4＋7)＝83.6,∵m ≥0,∴a 1＞a 2.9．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出了频率分布直方图,并作出了分数的茎叶图(图中仅列出得分在[50,60),[90,100]的数据),如图．则样本容量n 和频率分布直方图中x,y 的值分别为( ) A ．50,0.030,0.004 B ．30,0.040,0.003 C ．30,0.030,0.040 D ．50,0.300,0.400答案 A解析 由题意可知,样本容量n ＝80.016×10＝50,y ＝250×10＝0.004,x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030. 二、填空题10．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位：cm),获得身高数据的茎叶图如图．根据茎叶图判断________班的平均身高较高． 答案 乙解析 由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间,而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班．11．如图所示是一个班的数学成绩的茎叶图,则优秀率(90分以上)是________,最低分是________．答案4% 51解析∵总数为25,∴优秀率为125×100%＝4%.最低分是51.12．从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验,成绩的茎叶图如图所示,则甲、乙两班的最高成绩分别是______,______.从图中看,________班的平均成绩较高．答案96 92 乙解析由茎叶图可知,甲班的最高分是96,乙班的最高分是92.甲班的成绩集中在(60,80)内,乙班的成绩集中在(70,90)内,故乙班的平均成绩较高．三、解答题13．甲、乙两个网站为了了解各自受欢迎的程度,分别随机选取了14天记录上午8：00～10：00间各自的点击量：甲：73,24,58,72,64,38,66,70,20,41,55,67,8,25；乙：12,37,21,5,54,52,61,45,19,6,19,36,42,14.你能用哪些方法表示上面的数据？你认为甲、乙两个网站哪个更受欢迎？解方法一列频数分布表如下：点击量的范围甲的频数乙的频数[0,10) 1 2[10,20) 0 4[20,30) 3 1[30,40) 1 2[40,50) 1 2[50,60) 2 2[60,70) 3 1[70,80] 3 0由频数分布表可以看出,甲网站的点击量多集中在[50,80]上,而乙网站的点击量多集中在[0,60)上,从数据的分布情况来看,甲网站更受欢迎．方法二画出茎叶图如图所示．由茎叶图可以看出,甲网站的点击量集中在茎叶图的下方,而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看,甲网站更受欢迎．14．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名授课教师中抽取20名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图(如图)表示,据此估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数．解由茎叶图,知抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6,频率为620,故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为620×200＝60.15．从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取16台,记录了上午8∶00～11∶00之间各自的销售情况(单位：元)：甲：18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41；乙：22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.试用纵坐标为频数的频数分布直方图与茎叶图的方式分别表示上面的数据,并简要说明各自的优点．解用频数分布直方图表示如图：茎叶图如图,两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数,两边的数字表示甲、乙销售额的个位数．可以看出频数分布直方图能直观地反映数据分布的大致情况,并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目；而用茎叶图表示有关数据,对数据的记录和表示都带来方便．。
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12.2频率分布直方图、折线图与茎叶图
一、知识导学
1．频率分布表：反映总体频率分布的表格.
2．一般地，编制频率分布表的步骤如下：（1）求全距，决定组数和组距，组距=
组数
全距
；（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表.
3． 频率（分布）直方图：利用直方图反映样本的频率分布规律. 4． 一般地，作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的
组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的
组距
频率
，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.
5． 频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得
到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.
6． 制作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相
同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出. 二、疑难知识导析
1． 在编制频率分布表时，要选择适当的组距和起始点才可以使频率分布表更好地反映数据
的分布情况.
2． 在编制频率分布表时，如果取全距时不利于分组（如不能被组数整除），可适当增大全
距，如在左右两端各增加适当范围（尽量使两端增加的量相同）.
3． 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组
距取得足够小，则这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分布的密度曲线. 4． 茎叶图对于分布在0~99的容量较小的数据比较合适，此时，茎叶图比直方图更详尽地
表示原始数据的信息.
5． 在茎叶图中，茎也可以放两位，后面位数多可以四舍五入后再制图. 三、典型例题导讲
[例1]（06全国卷）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人用再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)3000,2500（元）月收入段应抽出 人.
解析:由直方图可得[2500,3000)（元）月收入段共有100000.00055002500
⨯⨯=人，
按分层抽样应抽出
100
250025
10000
⨯=人.故答案25
点评：频率分布直方图中，关健要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率.
[例2]从有甲乙两台机器生产的零件中各随机抽取15个进行检验，相关指标的检验结果为：甲：534，517，528，522，513，516，527，526，520，508，533，524，518，522，512 乙：512，520，523，516，530，510，518，521，528，532，507，516，524，526，514
画出上述数据的茎叶图
错解：
甲乙
8 0 7
87632 1 024668
8764220 2 013468
43 3 02
4
错因：对于两位数是将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出，对于三位数字，应该把前两位数字作为茎，最后一位数字作为叶，然后从图中观察数据的分布情况，而不是仍考虑两位数，尽管此题的效果一样.
正解：用前两位数作为茎，茎叶图为
甲乙
8 50 7
87632 51 024668
8764220 52 013468
43 53 02
54
从图中可以看出，甲机床生产的零件的指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数和众数都是522，乙机床生产的零件的指标分布也大致对称，平均分也在520左右，中位数和众数分别是520和516，总的看，甲的指标略大一些.
[例3]在绘制频率分布直方图的第三个矩形时，矩形高度
①与这个矩形的宽度（组距）有关；
②与样本容量n无关；
③与第三个分组的频数有关；
④与直方图的起始点无关.
以上结论中正确的共有（）
A．0个 B.1个 C. 2个 D.3个
错解：D.
错因：起始点与组距均影响第三组的频数，所以矩形高度与以上各因素均有关，①③正确，正解：C.
[例4]根据中国银行的外汇牌价，2005年第一季度的60个工作日中，欧元的现汇买入价（100欧元的外汇可兑换的人民币）的分组与各组频数如下：〔1050，1060〕：1，〔1060，1070〕：7，〔1070，1080〕：20，〔1080，1090〕：11，〔1090，1100〕：13，〔1100，1110〕：6，〔1110，1120〕：2.
（1）列出欧元的现汇买入价的频率分布表；（2）估计欧元的现汇买入价在区间1065~1105内的频率；（3）如果欧元的现汇买入价不超过x 的频率的估计值为0.95，求此x 分组
频数 频率 ［1050，1060﹚ 1 0.017 ［1060，1070﹚ 7 0.117 ［1070，1080﹚
20
0.333 ［1080，1090﹚ 11 0.183 ［1090，1100﹚ 13 0.217 ［1100，1110﹚ 6 0.100 ［1110，1120﹚
2 0.03
3 合计
60
1.000
84.01100
11101100
1105100.0217.0183.0333.01060107010651070117.0=--⨯++++--⨯
（3）因为0.017+0.117+0.333+0.183+0.217=0.867〈0.95，0.017+……+0.217+0.100=0.967〉0.95，所以x 在［1100，1110］内，且满足0.867+0.1003.1108,95.01100
11101100
≈∴=--⨯
x x 即欧
元现汇买入价不超过1108.3的频率的估计为0.95 [例分数段 100 90—99 80--89 70--79 60--69 0--59 人数
2
6
12
21
7
2
如果80分以上（包括80分）定为成绩优秀，60分以上（包括60分）定为成绩及格.那么，在这个班级的这次成绩统计中，成绩不及格的频率是多少？成绩及格的频率是多少？成绩优秀的频率是多少？
解：被统计的对象（参加这次考试的本班学生）共有2+6+12+21+7+2=50个.60分以上的有48个，80分以上的有20个，所以成绩不及格的频率是
04.050
2
=，成绩及格的频率是96.05048=，成绩优秀的频率是4.050
20
=. 说明 要计算一组数据中某个对象的频率，要先计算数据的总的个数，再计算符合这个对象要求的数据的个数.某个对象可以是一个确定的数据，也可以是在某一范围内数据的总
数.
[例6]在英语单词frequency 和英语词组relative frequency 中，频数最大的各是哪个字母？它们的频数和频率各是多少？
解：在frequency 和英语词组relative frequency 中，频数最大的字母都是e ，在单词frequency 中，e 的频数是2，频率是9
2；在词组relative frequency 中，e 的频数是4，频率是
17
4.
点评：在两组数据中，同一个对象的频数相等，但频率不一定相等，频数大，不一定频率大.在同一组数据中，某两个对象的频数相等，频率也相等；频数大，频率也大. 一、
典型习题导练
1．（06年重庆卷）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为
185.17-岁的男生体重kg ，得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在]5.64,5.56[的学生人数是（ ）. A ． 20 B.30 C.40 D. 50
2． 一个容量为800的样本，某组的频率为6.25%，则这一组的频数是 3． 某校随机抽取了20名学生，测量得到的视力数据如下：4.7，4.2，5.0，4.1，4.0，4.9，
5.1，4.5，4.8，5.2，5.0，4.0，4.5，4.8，4.7，4.8，4.6，4.9，5.3，4.0
（1） 列出频率分布表（共分5组）
（2） 估计该校学生的近视率（视力低于4.9） 4． 用一个容量为200的样本制作频率分布直方图时，共分13组，组距为6，起始点为10，
第4组的频数为25，则直方图中第4个小矩形的宽和高分别是多少？ 5． 200名学生某次考试的成绩的分组及各组频率如下表： 分组
[)40,0 [)60,40 [)70,60 [)80,70 [)90,80 [)100,90
频数 2 11 30 52 85 20
则及格率，优秀率（）的估计分别是
1012L），数据的分组及频率如下表：
6．某地随机检查了140名成年男性红细胞（/
分组频数频率分组频数频率
[)0.4,8.3 2 [)2.5,0.517
[)2.4,0.4 6 [)4.5,2.513
[)4.4,2.411 [)6.5,4.5 4
[)6.4,4.425 [)8.5,6.5 2
[)8.4,6.432 [)0.6,8.5 1
[)0.5,8.427 合计140
（1）完成上面的频率分布表
（2）根据上面的图表，估计成年男性红细胞数在正常值（4.0~5.5）内的百分比
7．名著《简爱》的中英文版本中，第一节部分内容每句句子所含单词（字）数如下：英文句子所含单词数10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31；中文句子所含字数11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，18，71，75，51.
（1）作出这些数据的茎叶图；
（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？。