1---不等式性质与解集
不等式的特殊解集与性质
不等式的特殊解集与性质不等式是数学中常见的一种表达式，用于表示数之间的大小关系。
在解不等式时，有时会出现一些特殊的解集及其性质。
本文将探讨不等式的特殊解集，并分析其性质。
一、绝对值绝对值不等式是一类常见的不等式，其解集具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的绝对值不等式：|ax + b| ≤ c (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 当c ≥ 0 时，绝对值不等式恒成立，即其解集为全体实数。
2. 当 c < 0 时，绝对值不等式无解，因为绝对值的值不可能小于负数。
二、分式分式不等式是另一类常见的不等式，其解集也具有一些特殊的性质。
考虑以下形式的分式不等式：f(x)/g(x) ≤ 0 (其中 f(x) 和 g(x) 均为多项式函数，且g(x) ≠ 0)1. 若 f(x) 和 g(x) 异号（即一个为正，一个为负），则不等式的解集为不等式的所有解。
2. 若 f(x) 和 g(x) 同号（即两者都为正或负），则需进一步考虑 g(x) ≠ 0 的条件，即分母不为零的情况。
a) 若 g(x) > 0，则不等式的解集为满足f(x) ≤ 0 的所有解。
b) 若 g(x) < 0，则不等式的解集为满足f(x) ≥ 0 的所有解。
三、复合复合不等式是多个不等式同时存在的情况，其解集和性质需要综合考虑。
考虑以下形式的复合不等式：f(x) < g(x) < h(x) (其中 f(x)、g(x)、h(x) 均为函数)1. 首先解决 f(x) < g(x) 不等式，得到解集 A。
2. 然后解决 g(x) < h(x) 不等式，得到解集 B。
3. 最终复合不等式的解集为 A 与 B 的交集。
四、二次二次不等式是具有二次项的不等式，其解集和性质与一次不等式不同。
考虑以下形式的二次不等式：ax^2 + bx + c < 0 (其中 a、b、c 均为实数，且a ≠ 0)1. 若 a > 0，则二次不等式的解集为开口朝下的抛物线在 x 轴下方。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
不等式的性质与解集表示
不等式的性质与解集表示不等式是数学中常见的一种表达式形式，它描述了数值之间的大小关系。
在这篇文章中，我将探讨不等式的性质以及如何表示其解集。
一、不等式的性质1.1 相等性质与等式相似，不等式也满足一些性质。
首先是假设不等式两边的表达式相等，可以使用等号代替不等号。
例如，如果a > b，那么a + c >b + c。
1.2 倍数性质其次，不等式的性质也可通过乘除以常数来改变不等号的方向。
例如，如果a > b，且c是一个正数，那么ac > bc。
1.3 加减性质不等式的加减性质与等式类似。
如果一个不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的方向不变。
例如，如果a > b，那么a + c > b + c。
二、解集表示当我们解一个不等式时，通常需要找出使得不等式成立的数值范围。
这个数值范围可以用解集来表示。
2.1 开区间表示一个不等式解集可以用开区间表示。
例如，对于不等式a > b，它的解集可以表示为(a, ∞)，表示所有大于b的实数a。
2.2 闭区间表示除了开区间，我们还可以使用闭区间来表示不等式的解集。
闭区间包括指定的数值。
例如，对于不等式a ≥ b，它的解集可以表示为[a, ∞)，表示所有大于或等于b的实数a。
2.3 不等式组表示有时候，我们需要同时考虑多个不等式的解集。
这时，可以使用不等式组来表示解集。
例如，对于不等式组：a > bc < d它的解集可以表示为{a | a > b} ∩ {c | c < d}，表示满足a > b和c < d的实数a和实数c的交集。
三、实例分析下面，我将通过几个实例来展示不等式的性质和解集表示。
例1：解不等式2x + 5 > 9首先，我们可以通过减法和除法来解这个不等式。
首先，我们将5从两边减去，得到2x > 4。
然后，我们再将两边都除以2，得到x > 2。
这个不等式的解集可以用开区间表示为(2, ∞)。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
2014..9.1.1.不等式及其解集
比较等式与不等式的性质
等式的基本性质1
等式两边加（或 减）同一个数或式 子，结果仍相等。 等式的基本性质2 不等式的性质1 不等式两边加（或减） 同一个数（或式子），不 等号的方向不变。
不等式的性质2 不等式两边乘（或除以） 等式两边乘同一个 正数 同一个正数，不等号的方 数，或除以同一个 不变 向不变。 不为零的数，结果 不等式的性质3 仍相等. 不等式的两边乘（或除以）同 一个负数，不等号的方向改变 负数 改变.
达标检测
1、已知a>b,下列不等式不成立的是（ B）
A: a-3>b-3 B:-2a>-2b C: D: -a<-b 2、由m>n到km<kn成立的条件是（ B ） A: k>0 B :k<0 C: k≥0 D: k≤0 3、已知a>b，用“<”或“>”填空： > －3 < －3b (1) a－3____b (2) －3a____ > < －3b (4) a－b____0 (3) 3－3a____3 <-2，依据____________. 不等式的性质3 4、若-2x>4，则x___ 若m-2>3，则m___ _________. 1 >5 ，依据不等式的性质
正数：7×3
7 ×2 7 ×1 零： 7× 0
> > >
4×3
4× 2 4× 1
负数：7×（-1）
7 ×（-2） 7 × （-3）
< 4 × （-1） < 4 × （-2） <
4 × （-3）
＝ 4× 0
发现:同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一
个 负数不等号方向改变,同乘以0的时候相等.
不等式及其解集
例子
对于不等式 x^2 - 4x + 4 > 0，我们可以分解为 (x - 2)^2 > 0，然后分别求解 x-2>0 和 x-2<0，得到 x 不等于 2 的解集 。
对于不等式 |x - 3| < 4，我们可以将其视为两个简单的不等 式 x - 3 < 4 和 3 - x < 4，然后分别求解得到 -1 < x < 7 的 解集。
《不等式及其解集》
2023-10-29
目录
• 不等式的定义和性质 • 不等式的解法 • 不等式的解集 • 不等式的应用
01
不等式的定义和性质
定义
不等式
用不等号连接两个代数式，表 示它们之间的关系，称为不等 式。例如，x+2＞3是不等式。
严格不等式
在不等式中使用严格不等号“ ＞”或“＜”，表示两个数或 式子之间的严格大小关系。例 如，x+2＜3是严格不等式。
集合表示法
用花括号{}将解集的元素 括起来，并用逗号隔开。
数轴表示法
将解集的元素在数轴上表 示出来，边界值用实心点 表示，区间用空心区间表 示。
例子
x^2 - 4x + 4 > 0的解集为{x|x > 2}或{x|x < 0}。 x^2 + 2x + 1 = 0的解集为{x|x = -1}。
04
不等式的应用
实际应用
金融
在金融领域，不等式可以用来 建立数学模型，例如在投资组 合理论中，利用不等式来计算
投资组合的有效前沿。
物理
在物理学中，不等式可以用来描 述物理现象和规律，例如在力学 中，不等式可以表示两个力的关 系。
化学
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式的性质、解集与解法
不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变． c a b a +⇒> ca b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ． 二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
x <②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） 4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。
A 、x ＞－1B 、x ＜－1C 、x ＜－2D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．思考题．设c b a ,,均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．y k 2x(第3题图)【经典练习】一、选择题（每小题2分，共36分）1、“x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（ ） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞82、下列不等式一定成立的是（ ） A 、5a ＞4aB 、x +2＜x +3C 、－a ＞－2aD 、aa 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是（ ） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、无数多个 *5、若m 满足|m |＞m ，则m 一定是（ ） A 、正数 B 、负数 C 、非负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离小于8的点对应的x 满足（ ） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（ ）A 、m ＞23，n ＞－31B 、m ＞3，n ＞－3C 、m ＜23，n ＜－31D 、m ＜23，n ＞－31*8、 下列说法中，正确的有（ ）.① 若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，则22am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个 9、 下列说法正确的是（ ）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集10、 若a-b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ）.A 、a ＞bB 、ab ＞0C 、ab＜0 D 、-a ＞-b11 不等式5x-1≤24的正整数解有（ ）.A 、4个B 、5个C 、6个D 、无限多个 **12 实数b 满足|b |<3，并且实数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A 、小于或等于3的实数 B 、 小于或等于－3的实数 C 、小于－3的实数 D 、 小于3的实数 13、 若4x <-，则下列不等式中正确的是（ ）. A ．x 2≥－4x B 、x 2≤－4x C 、 x 2>－4x D 、 x 2<－4x*14、关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（ ） A 、35a b > B 、 b ≥53aC 、5a =3bD 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成立的x 的最大正整数值为（ ）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（ ）. A 、57-<-B 、5>3C 、0a 12>+D 、a a ->**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（ ） A 、10<m <15 B 、10≤m ≤15 C 、10<m ≤15 D 、10≤m <15 18、下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）. A 、1y x 21<- B 、02x 3x 2>+- C 、2x141x 2+=+ D 、x 61x 31x 21>+二、填空题（每小题2分，共36分）1、不等式6－2x ＞0的解集是________.2、当x ________时，代数式523--x 的值是非正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m-28. 4、若x =23+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.5、已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.6、已知一次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是自变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.*7、某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为________.8、5m-3是非负数，用不等式表示为______. 9、不等式238654x--<-<-的解集为______.10、当a b >，则2ab b <成立的条件是______.*11、明明的语文、外语两科的平均分为m 分，若使语文、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满足的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，用“＜”或“＞”|号填空：11(1)_____;(2)100_____100;22(3)1.5_____1.5;(4)_____.1212a b a b a ba b --++--13、不等式的性质：（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的非负整数解是________.17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,2103y y --<,7x +5≥5x +6中, 一元一次不等式有_____个,它们是_____________________.三、解答题1、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（每题4分共16分） （1）3（1-x ）-2（x+8）<2； （2）3（x+3）-5（x-1） ≥7； （3）132+-x ≤42+x ；（4）)69(6123--x x ≥7+x ．3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。
第一章 不等式与集合
1．1 不等式的性质与解集
集合——例题解析
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——知识巩固4
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
节菜单
不等式的性质——知识巩固3
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——表示方法
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
集合——实例考察
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元二次不等式 1.4 含有绝对值的不等式
1．1 不等式的性质与解集
节菜单
集合——定义
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组）
不等式的解也被称为解集. 实例考察中, 第 1(1.)3题的一解元集二是次自不然等数0式, 1, 2
节菜单
1.1 不等式的性质与解集 1.2 一元一次不等式（组） 1.3 一元记二法次不等式 1.4 含有绝N 对值的不等式
N*或 N+ Z Q R
我们把不含任何元素的集合叫做空集, 记作∅. 例如, 方程x2+2=0没有 实数解, 因此, 方程x2+2=0的实数解组成的集合就是∅.
使不等式成立的未知数的全体组成的集合, 就是不等式的解集.
第一讲：不等式的性质和解集
第一讲：不等式及其性质、解集教师:卢鹏学生: 日期:课题不等式的基本性质及其解集学习目标与考点分析学习目标：1、理解、掌握不等式的基本性质2、3，会用不等式的基本性质2、3进行简单的不等式的变形；2、掌握不等式解集的概念；会用两种方式来表示不等式的解集；3、培养逻辑思维能力。
考点分析：不等式是中考中的必考点，而求不等式的解集是不等式中的核心，所以必须充分理解不等式解集的概念并会求不等式的解集。
学习重点重点：理解不等式解集的概念；会正确表示不等式的解集。
不等式的基本性质3及其运用。
学习方法探究法、练习法学习内容与过程一、引入新课a)提出问题：能否解不等式：3x＞11？根据我们现有的知识无法解决这个问题，但是我们如果将问题中的“＞”改成“＝”便成了我们所熟悉的一元一次方程----3x＝11。
解这个方程，并指出求解过程中运用了哪些方程的简单变形？就像学习方程的简单变形之前要首先学习其变形的依据一样，学习不等式的简单变形之前也应先学习其变形的依据——不等式的性质。
上节课我们已经研究了不等式的性质1，回顾性质1：----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------这堂课我们便来一起学习不等式的性质2、3b)探究新课阅读教材，尝试解决下面的问题：问题1：7 47×3 4×37×2 4×27×1 4×17×0 4×07×（-1） 4×（-1）7×（-2） 4×（-2）7×（-3） 4×（-3）7 × a 4 × a讨论：①请注意观察前面八个小问题，从数的符号的改变到不等号方向的改变，可以发现引起不等号方向改变的直接因素是乘了-----------------。
不等式的基本性质及求解方法
不等式的基本性质及求解方法在数学中，不等式是描述数值之间关系的一种表达方式。
与等式不同，不等式表达了两个数中的一个大于、小于或不等于另一个数的关系。
本文将介绍不等式的基本性质以及常见的求解方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式的关系具有传递性，即一个数大于另一个数，那么它也大于另一个与后者相等的数。
2. 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b。
这个性质说明了不等式的关系具有反对称性，即一个数小于等于另一个数，同时另一个数也小于等于前者，则这两个数相等。
3. 相反数性质：如果a>b，则-a<-b。
这个性质说明了不等式的两边取相反数后，不等号的方向会发生翻转。
4. 倍增性：如果a>b，并且c>0，则a*c>b*c。
这个性质说明了不等式在两边同时乘上正数的情况下，不等关系保持不变。
二、求解方法1. 加减法求解：如果a+b>c，则a>c-b；如果a-b>c，则a>c+b。
这种方法适用于对不等式进行加减运算求解的情况。
2. 乘除法求解：如果a*b>c (且b>0)，则a>c/b (其中b>0)；如果a*b<c (且b<0)，则a<c/b (其中b<0)。
这种方法适用于对不等式进行乘除运算求解的情况。
需要注意的是，在乘除法求解中，当乘（除）以负数时，不等号需要进行反向翻转。
3. 绝对值法求解：对于形如|a|>b的不等式，有两种情况：a>b 或 a<-b。
取其并集，即a>b 或 a<-b。
4. 平方法求解：对于形如x^2>a的不等式，有两种情况：x>√a 或 x<-√a。
取其并集，即x>√a 或 x<-√a。
5. 区间法求解：对于形如a<x<b的不等式，解集为(a, b)。
《等式的性质与方程的解集》等式与不等式
解法的应用与推广
应用
二元一次方程组是数学中常见的方程之一，它在实际生活中也有广泛的应用，比如在物理、化学、经 济等领域中都可以遇到。通过学习二元一次方程组的解法，可以更好地理解和解决这些问题。
推广
学习二元一次方程组的解法还可以为学习更复杂的方程组打下基础，比如三元一次方程组、高次方程 组等。同时，解法中涉及的数学思想和方法也可以应用于其他数学问题的解决中。
传递性
加法单调性
乘法单调性
同号得正
奇偶性
若a>b，b>c，则a>c。
即若a>b，c为任意实数 或整式，则a+c>b+c。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若f(x)为奇函数，则对于 定义域内的任意x，都有 f(-x)=-f(x)。若f(x)为偶 函数，则对于定义域内 的任意x，都有f(x)=f(x)。
一元一次方程的解法举例
例子1
解方程 2x + 4 = 10。
去分母
2x + 4 = 10。
去括号
2x + 4 = 10。
一元一次方程的解法举例
移项
01
2x = 6。
合并同类项
02
2x = 6。
化简
03
x = 3。
一元一次方程的解法举例
例子2
解方程 3(x - 2) = 5(x - 1)。
去分母
05
方程的解集与根的判别式
方程的解集的概念与性质
方程的解集的定义
方程的所有解组成的集合称为方程的解 集。
七年级数学第9章不等式与不等式组(整章知识详解)
X>-3
2、不等式组
X<2 X<5
的非负整数解是__0_,1____
方法：先求不等式(组)的解集，再确定整数解问题
七年级数学第9章不等式与不等式组
考点三:不等式（组）的特殊解
3.(烟台)不等式4－3x≥2x－6的非负整数
解是___0_,1__,2.
x 3≥0,
4.
（苏州）不等式组
x
2
考点四：求字母的取值范围
1. 如- -果- -不- - 等- - -式- -xxm5 有解，那么m的取值范围是
_m__<_5___.若 无解 ， 则m的 取值 范 围是_m__≥_5___.
2.如
果
不
等
式
组xx
m m
1的 2
解
集
是x
-
1，
则m的 取 值 范 围 是______.
.
不等式组的解集是x>m+2，有因解集是x>-1
所以 m+2= -1，即 m = -3
（较小）
(1)若不等式组
xm1 （较大无） 解，则
x 2 m 1
m的取值范围为___m_____3_______
2m 2 m 1
(2)若不等式组
xБайду номын сангаас（1 较小的）解集为x>3，
x3 （较大）
3
的所有整数
解有（ B ）个
A、2
．
B、3
C、4
D、5
方法:先求不等式(组)的解集，再确定整数解的问题
（2 x-6）<3-x
①
求不等式组
不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法
第九章不等式与不等式组专题18不等式的概念、性质及一元一次不等式的解法知识要点1.不等式及其解集：2.不等式的性质（1）不等式的性质1：如果a>b，那么；（2）不等式的性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc或；（3）不等式的性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc或.由不等式和等式的性质可知，可以用求差法比较大小，当两数同号时，还可以用求商法比较大小3.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.4.解一元一次不等式即根据不等式的性质，将不等式化为x>a或x<a的形式，其一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.典例精析例1（1）不等式x<3的正整数解有；（2）关于x的不等式－x≥a的解集为x≤－1，则a的值是；（3）已知x>a的解集中最小整数为－2，则a的最小值是.【分析】在数轴上表示出不等式的解集，结合数轴解决与整数解相关的问题.【解】（1）依题意，如图18-1所示，可知正整数解有1，2.（2）依题意，x≤-a∴，.（3）依题意，如图18-2所示，可知a的最小值是－3.a cb c±>±a bc c>a bc c<0,0,0a b a b a b a b a b a b>⇔->=⇔--<⇔-<1a-=-1a=【点评】与不等式解集有关的问题特别是有整数解的问题要注意结合数轴，数形结合，同时要注意等号能否取到，可将取等的值代入原题中检验是否要取.拓展与变式1 （1）不等式的解集中的非负整数解为；（2）已知x≥a的解集中最小整数为－2，则a的最大值为.拓展与变式2关于x的不等式3m-2x<5的解集如图18-3所示，求m的值.拓展与变式3关于x的不等式解集是，则m的取值范围是.【反思】和不等式解集有关的问题注意结合数轴，利用数轴既直观又准确，同时注意等号能否取到.例2已知a<b，用“<”或“>”填空：（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】利用不等式的性质即可【解】（1）>；（2）<；（3）<；4）>.【点评】理解和掌握不等式的性质，才能熟练自如地应用拓展与变式4用拓展与变式4 用“<”或“>”填空：（1）若，则a b；（2）若-4a>-4b，则a b；（3）若，那么x y.拓展与变式5 若m，n为常数，则关于x的不等式的解集为.拓展与变式6 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数（式）大小的方法：（1）若A-B>0，则A>B；（2）若A-B=0，则A=B；（3）若A-B<0.则A<B.这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法比较与的大小.【反思】不等式的性质和等式的性质类似，在利用性质3时注意不等号方向要改变.5x≤34mx x<+63xm>-7a-7b-3a-3b-52a+52b+ 21a--21b--22a b->-()()2211a x a y+>+()21m x n-->22336a b-+ 22242a b-+例3 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来. 【分析】为便于运算，首先去分母（不等式的两边同乘分母的最小公倍数“6”），然后移项（利用不等式的性质1将未知数项放在左边，常数项放在右边），再把系数化为1（利用不等式的性质2或3，将不等式化为x >a 或x <a 的形式）.【解】，，，..这个不等式的解集在数轴上的表示如图18-4所示.【点评】解一元一次不等式的步骤类似于解一元一次方程的步骤，不同的是前者利用不等式的性质，后者利用等式的性质.拓展与变式7 解不等式，并求出其正整数解.拓展与变式8 x 取什么值时，式子的值不小于的值.拓展与变式9 已知不等式6（x +1）-4x>3（5x +2）+5，化简：.【点评】熟练掌握解一元一次不等式的解法，同时要注意易错点，如：去分母要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数；去括号要注意是否漏乘和变号；系数化为1时若利用不等式的性质3时要注意不等号方向要改变. 2151132x x -+-≤()()2213516x x --+≤421536x x ---≤415623x x -≤++1111x -≤1x ≥-325164x x +->+134x --()3128x ++3113x x +--专题突破1.不等式4-3x ≥2x -6的非负整数解有（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个·2.已知，用“<”，“>”填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .3.已知关于x 的不等式的解集是，试化简.4.解下列不等式：（1）； （2）.5.若关于x 的不等式的解集是，试求关于x 的不等式的解集.0a b c <<<ac bc 21a m +21b m +21a m --21b m --2a -2b -2ac 2bc ()12a x ->21x a <-12a a -++()21038137y y y ---≤+0.40.90.030.0250.50.032x x x ++-->0mx n ->14x <()n m x m n ->+。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法不等式是数学中一种重要的关系表达式，它可以描述数之间的比较关系。
本文将介绍不等式的性质和解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的性质1. 传递性：如果一个不等式a > b，b > c成立，那么a > c也成立。
这意味着不等式的比较关系可以传递。
2. 加法性和减法性：如果a > b，那么a + c > b + c，a - c > b - c也成立。
不等式在加减运算下依然保持有效。
3. 乘法性和除法性：如果a > b，并且c > 0，那么ac > bc，a/c > b/c 也成立。
不等式在乘除运算下同样有效。
4. 乘法反转性：如果a > b，并且c < 0，那么ac < bc成立。
在乘法运算时，当乘数为负数时，不等号方向会发生反转。
二、不等式的解法1. 图解法：将不等式转化为图形，通过观察图形的位置来找到解。
例如，对于一元一次不等式a*x + b > 0，可以将其转化为直线ax + b = 0与x轴的关系图形，通过观察直线与x轴的位置关系来确定不等式的解集。
2. 代入法：将不等式转化为各个变量值的代入过程，通过尝试不同的变量值来判断不等式的解集。
例如，对于一元一次不等式ax + b < 0，可以代入不同的x值，通过观察符号的变化来确定不等式的解集。
3. 列表法：将不等式中的变量值列成列表，通过观察列表中的变化规律来找到不等式的解。
例如，对于一元一次不等式ax + b > 0，可以列出x的取值范围，并观察在不同取值下不等式的符号。
4. 化简法：将不等式化简为更简单的形式，通过简化后的形式来找到解。
例如，对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过配方法化简为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，然后根据一元一次不等式的解法来求解。
5. 公式法：利用不等式性质和已知的不等式公式来解题。
不等式的概念、性质和解法
一、不等式的概念和性质 不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。
【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a 是正数 （2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4）x 与y 的差是负数 （5）m 的4倍不小于8（6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数（7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-． 【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式的性质 不等式基本性质：基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据 ；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据 ；⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据 ； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据 ； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据 ．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -；⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b --⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（ ）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【例3】已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（ ）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ．11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ．||||a b <【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ．11a b< C ． 2a b b +> D ．2a ab >【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ．22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 不等式的解集 1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多． 2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解． 在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】下列说法中错误的是（ ）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b>的形式，其中x是未知数，,a b是已知数，并且0a≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b<或ax b>(0a≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化一(化成bxa>或bxa<的形式)【例6】求不等式3(1)5182x xx+-+>-的解集．【巩固】解不等式：5192311 236x x x+--+≤【巩固】解不等式2110155364x xx++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【巩固】不等式132x x+>的负整数解是_______．【巩固】不等式111326y y y+---≥的正整数解为__________．【巩固】求不等式12123x x+-≥的非负整数解．三、一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组的口诀解法（一）同大取大如果两个不等式的解集都是大于某数时，那么不等式的解集就是大于大数（二）同小取小如果两个不等式的解集都是小于某数时，那么不等式组的解集就是小于小数（三）大小小大中间找如果不等式组中的一个不等式的解集是大于小数，另一个不等式的解集是小于大数，那么这个不等式组的解集就是小数与大数之间的部分（四）大大小小找不到如果不等式组中的一个不等式的解集是大于大数，另一个不等式的解集是小于小数，那么不等式组就是无解【例8】解不等式组31422xx x->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【巩固】求不等式组2(2)43251x xx x-≤-⎧⎨--⎩＜①②的整数解．【例9】解不等式：32122x--<≤；【巩固】解不等式：23121 42xx-≤≤+【例10】解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【例11】解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【例12】解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。
不等式的性质与解集
不等式的性质与解集不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。
与等式不同，不等式存在多种形式和性质。
本文将探讨不等式的性质和解集，并分析其应用。
一、不等式的基本性质1.1 不等式的传递性在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导出a < c。
这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递，可以得到更多的大小关系。
1.2 不等式的加减性质对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。
即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。
1.3 不等式的乘除性质对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。
即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。
二、一元不等式的解集表示一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。
它的解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。
2.1 严格不等式的解集表示对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。
2.2 非严格不等式的解集表示对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。
三、二元不等式的解集表示二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。
解集表示了使得不等式成立的所有实数对。
3.1 不等式的图解法可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。
通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。
3.2 不等式的符号法表示对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。
不等式的基本性质和解集教案
不等式的基本性质和解集————教学设计2.2不等式的基本性质和解集一、教学内容及教学内容分析：本节课选自北师大出版社八年级下册第二章《不等式》的第二节内容，是在学生学习了《不等式》这一课之后编排的。
学生已初步体会到生活中量与量之间的关系,不仅有相等而且有大小之分。
通过本节课的学习，一方面可以进一步深化对不等式的性质的认识与理解，培养学生的计算能力，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。
也为后面研究一元二次不等式、绝对值不等式解法以及函数的定义域，值域求解打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
另一方面，不等式的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
二、教学目标及目标分析我的教学对象是初二的学生，他们特点是个性突出、爱说爱动，有较强的动手实践能力和一定的计算能力。
同时我们的学生在小学的时候对不等式的性质已有初步认识，具有一定的观察、分析、解决问题的能力。
但是他们基础薄弱，上课注意力不集中，对学习缺乏兴趣。
因此教学目标为：1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2．掌握不等式的基本性质。
3.理解不等式的解、不等式的解集概念的含义.4.会在数轴上表示不等式的解集.三、重点难点分析学生在初一时，学过等式的性质，所以类比等式的性质来探索不等式的性质，但性质有变化，所以探索是一个难点。
对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习.所以教学重点：1.不等式的基本性质的掌握与应用。
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.教学难点：1.探索不等式的性质2. 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.四、教学方法通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．五、教学过程设计（一）不等式基本性质1的推导你还记得等式的性质1吗？你能不能类比等式的性质1猜想一下不等式的性质呢？∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a通过上面的探究，你发现了什么规律？所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个代数式，不等号的方向不变.【设计意图：为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.】题组一：选择适当的不等号填空，并说明理由。
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不等式的性质与解集
【学习目标】
1、让学生了解不等式的概念以及基本性质。
2、学会运用不等式的概念来解一般的不等式。
3、通过不等式的学习让学生进一步加深对实数的理解。
【知识要点】
一．不等式的基本概念
1． 叫做不等式。
2．列举不等式：（至少三个）
1． 2. 3. 4. 5. 3．用作差法比较大小：若0,a b ->则 4．不等式的基本性质：
①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变。
a>b ⇒a+c b+c a<b ⇒a+c b+c
②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
b a >⇒3∙a 3∙b b a >⇒3a 3
b
③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
b a >⇒－3∙a －3∙b b a >⇒3a - 3
b
-
5．①若a b >，则b a <；若a b <，则b a >。
（互逆性） ②若,a b b c >>，则a c >，若,,a b b c <<则a c <。
（传递性） ③若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d <<，则a c b d +<+。
二． 不等式的解
1．定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
2．不等式的解与方程的解的异同: . 三．不等式的解集
1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系
解集和解哪个的范围大（解是指个体，解集是指群体）
3．不等式解集的表示方法. 1-≤x ①用不等式表示。
如1-≤x 或x <-1等。
②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别） x <-1 4.解一元不等式的步骤：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。
例1．利用不等式的基本性质，用“>”或“<”号填空。
（1）若a b <，则21a - 21b -。
（2）若a b >，则43a -+ 43b -+。
（3）若3
62
x ->，则x －4。
（4）若,0a b c >>，则ac c + bc c +。
（5）若0,0,0x y z <><，则()x y z - 0。
例2．比较大小。
（1）2
23x x -+与22x -+ （2）(3)(5)x x +-与(2)(4)x x +-
（3）a b -与a b + （4）2
37x x --+和38x -+
例3．已知21,34x y -<<<<，求（1）x y -，（2）2x y +，的取值范围。
例4．求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来. （1）314(1)x x -≥+ （2）
124336x x --≥ （3）2
352
x x -≤+
1． 若a b >，且0c <，那么在下面不等式①a c b c +>+②ac bc >③a b
c c
-
>-④22ac bc <中 成立的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知a 、b 、c 都是实数，并且a>b>c ，那么下列式子中正确的是（ ） A ．ab bc > B ．a b b c +>+ C ．a b b c ->- D ．
a b
c c
> 3．有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列各题中，表示错误的是（ ） A ．0a b -> B ．0ab > C ．c a c b -<- D ．11a b
> 4．若0a b -<，则下列各式中，一定正确的是（ ） A ．a b > B ．0ab > C ．0a
b
< D ．a b ->- 5．用不等号填空：
（1）若a b <，则31a -+ 31b -+； （2）若5
53
x -
>，则x －3； （3）若,0a b c ><，则ac bc ； （4）x 为任意实数，则x －2 x －3。
6．若a b <，用不等号填空：
（1）8a - 8b -， （2）8a 8b ， （3）16
a - 1
6b -，
（4）
15a 1
5
b ， （5）2a
c 2bc （c 为有理数） 7．判断下列说法是否正确，为什么？
（1）的一个解；是不等式1133<=x x (2) 的一个解集；是不等式1133<=x x (3)不等式；的解集是3113<<x x （4）不等式；的解集是3
11
113<
<x x 8．已知32y -<<，化简233924y y y y -++----。
9．解不等式并在数轴上表示出来。
（1）132x x -≥- （2）2121132
x x -+≤-
b a
不等式与解集作业
一．选择题：
1．在数学表达式①30-<；②430x y +>；③3x =；④22x xy y ++；⑤5x ≠；⑥23x y +>+ 中，不等式有（ ）个。
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5 2．下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A ．a 不是负数，可表示成0a >
B ．x 不大于3，可表示成3x <
C ．m 与4的差是负数，可表示成40m -<
D ．x 与2的和是非负数，可表示成20x +> 3．a 为有理数，下列结论中正确的是（ ）
A ．20a >
B ．若0a <，则20a >
C ．若1a <，则21a <
D ．若0a >，则2
a a >
4．x 的3倍减去2的差不大于0，列出不等式是（ ）
A ．320x -≤
B ．320x -≥
C ．320x -<
D ．320x -> 5．无论x 取什么数，下列不等式总成立的是（ ）
A ．50x +>
B ．50x +<
C ．2(5)0x -+<
D ．2(5)0x -≥ 6．不等式1732x ->的正整数解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．
221
23
x x +-≥的解集为（ ） A ．8x ≥ B ．8x ≤ C ．8x < D ．8
7
x ≤ 8．不等式15
236
x x -≥+的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 9．下列说法正确的是（ ） A ．11x =是不等式
152x >的一个解 B ．11x =是不等式1
52
x >的解集 C ．不等式152x >的解集是122x > D ．不等式152x >的解集是1
22
x <
10．若关于x 的方程3(5)5(36)x x a +=++的解是负数，则a 的取值范围是 。
11．使不等式541x x ->-成立的x 的最大整数解是 。
12．若21x +是不少于－6的负数，则可以表示为 。