【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第二章 函数与基本初等函数2-1 Word版含解析
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 函数与基本初等函数阶段性测试题二 北师大版
阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2014·某某期中试题)函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1,0)∪(0，＋∞)D ．R [答案]C[解析]函数的定义域就是使函数式有意义的自变量x 的取值X 围，本题中要求⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，所以x ≥－1且x ≠0，故选C. (理)(2014·某某市一中月考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案]B[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，得－13<x <1，所以选B.2．(文) (2011·某某月考)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝1xC ．y ＝－(12)x D ．y ＝[答案]B[解析]由对数函数和幂函数的单调性可知，A ，D 在(0，＋∞)递增；由指数函数的单调性可知y ＝(12)x 在R 内单调递减，故y ＝－(12)x 递增；由反比例函数y ＝1x 的图像可知，函数在(0,1)上是减函数，故选B.(理)(2014·某某质量调研)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2x D ．f (x )＝－tan x [答案]C[解析]f (x )＝1x 在定义域上是奇函数，但不单调．f (x )＝－x 为非奇非偶函数．f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.3．(文)(2014·某某调研) 已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0(x >0)π(x ＝0)π2＋1(x <0)，则f (f (f (－1)))的值等于( ) A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．π D ．0 [答案]C[解析]f (－1)＝π2＋1，所以f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π，选C.(理)(2014·某某调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f (43)＋f (－43)的值等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4 [答案]B[解析]本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的X 围，43>0，∴f (43)＝2×43＝83.－43<0，∴f (－43)＝f (－43＋1) ＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝2×23＝43，∴f (43)＋f (－43)＝83＋43＝4. 4．(文)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( )A.13B.36C.33D.24[答案]D[解析]由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8， 所以x －12＝8－12＝18＝24，选D.(理)(2014·某某一模) 已知集合A ＝{x ∈R|2x <e }，B ＝{x ∈R|1x >1}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ∈R|0<x <log 2e }B ．{x ∈R|0<x <1}C ．{x ∈R|1<x <log 2e }D ．{x ∈R|x <log 2e } [答案]B[解析]因为集合A ＝{x ∈R|2x <e }＝{x ∈R|x <log 2e }． B ＝{x ∈R|1x >1}＝{x ∈R|0<x <1}，所以A ∩B ＝{x ∈R|0<x <1}．5．(2014·某某省高阳中学高三上学期第一次月考)已知函数f (x )＝ln(21－x ＋a )(a 为常数)是奇函数，则实数a 为( )A ．1B ．－3C ．3D ．－1 [答案]D[解析]函数在x ＝0处有意义，所以f (0)＝ln(2＋a )＝0，得a ＝－1.6．(2014·某某一中上学期期中考试)设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．Q <R <P B ．R <Q <P C ．Q <P <R D ．R <P <Q [答案]B[解析]题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，它们都是增函数，从而知0<log 32<1，log 23>1，log 2(log 32)<0，因此选B.7．(2014·某某调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中abc <0，则函数图像可能是( )[答案]C[解析]a <0时，开口向下，因为abc <0，所以b ，c 同号，对于A 、由图像可知c >0，则b >0，∴－b 2a >0，选项A 不符合题意，由B 图可知c <0，故b <0，∴－b2a <0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项B 不符合题意，当a >0时，因为abc <0，所以b ，c 异号，由C ，D 图可知c <0，故b >0，∴－b2a<0，即函数对称轴在y 轴左侧，选项D 不符合题意，C 符合，故选C.8．(2014·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≥01，x <0，若f (4)＝f (0)，f (2)＝2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案]C[解析]因为f (4)＝f (0)，f (2)＝2，所以16＋4b ＋c ＝c 且4＋2b ＋c ＝2，解得b ＝－4，c ＝6，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥01，x <0.当x ≥0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得x 2－4x ＋6－x ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x＝3.当x <0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得1－x ＝0，解得x ＝1，不成立，舍去． 所以函数的零点个数为2个，选C.9．(2014·湘西州联考)函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞) [答案]B[解析]令g (x )＝6－ax ，∵对数的底数a >0，∴g (x )在[0,2]上为减函数， 又∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴a >1且6－2a >0， 即1<a <3.10．(文)(2014·东北三校联考)能够把圆Ox 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是( )A ．f (x )＝e x ＋e －x B ．f (x )＝ln5－x5＋xC ．f (x )＝tan x2D ．f (x )＝4x 3＋x[答案]A[解析]由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A 中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图像不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不为“和谐函数”；B 中，f (0)＝ln 5－05＋0ln1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；C 中f (0)＝tan0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；D 中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”；故选A.(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．γ>α>βB ．β>α>γC ．α>β>γD ．β>γ>α [答案]A[解析]g ′(x )＝1，所以由g (α)＝g ′(α)得α＝1.h ′(x )＝1x ＋1，所以由h (β)＝h ′(β)得ln(β＋1)＝1β＋1，由图像可知0<β<1，φ′(x )＝3x 2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)计算3log 32＋lg 12－lg5的结果为________．[答案]1[解析]由对数恒等式知3log 32＝2，根据对数运算法则知lg 12－lg5＝lg(12÷5)＝lg 110＝－1，∴3log 32＋lg 12－lg5＝2－1＝1.(理)(2014·苏北四市高三调研)方程33x －1＋13＝3x －1的实数解为________．[答案]x ＝log 34[解析]两边同乘以3(3x －1)，整理得：13·(3x )2－43·3x －8＝0，解得x ＝log 34. 12．(文)(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值为________．[答案]0或3[解析]当a >0时，f (a )＝log 3a ＝1，解得a ＝3； 当a ≤0时，f (a )＝(13)a ＝1，解得a ＝0.综上a ＝0或3.(理)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[答案]－34[解析]本题是分段函数，1－a 与1＋a 哪个大于1，哪个小于1不确定，因此分类讨论，a >0时，1－a <1,1＋a >1，f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a,2－a ＝－1－3a ，a ＝－32<0，不合题意，舍去；同理a <0时，得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，a＝－34，符合题意．故a ＝－34.13．(文)(2014·某某市一模)已知方程x 2＋2x ＋2a －1＝0在(1,3]上有解，则实数a 的取值X 围为________．[答案][－7，－1)[解析]由x 2＋2x ＋2a －1＝0，参变量分离得 2a ＝－(x ＋1)2＋2，记f (x )＝－(x ＋1)2＋2，且x ∈(1,3]， 所以－14≤f (x )≤－2，即－14≤2a <－2. 故实数a 的取值X 围为[－7，－1)．(理)(2014·某某市摸底考试)若存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案]a >0[解析]∵存在正数x ，使2x ＋a >4x 成立， ∴a >(4x －2x )min ，∴令y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14，∵x >0，∴2x >1，∴y ＝4x －2x ＝(2x －12)2－14>0，∴a >0.14．(2014·某某省某某一中期中考试)对于函数f (x )定义域中任意的x 1, x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2) ，②f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2，当f (x )＝ln x 时，上述结论中正确结论的序号是________． [答案]②④[解析]把函数f (x )＝ln x 代入结论①②：ln(x 1＋x 2)＝ln x 1ln x 2，ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2，结合对数的运算法则，知②正确，①错误；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0说明x 1<x 1时，f (x 1)>f (x 2)从而f (x )为减函数，但函数f (x )＝ln x 是增函数，故③错误；④f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2等价于ln x 1＋x 22>ln x 1＋ln x 22⇔ln x 1＋x 22>ln(x 1x 2)12⇔x 1＋x 22>x 1x 2，当x 1，x 2>0且x 1≠x 2时，上式显然成立．故④也是正确的．15．(文)(2014·某某调研)定义在R 上的函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |，满足f (2x －1)>f (x ＋1)，则x 的取值X 围是________．[答案]x >2或x <0[解析]因为函数y ＝ln(x 2＋1)＋|x |是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由f (2x －1)>f (x ＋1)，得|x ＋1|<|2x －1|，解得x >2或x <0.(理)已知函数f (x )＝lg(x ＋x 2＋1)＋x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则a 的取值X 围是________．[答案]{a |a >1，或a <－2} [解析]f (－x )＝lg(x 2＋1－x )－x＝lg(1x 2＋1＋x)－x ＝－lg(x 2＋1＋x )－x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )递增， 故x ∈R 时，f (x )递增，所以 f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)， ∴1－a 2<a －1，解得a >1，或a <－2.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)用定义证明函数f (x )＝x 2＋2x－1在(0,1]上是减函数．[解析]证明一个函数为单调函数，根据定义设x 1，x 2为所给区间上的任意两个实数，且x 1<x 2，然后作差f (x 1)－f (x 2)，但一定要注意的是，对差f (x 1)－f (x 2)，我们一般是进行因式分解，把它变成几个因式之积，实际上是要得到几个容易判断正负的因式之积，从而很快可以得出差f (x 1)－f (x 2)是正是负．证明：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈(0,1]，则x 2－x 1>0,0<x 1x 2<1，x 1＋x 2<2，2x 1x 2－(x 1＋x 2)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋2x －11－x 22－2x －12＝(x 21－x 22)＋2(1x 1－1x 2) ＝(x 2－x 1)[2x 1x 2－(x 1＋x 2)]>0.∴函数f (x )＝x 2＋2x －1在(0,1]上是减函数．17．(本小题满分12分)(文) (2014·某某部分重点中学教学检测) 已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析]∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数， ∴当x >0时，－x <0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2， 故当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋3x －2. ∴当x ∈[1，32]时，f (x )是增函数；当x ∈[32，3]时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f (32)＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94.(理)(2014·某某调研)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a >0，a ≠1)． (1)求a ，k 的值；(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．[解析](1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝4 ①(log 2a )2－log 2a ＋k ＝k ②由②得log 2a ＝0或log 2a ＝1， 解得a ＝1(舍去)或a ＝2， 由a ＝2得k ＝2.(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为74.18．(本小题满分12分)(文)(2014·某某第一次质检)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的X 围． [解析](1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立． 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图像的对称轴为直线x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上递减．即只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1.所以m 的取值X 围为m ∈(－∞，－1)．(理)(2014·某某潍坊模拟) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >00，x ＝0x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值．(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围．[解析](1)设x <0，则－x >0,∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2) 根据(1)中所求m ＝2，利用函数的图像，可知函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)单调递减，在(－1,1)单调递增，又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )图像可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1a －2≤1，∴1<a ≤3. 从而实数a 的取值X 围是(1,3]．19．(本小题满分12分)(文)(2014·某某市月考)已知f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，g (x )＝λf (x )，(1)某某数a 的值；(2)若g (x )≤x log 2x 在x ∈[2,3]上恒成立，求λ的取值X 围．[解析](1)∵f (x )＝ln(e x ＋a )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝ln(e 0＋a )＝0，解得a ＝0.(2)由(1)f (x )＝x ，不等式g(x)≤x log2x为λx≤x log2x，∵x∈[2,3]，∴λ≤log2x.在x∈[2,3]时，log2x的最小值为log22＝1，故λ≤1.∴λ的取值X围是(－∞，1]．(理) (2014·某某市调研)设函数f(x)＝a x－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值X 围．[解析](1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2，当k＝2时f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)，f(－x)＝－f(x)成立，函数f(x)是奇函数，∴k＝2.另解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴a－x－(k－1)a x＝－a x＋(k－1)a－x，整理得(k－2)(a x＋a－x)＝0，又∵a x＋a－x≠0，∴k＝2.(2)f(x)＝a x－a－x(a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1.∵a x单调递减，a－x单调递增，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.20．(本小题满分13分)(2014·某某一中上学期期中考试) 已知a>0且a≠1，函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a 11－x，记F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1)求函数F(x)的定义域D及其零点；(2)若关于x 的方程F (x )－m ＝0在区间[0,1)内仅有一解，某某数m 的取值X 围．[解析](1)F (x )＝2f (x )＋g (x )＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x (a >0且a ≠1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，所以函数F (x )的定义域为(－1,1)．令F (x )＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 11－x＝0(*)方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x )，(x ＋1)2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.经检验x ＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0，所以函数F (x )的零点为0.(2)m ＝2log a (x ＋1)＋log a 11－x(0≤x <1) m ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋41－x－4)， a m ＝1－x ＋41－x－4， 设1－x ＝t ∈(0,1]，则函数y ＝t ＋4t在区间(0,1]上是减函数， 当t ＝1时，此时x ＝1，y min ＝5，所以a m ≥1.①若a >1，则m ≥0，方程有解；②若0<a <1，则m ≤0，方程有解．21．(本小题满分14分)(文)某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x 万元，每件产品的成本将降低3x 4元，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f (x )(单位：万元)，(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本)(1)求f (x )的函数解析式；(2)求f (x )的最大值，以及f (x )取得最大值时x 的值．[解析](1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000－3x 4元，利润为200＋3x 4元，年销售量为1－2x万件 纯利润为f (x )＝(200＋3x 4)(1－2x)－x ＝198.5－400x －x 4(万元) (2)f (x )＝198.5－400x －x 4≤198.5－2×400x ×x 4＝178.5 等号当且仅当400x ＝x 4此时x ＝40(万元)即f (x )的最大值是178.5万元，以及f (x )取得最大值时x 的值40万元．(理)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解析](1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－51x －10000x ＋1450－250＝1200－(x ＋10000x)． 所以L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250(0<x <80)，1200－(x ＋10000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1200－(x ＋10000x )≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000 此时，x ＝10000x，即x ＝100时L (x )取得最大值1000万元．因为950<1000 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)(2013·高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x | [答案]C[解析]本题考查了偶函数的判断及单调性的判断，y ＝1x是奇函数，A 错；y ＝e －x 是非奇非偶函数，B 错；y ＝lg|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0lg (－x )，x <0，，当x >0时是增函数，D 错；由二次函数图像性质知C 正确.(理)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 [答案]B[解析]∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上是增加的，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.选B. 2．(文)函数y ＝1－1x －1( )A ．在(－1，＋∞)内是增加的B ．在(－1，＋∞)内是减少的C ．在(1，＋∞)内是增加的D ．在(1，＋∞)内是减少的 [答案]C[解析]函数定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．根据复合函数的单调性可知，y 1＝1x －1在(1，＋∞)上是减少的．所以y ＝1－1x －1在(1，＋∞)上是增加的． (理)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |[答案]B[解析]本题考查函数的奇偶性以及单调性．对于A ，y ＝x 3不是偶函数，A 错误；B 正确，既是偶函数又在(0，＋∞)上单增；对于C ，在(0，＋∞)上单调递减，错误；对于D ，在(0，＋∞)上单调递减，错误，故选B.3．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4) [答案]C[解析]本题考查函数的值域的求法以及换元的方法． 令u ＝16－4x ，则y ＝u ，u ≥0， 因为4x >0，－4x <0，所以0≤16－4x <16 ∴y ＝u ∈[0,4)，故选C.4．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)， 当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) [答案]A[解析]由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．在A 中，由f ′(x )＝－1x 2<0，得x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)<0得x <1， 所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．在C 中，由f ′(x )＝e x >0，知f (x )在R 上为增函数． 在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1且x ＋1>0知，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 5．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)[答案]A[解析]本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题． 3x >0⇒3x ＋1>1⇒log 2(3x ＋1)>log 21＝0，选A.6．(文)函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1) [答案]A[解析]由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．(理)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32] B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4)[答案]D[解析]函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e >1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．二、填空题7．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减少的，则a 的取值X 围是________．[答案][0，34][解析]当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，显然f (x )在(－∞，3)上是减少的．当a ≠0时，要使f (x )在(－∞，3)上是减少的，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)2×2a ≥3，即0<a ≤34.综上可知a ∈[0，34]．8．(文)函数y ＝x ＋2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和为________． [答案]8[解析]函数y ＝x ＋2x 在其定义域上是增函数，所以x ＝0时有最小值N ＝0，x ＝4时有最大值M ＝8，M ＋N ＝8.(理)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． [答案]⎣⎡⎦⎤0，32 [解析]y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图像，观察图像知递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.9．(文)若在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．[答案]3[解析]对于g (x )＝x ＋1x 在x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2，∴－p2＝1，4q －p 24＝2.∴p ＝－2，q ＝3.∴f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )在该区间上的最大值为3.(理)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值X 围是________．[答案](－∞，1][解析]本题考查指数函数与分段函数的对称性． ∵f (x )＝e |x |的对称轴为x ＝0，∴f (x )＝e |x －a |的对称轴为x ＝a ，若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a ≤1. 三、解答题10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围． [解析](1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)内恒成立，∴a ≤1.综上知0<a ≤1.能力强化训练一、选择题1．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a (x <0)，a x (x ≥0)(a >0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值X 围是( )A ．(0，23]B ．(13，1)C ．(2,3)D ．(12，23][答案]A[解析]由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f (0)＝a 0≤3－3a .化简得0<a ≤23.(理)(2013·某某高考)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]C[解析]本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C.2．定义在R 上的函数f (x )的图像关于x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32 [答案]B[解析]∵f (x )的图像关于x ＝1对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫53，f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫43.又∵x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，且43<32<53，∴f ⎝⎛⎭⎫43<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫53，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13. 二、填空题3．函数y ＝1－x 21＋x 2的值域为________．[答案](－1,1][解析]解法1：(反解法)由y ＝1－x 21＋x 2得x 2＝1－y 1＋y≥0，解得－1<y ≤1.解法2：(分离常数法)y ＝1－x 21＋x 2＝－(x 2＋1)＋2x 2＋1＝－1＋2x 2＋1.∵x 2＋1≥1，∴0<2x 2＋1≤2，∴－1<－1＋2x 2＋1≤1.4．(文)设a ，b ∈R ，定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥bba <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )，则f (x )的最小值是______．[答案]32[解析]令y 1＝|x ＋1|，y 2＝|x －2|，在同一坐标系中分别作出其图像，如图所示，根据条件知函数f (x )的图像为图中的射线P A ，PB 构成，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝x ＋1，解得y ＝32.即为函数f (x )的最小值．(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值X 围是________． [答案](－2,1)[解析]由图像知f (x )在R 上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.三、解答题5．(文)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析](1)设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0. f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调增加的． (2)f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2. ∴⎩⎨⎧1a －2＝121a －12＝2，∴a ＝25.(理)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．[分析] 在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用均值不等式求解，但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑．[解析](1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x ＋2，易知f (x )在[1,2]上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，易知f (x )在[1，＋∞)上为增加的，∴f (x )min ＝f (1)＝72.(3)函数f (x )＝x ＋ax ＋2在(0，a ]上是减少的，在[a ，＋∞)上是增加的．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋ ∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2； 若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间 [1，＋∞)上是增加的． ∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3(0<a ≤1)2a ＋2(a >1).6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.(1)求f (1)的值，并判断f (x )的单调性； (2)若f (4)＝2，求f (x )在[5,16]上的最大值．[解析](1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )>0，∴f (x 1x 2)>0，即f (x 1)－f (x 2)>0，因此f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在[5,16]上的最大值为f (16)．由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，得f(164)＝f(16)－f(4)，而f(4)＝2，∴f(16)＝4.∴f(x)在[5,16]上的最大值为4.。
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第二章 函数与基本初等函数 2-1
[答案]
1.(1)数集 任何 唯一确定 y＝f(x)，x∈A (2)
定义域 值域 (3)定义域 值域 对应法则 (4)定义域 对应法则 2．解析法 图像法 列表法 3．唯一 映射 4．函数 非空数集 5．对应法则 一个
基 础 自 测 1.(2013· 江西高考)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( A．(0,1) C．(0,1]
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
函数与基本初等函数
第二章
第一节 函数及其表示
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
高考目标导航
考纲要求 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域；了解映射的概念． 2． 在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法(如图 像法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用.
1 f(x)＝ x
讨论的思想，显然根据已知的定义可得
x≥1 . x<1
(理)已知 是________．
1，x≥0， f(x)＝ 0，x<0，
x≠0 ① 1 1＋ >0 ② x 2 1－x ≥0 ③
，解得：0<x≤1.
6． (文)定义运算 ＝1]
1 f(x)＝ x
a a*b＝ b
a≤b ， 则对 x∈R， 函数 f(x) a>b
.
x≥1 x<1
[答案]
[解析]
该题以新定义函数、分段函数为载体，考查分类
(理 )已知 f(x)的图像恒过点 (1,1)，则 f(x－4)的图像恒过 ( ) A．(－3,1) C．(1，－3)
【走向高考·2015】高考一轮总复习课件(北师大版)：第二章 函数与基本初等函数-9
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[答 案] ax>xn> o lg
ax
2 ( 1 .)
快 于
ax>xn
( 2 ) 慢 于
o lg ax<xn
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基 础 自 测 1.“龟 兔 赛 跑 ”讲 述 了 这 样 的 故 事 ： 领 先 的 兔 子 看 着 慢 慢 爬 行 的 乌 龟 ， 骄 傲 起 来 ， 睡 了 一 觉 ， 当 它 醒 来 时 ， 发 现 乌 龟 快 到 终 点 了 ， 于 是 急 忙 追 赶 ， 但 为 时 已 晚 ， 乌 龟 还 是 先 到 达 了 终 点 ． 用 S1、 S2 分 别 表 示 乌 龟 和 兔 子 所 行 的 路 程 ， ( ) t为 时 间 ，
求 掌 握 的 ， 这 就 要 求 学 生 具 备 转 化 与 化 归 及 分 类 讨 论 的 能 力 ， 将 复 杂 问 题 转 化 为 熟 悉 的 问 题 加 以 解 决 ． 预测2015年 高 考 试 题 仍 将 突 出 函 数 实 际 应 用 题 的 信 息 量 大 的 特 征 ， 重 点 考 查 学 生 处 理 问 题 的 能 力 ． 高 考 复 习 中 应 充 分 挖 掘 课 本 中 涉 及 的 应 用 背 景 ， 重 点 训 练 学 生 处 理 问 题 、 建 立 数 学 模 型 的 能 力 .
它 们 的 增 长 速 度 不 同 ， 且 不 在 同 一 个 档 ∞)上 ， 总 会 存 在 一 个
x0， 使 x>x0时 有 __________．
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走向高考一轮课后强化作业北师大：第二章 函数与基本初等函数 含解析
基础达标检测一、选择题1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副 [答案] D[解析] 利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4000)≥0.解得x ≥800.2．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．y ＝x 2B ．y ＝12x 2C ．y ＝32x 2D ．y ＝34x 2 [答案] D[解析] y ＝12·x ·x ·sin60°＝34x 2.(理)2010年7月1日某人到银行存入一年期款a 元，若年利率为x ，按复利计算，则到2015年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )5元B ．a (1＋x )6元C ．a ＋(1＋x )5元D ．a (1＋x 5)元[答案] A[解析] 因为年利率按复利计算，一年后可取回a (1＋x )元，二年后可取回a (1＋x )2元，…，所以到2015年7月1日可取款a (1＋x )5.3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元[答案] A[解析] 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.4．(文)(原创题)《走向高考》系数丛书2014年的销量比2012的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则以下结论正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的销量确定[答案] B[解析](1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故选B.(理)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为() A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.51[答案] B[解析]依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．∴当x＝10时，S max＝45.6(万元)．5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大()A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C [解析] 由图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －25x ＋12，故x ＝5时y x 最大．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min ，组装第A 件产品用时15min ，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[答案] D [解析] 本题主要考查了分段函数的理解及函数解析式的求解． 依题意：当x ≤A 时，f (x )单调递减；当x ≥A 时，f (x )恒为常数．因此，c 4＝30，c A＝15，解得：c ＝60，A ＝16，故选D. 二、填空题7．某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择.亿元，则应选的项目是________(只需写出项目的代号)．[答案] A 、B 、E 或B 、D 、E 、F[解析] 当投资为13亿元且利润大于1.6亿元时，有以下两种投资选择方案：f (A ，B ，E )＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(亿元)；f (B ，D ，E ，F )＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(亿元)．8．(2014·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．[答案] 4[解析] 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.9．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．[答案] 2 500[解析]总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.故当Q＝300时，总利润最大，为2 500万元．三、解答题10．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．[解析]设每个提价为x元(x≥0)，利润为y元，每天销售总额为(10＋x)(100－10x)元，进货货款总额为8(100－10x)元，显然100－10x>0，即x<10，则y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝(2＋x)(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10)．当x＝4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.能力强化训练一、选择题1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 [答案] A [解析] 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.2．对函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 作代换x ＝g (t )，则总不改变f (x )值域的代换是( )A ．g (t )＝log 12 tB ．g (t )＝(12)tC ．g (t )＝(t －1)2D ．g (t )＝cos t [答案] A[解析] 只有A 中函数的值域与f (x )中x 的取值范围一致，即R ，所以只有A 中函数代换后f (x )值域不变．二、填空题3．如图，书的一页的面积为600cm 2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．[答案] 30cm,20cm[解析] 设书的长为a ，宽为b ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486.4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．[答案] 6 10 000[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力．(1)M ＝lg1 000－lg0.001＝3＋3＝6.(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A 9，A 5，则9＝lg A 9－lg A 0,5＝lg A 5－lg A 0，两式相减得4＝lg A 9－lg A 5＝lg A 9A 5，即A 9A 5＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．三、解答题5.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[分析] 认真审题，准确理解题意，建立函数关系．[解析] (1)由图像可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30，所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．6．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由．[解析] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-2基本不等式课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习7-2基本不等式课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值X围是() A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]本题考查一元二次方程根的个数问题．“方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m2－4>0，解得m>2或m<－2.2．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，则()A．a≥1 B．a<－1C．a>－1 D．a∈R[答案]C[解析]∵不等式的解集为{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.3．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列{a n}的第四项为()A．3 B．－1C．2 D．3或－1[答案]D[解析]∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3.∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.4．不等式4x－2≤x－2的解集是() A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞) C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)[答案]B[解析]①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．5．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在x 0，使f (x 0)＝0，则a 的取值X 围是( )A ．－1<a <15B ．a >15C ．a <－1或a >15D ．a <－1 [答案]C[分析] a ≠0时，f (x )为一次函数，故由x 0∈(－1,1)时，f (x 0)＝0知，f (－1)与f (1)异号．[解析]由题意得f (－1)·f (1)<0，即(－3a ＋1－2a )·(3a ＋1－2a )<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，∴a <－1或a >15.故选C. 6．(文)(2013·某某高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝()A.52B.72C.154D.152[答案]A[解析]∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为(x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ，∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52. (理)(2013·某某高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 (单位：m)的取值X 围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30][答案]C[解析]本题考查三角形相似及一元二次不等式的解法．设矩形的另一条边长为t ，由相似知识得x 40＝40－t 40， ∴t ＝40－x ，所以(40－x )x ≥300，即x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30，故选C.二、填空题7．若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值X 围为________．[答案]－1<a <1[解析]令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a <1.8．若不等式－4<2x －3<4与不等式x 2＋px ＋q <0的解集相同，则p q＝________. [答案]127[解析]由－4<2x －3<4，得－12<x <72. 由题意得72－12＝－p ，(－12)×72＝q ， ∴p q ＝127. 9．关于x 的不等式ax x －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则实数a ＝____________. [答案]12[解析]原不等式可化为(a －1)x ＋1x －1＜0. ∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}，∴a －1＜0且－1a －1＝2. ∴a ＝12. 三、解答题10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}．(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .[解析](1)由题意知1－a ＜0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＜0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3，∴不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32.∴所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}．(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.能力强化训练一、选择题1．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)[答案]C[解析]因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x >0，即⎩⎨⎧ x >0x (x 2－x －2)>0，解得x >2，故选C.2．(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是() A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]A[解析]本小题主要考查不等式解法．∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1)得x 2－4x ＋6>3，∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3，∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( ) A ．{x |－1≤x ≤2－1} B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}[答案]C[解析]不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1 或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1， 解不等式组(1)得x <－1；解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C.二、填空题3．(2013·某某高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为_____________．[答案](－5,0)∪(5，＋∞)[解析]本题考查函数性质和解不等式应用．当x >0时，x 2－4x >x ，∴x >5，当x ＝0时，f (0)＝0，不合题意．当x <0时，－x >0时，f (－x )＝(－x )2＋4x ＝x 2＋4x ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－4x >x ，∴－5<x <0，综上f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．4．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．[答案]20[解析]由题意得，3860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.三、解答题5．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝⎛⎭⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值X 围．[解析](1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a . ∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0，∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1. 又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立，∴0<m ≤12. 6．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值X 围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．[解析](1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值X 围是(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，就是要使m (x －12)2＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一：令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，所以m <67，则0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0.所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m |m <67}．方法二：因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6(x －12)2＋34， 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值X 围是{m |m <67}．。
高考文科数学(北师大版)一轮复习练习：第2章 基本初等函数、导数及其应用 第4讲
1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：选B.因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数为增函数，排除选项A 和C ；又因为f (0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D ，故选B.2．(2016·山西省第三次四校联考)已知偶函数f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1C ．3 D.3＋2解析：选D.因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3，f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2，故选D.3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f (2 016)＋f (2 017)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 016)＋f (2 017)＝f (672×3＋0)＋f (672×3＋1)＝f (0)＋f (1)，而由图像可知f (1)＝1，f (0)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＝0＋1＝1.4．(2016·江西省高考适应性测试)已知函数f (x )＝x －2，g (x )＝x 3＋tan x ，那么( )A ．f (x )·g (x )是奇函数B ．f (x )·g (x )是偶函数C ．f (x )＋g (x )是奇函数D ．f (x )＋g (x )是偶函数解析：选A.由已知易得f (x )＝f (－x )，g (x )＝－g (－x )，故f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )，故f (x )·g (x )是奇函数，A 正确，B 错误；f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数．5．(2016·郑州调研)已知函数f (x )在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f (3)＜f (1)，则( )A ．f (－1)＜f (－3)B ．f (0)＞f (－1)C ．f (－1)＜f (1)D ．f (－3)＞f (－5)解析：选A.函数f (x )在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f (3)＜f (1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f (x )在区间[－5，5]上是减函数． 选项A 中，－3＜－1，故f (－3)＞f (－1)．选项B 中，0＞－1，故f (0)＜f (－1)．同理，选项C 中f (－1)＞f (1)，选项D 中f (－3)＜f (－5)．6．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1，3)B ．(－1，1)C ．(－1，0)∪(1，3)D ．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.f (x )的图像如图．当x ∈[－1，0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1，0)；当x ∈[0，1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈[1，3]时，由xf (x )>0，得x ∈(1，3)．故x ∈(－1，0)∪(1，3)．7．已知函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________． 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.★答案☆：－－x －18．若f (x )＝k ·2x ＋2－x 为偶函数，则k ＝________，若f (x )为奇函数，则k ＝________．解析：f (x )为偶函数时，f (－1)＝f (1)，即k 2＋2＝2k ＋12，解得k ＝1.f (x )为奇函数时，f (0)＝0，即k ＋1＝0，所以k ＝－1(或f (－1)＝－f (1)，即k 2＋2＝－2k －12，解得k ＝－1)． ★答案☆：1 －19．若偶函数y ＝f (x )为R 上周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：因为y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)，所以f (x )＝x 2＋(1－a )x －a ，1－a ＝0.所以a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.★答案☆：－110．(2016·河北省衡水中学一调考试)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1， 则g (－x )＝－2x －sin x x 2＋1＝－g (x )， 所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.★答案☆：211．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成的图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ((x －1)＋2)＝－f (x －1)＝f (－(x －1))，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )的图像如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.1．(2016·河南省适应性模拟练习)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A ．1 B ．－1C.45 D ．－45解析：选B.因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，又f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )的周期为4，由4<log 220<5得f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎫log 2 45＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选B.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．3．(2016·菏泽模拟)已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．(1)求证：对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0；(2)若f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：若x 1＋x 2＝0，显然不等式成立．若x 1＋x 2＜0，则－1≤x 1＜－x 2≤1，因为f (x )在[－1，1]上是减函数且为奇函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．若x 1＋x 2＞0，则1≥x 1＞－x 2≥－1，同理可证f (x 1)＋f (x 2)＜0.所以[f (x 1)＋f (x 2)](x 1＋x 2)＜0成立．综上得证，对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0恒成立．(2)因为f (1－a )＋f (1－a 2)＜0⇔f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，所以由f (x )在定义域[－1，1]上是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－a 2≤1，－1≤a －1≤1，1－a 2＞a －1，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤2，0≤a ≤2，a 2＋a －2＜0，解得0≤a ＜1.故所求实数a 的取值范围是[0，1)．。
【届走向高考】高三数学一轮(北师大版)专题整合2(函数与基本初等函数)PPT课件
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函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问 题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数 学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与 不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组 )来使问题 获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决 问题的目的．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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函数与基本初等函数 第二章
第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
解得 a> 2.
故实数 a 的取值范围是( 2，＋∞).
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待定系数法在求解函数解析式中的应用 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据 所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依 据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)＝g(x)的充要条件： 对于一个任意的a值，都有f(a)＝g(a)；或者两个多项式各同类 项的系数对应相等．
走向高考一轮课后强化作业北师大：第二章 函数与基本初等函数2 含解析
基础达标检测一、选择题1．函数y ＝1－1x －1的图像是( )[答案] B[解析] 将y ＝－1x 的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图像． 2．已知图①中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图像对应的函数为( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |) [答案] C[解析] y ＝f (－|x |)＝⎩⎨⎧ f (－x )，x ≥0，f (x )，x <0.3．(文)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )[答案] A[解析] 本题考查函数的图像与性质．∵f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除C.∵x 2＋1≥1，则ln(x 2＋1)≥0，且当x ＝0时f (0)＝0，所以排除B 、D ，选A.(理)(2013·四川高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )[答案] C[解析]本题考查函数图像的形状．函数的定义域为：3x－1≠0，∴x≠0，排除A；取x＝－1，则f(－1)＝－11 3－1>0，排除B；当x→＋∞时，3x－1比x3增大要快，∴x33x－1大于0而且趋向于0，排除D. 故选C.4．函数y＝2x－x2的图像大致是()[答案] A[解析]本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.5．函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，下列说法正确的是()①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④[答案] C[解析]由图像可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称；对于②，因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确，选C.6．(2013·北京高考)函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1[答案] D[解析]∵曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e－x，将y＝e－x 的图像向左平移1个单位即得到函数f(x)的图像，∴f(x)＝e－(x＋1)，即f(x)＝e－x－1.二、填空题7．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.[答案]x[解析]因为f(x)为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x∈[－1,0]时f(x)＝x＋2，所以当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，又f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x.8．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．[答案](2,8][解析]当f(x)>0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．9．(2014·厦门调研)设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．[答案] 6[解析]在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图像如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.三、解答题10．若1<x<3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？[解析]原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①作出函数y ＝－x 2＋5x －3(1<x <3)的图像如图，显然该图像与直线y ＝a 的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当 3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝1314时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解.能力强化训练一、选择题1．(2013·安徽高考)函数y ＝f (x )的图像如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A．{2,3} B．{2,3,4} C．{3,4} D．{3,4,5} [答案] B[解析]如图所示f(x1)x1＝f(x2)x2＝…＝f(x n)x n.可以看作点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，…，(x n，f(x n))与原点(0,0)连线的斜率．对于l1，l2，l3满足条件的x分别有2个、3个、4个，故选B.2．(文)(2014·宁都一中月考)已知a>b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图像如图所示，则函数g(x)＝log a(x＋b)的图像可能为()[答案] B[解析] 由函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图像可知，a >1,0<b <1，所以排除A ，D ；函数g (x )的图像是由函数u (x )＝log a x 的图像向左平移b 个单位得到的，故选B.(理)(2014·南丰调研)我们定义若函数f (x )为D 上的凹函数须满足以下两条规则：(1)函数在区间D 上的任何取值有意义；(2)对于区间D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf (x 1＋x 2＋…＋x n n )，那么下列四个图像中在[0，π2]上满足凹函数定义的是( )[答案] A[解析] 要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D ，在A ，B ，C 这三个选项中可以考虑特殊值法．取x 1＝0，x 2＝π2，则显然选项B ，C 不满足f (x 1)＋f (x 2)≥2f (x 1＋x 22)，故选A.二、填空题3．(文)函数y ＝f (x )(x ∈[－2,2])的图像如图所示，则f (x )＋f (－x )＝________.[答案] 0[解析] 由图像可知f (x )为定义域上的奇函数．∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.(理)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 [解析] 如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，由图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >14a －14<1，解得1<a <54.4．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝________.[答案] 3[解析]由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2014)＋f(2015)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2014)＋f(2015)＝1＋2＝3.三、解答题5．(文)已知函数f(x)＝2x－a2x，将y＝f(x)的图像向右平移两个单位，得到y＝g(x)的图像．(1)求函数y＝g(x)的解析式；(2)若函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝1对称，求函数y＝h(x)的解析式．[解析](1)由题设，g(x)＝f(x－2)＝2x－2－a2x－2.(2)设(x，y)在y＝h(x)的图像上，(x1，y1)在y＝g(x)的图像上，则⎩⎨⎧ x 1＝x ，y 1＝2－y ，∴2－y ＝g (x )，y ＝2－g (x )，即h (x )＝2－2x －2＋a2x －2.(理)设函数f (x )＝x ＋1x 的图像为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．[解析] (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y ，得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．6．(2014·南昌模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称；(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．[解析](1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图像上任一点，则y0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图像上，所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，所以f(－x)＝－2x－1.又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，－2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋7，x ∈[－4，－2]－2x －1，x ∈[－2，0].。
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第二章 函数与基本初等函数 2-5
提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零， 否则不能用性质来运算． (2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式 表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指 数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂， 也不能既有分母又有负分数指数幂．
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
函数与基本初等函数
第二章
第五节 指数与指数函数
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
高考目标导航
考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握 幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型.
课前自主导学
知 识 梳 理 1.根式 (1)根式的概念
根式的概念 如果存在实数 x， 使得________那 么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根 是一个________，负数的 n 次方 根是一个________ 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根 有________，它们互为________.
基 础 自 测 aπ 1.若点(a,9)在函数 y＝3 的图像上，则 tan 6 的值为(
x
)
A．0 C. 1
3 B. 3 D. 3[答案]Fra bibliotekD[解析]
由题意有 3a＝9，则 a＝2，
aπ π ∴tan 6 ＝tan3＝ 3.
2．(2014· 郴州五校联考)函数 f(x)＝2|x 1|的图像是(
－
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第二章 函数与基本初等函数 2-6
(2)对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1
图像
a>1 ①定义域：______ ①值域：______ 性质
0<a<1
③过点________，即 x＝____时，y＝______ ④当 x>1 时，______ 当 0<x<1 时，______ ④当 x>1 时，______ 当 0<x<1 时，______
4．(文)如果 log1 x<log1 y<0，那么(
2 2
)
A．y<x<1 C．1<x<y
B．x<y<1 D．1<y<x
[答案] D
[解析] 性．
本题主要考查对数的基本性质， 利用函数的单调
log1 x<log1 y<0＝log1 1，因为函数 y＝log1 x 是单调减函
2 2 2 2
数，所以 1<y<x.
课前自主导学
知 识 梳 理 1.对数的概念与性质 如果____________， 那么数 b 叫做以 a 对数的定义 为底 N 的对数，记作________，其中 ________ 叫做对数的底数， ________ 叫做真数．
(1)________没有对数． (2)loga1＝________(a>0，且 a≠1)． 对数的性质 (3)logaa＝________(a>0，且 a≠1)． (4)alogaN＝________(a>0，且 a≠1， N>0).
(理)已知 a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9 则 a，b，c 的大小关系是( A．a<b<c C．b<a<c
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第二章 函数与基本初等函数 2-4
3.若二次函数 y＝f(x)恒满足 f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对 称轴为______． 4．幂函数概念 形如________的函数称为幂函数，其中 x 是________，α 为______．
5．幂函数的图像
1 1 (以 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝ ，y＝x 2 为例)． x
2
3
6．幂函数的图像和性质 (1) 所有的幂函数在 ______ 都有定义，并且图像都过点 ______． (2)α>0 时， 幂函数的图像通过原点， 并且在区间[0， ＋∞) 上是______．
7．5 个具体幂函数的性质
[答案]
1.(1)ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)
(2)a(x － h)2 ＋ k(a≠0)
(3)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
4ac－b2 2. ，＋∞ 4a b x∈－∞，－2a b x∈－∞，－2a
(3)α<0 时幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是______．在 第一象限内， 当 x 从右边趋向于原点时， 图像在 y 轴右方无限 地逼近______， 当 x 趋于＋∞时， 图像在 x 轴上方无限地逼近 ______． (4)当 α 为奇数时，幂函数为______；当 α 为偶数时，幂 函数为______．
课前自主导学
知 识 梳 理 1.二次函数的解析式 (1)一般式：f(x)＝______________； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式 为：f(x)＝______________； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为 x1，x2，则其 解析式为 f(x)＝______________.
[答案] A
[解析] 本题考查二次函数的对称轴．
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第二章 函数与基本初等函数 2-3
课前自主导学
知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 图像关于原点对称的函数叫作 ______．奇函数 f(x)满足 ______． 图像关于 y 轴对称的函数叫作______．偶函数 f(x)满足 ______． 当函数 f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有______．
2．周期函数的概念 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个______常数 T，使得当 x 取定义域内的______值时，都有____________，那么函数 f(x) 叫作周期函数，非零常数 T 叫 f(x)的______．如果所有的周期 中存在一个____________， 那么这个__________就叫 f(x)的最 小正周期． (2)周期函数______有最小正周期， 若 T≠0 是 f(x)的周期， 则 kT(k∈N＋)也一定是 f(x)的周期．
A．y＝－x3，x∈R C．y＝x，x∈R
[答案] A
[解析]
y＝sinx 在 R
1 上不单调，y＝2x 不是奇函数，
y＝x 为增函数，故 B、C、D 均错．
y＝x 为增函数，故 B、C、D 均错． (理)若函数 y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则 a 等于( A．－2 C．1
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函数与基本初等函数
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第三节 函数的奇偶性与周期性
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
高考目标导航
考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用 简单函数的周期性.
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第二章 函数与基本初等函数 2-8
4．下列函数图像与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求 零点的是( )
[答案] C
[ 解析]
用二分法求函数的零点，首先保证函数图像在
[a，b]上是连续不断的，故 A、D 不符合题意；然后，保证 f(a)· f(b)<0，故 B 不符合题意，因此选 C.
5． (北师版教材习题改编)已知函数 f(x)＝x2＋x＋a 在区间 (0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是________．
[答案]
1.(1)f(x)＝0 (2)x 轴 零点 (a，b) f(c)＝0 0 c
2．f(a)· f(b)<0
3．两个 1 个 2 1 4．f(a)· f(b)<0 ②f(a)· f(x1)<0
f(x1) ①f(x1)＝0 ③f(x1)· f(b)<0
基 础 自 测 1.若关于 x 的方程 x2＋mx＋1＝0 有两个不相等的实数根， 则实数 m 的取值范围是( A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
的图像，易得交点个数为 1 个．
3．(文)若函数 y＝f(x)在 R 上递增，则函数 y＝f(x)的零点 ( ) A．至少有一个 C．有且只有一个
[答案] B
B．至多＝f(x)在 R 上递增，当 f(x)与 x 轴相交
时，则有一个零点，当 f(x)不与 x 轴相交时，则没有零点．故 选 B.
[答案] (－2,0)
[解析]
f0<0 得 f1>0
函数 f(x)＝x2＋x＋a 在(0,1)上递增．由已知条件 ，解得－2<a<0.
a<0 ，即 a＋2>0
6．(文)用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考 数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003 f(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060
【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第二章 函数与基本初等函数2-1 Word版含解析
基础达标检测一、选择题1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] 本题考查了代入法求函数解析式．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件，故选C.代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(2013·重庆高考)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) [答案] C[解析] 本题考查函数的定义域．⎭⎪⎬⎪⎫x －2>0x －2≠1⇒x >2且x ≠3，故选C.(理)已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定[答案] B[解析] f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.3．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( )A ．y ＝|x |x 与y ＝1 B ．y ＝xx 与y ＝x 0C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x >1)1－x (x <1)D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1 [答案] B[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x ≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x ≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x <0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝log a a x ，g (x )＝a log a x (a >0，a ≠1) B ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝2x －1(x ∈R )，g (x )＝2x －1(x ∈Z )D ．f (x )＝x 2－4x －2，g (t )＝t 2－4t －2[答案] D[解析] 选项A 、B 、C 中函数的定义域不同．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识．当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4或2，选B.5．(2013·全国大纲)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12) C ．(－1,0) D ．(12，1)[答案] B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0)∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.6．在给定的映射f ：(x ，y )→(2x ＋y ，xy )(x ，y ∈R )作用下，点(16，－16)的原像是( )A ．(16，－136)B ．(13，－12)或(－14，23)C ．(136，－16)D ．(12，－13)或(－23，14) [答案] B[解析]由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝16xy ＝－16解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23故选B.二、填空题7．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案] (0，6][解析] 本题考查函数定义域的求法，此题应该让被开方数大于或等于零．由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤12，∴log 6x ≤log 6 6. ∴0<x ≤6，∴函数的定义域为(0，6]．求函数的定义域要根据函数的解析式的不同表达形式分别对待，另外此题易错点为对数的真数x >0.8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.[答案]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1≤x ≤2[解析] 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，(1，32)和(1，32)，(2,0)分别代入求解⎩⎨⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝3.9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为x )]>g [f (x )]的x 的值是________．[答案] 2 2[解析] f [g (1)]＝f (3)＝2.故f [g (x )]>g [f (x )]三、解答题10．已知扇形周长为10cm ，求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系S ＝f (r )，并确定其定义域．[解析] 设弧长为l ，则l ＝10－2r ， 所以S ＝12lr ＝(5－r )r ＝－r 2＋5r . 由⎩⎪⎨⎪⎧r >0，l >0，l <2πr得5π＋1<r <5. ∴S ＝f (r )＝－r 2＋5r ，其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋1，5.能力强化训练一、选择题1．(文)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23， f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] 本题考查了分段函数与函数值的求解．f (10)＝lg10＝1，f (1)＝1＋1＝2，故选B ，分段函数是由于定义域的不同引起函数的表达式不同，它是一个函数，解分段函数问题要注意函数的定义域与解析式的对应．2．(改编题)设f (x )＝1＋x1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2015(x )＝( )A.1＋x 1－xB.x －1x ＋1 C ．x D ．－1x[答案] B[解析] 由已知条件得到f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1(x )1－f 1(x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2(x )1－f 2(x )＝1－1x1＋1x ＝x －1x ＋1， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3(x )1－f 3(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x1－x，易知f n (x )是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3， 所以f 2015(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1.二、填空题3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[答案] －x (x ＋1)2[解析] 本题主要考查了求函数解析式． ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1 ∴f (x )＝f (x ＋1)2＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－(x ＋1)2·x .4．(文)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④[解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．(理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域：(1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 12(x 2－1)；(3)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎨⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎥⎤3π2，5.(2)由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1， ∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2}． (3)由1－1x >0，得x >1或x <0， ∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[解析] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x . ∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1λ＋1，高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网（河北、湖北、辽宁、安徽、重庆）五地区 试卷投稿QQ 2355394696则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。
走向高考一轮课后强化作业北师大：第二章 函数与基本初等函数26 含解析
基础达标检测一、选择题1．(文)函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D[答案] C[解析] 考查对数函数的图像． (理)函数f (x )＝2|log 2x |的图像大致是( )[答案] C[解析]∵f (x )＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1，∴选C.2．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)[答案] B[解析] f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，要使f (x 2)＋f (2x )有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，－2<x 2<2，－2<2x <2，解得－4<x <－1或1<x <4，故B 正确．3．(2013·陕西高考)设a ，b ，c 为均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c [答案] B[解析] 本题考查对数的运算法则，运算性质．由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg blg c ＝log c b ，B 正确．4．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A ．(1a ，b ) B ．(10a,1－b ) C ．(10a ，b ＋1) D ．(a 2,2b )[答案] D[解析] 该题考查对数的运算性质，将横坐标看成自变量，看函数值是不是纵坐标，假设是，则点在图像上，若不是，则点不在图像上．由题意知b ＝lg a ，对于A 选项，lg 1a ＝－lg a ＝－b ≠b ， 对B 选项lg(10a )＝1＋lg a ＝1＋b ≠1－b . 对C 选项lg 10a ＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1， 对D ，lg a 2＝2lg a ＝2b ，故(a 2,2b )在图像上．5．已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)若当x ∈(－1,0)时，f (x )<0，则f (x )是( )A ．增函数B ．减函数C ．常数函数D ．不单调的函数[答案] A[解析] 由于x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，所以a >1，因而f (x )在(－1，＋∞)上是增函数．6．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)且a >b >c >0，则f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 的大小关系是( )A.f (a )a >f (b )b >f (c )cB.f (c )c >f (b )b >f (a )aC.f (b )b >f (a )a >f (c )cD.f (a )a >f (c )c >f (b )b[答案] B[解析] ∵f (a )a 、f (b )b 、f (c )c 可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图像及a>b>c>0可知f(c) c>f(b)b>f(a)a.故选B.二、填空题7．(2013·四川高考)lg5＋lg20的值是________．[答案] 1[解析]本题考查对数的运算．lg5＋lg20＝lg512＋lg2012＝12lg5＋12lg20＝12(lg5＋lg20)＝12lg100＝1.8．(文)方程log2(x2＋x)＝log2(2x＋2)的解是________．[答案]x＝2[解析]原方程⇔⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x>0，2x＋2>0，x2＋x＝2x＋2，解得x＝2.(理)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．[答案] 5[解析]log2(x－1)＝2－log2(x＋1)⇔log2(x－1)＝log24x＋1，即x－1＝4x＋1，解得x＝±5(负值舍去)，所以x＝ 5.9．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．[答案](－∞，0)[解析](等价转化法)令u＝x2－2x，则y＝log3u.∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x >0的单调减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是(－∞，0)． 三、解答题10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎨⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且 f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}.能力强化训练一、选择题1．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f (lg 12)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] D[解析] 本题主要考查函数的性质与换底公式． ∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1 ＝－ln(1＋9x 2＋3x )＋1，f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2， 又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f (lg 12)＝2，故选D.2．(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4[答案] B[解析] ∵y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调， ∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.(理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案] D[解析] 本小题主要考查了对数、指数的性质的运用． ∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e － 12＝1e且e<2<log 25 ∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D. 二、填空题3．(改编题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，3x ，x <0，则满足f (a )<13的a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(0，33)[解析]⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 3a <13，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3a <13，解得0<a <33或a <－1.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．[答案] {x |－1<x ≤0或x >2}[解析] 当x ≤0时，由3x ＋1>1，得x ＋1>0，即x >－1. ∴－1<x ≤0.当x >0时，由log 2x >1，得x >2. ∴x 的取值范围是{x |－1<x ≤0或x >2}． 三、解答题5．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是x 的减少的，若存在，求a 的取值范围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值范围的制约．[解析] ∵a >0，且a ≠1， ∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减少的，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时， u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >12－a >0 即1<a <2.∴a 的取值范围是(1,2)．6．(文)已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式； (2)求f (log 1224)的值．[解析] (1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]， ∴f (－x )＝2－x －1.又∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝f (－x )＝2－x －1，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1.(2)∵log 1224＝－log 224∈(－5，－4)，∴log 1224＋4∈(－1,0)，∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (log 1224)＝f (log 1224＋4)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 1224＋4＋1＝－24×116＋1＝－12.(理)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)． [解析] (1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a (log 2a －1)＝0.∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2. 故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧(log 2x )2－log 2x ＋2>2，log 2(x 2－x ＋2)<2⇒⎩⎨⎧x >2或0<x <1，－1<x <2⇒0<x <1.∴x 的取值范围为(0,1)．。
走向高考一轮课后强化作业北师大：第二章 函数与基本初等函数28 含解析
基础达标检测一、选择题1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为()A．a<－1 B．a>1C．－1<a<1 D．0≤a<1[答案] B[解析]f(x)＝2ax2－x－1，∵f(0)＝－1<0f(1)＝2a－2，∴由f(1)>0得a>1.故选B.2．(文)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根[答案] C[解析]本题考查了方程、函数图像、性质．可用数形结合解决．画出函数图像，易知有两个交点，即|x|＝cos x有两个根．(理)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧lg x (x >0)，－1x (x <0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10[答案] C[解析] 如图所示，因为函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为方程f (x )－g (x )＝0根的个数，即函数f (x )和g (x )图像交点的个数，所以画出图像可知有8个交点，故选C.3．函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为( ) A ．1,2 B ．±1，－2 C ．1，－2 D ．±1,2[答案] C[解析] 由f (x )＝x 3－3x ＋2＝0得x 3－x －(2x －2)＝0，∴(x －1)(x 2＋x －2)＝0，∴(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x ＝1或x ＝－2，选C.4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[答案] A[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f (x )是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．5．(2013·重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 [答案] A[解析] 因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0[答案] B [解析]由f (x )＝0得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎨⎧x >0，－2＋ln x ＝0，解得x ＝－3，或x ＝e 2. 因此函数f (x )共有两个零点． 二、填空题7．已知方程x 2＋(a －1)x ＋(a －2)＝0的根一个比1大，另一个比1小，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，1)[解析] 函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋(a －2)的大致图像如图所示，于是有f (1)<0，即1＋(a －1)＋(a －2)<0，解得a <1.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，，则函数f (x )的零点为________．[答案] 0[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12， 又因为x >1，所以此时方程无解． 综上函数f (x )的零点只有0.9．(文)若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．[答案] 0，－12[解析] 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax (x ＋12)，则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12.(理)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1[解析] 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，即方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根是－2和3.因此⎩⎨⎧－2＋3＝－a ，－2·3＝b ，解得a ＝－1，b ＝－6，故f (x )＝x 2－x －6.所以不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0， 解得－32<x <1. 三、解答题10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥00≤－m －12≤2f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0－3≤m ≤14＋(m －1)×2＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3≤m ≤1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.能力强化训练一、选择题1．(2013·天津高考)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 本题考查了绝对值的意义、指数函数、对数函数的图像与性质、函数的零点等知识．函数f (x )的零点个数，即方程f (x )＝0的实数根个数，令f(x)＝0得，2x|log0.5x|＝1，∴|log12x|＝(12)x，令g(x)＝(12)x，h(x)＝|log12x|，在同一坐标系中画出两函数的图像易知有两个交点，故f(x)有两个零点．2．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a<b)，m，n是f(x)的零点，且m<n，则实数a，b，m，n的大小关系是()A．m<a<b<n B．a<m<n<bC．a<m<b<n D．m<a<n<b[答案] A[解析]本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A.二、填空题3．(文)(2014·西安五校联考)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪{1}[解析] 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点， 若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)<0，即m <0.(理)已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，2ln2－2][解析] 本题考查了用函数与方程的思想方法来对题目进行转化变形的能力．函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，也就是a ＝－e x ＋2x 有解，令g (x )＝－e x ＋2x ，g(x)的值域就是a的取值范围．∵g′(x)＝－e x＋2＝0的根为x＝ln2，且当x∈(－∞，ln2)时，g′(x)>0，g(x)是增函数，当x∈(ln2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数，∴g(x)max＝g(ln2)＝2ln2－2，∴a的取值范围是(－∞，2ln2－2]．4．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．[答案]7[解析]设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n>100，由26＝64,27＝128知n＝7.三、解答题5．(2014·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．[分析]由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．[解析]∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ>0时，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.[点评]方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．6．(文)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．[解析](1)f(x)＝x2－x－3，因为x0为不动点，因此有f(x0)＝x20－x0－3＝x0，所以x0＝－1或x0＝3.所以3和－1为f(x)的不动点．(2)因为f(x)恒有两个不动点，f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，ax 2＋bx ＋(b －1)＝0，由题设知b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0.所以0<a <1.(理)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．[解析] ∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1.②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65，令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解之得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a<－1或a>1.5。
高三数学一轮(北师大版)第二章 函数与基本初等函数：教案+基础达标+专题整合+阶段测试卷第2章 第4节
第二章 第四节一、选择题1．(文)函数y ＝x 13 的图像是( )[答案] B[解析] 本题考查幂函数图像．当x >1时x 13 <x ，排除C 、D ， 当0<x <1时x 13 >x ，排除A ．(理)如图所示函数图像中，表示y ＝x 23 的是( )[答案] D[解析] 因为23∈(0,1)，所以y ＝x 23 的图像在第一象限图像上凸，又函数y ＝x 23 是偶函数，故图像应为D ．2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0，b 2－4ac >0，∴图像开口向上，与y 轴的截距为负，且过(1,0)点． 3．(文)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 [答案] C[解析] 因为f (x )满足f (4)＝f (1)，所以二次函数对称轴为x ＝4＋12＝52，又3－52＝52－2，即x ＝3与x ＝2离对称轴的距离相等，所以f (3)＝f (2)．(理)若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )<0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．与m 有关[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，而－m ，m ＋1关于x ＝12对称，∴f (m ＋1)＝f (－m )<0，故选B ．4．已知某二次函数的图像与函数y ＝2x 2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2(x －1)2＋3B ．y ＝2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋3D ．y ＝－2(x ＋1)2＋3[答案] D[解析] 设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，由题意可知a ＝－2，h ＝1，k ＝3，故y ＝－2(x ＋1)2＋3.5．幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图像过点(2，14)，则f (x )的一个递减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0) [答案] B[解析] ∵图像过(2，14)，则14＝2α，∴α＝－2，∴f (x )＝x －2.由y ＝x －2图像可知f (x )的减区间是(0，＋∞)．6．若f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A ．(－12，14)B ．(－14，12)C ．(14，12)D ．[14，12][答案] C[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，解得14<m <12.二、填空题7．函数f (x )＝2x 2－6x ＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________． [答案] －3 9[解析] f (x )＝2(x －32)2－72.当x ＝1时，f (x )min ＝－3； 当x ＝－1时，f (x )max ＝9.8．(文)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________.[答案] 32[解析] f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，由幂函数f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，得α＝12，则k ＋α＝32.(理)已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图像上，点(－2，12)在幂函数y ＝g (x )的图像上，若f (x )＝g (x )，则x ＝______.[答案] ±1[解析] 由题意，设y ＝f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.9．(文)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. [答案] 6[解析] 二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为x ＝1，即－a ＋22＝1，所以a ＝－4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x ＝1也是对称的，所以a ＋b2＝1，∴b ＝6.(理)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[答案] [0,2][解析] 依题意知，函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且开口方向向上，f (0)＝f (2)，结合图像可知，不等式f (m )≤f (0)的解集是[0,2]．三、解答题10．如图，抛物线与直线y ＝k (x －4)都经过坐标轴的正半轴上A 、B 两点，该抛物线的对称轴x ＝－1与x 轴相交于点C ，且∠ABC ＝90°，求：(1)直线AB 对应函数的解析式；(2)抛物线的解析式．[解析] (1)由已知及图形得：A (4,0)，B (0，－4k )，C (－1,0)， 又∵∠CBA ＝∠BOC ＝90°，∴OB 2＝CO ·AO . ∴(－4k )2＝1×4，∴k ＝±12.又∵由图知k <0，∴k ＝－12.∴所求直线的解析式为y ＝－12x ＋2.(2)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋c ，2＝c ，－b 2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝－112，b ＝－1b，c ＝2.∴所求抛物线的解析式为y ＝－112x 2－16x ＋2.一、选择题1．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1 C ．m ＝2 D ．m ＝1或m ＝2[答案] D[解析] 由幂函数的定义，m 2－3m ＋3＝1，所以m ＝1或m ＝2.又图像不过原点，所以m 2－m －2≤0，解得－1≤m ≤2.综上，m ＝1或m ＝2.2．(文)函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，当cos x ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1,1]C ．(－∞，0]D ．[0,1][答案] D[解析] ∵函数y ＝(cos x －a )2＋1， 当cos x ＝a 时有最小值，∴－1≤a ≤1， ∵当cos x ＝－1时有最大值，∴a ≥0，∴0≤a ≤1.(理)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫32，3 B ．⎣⎡⎦⎤32，3 C ．[0,3] D ．⎣⎡⎭⎫32，3[答案] B[解析] f (x )＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，又f (0)＝－4. 由题意结合函数的图像可得⎩⎨⎧32≤m m －32≤32－0，解得32≤m ≤3.二、填空题3．(文)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________. [答案] 2[解析] ∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数， f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，∴b 2－2b ＋2＝b ， ∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝2或1(舍)．(理)已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．[答案] {1，－3}[解析] ∵f (x )＝kx 2－2kx ＝k (x －1)2－k ， (1)当k >0时，二次函数开口向上， 当x ＝3时，f (x )有最大值， f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1； (2)当k <0时，二次函数开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3. 故k 的取值集合为{1，－3}．4．(文)(2015·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1；③f 3(x )＝1－x ；④f 4(x )＝x 12，其中在D 上封闭的是________．(填序号即可)[答案] ②③④[解析] ∵f 1(13)＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭，经验证②③④均满足条件．(理)方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________． [答案] (2，52)[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增加的，∴1＋1<m <2＋12，即m ∈(2，52)．三、解答题5．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －A ． 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增加的，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，当a <0时，f (x )在[2,3]上为减少的，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2， g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4，∴m ≤2或m ≥6.6.(文)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．[解析] f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在． 综上可得，存在这样的实数a ，且a ＝－1.(理)(创新题)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， ∴f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，即f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3A ． ①由f (x )＋6a ＝0，得 ax 2－(2＋4a )＋9a ＝0. ②∵方程②有两个相等的根， ∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，故舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a . 由a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a >0，由⎩⎨⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。
高考一轮总复习课件(北师大版)：第二章 函数与基本初等函数-2
[方法总结] (1)对于二次函数型的一类问题常采用配方 法求值域．
(2)换元法是解决无理函数值域的最有效手段． 对于形如y＝ax＋b＋ cx＋d 的函数，令t＝ cx＋d ，使 之变形为二次函数，对于含 a2－x2结构的函数，可利用三角 代换，令x＝acosθ，θ∈[0，π]，或令x＝asinθ，θ∈ －2π，π2 转化为三角函数．
(3)利用复合函数关系判断单调性． 法则是“________”，即两个简单函数的单调性相同，则这 两个函数的复合函数为________，若两个简单函数的单调性 相反，则这两个函数的复合函数为________． (4)图像法． (5)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有______的单 调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有______的单 调性．
2．(文)函数 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，
则( )
A．k>12
B．k<12
C．k>－12
D．k<－12
[答案] D
[解析] 使 y＝(2k＋1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数， 则 2k＋1<0，即 k<－12.
(理)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
2
位得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题 意；③中的函数图像是由函数 y＝x－1 的图像保留 x 轴上方的 部分，下方的图像翻折到 x 轴上方得到的，由其图像可知函 数在(0,1)上单调递减；④中的函数为指数函数，其底数大于 1， 故其在 R 上单调递增，不符合题意．综上可知选 B.
增函数
减函数
图
像
描
述
自左向右看图像是
__________
自左向右看图像是 ________
2-6走向高考数学章节 共51页
配 北 师 大
∴23x＝2，∴x＝3.
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Байду номын сангаас
第二章 函数与基本初等函数
·( )
版《
走
向
高
考
[例 2] 求下列函数的定义域和值域．
》 高
考
(1)y＝23－|x＋1|；(2)y＝2x2＋x 1；(3)y＝2 －x2－3x＋4.
总 复 习 数
学
[分析] 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的定义域为R，所
当 n 为偶数时，n an＝|a|＝
a －a
a≥0 a<0
.
复 习 数 学
配
⑤负数没有偶次方根．
北
师
大
⑥零的任何次方根都是零．
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第二章 函数与基本初等函数
2．有理数指数幂
版《
·( )
(1)分数指数幂的表示
走 向
高
考
①正数的正分数指数幂是
》
高
考
m
an＝
n am
(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
考 总 复 习
(2)56a13b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12× ab；
数 学 配 北
师
大
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第二章 函数与基本初等函数
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运
版《
·( )
算性质进行运算．
走
向
高
考
[解析] (1)原式＝102070－13－72＋29512－1
走 向
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基础达标检测一、选择题1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] 本题考查了代入法求函数解析式．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件，故选C.代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(2013·重庆高考)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) [答案] C[解析] 本题考查函数的定义域．⎭⎪⎬⎪⎫x －2>0x －2≠1⇒x >2且x ≠3，故选C.(理)已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定[答案] B[解析] f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.3．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( )A ．y ＝|x |x 与y ＝1 B ．y ＝xx 与y ＝x 0C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x >1)1－x (x <1)D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1 [答案] B[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x ≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x ≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x <0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝log a a x ，g (x )＝a log a x (a >0，a ≠1) B ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝2x －1(x ∈R )，g (x )＝2x －1(x ∈Z )D ．f (x )＝x 2－4x －2，g (t )＝t 2－4t －2[答案] D[解析] 选项A 、B 、C 中函数的定义域不同．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识．当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4或2，选B.5．(2013·全国大纲)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12) C ．(－1,0) D ．(12，1)[答案] B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0)∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.6．在给定的映射f ：(x ，y )→(2x ＋y ，xy )(x ，y ∈R )作用下，点(16，－16)的原像是( )A ．(16，－136)B ．(13，－12)或(－14，23)C ．(136，－16)D ．(12，－13)或(－23，14) [答案] B[解析]由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝16xy ＝－16解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23故选B.二、填空题7．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案] (0，6][解析] 本题考查函数定义域的求法，此题应该让被开方数大于或等于零．由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤12，∴log 6x ≤log 6 6. ∴0<x ≤6，∴函数的定义域为(0，6]．求函数的定义域要根据函数的解析式的不同表达形式分别对待，另外此题易错点为对数的真数x >0.8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.[答案]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1≤x ≤2[解析] 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，(1，32)和(1，32)，(2,0)分别代入求解⎩⎨⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝3.9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为x )]>g [f (x )]的x 的值是________．[答案] 2 2[解析] f [g (1)]＝f (3)＝2.故f [g (x )]>g [f (x )]三、解答题10．已知扇形周长为10cm ，求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系S ＝f (r )，并确定其定义域．[解析] 设弧长为l ，则l ＝10－2r ， 所以S ＝12lr ＝(5－r )r ＝－r 2＋5r . 由⎩⎪⎨⎪⎧r >0，l >0，l <2πr得5π＋1<r <5. ∴S ＝f (r )＝－r 2＋5r ，其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋1，5. 能力强化训练一、选择题1．(文)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23， f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] 本题考查了分段函数与函数值的求解．f (10)＝lg10＝1，f (1)＝1＋1＝2，故选B ，分段函数是由于定义域的不同引起函数的表达式不同，它是一个函数，解分段函数问题要注意函数的定义域与解析式的对应．2．(改编题)设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2015(x )＝( )A.1＋x 1－xB.x －1x ＋1 C ．x D ．－1x[答案] B[解析] 由已知条件得到f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1(x )1－f 1(x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2(x )1－f 2(x )＝1－1x1＋1x ＝x －1x ＋1， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3(x )1－f 3(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x1－x， 易知f n (x )是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3， 所以f 2015(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1.二、填空题3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[答案] －x (x ＋1)2[解析] 本题主要考查了求函数解析式． ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1 ∴f (x )＝f (x ＋1)2＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－(x ＋1)2·x .4．(文)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④[解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．(理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 12(x 2－1)；(3)y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎨⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5. (2)由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1，∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2}． (3)由1－1x >0，得x >1或x <0， ∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[解析] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1， 即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x . ∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。