九年级数学利用列表法估算一元二次方程解的取值范围2

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一元二次方程求解教法解析

一元二次方程讲解与解析一元二次方程一元：代表未知数的个数，这里指的是只含有一个未知数；次：代表次数，这里指次数为2。

第一节一元二次方程的概念：知识点1一元一次方程的概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

了解：只有同时满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。

这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任意一条件都不是一元二次方程。

一元二次方程的一般式为：ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²为二次项，bx为一次项，c为常数项。

a为二次项的系数，b为一次项的系数。

尽可能在正常情况下将右边的数值移动到左边，使右边的数值为0。

【总结】上面的方程都只含有一个未知数x的整式方程并且都可以化成ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

我们吧ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。

例子：4x²+5x-1=0（一般形式）。

4x²为二次项，5x为一次项，-1为常数项。

4为二次项系数，5为一次项系数。

随堂练习：1.根据题意列方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长。

解：设直角三角形的三边长为x，x+1，x+2。

x²+(x+1)²=(x+2)²（只需要列车方程到这步即可）x²-2x-3 =0x²-2x+1²=3+1²(x-1)²=4x-1=±2习题2.1知识技能1.根据题意，列方程：（1）有一个面积为54㎡的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的变长是多少？解：设这个正方形的边长是x m(x>0)。

利用列表法估算一元二次方程解的取值范围最新版

(2)通过以上探索，你能估计出 x 的整数部分为____3____，十分位为____3____．
用列表法估算一元二次方程的解的取值范围【例题】为了绿化学校校园，需将草皮移植到操场，若矩形操场的长比宽多 14 m，而操场的面积是 3 300 m2，求绿化后操场的宽的取值范围(精确到 0.1)．思路点拨：列表 → 逐步缩小取值范围
x
50 50.7 50.8 50.9 51
x2＋14x－3 300 －100 －19.71 －8.16 3.41 15
所以操场的宽的取值范围为 50.8 m<x<50.9 m. 【规律总结】通过解决实际问题，探索了一元二次方程的
解或近似解，并了解近似计算的重要思想——“夹逼”思想．
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方

北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程教学案

学科讲义·初三数学上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。

3.体会方程的模型思想。

（难点）知识点1：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

知识点解析学科讲义·初三数学数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

认识一元二次方程北师大版九年级数学上册

符合要求的范围．
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意；不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意；不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式，并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？（3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75

九年级数学下册 2.5.2 二次函数与一元二次方程教案北师大版(2021学年)

九年级数学下册２．５.2 二次函数与一元二次方程教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册２.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版的全部内容。

课题：2。

5．2二次函数与一元二次方程教学目标:1.复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解.2.让学生体验一元二次方程ax2+bx+c＝h的根就是二次函数y=ax2+ｂx＋ｃ与直线y=h （h是实数)图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c =h的近似根.３.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想。

教学重点与难点:重点：1。

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程。

难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算。

教学过程:一、复习回顾，开辟道路二次函数ｙ=ａx２+ｂx＋ｃ的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程aｘ2+ｂx+c＝0的根有什么关系?1.若方程ax2+bｘ+c＝0的根为ｘ1=-2和x2=3,则二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2．抛物线ｙ=０。

5ｘ２—x+3与x轴的交点情况是（)A 、两个交点B 、一个交点Ｃ、没有交点 D 、画出图象后才能说明3.不画图象,求抛物线y ＝x ２—x -６与x 轴交点坐标．处理方式:以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题,在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定,不足之处给予纠正.设计意图:这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1)(2）是对上节课知识内容的复习,考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。

新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案

新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案(总21页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第二章一元二次方程认识一元二次方程-（1）晋公庙中学数学组学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力 3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程什么是二元一次方程二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m 。

苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。

你能将方程化成ax 2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48，回答问题： 1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项2、合作交流：1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m 2，那么花边有多宽?列方程并化成一般形式。

2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

如果设中间的一个数为x ，列方程并化成一般形式。

3）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。

如果设梯子底端滑动x m ，列方程并化成一般形式。

2.知识梳理：1）一元二次方程的概念：强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.8一元二次方程的一般形式：在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．2）几种不同的表示形式：①ax 2+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ② ___________ (a ≠0,b ≠0,c=0) ③____________ (a ≠0,b=0,c ≠0) ④___________ (a ≠0,b=0,c=0) 三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2

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典例导学一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，运动员必须在距水面 5 m
以上完成规定动作，否则容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和距离水面高度 h(m)满足：h＝10＋3t－5t2，那么他最多有多长时间完成规定动作？(精确到 0.1 s) 【思路分析】先把函数关系转化成一元二次方程，并把方程化成一元二次方程的一般形式．结合实际问题在 t 的取值范围内列表，采用“夹逼” 的方法求 t 的近似值．
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17．如图，现有篱笆长 11 m，一面靠墙，要建一个矩形养鸡场．
(1)设宽为 xm，则长为((1111－－22xx)) m，面积为((－－22xx22＋＋1111xx) )m2；
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(2)填写下列表格：
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14．一元二次方程(a＋1)x2＋ax＋1－a2＝0 的一个根为 0，求 a 的值． a＋1≠0，
解：由题意，得1－a2＝0， ∴a＝1.
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15．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为 1，且 a，b 满足等式 b＝ a－3＋ 3－a＋3，求 c 的值．
＝2 的根是
（D ）
x

人教版九年级数学教案-一元二次方程的解及其估算(1)

第2課時一元二次方程的解及其估算1．經歷一元二次方程的解或近似解的探索過程，增進對方程解的認識；(重點)2．會用“夾逼法”估算方程的解，培養學生的估算意識和能力．(難點)一、情景導入在上一課時情境導入中，苗圃的寬滿足方程x(x＋2)＝120，你能求出該方程的解嗎？二、合作探究探究點一：一元二次方程的解下列哪些數是方程x2－6x＋8＝0的根？0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分別代入方程x2－6x＋8＝0中，發現當x＝2和x＝4時，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．方法總結：(1)使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．(2)判斷一個數是否為某個一元二次方程的根，我們只需要將這個數當作未知數的值分別代入原方程的左右兩邊，看左右兩邊代數式的值是否相等，若相等，則這個數是一元二次方程的根；若不相等，則這個數不是一元二次方程的根．探究點二：估算一元二次方程的近似解請求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正數根(精確到0.1)．解析：先列表取值，初步確定正數根x在哪兩個整數之間，然後再用類似的方法逐步確定出x的近似正數根．解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…x 0123…x2－2x－－1－2－12…1由上表可發現，當2＜x＜3時，－1＜x2－2x－1＜2；(2)繼續列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5…x2－2x－－0.79－0.56－0.31－0.040.25…1由上表可發現，當2.4＜x＜2.5時，－0.04＜x2－2x－1＜0.25；(3)取x＝2.45，則x2－2x－1≈0.1025.∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.方法總結：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值範圍的步驟是：首先列表，利用未知數的取值，根據一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)分別計算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等於0的未知數的大致取值範圍，然後再進一步在這個範圍內取值，逐步縮小範圍，直到所要求的精確度為止．(2)在估計一元二次方程根的取值範圍時，當ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正變負或由負變正時，x的取值範圍很重要，因為只有在這個範圍內，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．三、板書設計一元二次方程的解的估算，採用“夾逼法”：(1)先根據實際問題確定其解的大致範圍；(2)再通過列表，具體計算，進行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解．“估算”在求解實際生活中一些較為複雜的方程時應用廣泛．在本節課中讓學生體會用“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法．教學設計上，強調自主學習，注重合作交流，在探究過程中獲得數學活動的經驗，提高探究、發現和創新的能力.。

第2课时一元二次方程根的估算

=-1+a+ =

=

=

=2 020.

第2课时一元二次方程根的估算
1.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b等于(
A
A.-2
B.-3
C.-1
)
D.-6
2.关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+m2-m=0有一个根是1,则m的值是(
A
A.-2
B.2
C.0
)
D.±2
3.(2021招远模拟)由下表估算一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围,正确的是(B )
x
…
-4
-2
-1
0
1
ax2+bx+
…
6
-4
-6
-6
-4
c
估计一元二次方程ax2+bx+c=0的两个整数解分别是 x1=-3,x2=2.
3
…
6
…
7.“一块矩形铁片,面积为1 m2,长比宽多 3 m,求铁片的长.”小明在做这道题时,是这样考虑的:设
铁片的长为x m,列出方程为x(x-3)=1,整理得x2-3x-1=0,小明列出方程后,想知道铁片的长到底是

2
,其中 a 满足方程 a +4a+1=0.
(+)(-)
]÷

·
(+)(-) (+)(-)
∵a 满足方程 a +4a+1=0,
2
(+)
-
(+)(-) (+)(-)

·

九年级数学上册21.3 用一元二次方程解决实际问题

（6）答：就是写出答案，其中在书写时还要注意不要漏写单位名称．
2．对于“增长率”问题，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与一般性的增加和减少相混淆．
（二）几何中面积、长度问题
例2 如图所示，一架长为10 m的梯子斜
靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离 A
为8 m，如果梯子的顶端沿墙面下滑2 m，A’ 那么梯子的底端在地面上滑动的距离是多少？
答：梯子的底端在地面上滑动的距离是 2 m．
B
B’
例 3 在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为 540 m 2，道路的宽应为多少？
分析：如图所示，此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于 540元二次方程
用一元二次方程解决实际问题人教版·九年级上册
【常见类型】
列一元二次方程解决实际问题的常见类型有以下几种（1）增长率问题（2）几何中面积、长度问题（3）假设存在问题（4）排列组合问题（5）销售问题
（一）增长率问题
例1 某市为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解得，x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）．（以下步骤同解法一）
20米
32米
小结 1．解法二和解法一相比更简单，它利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，可以使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
2．有些同学在列方程解应用题时，往往看到正解就保留，看到负解就舍去．其实，即使是正解也要根据题设条件进行检验，该舍就舍．此题一定要注意原矩形“宽为20 m、长为32 m”这个条件，从而进行正确取舍．

中考专题复习二次函数求有关参数取值范围教案

课程主题二次函数求有关参数取值范围学习目标1．深入理解二次函数的性质，掌握数型结合的解题思想。

教学内容1．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x …﹣3 ﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中，m=．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．【解答】解：（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，即m=0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．【例题精讲】例1：（2016•三明）如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2过点C（﹣1，﹣2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得y P的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；（2）当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．例2：（2016•厦门）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=﹣4x+m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e，f）（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；（2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为y=﹣x2+px+q，过点A与点（1，2），且m﹣q=25，在平移过程中，若抛物线y=﹣x2+bx+c向下平移了S（S＞0）个单位长度，求S的取值范围．【分析】（1）根据点B的坐标可求出m的值，写出一次函数的解析式，并求出点A的坐标，最后利用点A、B两点的坐标求抛物线的解析式；（2）根据题意列方程组求出p、q、m、n的值，计算抛物线与直线最上和最下满足条件的解析式，并计算其顶点坐标，向下平移的距离主要看顶点坐标的纵坐标之差即可．【解答】解：（1）∵直线y=﹣4x+m过点B（3，9），∴9=﹣4×3+m，解得：m=21，∴直线的解析式为y=﹣4x+21，∵点A（5，n）在直线y=﹣4x+21上，∴n=﹣4×5+21=1，∴点A（5，1），将点A（5，1）、B（3，9）代入y=﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+6；（2）由抛物线y=﹣x2+px+q与直线y=﹣4x+m相交于A（5，n）点，得：﹣25+5p+q=n①，﹣20+m=n②，y=﹣x2+px+q过（1，2）得：﹣1+p+q=2③，则有解得：∴平移后的抛物线为y=﹣x2+6x﹣3，一次函数的解析式为：y=﹣4x+22，A（5，2），∵当抛物线在平移的过程中，a不变，∵抛物线与直线有两个交点，如图所示，抛物线与直线一定交于点A，所以当抛物线过点C以及抛物线在点A处与直线相切时，只有一个交点介于点A、C之间，①当抛物线y=﹣x2+bx+c过A（5，2）、C（0，22）时，得c=22，b=1，抛物线解析式为：y=﹣x2+x+22，顶点（，）；②当抛物线y=﹣x2+bx+c在点A处与直线相切时，，﹣x2+bx+c=﹣4x+22，﹣x2+（b+4）x﹣22+c=0，△=（b+4）2﹣4×（﹣1）×（﹣22+c）=0①，∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（5，2），﹣25+5b+c=2，c=﹣5b+27，把c=﹣5b+27代入①式得：b2﹣12b+36=0，b1=b2=6，则c=﹣5×6+27=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+6x﹣3，y=﹣（x﹣3）2+6，顶点坐标为（3，6），﹣6=；则0＜S＜．【点评】本题考查了二次函数的图象和图形变换，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线平移后的形状不变，故a不变；平移的距离要看二次函数的顶点坐标，所以求抛物线平移的距离时，只考虑平移后的顶点坐标即可．例3：（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解答】解：（1）∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m=1，∴抛物线为y=x2﹣2x，令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m=，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m=，∴m的取值范围为＜m≤．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．课堂巩固1.（2017•长春）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．【分析】（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将然后将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【解答】解：（1）函数y=ax﹣3的相关函数为y=，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．（2）二次函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数为y=①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2﹣4x+得m2﹣4m+=，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．当m≥0时，将B（m，）代入y=﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣=，解得：m=2+或m=2﹣．综上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1．∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．课后作业1．（2016•河北）如图，抛物线L：y=﹣（x﹣t）（x﹣t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP=12，（1）求k值；（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．【分析】（1）设点P（x，y），只要求出xy即可解决问题．（2）先求出A、B坐标，再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题．（3）根据对称轴的位置即可判断，当对称轴在直线MP左侧，L的顶点就是最高点，当对称轴在MP右侧，L于MP的交点就是最高点．（4）画出图形求出C、D两点的纵坐标，利用方程即可解决问题．【解答】解：（1）设点P（x，y），则MP=y，由OA的中点为M可知OA=2x，代入OA•MP=12，得到2x•y=12，即xy=6．∴k=xy=6．（2）当t=1时，令y=0，0=﹣（x﹣1）（x+3），解得x=1或﹣3，∵点B在点A左边，∴B（﹣3，0），A（1，0）．∴AB=4，∵L是对称轴x=﹣1，且M为（，0），∴MP与L对称轴的距离为．（3）∵A（t，0），B（t﹣4，0），∴L的对称轴为x=t﹣2，又∵MP为x=，当t﹣2≤，即t≤4时，顶点（t﹣2，2）就是G的最高点．当t＞4时，L与MP的解得（，﹣t2+t）就是G的最高点．（4）结论：5或78+．理由：对双曲线，当4≤x0≤6时，1≤y0≤，即L与双曲线在C（4，），D（6，1）之间的一段有个交点．①由=﹣（4﹣t）（4﹣t+4）解得t=5或7．②由1=﹣（6﹣t）（6﹣t+4）解得t=8+和8﹣．随t的逐渐增加，L的位置随着A（t，0）向右平移，如图所示，当t=5时，L右侧过过点C．当t=8﹣＜7时，L右侧过点D，即5≤t．当8﹣＜t＜7时，L右侧离开了点D，而左侧未到达点C，即L与该段无交点，舍弃．当t=7时，L左侧过点C．当t=8+时，L左侧过点D，即7≤t≤8+．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平移等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图形信息解决问题，学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．2．（2017•济南）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC=DH=6，∵tan∠DAH==2，∴AH=3，∵OA=4，∴CD=OH=1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CPA=90°，∴PC2+PA2=AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解得m=3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y=﹣x+4，x=1时，y=3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m，∴m=3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．预习思考。

专题10二次函数与一元二次方程(3个知识点5种题型)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册

专题10二次函数与一元二次方程（3个知识点5种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系（重点）知识点2.二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数的判断（重点）知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）【方法二】实例探索法题型1.用列表法求一元二次方程的近似根题型2.二次函数与一次函数的综合应用题型3.函数与方程关系的综合应用题型4.阅读理解题题型5.探究题【方法三】成果评定法【学习目标】1.掌握二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系。

2.能根据二次函数与一元二次方程的关系确定二次函数与坐标轴的交点坐标。

3.能运用二次函数与一元二次方程之间的关系判断二次函数与x 轴的交点个数。

4.会利用二次函数的图象确定一元二次方程的根的近似值。

重点：二次函数与一元二次方程关系的理解。

难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。

【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系（重点）求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．【例1】．（2023•泰州）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是.（填一个值即可）【分析】根据根与系数的关系即可求解．【解答】解：设二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1、x2，即一元二次方程x2+3x+n＝0的根为x1、x2，由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣3，x1•x2＝n，∵二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，∴x1，x2为异号，∴n＜0，故答案为：﹣3（答案不唯一）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．【变式】．（2023•杜尔伯特县一模）|x2﹣3|＝a有四个解，则a的取值范围是．【分析】作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，于是得到结论．【解答】解：方程|x2﹣3|﹣a＝0⇔方程|x2﹣3|＝a，作函数y＝|x2﹣3|的图象，如图．由图象知直线y＝a与y＝|x2﹣3|的图象应有四个交点，当1＜a＜3时，有4个交点．故答案为：0＜a＜3．【点评】此题主要考查了函数图象与方程的解，根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决根的存在性及根的个数判断问题．知识点2.二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数的判断（重点）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程ax 2+bx +c ＝0根之间的关系．△＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．【例2】．（2023•郴州）已知抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴有且只有一个交点，则m ＝．【分析】利用判别式Δ＝b 2﹣4ac ＝0即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2﹣6x +m 与x 轴有且只有一个交点，∴方程x 2﹣6x +m ＝0有唯一解．即Δ＝b 2﹣4ac ＝36﹣4m ＝0，解得：m ＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点知识，明确Δ＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数是解题的关键．【变式】．（2023春•江都区月考）已知二次函数y ＝﹣x 2+x +6及一次函数y ＝﹣2x +m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y ＝﹣2x +m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是．【分析】如图，解方程﹣x2+x+6＝0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y＝﹣2x+m经过点A（﹣2，0）时，4+m＝0，解得m＝﹣4；当直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣2x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣＜m＜﹣4．故答案为：﹣＜m＜﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．知识点3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根（难点）利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．【例3】（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232？…关于此函数的图象和性质，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，函数图象从左到右上升B．抛物线开口向上C．方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间D．当x＝2时，y＝1【分析】根据表格数据求出顶点坐标，对称轴，开口方向，根据二次函数的性质即可判断A，B，；x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2即可判断C，D．【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1时的函数值相同，都是2，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，∴抛物线的顶点为（0，3），∴y＝3是函数的最大值，∴抛物线的开口向下，当x＞0时，y随x的增大而减小，即当x＞0时，函数图象从左到右下降，所以A错误，B错误；∵x＝﹣2时，y＝﹣1；x＝﹣1时，y＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2与﹣1之间，所以C正确，D错误．综上所述：其中正确的结论有C．故选：C．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．【方法二】实例探索法题型1.用列表法求一元二次方程的近似根3．（2022秋•嘉兴期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5m m﹣0.5m﹣2m﹣4.5…若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（）A．该函数图象开口向上B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方C．对称轴是直线x＝mD．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数过（﹣1．，m﹣2），（3，m﹣2），∴对称轴为直线x＝＝1，故C错误，不合题意；由表格可得，当x＞1时，y随x的值增大而减小，∴该函数开口向下，故选项A错误，不符合题意；∵图象过点（0，m﹣0.5），1＜m＜1.5，∴1﹣0.5＜m﹣0.5＜1.5﹣0.5，即0.5＜m﹣0.5＜1，∴该函数图象与y轴的交点在x轴的上方，故B错误，不合题意；由表中数据可知：y＝0在y＝m﹣2与y＝m﹣0.5之间，故对应的x的值在﹣1与0之间，故对应的x的值在2与3之间，即2＜x1＜3，故D正确，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似值，掌握函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax2+bx+c＝0的根的关系是解决此题的关键所在．题型2.二次函数与一次函数的综合应用6．（2022秋•确山县期中）某班“数学兴趣小组”对函数；y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣101234…y…﹣503434m0﹣5…其中，m＝3．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；（3）根据函数图象即可求解；（4）通过观察函数图象，即可求得．【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，∴m＝3，故答案为：3；（2）描点，连线得出函数图象如图：（3）函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴，故答案为：函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴；（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．题型3.函数与方程关系的综合应用6．（2023•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC说明理由．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标＝S 为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC列方程解答即可．△ABC【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：，解得：；∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝4，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C点坐标为（0，3），OC＝3，∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，＝S△ABC＝3；∴S△PBC作PE∥x轴交BC于E，如图：设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，∴E（，﹣t2﹣2t+3）；∴PE＝﹣t＝，＝××3＝3，∴S△PBC解得：t＝﹣2或3；∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．题型4.阅读理解题7．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象T与x轴总有交点即可；（2）当a＝﹣时，不符合题意；当a≠时，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整数，故当2a+1是6的因数时，是整数，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分别解方程并检验可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【解答】（1）证明：当a＝﹣时，函数表达式为y＝12x+6，令y＝0得x＝﹣，∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；当a≠时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：当a＝﹣时，不符合题意；当a≠时，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x＝﹣或x＝，∵x＝＝2﹣，a是整数，∴当2a+1是6的因数时，是整数，∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，∵a是整数，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，其中还涉及了一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义．题型5.探究题过点C 作CF ED ⊥交ED ∵点A 的坐标为()2,0-∴2OA =，6OC =．∴1122AOC OA O S C ⋅== ∴33644BCD ADG S S ==⨯∴由平行四边形的性质可得，2341533600442n t n n +=+⎧⎪⎨-+--=+⎪⎩，解得∴点M 的坐标为(14,0)或当BD 是平行四边形BDNM∴由平行四边形的性质可得，243331560424n t n n +=+⎧⎪⎨--+=-⎪⎩∴点M 的坐标为()0,0；如图所示，当BD 是平行四边形∴由平行四边形的性质可得，2341533006442t n n n +=+⎧⎪⎨-=+--⎪⎩，解得∴点M 的坐标为()8,0；综上所述，点M 的坐标为()8,0或【方法三】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2022秋•泽州县期末）如图，抛物线21y ax bx c =++与直线2y kx b =+相交于(1,1)A --，(3,1)B 两点，则当12y y >时，自变量x 的取值范围是()A ．13x -<<B ．13x -C ．1x <-或3x >D ．1x -或3x 【分析】根据当12y y >时，自变量x 的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的x 的取值范围，结合图象进行作答即可．【解答】解：由图象可知，当12y y >时，自变量x 的取值范围是13x -<<，故选：A ．【点评】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．（2023秋•南开区期末）已知，二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点2(,4)P abc b ac -所在的象限是()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】先由抛物线开口方向得到0a >，由抛物线的对称轴位置得到0b <，由抛物线与y 轴的交点位置得到0c <，则0abc >，然后由抛物线与x 轴有两个交点得到240b ac ->，于是可判断点2(,4)P abc b ac -所在象限．【解答】解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴在y 轴右侧，a ∴、b 异号，0b ∴<，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，0c ∴<，0abc ∴>，抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，点2(,4)P abc b ac -在第一象限．故选：A ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程；△24b ac =-决定抛物线与x 轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．3．（2022秋•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x mx =+交x 轴的负半轴于点A ，点B 是y 轴正半轴上一点，连结AB 并延长交抛物线于点A '，过点A '作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．连结AC ．若点A '的横坐标为1，且13A B BA '=，则AC 的长为()A ．32B 17C ．4D 15【分析】根据平行线分线段成比例结合点A '的横坐标为1，求得3AO =，解方程20x mx +=得(,0)A m -，进而求出点A 坐标，可求得抛物线解析式为23y x x =+，再计算自变量为1的函数值得到(1,4)A '，接着利用10C y m -+-=点的纵坐标为4，求出10C y m -+-=点的横坐标，然后计算AC 的长．【解答】解：过点A '作//A D BO '，则13A B OD BA AO'==，点A '的横坐标为1，即：1OD =，3AO ∴=，当0y =时，20x mx +=，解得10x =，2x m =-，则0m >，则(,0)A m -，3AO = ，3m ∴=，∴抛物线解析式为23y x x =+，当1x =时，234y x x =+=，则(1,4)A '，当4y =时，234x x +=，解得14x =-，21x =，则(4,4)C -，AC ∴22(43)(40)17-++-=．故选：B ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，抛物线与x 轴的交点，把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．4．（2022秋•嘉禾县期末）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与y 轴交于点(0,2)B -，点(1,)A m -在抛物线上，有下列结论：①0ab <；②一元二次方程20ax bx c ++=的正实数根在2和3之间；③23m a +=；④点11(,)P t y ，22(1,)P t y +在抛物线上，当实数13t >时，12y y <．其中，正确结论的个数是()A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】由抛物线开口方向得到0a >，利用抛物线的对称轴方程得到20b a =-<，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；把(0,2)B -，(1,)A m -和2b a =-代入抛物解析式可对③进行判断；利用二次函数的增减性对④进行判断．【解答】解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，20b a ∴=-<，0ab ∴<，所以结论①正确；抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标在(0,0)与(1,0)-之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在(2,0)与(3,0)之间，∴一元二次方程20ax bx c ++=的正实数根在2和3之间，所以结论②正确；把(0,2)B -，(1,)A m -代入抛物线得2c =-，a b c m -+=，而2b a =-，22a a m ∴+-=，∴23m a +=，所以结论③正确；点11(,)P t y ，22(1,)P t y +在抛物线上，∴当点1P 、2P 都在直线1x =的右侧时，12y y <，此时1t ；当点1P 在直线1x =的左侧，点2P 在直线1x =的右侧时，12y y <，此时01t <<且111t t +->-，即112t <<，∴当112t <<或1t 时，12y y <，所以结论④错误．故选：B ．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x 轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质．5．（2023秋•杜尔伯特县期末）关于二次函数22(1)3y x =-+，下列说法正确的是()A ．图象的对称轴是直线1x =-B ．图象与x 轴有两个交点C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大D ．当1x =时，y 取得最大值，且最大值为3【分析】根据二次函数解析式得出函数对称轴，顶点坐标，开口方向，然后由函数的性质即可解答．【解答】解：二次函数22(1)3y x =-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线1x =，∴当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x =时，y 有最小值，最小值为3，抛物线与x 轴没有交点，故A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象性质，熟悉性质是解题关键．6．（2023秋•西丰县期末）将抛物线2142y x x =-++与x 轴的交点坐标为()A ．(4,0)，(2,0)-B ．(4,0)-，(2,0)C ．(0,4)，(0,2)-D ．(0,4)-，(0,2)【分析】令21402y x x =-++=，解一元二次方程即可求解．【解答】解：令21402y x x =-++=，解得：4x =或2-，故选：A ．【点评】本题考查的是抛物线和x 轴的交点，正确理解一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．7．（2023秋•西山区校级月考）关于抛物线244y x x =-+，下列说法正确的是()A ．顶点坐标是(2,0)-B ．对称轴是直线2x =C ．抛物线有最高点D ．抛物线与x 轴有两个交点【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：2244(2)y x x x =-+=-，则抛物线的顶点坐标为：(2,0)，故A 错误，不符合题意；函数的对称轴为执行案2x =，故B 正确，符合题意；10a => ，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C 错误，不符合题意；由2244(2)y x x x =-+=-知，抛物线与x 轴有一个交点，故D 错误，不符合题意，故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为直线x h =，顶点坐标为(,)h k ．8．（2023秋•明光市期中）下表给出了二次函数2y x bx c =-++与自变量x 的部分对应值：x⋯2-1-012⋯y⋯56523-⋯则关于x 的一元二次方程22x bx c -++=的解为()A ．11x =-，23x =B ．11x =，23x =-C ．10x =，22x =-D ．12x =，26x =【分析】根据图表信息找出该二次函数图象的对称轴1x =-即可解答．【解答】解：从表格知道，当5y =时，所对应的x 值分别为2-和0，由二次函数的对称性知，该二次函数图象的对称轴2012x -+==-；设一元二次方程22x bx c -++=的解分别为1x 和2x 因为当2y =时，表格所对应的1x 的值为1，所以2112x +=-，解得23x =-，所以关于x 的一元二次方程22x bx c -++=的解为11x =，23x =-故选：B ．【点评】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的对称性，掌握二次函数图象的对称轴1x =-是解题的关键．9．（2023秋•明光市期中）抛物线22y x x c =-+与x 轴有两个交点，则c 的值可能为()A ．1-B ．1C ．3D ．4【分析】根据抛物线22y x x c =-+与x 轴有两个交点，即△0>即可求出c ．【解答】解：抛物线22y x x c =-+与x 轴有两个交点，∴△2(2)40c =-->，解得1c <，∴选项A 符合题意．故选：A ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．10．（2023秋•通榆县期末）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P 、点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为(1,0)-，则点Q 的坐标为()A ．(0,1)-B ．(2,0)C ．(4,0)D ．(3,0)【分析】抛物线的对称轴为直线1x =，点(1,0)P -，由点P 、Q 关于抛物线的对称轴对称，即可求解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x =，点(1,0)P -，点P 、Q 关于抛物线的对称轴对称，故点(3,1)Q ，故选：D ．【点评】本题考查的是抛物线和x 轴的交点，熟悉函数的对称性是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2023秋•吉林期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为1x =或3x =．【分析】根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标，由此求得关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根．【解答】解：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的解为1x =或3x =，故答案为：1x =或3x =．【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线与x 轴的两个交点坐标．12．（2023秋•西城区校级月考）抛物线223y ax ax =--与x 轴交于两点，分别是是(,0)m ，(1,0)-，则m 的值为3．【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可．【解答】解：抛物线223y ax ax =--与x 轴交于两点，分别是是(,0)m ，(1,0)-，∴令2230ax ax --=，则m ，1-为方程2230ax ax --=的两个根，∴2(1)2am a-+-=-=，3m ∴=，故答案为：3．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．13．（2023秋•西城区校级月考）若抛物线21y mx mx =-+与x 轴只有一个交点，则m 的值为4．【分析】直接根据题意得到20()40m m m ≠⎧⎨=--=⎩ 求解即可．【解答】解：抛物线21y mx mx =-+与x 轴只有一个交点，∴20()40m m m ≠⎧⎨=--=⎩，解得4m =，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式，正确得出一元二次方程210mx mx -+=只有一个实数解是解题关键．14．（2023秋•长春期末）二次函数22y x x =--的图象如图所示，则函数值0y 时，x 的取值范围是1x -或2x ．【分析】根据函数图象求出与x 轴的交点坐标，再由图象得出答案．【解答】解：由220x x --=可得，11x =-，22x =，观察函数图象可知，当1x -或2x 时，函数值0y ．故答案为：1x -或2x ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．15．（2022秋•抚松县期末）如图，二次函数21y x bx c =++与一次函数为2y mx n =+的图象相交于A ，B 两点，则不等式2x bx c mx n ++<+的解为13x -<<．【分析】由图象可知，1y 与2y 图象的交点的横坐标为1-和3，当13x -<<时，1y 的图象在2y 的图象的下方，即可得答案．【解答】解：由图象可知，1y 与2y 图象的交点的横坐标为1-和3，当13x -<<时，1y 的图象在2y 的图象的下方，∴不等式2x bx c mx n ++<+的解为13x -<<．故答案为：13x -<<．【点评】本题考查二次函数与不等式（组)，能够利用函数图象判断两个函数的大小关系是解题的关键．16．（2023秋•朝阳区校级期中）如图，平面直角坐标系中(0,1)A ，(2,1)B -，(4,5)C ．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线(0)y kx d k =+≠经过A ，C ．当2ax bx c kx d ++<+时，x 的取值范围为04x <<．【分析】画出函数图象，根据图象即可求解．【解答】解：观察函数图象，直线(0)y kx c k =+≠经过点A ，C ，当2ax bx c kx d ++<+时，x 的取值范围是04x <<，故答案为：04x <<．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组)，数形结合是解题的关键．17．（2023•郴州）已知抛物线26y x x m =-+与x 轴有且只有一个交点，则m =9．【分析】利用判别式△240b ac =-=即可得出结论．【解答】解：抛物线26y x x m =-+与x 轴有且只有一个交点，∴方程260x x m -+=有唯一解．即△243640b ac m =-=-=，解得：9m =．故答案为：9．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点知识，明确△24b ac =-决定抛物线与x 轴的交点个数是解题的关键．18．（2022秋•泽州县期末）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则抛物线22y x x c =++与x 轴交点的个数为1个．【分析】抛物线与x 轴的交点的横坐标，即令0y =所对应的一元二次方程的根．【解答】解：由题意知，抛物线22y x x c =++与x 轴交点的个数为1个，故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数与x 轴交点与一元二次方程根的关系．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程20ax bx c ++=的根是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标．三．解答题（共6小题）19．（2023秋•徐汇区期末）已知抛物线23y x bx =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，顶点为D ．（1）求此抛物线的表达式及顶点D 坐标；（2）联结CD 、BD ，求CDB ∠的余弦值．【分析】（1）依据题意，将(1,0)-代入23y x bx =-++求出b 进而的表达式，再化成顶点式可得D 的坐标；（2）依据题意，令0y =，可求得B 的坐标，令0x =，求得C 的坐标，再分别求出BC ，BD ，CD 的长，由勾股定理逆定理可得90DCB ∠=︒，进而求出cos CDB ∠的值．【解答】解：（1）由题意，将(1,0)-代入23y x bx =-++得，130b --+=，2b ∴=．∴抛物线为223y x x =-++．又2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点D 为(1,4)．（2）如图，由题意，令0y =，即2230x x -++=．3x ∴=或1x =-．(3,0)B ∴．又令0x =，3y ∴=．(0,3)C ∴．CD ∴==，DB ==BC ==．222BC CD BD ∴+=．90BCD ∴∠=︒．cos10CD CDB BD ∴∠===．【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．20．（2023秋•日喀则市期末）如图，顶点为M 的抛物线234y x x =-++，与x 轴交于A ，B 两点．（1）求抛物线顶点M 的坐标．（2）求直线AM 的解析式．【分析】（1）由2232534()24y x x x =-++=--+，即可求解；（2）用待定系数法即可求解．【解答】解：（1）2232534()24y x x x =-++=--+，则点3(2M ，25)4；（2）令2340y x x =-++=，解得：1x =-或4，即点(1,0)A -，设直线AM 的表达式为：(1)y k x =+，将点M 的坐标代入上式得：253(1)42k =+，解得：52k =，则直线AM 的表达式为：5522y x =+．【点评】本题考查的是抛物线和x 轴的交点，正确理解一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键．21．（2023秋•吉林期末）如图，抛物线2(4)8y a x =-+与x 轴交于点A 、B ，C 是抛物线的顶点，ABCD 的顶点D 在y 轴上．（1）求a 的值；（2）若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．【分析】（1）易求抛物线的顶点坐标(4,8)，在平行四边形ABCD 中，根据平行四边形的性质，//CD AB ，4CD AB ==，即可求出a 的值；（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再根据抛物线的平移特点，可设平移后抛物线的解析式为22(4)8y x k =--++，平移后抛物线经过D 点，将(0,8)D 代入解析式，求出即可．【解答】解：（1）抛物线2(4)8y a x =-+，∴顶点C 的坐标为(4,8)四边形ABCD 是平行四边形，//CD AB ∴，4CD AB ==，设A ，B 的横坐标分别为1x ，2x ，则12||4x x -==，解得2a =-，（2）22(4)8y x =--+ ，22216242(4)8y x x x =-+-=--+ ，∴设平移后抛物线的解析式为22(4)8y x k =--++，把(0,8)代入得8328k =-++，解得32k =，∴平移后抛物线的解析式为22(4)40y x =--+，即22168y x x =-++．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，坐标与图形性质，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（2023秋•杜尔伯特县期末）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题．。

求一元二次方程的近似解

(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即：2x2-13x+11 = 0.
你能求出x吗?怎么去估计x呢？
（1）你能猜得出x取值 x 的大致范围吗?
（2）X可能小于等于0 x
（8－2x）
吗?说说你的理由. 5 （3）X可能大于等于4
18m2
吗?可能大于等于2.5吗?
说说你的理由.
8
因此,x取值的大致范围是:0<x<2.5.
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：X＋1 ，X＋2 ，X＋3 ，X＋4 ．根据题意，可得方程：
X2 ＋ (X＋1)2＋ (X＋ 2)2 ＝ (X＋3)2＋ (X＋4)2
即: x2-8x-20=0.
你能求出这五个整数分别是多少吗?
随堂练习
可列表如下:
培养能力之源泉
x
做一做☞
估算一元二次方程的解
在0<x<2.5这个范围中,x具体的值时
才能使2x2-13x+11 = 0成立? 完成下表(取值计算,逐步逼近):
x
… 0.5 1 1.5 2 …
2x2-13x+11 … 5 0 -4 -7 …
由此看出,可以使2x2-13x+11的值为0的x=1. 故可知花边宽为1m.
你能总结出估算的方法步骤吗?
估算法解一元二次方程步骤：
第一步：化为一般形式，如：2x2 –13x+11=0 第二步：根据实际情况确定x大体的取值范围。
第三步:在x范围内取整数值,能够使方程左边等于0,则
这个数就是方程的一个解.
第四步：若在x的范围内取值，没有一个整数能够
使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0的数，这个数就是方程的近似取值。

2.1一元二次方程教案(2011.7.25)

长安乡中心学校集体备课教案
九年级数学（上）
主备人：白莉娟
2.3 公式法
目标 1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程。重点一元二次方程的求根公式．难点求根公式的条件：b2－4ac 0。教学过程：一、复习: 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x2－7x－18＝0 二、新授：1、推导求根公式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 解：方程两边都作以 a，得 x2＋移项，得：x2＋配方，得： b c x＝－ a a b2－4ac b b c b b x＋( )2＝－＋( )2 即：（x＋）2＝ a 2a a 2a 2a 4a2 当 b2－4ac≥0 时， b c x＋＝0 a a
一、复习： 1 、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式： ax2+bx+c-0(a ≠ 0) 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)― 3 x2=0 二、新授： 1、估算地毯花边的宽。地毯花边的宽 x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x2―13x+11=0 你能求出 x 吗？（1）x 可能小于 0 吗？说说你的理由；x 不可能小于 0，因为 x 表示地毯的宽度。（2）x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？为什么？ x 不可能大于 4，也不可能大于 2.5, x>4 时，5―2x<0 , x>2.5 时， 5―2x<0. （3）完成下表从左至右分别 11，4.75，0，―4，―7，―9 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5

集体备课教案一元二次方程

驻马店市第十三中学集体备课教案2018-2019学年度第一学期学科：数学主备人：王光辉审批人：周次：第周课题一元二次方程课时安排 1 总课时数 6 备课组九年级辅备人李军课型新授课授课时间教学目标知识与技能1．了解一元二次方程的概念；(重点)2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点) 过程与方法通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．情感、态度和价值观体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣. 重点、难点见上教学方法讲授法、演示法、问答法教具课件、翻页笔教学过程集体备课详案二次备课一、情景导入一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】判定一元二次方程下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．①y24－y＝0；②2x2－x－3＝0；③1x2＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；⑦x2＋3x－3x＝0；⑧x2－x＝2.解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．【类型二】根据一元二次方程的概念求字母的值a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax 2－x ＝2x 2－ax －3；(2)(a －1)x |a |＋1＋2x －7＝0. 解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3＝0，所以当a －2≠0，即a ≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a |＋1＝2，且a －1≠0知，当a ＝－1时，原方程是一元二次方程．解：(1)当a ≠2时，方程ax 2－x ＝2x 2－ax －3为一元二次方程； (2)因为|a |＋1＝2，所以a ＝±1.当a ＝1时，a －1＝0，不合题意，舍去．所以当a ＝－1时，原方程为一元二次方程．方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．【类型三】一元二次方程的一般形式把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)x (x －2)＝4x 2－3x ；(2)x 23－x ＋12＝－x －12； (3)关于x 的方程mx 2－nx ＋mx ＋nx 2＝q －p (m ＋n ≠0)．解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．解：(1)去括号，得x 2－2x ＝4x 2－3x .移项、合并同类项，得3x 2－x ＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；(2)去分母，得2x 2－3(x ＋1)＝3(－x －1)．去括号、移项、合并同类项，得2x 2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(m ＋n )x 2＋(m －n )x ＋p －q ＝0.二次项系数为m ＋n ，一次项系数为m －n ，常数项为p －q .方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项c ，则c ＝0.探究点二：建立一元二次方程模型如图，现有一张长为19cm ，宽15cm 的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm 2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．解：设需要剪去的小正方形边长为x cm ，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x )cm ，宽为(15－2x )cm.根据题意，得(19－2x )(15－2x )＝81.整理，得x 2－17x ＋51＝0(x ＜152)．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．板书设计⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的形式一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0），其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数教学反思驻马店市第十三中学集体备课教案2018-2019学年度第一学期学科：数学主备人：王光辉审批人：周次：第周课题一元二次方程的解及其估算课时安排 1 总课时数 6 备课组九年级辅备人李军课型新授课授课时间教学目标知识与技能1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点)2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点) 过程与方法经历自主探索合作交流的方法让学生体验一元二次方程的根及根的情况。

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随堂小练 1．根据关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，可列表如下：
x
x2 ＋px＋q
0.8
－4.76
0.9
Hale Waihona Puke －3.3911.1
1.2
1.3
… …
－2 －0.59 0.84 2.29
则方程 x2＋px＋q＝0 的一个根满足( C )
A．根的整数部分是 0，十分位是 5 B．根的整数部分是 0，十分位是 8 C．根的整数部分是 1，十分位是 1 D．根的整数部分是 1，十分位是 2
2．下面是小明探索方程 x2－3x－1＝0 的正数解的过程．第一步： x 1 2 3 4 3 －3 －3 －1
x2－3x－1
3 4 所以：________ ＜x＜________.
第二步：
x
x2－3x－1
3.1
3.2
3.3
3.4
－0.69 －0.36 －0.01 0.36
3.4 3.3 所以：________ ＜x＜________. (1)请你帮小明填完空格，完成他没完成的部分；
第 2 课时
利用列表法估算一元二次方程解的取值范围
用列表法估算一元二次方程的解的取值范围(重难点)
步骤：
(1)列表：利用未知数的取值，分别计算 ax2＋bx＋c 的值，在表中找到使 ax2＋bx＋c 可能等于 0 的未知数的大致取值范围； (2)进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．
3 (2)通过以上探索，你能估计出 x 的整数部分为________ ， 3 十分位为________ ．
用列表法估算一元二次方程的解的取值范围
【例题】为了绿化学校校园，需将草皮移植到操场，若矩
形操场的长比宽多 14 m，而操场的面积是 3 300 m2，求绿化后操场的宽的取值范围(精确到 0.1)．
思路点拨：列表 → 逐步缩小取值范围
解：设绿化后操场的宽为 x m，根据题意，得 x(x＋14)＝3 300，即 x2＋14x－3 300＝0. 列表取值如下： x 45 49 50 51 52 132
x2 ＋14x－3 300 －645 －213 －100 15
从上表中可以看出，x 的整数部分的取值范围为 50<x<51. 再列表取值如下：
x
50
50.7
50.8
50.9 3.41
51 15
x2＋14x－3 300 －100 －19.71 －8.16
所以操场的宽的取值范围为 50.8 m<x<50.9 m. 【规律总结】通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解近似计算的重要思想——“夹逼”思想．