平移旋转与对称改
平移旋转和对称的基本概念
平移旋转和对称的基本概念平移、旋转和对称是数学中的基本概念，它们在几何学、代数学以及实际生活中具有重要的应用。
本文将通过解释这些概念的意义和原理，以及它们在不同领域的应用，来帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。
1. 平移的概念与应用平移是指在平面上将一个图形移动到另一个位置，移动的距离和方向保持不变。
例如，我们可以将一个正方形从原来的位置移动到其他位置，而它的边长、面积和角度并不改变。
平移可以用向量来表示，通过将所有的点都按照相同的向量进行平移即可。
平移在几何学中有广泛的应用。
例如，在设计建筑物时，建筑师可以通过平移来确定各个房间的位置和相对位置，从而在平面上合理地布局。
另外，在计算机图形学中，平移也是实现图像移动和交互的重要手段，通过改变图像的位置实现动画效果。
2. 旋转的概念与应用旋转是指以某个中心点为基准，将图形按照一定角度旋转。
旋转使得图形的形状保持不变，只是在空间中发生了位置的改变。
旋转可以用角度来表示，通过将图形中的每个点绕着中心点旋转相同的角度即可。
旋转在几何学中也有很多应用。
在地理学中，地球的自转和公转使得我们能够感知到昼夜的变化和季节的交替。
在艺术作品和设计中，旋转被广泛地运用，例如一幅画中的旋转图案或者轮廓线。
3. 对称的概念与应用对称是指一个图形在某个中心点或者轴线的两侧是完全相同的。
简单来说，我们可以把一个图形沿着中心点或轴线对折，两边的形状是相同的，就可以说这个图形具有对称性。
对称可以分为平面对称和轴对称。
对称在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，对称是图形重要特征之一，通过对称性质可以简化计算和分析。
在物理学中，许多物理现象都具有对称性，例如轨道运动、电磁场分布等，通过对称性原理可以简化实际问题的求解。
通过对平移、旋转和对称的解释和应用，我们不仅能够更好地理解和运用这些基本概念，还能够在实际生活中发现它们的应用。
几何学中的这些基本概念贯穿了数学的各个领域，并且具有广泛的实际应用，对我们的日常生活和学习有着重要的影响。
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质
平移旋转与对称平移旋转与对称的定义与性质平移、旋转和对称是几何学中重要的概念和操作。
它们是描述和变换图形位置和形状的基本工具。
本文将详细介绍平移、旋转和对称的定义及其性质。
一、平移的定义与性质平移是指将一个图形沿着一定方向移动一定距离，而不改变其形状和方向。
下面是平移的定义与性质：定义：平移是指将一个图形中的所有点，按照同样的方向和距离，同时保持相对位置的变换操作。
性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。
2. 平移后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 平移是一个向量运算，可以用向量表示平移的方向和距离。
4. 任意两个平移可以合成为一个平移。
二、旋转的定义与性质旋转是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度，使得旋转后的图形与原图形相似但方向和位置发生变化。
下面是旋转的定义与性质：定义：旋转是指将一个图形绕着固定点旋转一定角度，使得旋转前后图形中的对应点的距离保持不变。
性质：1. 旋转不改变图形的大小、形状和方向。
2. 旋转后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
4. 旋转是一个变换操作，可以用旋转中心和旋转角度来描述。
三、对称的定义与性质对称是指将一个图形分割成两个部分，使得两个部分关于某条直线、点或中心对称。
下面是对称的定义与性质：定义：对称是指将一个图形按照某个轴线或点进行折叠或旋转，使得折叠或旋转后的图形与原图形重合。
性质：1. 对称不改变图形的大小、形状和方向。
2. 对称后的图形与原图形之间的对应关系保持不变。
3. 图形关于对称轴对称时，对称轴上的点不动；图形关于对称中心对称时，对称中心不动。
4. 对称操作是可逆的，即对称两次会得到原来的图形。
综上所述，平移、旋转和对称是几何学中常用的图形变换操作。
它们各自有着特定的定义和性质，可以描述和变换图形的位置和形状。
理解和掌握平移、旋转和对称的定义与性质，将有助于我们在解决几何问题和应用几何知识时进行准确的操作和分析。
平移旋转和对称
平移旋转和对称平移、旋转和对称在数学和几何学中是非常重要的概念。
本文将介绍平移、旋转和对称的定义、性质以及它们在实际应用中的意义。
一、平移平移是指将一个图形按照指定的方向和距离移动到另一个位置，而不改变其形状和大小。
平移可以看作是将整个图形沿着指定的方向平行移动。
平移有以下性质：1. 平移后的图形与原图形形状相同，大小相等；2. 平移后的图形与原图形相互重合；3. 平移与图形的位置无关，只与方向和距离有关；4. 平移是一种向量运算，可以用向量表示。
平移在日常生活中有许多应用，例如地图中的位置标记、机器人的行走路径规划等。
在艺术和设计领域中，平移可以使图形或图案产生一种整齐、规则的效果。
二、旋转旋转是指将一个图形按照指定的中心点和角度旋转。
旋转可以改变图形的朝向和位置，但不改变其形状和大小。
旋转有以下性质：1. 旋转后的图形与原图形形状相同，大小相等；2. 旋转后的图形与原图形相似，它们的对应点之间的距离保持不变；3. 旋转可以是顺时针或逆时针方向；4. 旋转角度可以用正数表示顺时针旋转，用负数表示逆时针旋转。
旋转也有广泛的应用。
在地理学中，地球的自转和公转是旋转的典型例子。
在航空航天领域，飞机和火箭的飞行轨迹是通过旋转实现的。
三、对称对称是指一个图形可以通过某条直线或某个中心点将其分成两个完全相同的部分。
对称可以是关于直线对称或中心对称。
对称有以下性质：1. 对称轴是将图形分成两个对称的部分的直线或点；2. 对称轴上的点与它们的对称点距离相等；3. 关于直线对称的图形在对称轴上没有变化；4. 关于中心对称的图形与其对称轴上的点相互重合。
对称在艺术、建筑和自然界中都有广泛的应用。
例如，许多建筑物的设计和花朵的形状都具有对称性，给人一种美感和和谐感。
总结：平移、旋转和对称是数学和几何学中重要的概念。
平移是指将图形沿着指定的方向平行移动，保持其形状和大小不变；旋转是指将图形按照指定的中心点和角度旋转，改变其朝向和位置但不改变形状和大小；对称是指图形可以通过某条直线或某个中心点将其分成两个完全相同的部分。
平移旋转对称变换的性质与计算
平移旋转对称变换的性质与计算平移、旋转和对称变换是几何中常用的变换方式，它们通过改变图形的位置或方向来实现形状的改变。
在本文中，我们将探讨平移、旋转和对称变换的性质，并介绍它们的计算方法。
一、平移变换的性质与计算平移变换是将图形沿着指定的方向平行地移动一个固定的距离，保持图形内部线段的相对位置始终不变。
平移变换的性质如下：1. 平移变换不改变图形的大小、形状、角度和面积。
2. 平移变换保持图形之间的距离和相对位置关系不变。
3. 平移的矢量可以表示为 (a, b)，其中 a 为横向平移的距离，b 为纵向平移的距离。
计算平移变换的方法如下：1. 将原始图形的每个顶点坐标分别加上平移矢量。
2. 连接新的顶点坐标，得到平移后的图形。
二、旋转变换的性质与计算旋转变换是将图形绕着一个固定点旋转一定角度，使得图形的每个点都相对于旋转中心点发生位置变化。
旋转变换的性质如下：1. 旋转变换不改变图形的大小、形状和面积，但可能改变图形的角度。
2. 旋转变换保持图形内部线段的相对位置关系不变。
3. 旋转的角度可以表示为θ，其中正值表示逆时针旋转，负值表示顺时针旋转。
计算旋转变换的方法如下：1. 将原始图形的每个顶点坐标绕旋转中心点旋转指定角度。
2. 连接新的顶点坐标，得到旋转后的图形。
三、对称变换的性质与计算对称变换是通过将图形绕一个轴或一个点进行翻转，使得图形的每个点到轴或点的距离保持不变。
对称变换的性质如下：1. 对称变换保持图形的大小、形状和面积不变。
2. 对称变换可以是关于 x 轴、y 轴、原点或直线的。
3. 对称变换的轴可以表示为 l，对称变换的点可以表示为 P。
计算对称变换的方法如下：1. 关于 x 轴对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 y 坐标变为原来的相反数。
2. 关于 y 轴对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 x 坐标变为原来的相反数。
3. 关于原点对称变换：将原始图形的每个顶点坐标的 x 和 y 坐标都变为原来的相反数。
图形变换：平移 旋转 对称 位似
图形变换：平移旋转对称位似初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
▲一、平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
）2、平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。
（提示：平移的性质也是平移作图的依据。
）3、用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a（a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b（b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。
▲二、轴对称变换1、轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2、轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。
（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
《轴对称图形》平移、旋转和轴对称
对于任何一对对称点，它们到对称轴的距离相等，且连线垂直于对 称轴。
旋转与轴对称的关系
一个图形以某点为旋转中心旋转一定角度后与另一个图形重合，那 么这两个图形关于这条旋转中心成轴对称。
轴对称应用
艺术领域
许多艺术作品都利用了轴对称原 理，如建筑、雕塑、绘画等，给
人以美的感受。
自然界中
自然界中许多物体也具有轴对称 性，如叶子、花朵、动物身体等 ，这反映了自然界中一种平衡和
平移的性质
平移不改变图形的形状、 大小和方向，只改变图形 的位置。
平移性质
对应线段相等
平移后得到的图形与原图形对应线段相等。
对应角相等
平移后得到的图形与原图形对应角相等。
对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等
平移后得到的图形与原图形对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
平移应用
平行四边形的判定
旋转定义
旋转
在平面内，将一个图形绕 一个定点沿某个方向转动 一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
旋转角
图形旋转时转动的角度。
旋转中心
图形旋转时，定点所在的 位置称为旋转中心。
旋转性质
旋转方向：可以是顺时针或逆 时针方向。
旋转角度：可以是任意角度， 但必须是0°的整数倍。
旋转前后图形全等，对应点到 旋转中心的距离相等，对应线 段长度、对应角大小相等。
根据平行四边形对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另 一个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四 边形。
梯形的判定
根据梯形一组对边平行的性质，可以将一个四边形沿一条对角线平移得到另一 个四边形，如果这个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是梯形。
二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。
y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。
（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。
2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。
（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。
（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。
练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。
平移和旋转能转化为轴对称吗
平移和旋转能转化为轴对称吗平移、旋转和轴对称都是平面图形基本的全等变换,那么你是否思考过这样一个问题:平移和旋转能转化为轴对称吗?下面就让我们通过具体例子来研究这个问题.一、平移转化为轴对称例1 如图1,已知△ABC,直线m ∥n 且距离为a,画△ABC 关于直线m 对称的△A 'B 'C ',再画△A 'B 'C '关于直线n 对称的△A ''B ''C '',那么,能否通过平移△ABC 得到△A ''B ''C ''?研析:判断一个图形能否通过平移得到另一个图形,关键是看这两个图形对应点所连的线段是否平行且相等.由线段A A '、A 'A ''分别被对称轴m 、n 垂直平分,知点A 、A '、A ''共线,且A A ''=2a.同理可知, B B ''=2a ,C C ''=2a.所以A A ''、 B B ''、 C C ''互相平行且相等,所以将△ABC 沿与对称轴m(n)垂直的方向,平移2a 即可得到△A ''B ''C ''.(同学们可以再换几个不同的图形试一试)由此可猜想归纳出一般结论:当对称轴平行时,两次轴对称相当于一次平移,且平移的方向垂直于对称轴,平移的距离是两条对称轴之间的距离的2倍.二、旋转转化为轴对称例2 如图2,已知△ABC,直线MN 、PQ 相交于点O,且夹角为α(0°＜α≤90°),画△ABC 关于直线MN 对称的△A 'B 'C ',再画△A 'B 'C '关于直线PQ 对称的△A ''B ''C '',那么,能否通过旋转△ABC 而得到△A ''B ''C ''?研析:抓住旋转的三要素：旋转中心、旋转方向及旋转角进行分析.由轴对称的性质知,OA=O A ', O A '=O A '',OM 平分∠AO A ',OP平分∠A 'O A '',所以OA=O A '',∠AO A ''=2α.同理OB=O B '',OC=O C '',∠BO B ''=2α, ∠CO C ''=2α.所以点A 、B 、C 分别绕点O 顺时针旋转2α的角度,就得到点A ''、B ''、C '',故将△ABC 绕点O 顺时针A BC B ' C ' A '' B '' C '' A ' 图1 m n A ' ABC B ' C ' A '' B '' C ''Nα Q 图2 O M P旋转2α的角度就得到△A''B''C''.(同学们可以再换几个不同的图形试一试)由此可猜想归纳出一般结论:当对称轴相交于一点时,两次轴对称相当于一次旋转,且旋转中心是对称轴的交点,旋转角为对称轴夹角α(0°＜α≤90°)的2倍,旋转方向,与第一条对称轴旋转α的角度到第二条对称轴的位置的方向一致.。
平移旋转与对称的应用
平移旋转与对称的应用平移、旋转和对称是几何学中常见的概念和操作，它们在数学、物理、工程和艺术等领域有着广泛的应用。
本文将探讨平移、旋转和对称的应用，并举例说明它们在不同领域中的实际应用。
一、平移的应用平移是指物体在平面上按照一定方向和距离移动的操作。
平移不改变物体的形状和大小，只改变了物体在平面上的位置。
平移在日常生活中有着广泛的应用，比如：1. 地图导航：我们在使用地图导航时，可以通过平移地图来查找目标地点的位置，从而确定正确的行进方向。
2. 摄影修正：在拍摄照片时，有时候会由于拍摄角度或位置的偏差导致图像中的物体位置不准确，此时可以通过平移操作来修正照片中物体的位置。
3. 动画制作：在电影、游戏和动画制作中，平移经常被用来控制人物、物体的运动轨迹，从而创造出流畅自然的动画效果。
二、旋转的应用旋转是指围绕某一中心点按照一定角度进行转动的操作。
旋转可以改变物体的朝向、角度和位置，它在很多领域中都有着重要的应用，比如：1. 机械工程：在机械领域中，旋转广泛应用于各种旋转机构和传动装置中，比如汽车发动机、电机、轴承等，它们通过旋转实现不同工作部件的运动和转动。
2. 制造业：在制造产品的过程中，往往需要对零部件进行旋转操作，以便进行加工、拼装等工序，从而实现产品的制造与装配。
3. 几何建模：在计算机图形学和三维建模中，旋转是一种常见的操作，用于改变物体的方向、角度和视角，从而创建出立体感的图形和模型。
三、对称的应用对称是指物体上的一些特征在某种变换操作下保持不变的性质。
对称在很多领域中具有重要的应用，比如：1. 建筑设计：对称常常被用于建筑设计中，通过对称的布局和装饰可以创造出和谐、美观的建筑形式。
比如，许多古代宫殿和寺庙都采用对称的设计风格。
2. 化学结构：在化学领域中，分子的对称性对于研究其结构和性质具有重要意义。
通过分析分子的对称性，可以推断出分子的空间结构和反应特性，从而指导化学实验和应用。
3. 图案设计：对称的图案常常被用于艺术和纹身设计中，通过对称的形式和图案可以创造出美观、平衡的视觉效果，吸引观众的注意力。
对称、平移和旋转变换
对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。
这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。
一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。
将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。
将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。
对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
一条直线或一个点就确定了一个对称变换。
例1：试证：等腰三角形的底角相等。
已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。
（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。
例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=213cm ，BC=5cm ，求BD 的长。
分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=213，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以BD=12。
例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，EF ⊥A B 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。
分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S ABE ∆=21AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。
二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。
《图形的平移》平移旋转和轴对称
04
平移、旋转和轴对称的对比与 联系
对比
平移
图形在平面内沿某一方向 等距移动，不改变形状和 大小。
旋转
图形围绕某一点旋转一定 的角度，不改变形状和大 小。
轴对称
图形关于某一直线对称， 不改变形状和大小。
联系
01
02
03
04
平移和旋转都是图形在平面内 的运动，但方向和中心点不同
。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平移和轴对称都可以视为一种 特殊的旋转，其中旋转中心是
《图形的平移》平移旋转和 轴对称
汇报人： 2024-01-09
目录
• 平移 • 旋转 • 轴对称 • 平移、旋转和轴对称的对比与
联系 • 生活中的平移、旋转和轴对称
01
平移
平移的定义
平移是指在平面内，将一个图形沿某 一方向移动一定的距离，而图形本身 不发生旋转或翻转，只是位置发生了 变化。
平移的距离可以是固定的，也可以是 变化的。
03
轴对称
轴对称的定义
轴对称
如果一个图形关于某条直线（对称轴）对称，那 么这个图形被称为轴对称图形。
对称轴
将图形分为两个完全相同的部分的直线。
对称点
关于对称轴的对称点。
轴对称的性质
对称性
轴对称图形关于对称轴对称，即 如果图形上有一个点，那么在对 称轴的另一侧存在一个与其完全
相同的点。
稳定性
轴对称图形在平衡状态下是稳定的 ，即不会发生旋转或倾斜。
个美丽例子。
建筑物
02
许多建筑物，如中国的天坛、美国的自由女神像等，都是轴对
称的。
雪花
03
雪花的形状常常是六边形的，并且具有轴对称性。
平移、旋转、轴对称
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------平移、旋转、轴对称什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向什么是平移、旋转、轴对称？如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？如何确定平移的的方向和距离？如何确定旋转角度和旋转中心？（1）什么是平移、旋转、轴对称？平移：一个图形在平面内沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。
旋转：一个图形在平面内绕着一个固定点转动一定角度，这样的图形运动叫旋转，这个固定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度。
轴对称：如果一个平面图形，沿着某一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线叫对称轴。
互相重合的点叫对称点。
（2）如何判断一个图形进行了平移、旋转或者是否为轴对称图形？在学习中，学生可能会问到摩天轮的运动、窗帘的拉动、门的转动、荡秋千、钟摆等生活现象算不算旋转。
回答这些具体的问题，教师首先需要理解轴对称、平移和旋转的概念在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，1 / 5也叫做合同变换。
如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形的变换就叫做全等变换，即原来的图形中，任意两点的距离假设是 l 的话，经过变换后的两点之间的距离仍是 l，所以全等变换是一个保距变换，而且由于距离保持不变，图形整体的形状、大小，都可以证明仍然是保持不变的。
全等变换有几种方式。
我们可以想象一下两个完全一样的图形，要由一个图形的运动得到另一个图形，可以作怎样的运动呢？可以是平移。
除此以外呢？比如两个三角形有一顶点重合，那么有两种情况：一种是这两个三角形的三个顶点顺序是一致的，这时其中一个经过旋转就能与另一个重合；还有一种是顶点的顺序相反，这时将其中一个反射（翻折）就能得到另一个。
数学中的对称、平移和旋转现象
定义
对称现象是指一个图形或者物体 关于某一点或者某一条直线呈现 镜像状态的现象。
性质
对称现象具有不变性，即经过对 称变换后，图形的形状和大小不 变。
对称轴和对称中心的概念
对称轴
对称轴是指一条直线，它把一个图形 分成两个镜像对称的部分。
对称中心
对称中心是指一个点，它是一个图形 对称变换的不动点。
对称现象在几何图形和函数图像中的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
物理学
在物理学中，对称性和旋转运动 是研究物理现象和理论的重要工 具，如量子力学中的对称性原理
1. 对称现象的应用
建筑设计中经常利用对称原理来增强建筑物的稳定性和美感，例如故宫的建筑布局就严格 遵循了对称原则。另外，在艺术、图案设计中也常常用到对称原理。
2. 平移现象的应用
在机械制造、印刷等行业中，经常需要利用平移原理来移动物体或者图案。例如，印刷机 在印刷过程中，就需要将纸张在水平和垂直方向上进行平移。
够更有效地找到解题思路。
图形变换
通过对称、平移和旋转等图形变换 手段，可以在几何题目中构造出具 有特殊性质的图形，从而更容易地 解决问题。
性质研究
对称、平移和旋转现象在几何图形 中引起的性质变化是研究几何问题 的重要方面，掌握这些性质有助于 深入理解几何问题本质。
利用对称、平移和旋转进行图形设计和艺术创作
旋转中心
旋转中心是指物体绕之旋转的点，通常用字母“O”表示。
旋转角
旋转角是指物体绕旋转中心旋转的角度，通常用希腊字母“θ”表示。在平面直角坐标系中，逆时针 方向为正方向，顺时针方向为负方向。
旋转现象在几何变换和物理运动中的应用
几何变换
在平面几何中，旋转现象是一种重要的 几何变换，通过对平面上的点、线、面 等元素进行旋转操作，可以得到新的图 形。例如，将一个三角形绕其重心旋转 180度，可以得到与原三角形对称的图形 。
平移旋转轴对称的总结归纳
平移旋转轴对称的总结归纳平移、旋转、轴对称是几何学中常见的变换操作，它们在图形的变换中起着重要的作用。
本文将对平移、旋转和轴对称进行总结归纳，以便加深对这些概念的理解。
一、平移平移是指沿着固定的方向和距离，将一个点或者图形在平面内移动。
平移不改变图形的大小、形状和方向，只是改变了图形的位置。
1. 平移的特点- 平移是一种向量运算，其运算结果仍然是一个向量。
- 平移过程中，所有点的位移矢量都相等。
- 平移可以用向量表示，平移向量的起点为原图形上的一个点，终点为其平移后的位置。
2. 平移的表示方法平移可以使用向量运算的方式进行表示，如设平移向量为AB，其中A为原图形上的一个点，B为其平移后的位置。
3. 平移的性质平移具有以下性质：- 平移不改变图形的大小、形状和方向。
- 平移保持图形之间的相对位置关系不变。
二、旋转旋转是指将一个点或者图形按照一定的角度围绕某一点旋转。
旋转可以改变图形的方向，但保持其大小和形状不变。
1. 旋转的特点- 旋转是一种变换运算，将一个点或者图形按照一定的角度绕固定点旋转。
- 旋转可以用角度来描述，旋转角度可以是正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
- 旋转中心可以是任意点，也可以是图形的某个顶点。
2. 旋转的表示方法旋转可以使用坐标变换的方式进行表示，如设旋转中心为O，旋转角度为θ，则旋转过程中，点P(x, y)绕点O旋转后的新坐标为P'(x', y')。
3. 旋转的性质旋转具有以下性质：- 旋转不改变图形的大小和形状。
- 旋转改变图形的方向。
- 旋转保持图形上的点与中心点之间的距离不变。
三、轴对称轴对称是指图形相对于某条直线对称。
对称轴可以是任意直线，轴对称的图形可以通过对称轴翻转得到自身。
1. 轴对称的特点- 轴对称是一种空间变换，将图形相对于某条直线进行翻转。
- 轴对称的图形具有镜像对称性，即沿对称轴折叠后，两侧图形完全一致。
2. 轴对称的表示方法轴对称可以使用对称关系进行表示，如设对称轴为l，点P关于l的对称点为P'，则P'与P关于l对称。
《图形的旋转》平移旋转和轴对称
这种组合在实际生活中并不常见，因为在实际应用中，旋转和轴对 称两种操作通常会分开进行。
应用
在几何学中，旋转轴对称组合常用于研究图形的旋转对称性质，如 圆形、椭圆形的性质等。
05
实际应用案例
平移旋转在机械制造中的应用
平移旋转在机械制造中有着广泛的应用。通过平移和旋转，可以方便地对机械零件 进行精确加工和调整。
《图形的旋转》平移旋转和 轴对称
2023-11-08
目 录
• 平移 • 旋转 • 轴对称 • 平移旋转和轴对称的组合应用 • 实际应用案例
01
平移
定义
平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离 。
平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。
性质
平移前后，图形的对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行 且相等。
描述
这种组合在实际生活中很常见，比 如汽车在公路上行驶，除了位置的 移动，车身也会围绕自己的轴线旋 转，保持方向不变。
应用
在几何学中，平移旋转组合常用于 研究图形的性质和变化，如平行四 边形的性质、三角形的稳定性等。
平移轴对称组合应用
定义
平移轴对称组合是指将平移和轴 对称两种操作结合起来，使图形 在平面上进行移动的同时，绕某
应用
在几何学中，旋转被广泛应用于图形 的位置和形状的变换。
在物理学中，旋转运动被广泛应用于 物体的运动和平衡状态的研究。
在机械工程中，旋转运动被广泛应用 于机器人的关节和传动装置。
在艺术领域，旋转被广泛应用于舞蹈 、音乐和绘画的表现形式。
03
轴对称
定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线是 它的对称轴。
平移、轴对称、旋转
平移1.把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离。
图形的这种变换叫做平移。
原来的图形叫做原像，在新位置的图形叫做该图形在平移下的像。
2.平移不改变图形的形状和大小。
3.平移不改变直线的方向。
直线在平移下的像是与它平行的直线。
4.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
5.平移的关键是把握平移的方向和平移的距离。
轴对称1.如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
2.把一个图形沿着一条直线翻折，并将图形“复印”下来得到一个新图形，就叫做该图形关于这条直线作了轴对称变换，也叫轴反射。
原来的图形叫做原像，得到的新图形叫做原图形在这个轴反射下的像。
3.如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。
这条直线叫做对称轴。
原像与像中能互相重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的对应点。
4.轴对称变换不改变图形的形状和大小。
5.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
旋转1.将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点O旋转同一个角α（即把图形F上每一个点与定点的连线绕定点O旋转角α），得到图形F'，图形的这种变换叫做旋转，这个定点O叫做旋转中心，角α叫做旋转角。
原位置的图形F叫做原像，新位置的图形F'叫做图形F在旋转下的像。
图形F上的每一个点P与它在旋转下的像点P'叫做在旋转下的对应点。
2.旋转不改变图形的形状和大小。
3.一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角（旋转角）相等。
4.旋转的关键是旋转中心、旋转方向、旋转角。
二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。
抛物线的上下平移：___________________y=a（x-h）2+k y=a（x-h）2+k ± m抛物线的左右平移：___________________y=a（x-h）2+k y=a（x-h ± m）2+k练习：（ 1）函数图象沿 y 轴向下平移 2 个单位，再沿 x 轴向右平移 3个单位，得到函数______________ 的图象。
（2）抛物线y x2 2x 5向左平移3个单位，再向下平移 6 个单位，所得抛物线的解析式是。
2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。
1）将抛物线绕其顶点旋转180 （即两条抛物线关于其顶点成中心对称）22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k 。
（2）将抛物线绕原点旋转180 （即两条抛物线关于原点成中心对称）22y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是 y a x h k 。
练（1）抛物线y 2x2 4x 6 绕其顶点旋转180 后，所得抛物线的解析式是（2）将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（）22 2 2A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－13、抛物线的轴对称变换：关于 x 轴对称y ax2 bx c关于 x轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ；22y a x h k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y a x h k ；关于y 轴对称22 y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c；22y a x h k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；练习：已知抛物线C1：y （x 2）2 3 （1）抛物线C2与抛物线C1关于y 轴对称，则抛物线C2的解析式为2）抛物线C3与抛物线C1关于x 轴对称，则抛物线 C 3的解析式为总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变。
数学理解平移旋转和对称变换
数学理解平移旋转和对称变换数学理解平移、旋转和对称变换教学目标：1. 理解平移、旋转和对称变换的概念。
2. 掌握平移、旋转和对称变换的性质和特点。
3. 在几何图形的平移、旋转和对称变换中能够正确应用所学知识。
教学重点：1. 平移、旋转和对称变换的定义和性质。
2. 平移、旋转和对称变换的应用。
教学难点：在实际问题中运用平移、旋转和对称变换解决几何问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 平面几何图形的模型。
3. 学生需要的绘图工具。
教学过程：引入：通过展示一些生活中的例子，如旋转的风车、对称的花朵等，激发学生对平移、旋转和对称变换的兴趣，并引导学生思考它们在数学中的应用。
1. 平移变换：平移变换是指在平面上将一个图形固定地移到另一个位置，移动后的图形与原图形形状大小完全相同，相对位置发生改变。
通过让学生观察和比较平移前后的图形，帮助他们理解平移变换的定义和性质。
- 展示平移的课件示例，引导学生观察平移前后的图形，并提问变换之间的关系。
- 让学生在纸上实际操作几何图形的平移变换，体验平移变换的过程，并总结平移的性质。
- 给学生练习题，巩固他们对平移变换的掌握。
2. 旋转变换：旋转变换是指在平面上将一个图形绕着一个定点旋转一定角度，使得移动后的图形与原图形形状大小完全相同。
通过实际操作和观察旋转变换的过程，帮助学生理解旋转变换的定义和性质。
- 展示旋转的课件示例，引导学生观察旋转前后的图形，并提问变换之间的关系。
- 让学生在纸上实际进行几何图形的旋转变换，感受旋转变换的过程，并总结旋转的性质。
- 给学生练习题，巩固他们对旋转变换的掌握。
3. 对称变换：对称变换是指将一个图形的每个点关于一条直线或一个点对称，得到的图形与原图形形状大小完全相同。
通过让学生观察对称变换的特点和直线对称、点对称的区别，引导他们理解对称变换的定义和性质。
- 展示对称变换的课件示例，引导学生观察对称前后的图形，并提问变换之间的关系。
平移旋转和对称变换
平移旋转和对称变换平移、旋转和对称变换，这三个家伙可是数学世界里的“大明星”！它们就像一场奇妙的舞蹈，让图形们变得多姿多彩。
先来说说平移吧。
平移就像是一个小朋友在平坦的操场上整齐地向前走，一步一步，不偏不倚。
还记得有一次，我在公园里看到一个卖糖葫芦的小贩。
他推着小车沿着笔直的道路慢慢移动，那小车和车上的糖葫芦在这个过程中就经历了平移。
车的位置变了，可形状和大小一点儿都没变，糖葫芦还是那么诱人，排列得整整齐齐。
旋转呢，就像是小朋友们玩转圈圈的游戏。
有一回，我看到小区里的孩子们在玩陀螺。
那陀螺在地上飞快地旋转，中心点不动，而陀螺的边缘却在不停地转动，形成了一个漂亮的圆。
这就是旋转，围绕着一个固定的点，不停地转动。
对称变换就更有趣啦！就像照镜子一样，镜子里和镜子外的图像是完全对称的。
我想起有一次去参观古建筑，那古色古香的大门，左右两边完全对称，给人一种庄重而又和谐的美感。
在我们的生活中，平移、旋转和对称变换无处不在。
比如，家里的电风扇，扇叶不停地旋转，给我们带来凉爽的风。
再比如，拉开的抽屉，就是一个平移的例子。
还有那美丽的蝴蝶，它的翅膀就是对称的，让它在花丛中翩翩起舞时更加迷人。
在数学的教材里，平移、旋转和对称变换也是非常重要的知识。
通过学习它们，我们可以更好地理解图形的性质，解决很多有趣的问题。
比如说，给你一个图形，让你通过平移和旋转，把它拼成一个新的图形。
这时候，就需要我们开动脑筋，像玩拼图游戏一样，找到正确的方法。
还有一些数学题目，会让我们判断一个图形经过某种变换后会变成什么样，这就需要我们对这些变换的特点了如指掌。
而且，学习这些知识还能帮助我们提高空间想象力。
想象一下，在脑海中让一个图形旋转起来，或者平移到另一个位置，是不是很神奇？这种能力在以后学习更复杂的数学和物理知识时，可是非常有用的哦！对于同学们来说，刚开始学习这些可能会觉得有点难，但是别担心。
就像学骑自行车一样，一开始可能会摇摇晃晃，但只要多练习，掌握了平衡的技巧，就能轻松地骑起来。
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一．选择题 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．2．下列图形，是轴对称图形但不是心对称图形的是（ ） A ． 等边三角形 B ．平行四边形 C ．矩形D ．圆3.在平面直角坐标系中，把点)3 5(，-P 向右平移8个单位得到点1P ，再将点1P 绕原点旋转︒90得到点2P ，则点2P 的坐标是（ ）A. )33(-，B ．)3 3(，-C ．)33()3 3(--，或，D ．)33(-，或)3 3(，- 4.如图，在坐标系xOy 中，△由△绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为（ ）A .（ 0， 1）B .（ 1， －1）C .（ 0， －1）D .（ 1， 0）5. 如图，在△ABC 中，∠CAB =65°,将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（ ）A .35°B .40°C .50°D .65°6．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为（ ）A ． 2B ．C ．D ．7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（ ）第11题图lDC A BEA .13B .152C .272D .128．如图6，AB 是⊙O 的直径，AB =8，点M 在⊙O 上，∠MAB =20°,N 是弧MB 的中点,P 是直径AB 上的一动点，若MN =1，则△PMN 周长的最小值为（ ）.（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）79. 如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6，将纸片折叠，使得AD边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为A . 12B . 98 C . 2 D . 410. 将一副三角尺（在中，∠ACB =，∠B =；在中，∠EDF =，∠E =）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C .将绕点D 顺时针方向旋转角，交AC 于点M ，交BC 于点N ，则的值为( )A. B . C.D .二.填空题1. 把直线沿x 轴向右平移2个单位,所得直线的函数解析式为 .2.如图， 矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.3. 如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C重合，则折图6痕AE 的长为__________.4. 如图，已知抛物线C 1：y =a 1x 2+b 1x +c 1和C 2：y =a 2x 2+b 2x +c 2都经过原点，顶点分别为A ，B ，与x 轴的另一个交点分别为M 、N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是___________和____________5. 已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．6.菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP +BP 最短时，点P 的坐标为 ．7.如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 ．三.解答题1．如图，在边长为1个单位长度的小正方形格中，给出了△ABC (顶点是格线的交点)．(1)请画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；(2)将线段AC 向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A 2C 2，并以它为一边作一个格点△A 2B 2C 2，使A 2B 2＝C 3B 2．2．在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上（与点C 、D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，过点Q 作QH BD ⊥于H ，连接AH ，PH 。
(1)若点P 在线段CD 上，如图1。
①依题意补全图1；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加A BCl第17题图A B C D PA BC D图1备用图以证明；(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且152AHQ ∠=︒，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路。
（可以不写出计算结果）3.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点， （1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若△AEP 是等边三角形，连结BP ，求证：△APB ≌△EPC ； （3）若矩形ABCD 的边AB =6，BC =4，求△CPF 的面积．4. 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ．（1）求证：△DCE ≌△BFE ；（2）若CD =2，∠ADB =30°，求BE 的长．5．如题图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG . （1）求证：△ABG ≌△AFG ； （2）求BG 的长.6. 如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，，．△ADP 沿点A 旋转至△ABP ’，连结PP ’，并延长AP 与BC 相交于点Q ．（1）求证：△APP ’是等腰直角三角形； （2）求∠BPQ 的大小；（3）求CQ 的长．7.如图，已知，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ． （1）求证：AM =BN ；（2）当MA ∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．8．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于 ，线段CE 1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD 1= CE 1，且BD 1⊥CE 1；（3）①设BC 的中点为M ，则线段PM 的长为 ；②点P 到AB 所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）E 1BCE D （D 1）APE 1BCEDD 1A9. 如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使OG =2OD ，OE =2OC ，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE ． （1）求证：DE ⊥AG ；（2）正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE ′F ′G ′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF ′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．10. 小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO ＇后，电脑转到AO ＇B ＇位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA =OB =24cm ，O ＇C ⊥OA 于点C ，O ＇C =12cm . （1）求∠CAO ＇的度数.（2）显示屏的顶部B ＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O ＇B ＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ＇B ＇应绕点O ＇按顺时针方向旋转多少度？11.如图，已知抛物线()2y ax bx c a 0=++≠ 的对称轴为x 1=-，且抛物线经过()(),,,A 10C 03两点，与x 轴交于点B .⑴.若直线y mx n =+经过B C 、两点，求直线BC 所在直线的解析式；⑵. 抛物线的对称轴x 1=-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出此点M 的坐标；⑶.设点P 为抛物线的对称轴x 1=-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.xyB ACMO。