质数、合数和分解质因数
小学奥数五年级数学质数、合数和分解质因数
• 总结 • 见积分解质因数。
• 例3:708除以一个两位数,余数为43,求这个两位数。
• 708-43=665
• 分解质因数:665=5×7×19
• 665=35×19
•
=7×95
• 因为除数必须比余数大,所以这个两位数是95。
• 答:这个两位数是95。
• 练习 • 1、310除以一个两位数,余数是37,求这样的两位数。 • 2、一个两位数除250余25,这个数可以是几?
• 14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 • 55=5×11 56=2×2×2×7 99=3×3×11 • 共有:8个2,6个3,2个5,2个7,2个11 • 每一组可分:4个2,3个3,1个5,1个7,1个11 • 第一组:55、27、56、2 • 第二组:99、5、24、14
• 练习 • 1、把40,44,45,63,65个数的乘积相同。 • 2、把10,14,21,30,33,66这六个数平均分成两组,使两组
• 练习 • 1、植树节,赵老师带领同学排成两列人数相等的纵队去植树,已知赵老师和同学
们每人植树的棵数相等,一共植了111棵树。求有多少个同学?每人植树多少棵? • 2、五(2)班在班主任的带领下去种树,学生恰好平均分成3组,如果师生每人种树
一样多,一共种了1073棵,求有多少个同学?平均每人种多少棵?
• 15120=5×(2×3)×7×(2×2×2)×(3×3)
•
=5×6×7×8×9
• 答:这几个连续自然数是5、6、7、8、9。
• 练习 • 1、四个连续自然数的积是1680,这四个自然数是多少? • 2、小兰、小红、小明、小马四个人是好朋友,更巧的是他们的
年龄正好是四个连续的自然数,并且乘积是3024,你知道她们的 年龄分别是多少吗?
小学五年奥数-质数合数分解质因数
质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数,如果只有1和它本身这两个约数,这样的数叫做质数(或素数)一个自然数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。
1既不是质数,也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
【试金石】例1:三个质数的和是80,这三个质数的积最大是多少?【分析】由于三个数的和是偶数,所以这三个数中必有一个是偶数,在质数中只有2是偶数,所以三个数中一定有2。
另外两个质数的和是78,要使乘积尽可能的大,那么这两个质数的差值应尽可能的小。
显然,和是78的两个质数中,以41和37的差最小,即这两个数的积最大。
【解答】80=2+37+412×37×41=3034答:这三个质数的积最大是3034。
【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62,这三个质数的积最大是多少?【试金石】例2:班主任李老师带领五年(一)班同学去植树,学生按人数恰好平均分成三组,已知李老师与学生共种了312棵树,老师与学生、每人种的树一样多,并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人?每人种树多少棵?【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即:312=每人种树棵数×(1+学生人数)由于学生人数是3的倍数,再加上李老师一人,则师生总人数被3除余1。
因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13,然后按题意进行组合使之成为两数之积。
【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13,13为师生总人数,则每人种树24棵,与题意不相符。
若312=6×52,52为师生总人数,则每人种树6棵。
答:这个班共有学生51人,每人种6棵。
【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影,他买的票的排数与座位号数的积是391,而且排数比座位号大6,小青买的电影票是几排几座?【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时,小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872.那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口,其中某个口为8,验证只有:1872=48×39,1872=78×24满足.【解答】当为1872=48×39时,小马虎错把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是45×39=1755.当为1872=78×24时,小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积应该是75×24=1800.答:原来的积为1755或1800.【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内,各填入一个数字,使算式成立。
质数合数分解质因数
质数合数分解质因数1.质数和合数(1)一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)。
如7和11都是质数。
(2)一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,如:9和12都是合数。
举例:注意:①1既不是质数,也不是合数。
②自然数除了1,其他的数不是质数就是合数。
③自然数是无限的,因此质数和合数也都是无限的。
○42是最小的质数,也是质数中唯一的一个偶数。
(3)判断一个数是合数还是质数的方法。
先找各数的约数,再根据质数和合数的意义去判断。
判断一个数是不是质数,还可以查质数表,凡是质数表中有的数就是质数。
2.分解质因数(1)质因数的意义。
每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数。
比如:60=2X2X5X3中的2、2、5、3都叫做60的质因数(2)分解质因数的意义。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
如:6=2×3,24=2×2×2×3。
(3)分解质因数的方法。
①分解质因数时,通常用短除法。
短除法是除法的简化。
如:②用短除法分解质因数,除数一定要用质数,应按照质数从小到大的顺序,看被除数能被哪个质数整除,就用这个质数去除,直到除得的商也是质数为止。
如:用短除法把180分解质因数:名师点拨【典型范例剖析】例1 一个正方形的面积是1225平方厘米,这个正方形的边长是多少厘米?分析:因为正方形的面积是“边长乘以边长”,将1225分解质因数,再把质因数分成相同的两组,就可以求出这个正方形的边长。
解:把1225分解质因数:1225=5×5×7×7变形为:1225=(5×7)×(5×7)=35×35因此,这个正方形的边长为:35厘米。
答:这个正方形的边长为35厘米。
例2 在10—150中找出两个自然数,使它们的积等于77与195的积。
质数 合数 分解质因数
质数合数分解质因数在自然数中,一个数除1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数.例如2,3,5,7,11,……都是质数.一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数.例如4,6,8,9,12,……都是合数.1既不是质数,也不是合数.这样,自然数在按约数个数分类,可以分成:质数、合数和1.偶数中只有2是质数,而且是全部质数中最小的一个.除2以外全部的偶数都是合数,除2以外全部的质数都是奇数.每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数就叫做这个合数的质因数.例如,因为70=2&215;5&215;7,所以2,5,7是70的质因数.把一个合数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如,60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5,把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示,就是把60分解质因数.例1 两个质数的积是46,求这两个质数的和.分析:两个质数的积是46,46是偶数,只能是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,因此很简单得出其它的质数,从而问题得以解决.解:因为46是偶数,因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积,而偶质数只有2,另一质数46&247;2=23,所以2与23的和为25.例2 用2,3,4,5中的三个数能组成哪些三位质数?分析:首先考虑个位数字是几,如果个位数字是2或4,这样的三位数必能被2整除,因此这样的三位数不会是质数,如果个位数字是5,这样的三位数必能被5整除,这样的三位数也不会是质数,所以个位数字只能是3,再由剩下的三个数字组成百位、十位,得出个位数字是3的三位数为:243,423,253,523,453,543,最后依据质数的推断方法,得到所求的质数.解:如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时,这个数必能被2或5整除,因此个位数字只能是3,而个位数字是3的三位数有243,423,253,523,453,543,其中243,423,453,543均能被3整除,253能被11整除,所以只有523是质数.质数的推断方法是,当一个数比较小时,用定义直接推断,但这个数比较大时,通常采纳查质数表,最好记住100以内的全部质数.在没有质数表的情况下,可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除.如果能被其中某一个质数整除,就说明这个数是合数,如果除到商已比试除的质数小,还不能被这些质数中的任何一个整除,那么这个数肯定是质数.例如,推断100以内的数是否是质数,只需用2、3、5、7这四个质数去试除,如果没有一个能整除它,这个数肯定是质数,否则不是质数.推断97是不是质数,因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,因此97是质数.为什么不必去试除比97小的全部的质数呢?因为97不能被2,3,5,7中的任何一个整除,它就肯定不能被4,6,8,9,10等数〔分别为2,3,5的倍数〕整除,又因为,如果用11或大于11的质数去试除, 97&247;11=8…9,97&247;13=7…6,其商为8、7,比除数还小,都已试除过,因此推断100以内的数是否是质数只需用2,3,5,7去试除.推断200以内的数是否是质数,只需用2,3,5,7,11,13,17这七个质数去试除;推断300以内的质数,只需用2到17这七个质数去试除;推断400以内的质数,只需用20以内的八个质数与去试除;推断500以内的质数,只需2到23的质数去试除.其余可用类似的方法推出,你可以思考一下1000以内的质数如何推断?例3 将40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等.分析:如果采纳观察、计算调整的方法是比较麻烦的.要使两组数的乘积相等,只有两组数中的质因数相同,而且质因数的个数也相同,就可以了,所以从这八个数分解质因数入手,依据各质因数的个数,进行适当的搭配,便能找出问题的答案.解:将八个数分解成质因数:40=23&215;5 44=22&215;1145=32&215;5 63=32&215;765=5&215;13 78=2&215;3&215;1399=32&215;11 105=3&215;5&215;7这八个数分解质因数后一共有6个2,8个3,4个5,2个7,2个11,2个13.因此,这八个数被分成两组后,每一组应含有3个2,4个3,2个5,1个7,1个11,1个13,这样可以得到两组分别为:40,63,65,99和44,45,78,105.例4 360有多少个约数?分析:如果先求360的全部约数,再数出它们的个数,显然比较麻烦.为此,先将360分解质因数:360=23&215;32&215;5,360的任意一个约数均由假设干个2或3或5组成,我们将360的全部约数列成下面的数阵:1 2 22 233 2&215;3 22&215;3 23&215;332 2&215;32 22&215;32 23&215;325 2&215;5 22&215;5 23&215;53&215;5 2&215;3&215;5 22&215;3&215;5 23&215;3&215;532&215;52&215;32&215;522&215;32&215;5 23&215;32&215;5这个数阵共6行,每行4个约数,所以360共有4&215;6=24个,而24=〔3+1〕&215;〔2+1〕&215;〔1+1〕,这里3,2,1恰好是360分解质数式子中2,3,5的个数,从而得到下面关于约数个数的一个重要结论:一个大于1的整数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积.用数字式子表示为:如果A分解质因数为:则A的全体约数的个数为:〔r1+1〕&215;〔r2+1〕&215;…&215;〔rn+1〕例5 有30个约数的最小自然数是多少?分析:设所求的数为A,则A有30个约数,因为30= 30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5,要使A最小,一般使A的质因数的幂指数尽可能小,质因数的个数尽可能少,所以A必为以下形式:其中a1,a2,a3为互不相同的质数.要使A最小,a1,a2,a3尽可能小,显然a3=2,a2=3,a1=5,这样A=24&215;32&215;5=720解:因为30=30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5,而且题中要求a2、a3为互不相等的质数,为了使A最小,a3=2,a2=3,a1=5,所以A=24&215;32&215;5=720.例6 九个连续自然数中至多有四个质数,例如1至9中有2、3、5、7四个质数.请在200以内再找出五组这样的质数.分析:9个连续自然数中至多有5个奇数.在两位数中,个位是5的数必能被5整除,而且三个连续的奇数必有一个能被3整除,所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时,其余的四个奇数才有可能是质数.当找到一组这样的两位以上的质数时,另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数.按照上述方法找出后,再依据质数的推断方法去筛选就可得出结果.首先简单得出3,5,7,11;5,7,11,13;在两位数中,按照上面的方法可得出以下各组数:11,13,15,17,19;41,43,45,47,49;71,73,75,77,79;101,103,105,107,109;131,133,135,137,139;161,163,165,167,169;191,193,195,197,199;依据质数的推断方法可以得出两位数中还有11,13,17,19;101,103,107,109;191,193,197,199这三组符合条件.解:200以内其它五组这样的质数为:3,5,7,11;5,7,11,13;11,13,17,19;101,103,107,109;191,193,197,199.。
第3讲质数合数分解质因数
100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。
2、质因数: 一个数的因数是质数,就叫做这个数的质因数. 3、分解质因数: 把一个合数分解质因数,就是把这个合数用质 因数相乘的形式表示出来。 4、互质数: 公约数只有1的两个数,叫做互质数。 5、自然数按约数的个数可分为:质数、合数还 有1.
84=3×7×4 7=3+4 这三个数是:3,4,7.
3、有四个孩子,恰好一个比一大一岁。它 们的年龄相乘的积等于3024,那么他们各 几岁? 3024=2×2×2×2×3×3×3×7 因为7是质数,所以保留下来 2×2×2=8,2×3=6,3×3=9 所以分别是6,7,8,9岁
点击例题5 用216元钱去买一种拖鞋,正好将钱用完, 如果每双拖鞋便宜1元,则可多买3双,钱也正好 用完,求一共买了多少双拖鞋? 216=2×2×2×3×3×3 216=(3×3)×(2×2×2×3) =9×24 =3×27 答:一共买了24双拖鞋。
第 3 讲
质数合数和分解质因数
研究目标:质数合数 分解质因数 一、质数与合数的概念 自然数可以按约数(即因数)的个数进行分类: ①质数:只能被1和自身整除的自然数叫质数,即质数只 有两个约数(即因数):1和它本身。如2、3、5等 ②合数:除了能被1和自身整除外,还有能被其他整数整 除的自然数叫合数,即,合数的约数(即因数)多于2个, 除了1和它本身外,还有别的约数(即因数)。如4、6、8 等等 ③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自 然数。 注意: 1不能质数也不是合数 2是最小的质数,也是质数中唯一的偶数 4是最小的合数
3、有这样一个质数,它分别加上2,8,14,26后, 得到的仍为质数,这个质数最小是多少?
五年级培优奥数——质数、合数与分解质因数
质数、合数与分解质因数知识讲解:例题讲解:【例1】试写出1 —-100中的所有质数,并将111111分解质因数.【例2] 2004个连续自然数的和是“a×b×c×d,若出a、b、c、d都是不同的质数,则a+b+c+d 最小值应是____(全国第二届“创新杯”数学邀请赛试题)【例3】两个质数的和是39.这两个质数的积是多少?【例4】在三张纸片上分别写上三个最小的奇质数,如果随意从其中至少取出一张组成一个数,其中有几个是质数,将它们写出来。
【例5] 2002=2×7×11×13,其特点是4个不相等的质数之积.20世纪(1901—2000年)具有相同特点(即可以分解成4个小同质数的积)的所有年份为_______________。
【例6】将2l、30、65、126、143、169、275分成两组,使两纽数的积相等。
【例7】边长是自然数,面积是165的形状不同的长方形共有多少种?【例8】用216元去买一种钢笔,正好将钱用完,如果每支钢笔便宜1元.则可以多买3支钢笔,钱也正好用完.问共买了多少支钢笔?【例9】小兰家的电话号码是个七位数,它恰好是几个连续质数的乘积,这个积的末4位数是前3位数的1 0倍,小兰家的电话号码是多少?【例10】一个自然数可以分解为3个质因数的积,如果这3个质因数的平方和为3 9 6 30,求这个自然数.【例1l】求3 6 0有多少个因数?其因数和是多少?【例12】问:100以内有6个因数的数有哪些?基础训练:1。
165有多少个因数?这些因数的和是多少?2.已知自然数a有两个因数,那么3a有几个因数?3.两个质数的和是1995,这两个质数的乘积是多少?4.两个连续自然数的积加上11,其和是一个合数,这两个自然数的和最小是多少? 5.两个相邻的自然数积是1980,求这两个相邻的自然数.6.某四年级学生参加数学竞赛,他获得的名次,他的年龄,他得的分数的乘积是2910。
奥数质数合数分解质因素讲义及答案
奥数质数合数分解质因素讲义及答案数的整除(2)质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类:(1)单位1:只含有1这一个因数的自然数。
(2)质数(也称为素数):只含有1与它本身这两个因数的自然数。
(质数有无穷多个,不存在最大的质数,但有最小的质数2,而且2是质数中唯一的偶数。
)(3)合数:含有三个或三个以上因数的自然数。
(4)分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
(5)因数个数定理:例如:1980=22×32×5×11所以:(T表示因数个数)T(1980)=(1+2)×(1+2)×(1+1)×(1+1)=36 (6)因数和的定理:例如:1980=22×32×5×11所以:S(1980)=(02+12+22)×(03+13+23)×(05+15)×(011+111)=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49,这两个质数的积是多少?解:因为两个质数的和49是奇数,所以必有一个质数是偶数,另一个质数是奇数,而偶数中只有2是质数,于是另一个质数是49-2=47,从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片,上面分别写着2、3、4三个数字,从中任意抽出一张、两张、三张,按任意顺序排列起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位数,写出其中的质数。
解:由于2+3+4=9是3的倍数,所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数,末尾数字不能是2和4,只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个?这些因数的和是多少?解:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5,所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个因数。
第三讲质数合数分解质因数解答[五竞]
第十四讲质数、合数与分解质因数知识导航1. 质数:只有1和它本身两个因数的数,称为质数。
如:2, 3, 5. 7, 11,…合数:除了1和它本身两个因数以外,还有别的因数的数,称为合数。
如:4, 6,8,9, 10,..最小的质数是2,它也是质数中唯一一个偶数,其余的质数全是奇数;最小的合数是4,奇数中,最小的合数是9.奇数不一定都是质数,也有很多是合数。
如9, 15, 21, 25,…。
1既不是质数,也不是合数。
2. 通过一个顺口溜,熟记100以内的所有质数:2, 3, 5, 7和11; 13,17和19, 23连29; 31连37;41, 43带47; 53后59, 61后67 71; 73带79, 83; 89后973. 分解质因数:(1) 质因数:一个数,既是质数,同时又是一个合数的因数,我们称这个数为这个合数的质因数。
如2是28的质因数,7也是28的质因数,但4却不是28的质因数,仅仅是28的因数。
(2)把一个合数,写成几个质因数相乘的形式,叫做分解质因数。
分解质因数可以用短除法。
精典例题例1:把36和120分解质因数,并写成标准分解式。
[分析]用短除法分解质因数,再写成标准分解式。
36=2×2×3×3=22×32;120=2×2×2×3×5=23×31×51。
例2:把99折成19个质数的和,要求最大的质数尽可能大,那么,这个最大的质数是几?[分析]要使最大的质数尽可能大,则其余的质数应尽可能小,最小质数是2,最大质数:99-2×18=63,63为合数,要调整,最大的质数肯定是奇数,所以,63起码就减少2,就为61,则可以把其中的两个2调整为两个3;最大的质数=99-(2×16+3+3)=61答:最大的质数是61。
例3:三个小孩的年龄恰好是某三个连续的质数,且他们年龄的乘积是385,求这三个小孩的年龄依次是多少岁?[分析]三个连续质数的积是385,那这三个质数就是385的质因数,分解质因数就能找到。
质数合数分解质因数
(七)质数合数分解质因数闵识要点]若a能被b養除,b就是a的约数。
1. 质数与合数自然数按其约数的个数可以分成三类:⑴单位1:只含有1这一个约数的自然数。
⑵质数(也称为素数):只含有1与它本身这两个约数的自然数。
(质数有无穷多个,不存在最大的质数,但有最小的质数2,而且2履质数中唯一的偶数。
100之内有25个质数。
)(3)合数:含有三个或三个以上约数的自然数。
2. 分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
如:12 = 2X2X3;70 = 2X5X7; 126 = 2X3X3X7; ............................若校大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。
练习:把21六、107八、504()写成质因数连乘的形式:例 1 :a、b、c 是质数,c 是一名数,且aXb+c=1993o 那么a+b+c=()。
例2:用一.二、3、4、五、六、7、八、9这九个数字组成质数, 若是每一个数字都要用到,而且只能用一次,那么这九个数字最多能1组成多少个质数?例3: 1500的约数有()个。
这些约数的和是()。
例4:有8个不同约数的自然数中,最小的一个是()。
例5: 504乘以一个自然数a,取得一个平方数,求a的最小值和这个平方数。
练习:1.36()的约数有 __ 个,这些约数的和是________ 。
2.找出1992所有不同的的质因数,它们的和是 ______ o3.若a、b、c、d是四个互不相等的自然数,且aXbXcXd= 1988,那么a+b+c+d的最大值是 ______ 。
24.3780乘以一个自然数的积是一个完全平方数,这个自然数最小是______ o5.在有12个约数的自然数中,最小的一个是______ o6.四个小于1()的自然数,它们的积是360。
已知这四个数中只有一个是合数,那么这四个数别离是_______ O7.在下面的算式里,四个小纸片各盖住一个数字,被盖住的四个数字之和是____ O□ 口X □□19 9 28.31-( )=( )余7,要在算式的括号内填入适当的数使等式成立,共有______ 种不同的填法。
第二节 质数、合数和分解
第二节质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
判断一个数是质数还是合数的常用方法:对于一个自然数N,先找到一个自然数 A,使得A2略大于或等于N,再用A以内的所有质数去试除N,若有质数能整除N,则N是合数;若没有质数能整除N,则N是质数。
要特别记住:1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:把30分解质因数。
分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。
30=2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。
在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来,这种书写形式叫做分解质因数的标准式。
如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。
例题讲解例1:三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.例2:两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?例3:连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?例4:写出10个连续的自然数,个个都是合数。
例5:把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。
例6:有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
例7:有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,a×c=10.求a×b×c是多少?练习1、边长为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?2、两个质数的和是99,求这两个质数的乘积是多少?3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少?4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少?5、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数分别是多少6、把7、14、20、21、28、30分成两组,每三个数相乘,使两组数的乘积相等。
质数、合数、分解质因数
质数、合数、分解质因数走进来每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的分解质因数。
分解质因数只针对合数。
举个简单例子,12的分解因数可以有以下几种:12=2×2×3=4×3=1×12=2×6,其中1,2,3,4,6,12都可以说是12的因数,即相乘的几个数等于一个自然数,那么这几个数就是这个自然数的因数。
2,3,4中,2和3是质数,就是质因数,4不是质数。
求一个数分解质因数,要从最小的质数除起,一直除到结果为质数为止。
分解质因数的算式的叫短除法,和除法的性质差不多。
短除法还可以用来求多个数的公因式。
一起做1.判断下面各数是质数还是合数?100l 137 1187 437 943 13592、判断269、439是质数还是合数?提示:用最小的质数顺次试除,除到除数人于或等于商时为止。
3、两个质数和是20,它们的乘积最大是多少?提示:和一定时,两数的差越?乘积越?4、36的全部因数有多少个?216的全部因数有多少个?提示:写出36的全部因数,找出因数个数和质因数的关系。
5、36的全部因数的和是多少?360的全部因数的和是多少?提示:写出36的所有因数并求和,找出和与质因数的关系。
6、李聪是个中学生,他参加了全市的数学竞赛(满分100分)。
他说:“我的名次、分和我的年龄乘起来是3738。
李聪得了多少分,获得了第几名?提示:将3738分解质因数,根据年龄、名次及分数的特点组数。
7、小亚、小美和小欧是三个好朋友,他们三人的年龄依次相差2岁,已知他们三人的年龄之积是1680,他们中年龄最大的上了初中,小亚和小欧在同一学校学习,小亚不是年龄最小的,那么三个好朋友的年龄分别是多少?8、在1一1000自然数中,有哪些数有奇数个因数?这样的数共有多少个?提示:从1开始列举一下,哪些数有奇数个因数,观察有奇数个因数个因数的数有什么特点?我能行,展现自己(一)填空题1.最小的质数是( ),最大的两位质数是( )。
小学数学竞赛质数、合数和分解质因数
质数、合数和分解质因数【知识要点】一个自然数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)一个自然数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数1既不是质数,也不是合数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数【典型例题】例1.三个质数的和是80,这三个质数的积最大是多少?分析:由于三个数的和是偶数,所以这三个数中必有一个是偶数,在质数中只有2是偶数,所以三个数中一定有2。
另外两个质数的和是78,要使乘积尽可能大,那么这两个质数的差值应尽可能小。
显然,和是78的两个质数中,以41与37的差最小,即这两个数的积最大。
解:80=2+37+412×37×41=3034答:这三个质数的积最大是3034。
例2.班主任王老师带领五(一)班同学去植树,学生按人数恰好平均分成三组,已知王老师与学生共种了312棵树,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人?每人种树多少棵?分析:依题意可知种树总数=每人种树棵数×师生总人数即:312=每人种树棵数×(1+学生人数)由于学生人数是3的倍数,再加上王老师一人,则师生总人数被3除余1。
因此先将312分解质因数312=23×3×13,然后按题意进行组合使之成为两数之积。
解:312=23×3×13若312=24×13,13为师生总人数,则每人种树24棵,与题目中条件不符。
若312=6×52,52为师生总人数,则每人种树6棵。
因此,这个班共有学生51人,每人种树6棵。
例3.1×2×3×4×5×……×998×999×1000的积,末尾有多少个连续的零?分析:因为2×5=10,这样含有质因数一个2和一个5,乘积末尾就有一个0。
三、质数、合数与分解质因数
三、质数、合数与分解质因数1、质数一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫作质数(或素数),如2,3,5,7,11,13都是质数。
最小的质数是2。
2、合数一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫作合数。
例如,4,6,9,10,15都是合数。
最小的合数是4。
例题:判断:一个自然数不是质数就是合数。
解析:由质数与合数的概念可知,2是最小的质数,4是最小的合数。
1既不是质数也不是合数,所以一个自然数不是质数就是合数是错误的。
答案:×3、分解质因数把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数,其中这几个质数叫作这个合数的质因数。
例如,120=2×2×2×3×5,其中2,3,5本身是质数,又是120的因数,所以2,3,5是120的质因数。
4、分解质因数的方法(1)塔式分解法如果一个合数比较小,可以用塔式分解法进行分解质因数。
例如,将36分解质因数。
36 364 × 9 6 × 62 × 2×3 ×或 2 × 3××36=2×2×3×3 36=2×3×2×3(2)短除法就是把要分解质因数的数写在短除号“”内,在被除数的左边写除数,除数一定是质数,一般从最小的质数开始除,如果得出的商还是合数,就按照上面的方法继续除,直到得出的商是质数为止。
最后,把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。
例如,将180分解质因数。
2 180 ……180是偶数,用2除,2是质数2 90 ……90是偶数,用2除,2是质数3 45 ……45是3的倍数,用3除,3是质数3 15 ……15是3 的倍数,用3除,3是质数5……5是质数,分解结束所以180=2×2×3×3×5。
第四讲 质数、合数、与分解质因数
第四讲:质数、合数、分解质因数【知识概述】1、一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数,也叫素数。
反之,一个数的约数除了1和它本身以外,还有其他的约数,这个数就叫合数。
2、由于1的约数只有1个,所以1既不是质数,也不是合数。
3、两个数的公约数只有1,而没有其他公约数的,这两个数就叫互质数。
4、质数与互质数这两个概念没有什么联系。
两个质数,不能肯定就是互质数。
只有两个不相同的质数,才能肯定是互质数。
另外,两个合数既可能是互质数,也可能不是互质数,但不能说两个合数一定不是互质数。
5、把一个合数分解成几个质数相乘的过程,就叫做分解质因数。
【例题精讲】例题1 用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数,如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这9个数字最多能组成多少个质数?解要使质数个数最多,我们尽量组成一位的质数,有2、3、5、7均为一位质数,这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用.有1、4、8、9可以组成质数、,而6可以与前面的一位质数中的组合成质数。
所以这9个数字最多组成了这6个质数。
例题2 四个小孩,恰好一个比一个大一岁,其年龄之积是3024,这四个小孩中最大的一个是多少岁?解:将3024分解后再重新组合,看怎么才能组合成四个连续自然数相乘3024=重新组合后 3024=所以这四个小朋友中最大的一个是。
例题3月明×中秋=(月明和中秋分别代表不同的两位数,圆圆圆表示三位数)。
则“月明”和“中秋”这两个两位数各是多少?解:因为圆圆圆=111×圆=3×37×圆所以圆=所以月明= 中秋=例题4、有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列,那么第三个分数是多少?解有140=2×2×5×7,因为这些分数的分子与分母的乘积均为140,当分母越大时,分子越小,所以对应的分数也越小.有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1;对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140;对应分数从小到大依次为而其中第三个最简真分数为。
第十二讲 质数、合数、分解质因数
-159-第十二讲质数、合数、分解质因数知识导航:自然数可以根据它们的因数个数分为质数和合数。
1.质数:一个数如果只有1和它本身两个因数,这个数叫做质数。
例:2=1×2,5=1×5,13=1×13…像这些数都是质数。
2.合数:一个数如果除了1和它本身外,还有别的因数,这个数叫做合数。
例:12=1×12=2×6=3×4,36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6…像这些数都是合数。
特别注意1既不是质数也不是合数。
注意:质数与合数是根据一个数的因数的个数定义的。
3.分解质因数:指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。
例:15=3×5,24=2×2×2×3…这就是分解质因数。
注意1:分解质因数是解决数论最有效最直接的途径;注意2:100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。
4.唯一分解定理:N=a 1p1×a 2p2×…×a n pn(a 1、a 2…a n 均为N 的不同质因数)那么N 的因数个数n=(1+p1)×(1+p2)×…(1+pn)5.互质数的概念和特征互质数:公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质数的特征:(1)1和任何数都是互质数。
(2)两个不相等的质数一定是互质数。
(3)相邻的两个自然数一定是互质数。
第一关:必须会例1.两个质数的和是99,这两个质数的乘积是多少?解析:奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数。
两个质数的和是奇数,所以,一定有一个质数是偶数,偶数中只有2是质数。
解:99=2+9797×2=194答:这两个质数的乘积是194。
我试试:1、两个质数的和是39,求这两个质数的积。
质数、合数、分解质因数
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数:一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数:一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数:如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为 1,3,7,94. 部分特殊数的分解:=⨯111337=⨯1000173137=⨯⨯1111141271=⨯100171113=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯=⨯⨯⨯1998233337199535719+==⨯⨯10101371337=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯2007200840155117320082222515. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如:判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17>商14,由此说明251是质数。
质数合数 分解质因数
质数合数分解质因数一、质数与合数的概念自然数可以按约数(即因数)的个数进行分类:①质数:只能被1和自身整除的自然数叫质数,即质数只有两个约数(即因数):1和它本身。
如2、3、5等②合数:除了能被1和自身整除外,还有能被其他整数整除的自然数叫合数,即,合数的约数(即因数)多于2个,除了1和它本身外,还有别的约数(即因数)。
如4、6、8等等③1 1不是质数也不是合数。
既不是质数也不是合数的自然数只有1注意:1不能质数也不是合数2是最小的质数,也是质数中唯一的偶数4是最小的合数100以内的质数有25个:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
二、质数与合数的应用例1.3个质数的和是80,这3个质数的积最大是多少?解析:由于3个数的和是偶数,所以这3个数中必有一个是偶数,在质数中只有2是偶数,所以3个数中一定有2。
另两个质数的和是78,要使乘积最大,这两个质数应该相差尽可能小,显然,和是78的两个质数,41和37的差最小,即这两个数的积是最大。
2×37×41=3034这3个质数乘积最大是3034。
例2.一个两位质数,将它的十位数字与个位数字对调后,仍是一个两位质数,我们称这样的两位质数为“无暇质数”,则所有“无暇质数”之和等于多少?解析:设“无暇质数”为ab,那么ba也是质数因此,a、b无为奇数,容易检验,“无暇质数”分别是11、13、17、31、37、71、73、79、97共9个所以,它们的和=11+13+17+31+37+71+73+79+97=429例3.正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数,并且相对两个面所写的两数之和都相等。
若18对面所写的质数是a,14对面所写的质数是b,35对面所写的质数是c,那么a+b+c=?解析:由题意可知18+a=14+b=35+c,要想等式成立,a、b、c的奇偶性应分别为奇、奇、偶或偶、偶、奇。
_质数、合数和分解质因数讲义
质数、合数和分解质因数讲义1.质数与合数一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。
一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。
要特别记住:1不是质数,也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例:把30分解质因数。
解:30=2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.解:∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?解:把40表示为两个质数的和,共有三种形式:40=17+23=11+29=3+37。
∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。
∴所求的最大值是391。
答:这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数,还是合数?为什么?解:123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。
例4 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,a×c=10.求a×b×c是多少?解:∵6=2×3,15=3×5,10=2×5。
(a×b)×(b×c)×(a×c)=(2×3)×(3×5)×(2×5)∴a2×b2×c2=22×32×52∴(a×b×c)2=(2×3×5)2a×b×c=2×3×5=30例5 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。
2. 质数、合数和分解质因数
选做题1
甲、乙两人的年龄和为一个两位质数,这个数的个位与十 位数字的和是13,甲比乙大13岁,那么乙今年多大?
参考答案: 数字和为13的2位质数,个位只能是7或9,验证可 知两位数为67. 和差问题:乙的年龄=(67-13)÷2=27
例题3
如果两个不同的质数相加等于25,那么这两个质数的乘积是多少?
答案:46
练习3
如果两个不同的质数相加等于15,那么这两个质数的乘积是多少?
答案:26
例题4
三个互不相同的质数相加,和为40,这三个质数的乘积可能是多少?请全部写出.
答案:434
练习4
如果三个互不相同的质数相加,和为52,这三个质数可能是多少?
先分解质因数 84 22 3 7 ,可以将84拆
成3、4、7的乘积,满足要求。
练习6
3个连续自然数的乘积是210,这三个自然数分别是多少? 答案:5、6、7
210 2357
例题7
把10、14、21、30、33、66这6个数平均分成两组,使每 组3个数的乘积相等.
总结:从小到大检验平方小于等于这个数的所有质数。
练习5 请把下面的数分解质因数: (1)370;(2)12660;(3)373.
(1) 370 2537 (2)12660 22 35 211 (3)质数
例题6 三个自然数的乘积为84,其中两个数的和正好等于第三个数. 求这三个数.
答案:3、4、7
第2讲
质数、合数和 分解质因数
2020年9月18日
你知道吗
他最著名的著作 《几何原本》 是欧洲数学的基础
欧几里得 几何之父
课前回顾 1. 质数合数 2. 100以内的质数
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第一讲质数和合数
例1 两个质数的和是39,这两个质数的积是多少?
例2 数d是质数,且a+10、a+14的和也都是质数,数a是多少?
例3 三个质数的和是80,这三个质数的积最大是多少?
练习:
1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?
2.两个质数的和是1995,这两个质数的乘积是多少?
3.两个连续自然数的积加上11,其和是一个合数,这两个自然数的和最小是多少?
4.两个质数的和是40,求这两个质数的乘积最大是多少?
5.两个质数的和是99,这两个质数的积是多少?
第二讲分解质因数
例1 三个连续自然数的乘积是120,求这三个数。
例2 小明是个中学生,他说:“这次考试,我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数,结果是2910。
”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?
例3 学校举行跳绳比赛,取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁,四人年龄的乘积是11880,这四个同学的年龄各是多少?
例4 下面算式中,不同的字母代表不同的数字。
求这个算式。
例5 1512乘以自然数a得到一个平方数,求a的最小值。
例6 有三个自然数,它们的和是338,积是1986,求这三个数。
例7 有24盆花,分成几堆(至少分2堆),使每堆的盆数都相等,可以怎样分?
例8 自然数151200的约数中有许多两位数,其中最大的是几?
例9 有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三个数的乘积是42560,求这三个自然数。
例10 有3个自然数a、b、c,已知a×b=6,b×c=15,a×c=10,贝a×b×c=?
例11 用216元去买一种钢笔,正好将钱用完。
如果每支钢笔便宜1元,则可以多买3支钢笔,钱也正好用完。
共买了多少支钢笔?
例12 将下面八个数平均分成两组,使这两组数各自的乘积相等。
例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积,则这两个连续奇数的和是多少?
例14 在射箭运动中,每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数,甲、乙两名运动员各射了5箭,每人5箭的环数的积都是1764,但甲的总环数比乙的总环数多4环,求甲、乙两人的总环数各是多少?
练习:
1.相邻两个自然数的乘积是756,这两个自然数分别是多少?
2.下面算式中,不同的字母代表不同的数字,求这个算式中四个字母的和,
3.三个自然数的和是160,三个自然数的积是32118,这三个数是哪几个数?
4.自然数a乘以2376,正好是一个平方数,求a的最小值。
5.求2310除它本身以外的最大约数。
6.自然数a乘以2160,积是一个立方数,求a的最小值。
7.有4个学生,他们的年龄恰好是一个比一个大1岁,而他们年龄的乘积是5040,他们的年龄各是多少?
8.把11112222个棋子排成一个长方阵,每一横行的棋子数比第一竖行的棋子数多1个,这个长方阵每一横
行有多少个棋子?
9.边长是自然数,面积是165的形状不同的长方形共有多少种?
10.如果两个数的积与308和450的积相等,并且这两个数同时能被30整除,求这两个数。
11.一个整数a与1080的积是一个平方数,当a最小时,这个平方数是多少? 。
12.五个孩子的年龄一个比一个小1岁,他们的年龄的乘积是55440,求这五个孩子的年龄。
13.用几只船分三次把90袋化肥载过河去,已知每只船栽的化肥袋数相同,且至少载6袋,每次应有多少只船?每只船载多少袋化肥?
14.学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100人到200人之间,有几种排法?
15.班主任李老师带全班同学去种树,学生恰好能分成3组,如果老师与学生每人种树一样多,共种572棵树,每人种多少棵树?
16.将一批图书分给三个班,他们所得本数一个班比一个班多3本,且他们所得图书的本数的乘积是90720本,三个班各几本?
17.求1155的两位约数中最大的一个是多少?
18.三个自然数a、b、c,已知a×b=30,b×c=35,a×c=42,求a×b×c是多少?
19.将750元奖金平均分给若干获奖者,如果每人所得的钱数化成以角作单位的数就正好是得钱人数的12倍,求获奖人数。
20.有5个连续偶数的积是3840,求这五个数各是多少?
21.有5个连续奇数的积是945,求这五个数各是多少?
22.将下面八个数平均分成两组,使这两组数各自的乘积相等,
2,5,14,24,27,55,56,99。
23.将8个数14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组4个数,要使各组4个数的乘积相等。
则其中一组的4个数是14,、、。
24.在农村,可以用鸡蛋换热水瓶,开始商店规定用55个鸡蛋换一个热水瓶,但没人来换。
后来热水瓶降价,换的人多了,热水瓶全部换完了,共换了2494个鸡蛋。
虽然每个热水瓶的成本高于40个鸡蛋,但商店并不亏本。
降价后多少个鸡蛋可换一个热水瓶?
25.五个儿童的年龄的和是37,积是18480,如果每一个儿童的年龄都不到13岁,五个儿童的年龄各是多少?
26.一个小朋友用1.8元买画片,如果每张画片减少1分钱,那么他就可以多买2张,他原来买了几张小画片?。