2015年贵州省遵义市习水二中高一下学期期末数学试卷与解析答案

2014-2015学年贵州省遵义市习水二中高一（下）期末数学试卷一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知A⊆{0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（）A．11个B．12个C．15个D．16个2．（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.73．（5分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞04．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣2）f （a+1）．（填写“＜”，“=”，“＞”之一）6．（5分）y=|sinx|的一个单调增区间为（）A．（﹣，）B．（，）C．（π，）D．（，2π）7．（5分）若sinα﹣3cosα=0，则的值为（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．8．（5分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}9．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，3，4}，B={1，3}，则（∁∪A）∪B=（）A．{2}B．{1，2，3}C．{1，3}D．{0，1，2，3，4}10．（5分）若A={0，1，2}，B={x|1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知函数①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e x；④f（x）=e cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个x1都存在唯一个x2，使f（x1）f（x2）=1成立的函数是．（写出所有满足条件的函数的序号）12．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为．13．（5分）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是．14．（5分）将f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g （x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=+g（x）的最小值为m且m＞2+，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，若f（x）=4x﹣15，则不等式≥0的解集是．三、解答题（75分）16．（11分）已知{a n}是正项数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2，求证：b n b n+2＜b．17．（14分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围．（2）当m=4时，若圆C与直线x+ay﹣4=0交于M，N两点，且⊥，求a的值．18．（12分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；（2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）如图：三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为．若M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A ﹣MC ﹣B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知正项数列{a n }，{b n }满足：对任意正整数n ，都有a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，且a 1=10，a 2=15． （Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年贵州省遵义市习水二中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知A⊆{0，1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（）A．11个B．12个C．15个D．16个【解答】解：根据题意，A中至少有一个奇数，包含两种情况，A中有1个奇数或2个奇数，若A中含1个奇数，有C21×22=8，A中含2个奇数：C22×22=4，由分类计数原理可得．共有8+4=12种情况；故选：B．2．（5分）三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是（）A．0.76＜60.7＜log0.76 B．0.76＜log0.76＜60.7C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．3．（5分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选：B．4．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanθ=，则cos2θ====，故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣2）＜f（a+1）．（填写“＜”，“=”，“＞”之一）【解答】解：x∈（0，+∞）时，f（x）=log a x，单调递增，故a＞1，a+1＞2．又函数y=f（|x|）是偶函数，比较f（﹣2）与f（a+1）的大小只要比较﹣2、a+1与y轴的距离的大小．由a+1＞2知f（﹣2）＜f（a+1）．故答案为：＜6．（5分）y=|sinx|的一个单调增区间为（）A．（﹣，）B．（，）C．（π，）D．（，2π）【解答】解：根据y=|sinx|的图象，结合所给的选项，可得y=|sinx|的一个单调增区间为（π，），故选：C．7．（5分）若sinα﹣3cosα=0，则的值为（）A．﹣ B．2 C．﹣2 D．【解答】解：∵sinα﹣3cosα=0，即sinα=3cosα，∴tanα=3，则原式===2，故选：B．8．（5分）设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4}B．{1，5}C．{2，4}D．{2，5}【解答】解：∵A={1，3}，B={3，5}，∴A∪B={1，3，5}，∵U={x∈N|x＜6}={1，2，3，4，5}，+∴∁U（A∪B）={2，4}，故选：C．9．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，A={0，3，4}，B={1，3}，则（∁∪A）∪B=（）A．{2}B．{1，2，3}C．{1，3}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：由全集U={0，1，2，3，4}，A={0，3，4}，A={1，2}，又B={1，3}，得到C∪A）∪B={1，2，3}．则（C∪故选：B．10．（5分）若A={0，1，2}，B={x|1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：集合A三个实数0，1，2，而集合B表示的是大于等于1小于等于2的所有实数，所以两个集合的交集为{1，2}．所以A∩B={1，2}，故选：D．二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知函数①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e x；④f（x）=e cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个x1都存在唯一个x2，使f（x1）f（x2）=1成立的函数是③．（写出所有满足条件的函数的序号）【解答】解：由题设知，对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1，存在定义域内的唯一一个自变量x2，使得f（x1）f（x2）=1成立的函数一定是单调函数，②④不是单调函数，不合题意．因为对于函数f（x）=lnx当x1=1时，不存在x2使得f（x1）f（x2）=1成立，∴由此可知，满足条件的函数有③．故答案为：③．12．（5分）函数f（x）=log2（x2﹣1）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：要是原式有意义，则x2﹣1＞0，则x＞1或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）13．（5分）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是[30°，150°] ．【解答】解：∵||||sinθ=∴sinθ=，∵||=1，||≤1，∴sinθ，∵θ∈[0，π]∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[]，14．（5分）将f（x）=2x﹣的图象向右平移2个单位后得曲线C1，将函数y=g （x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，C1与C2关于x轴对称，若F（x）=+g（x）的最小值为m且m＞2+，则实数a的取值范围为（，2）．【解答】解：∵将的图象向右平移2个单位后得曲线C1，∴曲线C1：p（x）=2x﹣2﹣，∵曲线C2，C1与C2关于x轴对称，∴曲线C2：q（x）=﹣2x﹣2，∵将函数y=g（x）的图象向下平移2个单位后得曲线C2，∴g（x）=﹣2x﹣2+2，∴=+﹣2x﹣2+2=（）•2x++2，设t=2x，∵2x＞0，∴t＞0，∵函数定义域的端点值取不到，∴如果函数有最值，那么该最值就一定在非端点处取到，也就是说该函数一定不是单调函数，而对于形如y=ax+的函数只有当ab＞0时才是（0，+∞）上的非单调函数，∴（﹣）（4a﹣1）＞0，解得a＜0或＜a＜4，当a＜0时，变量t的两个系数都为负数，此时F（x）只有最大值，不合题意．当＜a＜4时，t的两个系数都为正数，并且t也为正数，∴可以用基本不等式：F（x）≥2+2，∵的最小值为m且，∴m=2+2＞2+，联立＜a＜4，解得：＜a＜2．综上所述：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．15．（5分）已知函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，若f（x）=4x﹣15，则不等式≥0的解集是（﹣∞，﹣1）∪[，1）．【解答】解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=2对称，f（x）=4x﹣15，∴g（x）=f（4﹣x）=4（4﹣x）﹣15=1﹣4x，∵≥0，∴≥0，即（x﹣1）（x+1）（4x﹣1）≤0，（x≠±1），解得x＜﹣1，或≤x＜1，故答案为；（﹣∞，﹣1）∪[，1）．三、解答题（75分）16．（11分）已知{a n}是正项数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2，求证：b n b n+2＜b．）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上【解答】解：（1）∵点（，a n+1=a n+1，∴a n+1﹣a n=1，即a n+1则{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，则a n=n．（2）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2，则b n=b n+2=b n+2n，+1﹣b n=2n，即b n+1则b2﹣b1=21，b3﹣b2=22，b4﹣b3=23，…b n﹣b n﹣1=2n﹣1，等式两边同时相加得b n﹣b1=21+22+…+2n﹣1，即b n=1+21+22+…+2n﹣1==2n﹣1，则b n b n+2=（2n﹣1）（2n+2﹣1）=22n+2﹣2n+2﹣2n+1=22n+2﹣5•2n+1b=（2n+1﹣1）2=2（2n+2）﹣2•2n+1+1=2（2n+2）﹣4•2n+1，∴b n b n+2＜b．17．（14分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）求m的取值范围．（2）当m=4时，若圆C与直线x+ay﹣4=0交于M，N两点，且⊥，求a的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0 即圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2 =5﹣m，∴m＜5．（2）当m=4时，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2 =1，圆心C：（1，2），半径r=1，∵CM⊥CN，∴弦心距d=r，即=，化简：7a2﹣24a+17=0，求得a=1，或a=．18．（12分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．（1）证明：面PAC⊥面PBC；（2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（2）解：如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，∵PC∩BC=C，∴AH⊥平面PBC，则∠ABH即是要求的角．∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角，∴tan∠PCA==，又PC=2，∴AC=，∴在直角△PAC中，AH=在直角△ABH中，sin∠ABH=，即AB与平面PBC所成角正弦值为．19．（12分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，则O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）（I）则=（0，3，4），=（﹣8，0，0）由此可得•=0∴⊥即AP⊥BC（II）设=λ，λ≠1，则=λ（0，﹣3，﹣4）=+=+λ=（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）=（﹣4，5，0），=（﹣8，0，0）设平面BMC的法向量=（a，b，c）则令b=1，则=（0，1，）平面APC的法向量=（x，y，z）则即令x=5则=（5，4，﹣3）由=0得4﹣3=0解得λ=故AM=3综上所述，存在点M符合题意，此时AM=321．（14分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，且a 1=10，a 2=15． （Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅲ） 设，如果对任意正整数n ，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b n =a n +a n +1①，a n +12=b n •b n +1②．由②得③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有．即．∴是等差数列．（4分）（Ⅱ）设数列的公差为d ，由a 1=10，a 2=15．经计算，得． ∴．∴．∴，．（9分）（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）=（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件； 当a ﹣1=0，即a=1时，满足条件； 当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）=4a ﹣15＜0．解得，∴a ＜1．综上，a ≤1．（14分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。