4.24内积空间与等距变换2
内积空间的基本概念汇总
第四章Hilbert 空间一 内积空间的基本概念设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝___________)x ,y (；3） )y ,x ()y ,x (αα=；4）)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：|)y ,x (|2)y ,y )(x ,x (≤。
设H 是内积空间，对任意H x ∈，命),(||||x x x =则||||⋅是H 上的一个范数。
例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义dt t y t x y x ba⎰=________)()(),(则与],[2b a L 类似，),(y x 是一个内积，由内积产生的范数为212)|)(|(||||⎰=badt t x x上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n→，y y n→，),(),(y x y x nn→。
定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1） 平行四边形法则：2||||y x +＋2||||y x -＝2)||||||(||22y x +；2） 极化恒等式：),(y x ＝41（2||||y x +－2||||y x -＋2||||iy x i +－)||||2iy x i -定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。
二 正交性，正交系 1 正交性设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x⊥。
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内积空间第七章内积空间⼀、内容提要§7.1内积空间与简单性质1．定义(1). 内积空间设V 是实数域上的线性空间, ,V αβ?∈, V 上的内积是这样⼀个映射:(,)V V αβαβ×→×R a , 对,,V αβγ?∈和c ?∈R , 其有如下性质：1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαγβγ+=+; 3) (,)(,)c c αβαβ=;4) (,)0,αα≥ 且(,)0αα=当且仅当0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为实内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid 空间,简称为欧⽒空间.(2). 长度设V 是⼀个实内积空间, V α∈, 定义α的长度或范数为α=(3). 夹⾓设V 是欧⽒空间, 定义⾮零向量α、β的夹⾓的余弦为(,)cos αβθαβ=.(4). 正交设V 是欧⽒空间, ,V αβ∈, 若(,)0αβ=, 则称α与β正交或垂直.记为αβ⊥.2. 重要定理(1) (Cauchy-Schwarz 不等式)对空间V 中任意向量α,β, 有 (,)αβαβ≤.且当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) (三⾓不等式)对欧⽒空间V 中任意向量,αβ, 有αβαβ+≤+.§7.2 标准正交基1．定义（1）正交基设{}12,,,n αααL 是n 维内积空间V 的⼀组向量组, 如果集合中任意两个不同的向量都正交, 即,i j i j αα⊥≠, 则称这组向量组是V 的⼀组正交组.（2）标准正交基如果内积空间V 的⼀组基是正交的, 则称这组基为V 的正交基. 若正交基中每个向量的长度都等于1, 则称这组正交基为标准正交基.（3）正交补空间设W 是内积空间V 的⼦空间. 令 {}(,)0,WV w w W αα⊥=∈=?∈.容易验证W ⊥也是V 的⼦空间, 称为W 的正交补空间. 2．定理（1）内积空间中任意⼀组两两正交的⾮零向量组{}12,,,m αααL 必线性⽆关, 因此构成所⽣成⼦空间12(,,,)m L αααL 的⼀组基.（2）n 维欧⽒空间V 的每⼀个⼦空间W 都有唯⼀的正交补空间. (3) 设V 是n 维内积空间, W 是V 的任意⼀个⼦空间, 则有 1) V W W ⊥=⊕;2) W 的任意⼀组标准正交基均可扩张为V 的标准正交基.3. 标准正交基的求法利⽤Grame-Schmidt 正交化⽅法§7.3 正交变换与正交矩阵1．欧⽒空间同构设V 与W 都是实数域上的欧⽒空间, :V W ?→是线性映射, 如果对任意的,,V c αβ∈∈R , ?满⾜下列条件:(1) ()()();?αβ?α?β+=+ (2) ()();c c ?α?α=(3) ((),())(,),?α?βαβ=则我们称欧⽒空间V 与W 同构. 2. 欧⽒空间同构定理两个有限维欧⽒空间同构当且仅当它们的维数相同 3．正交变换欧⽒空间V 的线性变换?称为正交变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=. 4. 正交矩阵(1) 定义设A 是n 阶⽅阵, TA 是A 的转置, 如果TTAA A A E ==, 则称A 为n 阶正交矩阵. (2) 性质1)若A 是正交矩阵, 则1TA A ?=也是正交矩阵. 2)若A 是正交矩阵, 则1A =±.3)正交矩阵的积仍是正交矩阵. 4) 标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵. 5. 定理设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则下列命题等价 (1) ?是正交变换.(2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. (3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.§7.4 实对称矩阵的标准型1．对称变换与对称矩阵(1)定义n R 上满⾜((),)(,())?αβα?β=的变换?称为对称变换.（2）性质1) 实对称矩阵的特征值都是实数.2) 设A 是对称矩阵, 则不同特征值对应的特征向量彼此正交. 2.正交对⾓化矩阵(1) 定义设A ⼀个矩阵, 如果存在⼀个正交矩阵P 和⼀个对⾓矩阵D , 使得1T P AP P AP D ?==, 则称A 为可正交对⾓化矩阵(2) 性质若A 是对称矩阵, 则A 是可正交对⾓化矩阵.§ 7.5 ⾣空间和⾣变换1．定义（1）复内积空间复数域上的线性空间V 上的内积是⼀个函数V V ×→C , 对每⼀对属于V 的向量α和β, 存在⼀个复数(,)αβ∈C 满⾜下⾯公理, 对任意,,V αβγ∈和c ∈C 有：1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+ 3）(,)(,)c c αβαβ=4）(,)0,αα≥ 且(,)0αα=的充分必要条件是0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为复内积空间. 有限维复内积空间称为⾣空间. (2) 正交设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈,如果(,)0αβ=, 我们称α与β是正交的. (3) 标准正交基⾣空间V 的⼀组两两正交的基向量叫做V 的⼀个正交基. 如果⼀个正交基的每⼀个向量都是单位向量, 就称这个正交基是⼀个标准正交基.(4) ⾣矩阵⼀个n 阶复矩阵U 叫做⼀个⾣矩阵, 如果U 满⾜ HH UUU U E ==.(5) ⾣变换⾣空间V 的线性变换?称为⾣变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=.(6) 对称变换⾣空间V 的线性变换?叫做⼀个对称变换, 如果对于任意V αβ∈、都有((),)(,())?αβα?β=.(7) Hermite 矩阵n 阶复矩阵H 叫做Hermite 矩阵, 如果H 满⾜ HH H =.2. 重要定理(1) 设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈, 有(,)αβαβ≤?,当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) 设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则有下列命题等价1) ?是⾣变换.2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. 3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是⾣矩阵. (3) 设?是n 维⾣空间V 的⼀个对称变换,1) ?的特征值都是实数.2) ?的属于不同特征值的特征向量彼此正交. (4) 设H 是⼀个n 阶Hermite 矩阵, 则存在⼀个n 阶⾣矩阵U , 使得 1HU HU U HU D ?==是⼀个实对⾓矩阵.§ 7.6 正规矩阵1．正规矩阵(1) 正规矩阵设n nA ×∈C是矩阵, 若A 满⾜H HA A AA =, 则称A 为正规矩阵.(2) 伴随矩阵设?是有限维内积空间V 上的线性算⼦, 若存在V 上的算⼦*, 使得对任意,V αβ∈都有*((),)(,())?αβα?β=, 则称*?是?的伴随算⼦.(3) 正规算⼦设?是实有限维内积空间V 上的线性变换, *是其伴随, 若**=, 则称?是V 上的正规算⼦.2. 性质与定理(1) 若A 是实矩阵, 则对任意的正交矩阵P , TP AP 是实正规矩阵. 若A 是复正规矩阵, 则对任意的⾣矩阵U , HU AU 仍是复正规矩阵.(2) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, ⼜{}12,,n εεεL 是V 的标准正交基. 设?在这组基下的矩阵A 是⼀个上三⾓矩阵, 则?是正规算⼦当且仅当A 是对⾓矩阵.(3) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, 则存在V 的⼀组标准正交基, 使?在这组基下的矩阵为上三⾓矩阵.(4) 设?是n 维⾣空间V 上的正规算⼦, 则存在⼀组标准正交基{}12,,,n γγγL , 使得?在{}12,,,n γγγL 下的矩阵是对⾓矩阵, 且{}12,,,n γγγL 是?的n 个线性⽆关的特征向量.(5) ⼀个复矩阵相似于对⾓矩阵当且仅当它是⼀个正规矩阵. (6) 任⼀n 阶⾣矩阵相似于对⾓矩阵12n c c cO , 其中1(1,2,,)ic i n ==L⼆、训练题⼀、选择题1．如果235,213αβ=?=是使内积空间的两个向量, 则它们的内积为( )（a); 1 （b)-1; （c) 2; （d)-22. 设W 是n 维欧⽒空间V 的⼦空间, 则（）(a) W 的维数不⼩于n ; (b) W 的补空间不⼀定存在; (c) W ⾄少存在⼀个补空间; (d) W 存在唯⼀的补空间; 3．设,A B 是正交矩阵, 则（）(a)A B +是正交矩阵; (b) A B +不是正交矩阵; (c)AB 是正交矩阵; (d) kA 是正交矩阵 4．下列实矩阵没有特征值的是（）(a)实对称矩阵; (b)奇数阶实矩阵; (c)⼆阶⾮零反对称矩阵; (d)实上三⾓矩阵. 5. A 是正交阵，则（）（a）TA ⼀定不是正交阵；（b）TA ⼀定是正交阵; (c)1T A A ?≠；（d）TA 是对称矩阵. 6．下列命题正确的是（）（a）两个正交变换的线性组合仍是正交变换；（b）两个对称变换的线性组合仍是对称变换; (c) 对称变换将正交向量组变为正交向量组； (d）对称变换必是可逆变换.7. 下列关于矩阵相似的结论正确的是( ) （a）两个相似的实对称矩阵必相似；(b) 同阶正定阵必相似;(c) 特征值相同的同阶矩阵必相似； (d) 两个合同矩阵必相似.8. 设()1,2,2,0Tα=?, 则α的单位化向量是:(a) 1212,,,0333T ; (b) 122,,,0333T;(c) 121,,,0334T; (d)122,,,0333T.⼆、填空题1．设()1212,,,,(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 是复内积空间中向量，则它们的标准内积(,)αβ=_____________.2．⼆次型2212121334f x x x x x x =+?+对应的对称矩阵为_____________. 3．实对称矩阵A 的特征多项式为2 56λλ?+, 它的正交相似标准型是 . 4．实对称矩阵是正定阵的充分必要条件是_____________. 5．已知0111101111011110A=, 则A 可以化为对⾓矩阵_____.三、计算、证明题 1．设()()(),2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1321TTT===ααα求1）32132ααα?+；2）1α与2α的夹⾓以及3α与2α的夹⾓； 3）与321,,ααα都正交的单位向量。
工程硕士矩阵论第二章
对
由 求
0,
是与 同方向的单位向量，
的过程称为把向量单位化。
定义 对欧氏空间V 中任意非零元素 , ,
规定 arccos
,
为非零元素 与 的夹角。
若 , 0 ，则称向量 与 正交，记为
.
由定义可知，与几何向量一样有 V ，有 0 ； （ 1） V ，若 0 ； （ 2） （3）若 , 是非零元素，则 与 的夹角为 2 .
所以 是 R n C n 的一种内积, 称为 R n C n 的标准内积。
例2 对 a1 , a2 , b1 , b2 R 2 , 定义
1 1 b1 , a1 , a 2 1 3 b 2
, a1b1 a 2 b2 a n bn a i bi
i 1 n
T
H , a1 b1 a 2 b2 a n bn a i bi i 1 易证这样定义的 , 满足内积的4个条件,
2 R , 可验证这样定义的 也是 的内积。
例3 对 f x , g x C a, b ，定义内积为
f x , g x
b a
f x g x dx
用定积分的性质可证明这样定义的 f x , g x 是 C a, b 的内积。
所以H是 C n 上的酉变换，称为Householder 镜象变换.
定理2.5 设T是内积空间V上的一个线性 变换，则下列命题等价： （1） T , T , , , V , （2） T , V ， 当V是有限维时，以上命题进一步与以下 命题等价。 1 , 2 ,, n 是V的一组标准正交基，则 （ 3） T 1 , T 2 ,, T n 是V的一组标准正交基; （4）T在任一组标准正交基 1 , 2 ,, n下的 矩阵是酉矩阵。
内积空间基本概念
内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。
一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。
在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。
2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。
3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。
4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。
二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。
它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。
2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。
3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。
正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。
4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。
长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。
三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。
常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。
2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。
复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。
3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。
子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。
四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。
内积空间及其性质与应用
内积空间及其性质与应用内积空间是线性代数中非常重要的一个概念。
它是指一个向量空间，其中每个向量都有一个与其它向量的内积，该内积遵循某些规则和性质，并能够为向量空间提供额外的结构和属性。
在这篇文章中，我们将探讨内积空间的一些性质、应用和重要性。
一、内积空间的定义和性质内积空间是向量空间的扩展，其中每个向量x和y之间有一个内积。
内积是将两个向量映射到一个标量或实数的函数，通常使用符号< x, y >表示。
内积是一个满足以下四个性质的函数：1.对称性： < x, y > = < y, x >2.线性性： < ax + by, z > = a< x, z > + b< y, z >3.正定性（或非负性）： < x, x > >= 0，且 < x, x > = 0 当且仅当 x = 04.非退化性：如果 < x, y > = 0 对于所有y，那么 x = 0这四个性质使得内积空间在很多方面都有用处。
它们确保了内积的对称性、线性组合的性质以及长度的概念。
除此之外，内积空间还有其他有用的性质，例如加权Cauchy-Schwarz不等式和向量正交的概念等。
二、内积空间的应用内积空间的应用非常广泛，许多重要的数学和物理学概念都可以表示为内积空间。
以下是一些内积空间的应用：1.傅里叶分析：傅里叶分析是一种分解周期信号的方法，它使用内积来定义信号中的频率和幅度。
傅里叶变换可以看作是内积空间中的一种变换。
2.量子力学：量子力学的基础是量子态空间，它是一个内积空间。
这个空间中的向量表示量子态，而它们之间的内积表示量子态之间的相似性。
3.最小二乘法：最小二乘法是一种用来拟合数据的方法。
在内积空间中，最小二乘法可以看成是找出一个向量在一个子空间上的最佳逼近。
4.图像处理：图像处理中的许多算法可以看成使用内积来度量像素之间的相似性。
第二章 内积空间 矩阵理论课件
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
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内积空间⼀向量空间与内积空间向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。
如果为向量空间 V 的⼀组基，则仍在向量空间 V 中。
在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。
在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间⾓度等概念，这就定义了内积空间。
设向量为X, Y，X 长度定义为， X,Y 间⾓度定义为。
⼆内积定义在空间上，有如下⽮量和，在⼏何中，⽮量长度表⽰原点到其端点的距离，根据 Pythagorean 定理，有。
定义内积，则⽮量 X 长度等于，这样建⽴其内积与长度关系。
在复⽮量空间中，有如下⽮量和，定义内积。
如何理解复⽮量内积？⾸先，针对单个复数，有，使⽤共轭乘法可求解复数长度。
当两个不同复数共轭乘法时，，其结果仍然为⼀个复数，可分解为实数分类与虚数分量。
复⽮量内积就是对所得复数相加得到⼀个结果，最终结果⼀般包括实数分量与虚数分量部分，即⼀般结果为形式。
内积满⾜如下性质：1）正性：如果 v 为⾮零向量， <v, v> > 0，该性质对实⽮量与复⽮量均成⽴；2）共轭对称性：，针对复⽮量，该等式成⽴，针对实⽮量，共轭运算等于本⾝，则内积运算对称；3）均匀性：，针对复⽮量时 c 为复数，实⽮量时 c 为实数；4）线性：<u + v, w> = <u, w> + <v, w>, <u, v + w> = <u, v> + <u, w>, 针对复⽮量与实⽮量均成⽴。
三空间与空间⼀个信号可表⽰为 f(t) 的函数，在区间上，空间表⽰所有平⽅可积函数组成的空间，即函数 f(t) 可以存在⽆穷多个间断点，使⽤ Lebesgue 观点，即不考虑测度为零的集合时，在区间上的积分和有限。
在 N 维向量空间中，空间维度为 N，向量长度也为 N。
类⽐ N 维向量空间，空间是⽆限维的（即⽆限个 f(t) 满⾜以上条件），区间可以被⽆限细分，类似向量长度可以⽆限长。
工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt
, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
n, 1 n, 2 … n, n yn
… …
… …
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
例2 在 n中定义X, Y = YHX, 则 n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 n 中的内积均指标准内积.
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
则 n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
… …
… …
…
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
…
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
距离空间赋范空间内积空间的关系
一、概述距离空间、赋范空间和内积空间是数学中常见的概念，它们各自具有独特的性质和结构。
研究它们之间的关系，有助于深入理解空间的性质及其在实际问题中的应用。
本文将着重探讨距离空间与赋范空间、内积空间之间的关系，并展示它们在数学和实际问题中的应用。
二、距离空间的定义及性质距离空间是指一个集合X上配备了一个距离函数d的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)≥0，且d(x, y)=0当且仅当x=y。
2. 对称性：对于所有的x, y∈X，有d(x, y)=d(y, x)。
3. 三角不等式：对于所有的x, y, z∈X，有d(x, z)≤d(x, y)+d(y, z)。
三、赋范空间的定义及性质赋范空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个范数函数||·||的空间，满足以下性质：1. 非负性：对于所有的x∈X，有||x||≥0，且||x||=0当且仅当x=0。
2. 齐次性：对于所有的x∈X和所有的实数α，有||αx||=|α|·||x||。
3. 三角不等式：对于所有的x, y∈X，有||x+y||≤||x||+||y||。
四、内积空间的定义及性质内积空间是指一个实数域上的向量空间X上配备了一个内积函数lt;·, ·gt;的空间，满足以下性质：1. 对称性：对于所有的x, y∈X，有lt;x, ygt; = lt;y, xgt;。
2. 线性性：对于所有的x, y, z∈X和所有的实数α，β，有lt;αx+βy, zgt; = αlt;x, zgt+βlt;y, zgt。
3. 正定性：对于所有的x∈X，有lt;x, xgt; ≥0，且lt;x, xgt;=0当且仅当x=0。
五、距离空间与赋范空间的关系1. 距离空间是赋范空间的特例，在距离空间中可以定义范数函数||x-y||=d(x, y)，因此任何一个距离空间都是赋范空间。
2. 赋范空间的范数函数可以直接导出距离函数，即距离空间中的距离函数可以由赋范空间中的范数函数定义而来。
4.10线性空间与线性变换1内积空间与等距变换2
二、线性空间的基与维数
三、线性空间的坐标与坐标变换
§1.3 子空间的和与交
一、子空间的判定
二、子空间的和与交
三、子空间的直和
§1.4 线性映射
一、映射—变换
二、线性映射—线性变换
三、线性变换的运算
§1.5 线性映射的矩阵
一、线性映射的矩阵
二、线性变换运算的矩阵
三、不变子空间
,也记为Ker( f ).
二、性质
值域 核 已知A的秩为r,求R(f )和K(f )的秩。
注意：虽然 dim(R(T )) dim(Ker(T )) n ，但是 R(T ) Ker(T ) 并不一定等于 V ．
d 例如：在 P[ x]n 中，微分变换 D ： D( f ( x)) f ( x) dx
1 解：(1) 因为对 A B 0 2 有 A B 0
0 0 W1 0 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0 ( 2) 因 W2 , 即W2非空. 0 0 0
a1 b1 0 a2 , B 对任意 A 0 0 c1 0
有 因此 满足
即
b2 0
0 W2 c2
a1 b1 c1 0,
a2 b2 c2 0,
a1 a2 A B 0
A B W2；
b1 b2 0
0 c1 c2
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
定义2.1.2
注：
证明：设
则 =
作业：
1、
2、设欧氏空间 P[ x]中的内积为 f ( x), g ( x) 1 f ( x) g ( x)dx 3 （1）求基1，x,x2的度量矩阵；
内积空间与正交变换的基本概念
内积空间与正交变换的基本概念内积空间和正交变换是线性代数中重要的概念，它们在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍内积空间和正交变换的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、内积空间的定义和性质内积空间是指在定义了内积运算的向量空间。
内积运算是指将两个向量进行运算得到一个标量的运算，常用的内积运算有点乘和矩阵乘法等。
内积空间具有以下性质：1. 正定性：对于任意非零向量v，它的内积与自身的内积大于零，即(v, v) > 0。
当且仅当v等于零向量时，(v, v)等于零。
2. 线性性：对于任意向量u、v和w，以及任意标量a和b，有(u+v, w) = (u, w) + (v, w)和(au, v) = a(u, v)。
3. 对称性：对于任意向量u和v，有(u, v) = (v, u)。
内积空间可以是有限维的，也可以是无限维的。
常见的有限维内积空间是欧几里得空间，而无限维内积空间的例子有L2空间和Hilbert空间等。
二、正交变换的定义和性质正交变换是指保持向量间内积不变的线性变换。
设A是一个n阶实矩阵，若AA^T=I（其中I是单位矩阵），则称A是正交矩阵。
正交矩阵表示的线性变换称为正交变换。
正交变换具有以下性质：1. 保持内积：对于任意向量u和v，有(Au, Av) = (u, v)。
2. 保持长度：对于任意向量u，有||Au|| = ||u||，其中||u||表示向量u的长度。
3. 保持角度：对于任意两个非零向量u和v，它们的夹角与它们的像Au和Av的夹角相等。
正交变换常用于解决几何和物理问题，如旋转、平移和镜像等。
正交变换在图像处理和编码等领域也有广泛的应用。
三、内积空间与正交变换的关系内积空间和正交变换之间有着密切的联系。
给定一个内积空间V和一个正交变换矩阵A，可以构造一个新的内积空间W，其中向量的内积定义为(u, v) = (Au, Av)。
这个内积空间W称为V关于正交变换A的像空间。
最新第二章内积空间(精品ppt课件
（3）正交矩阵（酉矩阵）的逆、乘积仍是正交矩阵（酉矩阵）。
定义2 欧氏空间V 的线性变换T 称为正交变换，
若对任意,V, 均有(T,T )=(,)
定理2 设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题
等价：
(1)T 是正交变换；
自学：P31定理2.3.4
(2)T 保持向量的长度不变，即对于任意的 V,
x 11 x 22 x rr 0
用 与i 上式两端做内积得： x 1 ( 1 ,i ) x i ( i ,i ) x r ( r ,i ) 0 从而 xi(i,i)0 又 (i,i)0 则 xi 0 故 1,2, ,r线性无关
说明：在n维内积空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.
解 设
x 11x22x33
x1 ,1
1 2
x2 ,2
2 3
x3
,3
1 6
在基底下坐标为
1, 2
2 , 3
1 6
1
1
1
1
2
0
1
2
1
1
3 1
1
3
1
1
6 2
121 232 163
2、施密特正交化方法
设 1,2, ,m 是内积空间V中的一个线性无关向量组。令
1 1
f (x),g(x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1 , 1 ,1 )T, (1 , 4 , 5 )T,
则
2 0 2
3 1
(f,g)TA(1,1,1) 0
2 3
0 4 0
2
3
0
2 5
5
三、酉空间
定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 ,
《内积空间》课件
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三 个向量的共面情况：若混合积为零， 则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何 意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的 映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即 对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射 的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性 、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域 都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中 的特征，通过计算特征向量之间的内积，可 以得出特征之间的相似性和关联性，从而实 现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到 内积空间中的向量表示，通过计算样本向量 与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法
第4讲内积空间
一、内积空间的概念 二、 内积空间的性质 三、 标准正交基 四、 正交变换与对称变换 五、Schur定理与正规矩阵
一、内积空间的定义
定义： 设 V 是实数域 R 上的 n维线性空 间，对于 V 中的任意两个向量 α , β 按照某 一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 α 与 β 的内积，记为 (α , β ) ，并且要 求内积满足下列运算条件：
例
⎡3 0 8⎤ ⎢ 3 −1 6 ⎥ A= ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 −5⎥ ⎣ ⎦
H
试求酉矩阵 U 使得 U
AU 为上三角矩阵.
定义: 设
A∈C
n ×n
, 如果
H
AA = A A
H
A 满足
那么称矩阵 设
A 为一个正规矩阵.
, 如果同样满足
A∈ R
n ×n
AA = A A
H H
那么称矩阵
A 为一个实正规矩阵.
α α
总是单位向量，称此过程为单位化。
三、标准正交基
n
{ 定义：设 V 是 n 维酉空间， α i } 为其一组 基，对于 V 中的任意两个向量
α = ∑ xiαi , β = ∑ y jα j
那么 α 与 β 的内积
n n i =1 j =1 i =1 j =1 n
(α , β ) = ( ∑ xiαi , ∑ yiα i ) =
+ nxn yn
( , ) 2 也是 R n 上的一个内积 容易验证 n ，这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
例 在 nm 维线性空间 R n×m 中，规定
( A, B ) := Tr( AB )
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 在线性空间 C[a , b] 中，规定
内积空间定义
内积空间定义在数学里面，内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。
这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。
这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。
内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。
具有内积运算的线性空间，是n维欧氏空间的无限维推广.设K 是实数域或复数域，H是K上线性空间，如果对H中任何两个向量x,y，都对应着一个数(x,y)∈K，满足条件：1.(共轭对称性)对任意的x,y∈H，有(x,y)=2.(对第一变元的线性性)对任何x,y,z∈H及α,β∈K，有(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z).3.(正定性)对一切x∈H，有(x,x)≥0且(x,x)=0⇔x=0，这时(·,·)称为H中的内积，而称H为(实或复)内积空间，或准希尔伯特空间.令‖x‖= ，则按范数‖·‖，H成为赋范线性空间.设(X，‖·‖)是赋范线性空间，X中能定义内积(·，·)并使‖x‖= 恒成立的充分必要条件是X的范数‖·‖满足下面的平行四边形公式：对任何x，y∈X，‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖).完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间H上连续线性泛函的全体记为H，称H为H的共轭空间.H的共轭空间H就是H本身.事实上，设f∈H，则存在惟一向量y∈H使得对所有x∈H都成立着f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之，对每个y∈H，fy(x)=(x，y)确定了H上一个连续线性泛函fy∈H.做H到H的映射C如下：C：y →fy(y∈H)，则有[2]即C实现了H与H*之间的保范共轭线性同构，在此同构意义下，把fy与y视为等同，便得H=H.这一性质也称为希尔伯特空间的自共轭性，它在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用.第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特(Hilbert，D.)在研究积分方程时首先提出的，他在平方可和的无穷实数列{xn}全体组成的空间l中规定了内积({xn}，{yn})= xnyn，把空间l看做欧几里得空间向无穷维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及本征展开问题.不久冯·诺伊曼(von Neumann，J.)建立了一般希尔伯特空间的理论.希尔伯特空间的概念和理论已被广泛应用于数学和物理的各个分支.如积分方程、微分方程、随机过程、函数论、调和分析、数学物理和量子物理等.。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的同构、正交变换、点到子空间的距离
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
工程矩阵理论(第2章-内积空间与等距变换)
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1
n, 1 …
1 , 2 2 , 2
n, 2 …
… 1, n … 2 , n … n, n …
注④ 若 0, 则 的长度为1. |||| 由非零向量 得到 的过程称为把 ||||
单位化.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.2 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 |, |2 , , , 且 等号成立 , 线性相关.
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.2 设1, …, n为内积空间V的一组基. 令 gij = i, j (i, j = 1, …, n), 则称n阶矩阵G = (gij)为基1, …, n 的度量矩阵.
1 , 1 2 , 1 1 , 2 2 , 2 … … 1 , n … 2 , n
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1 n, 1
…
1 , 2 2 , 2 n, 2
…
… 1, n … 2 , n … n, n …
y1 y2 yn
…
第二章 内积空间与等距变换
F中存在唯一的数与之对应, 该数记为, , 且, , V, kF, 有 (1) , = , ; ——共轭对称性 (2) +, = , + , ; (3) k, = k, ; (4) , 0, 且等号成立 = 0, 则称, 为与的内积, 称V为内积空间.
人教版高中选修(B版)3-41.2.2等距变换的合成运算及性质教学设计
人教版高中选修(B版)3-41.2.2等距变换的合成运算及性质教学设计一、教学目标1.掌握等距变换的概念及性质；2.掌握等距变换的合成运算方法；3.能够应用等距变换的合成运算解决几何问题。
二、教学重点1.等距变换的概念及性质；2.等距变换的合成运算。
三、教学难点1.等距变换的合成运算；2.应用等距变换合成运算解决几何问题。
四、教学方法1.归纳法；2.探究法；3.教师讲授和学生讨论相结合。
五、教学步骤（一）导入1.引入等距变换的概念和性质；2.通过展示一幅等距变换的图片，引出等距变换的性质。
（二）探究等距变换的合成运算1.让学生自己尝试合成两个等距变换，初步理解合成运算的含义；2.教师补充合成运算的符号表示和几何含义；3.学生自己探究几个例子，通过推理总结出等距变换的合成运算规律。
（三）练习等距变换的合成运算1.在黑板上列几个练习题，让学生在课堂上尝试做题；2.在学生自己尝试和讨论的基础上，教师讲解各题的解法，强化学生对于等距变换的合成运算的掌握。
（四）应用等距变换的合成运算解决几何问题1.在黑板上列几个几何问题，让学生组队探讨解决思路；2.每个组别上台展示自己的解决思路，教师及时给予指导和纠正。
六、教学效果评价1.学生的学习笔记和练习题的成绩；2.学生在课堂上的表现和课后答疑情况；3.学生的应用能力及解决几何问题的掌握程度。
七、板书设计（一）概念等距变换•定义•性质（二）合成运算等距变换合成运算•式子表示•几何含义•规律总结。
检测技术与自动化装置学科硕士研究生培养方案
检测技术与自动化装置学科硕士研究生培养方案（081102）一、培养目标培养为社会主义现代化建设服务，德、智、体全面发展，具有创新精神，能从事电子技术、检测技术、信息处理技术、自动化技术、计算机技术方面的科学研究、技术开发和工程技术工作的高层次专门人才。
1、较好地掌握马克思列宁主义、毛泽东思想的基本原理和邓小平理论、“三个代表”的重要思想；树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
2、拥护党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品行端正。
具有强烈的事业心和为相关科学事业献身的精神。
3、掌握本学科领域内坚实的理论基础和系统的专门知识，具有从事科学研究、独立承担技术性工作和解决实际问题的能力；具有较宽的知识面和较强的适应性。
4、较熟练地掌握一门外国语。
5、具有健康的体魄和良好的心理素质。
二、研究方向1、自动检测与控制系统主要研究新型检测技术，并应用先进的控制理论和新兴的技术实现生产过程的自动监测与自动控制。
2、图像处理与计算机视觉主要研究获取与处理数字图像信号的理论和方法，以及在工业控制中的应用。
3、测试技术与信号处理主要研究信号的获取、变换和处理。
包括传感器技术；信号处理的理论、方法和应用等。
4、检测技术与智能仪器主要研究基于计算机技术的智能化仪器的开发。
5、网络化监控主要研究基于现场总线的智能控制网络的开发与应用。
三、学习年限全日制硕士研究生的学习年限为3年。
按课程学习与论文工作并重原则，课程学习累计1～1.5学年，科学研究和撰写论文的时间不少于1年。
根据实际情况，经本人申请、导师同意、学校批准，可适当提前或延长1年。
在职研究生可延长2年。
四、课程设置，学分要求和课程说明硕士研究生总学分要求不少于32学分（其中实践环节2学分）。
课程分学位课程、非学位课程，其中学位课程不少于18学分，非学位课程12学分。
对同等学历和跨学科考的硕士生需补本科生课程，可减半登记学分，不占应学32学分的总学分。
课程类别课程名称学分备注学位课公共学位课自然辩证法 2 7学分第一外语（英、日语） 5基础理论课数值分析 3选≥5学分高级程序设计语言（C、F等） 3工程矩阵论 2数学建模与系统仿真 2专业基础和专业课现代控制理论 3选≥6学分数字信号处理 3微机控制与自动化 2传感器与自动检测技术 2数字图像处理 2非学位课选修课智能化仪表 2选12学分计算机控制技术 2计算机视觉 2线性系统理论 2模糊控制理论与应用 2传感器融合理论及其应用 2故障诊断与在线检测 2人工神经网络基础及应用 2虚拟仪器原理 2智能机器人 2控制网络与现场总线 2模式识别 2计算机仿真技术 2小波分析及其应用 2DSP技术 2自适应控制 2分布式控制理论与技术 2现代机电控制技术 2液压伺服控制系统 2运动控制 2计算机网络系统结构 2局域网与分布处理 2现代物流技术 2试验振动分析 2学位课程说明：1、数值分析本课程介绍科学与工程计算中常用的数值计算方法及其有关理论。
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11dx 2 ,
1
1
1 xdx 0 , a12 a21 1,x 1
1
a13 a31 1,x
2
2 1 x dx , 1 3
1 2
a22 x,x
a33 x ,x
2 2
1
1
x 2 dx
2 , 3 2 , 5
方法一：利用定义，直接计算 f (x),g (x) f (x)g (x)dx
1
1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
f ( x), g ( x) 在基1,x,x2的坐标分别为:
X (1,1,1)T ,Y (1,4,5)T ,
2 (1, 1,1) 0 2 3 0 2 3 0 2 3 1 0 0 4 5 2 5
作业讲解：
1、
解：
故 则其
则其
2、设欧氏空间 P[ x]3 中的内积为 f (x),g (x) 1 f (x)g (x)dx （1）求基1,x,x2的度量矩阵；
2 2 f ( x ) 1 x x （2）求 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
1
解:(1)设基1,x,x2的度量矩阵为 G (aij )33 ,
2、
小结：
§2.1 内积空间的基本概念
一、内积空间的概念与度量矩阵 二、内积空间中向量的长度
三、内积空间中的正交向量
§2.2 正交补、向量到子空间的 最短距离
一、正交补
二、向量到子空间的最短距离
§2.3 等距变换
一、等距变换
二、旋转与镜像变换
a23 a32 x, x
2
0
x x dx 0 ,
2 1
1
1
1
x 4 dx
则
2 G 0 2 / 3
2/3 0
2 / 3 0 2 / 5
2 2 f ( x ) 1 x x （2）求 与 g ( x) 1 4x 5x 的内积。
则
f ,g X T GY
§2.2 正交补、向量到子空间的 最短距离
一、正交补
二、向量到子空间的最短距离
一、正交补
定义2.2.1：
（ 1） （ 2）
（ 3） 且
则 故，
则 于是 而 ，
其中，
，
二、向量到子空间的最短距离
β为α在子空间W上的正投影；
β为α在子空间W上的最佳逼近； 为α到W的最短距离。 其中，β可由公式 求得，
为子空间W的一组标准正交基。
证明唯一性
解：设V为(-π,π)上全体连续实数，在V上定义内积
由
得
§2.3 等距变换
一、等距变换
二、旋转与镜像变换
一、等距变换
例3
定理2.3.1： 例4
镜像： 例5
D
E
定理2.3.2
定理2.3.3
作业：
1、