大学文科数学之线性代数和概率统计共44页
《线性代数与概率统计》教学大纲
《线性代数与概率统计》教学大纲适用专业：各工程类专业和经济管理类专业总学时：36—60学时一、课程的性质、目的与任务“线性代数与概率统计”课程是高等学校工程专科各专业的一门必修的重要基础课。
本课程由线性代数、概率统计模块构成。
由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，而非线性问题也常常可以转化为线性问题，所以本课程所介绍的线性代数方法广泛地应用于各个学科。
通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。
概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。
通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。
二、本课程与其他课程的关系本课程以《高等数学》必修模块所学的知识为基础，并为后继专业课程准备必要的基础知识。
如果学生接触过各自专业的专业（基础）课程，则为本课程提供了更广阔的舞台，使数学的应用更具针对性。
三、课程内容与学时分配第一部分线性代数（一）行列式1．知道n阶行列式的全面展开规则。
了解行列式的性质。
2．熟练掌握二、三阶行列式的计算，掌握四阶行列式的消元降阶算法。
3．知道行列式的代数余子式组合定理和克莱姆法则。
（二）矩阵1．理解矩阵的概念。
2．熟练掌握矩阵的转置、线性运算、乘法运算及其运算规则。
3．理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。
4．熟练掌握矩阵的初等变换规则，掌握用初等变换法求矩阵的逆。
5．知道矩阵分块的概念及分块矩阵的运算规则。
（三）线性方程组1．熟练掌握通过矩阵的初等行变换对线性方程组进行消元的方法。
2．了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换法求矩阵的秩。
理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件和齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
(整理)高等数学概率论线性代数
高等数学概率论线性代数回答者：357386379|四级| 2009-12-3 19:40数三考试科目是《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》这三门，这个数三的大纲可以参考一下：第一章：函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5、了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7、理解无穷小的概念和基本性质。
掌握无穷小的比较方法。
了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
第二章：一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（l'hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。
大学数学易考知识点线性代数与概率论
大学数学易考知识点线性代数与概率论大学数学易考知识点：线性代数与概率论线性代数是大学数学中非常重要且基础的一门学科，它涉及到向量空间、矩阵、行列式、线性方程组等内容。
概率论则是研究随机事件发生的概率及其规律性的数学学科。
在大学数学考试中，线性代数与概率论是比较易于考察且知识点较为独立的部分。
本文将介绍大学数学考试中线性代数与概率论的一些常见易考知识点。
一、线性代数1. 向量空间与线性变换向量空间是线性代数的核心概念之一，在考试中常涉及到向量空间的基本性质、子空间、线性组合、线性相关性、线性无关性等内容。
此外，线性变换也是考察的重点，包括线性变换的定义、性质、矩阵表示及其相关定理等。
2. 矩阵与行列式矩阵是线性代数的重要工具，考试中经常涉及到矩阵的基本运算、特殊矩阵、矩阵的秩与逆等知识点。
行列式也是考试的常见题型，包括行列式的定义、性质、展开及其应用等内容。
3. 线性方程组与解空间线性方程组是线性代数的基本问题之一，考试中常涉及到线性方程组的求解、解的结构、解的个数等知识点。
此外，解空间也是考查的重点，包括零空间、列空间、行空间等相关概念及其性质。
4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，考试中常涉及到特征值与特征向量的定义、性质、求解、对角化等知识点。
矩阵的对角化定理也是考查的重点，需掌握其条件与应用。
二、概率论1. 随机变量与概率分布随机变量是概率论的基础，考试中常涉及到随机变量的定义、分类、概率分布、期望、方差等知识点。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等；常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
2. 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理是概率论的重要定理，考试中常涉及到大数定律的弱/强收敛形式、伯努利大数定律、切比雪夫大数定律等；中心极限定理的常见形式包括林德伯格-列维中心极限定理、中心极限定理的矩形式等。
3. 随机过程与马尔可夫链随机过程是概率论的重要内容，考试中常涉及到随机过程的定义、分类、马尔可夫性质等知识点。
线性代数与概率统计
线性代数与概率统计1、甲、乙二人射击，A、B分别表示甲、乙射中目标的事件，表示至少有一人没射中2、A,B为n阶矩阵，且AB=A+B，则 (A-E) -1=B-E3、A,B都是n阶方阵，则必有|AB|=|BA|4、设A是方阵，则|A|=0是A不可逆的充分必要条件5、A是三阶矩阵，|A|=1，则|-3A|=-276、排列45321的逆序数为97、8、若A2=0,则(E-A)-1=E+A9、析 A为n阶矩阵，且A2-2A-4E=0,则(A+E) -1=A-3E10、A为5阶矩阵，k为常数，则|kA| =k5|A| 是正确的11、排列4132的逆序数为412、设A为mFk矩阵，B是kFn矩阵，C是nFm矩阵，则下列运算中无意义的是A+BC13、排列1234的逆序数为014、甲、乙二人射击，A、B分别表示甲、乙射中目标的事件表示二人都没射中15、A,B,C都是n阶矩阵，下面四个等式中必定成立的有2个团(A+B)-C=B-(C-A)2B(A+C)=AB+BCO(AB)C=B(AC)O[(A+B)C]T=CTAT+ CTBT16、设A是可逆矩阵，则矩阵方程XA=B的解X=BA-117、4阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,1,0,他们的余子式依次分别为0,3,2,3，则D=-417、A是3阶矩阵，且|A|=1/3，则A=1/918、已知A,B,C是同阶的非零矩阵，则AB=AC是B=C的必要非充分条件19、已知(A-B)(A+B)=A2-B2，则矩阵A,B必满足AB=BA20、事件A与B互逆，则A不发生时，B一定发生21、事件A与B互斥，则A不发生时，B一定发生。
这句话是错误的。
22、X为随机变量,C为常数，则D(CX)= C2D(X）23、Xy为随机变量,D(X+ Y= D(X)+ DY，这句话是错误的。
24、若n阶行列式D=0，则D有两行对应元素成比例。
这句话是错误的.25、行列式任一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.26、n阶方阵A可逆的充要条件是|AzO27、n阶方阵A可逆的充要条件是]A=0，这句话是错误的.28、X为随机变量，D(E(X))= E(X)，这句话是错误的29、n阶行列式D有两行对应元素成比例，则D=030、AB为两个矩阵，则AB/=/A//B/是错误的31、互斥的两个事件一定是互逆的。
新编线性代数与概率统计
新编线性代数与概率统计
现代数学中，线性代数与概率统计是重要的分支科学，在工程、科学、经济、管理等
领域的应用越来越广泛。
线性代数主要研究线性方程组的解以及多元函数导数的相关理论，其研究内容涉及矩阵论、向量空间论等内容。
概率统计的本质是数理统计学，是根据现实
生活中的事实，利用理论和方法，研究不确定结果的可能情况。
主要包含概率论、数理统
计学、模型与参数估计、贝叶斯统计分析、统计可靠性分析等内容。
线性代数和概率统计是相辅相成的，它们各自在众多应用中彼此相依存。
线性代数主
要用于解决多元函数（包括概率分布）的数学问题，而概率统计则用于预测实际概率分布
的情况，比如数据的可靠性分析，一般者可以利用概率统计的理论与方法研究实际问题，
此时其首先用到线性代数来描述多元函数和概率分布。
两者还有深刻的结合，比如机器学
习中贝叶斯网络模型则是线性代数与概率统计的有机结合。
深入理解线性代数与概率统计的基础性质，并且能够合理地应用其相关的理论研究数
学实际问题对于现代科技发展无疑是重要的。
近年来随着计算机技术和数据智能的发展，
伴随着大量的研究，线性代数和概率统计的应用范围更加广泛。
在实际问题中，一般综合
使用线性代数和概率统计两阶段处理，首先利用线性代数求解多元函数，定义模型，求解
参数；在比较结果时，利用概率统计子进行比较解释，检验所得结论的可靠性，而目前尤
多于金融领域的风险管理，企业项目的可行性评价等，均需要综合应用线性代数和概率统
计来分析和解决问题。
线性代数与概率统计
765 4 987 6
下面给出一个注 意观察的例子， 看看有无规律。
例：请每位同学在0到9这十个基本数字中任选一 个，先用你选的这个数加上1，再乘以3，再乘以
线 3，然后将所得的结果进行“横加”（如：25“横 性 加”即为2+5=7），再将横加后所得的结果乘以
70，再加上36。大家得出的结果是多少？
记为 [aij ]mn。其表示形式（通式）为：
数
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
am1
am2
amn
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
线
am1
am2
amn
性
其中,横向排列的 ai1, ai2,···,ain 是的 [aij ]mn 第i
行；纵向排列的 a1 j ，a2 j ，···，amj 是 [aij ]mn 的第j
贝尔，一个叫伽罗瓦。
性
阿贝尔的一生是不幸的。他在当时所写的数学论文都
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：
线
性
代
我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：
0 2 3.5 3
数
2
0
1
2
3.5 1 0 1.5
3
2 1.5
0
例2 （田忌赛马问题，即对策论或竞赛论问题）
大学文科数学之线性代数与概率统计课件
概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
概率的性质
P() 0
显然有＝ ..， . P() P(), k 1
由概率非负性即得
由P() 0及完全（可列）可加性 即得
若A1, A2,...An F,且Ai Aj＝ (i j), 则
n
n
P( Ak ) P(Ak )
练习
• Page 153 3
第三讲 概率的公理化定义
• 柯尔莫哥洛夫 前的一些概率定义方式
• 公理化定义 • 概率的性质 • 概率的计算
1.古典概型
A
P( A)
( A) ()
A中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2.几何概型
P(
A)
A点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
• 3 统计概率
公理化定义
概率空间(, F, P)
当 AB 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形；
• 例4 某学生凭猜测答两道是非题，求该生答 对一道题的概率。
• 设 E: 答对一道题
• A={对，对} B={对，错} C={错，对} D={错，错}
设E是随机试验， Ω是它的样本空间，对 于 F 中的每一个事件A，赋予一个实数， 记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合 函数 P( . ) 满足下述三条公理:
公理1(非负性 ) 0 P( A) 1
公理2(归一性) P(Ω)=1
(2)
公理3(可列可加性)若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 ) (3)
线性代数和概率论重要公式
线性代数和概率论重要公式一、线性代数公式1.行列式展开式公式：对于n阶方阵A，行列式展开式公式可以表示为：det(A) = a11C11 + a12C12 + … + an1C1n其中，aij表示A矩阵第i行第j列的元素，Cij表示该元素的代数余子式。
这个公式允许我们通过行列式展开式计算任意阶的行列式。
2.特征值和特征向量公式：对于n阶方阵A，若存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
3.正交向量组的正交分解公式：对于一个n维向量空间中的一组正交向量{v1, v2, …, vn}，任意一个向量x都可以通过这组向量的线性组合表示：x = (x · v1)v1 + (x · v2)v2 + … + (x · vn)vn其中，x·v表示向量x和向量v的内积。
4.奇异值分解公式：对于任意的m×n矩阵A，存在一个m×m正交矩阵U，一个n×n正交矩阵V和一个m×n的对角矩阵Σ，使得：A=UΣV^T其中，Σ的对角线上的元素称为矩阵A的奇异值，U的列向量称为A 的左奇异向量，V的列向量称为A的右奇异向量。
二、概率论公式1.概率公式：对于一个随机试验E，设S为其样本空间，A为S的一个事件，P(A)表示事件A发生的概率，概率公式如下：(1)P(Ω)=1，其中Ω为S的全体事件（即一定会发生的事件）(2)P(∅)=0，其中∅为不可能事件（即一定不会发生的事件）(3)0≤P(A)≤1，对于任意事件A(4)对于互不相容的事件A1,A2,…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…2.条件概率公式：对于两个事件A和B，其中P(B)≠0，条件概率P(A，B)表示在事件B 已经发生的条件下，事件A发生的概率，条件概率公式如下：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)3.贝叶斯公式：贝叶斯公式是一种用于计算条件概率的公式，如下：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中，P(A)和P(B)为事件A和事件B的概率，P(B，A)为在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率。
线性代数与概率统计课件
例2 将线性规划问题化为标准形式.
m ax S x1 3 x2
x 2
1
x
1
2
x 3
2
x
2
2
3
x i 0 ( i 1 , 2 )
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
例3 将线性规划问题化为标准形式.
m in S x1 3 x2 x3
x1 2 x2 x3 2
单纯形矩阵
maSxx12x2x3
x1x2x3 2
x1x2
6
xi 0(i1,2,3)
T
1 1 1 2 1 1 0 6 1 2 1 0
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
基本线性规划问题
m aaaxa1in2111xxxxS1110((或iaaa1n2m22 21xxx,i2222n,S ) ,nc)aa1a1x2nn1nnxxxnnnc2xbbb12n2 cnxn 且 常 数 项 b1，b2，，bn非 负 。
则线性规划问题的标准形式可写成如下矩阵形式：
m ax S C X
AX B
X
O
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
线性规划问题化为标准形式以后，就可以 讨论其单纯形解法.
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
《经济应用数学教程——线性代数及其应用》
m in S c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n
m a x S c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n
最优解相同，最优值：m inSm axS
大学文科数学(第版)
大学文科数学(第版)大学文科数学（第版）序言大学文科数学作为一门综合性和基础性的学科，对于文科学生来说具有重要的意义。
本教材是针对文科专业学生编写的第版教材，旨在帮助学生全面了解和掌握数学知识，并能够在实际问题中灵活运用。
本教材内容全面且系统，结合了理论和实践，为学生提供了学习和应用数学的有效工具。
第一章基础知识1.1 数的概念1.2 数的分类1.3 数的运算1.4 数的性质1.5 数轴与实数第二章代数学2.1 代数学的基本概念2.2 代数运算2.3 多项式及其运算2.4 二次方程2.5 不等式与绝对值第三章几何学3.1 几何学的基本概念3.2 平面几何3.3 立体几何3.4 三角学第四章概率统计学4.1 概率论基本概念4.2 随机变量与概率分布4.3 统计学基本概念4.4 抽样与估计第五章线性代数5.1 线性代数的基本概念5.2 线性方程组5.3 矩阵与行列式5.4 线性空间与线性变换5.5 特征值与特征向量第六章数学建模6.1 数学建模的基本概念6.2 建模与求解过程6.3 常见数学建模方法与技巧6.4 数学建模实例分析结语大学文科数学作为一门重要学科，为文科学生提供了量化分析和解决实际问题的能力。
通过学习本教材，学生将能够全面理解和应用数学知识，为未来的职业发展打下坚实的基础。
希望本教材能够成为学生学习数学的得力工具，引领他们在数学领域取得优异成绩。
参考文献：[1] 王小林. 大学文科数学（第版）[M]. 北京：高等教育出版社，2022.[2] 李晓华. 数学建模导论[M]. 北京：高等教育出版社，2021.。
院校资料线性代数.pptx
0 0 143 0
1 0 59 5 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5
rr125194rr33 0
1
0
3
0 0 1 0
1 0 0 5 D 0 1 0 3
0 0 1 0
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除仍具有行阶梯形矩阵的特点外，它比矩阵
C
更简单，我们称非零行的非零首元是1，并且它所在的列的其它元素都是零的行 阶梯形矩阵为行最简形矩阵。
第2页/共102页
x1 2x2 3x3 7
5x2 4x3 6
x2 3x3 14
1 2 3 7 0 5 4 6 0 1 3 14
（2）交换上面方程组中第二与第三个方程的位置，得
x1 2x2 3x3 7
x2 3x3 14
5x2 4x3 6
1 2 3 7 0 1 3 14 0 5 4 6
A （1，1）位置为非零元，然后利用矩阵的
初等行变换将它下方元素变成零，即
0 3 6 1
1 9 12 1
A 1 7
8
1
r1r3 1
7
8
1
1 9 12 1
0 3 6 1
第20页/共102页
1 9 12 1
r3r1 0
2
4 2 B
0
3
6
2
（2）以上述矩阵
B 的（2，2）位置为准利用矩阵的初等行
0 0 0
第25页/共102页
1
B
1
0
2 3 1
1 0 1
0
1
2
r2 r1
0
2
0
2 1 1
1 1 1
0
线性代数与概率统计及答案
线性代数部分第一章 行列式一、单项选择题1．=0001001001001000 .A 0B 1-C 1D 22.=0001100000100100 .A 0B 1-C 1D 2 3．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a .A kaB ka -C a k 2D a k 2-4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x .A 0B 3-C 3D 25. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.A 1-B 2-C 3-D 06．设行列式na a a a =22211211,m a a a a =21231113,则行列式232221131211--a a a a a a 等于A. m n -B.)(-n m +C. n m +D.n m -二、填空题1. 行列式=0100111010100111.2．行列式010...0002...0.........000 (10)0 0n n =-.3．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .4．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.6．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.7．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题2．yxyx x y x y y x y x+++；3．解方程0011011101110=x x xx ；6. 111...1311...1112 (1).........111...(1)b b n b----7. 11111222123111...1..................nb a a a b b a a b b b a ； 8．121212123.....................n nn x a a a a x a a a a x a a a a x;四、证明题1．设1=abcd ,证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是 ;a 22A A =b ))((22B A B A B A +-=- c AB A A B A -=-2)( d T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足 时,B=C;a AB =BAb 0≠Ac 方程组AX=0有非零解d B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则=kA ;a A kb A kc A k nd A k n4.设A 为n 阶方阵,且0=A ,则 ;a A 中两行列对应元素成比例b A 中任意一行为其它行的线性组合c A 中至少有一行元素全为零d A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则 ; (a) a 1*-=A A b A A =* c 1*+=n AA d 1*-=n AA6. 设A ,B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是 ; a B A = b B A -= c B A = d 22B A = 7.设A 为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是 ; a T A A 22= b 112)2(--=A Ac 111])[(])[(---=T T T A Ad T T T T A A ])[(])[(11--=8.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113022131A ,则 ;a A A T =b *1A A =-c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001Ad ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛113202311010100001A9.设I C B A ,,,为同阶方阵,I 为单位矩阵,若I ABC =,则 ;a I ACB =b I CAB =c I CBA =d I BAC = 10.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 ; a A 的每个行向量都是非零向量 b A 中任意两个行向量都不成比例c A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示d 对任何n 维非零向量X ,均有0≠AX 11. 设矩阵A=1,2,B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=654321则下列矩阵运算中有意义的是A ．ACB B ．ABC C ．BACD ．CBA 12.设矩阵A,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是DA ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B AB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 不可逆 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11A BD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 可逆,且其逆为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11B A13.已知向量TT )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α,则β+α=AA ．T)1,1,2,0(-- B.T)1,1,0,2(-- C ．T)0,2,1,1(-- D ．T)1,5,6,2(---14.设A 和B 为n 阶方阵,下列说法正确的是CA. 若AB AC =,则B C =B. 若0AB =,则0A =或0B =C. 若0AB =,则0A =或0B =D. 若0A E -=,则A E =6、设两事件A二、填空题1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______2.行列式=---000c b c a ba_______3.设A 为5阶方阵,*A 是其伴随矩阵,且3=A ,则=*A _______4.设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为_______ 三、计算题1.解下列矩阵方程X 为未知矩阵.1 223221103212102X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ；2 0101320100211100110X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ； 3 2AX A X =+,其中423110123A ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭；2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .3.设11201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,23423A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,30000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41201A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求1234A A A A ⎛⎫⎪⎝⎭.4.设211011101,121110110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求非奇异矩阵C ,使T A C BC =.四、证明题1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.2. 设0k A =k 为整数, 求证I A -可逆.4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα, 21,ββ都是四维列向量,且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵,且0=A ,则 ;成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵,n r A r <=)(,则在A 的n 个行向量中 ;个行向量线性无关必有r a )(个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分条件是)(a 12,,...,s ααα都不是零向量)(b 12,,...,s ααα中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c 12,,...,s ααα中任意两个向量都不成比例 )(d 12,,...,s ααα中有一个部分组线性无关二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α,T )3,2,1(2=α,T t ),3,1(3=α线性相关,则t=▁▁▁▁;2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关;3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁;4. 若321,,ααα线性相关,则12,,...,s ααα)3(>s 线性▁▁▁▁关;5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁;三、计算题 1. 设T )1,1,1(1λα+=,T )1,1,1(2λα+=,T )1,1,1(3λα+=,T),,0(2λλβ=,问1λ为何值时,β能由321,,ααα唯一地线性表示2λ为何值时,β能由321,,ααα线性表示,但表达式不唯一 3λ为何值时,β不能由321,,ααα线性表示 2. 设T )3,2,0,1(1=α,T )5,3,1,1(2=α,T a )1,2,1,1(3+=α,T a )8,4,2,1(4+=α,T b )5,3,1,1(+=β问： 1b a ,为何值时,β不能表示为4321,,,αααα的线性组合 2b a ,为何值时,β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合 3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α,T )6,5,1,2(2=α,T )2,5,2,1(3=α,T )0,2,1,1(4--=α,T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示; 四、证明题1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=,试证321,,βββ线性相关;2. 设12,,...,n ααα线性无关,证明12231,,...,n αααααα+++在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关;第四章 线性方程组一、单项选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ,则0AX =有非零解的充分必要条件是A r n =B r n <C r n ≥D r n >2．设A 是m n ⨯矩阵,则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是A ()r A m <B ()r A n <C ()()r Ab r A m =<D ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵,非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =,若m n <,则A AX b =必有无穷多解B AX b =必有唯一解C 0AX =必有非零解D 0AX =必有唯一解4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)x x x x x x λλλλ+-=⎧⎪+=⎨⎪-=----⎩无解的充分条件是λ=A 1B 2C 3D 45．方程组12323331224(1)(3))(1))x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有唯一解的充分条件是λ=A 1B 2C 3D 4 二、填空题1. 设A 为100阶矩阵,且对任意100维的非零列向量X ,均有0AX ≠,则A 的秩为 .2. 线性方程组1231212320200kx x x x kx x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩仅有零解的充分必要条件是 .3. 设12,,s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解12,,s c c c 为常数,则12s c c c +++= .4. 若线性方程组AX b =的导出组与0(())BX r B r ==有相同的基础解系,则()r A = .5. 若线性方程组m n A X b ⨯=的系数矩阵的秩为m ,则其增广矩阵的秩为 .三、计算题1. 已知123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,问122331,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系 为什么2. 设54331012263211311111A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,12010560011210012320B --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦,已知B 的行向量都是线性方程组0AX =的解,试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系 为什么3. 设四元齐次线性方程组为 Ι：122400x x x x +=⎧⎨-=⎩1求Ι的一个基础解系2如果12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-是某齐次线性方程组II 的通解,问方程组Ι和II 是否有非零的公共解 若有,求出其全部非零公共解；若无,说明理由;第五章 特征值与特征向量一、单项选择题1. 设001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是 ;a -1,1,1b 0,1,1c -1,1,2d 1,1,22. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是 ;a 0,1,1b 1,1,2c -1,1,2d -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则 ;a ||1A =b A 的特征根都是1c ()r A n =d A 一定是对称阵4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是 ;a 1200k k ==且b 1200k k ≠≠且c 120k k =d 1200k k ≠=且 5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则 ;a A B =b ||||A B =c A 与B 相似d A 与B 合同二、填空题1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______;2. 设A 为n 阶方阵,且I A =2,则A 的全部特征值为_______;3. 设A 为n 阶方阵,且0=m A m 是自然数,则A 的特征值为_______;4. 若A A =2,则A 的全部特征值为_______;5. 若方阵A 与I 4相似,则=A _______;三、计算题1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.2. 求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.1 2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2 112131201A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭四、证明题1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证1λ是1A -的一个特征根,并且A 关于λ的特征向量也是1A -关于1λ的特征向量. 2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.3. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.5. 设n 阶矩阵A E ≠,如果()()r A E r A E n ++-=,证明：-1是A 的特征值;6. 设A B ,证明kk A B ;7. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量,且12λλ≠,证明12αα+不是A 的特征向量;概率论部分一、填空：每题3分,共15分1． 假设,A B 是两独立的事件,()0.7,()0.3P A B P A ⋃==,则()P B =_________; 2． 设A,B 是两事件,(|)1/4,()1/3P A B P B ==,则()P AB =__________; 3． 若二维随机变量(X,Y)满足()()()E XY E X E Y =,则X Y 与________; 4． 随机变量~(0,1),23,~X N Y X Y =+则_________; 5． 设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本,则X 服从_________分布;二、选择：每题3分,共15分1． 如果成立,则事件,A B 互为对立事件....()()1A AB B AB C AB A B D P A P B =Φ=Ω=Φ⋃=Ω+=且2． 若X 的概率密度为02()4240x x f x xx ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它,则{3}P X ≤= .3/2A .5/2B .7/2C .4D3． 设随机变量),(~p n B X ,则方差var()X =.A np .(1)B n p - 2.C np .(1)D np p -4． 下列结论正确的是A .X 与Y 相互独立,则X 与Y 不相关B .X 与Y 不独立,则X 与Y 相关C .X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立D .X 与Y 相关,则X 与Y 相互独立5． 设n X X X ,,,21 为来自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本,其中μ已知,2σ未知,则下面不是统计量的是 ()A 1X ()B 221()ni i X μσ=-∑()C 211()n i i X n μ=-∑ ()D 211()1n i i X X n =--∑ 三、计算：共70分1．15分甲乙两袋,甲袋中有两白球一个黑球,乙袋中有一个白球两个黑球;先从甲袋中取一球放到乙袋中,再从乙袋中取一球,1求从乙袋中取出的是白球的概率；2已发现从乙袋中取出的是白球,问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率;2．10分设随机变量X 的密度函数为2,02()0,cx x f x ⎧<<=⎨⎩其它,试求：(1)常数c ；(2){11}P X -<<;3.10分设随机变量X 的密度函数为2,01;()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，,求 2X Y =的概率密度；4．10分一袋中装有5只球,编码为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最小号码,求随机变量X 的分布律与数学期望.5.15分设随机变量X,Y 的概率密度为 6,01(,)0,x y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它1试求关于X 及Y 的边缘概率密度；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由.6．10分总体X 的概率密度函数为220(),00x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其它是未知参数,求未知参数θ的矩估计量,并验证未知参数θ的矩估计量是θ的有偏还是无偏估计量;线性代数部分参考答案第一章 行列式一、单项选择题1． C .2. C .3．B.4 C .5. A 6.C二．填空题1.0;2.!)1(1n n --;3.M 3-;4.4x ;5.2-;6.3,2-≠k ;7.7=k 三．计算题 1. )(233y x +-； 2. 1,0,2-=x ;3 (2)(1)...((2))b b n b -+---;4 ∏=--nk k kna b1)()1(;5 ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;第二章参考答案一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ； 5.d ； 6.d ； 7.d ； 8.c ；9.b ； 10.d.11.B 12.D13.A14.C二．1. 1或-1；2. 0； 5. 81；6. 0；三、1.1、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---016213010；2、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02132121； 3、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------9122692683. 2. 0； 3.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000210012100121； 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010；第三章向量参考答案一、 单项选择1.b2.d3.a4.b5.b 二、填空题1. 52.相关3. 0≠α4.相关三、解答题1. 解：设332211αααβx x x ++=则对应方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x其系数行列式)3(1111111112+=+++=λλλλλA1当3,0-≠≠λλ时,0≠A ,方程组有唯一解,所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;2当0=λ时,方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000111,31)()(<==A r A r ,方程组有无穷多解,所以β可由3,21,ααα线性表示,但表示式不唯一;3当3-=λ时,方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→18000123303121,)()(A r A r ≠,方程组无解,所以β不能由3,21,ααα线性表示; 2.解:以βαααα,,,,4321为列构造矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++58153342321211011111a b a →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-b a a 41000041100121101111121时，且当01≠±=b a β不能表示为4321,,,αααα的线性组合； 2任意时，当b a ,1±≠β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合;3.解：=),,,,(54321ααααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---140264725500121131121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000110001011020101 421,,ααα为一个极大无关组,且31240αααα=-++, 42152αααα-+=四、证明题1.证：∵0)2(4)(33121=--+ββββ∴0435321=++-βββ ∴321,,βββ线性相关2.证：设0)()()(1322211=++++++ααααααn n k k k则0)()()(122111=+++++-n n n n k k k k k k ααα ∵n ααα,,,21 线性无关∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-0001211n n n k k k k k k 其系数行列式1100001000001100001110001 =⎩⎨⎧=-++为偶数为奇数n n n ,0,2)1(11∴当n 为奇数时,n k k k ,,,21 只能为零,n ααα,,,21 线性无关； 当n 为偶数时,n k k k ,,,21 可以不全为零,n ααα,,,21 线性相关;参考答案一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A二、填空题1.1002.23k k ≠-≠且3.14.r5.m三、计算题 1. 是 2. 不能3. 112(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T v v ==- 2(1,1,1,1)()T k k -其中为任意非零常数第五章 参考答案一、单项选择题 1.a 2.c 3.c 4.d 5.b二、填空题1.02.1,-13.04.0,15.4I三、计算题 1.,(1,1,,1)T a2.11111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2113211122-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭四. 证明题 略概率论部分一、填空每题3分共15分1. 4/7；2. 1/12 ；3. 不相关；4. ~(3,4)Y N ；5. (0,1/10)N 二、选择每题3分共15分1．C ； 2. C ； 3. D ； 4. A ； 5. B 三、计算 1． 15分解：设12{}{}A A ==第一次从甲袋中摸的是黑球第一次从甲袋中摸的是白球{}B =从乙袋中摸的是白球（1） 由全概率公式11221212()(|)()(|)()31212(),(),(|)(|)3344P B P B A P A P B A P A P A P A P B A P B A =+====分所以PB=1/12+4/12=5/12 (3)分2要求2(|)P A B ,由贝叶斯公式分分25451232425)()()|()|(222 =⨯⨯==B P A P A B P B A P2. (10)分解：(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰,得220813cx dx c ==⎰,所以38c =, ……4分 (2)11231010311{11}()888P X f x dx x dx x --<<====⎰⎰,……6分 3．10分解：1 2Y X =分别在(,0)-∞∞和（0,+）单调,所以''(|(|||,01()0,,X X Y f f y f y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他． ……4分,01,01y ⎧+=<<⎪=⎨⎪⎩其他０， ……6分,或利用分布函数法：2(){}{}{{0Y F y P Y y P X y P X P X =≤=≤=≤≤=<≤……4分20,01xdx x y y ===<<,……4分1,01()()0,Y Y y f y F y <<⎧'∴==⎨⎩其他……2分 4. 10分解：X ＝1,2,3 ………2分22343335556311{1},{2},{3}101010C C P X P X P X C C C ========= ,5分………6分631()123101010E X =⨯+⨯+⨯ =1.5… 12分5．15分解： 1()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,x xdy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它26,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………6分()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y xdx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23(1),010,y y ⎧-<<=⎨⎩其它 ………6分2X 与Y 不相互独立,因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………3分 6．10分解：1222()3xEX xf x dx xdx θθθ+∞-∞===⎰⎰,···3分,X =θ32···2分,__^3,2X θ=所以···2分 由于__^3322E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计量为无偏估计;···············3分。
新编线性代数与概率统计
新编线性代数与概率统计
线性代数是一门涉及数学的学科，主要涉及线性结构、线性变换、矩阵理论等内容，最早出现于18世纪。
它是很多高等数学问题的基础，如微积分、复变函数、图论、几何学等。
许多应用都需要线性代数的支持，如计算机科学、金融工程、信息论等。
此外，不可小觑线性代数与概率统计之间的联系，它们同样都是非常基本且重要的学科。
线性代数是研究矩阵与向量空间的结构的学科，研究如何用矩阵表示线性变换，研究矩阵的性质，如特征值与特征向量，研究怎样利用矩阵直接求解线性方程组。
线性代数与概率统计可以相互辅助，可用线性代数表示多变量分析，进而可解决关于多变量分析的概率统计问题。
线性代数包括向量空间、矩阵和线性变换三大部分内容。
向量空间可以让我们引入任意维度的数学空间，矩阵可以用来描述线性结构，而线性变换则可以使某种空间的信息得以传递。
除此之外，线性代数还有一系列的概念，比如线性无关性、基底、唯一性、特征值分解、伴随变换、行列式等等。
概率统计是一种数学工具，有助于我们对模型的参数估计，以及历史数据中的正态分布模型等。
概率统计可以用来识别数据间的关系，分析趋势变化，并用以预测未来变化，有利于精准决策。
概率统计也有很多基础理论，如概率分布、统计量、概率密度函数、期望、协方差、卡方检验等等。
线性代数和概率统计有许多联系，他们可以帮助我们深入理解数
据。
在实际应用中，线性代数与概率统计可以被广泛的用于机器学习、金融预测、流体力学、图像处理等领域。
以《新编线性代数与概率统计》为标题，我们可以研究线性代数和概率统计所涉及的相关知识，学习他们在各个领域中的应用，进一步深入研究两门学科之间的联系。
人民大2024线性代数与概率论(第五版)课件 行列式的概念
• 取正号与取负号的项各占一半,即各为1项
• 若相应列标排列逆序数为零,则这项前面取
正号；若相应列标排列逆序数为奇数,则这
项前面取负号。
对应三阶行列式
若相应列标排列逆序数为零或偶数,则这项前
面取正号；若相应列标排列逆序数为奇数,则这
项前面取负号
16
n阶行列式
定义1.1
容易看出:DT=D
可以证明这个结论对于n阶行列式也是成立的.
22
转置行列式
定理1.1
转置行列式DT的值等于行列式D的值,即
DT=D
定理1.1说明:在行列式中,行与列的地位是对等的
即:凡有关行的性质,对于列必然成立;凡有关列的
性质,对于行也必然成立.
23
三角形行列式
定义1.3
若行列式D主对角线以上或以下的元素全为零,
而行列式的出现是由线性方程组的求解问题引出来的，它是由解线
性方程组产生的一种算式。所以本章将从行列式的概念、性质、计
算出发，讲解行列式的一个重要应用—克莱姆法则求解线性方程组。
5
本节主要学习目标：
[知识目标]
了解行列式的概念。
熟练掌握二阶、三阶行列式的计算。
[能力目标]
能熟练求出二阶、三阶、四阶行列式的值。
a11a22…ann
25
三角形行列式
由于列标排列逆序数
N(1 2 … n)=0
所以项a11a22…ann前面应取正号.那么,三角形行
列式
11
21
D=
⋮
1
0
22
⋮
2
…
……ຫໍສະໝຸດ 00=a11a22…ann
⋮
线性代数和概率论重要公式
线性代数和概率论重要公式一．线性代数必背公式(完全整理版)1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）； ⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----===***111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nn n n m n m mn n n n m m n mn n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b-----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m nn n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nm n mm m m rnr r n n n n nnn n r C C C C C CrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩； ②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTm βββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14) 4.()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)二．概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A AA A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A AA =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=ni ini iA A 11=== ni in i iA A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-* Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nkn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπ* N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x tex xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()(⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8. 连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x A y x f(2) 二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X = 10. 随机变量的数字特征数学期望∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩)(kX E X 的 k 阶绝对原点矩)|(|kX E X 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E - X 的 方差)()))(((2X D X E X E =- X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((-- X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ()))())(((Y E Y X E X E -- X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY=ρ简单整理了一下，中心极限定理及数理统计部分多概念少公式故未详细列出，有问题可以给我来信，希望能与大家多交流。
线性代数与概率论
线性代数与概率论本课程旨在介绍线性代数与概率论的概要和目标。
线性代数和概率论是数学中非常重要的两个领域，它们在许多科学和工程领域中都得到广泛的应用。
在本课程中，我们将深入探讨线性代数和概率论的基本概念和理论，以及它们在实际问题中的应用。
通过研究本课程，您将能够理解和解决与线性代数和概率论相关的各种数学和实际问题。
本课程的目标是使学生掌握以下内容：线性代数的基本概念和技巧，包括向量、矩阵、行列式、线性方程组等；线性变换和线性映射的理论和应用；概率论的基本概念和技巧，包括概率、随机变量、概率分布、期望、方差等；概率论中的常用概率分布，如正态分布、二项分布、泊松分布等；概率论在统计学和实际问题中的应用。
通过实际案例和题的训练，学生将能够运用线性代数和概率论的知识解决实际问题，提高数学建模和分析能力。
欢迎加入《线性代数与概率论》课程，一起探索这两个精彩而实用的数学领域！概述本课程由线性代数和概率论两部分组成，旨在帮助学生掌握和应用这两个重要数学领域的基础知识。
通过研究本课程，学生将能够理解线性代数和概率论的核心概念，掌握基本的运算法则，以及应用这些知识解决实际问题。
线性代数矩阵和向量：包括矩阵的定义、运算法则、矩阵乘法、向量空间等内容。
线性方程组：包括线性方程组的求解方法、矩阵的秩和逆等内容。
特征值和特征向量：包括特征值和特征向量的定义、求解方法以及相关应用。
线性变换：包括线性变换的定义、矩阵表示、特征空间等内容。
概率论概率基础：包括事件、样本空间、概率公理等内容。
随机变量：包括随机变量的定义、概率分布、期望、方差等内容。
多元随机变量：包括联合分布、边缘分布、条件分布等内容。
概率分布：包括离散分布和连续分布的基本概念及其常见的分布模型。
通过本课程的研究，学生将达到以下目标：掌握线性代数的基本概念、运算法则和解法技巧，能够应用线性代数解决实际问题。
理解概率论的基本原理和概念，能够计算随机变量的概率分布和相关指标。
大学文科数学之线性代数与概率统计
之 线性代数与概率统计
北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院
2004-2005学年第二学期 欧阳顺湘 2005.5.11
正 态 分 布 或 高斯分布
Normal Distribution Gauss Distribution
一、正态分布的定义及图形特点
若r.v X的概率密度为
1 ( x) e , x 2 t2 1 x 2 ( x) e dt 2
( x)
x2 2
( x )
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 它的依据是下面的定理： 定理 1
设 X ~ N ( , ) , 则Y Y
( x ) 1 ( x )
若 X～N(0,1),
P ( a X b) ( b) ( a)
若 X ~ N ( , ), Y
2
X
~N(0,1)
P ( a X b) P (
a
b
Y ) (
b
a
) )
(
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N ( , )时， P (| Y | ) 0.6826 P (| Y | 2 ) 0.9544
2
P (| Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 这在统计学上称作“ 3 准则” （三倍标准差原则）.
2 0 0
2
r2 2
rdr 2
对称性的应用 一
对称性的应用 二
小
小
大 大
正态分布 N ( , ) 的图形特点
大学文科数学之线性代数与概率统计
随着倾入的球的增加, 我们可以发现容 器中小球呈中间多,
高尔顿钉板
两端少的``钟形", 或说近似于正态曲线.
1812年出版的《概率的分 析理论》
拉普拉斯推广了棣莫弗的结果, 证明了(早期特殊的)中心极限定 理. 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace 1749~ 1827, 法国)
高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855, 德国)
德梅尔由经验得知这样的游戏对自己稍微有利.
但是久而久之, 其他人逐渐意识到这样的游戏不公 平, 并且拒绝和德梅尔玩这种游戏. 德梅尔只好改变游戏规则. 他约定: 投掷两颗均匀的骰子24次, 如果出现了一对6 点, 则算德梅尔赢. 德梅尔推断在这两种游戏中他获胜的概率是相同的.
德梅尔注意到, 在这两种游戏中, 投掷的次数和总的可能结 果数的比例是相同的 (在单个骰子的游戏中, 比例是4:6; 在两个骰子的游戏中, 比 例是24:36).
棣莫弗在1733年的一篇 文章中引入正态分布.
作为二项分布当试验次 数增加时的近似
高尔顿钉板上方是多排交错成三角状的 钉子,
当小球(如豌豆)从上方往下落时, 在每一 排碰到钉子后有两种可能的结果:
向左或向右拐后继续往下落, 直至落入 下方的容器中.
小球落入各容器的可能性可以用二项分 布列来刻画. 当许多小球从上往下落时, 各容器中的小球的多少(累积高度)便反 映了二项分布取值的比例.
第一讲 概率基础
• 概率统计应用 • 概率简史 • 概率基础
– – – – 随机现象、随机试验 样本空间、样本点 随机事件 随机事件的概率
什么是概率论与统计学？
• 概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学 • 统计学——关于收集和分析数据 的科学和艺术
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在这个问题中, 一共投掷了3 次硬币, 各次投 掷是相互独立的;
其中正面朝上的的次数X 是一个随机变量, 它
的可能取值为0,1,2,3.
3 次投掷都是反面朝上, 即只有0 次正面朝
上的事件 {X = 0} 只包含一种可能的情形:
任取5 件. 用X 表示取得的产品中的次品数, 试求P(X = 3), 即恰好取出3 件次品的概率.
• 例 高三(1) 班的联欢会上设计了一项游 戏. 在一个口袋中装有6个红球, 4 个白球, 这些球除颜色外完全相同. 游戏者一次从 中摸出5 个球，
• 如果摸到红球个数为4 个就可获赠一精美 小礼品;
里分布, 简记为
例
某车间有5 台机床, 每台机床工作与否彼此独 立且工作的概率为0.2. 设每台机床工作时需 电力10 千瓦, 但因电力发生故障现只能供应 30千瓦的电力, 问此时车间不能正常工作的概 率有多大?
解： 设X 为10 台机床中工作的台数, 则X 服从参数为n = 5; p = 0.2 的二项分布, 即
第五讲 离散型随机变量的分布列
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知道 随机变量X的取值，而且还应知道X取每 个值的概率.
例1 掷一颗均匀的骰子, 用X 表示所得的点数,
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(Xxk)pk,
为离k=散1,2型,…随…机变量X的概率函数或分布
一些重要的离散型概率分布
• 两点分布 • 二项分布 • 超几何分布 • 几何分布（与习题相关）
• 有很多随机试验, 它们往往只有两种相互对立的可 能结果．
• 例如, 某射手射击某目标, 可能结果为击中或不中； • 比赛前裁判投掷一枚均匀的硬币, 可能正面朝上或反
面朝上； • 质检员从一批含有次品的产品中随机地抽查一件产品,
随机变量X 表示什么?
4. 各次试验是否相互独立? 独立性在随机变
量X 的分布列的计算中, 具体应用在哪里?
5. 试展开二项式
并将所得展开式的各项与随机变量X 的分
布列
进行比较. 你能发现什么?
进行了n 次独立重复的 Bernoulli 试验:
➢进行了 n 次试验; ➢每次试验只有两个可以分别称为“成功”
律，也称概率分布.
其中 p k (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
概率函数
例 连续投掷一枚均匀的硬币两次, 有如下４种等可 能的结果
用X 表示这两次投掷所得结果中正面朝上的次数
例 连续投掷一颗均匀的的骰子两次, 用X 表示所得点 数之和.
的分布列为
二项分布
• 描述的是多重贝努里试验中成功次数的 分布
• 从实例到模型….
独立连续地投掷一枚不均匀的硬币n
= 3 次, 已知该枚硬币正面朝上的可能性为
反面朝上的 2 倍. 设 X 为这3 次投掷中正 面朝上的次数, 求 X 的分布列.
每投掷一次硬币, 都有且只有两种 可能的结果: 正面朝上或反面朝上, 并且每次投
和“失败" 的相互对立的结果; ➢每次试验“成功” 的概率均为p, 失败 的 概率均为q = 1-p; ➢各次试验是相互独立的,
如果X 表示这n 次试验中成功的次数,
则其中恰好有k 次试验成功的概率为二 项式
展开式的第 k + 1 项, 即
如果一个随机变量X 的分布列如上所述, 则我 们称X 服从参数为 n, p 的 二项分布或贝努
反反反.
由各次投掷的独立性可知它发生的概率为
3 次投掷中只有一次正面朝上的事件
{X = 1} 包含如下3 种相互排斥的结果
类似地可得这3 次投掷中恰有2 次正面 朝上的事件 {X = 2} 的概率为
如果将掷一次硬币看作做了一次试验, 试对上述问题思 考如下问题:
3 如果将每次试验的两个可能的结果分别称为“成 功”(正面朝上) 和“失败”(反面朝上), 那么, 每次试验成功的概率是多少? 它们相同吗? 这时,
• (不考虑公司的其他赔偿费用、开支和收 入).
如果用X 表示这10000 人中意外死亡的人 数, 那么X 服从参数为n =10000; p = 0.006 的二项分布, 即
死亡 X 人时,公司要赔偿 X 万元, 它的利润是(120-X) 万
超几何分布
• 某产品生产工艺复杂, 次品率高. 已知在一 批 12 件这样的产品中有7 件次品. 现从中
则可能抽得次品, 也可能抽得正品．这样的试验常被 称为贝努里试验, • 它的两个可能的结果常被称为“成功” 和“失败"．
例如, 投掷一枚均匀的硬币, 用X 表示正面 朝上的次数, 则X 的分布列为
假设有一个贝努里试验, 成功的概率为p, 失败的概率为 1-p．若用X 表示一次这样 的试验中成功的次数, 也就是说用{X = 0} 表示“失败”, {X = 1} 表示“成功”, 则 X 是一个只取0,1 值的随机变量, 它
例 连续投掷一颗均匀的的骰子两次, 用X 表示所得点 数之和.
二、表示方法
再看例1
（1）列表法：X~
0 1
1 6
2 3
10 10 10
（2）图示法
PK
0.6 0.3
0.1
0 12
k
（3）公式法
P(Xk)C33C k53C2k, k0,1,2
任取3 个球
X为取到的白球数 X可能取的值 是30 千瓦,
即 X >= 4, 其概率为
例 保险问题
• 例 设某保险公司有10000 人参加人身意 外保险. 该公司规定: 每人每年付公司120 元, 如果遇到意外死亡, 公司将赔偿10000 元.
• 如果每人每年意外死亡率为0.006, 试讨论 该公司是否会亏本
• 如果摸出的球都是红球, 就可获赠一套丛 书.
• 一名同学准备试一试, 问他能获赠小礼品 的概率是多少?
• 他能获赠一字典的概率又是多少?
练习 6个题
1 Page 153 6 (假设奖券无穷，该人买不尽 奖券)
2 某车间有5 台机床, 每台机床工作与否彼此独立且 工作的概率为0.2. 设每台机床工作时需电力10 千瓦, 但因电力发生故障现只能供应30千瓦的电力, 问此时 车间不能正常工作的概率有多大?