导数的概念及运算
导数的定义与计算
导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
本文将介绍导数的定义和计算方法。
一、导数的定义在数学中，导数可以通过极限的方法来定义。
设函数y=f(x)，若函数在点x处的导数存在且有限，则导数表示为f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的变化率。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
通过导数，我们可以研究函数的变化趋势、拐点、极值等重要性质。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面将介绍一些常见的计算方法。
1. 函数可导情况下的基本运算法则（1）常数法则：若c为常数，则导数(常数)=0。
（2）幂函数法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则导数f'(x)=nx^(n-1)。
（3）指数函数法则：若f(x)=a^x，其中a为常数，则导数f'(x)=a^x*ln(a)。
（4）对数函数法则：若f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则导数f'(x)=1/(x*ln(a))。
（5）三角函数法则：若f(x)=sin(x)，则导数f'(x)=cos(x)。
2. 导数的基本运算法则（1）和差法则：若f(x)=u(x)+v(x)，则导数f'(x)=u'(x)+v'(x)。
（2）积法则：若f(x)=u(x)v(x)，则导数f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
（3）商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则导数f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
（4）复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
3. 使用导数计算函数的极值为了找到函数的极值点，我们可以先求得函数的导数，然后解方程f'(x)=0。
解得的x值即为函数的极值点。
三、导数的应用导数是微积分的基本工具，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
导数的概念及运算
导数的概念及运算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的概念在数学和物理学中都有广泛的应用，是解决问题和研究现象的重要工具。
导数的定义可以通过极限来进行解释。
对于函数f(x)，如果存在一个常数a，使得当x趋近于a时，函数f(x)与直线L的斜率趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是函数f(x)在点a处的导数。
导数通常用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)来表示。
导数的运算规则是微积分中的重要内容之一，它可以帮助我们求解复杂函数的导数。
常见的导数运算规则包括常数法则、幂法则、和法则、差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
常数法则指出，对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
这是因为常数不随x的变化而变化，所以其变化率为0。
幂法则指出，对于任意正整数n和常数c，有d/dx(x^n) =nx^(n-1)。
这是因为幂函数的导数与幂指数有关，且指数减1。
和法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)+g(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))。
这是因为求导是一个线性运算，可以对每一项分别求导。
差法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)-g(x)) = d/dx(f(x)) - d/dx(g(x))。
这也是因为求导是一个线性运算。
乘法法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
这是因为乘法的导数可以通过对每一项分别求导得到。
除法法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
这是因为除法的导数可以通过乘法和差法则得到。
复合函数法则指出，对于复合函数y = f(g(x))，其导数可以通过链式法则求得。
导数的概念及其意义、导数的运算
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， 所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解， 令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立， 所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4， 当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ， 由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x +， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确． 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数； 对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数； 对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数； 对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0， 解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1， 则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线 ，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，2ln 2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1， 整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。
导数的概念及运算
导数的概念及运算教学目标：1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导数的概念;2.熟记基本公式C 、x m m 为有理数、sin x 、cos x 、e x 、a x 、ln x 、log a x 的导数3.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数;教学重点：1.对导数定义的理解;2.导数的求法复合函数3.导数几何意义的作用;教学难点：对导数定义式的运用;一、基本内容1.导数的概念：1如果函数y=fx 在x 0处增量△y 与自变量的增量△x 的比值,当△x →0时的极限00)()(lim lim00→∆→∆∆-∆+=∆∆x x x f x x f x y存在;则称fx 在点x 0处可导,并称此极限值为函数y=fx 在点x 0处的导数,记为f′x 0或y ′∣x =x 0 ;xx f x x f x x y x x f ∆-∆+→∆=∆∆→∆=)()(0lim 0lim )(000'′ xx x f x f x x x x f x f x x ∆∆--→∆=→-→=)()(0lim )()(lim0000 2左可导：若 00000)()(lim )()(0lim 0lim 0limx x x f x f x x x x f x x f x x x y x --→=∆-∆+→∆=→∆=∆∆→∆存在; 右可导,若0000)()(lim )()(0lim 0limx x x f x f x x x x f x x f x x y x --→=∆-∆+→∆=∆∆→∆; f ′x 0存在 f -′x 0=f +′x 02.导函数：1函数y=fx 在区间a,b 内每一点的导数都存在,就说fx 在区间a,b 内可导,其导数也是a ,b 内的函数,又叫做f x 导函数,记作y =f ′x 或y ′∣x .2导数的几何意义：①设函数y =f x 在点x 0处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点Mx 0,y 0处的切线斜率;②设S=st 是位移函数,到S ′t 0表示物体在t=t 0时刻的瞬间速度;③设v=vt 是速度函数,到vt 0表示物体在t=t 0时刻的加速度;3几种常见函数导数;①C ′=0C 为常数②x m ′=mx m-1m ∈Q③sin x ′=cos x④cos x ′=-sin x⑤e x ′=e x⑥a x ′=a x lna⑦ln x ′=x 1 ⑧log a x =a x ln 14两个函数的四则运算的导数,若ux 与vx 导数都存在;则①u±Q ′=u′±v′②uv ′=u′v+uv′③2)(vv u v u v u'-'=' 5复合函数的导数设u =θx 在点x 处可导,y =fu 在点u =θx 处可导,到复合函数f θx 在点x 处可导,且f ′x =f ′u ·θ′x即y ′x =y ′u ·u′x二、实例分析：例1：若函数fx 在x =x 0处的导数为A求：1xx f x x f x ∆-∆-→∆)()3(0lim 00—、 2xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(0lim 00 解：1xx x f x f x x x f x x f x ∆∆--→∆-=∆-∆-→∆)3()(0lim )()3(0lim 0000 A x x x f x f x 33)3()(0lim 300-=∆∆--→∆-= 2xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(0lim 00 xx x f x f x f x x f x ∆∆--+-∆+∆→∆=)()()()(0lim 0000 ＝2A例2：求下列函数的导数1y =lncos x +sin3x 2y =2x 2-5x +2e x解：1)3sin (cos 3sin cos 1'++='x x xx y xx x x 3sin cos 3cos 3sin ++-= 2y′=2x 2-5x+2′e x +2x 2-5x+2e x ′=4x-5e x +2x 2-5x+2e x=2x 2-x-3e x点评：求这类题应首先弄清函数的结构特征,一是运算结构,然后再选取公式运算法则运算; 设函数fx=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x+y-1=0相切于点1,－11;1求a 、b 的值；2讨论函数fx 的单调性;归纳：在导数几何意义的应用过程中,应注意几种关系：1切点Px 0,y 0适合y=fx 即y 0=f x 0;2切点坐标适合对应的切线方程；3在切点Px 0,y 0处的切线斜率为k =f ˊx 0.。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
导数概念与运算
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
导数的概念与导数运算考点及题型全归纳
第三章 导数及其应用第一节 导数的概念与运算基础知识1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim→Δ0x ΔyΔx ＝lim →Δ0x f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线是指以P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim →Δ0xf (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(n ∈Q *)； ③(sin x )′＝cos_x ；④(cos x )′＝－sin_x ；⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln_a (a >0，a ≠1)；⑦(ln x )′＝1x ；⑧(log a x )′＝1x ln a(a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )；③⎣⎡⎦⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x 5x 2；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75.(4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .[题组训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln x x 2＋1.解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x .(2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x(x 2＋1)－2x ·ln x(x 2＋1)2＝x 2(1－2ln x )＋1x (x 2＋1)2.考点二 导数的几何意义考法(一) 求曲线的切线方程[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D[解题技法]若已知曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线方程的方法(1)当点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 考法(二) 求切点坐标[典例] 曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)[解析] f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C. [答案] C[解题技法] 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三) 求参数的值(范围)[典例] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x 在(0，＋∞)上有解，因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[题组训练]1.曲线y ＝e x 在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( )A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B ∵y ′＝e x ，令e x ＝1，得x ＝0.当x ＝0时，y ＝1，∴点A 的坐标为(0,1)． 2.设曲线y ＝a (x －1)－ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝a (x －1)－ln x ，∴y ′＝a －1x ，∴y ′|x ＝1＝a －1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x －2， ∴a －1＝2，解得a ＝3.3.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 因为点(0，－1)不在曲线y ＝f (x )上，所以设切点坐标为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( )A ．eB ．e ＋1C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e. 2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( )A ．x －3y ＋3＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上，所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)．7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x ＝－1，∴ex ＝a ，又－1a·e 0x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 28．(2019·安徽名校联考)已知函数f (x )＝2x －ax 的图象在点(－1，f (－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝－2x 2－a ，所以f ′(－1)＝－2－a ＝1，所以a ＝－3，所以f (x )＝2x ＋3x ，所以f (－1)＝－5，则所求切线的方程为y ＋5＝x ＋1，即x －y －4＝0. 答案：x －y －4＝09．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 解析：因为y ′＝－1－cos xsin 2x ，所以y ′|=2x π＝－1，由条件知1a ＝－1， 所以a ＝－1. 答案：－110．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 211．求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos x ex .解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x -32－12x -12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x .12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. B 级1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e-343．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得{ f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。
下面将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。
一、导数的定义对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。
该定义表明导数表示函数在其中一点处的斜率或变化率。
二、导数的主要公式1.常数的导数公式如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数e^x的导数仍然是e^x。
4.对数函数的导数公式如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中sec^2表示secant的平方。
6.反三角函数的导数公式- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数具有一些基本的运算法则，可以用于计算复杂函数的导数。
1.常数乘以函数的导数法则如果f(x)的导数是f'(x)，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
导数运算法则加减乘除
导数运算法则加减乘除一、导数的定义导数是微积分中重要的概念，它主要用于表达函数在某一点处的变化速度。
可以用来研究函数运动规律，反映函数曲线的变化趋势。
二、导数的运算1、加法运算规则：设函数f（x）=f1（x）+f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）+f2'（x）2、减法运算规则：设函数f（x）=f1（x）-f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）-f2'（x）3、乘法运算规则：设函数f（x）=f1（x）*f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）*f2（x）+f2'（x）*f1（x）4、除法运算规则：设函数f（x）=f1（x）/f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=（f1'（x）*f2（x）-f2'（x）*f1（x））/（f2（x）*f2（x））三、导数运算法则的应用导数运算法则广泛应用于几何、物理学、经济学、管理学等多学科，其应用范围非常广泛。
例如，在几何学中，用来描述曲线的凹凸性，在物理学中，可以用来解析运动物体的位移关系，也可以用来研究二者之间的力学原理。
在经济学中，导数法则可以用来研究经济中的边际效应，以及经济变量之间的关系。
在管理学中，可以应用导数法则进行管理绩效的诊断，以便更好地进行企业管理。
四、总结导数具有重要的概念价值和重要的应用价值，可以用来描述函数的变化，反映曲线的变化趋势。
导数运算法则几乎可以应用于各学科领域，可以使解决问题的过程更有效率。
导数的概念及其运算
5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
()
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2, 因此在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.
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3
y
(lnx)( x 2
1) (x2
lnxo(x2 1)2
1)
1 (x2 1) lnx 2x x (x2 1)2
x2 1 2x2 lnx x(x2 1)2 ;
4 y 3sin2x 2 ?sin2x 6sin2 2xcos2x.
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类型三
导数的几何意义及应用
式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再运用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,能够先化为有求导公
式的函数表达再求导.
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补充作业：
1.求下列函数的导数 :
(1) y 1 1 ;(2) y sin x (1 2 cos2 x );(3) y e x 1.
解题准备:求曲线切线方程的环节是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数 f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切 线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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导数的概念及运算
x0 x x0
x
存在，则称f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数
y＝f(x)在点x0处的导数，记为f (x)或y |x=x0.
说明：
1．导数是一个特殊的极限；
2． f (x)为函数所表示的曲线在相应点M(x0, f(x0))处的切线
斜率， 其切线方程为：y- f(x0)= f (x0)(x-x0)；
v2
3．复合函数的导数:
设函数 u=(x) 在点 x 处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu=f (u)，则复合函数y=f((x)) 在点 x 处有导数, 且 yx=yu·ux 或写作 fx((x))=f(u)(x)。
即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变 量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数.
导数的概念及运算
麻城一中 彭稳章
一、基本内容
（一）导数的概念：
y
y=f(x)
Q
y 就是割线PQ的斜率
△y
x
P △x
0
M x
lim y 就是过P点切线的斜率 x0 x
概念：
如果函数y＝f(x)在x0处增量△y与自变量的增
量△x的比值 y ，当△x→0时的极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0)
切线的方程为y 11x 18或y 17 (x 3) 15 4
即为：11x y 18 0或17x 4 y 8 0.
说明：
求切线方程应注意： ①判断点A是否在函数图象上； ②审题:在A(x0,f(x0))处切线
y-f(x0)=f(x0)(x-x0)过A(x0,f(x0)),先设切 点，再按上述方法求解。
导数的概念及运算
探究二
例2 求下列函数的导数 (1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝3xex－2x＋e； lnx (4)y＝ 2 x ＋1 (5)y＝e2xcos3x； (6)y＝ln x2＋1
导数运算
【解析】 (1)方法一 y＝(3x3－4x)(2x＋1) ＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4. 方法二 y′＝(3x3－4x)′· (2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋ 1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)· 2 ＝24x3＋9x2－16x－4. (2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
1 3 4 ∴切线方程为y－( x0＋ )＝x2(x－x0)， 0 3 3 2 3 4 2 即y＝x0· x0＋ . x－ 3 3 2 3 4 2 ∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x0－ x0＋ ， 3 3
3 即x0－3x2＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 0
故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0；
题型三
导数的几何意义
1 3 4 例3 已知曲线y＝3x ＋3. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．
【解析】 (1)∵y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0； 1 3 4 (2)设曲线y＝ x ＋ 与过点P(2,4)的切线相切于点 3 3 1 3 4 2 A(x0，3x0＋3)，则切线的斜率k＝y′| x＝x0＝x0.
s′(t0)
表
导数定义与计算方法
导数定义与计算方法导数是微积分中非常重要的概念之一，它与函数的变化率以及切线有着密切的关系。
本文将介绍导数的定义及其计算方法，以帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，它可以用极限的概念来定义。
对于给定函数f(x)，如果存在一个极限lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx 〗，则称该极限为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以表示为dy/dx 或y'。
二、导数的计算方法导数的计算方法主要包括以下几种常见的情况：1. 基本函数的导数- 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
- 幂函数的导数可以通过幂函数的求导公式来计算，即d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数。
- 指数函数e^x的导数为e^x。
- 对数函数ln(x)的导数为1/x。
2. 基本运算法则- 和差法则：导数的和等于导数的和，即d/dx(f(x)+g(x)) = f'(x) +g'(x)。
- 常数倍法则：导数的常数倍等于常数倍的导数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中c为常数。
- 乘法法则：导数的乘积等于函数一的导数乘以函数二加上函数一乘以函数二的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
- 除法法则：导数的商等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/g^2 (x)。
3. 高阶导数- 导数的导数称为高阶导数，可通过对导数再次求导来计算。
例如f''(x)表示f'(x)的导数，f'''(x)表示f''(x)的导数，以此类推。
4. 链式法则- 当函数具有复合形式时，可以使用链式法则来计算导数。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
导数的概念及其计算
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) . x
(2)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的 斜率 . (3)导数的物理意义：函数 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体的运动方程为 s＝s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v＝s′(t0)．
x 0
探究提高 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)的导数的 一般方法是： (1)求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy f(x＋Δx)－f(x) (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy y （3）取极限，得导数 lim Δx.
x0
变式训练 1 过曲线 y＝ f (x)＝ x3 上两点 P(1,1)和 Q(1＋ Δ x,1＋Δ y)作曲线的割线， 求出当 Δ x＝ 0.1 时割线的 斜率，并求曲线在点 P 处切线的斜率．
2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点， 切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
基础自测 1． 已知函数 f ( x) ＝13－8 x＋ 2 x ， 且 f ' ( x0 ) ＝
2
3 2 4，则 x0 的值为________.
解析
f ' ( x) ＝－8＋2 2x，
f ' ( x0 ) ＝－8＋2 2 x0 ＝4，∴ x0 ＝3 2.
导数的概念及运算
法则3: 法则3:
两个函数的积的导数如下 两个函数的积的导数如下 积的导数
[ f ( x) ⋅ g( x)]′ = f ′( x) ⋅ g( x) + f ( x) ⋅ g′( x).
法则4: 法则4: 两个函数的商的导数如下 两个函数的商的导数如下 商的导数
f (x) f ′( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x ) (g( x) ≠ 0 ) g( x ) = 2 [g( x)]
′
7 练习1：求曲线 y = x + 6 x 在点 P (1，)处
6 3 2
的切线方程。 的切线方程。 10x − y − 3 = 0
练习 2：求以下函数的导数 ln x + 2 (1) y = x2 (2 ) y = tan x
x
(ln 2⋅ x − 2)2x 1− 2ln x + ′= (1) y 3
x 1 (2) y′ = 2 cos x
练习3：f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)⋯ ( x − 100), 则f ' (0 ) =
100× 99⋯× 2×1 _____
g 例1：已知对任意实数 有f (−x) =−f (x)， (−x) = g(x) ， ：已知对任意实数x有 且x>0时， f ′( x) > 0，g′( x) > 0 ，则 x<0 时（ ） 时 B
A． ′( x ) > 0，g ′( x ) > 0 B． f ′(x) > 0，g′(x) < 0 ． ． f C．f ′( x ) < 0，g ′( x ) > 0 ． D．f ′( x) < 0，g ′( x) < 0 ．
高中数学导数公式及导数的运算法则
高中数学导数公式及导数的运算法则一、导数的定义导数是函数变化速率的一种描述方式，用函数f(x)在点x处的变化率来近似表示。
导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x处有定义，如果当自变量x自小于且无限接近于x时，函数值的变化量Δy始终与自变量的变化量Δx之比近似为一个定值，即lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx这个极限值称为函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)，也可以写成dy/dx。
二、常见函数的导数公式1.幂函数的导数若y = xⁿ，n为常数，则y' = nxⁿ⁻¹。
2.反函数的导数若y=f⁻¹(x)，则y'=1/f'(f⁻¹(x))。
3.指数函数的导数若y = aˣ，a > 0，a ≠ 1，则y' = (lna) * aˣ。
4.对数函数的导数(a) 若y = logₐ(x)，a > 0，且a ≠ 1，则y' = 1/(xlna)。
(b) 若y = ln(x)，则y' = 1/x。
5.指数对数函数的导数(a) 若y = aˣ(x > 0)，则y' = aˣ(lna)。
(b) 若y = logₐx(a > 0，且a ≠ 1)，则y' = 1/(xlna)。
(c) 若y = ln，x，则y' = 1/x。
6.三角函数的导数(1) 若y = sinx，则y' = cosx。
(2) 若y = cosx，则y' = -sinx。
(3) 若y = tanx，则y' = sec²x。
1.基本运算法则(a)常数乘积法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。
(b)和差法则：[f(x)±g(x)]的导数是f'(x)±g'(x)。
(c)常数倍数法则：k*f(x)的导数是k*f'(x)。
第三章 第1讲 导数的概念及运算
第1讲导数的概念及运算基础知识整合1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的□01瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝□02limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点□03P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为□04y －y0＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝□050(C为常数)；(2)(x n)′＝□06nx－(n∈Q*)；(3)(sin x)′＝□07cos x；(4)(cos x)′＝□08－sin x；(5)(a x)′＝□09a ln_a；(6)(e x)′＝□10e；(7)(log a x)′＝1x ln a；(8)(ln x)′＝□111x.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝□12f′(x)±g′(x)．(2)[f (x )·g (x )]′＝□13f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[C ·f (x )]′＝□14Cf ′(x )(C 为常数)． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝□15f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．5．复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．1．(2019·海南模拟)曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0答案 B 解析 y ′＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2，当x ＝1时，y ′＝－1，所以切线方程是y －1＝－(x －1)，整理得x ＋y －2＝0.故选B.2．函数f (x )＝x (2017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2018，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e 答案 B解析 f ′(x )＝2017＋ln x ＋x ·1x ＝2018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2018，得2018＋ln x 0＝2018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.故选B.3．若曲线y ＝e x ＋ax ＋b 在点(0,2)处的切线l 与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a ＋b ＝( )A ．3B ．－1C ．1D ．－3 答案 A解析 因为直线x ＋3y ＋1＝0的斜率为－13，所以切线l 的斜率为3，即y ′|x＝0＝e 0＋a ＝1＋a ＝3，所以a ＝2；又曲线过点(0,2)，所以e 0＋b ＝2，解得b ＝1.故选A.4．(2019·河北质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e 答案 C解析 依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎨⎧kx 0＝ln x 0，k ＝1x 0，由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1e .故选C.5．f (x )＝2x ＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________． 答案 x －y ＋4＝0解析 f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1,5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.6．(2019·郑州模拟)直线x －2y ＋m ＝0与曲线y ＝x 相切，则切点的坐标为________．答案 (1,1)解析 ∵y ＝x ＝x12 ，∴y ′＝12x －12 ，令y ′＝12x －12 ＝12，则x ＝1，则y ＝1＝1，即切点坐标为(1,1)．核心考向突破考向一 导数的基本运算 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝sin 3x ＋sin3x ；(4)y ＝1(2x －1)3.解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.(2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)y ′＝(sin 3x )′＋(sin3x )′＝3sin 2x cos x ＋3cos3x . (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(2x －1)3′＝[(2x －1)－3]′＝－3(2x －1)－4×2＝－6(2x －1)－4. 触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导. (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.即时训练 1.求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝11－2x；(4)y ＝ln xx 2＋1.解 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝[(1－2x ) －12]′＝－12(1－2x )－32 ×(－2)＝(1－2x ) －32 .(4)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x(x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.考向二 导数的几何意义角度1 求切线的方程例2 (1)(2019·四川成都模拟)曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是( )A ．y ＝－πx ＋π2B ．y ＝πx ＋π2C ．y ＝－πx －π2D ．y ＝πx －π2答案 A解析 因为y ＝x sin x ，所以y ′＝sin x ＋x cos x ，在点P (π，0)处的切线斜率为k ＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是y ＝－π(x －π)＝－πx ＋π2.故选A.(2)曲线y ＝f (x )＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为________．答案 2x －y ＋2＝0解析 ∵f ′(x )＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2e 0＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －y ＋2＝0.角度2 求切点的坐标例3 (1)(2019·陕西模拟)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1,1)答案 A解析 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以点P 的坐标为(1,1)．故选A.(2)(2018·江西模拟)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (e ，e)解析 设点P (x 0，y 0)，∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ．∴曲线y ＝x ln x 在点P 处的切线斜率k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 角度3 求公切线的方程例4 (1)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2.故选D.(2)若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．答案 y ＝x ＋1解析 设直线l 与曲线y ＝e x 的切点为(x 0，e x 0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214，因为y ＝e x 在点(x 0，e x 0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，－x 214处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2| x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x0或y ＝－12x 1x ＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x0＝－x 12，－x 0e x 0＋e x0＝x 214，所以e x 0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.触类旁通(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)求曲线f (x )，g (x )的公切线l 的方程的步骤,①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x 0，f (x 0))，(x 1，g (x 1))，并分别求出两曲线的切线方程；,②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y 轴上的截距都分别相等，得到关于参数x 0，x 1的方程组，解方程组，求出参数x 0，x 1的值；,③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可.即时训练 2.(2019·衡水调研)已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12 答案 A解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0，由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.故选A.3．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2答案 A 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.答案 1－ln 2解析 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1，－ln k ，∵A ，B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.考向三 求参数的范围例5 (1)(2019·沈阳模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．1B ．2C ．5D ．－1 答案 A解析 由题意可得3＝k ＋1,3＝1＋a ＋b ，则k ＝2.又曲线的导函数y ′＝3x 2＋a ，所以3＋a ＝2，解得a ＝－1，b ＝3，所以2a ＋b ＝1.故选A.(2)已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞解析 由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e 即可．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.触类旁通处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.即时训练 5.已知函数f (x )＝ax 2＋2b ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝x ＋2－6ln 2，则a ＋b ＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 答案 A解析 由切线方程，得f (2)＝4－6ln 2，f ′(2)＝1. ∵f (x )＝ax 2＋2b ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋2bx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ln 2＝4－6ln 2，4a ＋b ＝1，解得a ＝1，b ＝－3， ∴a ＋b ＝－2.故选A.6．若曲线y ＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 答案 B解析 令y ＝f (x )＝13x 3＋ax 2＋x ，则f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1，∵曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解，∴Δ＝(2a )2－4≥0，∴a ≥1或a ≤－1，即实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B.。
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使 b (3t 2 1)a 2t 3． 则方程 2t 3 3at 2 a b 0 有三个相异的实数根．
记 g (t ) 2t 3 3at 2 a b，则 g (t ) 6t 2 6at 6t (t a).
于是，若过点 a, b 可作曲线 y f ( x) 的三条切线，
（3）.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函 数y=f(u),u=g(x)的导数间关系为
ux yx yu
考点2 导数的计算
【变式】求下列函数的导数： 例2.
x x （1） y x sin cos ； 2 2
（2） y x( x 1)( x 2) ；
f′ (x)＝cos x ； (3)f(x)＝sin x; 答： __________
(4)f(x)＝cos x; 答： __________ f′( x)＝－sin x； (5)f(x)＝ax 答： __________ f′ (x)＝axln a；
f′(x)＝ex ； (6)f(x)＝ex 答： __________ 1 (x)＝xln a； (7)f(x)＝logax; 答： f′ __________ 1 f′(x)＝x ； (8)f(x)＝ln x; 答： __________ ′＝f′(x)± g′(x)； (9)y＝f(x)± g(x); 答： y ________________ y′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (10)y＝f(x)g(x); 答： ____________________________ ； f′xgx－fxg′x fx y′＝ 2 (11)y＝ 答： __________________. gx≠0； [ g x ] gx
3 2 整理得 2 x0 3x0 1 0 ，
∴ ( x0 1) (2x0 1) 0 ，
2
解得 x0 1 ，或 x0
1 ， 2
∴所求的切线为 3x y 3 0 ，或 3x 4 y 3 0 ．
1个重要区别：“过某点”与“在某点”的区别 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切 线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一 定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2 3 ( 1) 3． x 1
(2) 设过点 (1, 0) 的切线与曲线相切于点 ( x0 , y0 ) ， 则切线的斜率为 k y
x x0 2 3 x0 ，
y0 0 2 3 x 0 x 1 ∴ 0 ， y x3 1 0 0
考点3 导数的几何意义
【例 3】已知曲线 y x3 1 ． （1）求曲线在 x 1 处的切线方程； （2）求曲线过点 (1, 0) 的切线方程．
【解析】 （1）∵ y 3x2 ， ∴曲线在 x 1 处的斜率 k y ∵ x 1 时， y 0 ， ∴曲线在 x 1 处的切线方程为 y 3( x 1) ， 即 3x y 3 0 ．
导数的物理意义：位移函数s＝s(t)在t0处的导数s′(t0)是 ________________，即________．速度函数v＝v(t)在t0处的导 数v′(t0)是________________，即________．
答案：二、曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率 函数s＝s(t)在时刻t0时的瞬时速度 v＝s′(t0) 函数v＝v(t) 在时刻t0时的瞬时加速度 a＝v′(t0)
f (1) f (1) 4 ．
f ( x0 x) f ( x0 ) 【变式】设函数 f ( x) 在 x0 处可导，则 lim 等于（ x 0 x
A． f ( x0 ) C． f ( x0 ) B． f ( x0 ) D． f ( x0 )
）
【答案】B 【解析】原式 lim
1 1 （3） y ． 1 x 1 x
【解析】 （1） y x sin
x x 1 cos x sin x ， 2 2 2 1 1 1 y ( x sin x) x (sin x) 1 cos x ． 2 2 2
（2）∵ y x3 3x2 2 x ， ∴ y 3x2 6x 2 ．
的相对位置即可．
试题回放
15.(12分)解 关 于 x的 不 等 式 ： (1) x (a 1) x a 0; （ 2 ） 2 x mx 2 0;
2 解(1) 由 x ( a 1) x a 讨论⊿与 0得x1 a, x2 1 讨论两根的大小； 0的大小；
第1讲
导数的概念及其运算(1)
考纲要求
1．导数的概念 ①了解导数概念的实际背景， ②理解导数的几何意义． 2．导数的运算
1 ①能根据导数的定义求 y c ， y x ， y x ， y x
2
的导数． ②能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的 导数．
知识梳理
1．平均变化率 fx2－fx1 设函数 y＝f(x)，那么式子 称为函数 f(x)从 x1 到 x2－x1 Δf x2 的平均变化率，简记为 . Δx
fx0＋Δx－fx0 Δf ＝Δ lim ，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 x→0 Δx Δx 的 导 数 ． 记 作 f′(x0) 或 y′| x＝x0 ， 即 f′(x0) ＝ Δ lim x→ 0
2．导数的概念 一般地，函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率是 Δ lim x→ 0
a (1)f′(x)＝ ，g′(x)＝ (x>0)， x 2 x x＝aln x， 由已知得 1 a ＝ ， 2 x x e e 2 ∴解得 a＝ ，x＝e ，g(x)＝ ln x. 2 2 2 ∴两条曲线交点的坐标为(e ，e)， 1 2 切线的斜率为 k＝f′(e )＝ ， 2e
1个重要区别：“过某点”与“在某点”的区别 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切 线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一 定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
2
2．(陕西卷)已知函数f(x)＝ x ，g(x)＝aln x，a∈R.若 曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线， 求a的值及该切线的方程．(节选) 解析：
典例剖析
考点1 导数的定义
【例 1】设函数 f ( x) 在 x 1 处可导，且 f (1) 2 ，
f (1 h) f (1 h) 求 lim 的值． h 0 h
f (1 h) f (h) f (h) f (1 h) 【解析】原式 lim h 0 h f (1 h) f (1) f (1) f (1 h) lim lim h 0 h 0 h h
(1 x ) (1 x ) 2 （3）∵ y ， (1 x )(1 x ) 1 x
∴ y
2(1 x) 2 ． 2 2 (1 x) (1 x)
变式探究 2．求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x－1)(x－2)； (3)y＝(ax－bsinx)3；
x 0
f [ x0 (x)] f ( x0 ) f ( x0 ) . (x)
4．导数的计算公式及求导法则(请学生自主学习) 写出下列函数的导数或运算法则： (1)f(x)＝C(C 为常数)；
n *
f′(x)＝0 ； 答： __________
－
n 1 f ′ ( x ) ＝ nx (2)f(x)＝x (n∈N ); 答： __________；
2 解：（1）求函数 f x 的导数； f ( x) 3x 1 ．
曲线 y f ( x) 在点 M (t，f (t )) 处的切线方程 为：y f (t ) f (t )( x t )，即 y (3t 2 1) x 2t 3 （2）如果有一条切线过点 a, b ，则存在 t ，
＝sin x－cos x.
解析：(3)∵y＝(ax－bsin x)3是由函数，y＝u3，u＝ax－bsin x复合而成的， ∴ y′＝(u3)′＝3u2· u′＝3u2(ax－bsin x)′ ＝3u2(a－bcos x) ＝3(ax－bsin x)2(a－bcos x)．
4
点评：复合函数求导步骤：分解——求导——回代．分析 结构特征、挖掘隐含条件，复合函数基本化是正确解题的关键 . 防止求导过程中的符号判断不清，复合函数分解成基本函数时 出错．
(2)设 a 0 ，如果过点 a, b 可作曲线 y f ( x)的
三条切线，证明： a b f (a ) ． 分析：第（１）问利用导数的几何意义可以解出 第（２）问过点可作曲线的三条切线，则有三个 切点，即第（１）问的切线方程有三个根，因此 问题转化为对切线方程根的个数的讨论．
fx0＋Δx－fx0 . Δx 当 x0 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为函数 f(x)的导函数(简称导数)，函数 f(x)的导函数有时也记作 y′， fx＋Δx－fx 即 y′＝f′(x)＝Δ lim . x→ 0 Δx
二、导数的几何意义及物理意义 函数f(x)在点x0处导数的几何意义就是 ________________．相应的切线方程是： y－y0＝f′(x0)(x－x0)
a b 0， b f (a) 0.
即 a b f (a).
归Байду номын сангаас小结：（１）本题考查了导数的几
何意义，方程的根的的个数讨论，极值等知
识，考查了分类讨论和数形结合思想，分析
解决综合问题的能力． （２）利用图形考查方程根的个数问题是一种 常见的考题形式，只要转化为函数的极值与轴
) 当t 变化时， g (t )，g (t变化情况如下表：