第五讲 幂函数
2023高考数学基础知识综合复习第5讲幂函数 课件(共19张PPT)
20 + = 100,
220 + = 0,
考点一
考由题意,f(x)= 1 2
- + 110,20 ≤ ≤ 220,
2
当0≤x≤20时,f(x)的最大值为f(20)=2 000,
当20≤x≤220时,f(x)=-
1
2
(x-110)2+6 050,
解析
4
(1)y= 5 的定义域是
4
(2)y= 5
R,值域是[0,+∞);
1
= 4 的定义域是{x|x≠0},值域是(0,+∞);
5
5
(3)y= 4 的定义域是[0,+∞),值域是[0,+∞);
5
(4)y= 4
1
= 5 的定义域是(0,+∞),值域是(0,+∞).
4
考点一
考点二
◆角度3.幂函数的性质
考点一
考点二
◆角度2.幂函数的三要素
例 2-1 已知幂函数
1 2
),则 k+a=
2 2
f(x)=k·xa 的图象过点( ,
.
答案 1.5
解析 因为函数 f(x)=k·xa 是幂函数,所以 k=1,又因为幂函数的图象过点
1 2
),
2 2
1
2 1
所以( )a= =( )0.5,
2
2
2
( ,
所以 a=0.5,所以 k+a=1.5.
考点一
考点二
◆角度4.幂函数的图象
例4-1(2020浙江杭州高一期末)已知幂函数y=xn在第一象限内的图
1 1
象如图所示.若n∈{2,-2, ,- } ,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的n的值依
幂函数知识点
幂函数知识点1. 幂函数的定义幂函数是一种特殊的函数，其形式为f(x) = ax^b，其中a 和b都是实数，且a不等于0。
在幂函数中，x是自变量，b 是幂指数，a是幂函数的系数。
2. 幂函数的图像根据幂函数的定义，可以推断出幂函数的图像特征： - 当幂指数b为正数时，幂函数呈现上升趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值也趋近于无穷大；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于零。
- 当幂指数b为负数时，幂函数呈现下降趋势。
当x趋近于无穷大时，幂函数的值趋近于零；当x趋近于零时，幂函数的值趋近于无穷大。
- 当幂指数b为零时，幂函数为常数函数，图像为一条水平直线。
3. 幂函数的性质幂函数具有以下性质： - 幂函数的定义域为实数集，值域依赖于a的正负性质。
- 幂函数在定义域上是连续的。
- 当幂指数b为正偶数时，幂函数的值始终为正数。
- 当幂指数b为正奇数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a 的正负性。
- 当幂指数b为负数时，幂函数的值随着x的变化而变化，正负性取决于a的正负性。
- 幂函数在x=0处存在一个驻点，即当x=0时，幂函数的导数为0。
- 当b>0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而增加；当b<0时，幂函数对x的增长速度随着x的增大而减小。
4. 幂函数的应用幂函数在数学和物理中有广泛的应用，例如： - 在生物学中，幂函数常被用来描述生物体量和身高的关系，以及种群增长和资源利用的关系。
- 在经济学中，幂函数常被用来描述产出与投入的关系，以及利润与销售量的关系。
- 在物理学中，幂函数常被用来描述力与位移的关系，以及电力消耗与电流的关系。
5. 幂函数的求导根据幂函数的定义，我们可以得出幂函数的导数公式： - 对于f(x) = ax^b，其中a不等于0且b不等于0，幂函数的导数为f’(x) = abx^(b-1)。
其中b-1为幂指数减一。
在求幂函数的导数时，需要注意幂指数b的取值范围，以及系数a的正负性。
《幂函数》PPT课件
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
-2 -3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
解:
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
2024年度高一数学《幂函数》PPT课件
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
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7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
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幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
幂函数(优秀课件)
3
2
3
2
5
.
1
5
.
1
2
,
)
2
)(
2
(
;
,
)
1
)(
1
(
-
-
+
+
a2
a
a
例2
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
问题引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 这里S是a的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 , 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长 这里a是S的函数; (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 这里v是t的函数.
正确
不正确
不正确
不正确
正确
例1： 比较下列各题中两数值的大小
① 1.73,1.83 ② 0.8-1 ,0.9-1
②∵幂函数y= x-1在(0,+∞）上是单调减函数.
解：① ∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数。
又∵1.7<1.8
∴1.73<1.83
(5) 图像不过第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时， 越大图象越高
(3) 当 为奇数时，幂函数为奇函数； 当 为偶数时，幂函数为偶函数．
随堂练习
下列哪些说法是正确的？
1 . 幂函数均过定点（1，1）； 2 . 幂函数 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+ ∞ ）上也单调递减,因此幂函数 在定义域内单调递减； 3 . 幂函数的图象均在两个象限出现； 4 . 幂函数在第四象限可以有图象； 5 . 当 >0时，幂函数在第一象限均为增函数；
幂函数知识点
幂函数知识点一、幂函数的定义形如$y ＝ x^｛＼alpha}＄（＄＼alpha$为常数）的函数，称为幂函数。
其中$x$是自变量，＄＼alpha$是常数。
需要注意的是，幂函数的底数是自变量$x$，指数是常数$＼alpha$，这是幂函数的重要特征。
例如，＄y ＝ x^2$，＄y ＝ x^｛1/2}＄，＄y＝ x^｛－1}＄等都是幂函数。
二、幂函数的图像和性质1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）＄＼alpha$为偶数时，幂函数的图像关于$y$轴对称。
例如，＄y ＝ x^2$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。
（2）＄＼alpha$为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
比如，＄y ＝ x^3$的图像是经过原点的单调递增曲线。
2、当$＼alpha ＜ 0$时（1）幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限内，函数值随$x$的增大而减小。
例如，＄y ＝ x^｛－1}＄的图像是双曲线，位于第一、三象限。
（2）当$x ＞ 1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的下方；当$0 ＜ x ＜1$时，幂函数的图像在$y ＝ x$的上方。
3、当$＼alpha ＝ 0$时＄y ＝ 1$（＄x ＼neq 0$），图像是一条平行于$x$轴的直线，去掉点$（0, 1)＄。
三、幂函数的单调性1、当$＼alpha ＞ 0$时（1）若$＼alpha ＞ 1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增。
（2）若$0 ＜＼alpha ＜1$，幂函数在$0, ＋＼infty)＄上单调递增，但增长速度较慢。
2、当$＼alpha ＜ 0$时幂函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
四、幂函数的奇偶性1、若$＼alpha$为整数（1）当$＼alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。
（2）当$＼alpha$为奇数时，幂函数为奇函数。
2、若$＼alpha$为分数将其化为最简分数形式$＼frac{p}｛q}＄（＄p$，＄q$互质）（1）若$q$为偶数，幂函数是非奇非偶函数。
幂函数课件
学生们应该反思他们的学习过程，找出哪些方法 有效，哪些方法需要改进，并制定以后的学习计 划。
对未来学习的展望
学生们应该展望他们的未来学习，制定长期和短 期的目标，并制定实现这些目标的计划。
THANKS
感谢观看
幂函数例子
如$y = 2^x$、$y = x^2$等均为幂函数。
幂函数的性质
奇偶性
当底数为正数时，幂函数为偶函 数；当底数为负数时，幂函数为
奇函数。
增减性
当指数为正数时，幂函数随着自变 量的增加而增加；当指数为负数时 ，幂函数随着自变量的增加而减小 。
零点
当指数为整数时，幂函数的零点为 该整数的负一次方。
似表达式。
误差估计
误差估计可以用来判断泰勒级数 的近似精度，从而选择合适的项
数以获得精确解。
幂函数的导数与积分的应用扩展
导数应用
01
幂函数的导数可以用来求解函数的极值点、拐点以及变化率等
问题。
积分应用
02
通过将幂函数进行积分，可以得到其原函数以及不同区间的定
积分和不定积分表达式。
物理应用
03
幂函数在物理学中有广泛的应用，例如描述质量分布、能量分
极限运算
通过比较不同幂函数的增 长速度，可以推导出它们 在特定点处的极限值。
连续性
幂函数在实数域上是连续 的，但在复数域上可能不 连续。
幂函数的泰勒级数展开
泰勒级数
幂函数可以通过泰勒级数展开成 无限多项之和，其中每一项都是
函数在某一点处的导数。
展开方法
通过将幂函数进行无穷级数展开 ，可以得到其在不同区间内的近
念的理解都具有重要的意义。
课程目的与意义
幂函数的性质及其应用课件
当自变量$x$的取值范围为全体实 数时，幂函数的值域为 $(0,+\infty)$。
幂函数的奇偶性
奇偶性定义
如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那 么这个函数就是偶函数；如果满足 $f(-x)=-f(x)$，那么这个函数就是奇 函数。
幂函数的奇偶性
当$n$为偶数时，幂函数$y = x^{n}$ 是偶函数；当$n$为奇数时，幂函数 $y = x^{n}$是奇函数。
幂函数的应用场景
幂函数在金融领域的应用
1 2
投资组合优化
幂函数可以用于建立投资组合模型，根据不同资 产的价格波动和相关性进行优化，以实现风险分 散和资产增值。
资本资产定价模型（CAPM）
幂函数可以用于CAPM中的回报率预测，根据风 险和资产的相关性来计算期望回报率。
3
期权定价模型
幂函数可以用于期权定价模型的构建，通过考虑 标的资产价格、行权价、剩余期限等因素来估算 期权的合理价格。
通过一个实际案例，介绍了幂函数在解决实际问题中的应用。
详细描述
首先介绍了幂函数的定义和性质，然后通过一个具体的例子，展示了如何利用幂函数解决实际问题。这个例子涉 及到物理学中的力学和工程学中的材料科学，通过幂函数来描述和预测材料的强度和重量之间的关系。
利用幂函数解决实际问题二例
总结词
通过另一个实际案例，介绍了幂函数在 解决实际问题中的应用。
数据压缩
在数据压缩领域，幂函数 被用于构建压缩算法，以 实现数据的紧凑表示和存 储。
加密算法
幂函数也被广泛应用于加 密算法中，如RSA公钥密 码体系，以提供安全的数 据传输和保护。
图像处理
在图像处理中，幂函数可 以用于实现图像的缩放、 旋转和扭曲等变换。
幂函数(课件)
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
幂函数ppt课件
5
(5) = 2 ;
(6) = 2 3 ;
3;
【答案】 (1),(4)
辨析2.(1) 在函数 =
1
2
、0
, = 2 2 , = 2 + , = 1 中，幂函数的个数为（
、1
、2
、3
(2) 若函数 是幂函数，且满足 4 = 3 2 ，则
【答案】
1
(1)，(2)
3
)
1
2
的值等于___________.
新知探究
问题1：结合前面学习函数的经验，应该如何研究 = , =
2,
=
3,
=
−1
这五个幂函数？
提示：先求函数的定义域
画出函数图象
研究函数的 单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等.
新知探究
名称
图象
y
=
定义域
值域
奇偶性
单调性
> 0， = 在第一象限内单调递增；
< 0， = 在第一象限内单调递减。
问题4：2.3−0.2 和2.2−0.2 可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
= −02 在 0， + ∞ 上单调递减，所以2.3−0.2 < 2.2−0.2
练习巩固
练习3：比较下列各组数中两个数的大小.
1
1
(2)4
=
1
16
.
(2)由f(2a + 1) = f(a)，可得(2a + 1)−4 = a−4 .
2 + 1 = ±
1
即 2 + 1 ≠ 0 ,解得 = −1或 = −
3
幂函数(高中数学)
(2)y＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的， 函数y＝x12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选 项A中的图所示)，将y＝x12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
20
幂函数性质的综合应用 [探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂 函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
21
2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小 关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因 为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
22
【例3】 比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
30
C [∵函数 y＝x54是非 奇非偶函数，故排除 A、B
选项．又54>1，故选 C.]
A
B
C
D
31
5、幂函数图像与性质ppt课件
x y=x3 y=x1/2
…
-2
-1
0
…
-8
-1
0
…
/
/
0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
1
2
1
8
1
2
y=x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y= x 2 x
10
函数
y的图像 x3
定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性：
R R
在R上是奇函数
在R上是增函数
11
V a 3
y x2
y x3
1
a S 2
1
y x2
V t 1 km /s
y x21
幂函数的定义：
一般地，函数
y x
叫做幂函数，其中x为自变量， 为常数。
注意：
（1）幂函数的解析式必须是
的形式，
前的系数必须是1，没有其它项。
y x
x
（2）定义域与 的值有关系.
3
幂函数与指数函数的对比：
20
练习
1） 1 . 3 0 .5 ＜ 1 . 5 0 .5
2） 5 . 1 2 ＜ 5.09 2
1
1
3） 1 .7 9 4 ＞ 1 . 8 1 4
4）
(2
a
2
)
2 3
≤
2
23
21
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数 取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当 为奇数时,幂函数为奇函数,
1
幂函数ppt课件
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
2024年6月3日
肇庆加美学校
1
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为y，
1
那么y=__x__2__.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
1
y x 2 y x1
R
R
[0，+∞） {x| x ≠ 0}
值域 R
[0，+∞） R
[0，+∞） {y| y≠ 0}
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 奇函数 函数
R上是 单调性 增函数
在（－∞,0] 上是减函 数，在(0, +∞）上是 增函数
R上是 增函数
在（ －43;∞） 上是增函数 上是减函数
（1）y = 1
x2
（3）y=x2 + x
（2）y=2x2
（4）y 5 x3
（5）y = 2x
2024年6月3日
答案（1）（4）
肇庆加美学校
6
2、已知幂函数y = f (x)的图象 经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解 析式。
1
y x2
3、如果函数
f (x) = (m2－m－1) x m 是幂函数，
2024年6月3日
肇庆加美学校
4
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
式子 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a
名称
a
x
y
底数
指数
幂值
指数
底数
幂函数_课件5
f(x)极小值＝f(1)＝－2， 图象C2是由图象C1向右平移υ个单位长度， 向下平移υ个单位长度得到．当图象C2的 极大值点与C1的极小值点重合时，v有最 小值，如图所示： 即v最小为4.
【答案】 B
[教师选讲](2008年山东高考题)给出命题： 若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的
【方法点评】 本题集幂函数的概念、图 象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强， 解此题的关键是弄清幂函数的概念及性 质．解答此类问题可分为两大步：第一步， 利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的 值或范围；第二步，利用分类讨论的思想， 结合函数的图象求出参数a的取值范围．
1．(2009天津高考，3)设x∈R，则“x＝1” 是“x3＝x”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y≠_0_}
函 特数
征
性质
y＝x
奇偶性 _奇___
y＝x2 _偶___
y
＝ y＝x
x3
奇__
_非__奇_ _非__偶_
y＝x－1 _奇__
__x_∈__[0_，__ __＋__∞_)___ __时__，_增___ 增
x∈(0，＋ 增 ∞)_时__，__增_
单调性 增 ___x∈( __ ____ _ x∈(－∞，
2)在 f(x)的图象上，所以( 2)α＝2，所以 α
＝2，即 f(x)＝x2；又设 g(x)＝xβ，点 B(－2，
14)在 g(x)的图象上，
所以(－2)β＝14，所以 β＝－2，即 g(x)＝x－2. 在同一坐标系下画出函数 f(x)和 g(x)的图象， 如图，
则有：
h(x)＝
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第五讲幂函数考点一幂函数的概念
把形如
a x
y=的函数称为幂函数，其中x为自变量，a为常数。
例1.判断下列函数是否是幂函数
（1）
2
3x
y=（2）1
2+
=x
y（3）
x
y1-
=（4）
x
y1
=（5）
2
x
y=（6）x
y2=
变式：已知幂函数
)(x
f的图像经过点（4，
2
1
），且
8
)(=
x
f，则=x解析式为
例2.已知幂函数
3
2
22
)1
(-
-
-
-
=m
m
x
m
m
y，求函数解析式
变式：已知幂函数
3
2
22
)2
2
(+
-
+
-
=m
m
x
m
m
y，则=
-)3
(f
考点二幂函数的性质
例1.已知函数
)
(
)(22
1
2
3
Z
k
x
x
f k
k
∈
=
-
+
，
（1）若
)(x
f为偶函数，且在()
+∞
,0上是增函数，求)(x
f的解析式。
（2）若
)(x
f在()
+∞
,0上是减函数，求k的取值范围。
变式：幂函数
3
5
2)1
(-
-
-
-
=m
x
m
m
y在()
+∞
,0上为减函数，则=
m
考点三幂函数图像与性质的综合问题
例1.已知幂函数
)
(*
3
2
2N
m
x
y m
m∈
=-
-
的图像关于
y轴对称，且在()
+∞
,0上为减函数，求满
足
)
2
3(
)1
(
m
m
a
a-
-
-
<
+的a的取值范围。
变式：已知幂函数)(x f 的图像过点)2,2(，幂函数)(x g 的图像过点)1,2(，
（1）求)(x f 、)(x g 的函数解析式，（2）当x 为何值时：)()(x g x f >，)()(x g x f =，)()(x g x f <例2.已知幂函数)()(312N p x
x f p p ∈=++-在()+∞,0上是增函数，且在定义域上是偶函数。
（1）求p 的值，并写出相应的函数解析式；（2）对于（1）中求得的函数)(x f ，设[]1)()12()()(+-+-=x f q x f qf x g ，问：是否存在实数)0(<q q ，使得)(x g 在区间(]4,-∞-上是减函数，且在区间)0,4(-上是增函数？存在求q 变式：已知函数5)(3131--=x
x x f ，5)(3131-+=x
x x g 。
（1）证明)(x f 是奇函数，并求函数)
(x f 的单调区间；（2）分别计算)2()2(5)4(g f f -和)3()3(5)9(g f f -的值，由此概括出)(x f 和)(x g 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并证明。