智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练2.1函数及其表示(含答案详析)
高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第一章1-2函数及其表示
高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。
(全国通用版)高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业四 2.1 函数及其表示 理
课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第二章 第1讲 函数及其表示 Word版含答案
第1讲函数及其表示一、知识梳理1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．[注意]函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．二、习题改编1．(必修1P23练习T2改编)下列四个图形中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )答案：C2．(必修1P18例2改编)下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3答案：D一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)对函数概念理解不透彻； (2)解分段函数不等式忽视范围．1．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A.函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x <1，3x －5，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ．解析：当x <1时，|x |≥1，所以x ≥1或x ≤－1. 所以x ≤－1；当x ≥1时，3x －5≥1，所以x ≥2.所以x ≥2；所以x 的取值范围为(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)函数的定义域(多维探究) 角度一求函数的定义域(2020·辽宁鞍山一中一模)函数f (x )＝14－x 2＋ln(2x ＋1)的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，2 B.⎣⎡⎭⎫－12，2 C.⎝⎛⎦⎤－12，2 D.⎝⎛⎭⎫－12，2 【解析】 要使函数f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，2x ＋1>0，解得－12<x <2.所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，2.故选D. 【答案】 D求函数定义域的两种方法连接，而应该用并集符号“∪”连接．角度二 已知函数的定义域求参数若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ．【解析】 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 【答案】 [0，4]已知函数定义域求参数取值范围，通常是根据已知的定义域将问题转化为方程或不等式恒成立的问题，然后求得参数的值或范围．1．函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C ．(0，2)D ．[1，2]解析：选B.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0，解得1<x <2. 所以函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1，2)． 2．如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选D.因为－2x ＋a >0， 所以x <a 2，所以a2＝1，所以a ＝2.3．(2020·山东安丘质量检测)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x的定义域为( )A ．[0，3]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]解析：选A.由题意，可知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，解得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A.函数的解析式(师生共研)(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为 ．(2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为 ． (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )的解析式为 ． 【解析】 (1)(换元法)令2x ＋1＝t ，由于x >0，所以t >1且x ＝2t －1，所以f (t )＝lg 2t －1，即f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3. (3)(解方程组法)因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .【答案】(1)f(x)＝lg2x－1(x＞1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x 求函数解析式的4种方法1．(一题多解)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝ ． 解析：法一(换元法)：令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )．法三(待定系数法)：因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 答案：x 2－5x ＋9(x ∈R )2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝ ．解析：因为－1≤x ≤0，所以0≤x ＋1≤1，所以f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)分段函数(多维探究) 角度一 求分段函数的函数值(1)(2020·合肥一检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( ) A ．－12B ．2C ．4D ．11(2)(2020·山西太原三中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1（x ≥2），log 2x （0<x <2），若f (m )＝3，则f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝ ．【解析】 (1)因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.(2)当m ≥2时，m 2－1＝3，所以m ＝2或m ＝－2(舍)； 当0<m <2时，log 2m ＝3，所以m ＝8(舍)． 所以m ＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫52－m ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 【答案】 (1)C (2)－1分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．角度二 分段函数与方程、不等式问题(1)(一题多解)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤01，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)【解析】 (1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1， 所以f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ， 所以a ＝14.此时f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1＞1，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6，故选C.法二：因为当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， 所以a ＝2(a ＋1－1)， 所以a ＝14.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝6.(2)法一：①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.法二：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)． 故选D.【答案】 (1)C (2)D有关分段函数不等式问题，要按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解．1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B.由题意得f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝4.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0，若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D.当a >0时，不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为a 2＋a －3a >0，解得a >2.当a <0时．不等式a [f (a )－f (－a )]>0可化为－a 2－2a <0，解得a <－2.综上所述，a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3．(2020·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1<x <0，2x ，x ≥0.若实数a 满足f (a )＝f (a －1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ ．解析：由题意得a >0.当0<a <1时，由f (a )＝f (a －1)，即2a ＝a .解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝8，当a ≥1时，由f (a )＝f (a －1)，得2a ＝2(a －1)，无解． 答案：8核心素养系列2 数学抽象——函数的新定义问题所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．(2020·广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数．给出下列函数：①f (x )＝sin 2x ；②g (x )＝x 3； ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A ．①②③④ B ．①③④ C ．①④D ．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．2．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ； 以上三个函数中， 是“优美函数”．解析：由条件(1)，得f (x )是R 上的奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调递减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”．答案：②[基础题组练]1．函数y ＝1ln （x －1）的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1，2)∪(2，＋∞)D ．(1，2)∪[3，＋∞)解析：选C.由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln （x －1）的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B.74C.43D ．－43解析：选B.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，所以f (a )＝4a －1＝6，即a ＝74.3．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x ≤0），f （x －3）（x >0），则f (5)的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．0D.12解析：选D.f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝(－1)2－2－1＝12.故选D.4．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝ ，函数f (x )的值域是 ．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0，1)， 当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)6．若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤27．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是 ．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－（x －1）2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]． 答案：[－4，2] 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0. (2)f (x )的图象如图所示．[综合题组练]1．(2020·海淀期末)下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.①y ＝3－x 的定义域与值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x （x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.3．(2020·宁夏银川一中一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x＋1，x ≤0，－x ，x >0，则f (x ＋1)－9≤0的解集为 ．解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧2－x＋1，x ≤0，－x ，x >0，所以当x ＋1≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，2－（x ＋1）－8≤0，解得－4≤x ≤－1；当x ＋1>0时，⎩⎨⎧x >－1，－x ＋1－9≤0，解得x >－1.综上，x ≥－4，即f (x ＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞)4．(创新型)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，都存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x －1；③f (x )＝ln(2x ＋3)；④f (x )＝2sin x －1. 其中是“美丽函数”的序号有 ．解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x 都存在着y ，使x 所对应的函数值f (x )与y 所对应的函数值f (y )互为相反数，即f (y )＝－f (x )．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.答案：②③。
智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练10.2古典概型(含答案详析)
第十篇 第 2 节一、选择题1．以下事件属于古典概型的基本领件的是( )A ．随意扔掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件B ．篮球运动员投篮，察看其能否投中C ．丈量某天 12 时的教室内温度D ．一先一后掷两枚硬币，察看正反面出现的状况 分析： A项随意扔掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件，但各点数之和不是等可能的，比如和为2 的概率为361，和为3 的概率为362＝ 181，所以它不是等可能的，不是古典概型．B项明显事件 “ 投中 ” 和事件 “ 未投中 ” 发生的可能性不必定相等，所以它也不是古典概 型． C 项其基本领件空间包括无穷个结果，所以不是古典概型． D 项含有 4 个基本领件，每个基本领件出现的可能性相等，切合古典概型，应选D.答案： D2．甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲方才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且 a ，b ∈ {1,2,3} ，若 |a － b|≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现随意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()1 B. 5 A. 39 2 D. 7 C.39分析：甲想一数字有 3 种结果， 乙猜一种数字有3 种结果， 基本领件总数 3× 3＝ 9.设甲乙 “ 心有灵犀 ” 为事件 A ，则 A 的对峙事件 B 为 “ |a － b|>1” ，即 |a － b|＝ 2，包括 2 个基本 事件，∴P(B)＝ 2，∴P(A)＝ 1－ 2＝ 7，应选 D.9 9 9 答案： D3．(2014 合肥质检 )将包括甲、 乙两人的4 名同学均匀分红 2 个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为()1 B.2A. 5511 D.C.36分析：记此外两名同学为丙、丁，则将包括甲、乙两人的 4 名同学均匀分红 2 个小组的分法有 (甲乙，丙丁 )，(甲丙，乙丁 ) ，(甲丁，乙丙 )，共 3种；甲、乙两名同学分在同一小组1的只有 (甲乙，丙丁 )1 种，故甲、乙两名同学分在同一小组的概率为P＝3.应选 C.答案： C4．从正六边形的 6 个极点中随机选择 4 个极点，则以它们作为极点的四边形是矩形的概率等于 ()11 B.A. 10811 D.C.65分析：以下图，从正六边形ABCDEF的6个极点中随机选 4 个极点，能够看作随机选 2 个极点，剩下的4 个极点组成四边形，有A、 B， A、 C， A、D ，A、 E， A、 F， B、 C，B、 D， B、E， B、 F，C、 D， C、 E，C、 F， D、 E，D 、 F， E、F，共 15 种．若要组成矩形，只需选相对极点即可，有A、 D， B、 E， C、 F，共 3 种，故其概率为153＝15，应选 D.答案： D5．(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)从 1,2,3,4 中任取 2 个不一样的数，则拿出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是 ()11 B.A. 2311 D.C.46分析：从 1,2,3,4 中任取 2 个不一样的数有六种状况：(1,2)，(1,3) ，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，21知足条件的有(1,3)， (2,4)，故所求概率是6＝3.应选 B.答案： B6． (2014 临沂模拟 )已知 A＝{1,2,3} ， B＝ { x∈R |x2－ ax＋ b＝0， a∈ A， b∈ A} ，则 A∩B ＝B 的概率是 ()12 B.A. 938D ． 1C.9分析： ∵A ∩B ＝ B ，∴B 可能为 ?， {1} ， {2} ， {3} ， {1,2} ， {2,3} ，{1,3} ．当 B ＝?时， a 2－ 4b<0，知足条件的 a ， b 为 a ＝ 1，b ＝ 1,2,3； a ＝ 2，b ＝ 2,3；a ＝ 3，b ＝ 3.当 B ＝ {1} 时，满足条件的 a ， b 为 a ＝ 2， b ＝ 1.当 B ＝ {2} ， {3} 时，没有知足条件的a ，b.当 B ＝ {1,2} 时，满足条件的 a ， b 为 a ＝3， b ＝ 2.当 B ＝ {2,3} ， {1,3} 时，没有知足条件的 a ，b ，∴A ∩ B ＝B 的88概率为 3× 3＝ 9.应选 C.答案： C二、填空题x 2 y 27．曲线 C 的方程为 2＋ 2＝ 1，此中 m 、n 是将一枚骰子先后扔掷两次所得点数，事件mn2 2xyA ＝“方程 m 2 ＋ n 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”，那么P(A)＝ ________.分析： 试验中所含基本领件个数为36，若想表示椭圆，则前后两次的骰子点数不可以相同，则去掉 6 种可能，既然椭圆焦点在 x 轴上，则 m>n ，又只剩下一半状况，即有15 种，所以 P(A)＝ 15 5 36＝ 12.5 答案： 128． (2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)从 1,2,3,4,5 中随意拿出两个不一样的数，其和为5 的概率是 ________．分析： 从 1,2,3,4,5 中随意取两个不一样的数共有(1,2)， (1,3) ，(1,4)， (1,5)， (2,3)， (2,4) ，(2,5) ，(3,4)， (3,5) ，(4,5)10 种．此中和为 5 的有 (1,4)， (2,3)， 2 种．21由古典概型概率公式知所求概率为10＝ 5.答案：159． (2014 南京模拟 )在会合 A ＝ {2,3} 中随机取一个元素 m ，在会合 B ＝ {1,2,3} 中随机取一个元素 n ，获得点 P(m ，n)，则点 P 在圆 x 2＋ y 2＝ 9 内部的概率为 ________．分析：点 P(m ，n)共有 (2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2) ，(3,3) ，6 种状况， 只有 (2,1)，(2,2)222 1 这 2 个点在圆 x ＋ y ＝ 9 的内部，所求概率为6＝ 3.答案：1310．(2013 年高考重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．分析：甲、乙、丙三人随机地站成一排有 6 种方法：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，此中甲、乙相邻的有 4 种．故所求概率4 2 P＝ 6＝ 3.答案： 23三、解答题11．(2014 马鞍山市第一次教课质量检测)乳制品按行业质量标准分红五个等级，等级系数 x 分别为 1,2,3,4,5.现从该乳制品中随机抽取频次散布表以下：20 件，对其等级系数进行统计剖析，获得的x12345f a0.30.35b c(1)若抽取的20 件乳制品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件，求a， b， c 的值；(2)在 (1)的条件下，将等级系数为 4 的乳制品记为x1，x2，x3，等级系数为 5 的乳制品记为 y1， y2，现从这 5 件乳制品 x1， x2， x3， y1， y2中任取两件 (假定每件乳制品被抽取的可能性同样 )，写出全部可能的结果，并求出这两件乳制品的等级系数恰巧同样的概率．解： (1)由频次散布表得 a＋ 0.3＋ 0.35＋b＋ c＝ 1，即 a＋b＋ c＝ 0.35.由于所抽取的20 件乳制品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，3所以 b＝20＝ 0.15，又由于所抽取的20 件乳制品中，等级系数为 5 的恰有 2 件，2所以 c＝20＝ 0.1，于是 a＝ 0.35－0.15－ 0.1＝ 0.1，所以 a＝ 0.1， b＝ 0.15， c＝ 0.1.(2)从 5 件乳制品x1， x2， x3， y1， y2中任取两件，全部可能的结果为( x1，x2)， (x1， x3)，( x1， y1)， (x1， y2) ， (x2， x3)， (x2， y1) ，(x2， y2)， (x3， y1)， ( x3， y2)， (y1， y2)共 10 个．设事件 A 表示“从这 5 件乳制品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，等级系数恰巧同样” ，则 A 包括的事件为(x1， x2)， (x1， x3)， (x2， x3)，( y1，y2 )共 4 个，故所求的概率 P(A)＝ 4 ＝210 5.12．(2014 滨州一模 )甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A 、B 、C 、D 四所需要面试的院校， 这四所院校的面试安排在同一时间．所以甲、 乙都只好在这四所院校中选择一所做志愿，假定每位同学选择各个院校是等可能的，试求：(1)甲、乙选择同一所院校的概率；(2)院校 A 、 B 起码有一所被选择的概率．解： 由题意可得，甲、乙都只好在这四所院校中选择一个做志愿的全部可能结果为：(甲 A ，乙 A)，(甲 A ，乙 B)，(甲 A ，乙 C)，(甲 A ，乙 D)， (甲 B ，乙 A)，(甲 B ，乙 B)， ( 甲 B ，乙 C)， (甲 B ，乙 D)，(甲 C ，乙 A)，(甲 C ，乙 B)，(甲 C ，乙 C)，(甲 C ，乙 D )，(甲D ，乙 A)， (甲 D ，乙 B)，(甲 D ，乙 C)， (甲 D ，乙 D )，共 16 种．4 1(1)此中甲、乙选择同一所院校有4 种，所以甲、乙选择同一所院校的概率为16＝ 4.(2)院校 A 、B 起码有一所被选择的有12 种，所以院校 A 、 B 起码有一所被选择的概率123为 16 ＝ 4.。
智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练5.4数列求和(含答案详析)
第五篇 第 4 节一、选择题1． (2014 山东省泰安市高三期中)在等差数列 { a n } 中， a 9＝1＋ 6，则数列 { an } 的前 112a 12项和 S 11 等于 ()A ． 24B ．48C ． 66D ． 132分析： 法一设数列 { a n } 的公差为 d ，首项为 a 1，1则由题意得 a 1＋ 8d ＝ 2(a 1＋ 11d)＋ 6，整理得 a 1＋ 5d ＝ 12，即 a 6＝ 12，11 a 1＋ a 11所以 S 11＝ ＝11a 6＝132.应选 D.21a 6＋ a 121a 12＋6， 法二 由 a 9＝ a 12＋ 6 得＝ 22211 a 1＋ a 11所以 a 6＝ 12， S 11＝ 2＝ 11a 6＝ 132，应选 D.答案： D2． (2014 山东省实验中学第三次诊疗性测试 )在等差数列 { a n } 中， a 1＝－ 2013，其前 n 项和为 S n ，若S 12－ S 10＝ 2，则 S 2013 的值等于 ()1210A ．－ 2012B ．－ 2013C ． 2012D ． 2013分析： S 12＝12a 1＋ 12× 11 10× 92 d ， S 10＝10a 1＋ 2 d ，12× 1112 12a 1 ＋2d11 10 9所以S＝Sd ，1212 ＝ a 1＋d ，10＝ a 1＋22所以 S 12 － S 10 ＝ d ＝ 2，所以 S 2013＝ 2013a 1＋ 2013× 20122 d ＝ 2013(－ 2013 ＋2012) ＝－ 2013，12 10应选 B.答案： Bn － 1} 的前 n 项和为 ()3．数列 {1 ＋2A． 1＋ 2n B ．2＋ 2n C． n＋ 2n－ 1D． n＋ 2＋2n 分析：由题意得 a n＝ 1＋ 2n－1，1－ 2n所以 S n＝ n＋＝n＋ 2n－ 1，应选 C.1－ 2答案： C4． (2012 年高考福建卷 )数列 { a n} 的通项公式 a n＝ ncos nπ，其前 n 项和为 S n，则 S2012 2等于()A． 1006 B ．2012C． 503D． 0nπ分析：∵a n＝ ncos，2∴当n 为奇数时， a n＝ 0，n， n＝4m，当 n 为偶数时， a n＝此中 m∈N*，－ n，n＝ 4m－ 2，∴S2012＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋＋a2012＝a2＋ a4＋a6＋a8＋＋ a2012＝－ 2＋ 4－ 6＋8－ 10＋ 12－ 14＋＋ 2012＝(－ 2＋ 4)＋ (－ 6＋ 8)＋＋ (－2010＋ 2012)＝2×503＝ 1006.应选 A.答案： A5．(2014 辽宁省五校联考)已知幂函数f(x)＝ xα的图象过点 (4,2)，令 a n＝f(n＋ 1)＋f(n)，n∈N*，记数列1的前 n 项和为 S n，则 S n＝ 10 时， n 的值是 () a nA． 10 B ．120 C． 130D． 140分析：∵幂函数 f(x)＝ xα过点 (4,2)，α∴4 ＝2，11∴α＝2， f(x)＝ x2，∴a n ＝ f(n ＋ 1)＋ f(n)＝ n ＋ 1＋ n ，1 1∴ ＝ ＝ n ＋ 1－ n. a nn ＋ 1＋ n∴S n ＝ ( 2－ 1)＋ ( 3－ 2)＋＋ ( n ＋1－ n)＝ n ＋ 1－ 1.又 S n ＝ 10，∴ n ＋ 1－ 1＝ 10，∴n ＝120.应选 B.答案： B6． S n ＝1＋ 1＋ 3＋ ＋nn 等于 ()2 282A.2n － n － 1B ．2n ＋1－ n －22 n2 nC.2n － n ＋ 1 D ．2n ＋1－ n ＋22 n2 n分析： 法一由 S n ＝ 1 2 3 n2＋22 ＋ 23 ＋ ＋ 2n ，112n －1 n得 2S n ＝ 22＋23＋＋ 2n ＋ 2n ＋1，①－②得，1 1 1 1 1 nS n ＝ ＋ 2 2＋ 23＋ ＋ n － n 1 2 2 2 2 ＋11 n＝ 21－2 － n，12n ＋11－ 22n ＋1－ n － 2∴S n ＝2n.应选 B.1法二取 n ＝ 1， S 1＝ 2，代入各选项考证可知选 B.答案： B二、填空题①②7． (2014 北京市东城区联考)若数列 { a n } 知足 a 1 ＝ 1， a n ＋ 1 ＝ 2a n (n ∈ N *) ，则 a 3 ＝__________ ，前 5 项的和 S 5＝__________.分析： 由 a n ＋ 1＝ 2a n (n ∈N * )，得数列 { a n } 是首项为 1公比为 2 的等比数列，所以 a 3＝ a 1q 2＝ 22＝ 4， S 5＝ 1－ 25＝ 31.1－ 2 答案： 431n＋ 1的前 n 项和为 ________．8．数列 3， 9，25，65， ，n ·2n2 48 16 2n ·2n ＋ 11分析： 因为 a n ＝2n ＝ n ＋ 2n ，1 1 ＋ 3＋ 1 1∴S n ＝ 1＋ 1 ＋ 2＋ 23 ＋ ＋ n ＋ n222 21 1 1 1＝ (1＋ 2＋ 3＋ ＋ n) ＋ 2＋ 22＋23＋ ＋ 2n1 1－ 1＝ n ＋ 1 n 2 2n2 ＋ 11－ 2n n ＋ 1 1＝2－2n ＋ 1. 答案： n n ＋ 112－ n ＋ 129．(2014 温州高三质检 ) 若已知数列的前四项是11 、1 、 1，则数列前2、 22 21 ＋ 22 ＋ 4 3＋6 4 ＋ 8n 项和为 ________．111－ 1分析： 因为通项 a n ＝ n 2＋ 2n ＝2 n n ＋ 2 ，所以此数列的前n 项和111－ 11－11 － 11－ 1S n ＝ 2 1－3 ＋2 4 ＋3 5＋ ＋n － 1 n ＋1 ＋n n ＋ 211＋ 1 1 1＝2 2－n ＋ 1－n ＋ 2 ＝3－2n ＋ 3.n ＋ 24 2 n ＋ 1答案： 3－2n ＋ 342 n ＋ 1 n ＋ 210．已知数列 { a n} 的前 n 项和为 S n且 a n＝n·2n，则 S n＝ ________.分析： S n＝ a1＋ a2＋ a3＋＋a n，∴S n＝ 2＋2·22＋3·23＋＋ n·2n，①∴2S n＝23n n1②2＋2·2＋＋ (n－ 1) ·2＋ n·2＋，∴①－②得，－ S n＝ 2＋ 22＋ 23＋＋2n－n·2n＋12 1－ 2n＝－n·2n＋11－ 2＝2n＋1－n·2n＋1－2，n 1∴S n＝ (n－ 1) ·2 ＋＋ 2.n＋ 1答案： (n－ 1) ·2＋211． (2014 安庆模拟 )已知函数 f(x)＝2x＋3，数列 { a n} 知足 a1＝ 1，a n＋1＝ f1， n∈N* . 3x a n(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)令 T n＝ a1a2－ a2a3＋ a3a4－ a4a5＋－ a2n a2n＋1，求 T n的表达式．解： (1)因为 f(x)＝2x＋ 321 3x＝3＋x.1 2又 a n＋1＝ f a n＝3＋ a n，2即 { a n} 是以 1 为首项、以3为公差的等差数列，2 1所以 a n＝3n＋3.(2)T n＝ a1a2－ a2a3＋ a3a4－ a4a5＋－a2 n a2n＋1＝a2(a1－ a3)＋ a4(a3－a5)＋＋ a2n( a2n－1－ a2n＋1 )4＝－3(a2＋a4＋＋ a2n)42＝－9(2n ＋3n)．12． (2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)已知等差数列 { a n} 的前 n 项和 S n知足 S3＝0， S5＝－5.(1)求 { a n} 的通项公式；1(2)求数列a2 n－1a2n＋1的前n项和．解： (1)设数列 { a n} 的公差为d，3a1＋3d＝ 0，由已知可得5a1＋10d＝－ 5.解得 a1＝ 1， d＝－ 1.故 { a n} 的通项公式为a n＝2－ n.11(2)由 (1)知＝a2n－1a2n＋13－ 2n1－ 2n11－1＝2 2n－3 2n－ 1，进而数列1的前 n 项和为a2 n－1a2n＋11111111n －＋－＋＋－＝.2 － 11132n－3 2n－11－ 2n。
人教A版高三数学文科一轮复习滚动检测试卷(二)含答案
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．滚动检测二第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(·浏阳联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |1≤x <2}2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (43)＋f (－43)的值为( ) A.12 B ．－12C ．－1D ．1 3．(·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则－2≤a ≤1是f (x )在R 上单调递增的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(·山东枣庄八中阶段检测)若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，则所有实数根的和可能是( )A ．－2，－4，－6B ．－4，－5，－6C ．－3，－4，－5D ．－4，－6，－85．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )6．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫π3与f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定7．(·渭南质检一)已知函数f (x )满足f (－x )＝f (x )和f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x ，则关于x 的方程f (x )＝(13)x 在x ∈[0,4]上解的个数是( ) A ．5B ．4C ．3D ．28．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<010．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (1)＝2，则f (2 017)等于( ) A ．－1B ．2C ．－2 D.312．(·济源模拟)函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1 (x ∈R )是单函数．给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中正确结论的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________．14．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间(－1,0)，(2，＋∞)上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是________．15．(·江西省五校协作体高三期中)下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x ； ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中正确命题的序号是________．16．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)． ①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ；③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·黄冈中学月考)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，且f (0)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>6x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(12分)定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在(0,1]上的解析式；(2)求f (x )在(0,1]上的最大值．19.(12分)(·哈尔滨三中第一次测试)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意正数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )－12，当x >1时，f (x )>12，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0. (1)求f (2)的值；(2)解关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋3)>2.20．(12分)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )，前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额s (t )的最大值和最小值．21.(12分)(·广东阳东一中模拟)已知函数f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |是奇函数，且图象在点(e ，f (e))处的切线斜率为3(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．22．(12分)(·沈阳质检)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)令h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，存在a ∈[1，e]，使h (x )>m －f (a )成立，求实数m 的取值范围．答案解析1．D 2.D 3.B4．D [若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，先讨论根的个数，可能为2个，3个，4个．易求所有实数根的和可能为－4，－6，－8.故选D.]5．C [∵当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，∴设x ≤0，得－x ≥0，f (－x )＝ln(－x ＋1)，又∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即当x ≤0时，f (x )＝ln(－x ＋1)．当x ≥0时，原函数由对数函数y ＝ln x 图象左移一个单位而得，当x ≥0时函数为增函数，函数图象是上凸的，故选C.]6．C [依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12. ∴f (x )＝cos x ＋x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＋π3＝12＋π3， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－π3－π3＝12－π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π3.]7．A [因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数；因为f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝2.作出f (x )在[0,4]上的图象如图所示，再作出g (x )＝(13)x 的图象，可知f (x )和g (x )在[0,4]上有5个交点，即方程f (x )＝(13)x 在[0,4]上解的个数为5，故选A.]8．D [f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，故k ≥1x在(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1， 故k 的取值范围是[1，＋∞)．]9．D [函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.]10．C [不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3.当x ＝0时，0≥－3恒成立，故实数a 的取值范围是R .当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3， f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4>0，故函数f (x )单调递增，则f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立， 记f (x )＝x 2－4x －3x 3， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍去)，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，故f (x )min ＝f (－1)＝－2，则a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．]11．B [∵f (x )＝－f (x ＋32)， ∴f (x ＋3)＝f [(x ＋32)＋32]＝－f (x ＋32)＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数，则f (2 017)＝f (672×3＋1)＝f (1)＝2.]12．A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同．依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确．]13．①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．①③④解析 根据已知条件可知f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③成立；利用复合函数的性质可知命题④成立；命题②，单调性不符合复合函数的性质，因此错误；命题⑤，函数有最小值，因此错误，故填写①③④.15．①②④解析 ①∃x ∈(0，＋∞)，(12)x >(13)x 是真命题，如x ＝2，14>19成立； ②∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x 是真命题，如x ＝12， log 212＝－1，log 312>log 313＝－1， 即∃x ∈(0，＋∞)，log 2x <log 3x ；③∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x 是假命题， 如x ＝12，log 1212＝1>(12)12； ④∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x 是真命题，因为∀x ∈(0，13)，(12)13<(12)x <1，log 13x >1. 16．①②③解析 ①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数． 17．解 (1)由f (0)＝3，得c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.又f (x ＋1)－f (x )＝4x ＋1，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4x ＋1， 即2ax ＋a ＋b ＝4x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴f (x )＝2x 2－x ＋3.(2)f (x )>6x ＋m 等价于2x 2－x ＋3>6x ＋m ，即2x 2－7x ＋3>m 在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝2x 2－7x ＋3，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝g (1)＝－2，∴m <－2.18．解 (1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x ， 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]．(2)因为f (x )＝a ·2x －4x ，x ∈(0,1]，令t ＝2x ，t ∈(1,2]，所以g (t )＝at －t 2＝－(t －a 2)2＋a 24， 当a 2≤1，即a ≤2时，g (t )<g (1)＝a －1，此时f (x )无最大值；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24； 当a 2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上所述，当a ≤2时，f (x )无最大值，当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24， 当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.19．解 (1)f (1)＝f (1)＋f (1)－12，解得f (1)＝12. f ⎝⎛⎭⎫2×12＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12－12，解得f (2)＝1. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－12.因为x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>12，f (x 2)－f (x 1)>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为f (4)＝f (2)＋f (2)－12＝32， 所以f (x )＋f (x ＋3)＝f (x 2＋3x )＋12>2， 即f (x 2＋3x )>32＝f (4)． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋3>0，x 2＋3x >4，解得x ∈(1，＋∞)．20．解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22) ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003， 所以768＝s (40)≤s (t )≤s (12)＝112×223＋12＝2 5003. 当41≤t ≤100，t ∈N 时，s (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52) ＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝s (100)≤s (t )≤s (41)＝1 4912. 所以s (t )的最大值为2 5003，最小值为8. 21．解 (1)由f (x )＝ax ＋x ln|x ＋b |＝x (a ＋ln|x ＋b |)是奇函数，则y ＝a ＋ln|x ＋b |为偶函数，∴b ＝0.又x >0时，f (x )＝ax ＋x ln x ，∴f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，∵f ′(e)＝3，∴a ＝1.(2)当x >1时，令g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln x x －1， ∴g ′(x )＝x －2－ln x (x －1)2，令h (x )＝x －2－ln x ， ∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0， ∴y ＝h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴h (1)＝－1<0，h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0，∴存在x 0∈(3,4)，使得h (x 0)＝0，则x ∈(1，x 0)，h (x )<0，g ′(x )<0，y ＝g (x )为减函数．x ∈(x 0，＋∞)，h (x )>0，g ′(x )>0，y ＝g (x )为增函数．∴g (x )min ＝g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1＝x 0. ∴k <x 0，又x 0∈(3,4)，k ∈Z ，∴k max ＝3.22．解 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，定义域为(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间． 所以g (x )最小值＝g (1)＝1.综上，g (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，最小值为1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x .设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝0，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(2)知h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，∴h (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1上的最小值为h (1)＝0，又对任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1，使h (x )>m －f (a )成立，则m －f (a )<h (x )最小值＝h (1)＝0，即m <f (a )． 又存在a ∈[1，e]，使m <f (a )成立， 又f (x )＝ln x 是增函数， 所以m <f (a )最大值＝f (e)＝1. 所以m <1.。
2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.1 函数及其表示 Word版含答案.docx
§2.1函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编 2．[P24T1(4)]函数f (x )＝4－xx －1的定义域是________． 答案 (－∞，1)∪(1,4]3．[P25B 组T1]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4， 即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4， 即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.5．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝________.答案 12解析 因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12. 6．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域 典例 (1)函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为( ) A ．(2，＋∞) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，2x －x 2>0， 解得1<x <2. ∴函数f (x )＝3xx －1＋ln(2x －x 2)的定义域为(1,2)． (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017] B ．[－1,1)∪(1,2 017] C ．[0,2 018] D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为 [0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________． 答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1. 所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎭⎫0，34 C.⎣⎡⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎭⎫0，34 (2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 (1)D (2)－92解析 (1)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4m ×3＜0，得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4， 综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式1．若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中， 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))等于( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 答案 －34解析 当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ， 解得a ＝－34，符合题意．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________________．答案 {x |－4≤x ≤2}解析 当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x ＞0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0＜x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t <1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )>0， ∴g (t )<g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解． 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1可知， 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x -＞2x ＞2＞1； 当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1； 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．2．(2018·郑州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞)．3．(2016·全国Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x 答案 D解析 函数y ＝10lg x 的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y ＝1x，故选D.4．(2017·湖南衡阳八中一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( ) A ．－2 B ．－3 C ．9 D ．－9 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋t )，x <0，3(t －1)x ，x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫12＝6，则f (f (－2))的值为( ) A ．27 B ．243 C.127 D.1243答案 B解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫12＝3×12(1)t －＝6，∴t ＝5， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋5)，x <0，3×4x，x ≥0，∴f (－2)＝log 2[(－2)2＋5]＝log 29>0， f (f (－2))＝f (log 29)＝3×2log 94＝3×2log 922＝3×22log 92＝3×81＝243.故选B.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．10．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝()f x 的定义域是__________．解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是____________． 答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1， ∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．12．(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2， 又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.。
2025年高考数学一轮复习课时作业-函数的概念及其表示【含解析】
1.(5 分)(多选题)下列所给图象可以是函数图象的是( )
【解析】选 CD.A 选项中图象关于 x 轴对称,x>0 时,每一个 x 对应 2 个 y,B 选项中 图象中 x0 对应 2 个 y,所以 A,B 均不是函数图象;C,D 选项符合题意. 2.(5 分)下列函数 f(x),g(x)表示同一个函数的是( ) A.f(x)=3x,g(x)=log3x B.f(x)=|x|,g(x)= 2
C.g(2x)=2f(x)g(x)
D.f(2x)=2f(x)g(x)
13.(5 分)(2023·绍兴模拟)设函数 f(x)=
(
1 3
)
-8,
≤ 0,则 f(f(1))=
lg , > 0,
则实数 a 的取值范围是
.
,若 f(a)>1,
14.(10 分)高斯是德国著名的数学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的
C.[0,+∞)
D.[0,1)∪(1,+∞)
【解析】选 B.由题意得
> -1
≠0, 0, 解 得
x>0
且
x≠1,所以函数的定义域为(0,1)∪
(1,+∞).
【加练备选】
函数 y=log2(2x-4)+ 1-3的定义域是(
)
A.(2,3) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)
mx2-x+1=0 在(1,+∞)上有两个不等的实数根.
= 1-4
(1) =
设 g(x)=mx2-x+1,则
1 2
> 1,
> 0,
> 0, > 0,
2021新高考数学新课程一轮复习：第二章 第1讲 函数及其表示含解析
第1讲 函数及其表示组 基础关1．下列各组函数中不表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg |x | B ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x 2－4，g (x )＝x ＋2·x －2D ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1答案 C解析 A 中，g (x )＝2lg |x |＝lg x 2，则f (x )与g (x )是同一函数；B 中，g (x )＝3x 3＝x ，则f (x )与g (x )是同一函数；C 中，函数f (x )＝x 2－4的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g (x )＝x ＋2·x －2的定义域为[2，＋∞)，则f (x )与g (x )不是同一函数；D 中，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1，则f (x )与g (x )是同一函数．故选C.2．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1答案 B解析 当x ≠0，且x ≠1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ＝11x －1，所以f (x )＝1x －1.3．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．{x |x ∈R }B ．{x |x ＞0}C ．{x |0＜x ＜5} D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪52＜x ＜5 答案 D解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，10－2x ＞0，2x ＞10－2x ，即52＜x ＜5.4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]等于( )A ．－1 B.14 C.12 D.32 答案 C解析 由已知得，f (－2)＝2－2＝14，f [f (－2)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14 答案 A解析 当a ≤1时，不符合题意，所以a >1，即－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.6．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 ∵A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，①中f (x )＝x ，若x ∈A ，则x ＝n 2，n ∈N ，则f (x )＝n 2，n ∈N ，满足A 中任何一个元素，在A 中都有唯一的元素与之对应，故正确；②中f (x )＝x 2，若x ∈A ，则x ＝n 2，n ∈N ，则f (x )＝(n 2)2，n 2∈N ，满足A 中任何一个元素，在A 中都有唯一的元素与之对应，故正确；③中f (x )＝x 3，若x ∈A ，则x ＝n 2，n ∈N ，则f (x )＝(n 3)2，n 3∈N ，满足A 中任何一个元素，在A 中都有唯一的元素与之对应，故正确；④中f (x )＝x 4，若x ∈A ，则x ＝n 2，n ∈N ，则f (x )＝(n 4)2，n 4∈N ，满足A 中任何一个元素，在A 中都有唯一的元素与之对应，故正确；⑤中f (x )＝x 2＋1，若x ＝1，则f (x )＝2A ，不满足A 中任何一个元素，在A 中都有唯一的元素与之对应，故错误；故能够表示函数f ：A →A 的个数是4.7．(2020·马鞍山质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( )A ．44B ．45C ．1009D ．2018 答案 A解析 因为442＝1936,452＝2025，所以44＜2020＜45，所以1，2，3，…，2020中有44个有理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝44. 8．若函数f (x )＝x －2a ＋ln (b －x )的定义域为[2,4)，则a ＋b ＝________. 答案 5解析 要使函数有意义，则⎩⎨⎧ x －2a ≥0，b －x ＞0，解不等式组得⎩⎨⎧x ≥2a ，x ＜b .∵函数f (x )＝x －2a ＋ln (b －x )的定义域为[2,4)，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4，∴a ＋b ＝1＋4＝5.9．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2解析 由题意，得当－1≤x ＜0时，直线的斜率为1，方程为y ＝x ＋1；当0≤x ≤2时，直线的斜率为－12，方程为y ＝－12x .所以函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．答案 [－4,2]解析 解法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1.解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故x 的取值范围为[－4,2]． 解法二：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0与y ＝－1的图象．如图所示，其交点分别为(－4，－1)，(2，－1)． 由图象知满足f (x )≥－1的x 的取值范围是[－4,2]．组 能力关1．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是( )A ．y ＝x －1x B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝ln 1－x1＋xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于B ，f (x )＝x＋1x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于C ，f (x )＝ln 1－x 1＋x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．故选AD.2．(2020·惠州调研)若函数y ＝f (2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案 [22，16]解析 由已知得，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，2x ∈[2，4]，函数y ＝f (x )的定义域为[2，4]．由2≤log 2x ≤4，得22≤x ≤16，所以y ＝f (log 2x )的定义域为[22，16]．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________．答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22解析 当x ≤0时，f (x )＝2x ＝12，则x ＝－1. 当x >0时，f (x )＝|log 2x |＝12. 当0<x <1时，－log 2x ＝12，x ＝22. 当x ＝1时，显然不符合题意． 当x >1时，log 2x ＝12，x ＝ 2.所以使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－1，2x ＋2，－1＜x ＜1，1x －1，x ≥1，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1解析 解法一：(数形结合)画出f (x )的图象，如图所示，作出直线y ＝1，由图可见，符合f (a )＞1的a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.解法二：(分类讨论)①当a ≤－1时，由(a ＋1)2>1，得a ＋1>1或a ＋1<－1，得a >0或a <－2，又a ≤－1，∴a <－2；②当－1<a <1时，由2a ＋2>1，得a ＞－12， 又－1<a <1，∴－12<a <1；③当a ≥1时，由1a －1>1，得0<a <12， 又a ≥1，∴此时a 不存在．综上可知，a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案 154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33， 即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)． 又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝127×(3－1)log 32＝127×3－log 32＝127×3log 3 12＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－1,1]上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18. (2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2； 因为∀x ∈R ，都有f (x )＝－2f (x ＋1)， 所以当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)， f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2； 所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0).。
2020-2021学年人教版 高三数学复习《2.1 函数及其表示》练习及解析答案
第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示一、基础知识考点一 函数的定义域 [典例] (1)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1 [题组训练] 1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．考点二 求函数的解析式 [典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )．[题组训练] 1.已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________. 2.已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________. 3.已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 考点三 分段函数 考法(一) 求函数值[典例] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) [题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞) C ．[0,2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74 C.43 D ．－43 4．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或36．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0) 7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2 D ．f (x )＝－2x8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①9．函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 10．若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示(答案)一、基础知识1．函数与映射的概念 2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略 (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交． 考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1) (2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝⎛⎭⎫12，1 [解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1. 所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B[解题技法] 1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2] 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2018，且x ≠1. 因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}．答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1} 考点二 求函数的解析式 [典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )；(2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )．[解] (1)法一：待定系数法 因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法二：换元法 令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12， 所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．法三：配凑法 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法 由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ①得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x 3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法 先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法 对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法 由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法 已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝_________. 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， 得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)． 答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．答案：lg 2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数 考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( ) A ．－2 B ．2 C ．3 D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，② 联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.[答案] B [解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D.[答案] D [解题技法] 已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法 (1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0. ②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1.综上可得－3<a <1.答案：(－3,1) [课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞) C ．[0,2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74 C.43 D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516. 6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0) 解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2 D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是____．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]．答：[－4,2]。
高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课时作业 理(含解
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.1 函数及其表示课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x解析：函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠kπ，k ∈Z ，故A不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．答案：D2．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1. 答案：B3．已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4 D ．±2或4 解析：(1)当x ∈[－1,2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4.综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案：C5．(2013·山东泰安高三第二次模拟)函数y ＝x 22－x＋lg(2x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 解析：由解析式知⎩⎪⎨⎪⎧2－x >02x ＋1>0解得－12<x <2，选B.答案：B6．(2013·山东潍坊市高考模拟)某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：由题意可得余数从7开始就应增加一名代表名额，故选B. 答案：B 二、填空题7．(2013·湛江市普通高考测试题(二))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 3x ，x >0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝2－1＝12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12. 答案：128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f []f1>3a 2，则a的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3, f []f 1＝f (3)＝32＋6a ，若f []f1>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于________．解析：由已知可得M ＝N ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0，所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根， 故a ＋b ＝4. 答案：4 三、解答题 10．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有惟一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba， 又因方程有惟一解，故1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－1，x <0，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3，x <0.∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12，x ≥12，－1，x <12.12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元． [热点预测]13．(1)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有① (2)(2013·安阳模拟)函数y ＝x ＋1＋x －1lg2－x的定义域是________．解析：(1)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1x－x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )不满足．③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＝－f (x )满足．故选B.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1所以定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}．答案：(1)B (2){x |－1≤x <1或1<x <2}。
2021年高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版
2021年高考数学大一轮总复习 2.1 函数及其表示高效作业 理 新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：当－sin x ＝0时，sin x ＝0，x 可取0，π，2π；当－sin x ＝12时，sin x ＝－12，x可取7π6、11π6，故集合A 中的元素最多有5个，故选B.答案：B3．(xx·邯郸模拟)函数f (x )对于任意实数x 满足f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))等于( )A ．2B ．5C ．－5D ．－15解析：f (5)＝1f 3＝f (1)＝－5，f (－5)＝1f －3＝f (－1)＝1f 1＝－15.答案：D4．定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a ＜b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x＋1)的大致图象是( )解析：f (x )＝2x⊗(3－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x x ＜1，2xx ≥1，作出f (x )的图象，再将其向左平移一个单位即为f (x ＋1)的图象，应选B.答案：B5．(xx·山东聊城期末质检)具有性质：f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：①f (1x )＝1x－x ＝－f (x )满足．②f (1x )＝1x＋x ＝f (x )不满足．③0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f (1x)＝0＝－f (x )，x ＞1时，f (1x )＝1x＝－f (x )满足．故选B.答案：B6．(xx·福建)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}C ．A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析：对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1x ＋1，－1＜x ≤0x 2＋1，0＜x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}是“保序同构”，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan(πx －π2)(0＜x ＜1)，所以A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝R 是“保序同构”，应排除C ，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．有以下判断： (1)f (x )＝|x |x与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0表示同一函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数． (4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f (f (12))＝0.其中正确判断的序号是________． 解析：对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数，对于(4)，由于f (12)＝|12－1|－|12|＝0，∴f (f (12))＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)，(3)． 答案：(2)(3)8．(xx·乌鲁木齐一中月考)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b 为整数)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，得0≤|x |≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．答案：59．(xx·焦作质检)若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个．当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}； 当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}；当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}． 所以同族函数共有9个． 答案：910．(xx·沈阳二模)定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b2，其中a ，b ∈R ，则函数f (x )＝2⊕xx ⊗2－2的解析式为________．解析：由2⊕x ＝4－x 2，x ⊗2＝x －22＝|x －2|.所以f (x )＝4－x2|x －2|－2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，|x －2|≠2，解得－2≤x ＜0或0＜x ≤2，由此可得x －2≤0，则f (x )＝4－x2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．答案：f (x )＝4－x2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．解：设y 表示本季度应缴纳的水费(元)， 当0＜x ≤5时，y ＝1.3x .当5＜x ≤6时，应将x 分成两部分：5与(x －5)分别计算，第一部分为基本消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成，即1．3×(x －5)＋1.3(x －5)×200%＝3.9x －19.5，此时y ＝1.3×5＋3.9x －19.5＝3.9x －13.当6＜x ≤7时，同理y ＝6.5x －28.6. 综上可知：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.3x ， 0＜x ≤5，3.9x －13， 5＜x ≤6，6.5x －28.6， 6＜x ≤7.12．(xx·北京海淀期末)已知函数y ＝1＋2x＋a ·4x的定义域为(－∞，1]，求实数a 的取值范围．解：依题意，1＋2x＋a ·4x≥0的解集恰为(－∞，1]． 即[(12)x ]2＋(12)x＋a ≥0的解集是(－∞，1]．由于(12)x ≤－1－1－4a 2(不合题意，舍去)，或(12)x ≥－1＋1－4a 2，∴x ≤log 12－1＋1－4a2，因此有log 12－1＋1－4a 2＝1，解得a ＝－34.即实数a 的取值范围是a ＝－34.13．(xx·江西五校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．解：①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a ＞0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝(－∞，－b a]∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a ＞0不符合条件；③若a ＜0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝[0，－b a]，由于此时f (x )max ＝f (－b 2a )＝b 2－a ，故f (x )的值域为[0，b 2－a]， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a ＜0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述：a 的值为0或－4.n vM23081 5A29 娩36391 8E27 踧JE28439 6F17 漗27461 6B45 歅38262 9576 镶37815 93B7 鎷V39432 9A08 騈A。
2022高考数学文人教A版一轮复习学案：2.1 函数及其表示 【含解析】
第二章 函数2.1 函数及其表示 必备知识预案自诊知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量, 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值, 叫做函数的值域,显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素: 、 和 .(3)相等函数:如果两个函数的 相同,并且 完全一致,那么我们就称这两个函数相等.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有 、 和 . 4.分段函数 (1)定义:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.(2)分段函数的相关结论①分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A ,B 为非空数集的映射就是函数;(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数是其定义域到值域的映射.( ) (2)函数y=f (x )的图象与直线x=1有两个交点.( ) (3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.( ) (4)对于函数f :A →B ,其值域是集合B. ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )2.(2020北京,11)函数f (x )=1x+1+ln x 的定义域是 . 3.已知f ,g 都是从A 到A 的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:则f (g (3))等于( )A.1B.2C.3D.不存在4.(2020辽宁大连模拟,文2)设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f 1f (2)的值为( )A.1516B.-2716C.89D.185.如图表示的是从集合A 到集合B 的对应,其中 是映射, 是函数.关键能力学案突破考点函数及其有关的概念【例1】以下给出的同组函数中,表示相等函数的有.(只填序号)①f1(x)=xx,f2(x)=1;②f1(x)={1,x≤1,2,1<x<2,3,x≥2,f2(x):③f1(x)=2x,f2(x):如图所示.?解题心得两个函数是否相等,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,它们才相等.另外,函数的自变量习惯上用x表示,但也可以用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均为相等函数.对点训练1(1)下列四个图象中,是函数图象的是()A.①B.①③④C.①②③D.③④(2)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=()A.3B.0C.1D.2考点求函数的定义域、值域【例2】(1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=log2(1-x)+√x+1的定义域为()A.(-∞,1)B.[-1,1)C.(-1,1]D.[-1,+∞)(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x,如何求函数的定义域?解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.对点训练2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函数f(x)=√25-4x2+ln(e x-1)的定义域为.(2)若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域为()A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,8](3)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2]考点求函数的解析式【例3】(1)已知f(2x+1)=lg x,求f(x).(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.(3)已知f(x)+2f(1x)=x(x≠0),求f(x).f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.?解题心得函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)方程法:已知关于f (x )与f (1x )或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f (x ).提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.对点训练3(1)函数f (1x )=11+x ,则函数f (x )的解析式是( ) A.xx+1 B.1+x C.1x+1D.x(2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x+1)-2f (x-1)=2x+17,则f (x )= . (3)已知f (x )满足2f (x )+f (1x )=3x ,则f (x )= .(4)已知函数的定义域为R ,且f (x )+2f (-x )=x 2-x ,则f (x )= .考点分段函数 (多考向探究)考向1 分段函数求值【例4】(2020广东汕头一模,文13)已知函数f (x )={√2-x ,x ≤1,2-x ,x >1,则f [f (-2)]= .?2 已知分段函数的等式求参数的值【例5】已知函数f (x )={e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,若f (a )=1,则a 的值是( )A.1B.2 2 D.1或2?3 已知函数不等式求自变量的范围【例6】(2020安徽合肥二模,文9)已知函数f (x )={log 2x ,x >1,x 2-1,x ≤1,则f (x )<f (x+1)的解集为( )A.(-1,+∞)B.(-1,1)C.-12,+∞D.-12,1?解题心得分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.对点训练4(1)(2020湖南郴州二模,文14)函数f (x )={1+log 3(3-x ),x <0,3x ,x ≥0,则f (-6)+f (log 37)= .(2)(2020山东青岛二模,4)已知函数f (x )={sinx ,x ≤0,log 2(a +x ),x >0,且f f -7π6=1,则a=( )A.32B.2C.3D.ln 2(3)设函数f (x )={x +1, x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f x-12>1的x 的取值范围是 .考点函数在实际生活中的应用【例7】某地区上年度电价为0.80元/kW·h,年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间,而用户期望电价为0.40元/kW·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.30元/kW·h .(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式;(2)设k=0.2a ,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W=f (t ),用-f (b )-f (a )b -a 的大小评价在[a ,b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应关系决定了函数的值域,同时,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.因此要树立函数定义域优先的意识.2.求函数y=f(x)定义域的方法:函数给出的方确定定义域的方法式列表法表中实数x的集合图象法图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题有实际意义且使相应解析式有意义的x的集合抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.类型一已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域其解法是:若f(x)的定义域为[a,b],则在f[g(x)]中,令a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域.【例1】已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求f(3x-5)的定义域.【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1≤u≤5,即-1≤3x-5≤5,求x的取值范围.f(x)的定义域为[-1,5],∴-1≤3x-5≤5,∴4≤x ≤10,故函数f (3x-5)的定义域为43,103.类型二 已知f [g (x )]的定义域,求f (x )的定义域其解法是:若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ,则由m ≤x ≤n 确定的g (x )的范围即为f (x )的定义域.【例2】已知函数f (x 2-2x+2)的定义域为[0,3],求函数f (x )的定义域. 【解题指导】令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),由于f (u )与f (x )是同一函数,因此u 的取值范围即为f (x )的定义域.0≤x ≤3,得1≤x 2-2x+2≤5.令u=x 2-2x+2,则f (x 2-2x+2)=f (u ),1≤u ≤5. 故f (x )的定义域为[1,5].类型三 已知f [g (x )]的定义域,求f [h (x )]的定义域其解法是:先由f [g (x )]的定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求f [h (x )]的定义域. 【例3】函数y=f (x+1)的定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是( ) A.0,52B.[-1,4]C.[-5,5] 答案A解析因为f (x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x ≤3,所以-1≤x+1≤4,则f (x )的定义域是[-1,4].由-1≤2x-1≤4,得0≤x ≤52,所以f (2x-1)的定义域是0,52.故选A .类型四 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数四则运算得到的函数的定义域,其解法是:先求出各个函数的定义域,然后再求交集.【例4】若函数f (x )的定义域是[-3,5],求φ(x )=f (-x )+f (2x+5)的定义域.f (x )的定义域为[-3,5],则φ(x )必有{-3≤-x ≤5,-3≤2x +5≤5,解得-4≤x ≤0.所以函数φ(x )的定义域为[-4,0].第二章 函数2.1 函数及其表示必备知识·预案自诊知识梳理1.非空数集 任意 唯一确定 非空集合 任意一个 唯一确定2.(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 (3)定义域 对应关系3.解析法 图象法 列表法考点自诊1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(0,+∞) 由题意得{x >0,x +1≠0,则x>0,故答案为(0,+∞).3.C 由题中表格知g (3)=1,故f (g (3))=f (1)=3.4.A 因为当x>1时,f (x )=x 2+x-2,所以f (2)=4,1f (2)=14.又当x ≤1时,f (x )=1-x 2,所以f1f (2)=f14=1-142=1516,故选A .5.①②④ ①② 函数与映射都要求对于集合A 中的任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应,所以③不是映射也不是函数;①②④表示的对应是映射;①②是函数,由于④中集合A ,B 不是数集,所以不是函数.关键能力·学案突破例1②③ ①不是相等函数.f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0},f 2(x )的定义域为R .②是相等函数.x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同. ③是相等函数.理由同②.对点训练1(1)B (2)A (1)①③④图象中的每一个x 的值对应唯一的y 值,因此都是函数图象;②,当x>0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象.故选B .(2)由题中函数f (x )的图象可得,f (1)=2,f (3)=1,故f (1)+f (3)=3,故选A .例2(1)B (2)D (1)要使函数有意义,则x 满足{1-x >0,x +1≥0,解得-1≤x<1,即函数f (x )=log 2(1-x )+√x +1的定义域为[-1,1),故选B .(2)y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞).y=x 的定义域和值域均为R ;y=lg x 的定义域为(0,+∞),值域为R ;y=2x 的定义域为R ,值域为(0,+∞);y=√x 的定义域与值域均为(0,+∞).故选D .对点训练2(1)0,52 (2)A (3)C(1)要使函数f (x )=√25-4x 2+ln(e x-1)有意义,则x 满足{25-4x 2≥0,e x -1>0,解得{-52≤x ≤52,x >0,所以0<x ≤52,所以f (x )的定义域为0,52.(2)函数y=f (x+1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y=f (3x+2)的值域为[-1,1].故选A .(3)因为f (x 2+1)的定义域为[-1,1],则-1≤x ≤1,故0≤x 2≤1,所以1≤x 2+1≤2.因为f (x 2+1)与f (lg x )的外函数是同一个对应关系,所以1≤lg x ≤2,即10≤x ≤100,所以函数f (lg x )的定义域为[10,100].例3解(1)令2x +1=t.∵x>0,∴t>1,且x=2t -1.∴f (t )=lg 2t -1.故f (x )=lg 2x -1(x>1).(2)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),由f (0)=0,知c=0,则f (x )=ax 2+bx , 又由f (x+1)=f (x )+x+1,得a (x+1)2+b (x+1)=ax 2+bx+x+1,即ax 2+(2a+b )x+a+b=ax 2+(b+1)x+1,所以{2a +b =b +1,a +b =1,解得a=b=12.所以f (x )=12x 2+12x ,x ∈R . (3)∵f (x )+2f (1x )=x , ∴f (1)+2f (x )=1. 解方程组{f (x )+2f (1x )=x ,f (1x )+2f (x )=1x,得f (x )=23x −x3(x ≠0). (4)由f (-x )+2f (x )=2x ,①得f (x )+2f (-x )=2-x , ②①×2-②,得3f (x )=2x+1-2-x , 即f (x )=2x+1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x+1-2-x3,x ∈R . 对点训练3(1)A (2)2x+7 (3)2x-1(x ≠0) (4)1x 2+x (1)令t=1,t ≠0,t ≠-1.则有x=1,所以f (t )=11+1t=tt+1,t ≠0,t ≠-1,所以f (x )=xx+1,x ≠0,x ≠-1,故选A .(2)设f (x )=ax+b (a ≠0),则3f (x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b ,即ax+5a+b=2x+17不论x 为何值都成立,则有{a =2,b +5a =17,解得{a =2,b =7.故f (x )=2x+7.(3)∵2f (x )+f (1x )=3x ,① 把①中的x 换成1x ,得2f (1x )+f (x )=3x .② ①×2-②,得3f (x )=6x-3x ,∴f (x )=2x-1x (x ≠0).(4)由f (x )+2f (-x )=x 2-x ,① 得f (-x )+2f (x )=x 2+x ,②①-2×②,得f (x )=13x 2+x.例414 已知f (x )={√2-x ,x ≤1,2-x ,x >1, 则f [f (-2)]=f (2)=2-2=14.例5D 当e x-1=1时,x=1<2符合题意.当log 3(x 2-1)=1时,x 2-1=3,解得x=2(负根舍去),故a 的值为1或2.故选D .例6C 当x ≤0时,x+1≤1,则不等式f (x )<f (x+1),即x 2-1<(x+1)2-1,求得-12<x ≤0.当0<x ≤1时,x+1>1,则不等式f (x )<f (x+1),此时f (x )=x 2-1<0<f (x+1)=log 2(x+1),则0<x ≤1成立.当x>1时,不等式f (x )<f (x+1),即log 2x<log 2(x+1),求得x>1.综上可得,不等式的解集为-12,+∞,故选C . 对点训练4(1)10 (2)A (3)-14,+∞ (1)由题意,得f (-6)+f (log 37)=1+log 39+3log 37=1+2+7=10.故答案为10.(2)因为f -7π6=sin -7π6=-sin π+π6=sin π6=12,所以f f -7π6=f 12=log 2a+12=1, 所以a+12=2,a=32.(3)由题意得当x>12时,2x +2x -12>1恒成立,即x>12;当0<x ≤12时,2x +x-12+1>1恒成立,即0<x ≤12;当x ≤0时,x+1+x-12+1>1,解得x>-14,即-14<x ≤0.综上,x 的取值范围是-14,+∞.例7解(1)依题意,当实际电价为x元/kW·h时,用电量将增加至k+a kW·h,故电力部门x-0.4的收益为y=k+a(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).x-0.4(2)易知,上年度的收益为[(0.8-0.3)a]元,依题意,0.2a+a(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),x-0.4且0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.所以,当电价最低定为0.60元/kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜对点训练5①②③-f(b)-f(a)b-a率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,故①正确;在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,故④错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,故③正确.。
高考数学一轮强化训练 2.1函数及其表示 文 新人教A版
高考数学一轮强化训练 2.1函数及其表示 文 新人教A 版第一节 函数及其表示强化训练1.已知f :x →-sin x 是集合([02A A ⊆,π])到集合B={102,}的一个映射,则集合A 中的元素个数最多有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 答案:B解析:∵[02A ⊆,π],由-sin x =0得x =0,π,2π;由-sin 12x =,得71166x ππ=,,∴A 中最多有5个元素.2.函数y =f (x )的图象如图所示.观察图象可知函数y =f (x )的定义域、值域分别是( )A.[50][26)[0-,⋃,,,5]B.[-5,6)[0),,+∞C.[50][26)[0)-,⋃,,,+∞D.[5)[25]-,+∞,, 答案:C解析:由题中图象可以看出,应选C.3.设f (x ),g (x ),h (x )是R 上的任意实值函数,如下定义两个函数(f g )(x )和()()f g x ⋅:对任意x ∈R ,(f g )(x )=f (g (x ));()()()f g x f x ⋅=g (x ).则下列等式恒成立的是( ) A.((f ))()(()g h x f h ⋅=⋅())()g h x ⋅ B.(()f g ⋅h )(x )=((f )(h g ⋅h ))(x ) C.((f g ) h )(x )=((f h )(g h ))(x ) D.(())()(()())()f g h x f h g h x ⋅⋅=⋅⋅⋅答案:B4.二次函数2(y ax bx c x =++∈R )的部分对应值如下表:则不等式20ax bx c ++<的解集是 . 答案:(-2,3)解析:由表中的二次函数对应值可得,二次方程2ax +bx +c =0的两根为-2和3,又根据f (0)<f (-2)且f (0)<f (3)可知a >0,所以不等式20ax bx c ++<的解集是(-2,3). 5.已知1)f x x x =+,则f (x )= .答案:2()1(1)f x x x =-≥ 解析:令1u x =+,则11x u u =-,≥.所以22()()2(1)2(1)f u x x u u =+=-+-=21u -,故2()1(1)f x x x =-≥.6.如图所示,△OAB 是边长为2的正三角形,记△OAB 位于直线x =t (t >0)左侧的图形的面积为f (t ),试求函数f (t )的解析式;并画出函数y =f (t )的图象.解:当01t <≤时,1()2f t t t =⋅⋅⋅tan6023t =;当12t <≤时,11()23(2)(222f t t =⋅---t )tan60233(2)t =--;当t >2时 ()3f t ,=.∴f (t )= 22301233(2)12232t t t t t ⎧,<≤,⎪⎪⎪--,<≤,⎨⎪,>.⎪⎩函数的图象如图所示.见课后作业B题组一 函数与映射的概念1.设f :2x x →是从集合A 到集合B 的映射,如果B={1,2},则A B ⋂为( ) A.∅ B.{1} C.∅或{2} D.∅或{1} 答案:D解析:由已知21x =或22x =,解之得1x =±或2x =若1A ∈,则A B ⋂={1},若1A ∉,则A B ⋂=∅.故A B ⋂=∅或{1}.2.下列函数中与函数y =x 相同的是( )A.2()y x =B.33y t =C.2y x =D.2x y x=答案:B解析:因为33y t t ==,所以应选B.3.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程g [()]f x x =的解集为（ ） A.{1} B.{2} C.{3} D.∅ 答案:C解析:当x =1时,g [(1)](2)2f g ==,不合题意； 当x =2时,g [(2)](3)1f g ==,不合题意；当x =3时,g [(3)](1)3f g ==,符合题意. 题组二 函数的表示方法4.某工厂从2000年开始,近八年以来生产某种产品的情况是:前四年年产量的增长速度越来越慢,后四年年产量的增长速度保持不变,则该厂这种产品的产量y 与时间t 的函数图象可能是( )答案:B解析:前四年年产量的增长速度越来越慢,知图象的斜率随x 的变大而变小,后四年年产量的增长速度保持不变,知图象的斜率不变,∴选B.5.设f 、g 都是由A 到A 的映射,其对应法则如下表(从上到下): 映射f 的对应法则是表1映射g 的对应法则是表2则与f [g (1)]相同的是( )A.g [f (1)]B.g [f (2)]C.g [f (3)]D.g [f (4)] 答案:A解析:根据表中的对应关系得,f [g (1)]=f (4)=1,g [f (1)]=g (3)=1.6.里氏震级M 的计算公式为:M =lgA-lg 0A ,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅0A ,是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.答案:6 10 000 题组三 分段函数 7.设f (x )=lg 0100xx x x ,>,⎧⎨,≤,⎩ 则f [f (-2)]= . 答案:-2解析:∵x =-2<0,∴f 21(2)100100--==>, ∴2(10)f -=lg 2102-=-,即f [f (-2)]=-2.8.已知函数f (x )=2020x x x x +,≤,⎧⎨-+,>,⎩则不等式2()f x x ≥的解集为( )A.[]11-,B.[]22-,C. []21-,D.[]12-, 答案:A解析:当0x ≤时,不等式2()f x x ≥化为22x x +≥,即220x x x ⎧+≥,⎨≤,⎩所以10x -≤≤;当x >0时,不等式2()f x x ≥化为22x x -+≥,即220x x x ⎧-+≥,⎨>,⎩所以01x <≤.综上可得不等式的解集为[]11-,.9.设函数f (x )=2020x bx c x x ⎧++,≤,⎨,>.⎩若f (-3)=f (0),f (-1)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为 .答案:3解析:由f (-3)=f (0),f (-1)=-2可得b =3,c =0,从而方程f (x )=x 等价于0()2x x f x >,⎧⎨==⎩ 或203x x x x ≤,⎧⎨+=,⎩ 解203x x x x≤,⎧⎨+=⎩得到x =0或x =-2,从而得方程f (x )=x 的解的个数为3. 10.已知f (x )=22121222x x x x x x ⎧+,≤-,⎪⎪,-<<,⎨⎪,≥,⎪⎩ 且f (a )=3,求a 的值.解:①当1a ≤-时,f (a )=a +2,由a +2=3,得a =1,与1a ≤-相矛盾,应舍去.②当-1<a <2时,f (a )=2a ,由2a =3,得a =32,满足-1<a <2.③当2a ≥时2()2a f a ,=, 由232a =,得a =又2a ≥,∴a =综上可知,a 的值为32.题组四 函数及其表示的灵活应用 11.如果f (a +b)()()f a f b =⋅,且f (1)=2,则(2)(1)f f +(4)(6)(3)(5)f f f f ++…(2010)(2012)(2009)(2011)f f f f ++= . 答案:2 012解析:f (2)=f (12(2))(1)22(3)(1)f f f f =,=,=f (1)f (2)=32(4)(f f ,=24)(2)2f =, (4)2(3)f f =,…(2010)(2012)22(2009)(2011)f f f f ,=,=, ∴原式21=⨯ 006=2 012.12.已知f (x )是二次函数,不等式f (x )<0的解集是(0,5)且f (x )在区间[-1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式;(2)是否存在实数m ,使得方程37()0f x x+=在区间(m ,m +1)内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f (x )是二次函数,且f (x )<0的解集是(0,5), ∴可设f (x )=ax (x -5)(a >0).∴f (x )在区间[-1,4]上的最大值是f (-1)=6a ,由已知,得6a =12. ∴a =2.∴f (x )=2x 2(5)210(x x x x -=-∈R ).(2)方程37()0f x x +=等价于方程32x -210x +37=0.设32()21037h x x x =-+,则h ′2()6202(3x x x x x =-=-10). 当10(0)3x ∈,时,h ′(x )<0,h (x )是减函数;当10()3x∈,+∞和(0)-∞,时,h′(x)>0,h(x)是增函数.∴h(x)在(0)-∞,内不可能有两不等实根.又∵h(3)10110()0(4)327h h=>,=-<,=5>0,∴方程h(x)=0在区间1010(3)(4)33,,,内分别有唯一实数根,而在区间(0,3)(4),,+∞内没有实数根.∴存在唯一的自然数m=3,使得方程f(x)+370x=在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.高考资源网（）您身边的高考专家。
2021年高考数学一轮总复习 1.2函数及其表示课时作业 文(含解析)新人教版
2021年高考数学一轮总复习 1.2函数及其表示课时作业文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·嘉兴调研)设集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( )A. B.C. D.解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A中函数的定义域是[－2,0)，C中任一x∈[－2,2)对应的值不唯一，D中的值域不是N，故选B.答案：B2．已知f：x→－sin x是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A．4个B．5个C．6个D．7个解析：由－sin x＝0，得sin x＝0.又x∈[0,2π]，故x＝0或π或2π；由－sin x＝12，得sin x＝－12 .又x ∈[0,2π]，故x ＝7π6或11π6.选B. 答案：B3．(xx·江西卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥0，2－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2 解析：因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1， 解得a ＝14.答案：A4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：在2f (x )－f (－x )＝3x ＋1①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，∴f (x )＝x ＋1. 答案：B5．图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1| (0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1| (0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1| (0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1| (0≤x ≤2)解析：取x ＝1，则y ＝32，只有B 、C 满足．取x ＝0，则y ＝0，在B 、C 中只有B 满足，所以选B.答案：B6．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310] C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310]．答案：B 二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．(xx·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝__________.解析：当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＞0，f (f (a ))＜0，显然不成立；当a ＞0时，f (a )＝－a 2，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.答案： 29．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1，x ＜1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x的取值范围是__________．解析：当x＜1时，由e x－1≤2得x≤1＋ln2，∴x＜1；当x≥1时，由x 13≤2得x≤8，∴1≤x≤8.综上，符合题意的x的取值范围是x≤8.答案：(－∞，8]三、解答题10．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.解析：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1＞2x＋5，即x2－3x－4＞0，解得x＞4或x＜－1.故原不等式解集为{x|x＞4或x＜－1}．11．函数f(x)对一切函数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．解析：(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.12．已知函数f(x)＝满足f(c2)＝9 8 .(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)＞28＋1.解析：(1)因为0＜c＜1，所以c2＜c，由f(c2)＝98，即c3＋1＝98，c＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0＜x ＜122－4x＋1，12≤x ＜1由f (x )＞28＋1得，当0＜x ＜12时， 解得24＜x ＜12， 当12≤x ＜1时，解得12≤x ＜58， 所以f (x )＞28＋1的解集为{x |24＜x ＜58}．32889 8079 聹 39140 98E4 飤k31103 797F 祿 29679 73EF 珯35652 8B44 譄 33697 83A1 莡732804 8024 耤27531 6B8B 残Kj。
高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测26Word版含解析
课时追踪检测 (二十六 )[高考基础题型得分练 ]1．已知 a ，b ，c 分别是△ ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边， (2b－ c )cos A －acos C ＝0.(1)求角 A 的大小；π(2)求函数 y ＝ 3sin B ＋sin C －6 的最大值．解： (1)在△ ABC 中，由正弦定理，得(2sin B －sin C)cos A －sin Acos C ＝0，即 2sin Bcos A ＝sin Acos C ＋sin Ccos A ， ∴ 2sin Bcos A ＝sin(A ＋C)＝sin B.1又 sin B ≠0，∴ cos A ＝2，π又 0<A<π，∴ A ＝3.π(2)由(1)知， A ＝3，2π2π∴在△ ABC 中， B ＋C ＝ 3 ，且 B ∈ 0， 3 .πy ＝ 3sin B ＋sin C －6π＝ 3sin B ＋sin 2－Bπ＝3sin B ＋cos B ＝2sin B ＋6 .2ππ π 5π又B ∈0， 3 ，∴ B ＋6∈ 6， 6 ，π 1∴ sin B ＋6 ∈ 2，1 ，π∴ 2sin B ＋6 ∈(1,2]．π故函数 y ＝ 3sin B ＋sin C －6 的最大值为 2.2．[2017 ·山东日照模拟 ]已知在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边5π分别为 a ，b ，c ，且函数 f(x)＝2cos xsin(x －A)＋sin A 在 x ＝12 处取得最大值．π(1)当 x ∈ 0，2 时，求函数 f(x)的值域；13 3(2)若 a ＝7 且 sin B ＋sin C ＝ 14 ，求△ ABC 的面积．解： ∵f(x)＝2cos xsin(x －A)＋sin A＝ 2cos x ·sin xcos A －2cos xcos xsin A ＋sin A＝ sin 2xcos A －cos 2xsin A ＝sin(2x －A)，5π又函数 f(x)在 x ＝12 处获得最大值，5ππ∴ 2×12－A ＝2k π＋2，此中 k ∈Z ，π解得 A ＝3－2k π，此中 k ∈Z .π(1)∵A ∈(0，π)，∴ A ＝3，ππ 2π又 x ∈ 0，2 ，∴ 2x －A ∈ －3， 3 ，3∴－ 2 <sin(2x －A)≤1，3即函数 f(x)的值域为 － 2 ，1 .a b ＋c(2)由正弦定理，得sin A ＝sin B ＋sin C ，b＋c则 sin B＋sin C＝a sin A，13 3 b＋c3即14 ＝7×2，∴b＋c＝13.又a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，即 49＝169－3bc，∴ bc＝40.113故△ ABC 的面积 S＝2bcsin A＝2×40×2＝10 3.2a－b 3．设△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，知足c cos B＝cos C.(1)求角 C 的大小；π(2)设函数 f(x)＝cos(2x＋C)，将 f(x)的图象向右平移4个单位长度π后获得函数 g(x)的图象，求函数g(x)在区间 0，3上的值域．2a－b 解：(1)∵a，b，c 是△ ABC 的内角 A，B，C 所对的三边，且ccos B＝，∴由正弦定理，得2sin A－sin B cos B＝，即 ( 2sin A－sin B)cos C＝cos Bsin C，即 2sin Acos C＝sin Bcos C＋ cos Bsin C ＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴ sin(B＋C)＝sin A≠0，2∴2cos C＝1，即 cos C＝2 .π∵ C 是△ ABC 的内角，∴ C ＝4.π(2)由(1)可知， f(x)＝cos 2x ＋4 ，π π π则 g(x)＝f x －4 ＝cos 2 x －4 ＋4π＝ cos 2x －4 .π ππ 5π∵ 0≤x ≤3，∴－ 4≤2x －4≤12，π π π 6－ 2又 cos 5－＝，＝cos3 4 4126－ 2π∴4≤cos 2x －4 ≤1，∴ g(x)在区间 0，π上的值域为6－ 2，1 .3 44．[2017 ·湖南邵阳模拟 ]如图，在△ ABC 中，D 为 AB 边上一点，＝ ，已知 π＝ ，BC ＝1.DA DC B 46(1)若△ DBC 是锐角三角形， DC ＝ 3 ，求角 A 的大小；1(2)若△ BCD 的面积为 6，求边 AB 的长．π6 解： (1)在△ BCD 中， B ＝4，BC ＝1，DC ＝ 3 ，由正弦定理，得BC＝ CD ， sin ∠BDC sin B2解得 sin ∠BDC ＝1× 2 36 ＝2 ，3π2π则∠ BDC ＝3或∠ BDC ＝ 3 .π由△ DBC 是锐角三角形，可得∠ BDC ＝3.π又由 DA ＝DC ，得 A ＝6.因为π1 1 π 1 ，(2) B ＝，BC ＝1，△ BCD 的面积为6，则·· ＝42 BC BDsin 4 62解得BD ＝3.由余弦定理，得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BDcos π422 2 5 5 ＝ 1＋9－ 2×3 × 2 ＝9，故 CD ＝ 3 ，则 AB ＝AD ＋BD ＝CD ＋BD ＝ 5＋ 2， 35＋2故边 AB 的长为.[ 冲刺名校能力提高练 ]1．[2017 ·山东淄博模拟 ]已知在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的π边分别为 a ，b ，c ，且 sin A ＋6 ＝2cos A.6(1)若 cos C＝3，求证： 2a－3c＝0；(2)若∈，π，且 cos(A－B)＝4，求 sin B 的值．B35π解：由 sin A＋6＝2cos A，得312 sin A＋2cos A＝2cos A，即 sin A＝ 3cos A.因为 A∈(0，π)，且 cos A≠0，π所以 tan A＝3，所以 A＝3.(1)证明：因为 sin2C＋cos2C＝1，cos C＝36，C∈(0，π)，3所以 sin C＝3，a c 由正弦定理知，sin A＝sin C，3即 a＝sin A＝ 2＝3，即 2a－3c＝ 0.c sin C323(2)解：因为∈ 0，π，B3ππ所以 A－B＝－B∈ 0，3，3因为 sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，3所以 sin(A－B)＝5，所以 sin B＝sin[A－(A－B)] ＝sin Acos(A－B)－4 3－3cos Asin(A －B)＝ 10 .2．[2017 ·河南郑州模拟 ]在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知1＋ 1 ＝ 1 ，且 b ＝ 2， a>c.tan A tan C sin B(1)求 ac 的值；7(2)若△ ABC 的面积 S ＝ 4 ，求 a ，c 的值．cos A cos Ccos Asin C ＋cos Csin A解： (1)因为 sin A ＋ sin C ＝sin Asin Csin A ＋C sin B＝sin Asin C＝sin Asin C，所以 sin B＝1，即 sin 2＝ sin Asin C. sin Asin C sin B B由正弦定理，可得 b 2＝ac ，又 b ＝ 2，所以 ac ＝2.(2)S ＝12acsin B ＝sin B ＝ 47，又 ac ＝2 且 a>c ，所以 a 2>ac ＝2，即a> 2.又 b ＝ 2，所以 A>B ，故角 B 必定为锐角，所以 cos B ＝ 1－sin 2B3＝4.由余弦定理可知， cos B ＝a 2＋c 2－b 2＝3，所以a 2＋c 2＝5，由 ac2ac4＝ 2 且 a>c ，解得 a ＝2，c ＝1.3．已知向量 p ＝(2sin x ， 3cos x)，q ＝(－sin x ，2sin x)，函数 f(x)＝ p ·q .(1)求 f(x)的单一递加区间；(2)在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，且 f(C)＝1，c ＝1，ab ＝2 3，且 a>b ，求 a ，b 的值．2解： (1)f(x)＝－ 2sin x ＋2 3sin xcos xπ＝ 3sin 2x ＋ cos 2x －1＝2sin 2x ＋6 －1.πππ由 2k π－2≤2x ＋6≤2k π＋2，k ∈Z ，得π πk π－3≤x ≤k π＋ 6，k ∈Z ，∴ f(x)的单一递加区间是π π．k π－ ，k π＋6 ∈Z )3(kπ(2)∵f(C)＝2sin 2C ＋6 －1＝1，π∴ sin 2C ＋6 ＝1，∵ C 是三角形的内角，π π π∴ 2C ＋6＝2，即 C ＝6.∴ cos C ＝a 2＋b 2－c 2＝3，即a 2＋b 2＝7.2ab 2212将 ab ＝2 3代入可得 a ＋ a 2 ＝7，解得 a 2＝3 或 4.∴ a ＝ 3或 2，∴ b ＝2 或 3.∵ a>b ，∴ a ＝2，b ＝ 3.。
2020版高考数学一轮复习四2.1函数及其表示理解析版新人教A版
核心素养提升练四函数及其表示(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.对于⑤,当x=1时,x2+1A,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.3.(2019·郑州模拟)函数f(x)=ln+的定义域为( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.要使函数f(x)有意义,应满足解得x>1,故函数f(x)=ln+的定义域为(1,+∞).4.(2018·衡阳模拟)已知f(x)=则f等于( )A.-2B.-3C.9D.-9【解析】选C.因为f=log3=-2,所以f=f(-2)= =9.5.已知f=+,则f(x)等于( )A.(x+1)2(x≠1)B.(x-1)2(x≠1)C.x2-x+1(x≠1)D.x2+x+1(x≠1)【解析】选C.f=+=-+1,令=t(t≠1),则f(t)=t2-t+1,即f(x)=x2-x+1(x≠1).6.(2019·太原模拟)若函数f(x)满足f(1-ln x)=,则f(2)等于( )A. B.e C. D.-1【解析】选B.令1-ln x=t,则x=e1-t,于是f(t)=,即f(x)=,故f(2)=e.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.由1-ln x=2,得x=,这时==e,即f(2)=e.7.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[1,2]D.[1,3]【解析】选A.由题意,得解得0≤x≤1.【变式备选】设函数f(x)=lg(1-x),则函数f[f(x)]的定义域为 ( )A.(-9,+∞)B.(-9,1)C.[-9,+∞)D.[-9,1)【解析】选B.f[f(x)]=f[lg(1-x)]=lg[1-lg(1-x)],其定义域为解得-9<x<1,所以f[f(x)]的定义域为(-9,1).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·泉州模拟)已知函数f(x)=若f(x0)=2,则x0的值为________.【解析】若x0≤1,则=2,解得x0=-1,若x0>1,则log3x0=2,解得x0=9.答案:-1或99.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=lof(x)的定义域是________.【解析】要使函数有意义,需f(x)>0,由f(x)的图象可知,当x∈(2,8]时,f(x)>0.答案:(2,8]10.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是________.【解析】由题意:令g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-∞,0], ,三段区间内均单调递增,且g=1,20+0+>1,×20>1,因此,x的取值范围是.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2018·武汉模拟)函数f(x)=满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能取值为( )A.1或-B.-C.1D.1或【解析】选A.因为f(1)=e1-1=1且f(1)+f(a)=2,所以f(a)=1,当-1<a<0时,f(a)=sin(πa2)=1,因为0<a2<1,所以0<πa2<π,所以πa2=⇒a=-;当a≥0时,f(a)=e a-1=1⇒a=1.故a=-或1.2.(5分)(2019·日照模拟)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)= ( )A.1B.e+1C.e+3D.3【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的单调函数,不妨设f(c)=e+1,所以f(x)-e x=c,f(x)=e x+c.所以f(c)=e c+c=e+1.所以c=1.所以f(x)=e x+1.所以f(ln 2)=e ln2+1=3.3.(5分)(2018·锦州模拟)已知函数f(x2-3)=lg,则f(x)的定义域为________.【解析】设t=x2-3(t≥-3),则x2=t+3,所以f(t)=lg=lg,由>0,得t>1或t<-3,因为t≥-3,所以t>1,即f(t)=lg的定义域为(1,+∞),故函数f(x)的定义域为(1,+∞).答案:(1,+∞)4.(12分)设函数f(x)=且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.【解析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得解得a=-1,b=1,所以f(x)=(2)f(x)的图象如图.5.(13分)如果对∀x,y∈R都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2.(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求+++…+++的值.【解析】(1)因为∀x,y∈R,f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4, f(3)=f(1+2)=f(1)·f(2)=23=8,f(4)=f(1+3)=f(1)·f(3)=24=16.(2)方法一:由(1)知=2, =2, =2,…, =2,故原式=2×1 009=2 018.方法二:对∀x,y∈R都有f(x+y)=f(x)·f(y)且f(1)=2,令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)·f(1),即=f(1)=2,故==…==2,故原式=2×1 009=2 018.。
(智慧测评)高考数学大一轮总复习 第2篇 第1节 函数及其表示课时训练 文(含模拟题)
（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第2篇 第1节 函数及其表示课时训练 文（含2014年模拟题）新人教A 版一、选择题1．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x A ．{1} B ．{2} C ．{3}D ．∅解析：由f (x )，g (x )得g [f (x )]如表所示由上表可以看出，使g [答案：C2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：对于选项A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，选项C 符合，故选C.答案：C 3．函数f (x )＝1log 122x ＋1 的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2解析：要使f (x )有意义， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 122x ＋1 ≠0.解得－12<x <0或x >0.故选C.答案：C4．(2014辽宁大连24中期中)下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝ x －1 2，g (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1 C ．f (x )＝ln e x与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x解析：函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.答案：D5．(2012年高考安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，故选项A 满足要求；f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，故选项B 满足要求； f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，故选项C 不满足要求； f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故选项D 满足要求．故选C.答案：C6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：①若4<A ，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝30，cA ＝15，解得c ＝60，A ＝16，符合题意．②若4≥A ，则⎩⎪⎨⎪⎧cA＝30，cA ＝15无解综合①②知c ＝60，A ＝16.故选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考浙江卷)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析：由题得a －1＝3，解得a ＝10. 答案：108．(2014皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2－(－12)＝212， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f (212)＝log 2212＝12. 答案：129．(2014河南中原名校二联)函数y ＝log 13(2x＋1)(1≤x ≤3)的值域为________．解析：当1≤x ≤3时，3≤2x＋1≤9，所以－2≤y ≤－1，所求的值域为[－2，－1]． 答案：[－2，－1]10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－ x －1 2，x >0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，f (x )≥－1即12x ＋1≥－1.∴x ≥－4，∴此时，－4≤x ≤0.当x >0时，f (x )≥－1即－(x －1)2≥－1， ∴0≤x ≤2， ∴此时，0<x ≤2.综上可知使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2] 三、解答题11．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示PA 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值． 解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋ x －1 2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋ 3－x 2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)；当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)；综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52.12.设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积y 关于腰长x 的关系式，并求它的定义域和值域．解：如图，∵AB ＋BC ＋CD ＝a ， ∴BC ＝EF ＝a －2x >0， 即0<x <a2，∵∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°，∴AE ＝DF ＝x 2，BE ＝32x ，y ＝12(BC ＋AD )·BE＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a －2x ＋x 2＋x 2 ＝34(2a －3x )x ＝－34(3x 2－2ax ) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2， 故当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2.。
2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第一节函数及其表示学案文含解析新人教A版
第一节 函数及其表示2024考纲考题考情1．函数与映射的概念函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做值域。
3．函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。
4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。
分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。
1．一种优先意识 函数定义域是探讨函数的基础依据，对函数的探讨，必需坚持定义域优先的原则。
2．两个关注点(1)分段函数是一个函数。
(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。
3．直线x ＝a (a 是常数)与函数y ＝f (x )的图象有0个或1个交点。
一、走进教材1．(必修1P 18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。
故选B 。
答案 B2．(必修1P 25B 组T 1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________。
答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 二、走近高考3．(2024·江苏高考)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________。
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第二篇 第1节
一、选择题
1．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
则方程g [f (x )]＝x 的解集为A ．{1} B ．{2} C ．{3}
D ．∅ 解析：由f (x )，g (x )得g [f (x )]如表所示
由上表可以看出，使g [f 答案：C
2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的
是( )
A ．f ：x →x 3－1
B ．f ：x →(x －1)2
C ．f ：x →2x －
1
D ．f ：x →2x
解析：对于选项A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，选项C 符合，故选C.
答案：C
3．函数f (x )＝1
log 1
2(2x ＋1)的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0 B ．⎝⎛⎭⎫－1
2，＋∞ C.⎝⎛⎭
⎫－1
2，0∪(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 解析：要使f (x )有意义，
需满足⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1>0，log 12(2x ＋1)≠0.
解得－1
2<x <0或x >0.故选C.
答案：C
4．(2014辽宁大连24中期中)下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝(x －1)2，g (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1 C ．f (x )＝ln e x 与g (x )＝e ln x D ．f (x )＝x 0与g (x )＝1
x
解析：函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.
答案：D
5．(2012年高考安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x
解析：f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，故选项A 满足要求； f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，故选项B 满足要求； f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，故选项C 不满足要求； f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故选项D 满足要求．故选C. 答案：C
6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝
⎩⎨⎧
c
x ，x <A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用
时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )
A ．75,25
B ．75,16
C ．60,25
D ．60,16
解析：①若4<A ，则⎩⎨⎧
c
2
＝30，c
A ＝15，
解得c ＝60，A ＝16，符合题意．
②若4≥A ，则⎩⎨⎧
c
A
＝30，c
A ＝15
无解
综合①②知c ＝60，A ＝16.故选D.
答案：D 二、填空题
7．(2013年高考浙江卷)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析：由题得a －1＝3，解得a ＝10.
答案：10
8．(2014皖南八校联考)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－
x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫－12＝2－(－12)＝21
2
， ∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝f (212)＝log 2212＝12
. 答案：1
2
9．(2014河南中原名校二联)函数y ＝log 1
3(2x ＋1)(1≤x ≤3)的值域为________．
解析：当1≤x ≤3时，3≤2x ＋1≤9， 所以－2≤y ≤－1，所求的值域为[－2，－1]． 答案：[－2，－1]
10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
12x ＋1，x ≤0，
－(x －1)2，x >0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．
解析：当x ≤0时，f (x )≥－1即1
2x ＋1≥－1.
∴x ≥－4，∴此时，－4≤x ≤0.
当x >0时，f (x )≥－1即－(x －1)2≥－1，
∴0≤x ≤2， ∴此时，0<x ≤2.
综上可知使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2] 三、解答题
11．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫
52的值．
解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当P 点在BC 上运动时， y ＝
12＋(x －1)2＝
x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；
当P 点在CD 上运动时， y ＝
12＋(3－x )2＝
x 2－6x ＋10(2<x ≤3)；
当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)；
综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ，0≤x ≤1，
x 2－2x ＋2，1<x ≤2，
x 2
－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.
∴f ⎝⎛⎭⎫52＝
5
2.
12.设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积y 关于腰长x 的关系式，并求它的定义域和值域．
解：
如图，∵AB ＋BC ＋CD ＝a ， ∴BC ＝EF ＝a －2x >0， 即0<x <a 2
，
∵∠ABC ＝120°，∴∠DAB ＝60°， ∴AE ＝DF ＝x 2，BE ＝32x ，
y ＝1
2(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣
⎡
⎦⎤2(a －2x )＋x 2＋x 2
＝
34(2a －3x )x ＝－3
4
(3x 2－2ax ) ＝－
334⎝⎛⎭⎫x －a 32＋3
12a 2， 故当x ＝a 3时，y 有最大值3
12
a 2，
所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，a 2，值域为⎝⎛⎦
⎤0，3
12a 2.。