2014北京市高考压轴卷 数学(文科) Word版含解析

2014北京市高考压轴卷

文科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知

11x

yi i

=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则

123()()()f x f x f x ++的值为(

)

A.正

B.负

C.零

D.可正可负

3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A ．4+

52π B ．4+32π C ．4+2

π D ．4+π 4.如图所示为函数π

()2sin()(0,0)2

f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，

其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )

A ．-1

B ．

C

D ．1

5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；

②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．

其中正确命题的个数是（）

6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有

，则不等式的解集为

A． B．C． D．

7. 已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上，若，线段AB 的中点到直线的距离为1，则p的值为（）

8. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：

①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；

③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0．

其中正确结论的序号是（）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置． 9.已知集合

{}{}

22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若

{}

3A B =-，则实数a 的值为

________________.

10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．

11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ．

12. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是________________.

13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______

14.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

15.已知向量)4

cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x n x m ==．记n m x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；

(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若

12

f (A )=

，试判断∆ABC 的形状． 16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作，每名同学当选的机会均相等．

（Ⅰ）求当选的2名同学中恰有l 名男同学的概率； （Ⅱ）求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率．

17. 如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2． （1）求证：B 1B ∥平面D 1AC ； （2）求证：平面D 1AC ⊥平面B 1BDD 1．

18.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个

端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .

求证: '⋅k k 为定值.

19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,

342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .

（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*

N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*

N ，三个数

(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.

20. 已知函数x a x g ln )2()(-=，2ln )(ax x x h +=)(R a ∈，令)()()('

x h x g x f +=.

(Ⅰ)当0=a 时，求)(x f 的极值； (Ⅱ)当2-

(Ⅲ)当23-<<-a 时，若对]3,1[,21∈∀λλ，使得3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m f f λλ恒成立,求m 的取值范围.