第十二章动量矩定理

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第十二章 动量矩定理
∑
d dt
(ri × mi vi ) = ∑ m0 ( Fie ) + ∑ m0 ( Fii )
d [∑ M 0 (mv)] = ∑ m0 ( Fie ) dt
质点系对任意固定点Ｏ的动量矩对时间的导数等于 质点系所受全部外力对该点的主矩．
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第十二章 动量矩定理
４：质点系对点之动量矩是说明在某一 瞬时质点系运动的一个量度．
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第十二章 动量矩定理
５：应用质点系动量矩定理时，可取投影式
d [∑ M x (mv)] = ∑ mx ( Fe ) dt
d [∑ M y (mv)] = ∑ m y ( Fe ) dt
d [∑ M z (mv)] = ∑ mz ( Fe ) dt
M z (mv) = ±2∆OQ′A′
质点动量对Ｏ点的矩与对Ｚ轴之矩的关系式：
[ M 0 (mv)]z = M z (mv)
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第十二章 动量矩定理
２、质点的动量矩定理 由牛顿第二定律
z
M 0 (mv)
M 0 (F )
F
mv
dv m = ∑F dt
Ｑ
o
x
y
d (mv) = ∑ F dt
1 2
Z1
Z2
C
b/4 b/4 b/2
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第十二章 动量矩定理
Z1 Z2
A. J Z B. J Z C. J Z D. J Z
2
2
b 2 = J Z1 + M ( ) 4 b 2 = J Z1 − M ( ) 4
b 2 b 2 3 = J Z1 − M ( ) + M ( ) = J Z1 − Mb 2 2 4 16 b 2 b 2 3 = J Z1 − M ( ) − M ( ) = J Z1 + Mb 2 2 4 16
故
LO = LOO + LOA + LOB
1 2 =( + 2 m) R ω 2M
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第十二章 动量矩定理
例12-4 如图所示，一匀质圆盘刚连于匀质细杆 OC 上， 可绕 O 轴在水平面内转动，已知杆 OC 长 L = 0.3m，质 C 量 m1 = 10kg ， 圆盘半径 r = 0.15m ，质量 m2 = 40kg ， 为圆盘质心。若在杆上作用一常力偶矩 M = 20 N ⋅ m ，不 计摩擦，试求杆 OC 的角加速度。
现取对 Z轴的投影式，且 则经 ∆t 时
t2 0
t2
t1
∑ m ( F ) × dt
0 i
∑ m (F ) = L
0 i
i
为常量
∫ ∑ m ( F ) × dt = L ⋅ ∆t
t1
喷嘴口的水为点的复合运动：取其为动点。动系：悬臂
∆[∑ M 0 (mi ⋅ vi )]z
水在喷嘴喷出的速度为
中的
vi
为绝对速度
r
【解】取整体为研究对象。 设角加速度为 ε ，由刚体定 轴转动微分方程，得：
C
m2
I OZ ⋅ ε = M
ε
M
O
m1
式中
I OZ
1 1 2 2 2 = m1 L + m2 r + m2 L 3 2
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第十二章 动量矩定理
代入已知值得：
I OZ
1 1 2 = ×10 × 0.3 + × 40 × 0.152 + 40 × 0.32 3 2 = 4.35 kg ⋅ m 2
例12-2 公园内的喷水器有四根旋臂，每一旋臂由两根 12水平管组成，管长分别为0.25m,0.15m,夹角为120o 每一喷 嘴喷。设喷水量为 0.01m3 / min水流相对于喷嘴的速度为12m / s 水器转动时的摩擦力矩L＝0.25N.m,求喷水器喷水时的转速。
取质点系（取悬臂以及从进水口至喷嘴内所含的水） 动量矩得计算,(经∆t 后，进水口处的水流入∆m ,各喷水 1 嘴流去 ∆m 旋转臂及管内稳定流动的质量三部分引 4 起的对Z轴的动量矩变化）应用动量矩定理求得ω
故
∆m(vr ⋅ 0.25 sin 60 − ve ⋅ l ) = L ⋅ ∆t
o
l 2 = 0.1225m 2
（*）
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∆m & 当 ∆t → 0即式（*）为 →m ∆t
把已知数据代入式（*）中
& m = 4 × 0.01× 1000 = 40kg / min = 40 / 60kg / s
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第十二章 动量矩定理
【典型题精解】
例12-1 滑块Ａ，Ｂ质量分别为２Ｋｇ，0.5Ｋｇ，用长１ 12米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。 竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 rA = 0.6m 时，滑块 Ａ以速度０.４ｍ／Ｓ沿竿向外运动，竿的角速度ω = 0.5rad / s 1m 求此时竿的角加速度。
O
R
ω R o
4R
A
θ
（a） ）
（b） ）
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第十二章 动量矩定理
【解】 （1）圆环对 O 点的转动惯量为
J O1 = 2mR
2
直杆对 O 点的转动惯量为
故
1 2 2 J O 2 = m( 4 R ) + m ( 2 R ) 12 1 2 JO = JO1 + JO2 = 2mR + ( m×16R2 + 4mR2 ) 12
mi vi
p=0
mi vi
M 0 (∑ mv) ≠ 0
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第十二章 动量矩定理
mi vi
mi vi
M
∑ mv
ε
i
= Mvc = p
a
ω
M 0 (∑ mv) ≠ 0
动量的主矩不等于零。
F
N
要解决具有转动问题还须另一定理：动量矩定理
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第十二章 动量矩定理
§12－1 质点的动量矩定理 12－
d dt
d dt
(r1 × m1v1 ) = m0 ( F1 ) + m0 ( F12 ) + m0 ( F13 )
( r2 × m2 v2 ) = m0 ( F2 ) + m0 ( F21 ) + m0 ( F23 )
d dt
( r3 × m3v3 ) = m0 ( F3 ) + m0 ( F31 ) + m0 ( F32 )
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Z
∆m / 4 0.15m
0.25m
o1
ω
120
o
A
L
∆m v1
B O
o1
120o A
vB
mvr
h
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【解】质点系 ：由悬臂以及从进水口至喷嘴内所含的水 应用动量矩定理：(积分式）
[∑ M 0 (mi vi )]2 − [∑ M 0 ( mi vi )] = ∫
va = ve + vr
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ve = lω
经
∆t 后 ，对Z轴的动量矩的变化。
vr = 12m / s
悬臂及管内稳定流的这一部分水质点动量矩不变， 及动量矩之差为零
1 ∆[∑ M 0 (mi vi )] = 4 ⋅ ∆m(vr ⋅ 0.25 sin 60o − ve ⋅ l ) − ∆mv1 ⋅ 0 4
1、质点的动量矩定理 、 计算公式：
z
M 0 ( mv)
o
A
mv
M 0 (mv ) = r × mv =
Q
i
y
j
r
A′
Q′
x y & & & mx my mz
k z
(mv) xy
x
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或：
M 0 ( mv ) = mv ⋅ r sin θ = 2∆OQA
质点动量对于Ｚ轴的矩：
M 20 ε= = 4.6rad / s 2 I OZ 4.35
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第十二章 动量矩定理
【思考题】
1.是非题 是非题 （1）质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（对） （2）若系统的动量守恒，则其对任意点的动量一定守恒， 若系统对某点的动量矩守恒，则其动量一定守恒。 （错） 2.选择题 选择题 （1）如图所示，均质矩形板质量为 M ，尺寸如图所示。已 知薄板对 Z1 轴的转动惯量 J Z 。试写出对 Z 2 轴的转动惯量 J Z 的计算公式。Z1 与 Z 2轴互相平行。（ C ）
1、质点系的动量矩定理 、
r2
F21
由合力矩定理知：
m2 m1v2
m1v1 F12
F1
m1 F 13
r2 F F3 32 o r1 r3 m3
F31
m3v3
F23
m0 ( F12 ) + m0 ( F21 ) = ∑ m0 ( R )
又：
R=0
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第十二章 动量矩定理
对某一质点皆可写出动量矩定理
将上式两端对t 求导，得
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第十二章 动量矩定理
故： ( m A rA 解得：
2
ε = −0.5 rad
drA + m B rB )ε + 2(m A rA − m B rB ) ω =0 dt
2
s
2