动量矩定理13
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第十三章动量矩定理_理论力学
式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动
工程力学—动量矩定理
(e)
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
FOy O FOx u
va u v LO mva r mvr 0 LO m(u v)r mvr 0 u u va v 2 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等 于人相对绳的速度的一半。如果开始时，人与重物A 位于同一高度，则不论人以多大的相对速度爬绳，人 与重物A将始终保持相同的高度。
12 动量矩定理
• • • • • • 质点和质点系的动量矩 动量矩定理 刚体绕定轴转动的微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
引言
•
由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一 简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力 系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。 • 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分 解为随同基点的平动和相对基点的转动。 • 若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质 心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外 力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一 个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系 对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。 它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
A
mg mg
u
va
ve＝v
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速 度 转动，则 Lz＝ Jz。
刚体受有主动力和轴承 约束反力，如不计摩擦，则 由质点系动量矩定理得 d ( J z ) M z ( F ) dt d 或 Jz M z (F ) dt J z M z ( F ) F1 z
质点对某 固定轴的动量 矩对时间的一 阶导数等于质 点所受的力对 同一轴的矩。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
动量矩定理
Lz mz (mi vi ) mi ri J z
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速 度的乘积。
其中，J z mi ri 2 , 称为刚体对z轴的转动惯量。
5
[例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ；物体C：m3
21
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O'z'//Cz
J zC mi ri mi ( xi yi )
2 2 2
J z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ' , yi ' yi d J z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
分别代入质点系对固定点O动量矩表达式中，就有
rC mi υC rC mi υiC riC mi υiC riC mi υC rC mi υC rC mi υiC mi riC υC riC mi υiC
12
求 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2 g g 2 d r 2 P 由动量矩定理： [ ( PA PB )]( PA PB )r dt g 2
3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
23
例: 已知滑轮A的质量为m1，半径为R1，对转轴O的转动惯量为J1 ；滑轮B的
第13章 动量矩定理
的动量矩为常矢量（或常量）。这就是质点系的动 量矩守恒定理。 内力不影响动量矩的变化。例：人坐在转椅上， 双脚离地，则人自己不能将椅子转动。
例：均质鼓轮质量为m1，对中心轴的转动惯量为J，置 于摩擦系数为f的粗糙水平面上，并与光滑的铅垂墙接 触，重物A的质量为m2，不计绳质量。求：重物A下 落的加速度和鼓轮所受的约束力。
Lz
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一轴的矩的代数和。
二、质点系的动量矩定理
13.2
动 若 m ( F ) 0 ，则 量 L z 常量 矩 定 即：若作用在质点系上的作用力对某固定点（或固 理 定轴）之矩恒等于零，则质点系对该点（或该轴）
z
在特殊情况下，若 m O ( F ) 0 ，则 L O 常矢量
y
手法则来确定。动量矩是瞬时量。在国际单位制中， 动量矩的单位是 kg m 2 / s
二、质点系的动量矩
1、质点系对固定点的动量矩 13.1 设质点系由 n 个质点组成，其中第 i 个质点的 动量为 m i v i ，对任一固定点的动量矩为r m i v i ， 质 则质点系对固定点 O 的动量矩为 点
2
动 a 2 J m2R 量 若M m 2 g sin R ，则 a 0 ，小车的加速度沿轨道 矩 向上。 定 必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 理
负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完 全一致。
sin
二、质点系的动量矩定理
13.2 例4 水平杆AB长为 2 a ，可绕铅垂轴 z 转 动，其两端各用铰链与长为 l 的杆AC及 a A BD相连，杆端各联结重为 P 的小球C和D。 起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均 l 为铅垂时，这系统绕 z 轴的角速度为 0 C （如图）。如某时此细线拉断后，杆AC 和BD各与铅垂线成 角。不计各杆的质 量，求这时系统的角速度 。 a A 解：以系统为研究对象，系统所 受的外力有小球的重力和轴承处的反 l 力，这些力对转轴之矩都等于零。所 C 以系统对转轴的动量矩守恒，即
动量矩定理
mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2
第九章 动量矩定理
12
解：取整体为研究对象
LO J mvR
M O ( Fi ( e ) ) M mg sin R
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
dLO M O ( Fi (e ) ) dt d 即 J mvR M mg sin R dt dv v a 因 dt R
n d 2 J Z 2 M Z ( Fi ) dt i 1
以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。 22 转动惯量是刚体转动惯性的度量。
【例6】已知： , J , F1 , F2 ，求 。 R 解： J ( F F ) R 1 2 F1
( F1 F2 ) R J
n Байду номын сангаас 1
n d M O (mi v i ) M O ( Fi (i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt i 1 i 1
而 所以
d dt
M O (m i v i )
d LO dt
9
n d LO M O (Fi ( e ) ) dt i 1
上式称为质点系动量矩定理：质点系对于某定点O的动量 矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点 的矩的矢量和（外力对点O的主矩）。 应用时，取投影式
1 LABab qV dt v1 r1 cos1 n 1 dLO qV dt (v2 r2 cos 2 v1 r1 cos1 ) n dLO M O (F ) n qV (v2 r2 cos 2 v1 r1 cos1 )
dt
16
【例4 】已知 求（1）
n d Lx M x (Fi ( e ) ) dt i 1
n d L y M y (Fi ( e ) ) dt i 1
动量矩定理
m1,r O
J o F3r F2r
m2
m3
α
m3 a3 m3 g F3
F1
m2a2 F2 m2 g
运动量关系
a3 a2 r
O
求支座约束力
m1 0 3 F3
m3 g
F2 m1 g F2
z z
y
x x
y
称过质心的三根主轴为中心惯性主轴
动量矩计算
Loz l ozi
ω m ,r
1
J z m 2 v 2 r J z m2r r
O
m2 v 2
J z m2 r 2
动量矩计算
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
对固定轴
E dLz M z ( Fi ) dt
注意：与质心运动定理和动量定理不 同，动量矩定理是有限制的。
例：质量m的质点从半径为r的半圆形光滑轨道上无初速地 滑下，试给出其运动微分方程，并计算质点与轨道间的作 用力。
解：1.用牛顿定律解之
动力学方程
θ
ma t mg sin ma n FN mg cos
rC
C
ri ri
O
mi v ri mv rc 0
mi ri mrC 0
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
刚体平面运动时
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
M O1
m1,r1
动量矩定理
M (e) z
mz (F
(e) )
0
,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或
保持静止。
若M z(e) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 I z M z(e) 与 ma F 比较，刚体的转动惯量 I z 是刚体
转动惯性的度量。
19
[例1] 已知：复摆（物理摆）重为 P ，对转轴的转动惯量为 Io ； 求：复摆作微幅摆动时的运动规律。 解：取复摆为研究对象；
27
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
求：对z轴的转动惯量 I z；
1
第十三章 动量矩定理 §13–1 动量矩 §13–2 动量矩定理 §13–3 刚体定轴转动微分方程 §13–4 刚体对轴的转动惯量 §13–5 质点系相对于质心的动量矩定理 ·
刚体平面运动微分方程 习题课
2
动量定理： 质心运动定理：
dp F (e)
dt
i
MaC Fi(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢） 质心的运动—外力（外力系主矢）
m2
m3
)R2v3
7
§13-2
一．质点的动量矩定理
动量矩定理
d (mv ) F dt
r 两边叉乘矢径
,
有
r
d
(mv ) dt
r
F
左边可写成
r d(mv) d (r mv) dr mv
dt dt
dt
而dr dt
mv
v
mv
0
,
r F mO (F ) ,
故：
d dt
左边交换求和与导数运算的顺序，而
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
13动量矩定理
r2
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
第12章-动量矩定理
它表达为刚体质量 m 与某一长度ρ z 旳平方
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
动量矩定理
3 动量矩定理动量定理给出了三个独立的方程，在某种意义上来说，它只解决了一个点(质心)的运动问题，不足以全面地描述质点系的运动状态。
例如，一均质圆盘绕过质心且垂直于圆盘的定轴转动，不论圆盘转动快慢如何，也不论其转动快慢有何变化，它的动量始终为零。
这说明动量定理不能反映这种运动的规律。
动量矩定理反映了质点系外力系在空间的分布与质点系运动之间的规律。
设n 个质点组成质点系，其中第i 个质点的质量为m i ，矢径为r i ，瞬时速度为v i ，该质点对固定点O 的动量矩为L Oi (图8-1)定义为(8.1.12) ),...,2,1(,n i m i i i Oi =×=v r L 动量矩是一个矢量。
定义质点系对O 点的动量矩为质点系中每个质点对同一点动量矩的矢量和，即(8.1.13)i i ni i ni Oi O m v r L L ×==∑∑==11在直角坐标系中，质点系的动量矩可表示为(8.1.14) k j i L z y x O L L L ++=式中L x , L y , L z 为质点系动量矩L O 分别在轴x , y , z 上的投影。
类似静力学中力对点之矩和力对轴之矩的关系，有质点系对点O 的动量矩在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩，即质点系对坐标轴x , y , z 的矩为(8.1.15)∑∑∑===−=−=−=ni ix i iy i i z n i n i iz i ix i i y iy i iz i i x v y v x m L v x v z m L v z v y m L 111)(,)(,)(作为特殊的质点系，刚体作平移和定轴转动时动量矩的计算相对简单。
(1) 平移刚体对O 点的动量矩 设平移刚体的质量为m ，同一瞬时刚体上各点的速度均相等，用v 表示，由式(8.1.13)得()v r v r v r L m m m C i i i i i O ×=×=×=∑∑)( (8.1.16)因此，刚体平移时，可将全部质量集中在质心，作为一个质点计算其动量矩。
动量矩定理
ma F 且 dv m F dt dv a dt
z
F
mv
o
在等式两边同时叉 乘矢径 r
r
y
x
d r (mv ) r F dt
左式：
d d dr r (mv ) r mv mv dt dt dt dr mv v mv 0 dt
其中：
－－质点系对固定点的动量矩定理 即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于 质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
dLz (e) M z(Fi ) dt
－－质点系对固定轴的动量矩定理
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于 质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
v e vc
y
vi
v i vC v ir －－－（2）
x
v
C
z
1、质点系相对固定 点运动的动量矩
o
A
vir
r
r
C
i
C
i
v e vc
y
vi
v
LO M O mi vi ri mi vi
LC M C mi vi i mi vi
x
C
－－－（3）
dx 2 m l m glsin dt
即
g sin 0 l
g sin 并令 l
2 n
——（1）
则（1）式化为
0
2 n
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
z
F
mv
o
在等式两边同时叉 乘矢径 r
r
y
x
d r (mv ) r F dt
左式：
d d dr r (mv ) r mv mv dt dt dt dr mv v mv 0 dt
其中：
－－质点系对固定点的动量矩定理 即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于 质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
dLz (e) M z(Fi ) dt
－－质点系对固定轴的动量矩定理
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于 质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
v e vc
y
vi
v i vC v ir －－－（2）
x
v
C
z
1、质点系相对固定 点运动的动量矩
o
A
vir
r
r
C
i
C
i
v e vc
y
vi
v
LO M O mi vi ri mi vi
LC M C mi vi i mi vi
x
C
－－－（3）
dx 2 m l m glsin dt
即
g sin 0 l
g sin 并令 l
2 n
——（1）
则（1）式化为
0
2 n
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
理论力学之动量矩定理
证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对同一点的力矩。
B 固定轴
d M O (mv ) M O ( F ) dt
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)： d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv) M y (F ) dt d M z (mv) M z (F ) dt 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用 于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。 质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC
13动量矩定理_3平面运动微分方程
18g
13l
13
程，有
maCy Fi y ,
maC mg FT
JC MC Fi ,
1 2
mr 2 B
FTr
圆柱体 B 作平面运动，由基点法，得其 质心 C 的加速度
aC aD aCD r A rB
M
FO O
A
A
mg
FT
FT y
aC
D
C
B B
mg
9
1 2
1
Fie
maC
m dvC dt
m
d2rC dt 2
Hale Waihona Puke MCFi e
JC
JC
d
dt
JC
d2
dt 2
实际运用时，通常采用其投影形式：
Fi
e x
maCx
m dvCx dt
m
d2 xC dt 2
Fi
e y
maCy
m dvCy dt
30
0，角加速度为 ，
杆AB 端点A的加速度为aA
mg
A
C
B
FN
aA
11
3. 列动力学方程 建立图示坐标轴， 根据刚体的平面运动微分方程
maCx Fix , maCx mg sin 30
maCy Fi y , maCy mg cos30 FN
JC MC Fi ,
JC MC Fi ,
JC
l 3
mA g
2l 3
mB g
理论力学-13-动量矩定理
F1
x
J z M
第十三章 动 量 矩 定 理
§13-3 刚体的定轴转动微分方程
F2
z
Lz J z
Fi
vi
J z mi ri —— 刚体z轴的转动惯量
2
F1
x
ri mi
Fn
y
(e) d ( J z ) M z ( Fi ) dt
(e) d d J z J z J z 2 M z ( Fi ) dt dt
d dt M x (mv ) M x ( F ) d d M O (mv ) M O ( F ) M y (mv ) M y ( F ) dt dt d dt M z (mv ) M z ( F )
2. 质点的动量矩守恒定律
2 2 2
xi xi yi yi d
mi [ x ( yi d ) ]
2 i 2 2
mi ( xi2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi
yC
my m
i i
i
0
J z J z md 2
★ ★
第十三章 动 量 矩 定 理
M O (F ) F h
B
M O (F )
F
M O ( F ) 2OAB
O h x
r
A(x,y,z) y
M O (F ) r F [ M O ( F )] z M z ( F )
第十三章 动 量 矩 定 理
1. 质点的动量矩
1. 若 M O ( F ) 0
M O (mv ) 恒矢量
动量矩定理
LO = (LOx
LOy
pky
pk = ( pkx
pkz )
LOz )
T
T
rk = (xk
yk
zk )
T
4
矢量动力学基础/动量矩定理/对定点的动量矩
• 平动刚体对定点的动量矩 r r 平动刚体 质心 vk = vC
n n r r r r r LO = ∑ rk × mk vk = ∑ rk × mk vC k =1
12
矢量动力学基础/动量矩定理/对定点的动量矩定理/解 系统对z轴的动量矩 系统对 轴的动量矩
& LOz = m R2 + m2r2 + JOz ϕ 1
主动力的对点O主矩 主动力的对点 主矩
(
)
rb y
r FAy
r y
rb x
ϕ
r r FOx x
(m R
1
M Oz = m1 gR − m2 gr . L Oz = M Oz
r3 x
ϕ
r r FOx x
定义正向 & ω =ϕ & 对z轴动量矩 L3Oz = JOzω = JOzϕ 轴动量矩 重物m 重物 1与m2平动 v1 = ωR v2 = ωr z轴动量矩 对z轴动量矩
L1Oz = m v1R = m1ωR 1 L2Oz = m2v2r = m2ωr2
2
B1
r v1 r m1 g
2011年6月7日 理论力学CAI 矢量动力学基础 5
矢量动力学基础/动量矩定理/对定点的动量矩
• 定轴转动刚体对该轴动量矩 r r ω = ωz 定轴转动刚体
r z
P k
r rk
ρ kz
ω
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1
第十三章
§13–1
动量矩定理
动量矩
§13–2
§13–3 §13–4 §13–5
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 · 刚体平面运动微分方程
习题课
2
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢） 质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
动量矩定理
d (mv ) F dt
两边叉乘矢径 r , 有 r 左边可写成
d (mv ) r F dt
故：
d (mv ) d r (r mv ) dr mv dt dt dt dr 而 mv v mv 0 , r F mO ( F ) , dt d d (r mv ) r F , [mO (mv )]mO ( F ) dt dt
4
刚体动量矩计算： 1．平动刚体 LO mO (mvC ) rC mvC
(ri mi vi mi ri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。 2．定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) mi ri 2 I z
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO ( F )0 (mz ( F )0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
8
由动量矩定理 d mO (mv ) mO ( F ) dt g 即 d (ml2 ) mglsin , sin 0 dt l g 2 2 0 n 微幅摆动时，sin , 并令 n ，则
取轮B连同物体C为研究对象
(2)
补充运动学条件 r22 v, r2 2 a r11
化简(2) 得：P2 2 P3 a T ' P3
2g P M 化简(1) 得： 1 a 1 T 2g r1
M 1 / r1 P3 a 2 g P1 P2 2 P3
l
[例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 mO ( F ) mO (T ) mO (mg ) mglsin l ml2 v l , OM 。 mO (mv ) ml 运动分析：
1P 2 r2 P 将I O r 代入 , 得 LO ( PA PB ) 2g g 2 2 d r P 由动量矩定理： [ ( PA PB )] ( PA PB ) r dt g 2
( e)
PA PB d g dt r PA PB P/2
14
§13-3
刚体定轴转动微分方程
d (e) ( I z ) M z dt
对于一个定轴转动刚体 Lz I z
代入质点系动量矩定理，有
d 2 或 I z 2 M z (e) dt
I z M z
( e)
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题：
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO (mi vi ), mO ( Fi ( i ) ) 0,则
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 dt
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 kg· ｍ2/s。 二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： LO mO (mi vi ) ri mi vi
质系对轴z 动量矩：
Lz mz (mi vi )LO z
10
二．质点系的动量矩定理 d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F ) O i O i 对质点Mi ： dt O i i 对质点系，有
(i 1,2,3,,n)
(i 1,2,3,,n)
d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F dt O i i O i 量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
( e)
12
求 。 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO vr vr I O g g
大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
17
二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
求：对z轴的转动惯量 I z ； 对z' 轴的转动惯量 I z ' 。 解： I z
求系统对O轴的动量矩。 解： LO LOA LOB LOC
I11 ( I 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2 v3 v2 R22 1 R11 2
I1 I2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 v3 R2 R2
6
§13-2
一．质点的动量矩定理
19
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
I z ' I zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
20
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O ' z '//Cz
I zC mi ri mi ( xi yi )
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
15
特殊情况：
若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或
保持静止。
若M z (e) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。
解： I
O I O杆 I O盘
1 1 m1l 2 m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
§13-1
动量矩
一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩：mO (mv ) r mv 矢量 质点对轴 z 的动量矩： m (mv ) m (mv ) 代数量
z O xy
3
mO (mv ) 2OAB
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
2 2 2
I z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ', yi ' yi d I z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2
2
mi m , mi yi myC 0 I z ' I zC md
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLx ( e ) dL y ( e ) dL z (e) m x ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
11
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒
l 2 l 2
m 1 2 x dx m l l 12
2
l m 1 I z ' 0 x 2 dx ml2 l 3
18
2. 回转半径 由 I z 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径。
m
I z m z 2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对 对于均质刚体，
于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 I z 和 z ，以供参考。
7
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
g T 2 l
9
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正）
第十三章
§13–1
动量矩定理
动量矩
§13–2
§13–3 §13–4 §13–5
动量矩定理
刚体定轴转动微分方程 刚体对轴的转动惯量 质点系相对于质心的动量矩定理 · 刚体平面运动微分方程
习题课
2
质点 动量定理： 质点系 动量的改变—外力（外力系主矢） 质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外 力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
动量矩定理
d (mv ) F dt
两边叉乘矢径 r , 有 r 左边可写成
d (mv ) r F dt
故：
d (mv ) d r (r mv ) dr mv dt dt dt dr 而 mv v mv 0 , r F mO ( F ) , dt d d (r mv ) r F , [mO (mv )]mO ( F ) dt dt
4
刚体动量矩计算： 1．平动刚体 LO mO (mvC ) rC mvC
(ri mi vi mi ri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点 （轴）的动量矩。 2．定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) mi ri 2 I z
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若 mO ( F )0 (mz ( F )0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
8
由动量矩定理 d mO (mv ) mO ( F ) dt g 即 d (ml2 ) mglsin , sin 0 dt l g 2 2 0 n 微幅摆动时，sin , 并令 n ，则
取轮B连同物体C为研究对象
(2)
补充运动学条件 r22 v, r2 2 a r11
化简(2) 得：P2 2 P3 a T ' P3
2g P M 化简(1) 得： 1 a 1 T 2g r1
M 1 / r1 P3 a 2 g P1 P2 2 P3
l
[例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 mO ( F ) mO (T ) mO (mg ) mglsin l ml2 v l , OM 。 mO (mv ) ml 运动分析：
1P 2 r2 P 将I O r 代入 , 得 LO ( PA PB ) 2g g 2 2 d r P 由动量矩定理： [ ( PA PB )] ( PA PB ) r dt g 2
( e)
PA PB d g dt r PA PB P/2
14
§13-3
刚体定轴转动微分方程
d (e) ( I z ) M z dt
对于一个定轴转动刚体 Lz I z
代入质点系动量矩定理，有
d 2 或 I z 2 M z (e) dt
I z M z
( e)
—刚体定轴转动微分方程
解决两类问题：
已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO (mi vi ), mO ( Fi ( i ) ) 0,则
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O 一质点系对固定点的动量矩定理 dt
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
mO (mv ) z mz (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 kg· ｍ2/s。 二．质点系的动量矩
质系对点O动量矩： LO mO (mi vi ) ri mi vi
质系对轴z 动量矩：
Lz mz (mi vi )LO z
10
二．质点系的动量矩定理 d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F ) O i O i 对质点Mi ： dt O i i 对质点系，有
(i 1,2,3,,n)
(i 1,2,3,,n)
d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F dt O i i O i 量。
当 M z ( e ) 0 时，Lz 常量。
( e)
12
求 。 [例3] 已知: PA PB ; P ; r 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO vr vr I O g g
大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
17
二．转动惯量的计算 １．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例1] 匀质细直杆长为l ,质量为m 。
求：对z轴的转动惯量 I z ； 对z' 轴的转动惯量 I z ' 。 解： I z
求系统对O轴的动量矩。 解： LO LOA LOB LOC
I11 ( I 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2 v3 v2 R22 1 R11 2
I1 I2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2 v3 R2 R2
6
§13-2
一．质点的动量矩定理
19
3. 平行移轴定理 同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
I z ' I zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的 轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
20
证明：设质量为m的刚体，质心为C， O ' z '//Cz
I zC mi ri mi ( xi yi )
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
15
特殊情况：
若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转动或
保持静止。
若M z (e) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 [例2] 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。
解： I
O I O杆 I O盘
1 1 m1l 2 m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
§13-1
动量矩
一．质点的动量矩 质点对点O的动量矩：mO (mv ) r mv 矢量 质点对轴 z 的动量矩： m (mv ) m (mv ) 代数量
z O xy
3
mO (mv ) 2OAB
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规定相同
对着轴看：顺时针为负 逆时针为正
2 2 2
I z ' mi ri '2 mi ( xi '2 yi '2 )
xi xi ', yi ' yi d I z ' mi [ xi ( yi d ) 2 ]
2
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2
2
mi m , mi yi myC 0 I z ' I zC md
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 (e) (e) (e) dLx ( e ) dL y ( e ) dL z (e) m x ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
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上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改 变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒
l 2 l 2
m 1 2 x dx m l l 12
2
l m 1 I z ' 0 x 2 dx ml2 l 3
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2. 回转半径 由 I z 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径。
m
I z m z 2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对 对于均质刚体，
于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质 刚体的 I z 和 z ，以供参考。
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质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
0 0) 则运动方程 解微分方程,并代入初始条件 (t 0, 0 ,
0 cos
g t ，摆动周期 l
g T 2 l
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注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时 针转向为正）