动量矩定理

mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2
T1
T1' R1 O1
M
ε2
T2 T2'
ε1
• 对O1轮，有
• 对O2轮，有 • 补充方程：
J11 M T1 ' R1 T2 ' R1
……①
……②
J 2 2 T1 R2 T2 R2 M f
且：
T1 T1 ' , T2 T2 ' ; R11 R2 2 2 2 1 1 J 1 m1 R1 , J 2 m2 R2 2 2
r2
B v2 F T A mg r1
初瞬时(A处)， LZA = mv1r1，
B处， LZB = mv2r2， ∴ mv1r1 = mv2r2 而 r1 =2r2
v1
得
v2 = 2v1
解毕。
二、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，第i个质点的质量为mi， 速度为vi， 有 受力：外力Fi(e) 、内力Fi(i) ， 则根据质点的动量矩定理，
1
2( R2 M R1 M f ) (m1 m2 ) R12 R2
将①×R2+②×R1可解得：
§3 刚体绕定轴转动的微分方程
设刚体上作用有主动力F1、F2、…Fn， 轴承反力FN1、FN2 ， 这些力均为外力，它们 使刚体绕z轴以角速度ω转动。 若刚体对z轴 的转动惯量为Jz ， 则刚体对z轴的动量矩为 F1 z FN1
vAr vBr
O
设绳子的速度为u, 则有
u
u
vBr
vAa vAr u ,
所以
vBa vBr u
vAr
vAr u vBr u
v Ar vBr u 2
可见，猴子体力的差别仅影响其相对速度。弱猴即使不向 上 爬，也会因绳子的运动而与强猴同时达到同一高度。
解毕。
例12-3 ：卷扬机的传动轮系如图，设轴Ⅰ和Ⅱ各转动部分对其轴 的转动惯量分别为J1，J2，已知主动力矩M，提升重物为 W = mg， 齿轮A、B节圆半径为r1、r2，且 i12 = r2 ： r1 =ε1：ε2，卷筒半径为 R ， 不 计 摩 擦 及 绳 质 量 ， 求 重 物 的 加 速 度 。 （J1，J2 将在后面的章节中着重阐述）
质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系 的外力对同一轴的矩的代数和。
关于质点系动量矩守恒定 律 • 当∑Mo( Fi(e) ) = 0 时，有Lo = 常矢量。
即：当外力对某定点的主矩等于零时，质点系对该点 的动量矩保持不变。
质点系对
定点的动量矩守恒
• 当∑Mz( Fi(e) ) = 0 时，有Lz = 常量。
i 1 i 1 i 1 n n
z
n
i 1 n
2
ri mi
mivi
令
m r
i 1
n
2
i i
Jz
ω
∴
Lz=Jzω
刚体对z轴的转动惯量
结论
• 绕定轴转动刚体对其转轴的转动惯量为
J z mi ri
i 1
n
2
(单位：Kg· m2)
• 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚 体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2
1

2
r1

2
z1
i12
……③
思考题
Mf
已知均质轮O1，半径R1，质量为m1; 均质 轮O2，半径R2，质量为m2，主动力矩M， 阻力矩Mf，求1。
M
O2 O1
ε2Байду номын сангаас
ε1
问此种解法 是否正确？ 为什么？
Lo1 J11 J 22 dLo1 J11 J 2 2 M M f dt
即
(e) d L M ( F ) o o i dt i 1
n
质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系 的外力对同一点的主矩。
质点系对定轴的动量矩定理
(e) d L M x ( Fi ) x dt i 1 n (e) d L M x ( Fi ) y dt i 1 n (e) d L M z ( Fi ) z dt i 1 n
C
Ⅰ
M
A
B
Ⅱ
• 分析：本题中有两根固定 轴，必须分开考虑。分别 以两轴及与之固连的齿轮 为研究对象，用对定轴的 动量矩定理求解。
W
M
C YⅠ XⅠ A
ε1
解：研究轴Ⅰ及轴上的齿轮，受力如图。
设ε1与M同向， （约定以ε转向为正）。 由 Jzε1 =∑Mz 得 J1ε1 =M － Pr 1 ……①
研究轴Ⅱ及重物系统， 受力如图。 根据质点系的动量矩定理，有
r1
GⅠ
P Pn Pn' YⅡ B R GⅡ XⅡ
r2
P'
d ( J mvR) Pr mgR 2 dt 2 2 d 2 2 dv mgR R 2 ,……② 所以 ( J2+mR )ε 22= , Pr2－ dt r dtz
补充方程：
W
M i12 mgR ε2 2 解得： 2 J 1i12 J 2 mR 2 ( M i12 mgR ) R 所以，重物上升 a R 2 2 2 J i J mR 的加速度为 1 12 2
[Mo(mv)]z= M z(mv)
• 动量矩的量刚为 ML2T－1 （kg· m2/S）
代数量
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同一 点O的动量矩的矢量和（即质点系动量对点O的主 矩）：
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和，即
质点对定点的动量矩守恒
• 当Mz( F ) = 0 时，有Mz( mv ) = 常量。
质点对定轴的动量矩守恒
思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将线缓慢向下拉。开始时，小 球以匀速v1沿半径为r1的圆周运动，求当小球被拉至B处(2r2=r1)时的速度v2 。
z
解：分析小球受力。 ∵ ∑MZ(F(e)) = 0， ∴ LZ = const !
0
m dx x sin x sin 0 l
l
mi
vi

得
m sin 2 2 x dx 0 l
l
x
1 Lz m l 2 sin 2 3
解毕。
质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系Oxyz 中的投影为：
Lo x Lx M x (mv) Lo y L y M y (mv) Lo z Lz M z (mv)
即 质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。
问题： • 质点系的动量 p =∑mivi = Mvc • 质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？
已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕水 平O轴以角速度ω转动，求系统对O轴的动量矩。 vA = · l ω O B A vB = · l l l
例12-1
系统对O轴的动量矩为：
Lo ml l ml l 2ml 2
从本例可以知道，系统质心的速度虽然为零，系统对O轴 的动量矩并不等于零。 计算质点系的动量矩不能简单地 用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。
例12-2
O ω
已知均质杆
则杆的动量为 m，l，ω， p = mvc = mωl/2 杆对O轴的动量矩为
即
d (r mv ) r F dt d M (mv ) M ( F ) o o dt
质点对定点的动量矩定理
质点的动量矩定理：
质点对某定点的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对同一点的矩。
d M ( mv ) M ( F ) o o dt
将上式向直角坐标轴投影，并利用对点的动量矩与对轴的 动量矩的关系，可得