工程力学 1动量矩定理

解：
研究系统，分析受力： 分析运动： dLz M z dt
XO
O
R
d ( m1 v 1 R m 2 v 2 R ) m1gR m 2 gR dt
dv1 m1 m2 v1 v2 a1 g dt m1 m2
v1
YO
v2
m1g
m2g
例 已知：
R, J , M , , m ,小车不计摩擦.

F
YO O
ω0
J Z M z
J O Qf R
Q
XO

o
0
d

t
o
J O 0 t fQR
Qf R dt JO
mg
问：制动过程中，轮子转过了多少圈？
§5. 质点系相对于质心的动量矩定理
前面所讨论的动量矩定理只适用于惯性参考系，也即，动量 矩的矩心、矩轴都是固定不动的。 我们关心的问题是动量矩的矩 心可否运动？ 研究表明，动量矩的矩心可以为动点，但随着矩心 位置的不同其动量矩定理的形式也不同。 下面讨论对于质心的动 量矩定理。
J O M O
J z M z
O： 固定点
z： 固定轴 C： 质心 P： 瞬心，要求PC=常量
J C M C
J P M P
在圆轮作纯滚动及椭圆规机构中， 此式显得特别方便。
例：如图所示，两均质圆轮半径分别为rA和rB ，重为PA和PB ，鼓轮 B上作用主动力偶矩M，A轮与斜面间无相对滑动，求B轮从静止开 始转过φ角时的角速度ωB及支座B处的反力。 解：①、分析所给系统的构成及各部分 作何种运动，一般应拆开分别研究。 T ②、先研究B，作受力图： T 作定轴转动，列动力学 εA 方程： A y YB B XB M
YB XB
M
x
概念题. 圆轮重Q ， 受外力作用，问地面光滑和有摩擦时，圆轮 质心如何运动? F F • •
F
1).地面光滑时: 左图质心保持不动，因为水平方向的和外力为零; 右图质心将沿力F方向运动. 2).地面有摩擦时:左图质心将向右运动，
右图中: a.若主动力F≤Nf，则质心不动;
b.若主动力F＞Nf，则质心向右运动.
M
∵ ∴
JC
r 2 dm
R 0
J C

2
0
r drd
3
C
dθ
r
dr
1 J C mR 2 2
对轮缘上任一点，有：
R
2
J Z J C Md
1 3 2 2 J Z mR mR mR 2 2 2
例：均质杆质量为m，长为l，求对质心轴C的转动惯量。 C z 解：取一微元dx
第十一章 动 量 矩 定 理
如前章所述，外力的主矢将引起质点系的动量和质心 位置的改变。而我们知道，作用于质点系的外力向一点简 化后，得到一主矢和一主矩。那末，主矩对质系的运动有 何影响呢？
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点O的动量矩
M O (mv ) r mv
m dm dx l
∵ ∴
x
JC
r 2 dm
M
O
x dx
JC
l 2 l 2
m 2 x dx l
1 J C ml 2 12
对杆端，有：
J Z J C Md
2
1 l 2 1 2 2 J Z ml m( ) ml 12 2 3
§4. 刚体定轴转动的微分方程 将质点系的动量矩定理 及定轴转动的动量矩
(e) 若 M O ( F ) 0 , 则 LO 常矢量； (e) 若 M z ( F ) 0 , 则 Lz 常量。
例：面积速度定理
有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心.
由于 M O ( F ) 0,有
M (mv ) r mv 常矢量
dH z M z dt
H z J z
应用于刚体定轴转动的情形，有：
d( J z ) M z dt
J z M z
与质心运动定理
或
J z M z
比较之。
即为刚体定轴转动的微分方程。
MaC F
例：半径为R、质量为m的均质圆轮绕质心轴z以匀角速ω0转动。今 欲制动，闸瓦压力Q、摩擦系数f，求制动所需时间。 解：研究轮子，分析受力： 列出动力学方程：
2、质点系的动量矩定理
对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有:
(i ) (e) d M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt (i ) (e) d M O (mi vi ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) dt (i ) 由于 M O ( Fi ) 0 dLO d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) dt dt dt x
§3. 转动惯量、平移轴定理
J z m r
2 i i
为刚体对转轴的转动惯量，为一常数.
同质量一样，转动惯量是刚体固有的物理属性，它与刚体的运 动无关，也不来自任何力学定理。一旦转轴确定，转动惯量即为恒 定，且恒为正值。 对于连续体
JZ Βιβλιοθήκη Baidu
r 2 dm
M
若把刚体的总质量M集中于刚体上某一点处，该点到转轴的距 离为ρ，则有： 2 J Z M ρ：回转半径或惯性半径 平移轴定理：J
与 必在一固定平面内,即点M的运动 （1）r v
轨迹是平面曲线.
dr (2) r mv r m b 常量 dt dr r 即 常量 dt
由图, r d r 2d A
因此,
dA 常量 dt
dA 称面积速度. dt
面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.
Z
J C Md
2
（证明从略）
刚体对任意轴的转动惯量JZ等于对与该轴平行的质心轴的转动 惯量JC加上刚体的总质量与两轴间距离d的平方的乘积。 可见，刚体对质心轴的转动惯量最小。
例：均质圆轮质量为m，半径为R，求对质心轴C的转动惯量。
解：取单位厚度的圆轮研究， 取一面积微元dm
dm rd dr
§11-2
§1. 质点的动量矩定理
动量矩定理
dv 牛顿第二定律有： m F dt d (mv ) F 变形为： dt
则在上式中两端左乘r ，得
mv z m
设该质点在惯性坐标系中的矢径为r
d(mv ) r r F dt 而：
o y x
d( r mv ) dr d(mv ) d(mv ) mv r v mv r dt dt dt dt
再列补充方程—— 一般为运动学关系：
rA A a A （4） rA A rB B （5）
2 B 2 0
以上5个未知量均可求解。从中解出εB为常量，则有：
2 B
欲求支座反力，则需对轮B列质心运动定理： T
MC X x MC Y y
B PB 0 X B T cos （6） g PB P （7） y B 0 YB PB T sin g
概念题. 1、 两相同的均质圆轮绕质心轴转动，角速度分别为ω1和ω2，且ω1 > ω2 ，问 ： 1）哪个动量大? 分别为多少? 2）哪个动量矩大? 分别为多少? 答：1）一样大，均为0 2）Jω1>Jω2 2、汽车为何不能在光滑的水平路面上行使？ 答：系统在水平方向无外力，质心在水平面运动守恒。
Ma F
其投影式为：
dH C M C dt
或：
MC X x MC Y y J C M C
Ma Fn
n c c
Ma F J C M C
实际上，动量矩定理除了对固定点O、固定轴z、质心C可以取 矩外，还可以对瞬心P取矩，但是要求瞬心P到质心C的距离保持为 常量，其公式的形式不变。
dH C M C dt
上式即为质点系相对于质心C的动量矩定理，其形式与对固定 点的动量矩定理完全相同。（证明从略）
§6. 刚体平面运动的微分方程
刚体的平面运动可以分解为随任选基点的平动和绕该基点的 转动。 这里，以质点系的质心C为基点，则随质心C的平动用质心 运动定理、绕质心C的转动用相对于质心的动量矩定理，即得刚体 平面运动的微分方程： C
得
· mv · m · F · z · · · · F
i
i i
i
i
e
i
o
y
(e) dLO M O ( Fi ) dt
即为质点系的动量矩定理
质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于 质点系的外力对于同一点的矩的矢量和.
投影式:
(e) dLx M x ( Fi ) dt
dLy dt (e) M y ( Fi )
(e) dLz M z ( Fi ) dt
内力不能改变质点系的动量矩.
若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴 的矩恒为0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。
例：半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端分 别挂有质量为m1和m2的两重物，设m1＞m2 ，求m1运动的 加速度。滑轮及绳子的质量不计。
LO M O (mvC ) , Lz M z (mvC )
ω
（2） 刚体绕定轴转动
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
mi ri ri mi ri 2
引入转动惯量
J z mi ri 2
Lz J z
转动刚体对转轴的动量矩为其对 该轴的转动惯量与角速度的乘积
d( r mv ) r F dt
dm o (mv) 即: mo (F ) dt
称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对 时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩. 投影式:
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
概念题. 1、均质圆轮半径均为r，求在下列不同形式下的动量、对O点的动 量矩。 ω O O C ω C ω
只滚不滑
答：1）动量： 0、 mrω、 mrω O
对 z 轴的动量矩
M z (mv ) 等于 [mv ]xy 对点O的矩. M z (mv ) 是代数量,从 z 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为负.
与力对点之矩与力对轴之矩相类似，动量矩也有
[M O (mv )]z M z (mv )
单位:kg· 2/s m
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
n LO M O (mi vi ) i 1
对轴的动量矩
即
i 1 [ LO ]z Lz LO Lx i Ly j Lz k
Lz M z (mi vi )
n
（1） 刚体平移.可将全部质量集中于质心, 作为一个质点来计算.
求小车的加速度 a .
解:
LO J m v R
( M Oe ) M mg sin R
d [ J mvR] M mg sin R dt
v dv 由 , a， 得 R dt
MR mgR sin a J mR 2
2
3．动量矩守恒定律
J B B M B
εB
x PB
（1） F ③.再研究A，作受力图： 作平面运动，列动力学 方程： MC X x
M T rB
α
PA
N
MC Y y J C M C
PA a A F T PA sin g J A A FrA
（2） （3）
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定
理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，
等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 mO ( F ) 0 (mz ( F ) 0) 则 mO (mv ) 常矢量 (mz (mv ) 常量) 称为质点的动量矩守恒。