创新方案2017届高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第十节热点专题__概率与统计中

第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第十节 热点专题——概率与统计中的热点问题课后作业 理1．为了防止塑化剂超标的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮塑化剂含量检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该产品不能销售的概率；(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列及均值E(X )．2．(2016·山东师大附中模拟)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]．(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数；(2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动，再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人．记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ，求 X 的分布列及均值．3．(2016·日照模拟)某娱乐节目将4名队员平均分成甲、乙两个组，进行一对一的独立闯关比赛，已知甲组中2名队员A ，B 过关的概率分别为13，23，乙组中2名队员C ，D 过关的概率都为12，最后根据两组过关人数的多少来决定胜负，若过关人数相同，则认为两组平局．(1)求A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关的概率；(2)将甲组过关的人数记作x ，乙组过关的人数记作y ，设X ＝|x －y |，求X 的分布列和均值．4．将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中(每个盒子足够大)．(1)求编号为1的盒子为空盒的概率； (2)求空盒的个数ξ的分布列和均值E (ξ)．5．(2016·九江模拟)心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人对她们的答题情况进行全程研究，记丙、丁2名女同学被抽到的人数为X ，求X 的分布列及均值E (X )．下面临界值表仅供参考：在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、语文、物理、化学、生物这5个学科的辅导讲座，每位有兴趣的学生可以在期间的任何一天参加任何学科的辅导讲座，也可以放弃任何一个学科的辅导讲座．规定：各学科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座．统计数据表明，各学科辅导讲座满座的概率如下表(每天各个学科的辅导讲座是否满座互不影响)：(1)(2)设周三各学科辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．答 案1. 解：(1)记“该产品不能销售”为事件A ， 则P(A)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14，故该产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知X 的所有可能取值为－320，－200，－80，40,160.P(X ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P(X ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364，P(X ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P(X ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以X 的分布列为E(X)＝－320×256－200×64－80×128＋40×64＋160×256＝40.2. 解：(1)∵小矩形的面积等于频率，∴除[35,40)外的频率和为0.70，∴x ＝1－0.705＝0.06.故500 名志愿者中，年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500＝150(人)．(2)用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄“低于 35 岁”的人有12 名，“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名．故 X 的可能取值为 0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 38C 320＝14285，P (X ＝1)＝C 112C 28C 320＝2895，P (X ＝2)＝C 212C 18C 320＝4495，P (X ＝3)＝C 312C 320＝1157，故 X 的分布列为∴E (X )＝0×14285＋1×95＋2×95＋3×57＝95.3. 解：(1)设“A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关”为事件A ，“4名队员都不过关”为事件A 0，“4名队员恰有1人过关”为事件A 1，则A ＝A 0∪A 1.又P (A 0)＝23×13×12×12＝118，P (A 1)＝13×13×12×12＋23×23×12×12＋23×13×12×12×2＝14，故P (A )＝118＋14＝1136.(2) X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝23×13×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13＋23×23×12×12×2＋13×23×12×12＝718，P (X ＝2)＝13×23×12×12＋23×13×12×12＝19，故P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－718－19＝12.故X 的分布列为X 012PE (X )＝0×718＋1×12＋2×19＝18.4. 解：(1)将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中，由分步乘法计数原理知共有44＝256种放法，设事件A 表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2,3,4的三个盒子中，共有34＝81种放法，故所求概率为P (A)＝81256. (2)空盒的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (ξ＝0)＝A 44256＝24256＝332，P (ξ＝1)＝C 24C 34A 33256＝144256＝916，P (ξ＝3)＝C 14256＝4256＝164，P (ξ＝2)＝C 14C 24A 22＋C 24C 22A 22C 24A 22256＝84256＝2164或P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P(ξ＝3)＝2164，所以ξ的分布列为ξ 0123Pξ的均值为E (ξξ)＝0×32＋1×16＋2×64＋3×64＝64.5. 解：(1)由表中数据得K 2＝50×22×12－8×8230×20×30×20＝509≈5.556＞5.024， 根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)，设事件A 为“乙比甲先解答完此道题”则满足的区域为x ＞y ，∴由几何概型的概率计算公式得P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)X 的可能取值为0,1,2，由题可知在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2人，抽取方法有C 28＝28种，其中丙、丁2人没有一个人被抽到有C 26＝15种；恰有一人被抽到有C 12·C 16＝12种；2人都被抽到有C 22＝1种，∴P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128，X 的分布列为∴E (X )＝0×1528＋1×37＋2×28＝2.6. 解：(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝118.(2) ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5，P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－124×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝148，P (ξ＝1)＝C 14×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－123×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－124×23＝18，P (ξ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋C 14×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－123×23＝724， P (ξ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－122×23＝13，P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×23＝316， P (ξ＝5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝124，所以随机变量ξ的分布列为故E (ξ)＝0×48＋1×8＋2×24＋3×3＋4×16＋5×24＝3.。