高考复习三角函数与平面向量(一)课后作业
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质限时规范训练
第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。
平面向量全章习题
《平面向量》学法指导向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。
在本模块的学习中，我们首先将了解向量丰富的数学背景（有向线段）和物理背景（位移、速度、力和做功）。
有向线段具有长度和方向，向量也具有大小和方向，两者的几何特征是完全一致的，因此我们常用有向线段来表示．．一个向量。
向量也是对物理学中的矢量的进一步抽象，因此我们在学习中可以将向量和矢量对照学习，尤其是向量的正交分解、加减、数乘与数量积运算。
向量的运算的学习要从一些实例开始，如从位移的合成引入向量的加法（减法），从速度的倍数引入数乘向量，从“做功”引入向量的数量积。
同时我们要注意充分利用几何图形语言,从图形直观上获得解题的思路甚至直接获得解法。
在学习中我们要注意到利用向量法解决有关几何问题、力学问题和其它一些实际问题，如距离、角度等的计算以及各种空间关系如垂直、平行等的论证，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。
由22a a = 可知，222222121()()a a x y x x y y ==+=-+- ，此即求距离和线段长度的向量法 ；由cos a b a b θ∙=∙∙ （θ为向量,a b 夹角），知θcos =121222221212,x x y y a b a b x x y y +∙=++ 利用这个公式可以求已知方向向量的两条直线的夹角； 求两条直线夹角常见如已知两条直线方程，则可由方程求出方向向量进而求夹角；再如，判断两条直线的位置关系，求直线方程，求符合某些条件的曲线方程等，均可利用向量法进行；另外，由于空间向量是平面的自然推广，由于向量的平移不变性，每两个空间向量均可视为两个平面向量，所以在立体几何中模块中，对向量的应用将更加广泛，对空间垂直、平行关系的判断与证明、对空间角度与距离的求解等利用向量均有很好的解法。
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课时作业
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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。
而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。
高考数学(理)二轮专题练习：三角函数、解三角形、平面向量(含答案)
三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
2023届二轮专练_专题一 三角函数和平面向量_第1讲 三角函数的化简与求值(含答案)
2023届二轮专练_专题一 三角函数和平面向量_第1讲 三角函数的化简与求值一、填空题（共10小题）1. 已知 cosθ=−513，θ 为第二象限角，则 tanθ= ．2. 若 tanα=2，则 sinα+cosαsinα−cosα+cos 2α= ．3. 求值：(tan3∘+1)(tan42∘+1)= ．4. 计算：cos 2π8−sin 2π8= ．5. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 的最小值是 ．6. 已知 sin (x +π6)=14，则 sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)= ．7. 若 tanα=34，则 cos 2α+2sin2α= ．8. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．9. 若将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 ．10. 若 tanα=12，tan (α−β)=−13，则 tan (β−2α)= ．二、解答题（共6小题）11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (x 1,y 1) 在单位圆 O 上，∠xOA =α，且 α∈(π6,π2)．（1）若 cos (α+π3)=−1113，求 x 1 的值；（2）若 B (x 2,y 2) 也是单位圆 O 上的点，且 ∠AOB =π3，过点 A ，B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C ，D ，记 △AOC 的面积为 S 1，△BOD 的面积为 S 2．设 f (α)=S 1+S 2，求函数 f (α) 的最大值．12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 P (x 1,y 1)，将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 π2 后与单位圆交于点 Q (x 2,y 2)，记 f (α)=y 1+y 2．（1）求函数f(α)的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=√2，且a=√2，c=1，求b的值．13. 已知α为锐角，cos(α+π4)=√55.（1）求tan(α+π4)的值；（2）求sin(2α+π3)的值14. 已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是−2，其图象经过点M(π3,1)．（1）求f(x)的解析式；（2）已知α,β∈(0,π2)，且f(α)=85，f(β)=2413，求f(α−β)的值．15. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)−√3sin(2x−π6)．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[−π6,π3]时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值．16. 已知函数f(x)=12sin2x−√3cos2x．（1）求函数f(x)的最小正周期和最小值；（2）将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求g(x)的值域．答案1. −1252. 1653. 24. √225. 1−√2【解析】函数 f (x )=2cos 2x +sin2x 可整理为： f (x )=√2sin(2x +π4)+1 ． 6. 916【解析】sin (5π6−x)+sin 2(π3−x)=sin [π−(x +π6)]+sin [π2−(x +π6)]=sin (x +π6)+cos 2(x +π6)=1916.7. 6425【解析】cos 2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=6425. 8. x =π6,5π6【解析】3sinx =2−2sin 2x ，即 2sin 2x +3sinx −2=0．所以 (2sinx −1)(sinx +2)=0，所以 sinx =12，所以 x =π6,5π6．9. π6 【解析】方法一：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．因为函数 y =2sinx 的图象至少向左平移 π2 个单位长度后可得到关于 y 轴对称的图象，所以 m +π3 的最小值是 π2，故 m 的最小值是 π6． 方法二：函数 y =√3cosx +sinx =2sin (x +π3) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后所得图象的函数解析式为 y =2sin (x +m +π3)．令 x +m +π3=π2+kπ(k ∈Z )，得函数图象的对称轴方程为 x =−m +π6+kπ(k ∈Z )．因为图象关于 y 轴对称，所以令 x =−m +π6+kπ=0，得 m =π6+kπ(k ∈Z )．又因为 m >0，所以 m 的最小值是 π6．10. −17【解析】由题意知tan(β−2α)=tan[(β−α)−α]=tan(β−α)−tanα1+tan(β−α)⋅tanα=13−12 1+13×12=−17.11. （1）126．（2）√34．12. （1）(1,√2]（2）113. （1）因为α∈(0,π2)，所以α+π4∈(π4,3π4)，所以sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=2√55，所以tan(α+π4)=sin(α+π4)cos(α+π4)=2．（2）因为sin(2α+π2)=sin[2(α+π4)]=2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√55×√55=45,cos(2α+π2)=cos[2(α+π4)]=2cos2(α+π4)−1=−35,所以sin(2α+π3)=sin[(2α+π2)−π6]=sin(2α+π2)cosπ6−cos(2α+π2)sinπ6 =45×√32−(−35)×12=4√3+310.14. （1）f(x)=2cosx．（2）12665．15. （1）由题意知，f(x)=sin(2x+π3)+√3cos(2x+π3)=2sin(2x+2π3)，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π．当−π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ,k∈Z时，f(x)单调递增，解得x∈[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[−7π12+kπ,−π12+kπ],k∈Z．（2）因为x∈[−π6,π3 ]，所以π3≤2x+2π3≤4π3．当2x+2π3=π2，即x=−π12时，f(x)取得最大值2；当2x+2π3=4π3，即x=π3时，f(x)取得最小值−√3．16. （1）最小正周期为π，最小值为−2+√32．（2）[1−√32,2−√32]．。
高考数学复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件
), x－∈[30, π].
∴2 3sinx＋π6＝0，即 sinx＋π6＝0， ∵0≤x≤π，∴π6≤x＋π6≤76π， ∴x＋π6＝π，∴x＝56π.
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解答 50/52
(2)记f(x)＝a·b, 求f(x)最大值和最小值以及对应x值.
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解答 51/52
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跟踪演练 2 (1)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD ＝2，A→M＝2M→D.若A→C·B→M＝－3，则A→B·A→D＝__32___.
解析 答案 18/52
(2)如图，已知在△ABC 中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点， 若向量A→M＝14A→B＋mA→C，且A→M的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界)，则 A→M·B→M的取值范围是__(_－__2_,6_)_.
解析 答案 26/52
思维升华 向量和三角函数、解析几何、不等式等知识交汇是高考热点, 处理这 类问题关键是从知识背景出发, 脱去向量外衣, 回归到所要考查知识方 法.
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跟踪演练3 (1)若向量a＝(cos α, sin α), b＝(cos β, sin β), 且|a＋b|≤2a·b,
板块三 专题突破 关键考点
专题一 三角函数与平面向量
第3讲 平面向量
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[考情考向分析]
1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算考查.重点是向 量数量积运算. 2.向量作为工具, 常与三角函数、数列、解析几何等结合, 考查 向量综合利用.解题时要注意解析法和转化思想渗透.
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内容索引
解析 答案 15/52
思维升华 (1)数量积计算通常有三种方法: 数量积定义、坐标运算、数量积几何意 义，尤其要注意向量坐标法利用. (2)求解几何图形中数量积问题，把向量分解转化成已知向量数量积计 算是基本方法，不过假如建立合理平面直角坐标系，把数量积计算转 化成坐标运算，也是一个较为简捷方法.
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案 －2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析 由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)， 则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3， 当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二 平面向量的数量积 核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)． 设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析 由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ， 则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)， 设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233， 设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233， 又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32， 即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32， 所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确． 三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________． 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13， 即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________． 答案 2829解析 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。
黄冈中学高考数学易错题精选(一)三角函数与平面向量
黄冈中学高考数学易错题精选（一）三角函数与平面向量1．在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数x y =的图像有( )个公共点..函数x y sin =的图像和函数tan y x =（ (),x ππ∈-）的图像有( )个公共点.A. 1 ,3B. 1 ,1C. 3, 1D. 3, 32．若方程3sin cos x x a +=在[0,2]π上有两个不同的实数解，的取值范围是则a ( )A. (2,0)(1,2)a ∈-⋃B. (2,2)a ∈-C. (2,1)(1,2)a ∈-⋃D.(2,1)a ∈-3.当20π<<x 时,函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )A.2B.32C.4D.344．已知平面上直线l 的方向向量43(,)55e =-，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是'O 和'A ，则''O A e λ=，其中λ等于( ) A.2 B.-2 C.5 D. 5-5.在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形③对任意||||,CA BA m BC R m ≥-∈恒成立，则ABC ∆的形状为直角三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.②③④6．如图123,,l l l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2 正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是（ ） A ．23B ．463C ．3174D ．22137．设O 为△ABC 所在平面内一点，已知222222||||||||||||OA BC OB AC OC AB +=+=+， 、则点O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心8．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （ ）． A .(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ>D.(sin )(cos )f f αβ<9．.若22sin sin =+βα,则βαcos cos +的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22C ．[]2,2-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-214,21410.如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆的三个内角的正弦值,则( ) A.111C B A ∆ 与222C B A ∆都为锐角三角形. B. 111C B A ∆ 222C B A ∆与都为钝角三角形. C.111C B A ∆ 为钝角三角形, 222C B A ∆为锐角三角形. D. 111C B A ∆ 为锐角三角形, 222C B A ∆为钝角三角形.11．某时钟的秒针端点A 到中点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ．其中[0,60]t ∈12．若平面向量a ，b 满足||1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ． 13．已知向量a =(1,2)-,b (1,)λ=(R λ∈），则使a 与b 的夹角为锐角的λ的范围为 ． 14．设点A （1，0），B （0，1），O 为坐标原点，点P 在线段AB 上移动，AP AB λ=，若OP AB PA PB ≥，则实数λ的取值范围是 ．15．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为 ．16．点O 在ABC ∆内部且满足220OA OB OC ++=，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是 ．17.在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________。
小题专练03-2023届高考数学一轮复习新高考版
小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:正弦定理,★)已知在△ABC 中,A=30°,a=7,则a+b+csinA+sinB+sinC =( ). A .16B .15C .14D .132.(考点:两向量垂直的性质,★)已知a=(2,-1),b=(1,λ),若(3a-2b )⊥b ,则实数λ的值为( ). A .-3+√414或-3-√414B .-3-√414C .-3+√414D .23.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时,实数t=( ). A .15B .12C .910D .14.(考点:三角恒等变换,★★)已知cos (π10-α)=25,则cos (9π5+2α)的值为( ). A .19 B .1725 C .-19 D .-17255.(考点:三角函数的图象与性质,★★)将函数f (x )=sin (2x -π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g (x )的图象,且g (-x )=g (x ),则φ的一个可能值为( ). A .π6B .π4C .π3D .π126.(考点:平面向量的数量积,★★)已知在△ABC 中,AB=3,AC=1,∠BAC=30°,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .14-3√38B .3√38C .2D .17.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=cos (2x -π6)-2√3sin (x +π4)cos x+π4,x ∈R,给出下列四个结论:①函数f (x )的最小正周期为4π; ②函数f (x )的最大值为1; ③函数f (x )在[-π4,π4]上单调递增;④将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度,所得图象对应的函数解析式为g (x )=sin 2x.其中正确结论的个数是( ).A .1B .2C .3D .48.(考点:解三角形的实际应用,★★★)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为30°,沿点A 向北偏东60°方向前进10 m 到达点B ,在点B 处测得水柱顶端的仰角为45°,则水柱的高度是( ). A .5 mB .10 mC .10 m 或5 mD .15 m二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ).A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= .15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin 2α+cos 2α=-1+tan 2αtan 2α+1=-1+1616+1=1517.【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32. 【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4. 【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54C .32D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3,故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象.故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4), 当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4),画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误. 故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC,则△ABC 一定是等边三角形C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD .【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152. 【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= .【解析】由题意得sin α=√1-cos 2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365; 当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365. 综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36 =-8. 【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6), 所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z,即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。
三角函数与平面向量专项训练答案
专项训练之 三角函数与平面向量1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.322．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值为________．3．若3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是________． 4．(2014·江西九校联考)记a ＝sin(cos 2 010°)，b ＝sin(sin 2 010°)，c ＝cos(sin 2 010°)，d ＝cos(cos 2 010°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是________．[自主解答] 1.由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上，且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝－8m (－8m )2＋9＝－45，所以m ＝12.2．由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝15，tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.3．∵3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝13.∴cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋⎝⎛⎭⎫132＝ 43 109＝65. 4．注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－12，cos 2 010°＝－cos 30°＝－32，∵－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，∴cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝⎛⎭⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝⎛⎭⎫－12＝cos 12>d ＝cos ⎝⎛⎭⎫－32＝cos 32>0，故a 、b 、c 、d 中最大的是c .[答案] 1.C 2.－1 3.65 4.c5．(2014·济南模拟)函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x 的图象大致是( )A B C D6.已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ，ω，φ是常数，M >0，ω>0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．－1或27．(2014·湖州模拟)将函数y ＝3sin(3x ＋θ)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度得到图象G ，若图象G 关于直线x ＝π4对称，则θ的值可能是( )A ．－2π3 B.2π3 C.π4 D.5π68．(2014·成都模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )、g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6[自主解答] 1.因为f (－x )＝12x 2sin(－x )－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝12x 2sin x ＋x cos x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，又当0<x <π2时，f (x )>0，所以选A.2．由图可知M ＝2.因为A ，B 两点分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，设A (x 1,2)，B (x 2，－2)，因为|AB |＝5，所以(x 2－x 1)2＋(－2－2)2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.因为A ，B 两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即T 2＝3，T ＝6，所以2πω＝6，解得ω＝π3.因为f (0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝12.因为0≤φ≤π，所以φ＝π6或φ＝5π6.结合图象，经检验，φ＝π6不合题意，舍去，故φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6.故f (－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2.3．因为函数y ＝3sin(3x ＋θ)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度得G 的图象，所以图象G 的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π6＋θ－1＝3sin3x －π2＋θ－1＝－3sin ⎣⎡⎦⎤π2－(3x ＋θ)－1＝－3cos(3x ＋θ)－1，因为图象G 关于直线x ＝π4对称，则3cos3×π4＋θ＝±3，所以θ＋3π4＝k π，k ∈Z ，即θ＝k π－3π4，结合选项可知k＝1时选项C 正确，故选C.4．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]．因为f (x )、g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，所以⎩⎨⎧sin θ＝32，sin (θ－2φ)＝32.因为－π2<θ<π2，φ>0，所以θ的值是π3，φ的值可以是5π6.选B.[答案] 1.A 2.C 3.C 4.B9．(2014·江西师大附中模拟)若f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫t ＋π4＝f (－t )，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－1，则实数m 的值等于( )A ．±1B ．－1或3C ．±3D ．－3或110．(2014·吉林模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与x ＝π2，则( )A ．f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递增函数B ．f (x )的最小正周期为2π，且在(0，π)上为单调递减函数C ．f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为单调递增函数D ．f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为单调递减函数11．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，74C.⎣⎡⎦⎤34，94D.⎣⎡⎦⎤32，74 12．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值分别为________，________.[自主解答] 1.对任意实数t ，都有f ⎝⎛⎭⎫t ＋π4＝f (－t )，则函数f (x )的图象关于x ＝t ＋π4＋(－t )2＝π8对称，所以cos ⎝⎛⎭⎫ω·π8＋φ＝±1，即f ⎝⎛⎭⎫π8＝±2＋m ＝－1⇒m ＝－3或1. 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π3，因相邻的两条对称轴方程为x ＝0与x ＝π2，所以函数的最小正周期为T ＝2πω＝π，即ω＝2，则原函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3，那么f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋2π3，则φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (0)＝－2<f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为单调增函数．3．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，由－π＋2k π≤ωπ2＋π4，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z 解得4k －52≤ω≤2k －14，又4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0且2k －14>0，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74. 4．f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x －cos 2x .由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，得⎝⎛⎭⎫－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24，可得2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. [答案] 1.D 2.C 3.D 4.2 213.关于函数y ＝sin|2x |＋|sin 2x |，下列说法正确的是( )A ．是周期函数，周期为πB ．关于直线x ＝π4对称C ．在⎣⎡⎦⎤－π3，7π6上最大值为3D ．在⎣⎡⎦⎤－π2，－π4上是单调递增的 14.(2014·开封模拟)已知方程|sin x |x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列结论正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos 2α＝2αsin 2αC ．sin 2β＝2βcos 2βD ．cos 2β＝2βsin 2β15.(2014·淄博模拟)给定方程⎝⎛⎭⎫12x＋sin x －1＝0，现有四个命题：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有有限个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1.其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) [师生共研] (1)由题意，函数的图象如下图所示：由图象可知，此函数不是周期函数，关于x ＝0对称，在⎣⎡⎦⎤－π3，7π6上最大值为2，在⎣⎡⎦⎤－π2，－π4上是单调递增的．(2)由于方程|sin x |x＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，即方程kx ＝|sin x |在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，也就是说，直线y ＝kx 与函数f (x )＝|sin x |在y 轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当π≤x ≤2π时，直线y ＝kx 与曲线f (x )＝|sin x |相切，且切点的横坐标为β，当x ∈[π，2π]时，f (x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，故k ＝f ′(β)＝－cos β，在切点处有kβ＝f (β)＝－sin β，即－sin β＝－βcos β，∴sin β＝βcos β，两边同时乘以2cos β得，sin 2β＝2βcos 2β，故选C.(3)由⎝⎛⎭⎫12x ＋sin x －1＝0，得sin x ＝1－⎝⎛⎭⎫12x ，令f (x )＝sin x ，g (x )＝1－⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系中画出两函数的图象如图，由图象知：①错，③、④对，而由于g (x )＝1－⎝⎛⎭⎫12x递增，小于1，且以直线y ＝1为渐近线，f (x )＝sin x 在－1到1之间振荡，故在区间(0，＋∞)上，两者的图象有无穷多个交点，所以②错．[答案] (1)D (2)C (3)③④16．在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数满足cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．解析：方程cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，即2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝k ＋1，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝k ＋12.由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可得2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，根据方程在上述区间内有两个解，可得12≤k ＋12<1，即得0≤k <1. 答案：[0,1)17．方程1x －1＝2sin πx 在区间[－2 012,2 014]上所有根之和等于________．解析：画出函数f (x )＝1x －1与g (x )＝2sin πx 的图象如图所示，则函数f (x )＝1x －1的图象关于点(1,0)中心对称，点(1,0)恰好是区间[－2 012,2 014]的中心．g (x )＝2sin πx 是以2为周期的周期函数，同时也关于点(1,0)中心对称．由图象可知，在区间中点(1,0)两侧两图象在函数g (x )＝2sin πx 的每个周期内都有两个交点，左右共4 024个交点，且点(1,0)左右各2 012个．又距离中心点(1,0)等距离的点的横坐标和均为2，故所有根的和为4 0242×2＝4 024.答案：4 02418.若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100 19.(2014·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减． 其中真命题的是________(写出所有真命题的序号)．[师生共研] (1)∵函数f (x )＝sin πx7的最小正周期为T ＝14，又sin π7>0，sin 2π7>0，…，sin 6π7>0，sin 7π7＝0，sin 8π7<0，…，sin 13π7<0，sin 14π7＝0.∴在S 1，S 2，S 3，…，S 13，S 14中，只有S 13＝S 14＝0，其余均大于0.由周期性可知，在S 1，S 2，…，S 100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数．(3)①因为函数f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x sin x 是偶函数；②因为f (x ＋2π)＝(x ＋2π)sin(x ＋2π)＝(x ＋2π)sin x ＝x sin x ＋2πsin x ≠f (x )，所以函数f (x )的最小正周期不是2π；③f (π＋x )＝(π＋x )sin(π＋x )＝－(π＋x )sin x ，而－f (π－x )＝－(π－x )·sin(π－x )＝－(π－x )sin x ，两者不恒等，所以(π，0)不是函数f (x )＝x sin x 的对称中心；④求导可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，当函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上时，导数f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0，所以函数f (x )＝x sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，当函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上时，导数f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≤0，所以函数f (x )＝x sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减．[答案] (1)C (3)①④20．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ．项数为35的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 35)＝0，则当f (a n )＝0时，n 的值为( )A ．17B ．18C ．19D ．20解析：选B 函数f (x )＝sin x ＋tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，显然又为奇函数，故函数图象关于原点对称，因为{a n }是等差数列，所以a 1＋a 35＝a 2＋a 34＝…＝2a 18，设a 1<a 2<…<a 35，故f (a 1)<f (a 2)<…<f (a 18)<f (a 19)<f (a 20)<…<f (a 35)，所以f (a 1)＝－f (a 35)，f (a 2)＝－f (a 34)，…，f (a 18)＝－f (a 18)，所以f (a 1)＋f (a 35)＝f (a 2)＋f (a 34)＝…＝f (a 18)＝0，所以当n ＝18时，f (a n )＝0.21．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时＝0，则ω＝( )A.π4B.π3C.π2D ．8 解析：选A 点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时＝0，此时PM ⊥PN ，∴△PMN 是等腰直角三角形，由题意可知PQ ＝2， ∴MQ ＝QN ＝PQ ＝2， ∵T ＝2MN ＝4PQ ＝8，故ω＝2πT ＝π4.22．已知函数f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.若不等式f (x )－m <2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，即1＋2sin⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[2,3]， ∴f (x )max ＝3，不等式f (x )－m <2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立等价于m >f (x )max －2，即m 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)23．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)＝( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32解析：选C f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32.24．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝( ) A ．－63 B ．－66 C.66 D.63解析：选B sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－532＝－23.由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，cos α2＝－cos α＋12＝－－23＋12＝－66，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.25．(2014·青岛模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：选D 由图象可知A ＝1，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以2πω＝T ＝π，ω＝2，将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，其图象对称轴方程为2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π6，得f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝sin 2π3＝32. 26．(2014·江西师大附中模拟)为了得到函数y ＝3sin2x －π6的图象，只需把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6上的所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变解析：选B 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6中的x 变为2x ，即得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，选B.5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3ω－π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－π3＝2sin ωx ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，ωx ∈⎣⎡⎦⎤0，ωπ4，要使y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，需满足ωπ4≤π2，即ω≤2，故ω的最大值为2. 27．(2014·德阳模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )A ．f (sin α)>f (cos β)B ．f (sin α)<f (cos β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (cos α)>f (cos β) 解析：选B 因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，又f (2－x )＝f (x )，所以f (x ＋2)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )，可见函数以2为周期，因为f (x )在[－3，－2]上是减函数，所以f (x )在[－1,0]上单调递减，故f (x )在[0,1]上单调递增，因为α，β是钝角三角形的两个锐角，所以α＋β<π2，α<π2－β，则0<sin α<sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos β<1，故f (sin α)<f (cos β)，选B.28．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－1B ．f ⎝⎛⎭⎫7π10>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f (x )是奇函数 D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )解析：选D ∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z .∵f ⎝⎛⎭⎫π2<f (π)，sin(π＋φ)＝－sin φ<sin(2π＋φ)＝sin φ，sin φ>0. ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .不妨取φ＝π6，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin 2π＝0，∴A 错；∵f ⎝⎛⎭⎫7π10＝sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30<0，f ⎝⎛⎭⎫π5＝sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝sin 17π30>0，∴B 错； ∵f (－x )≠－f (x )，∴C 错；∵2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴D 对．29．已知函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于( )A ．－cos αB ．－sin αC ．－tan αD ．tan α解析：选D 数形结合可知，函数f (x )＝|sin x |的图象与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点时，必在⎝⎛⎭⎫π，3π2内相切，且其切点为(α，－sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2.∵当x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，f (x )＝－sin x ，f ′(x )＝－cos x ，∴k ＝－sin αα＝－cos α，即α＝tan α.30．已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5―→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋si n 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5―→|＝2π.31．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R A >0，ω>0,0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最小值点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，函数f (x )的最大值与最小值的和为( ) A ．1＋ 3 B ．2 C ．－1＋ 3 D.32解析：选A 由最小值点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2，即φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴1≤f (x )≤3，∴f (x )的最大值与最小值的和为1＋ 3. 32．已知复数z ＝(cos α－sin α)＋(tan α)i 在复平面内对应的点在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是________．解析：由复数z ＝(cos α－sin α)＋(tan α)i 在复平面内对应的点在第一象限可得cos α>sin α，tan α>0，当α为第一象限角时，由cos α>sin α，tan α>0可得0<α<π4，当α为第三象限角时，由cos α>sin α，tan α>0可得5π4<α<3π2.综上，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π233.已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫π3，12，所以sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ<π，解得φ＝π6. 答案：π634．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．解析：如图x ＝3，x ＝6是y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴， ∴周期T ＝6，∴单调递增区间为[6k,6k ＋3]，k ∈Z . 答案：[6k,6k ＋3]，k ∈Z35.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且A ，B 两点间距离为25，则ω、φ的值分别是________．解析：因为y ＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，又0＜φ＜π，所以φ＝π2.设函数的周期为T ，由图可知⎝⎛⎭⎫T 42＋12＝(5)2，所以T ＝8，于是T ＝2πω＝8，得ω＝π4.答案：π4，π236．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1在区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )上至少含有30个零点，则在所有满足上述条件的[a ，b ]中，b －a 的最小值为________．解析：由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝0得sin2x ＋π3＝－12，故x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即f (x )的相邻零点间隔依次为π3和2π3，故若y ＝f (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.答案：43π337．(2014·池州模拟)已知函数f (x )＝cos x ·sin x ，给出下列五个说法：①f ⎝⎛⎭⎫1 921π12＝14；②若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增；④将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位可得到y ＝12cos 2x 的图象；⑤f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称．其中正确说法的序号是________．解析：f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ，f ⎝⎛⎭⎫1 921π12＝f ⎝⎛⎭⎫π12＝12sin π6＝14，①正确；由f (x 1)＝－f (x 2)＝f (－x 2)，知x 1＝－x 2＋k π或x 1＝π2＋x 2＋k π(k ∈Z )，②错误；令－π2＋2k π≤2x ≤－π2＋2k π，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，由复合函数性质知f (x )在每一个闭区间⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )上单调递增，但⎣⎡⎦⎤－π6，π3⊄⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上不是单调函数，③错误；将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位可得到y ＝12sin2x －3π4＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2＝12cos 2x ，④正确；函数的对称中心的横坐标满足2x 0＝k π，解得x 0＝k π2，即对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，则点⎝⎛⎭⎫－π4，0不是其对称中心，⑤错误．答案：①④38．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( )A ．－255 B.3510 C ．－3510 D.25539．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－1240．若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________．[自主解答] 1.由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.2．由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22. 3．∵cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝5314.∵sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，∴cos(α－2β)＝17.∴cos(α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.∵π4<α＋β <3π4，∴α＋β＝π3.[答案] 1.A 2.B 3.π341.(2014·洛阳模拟)在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AB ＝22，AD ＝5，AC ＝4，∠C ＝30°，∠BAC >∠B ，则BD ＝( )A ．2或4B ．1或3C ．3或2D ．4或142．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形43.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．[自主解答] 1.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝AC ·sin C AB ＝22，所以∠B ＝45°或∠B ＝135°，又∠BAC >∠B ，所以∠B ＝45°.因为AD ＝5，则在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 45°，即5＝8＋BD 2－2×22BD ×cos 45°，解得BD ＝1或BD ＝3.2．依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形．3．由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.[答案] 1.B 2.C 3.344．已知△ABC 的内角A ，C 满足sin Csin A ＝cos(A ＋C )，则tan C 的最大值为( )A. 2B.24C.22D.33解析：选B 因为sin Csin A＝cos(A ＋C )，所以sin C ＝sin A cos(A ＋C )，即sin [(A ＋C )－A ]＝sin A cos(A ＋C )，整理得sin(A ＋C )cos A ＝2sin A ·cos(A ＋C )，得tan(A ＋C )＝2tan A ，因为sin Csin A＝cos(A ＋C )>0，所以A 为锐角，则tanA >0，又tan C ＝tan [(A ＋C )－A ]＝tan (A ＋C )－tan A 1＋tan (A ＋C )tan A ＝tan A 1＋2tan 2A ＝11tan A ＋2tan A ≤121tan A·2tan A ＝24，当且仅当1tan A ＝2tan A 时等号成立，所以tan C 的最大值为24. 45．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 满足b 2＋c 2－a 2＝bc ， >0，a ＝32，则b＋c 的取值范围是________．解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得A ＝π3，所以2R ＝a sin A ＝1， >0得B 为钝角，故A ＋C <π2，0<C <π6，由正弦定理可知：b ＋c ＝2R ·sin B ＋2R ·sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C ＋sin C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6，因为0<C <π6，所以b ＋c ∈⎝⎛⎭⎫32，32. 答案：⎝⎛⎭⎫32，3246.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63 D.66[师生共研] (1)设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3，在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13，则sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理，得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66.47.(2014·武汉模拟)在锐角三角形ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于________；AC 的取值范围为________．(3)∵B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，即BC sin A ＝AC 2sin A cos A ，所以ACcos A＝2BC ＝2，△ABC 为锐角三角形，则0<A <π2，且0<B <π2，即0<2A <π2，则有0<A <π4，且有A ＋B ＝3A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π6<A <π3，故有π6<A <π4，∴22<cos A <32，所以2<2cos A <3，即2<AC <3，故AC 的取值范围为(2，3)．[答案] (1)A (2)B (3)2 (2，3) 48．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为( )A.615 B ．5 C.562D ．56解析：选C 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562.49.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离20 2 海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485 海里/小时．答案：48550．(2014·安溪模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.45解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝453，可得32cos α＋sin α·12＋sin α＝435，即cos α·32＋sin α·32＝435，即3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45.由诱导公式可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－45.故选C.51．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称解析：选C 由题意知，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－sin2x ＋π4＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2cos2x ＋π4＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，由于y ＝sin 2x 在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称．52．在△ABC 中，cos(2B ＋C )＋2sin A sin B <0，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 解析：选B 由三角形内角和定理，得B ＋C ＝π－A ，于是cos(2B ＋C )＋2sin A sin B ＝cos(B ＋π－A )＋2sin A sin B ＝－cos(A －B )＋2sin A sin B ＝－cos A cos B －sin A sin B ＋2sin A sin B ＝－cos(A ＋B )＝cos C <0，故C 为钝角．显然，△ABC 为钝角三角形．53．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a ，可得c ＝73b ，然后结合余弦定理，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.54．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2 A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝7，c ＝6，cos A ＝15，所以49＝b 2＋36－125b ，即(b －5)(5b ＋13)＝0，又b >0，所以b ＝5.55．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，若＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝( ) A ．－59 B ．－95C ．2D ．3解析：选B 由＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，得＝(cos α－3)·cosα＋sin α·(sin α－3)＝－1，故sin α＋cos α＝23，所以2sin αcos α＝－59，1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α＝12sin αcos α＝－95.56．(2014·威海模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，b ＋c ＝4，则△ABC面积的最大值为( ) A.12 B.32C ．1 D.3解析：选D 由正弦定理可得1＋tan A tan B ＝2c b ＝2sin C sin B ，即1＋sin A cos B sin B cos A ＝2sin Csin B，整理得sin B cos A ＋sin A cosB ＝2sinC cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ．又A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，故由上式可得，cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12sin π3·⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝12×32×4＝3，故选D.57．(2014·石家庄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( ) A ．1 B. 2 C ．3 D.3解析：选D ∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0<C <π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴32<3sin⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3. 58．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( )A ．15海里/时B ．5海里/时C ．10海里/时D ．20海里/时 解析：选C 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是10海里/时．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝mc 2(m 为常数)，若tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，则m 的值为( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：选A 由tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，得sin C cos C ·sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝2sin A sin Bcos A cos B，即sin C cos C ·sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin C cos C ·sin C cos A cos B ＝2sin A sin Bcos A cos B， 所以sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，因此cos C ＝sin 2C 2sin A sin B ，综合运用正弦、余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，所以a2＋b 2＝2c 2，故m ＝2. 59．(2014·温州八校联考)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.解析：由f (x )＝sin x ＋2cos x 可得f (x )＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，当x ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时函数f (x )取得最大值，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＋2k π＝sin φ＝255.答案：25560.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析：由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a ＝2b 时取等号，所以cos C 的最小值是6－24.答案：6－2461．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，则B ＝________.解析：由cos(A －C )＋cos B ＝32及B ＝π－(A ＋C )，得cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，即cos A cos C ＋sin A sin C－(cos A cos C －sin A ·sin C )＝32，所以sin A sin C ＝34.又由b 2＝ac ，利用正弦定理进行边角互化，得sin 2B ＝sin A sinC ，故sin 2B ＝34.所以sin B ＝32或sin B ＝－32(舍去)，所以B ＝π3或2π3，又由b 2＝ac 知b ≤a 或b ≤c ，所以B ＝π3.答案：π362.如图所示，点B 在以P A 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知P A ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B 在以P A 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝π2，所以cos α＝PB PA ＝35，sin α＝45，即tan α＝43，因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，即tan(α－β)＝17，所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝1，又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.答案：π463．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①b a cos C <1－ca cos B ； ②△ABC 的面积为S △ABC ＝12③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1；⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.解析：对于①，注意到当△ABC 是正三角形时，b a cos C ＝12＝1－cacos B ，因此①不正确；对于②，注意到当A ＝π2时，tan A 不存在，此时结论显然不成立，因此②不正确；对于③，注意到当A ＝30°，C ＝60°时，A ＋C＝B ＝90°，此时有a cos A ＝c cos C 成立，但△ABC 不是等腰三角形，因此③不正确；对于④，由△ABC 是钝角三角形，A 是最大内角得A 是钝角，即90°<A <180°，135°<A ＋45°<225°，sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)∈(－1,1)；反过来，由－1<sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)<1得－22<sin(A ＋45°)<22，135°<A ＋45°<225°，又A 是最大的内角，因此60°≤A <180°，135°<A ＋45°<225°，所以90°<A <180°，由此可知④正确；对于⑤，依题意得a sin A ＝bsin B，b sin B ＝3sin π3＝2，b ＝2sin B 的最大值是2当B ＝π2时取得最大值，因此⑤正确．综上所述，其中正确命题的序号是④⑤.答案：④⑤ 64．△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且 则 的值为( )A ．－15 B.15 C ．－65 D.6565．(2014·赣州模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB上任一点P ，恒有，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC66．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析：选B 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，则(a－c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y)(1－y )＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1.又a ＋b －c ＝(1－x,1－y )，∴|a ＋b －c |＝ (1－x )2＋(1－y )2 ＝(x －1)2＋(y －1)2.①法一：如图，c ＝(x ，y )对应点在AB 上，而①式的几何意义为点P 到AB 上点的距离，其最大值为1.法二：|a ＋b －c |＝ (x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝3＋2(－x －y )＝3－2(x ＋y )，由x ＋y ≥1，∴|a ＋b －c |≤3－2＝1，最大值为1. 67．已知向量α、β、γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一确定的β，|γ|的最大值和最小值分别是m 、n ，则对任意的β，m －n 的最小值是( )A ．－12 B.12C ．1D ．2解析：选B 如图，令点A 在单位圆O 上，则OA ―→＝α，设OB ―→＝β，OC ―→＝γ，易知α·β＝12，则点B 是AO 的垂直平分线BD 上的动点，且有AC ⊥BC ，所以点C 实际上是以AB 为直径的圆上的动点，则m －n 的最小值就是直径AB 的最小值，又|α－β|＝|β|，所以直径AB 的最小值就是|β|的最小值，则当点B 与点D重合时，|β|取得最小值，且为12.68．已知P 为△ABC 所在的平面上的一点，且，其中t 为实数，若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，14B.⎝⎛⎭⎫0，13C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫0，23 7．在△ABC中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°，则＝( )A ．－33 B ．－29 C ．－13 D ．－8969．(2014·宿州模拟)如图，已知圆M ：(x －4)2＋(y －4)2＝4，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，的取值范围是( ) A ．[－82，8 2 ] B ．[－8,8] C ．[－4,4] D ．[－42，4 2 ]解析：选B 因为圆的半径为2，所以正方形的边长为，70．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以，sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.71.(2014·潍坊模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋π4(A >0，ω>0)的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为π3.(1)若f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝65，0<α<π，求sin α；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位得到y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，1136π上有零点，求实数k 的取值范围．[师生共研] (1)由题知A ＝2，T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，又f ⎝⎛⎭⎫23α＋π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫23α＋π12＋π4＝2sin2α＋π2＝2cos 2α＝65， ∴cos 2α＝35，∴sin 2α＝1－cos 2α2＝15，又∵0<α<π，∴sin α＝55.(2)由题知g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝2sin3x －π4，则函数y ＝g (x )－k ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4－k ， ∵0≤x ≤11π36，∴－π4≤3x －π4≤2π3，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4≤2.∵y ＝g (x )－k 在⎣⎡⎦⎤0，11π36上有零点，∴y ＝g (x )与y ＝k 的图象在⎣⎡⎦⎤0，11π36上有交点， ∴实数k 的取值范围是[－2，2]．72．已知函数f (x )＝3sin ωx 2cos ωx 2＋3sin π6cos ωx 的最小正周期为4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象上的所有的点向右平移23个单位长度得到函数g (x )的图象，点P 、Q 分别为函数g (x )图。
高考数学一轮复习 专题二 三角函数与平面向量课时作业
专题二 三角函数与平面向量1．(2016年山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π62．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a ×b 为a 与b 的“向量积”，且a ×b 是一个向量，它的长度|a ×b |＝|a ||b |sin θ.若u ＝(2,0)，u －v ＝(1，－3)，则|u ×(u ＋v )|＝( )A ．4 3 B. 3 C ．6 D ．2 3 3．(2017年广东揭阳二模)中国古代数学家赵爽设计的弦图[图Z21(1)]是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图Z21(2)所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图Z21(2)中菱形的一个锐角的正弦值为( )(1) (2)图Z21A.2425B.35C.45D.7254．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为________．5．如图Z22，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．图Z226．(2015年新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是__________．7．(2017年广东广州一模)在△ABC 中， ∠ACB ＝60°，BC >1，AC ＝AB ＋12，当△ABC 的周长最短时，BC 的长是__________．8．(2016年山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．9．(2017年江西南昌二模)已知函数f (x )＝2sin x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)锐角三角形ABC 的角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于点D ，直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，AD ＝2BD ＝2，求边a .10．(2015年安徽)在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝3 2，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．专题二 三角函数与平面向量1．C 解析：因为b ＝c ，所以由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ＝2b 2(1－cos A )．又因为a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ．因为cos A ≠0，所以tan A ＝1.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.故选C.2．D 解析：由题意得v ＝u －(u －v )＝(1，3)，则u ＋v ＝(3，3)，cos 〈u ，u ＋v 〉＝32，则sin 〈u ，u ＋v 〉＝12.由定义知，|u ×(u ＋v )|＝|u ||u ＋v |sin 〈u ，u ＋v 〉＝2×2 3×12＝2 3.故选D.3．A 解析：设围成弦图的直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，c >a >b ，依题意，得c＝10，a 2＋b 2＝100，(a －b )2＝4，解得a ＝8，b ＝6.设小边b 所对的角为θ，则sin θ＝610＝35，cos θ＝45，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425. 4.2＋1 解析：方法一，∵a ，b 是单位向量， ∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴a ⊥b .∴|a ＋b |＝ 2.∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0.∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．∴c 2＋1＝2 2|c |cos θ≤2 2|c |.∴c 2－2 2|c |＋1≤0.图D111∴2－1≤|c |≤2＋1. ∴|c |的最大值为2＋1.方法二，建立如图D111所示的平面直角坐标系，由题意，知a ⊥b ，且a 与b 是单位向量，∴可设OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)，OC →＝c ＝(x ，y )．∴c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即点C (x ，y )的轨迹是以M (1,1)为圆心，1为半径的圆．又∵|c |＝x 2＋y 2，∴|c |的最大值为|OM |＋1， 即|c |max ＝2＋1.5．1 1 解析：方法一，如图D112，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]．则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)．所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1. 故DE →·DC →的最大值为1.方法二，由图D112知，无论点E 在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1， ∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1.当E 运动到点B 时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.图D1126．(6－2，6＋2) 解析：如图D113，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理，可得BC sin ∠E ＝BE sin ∠BCE ，即2sin 30°＝BEsi n 75°，解得BE ＝6＋2；平移AD ，当D 与C重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B ＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理，知BF sin ∠FCB ＝BC sin ∠BFC ，即BF sin 30°＝2sin 75°，解得BF ＝6－2，所以AB的取值范围为(6－2，6＋2)．图D1137．1＋22 解析：设边AB ，BC ，AC 所对边分别为c ，a ，b ，依题意，有b ＝c ＋12，a >1，C ＝60°，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋122－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12.化简，得c ＝a 2－12a ＋14a －1.而△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝a ＋2c ＋12＝a ＋2a 2－a ＋12a －1＋12＝6a 2－3a2a －1.令t ＝a －1，则△ABC 的周长为6t ＋12－3t ＋12t ＝3t ＋32t ＋92≥292＋92， 当3t ＝32t ，即t ＝22，a ＝22＋1时，△ABC 的周长最短．8．(1)证明：由题意知，2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A ＋sin B cos A cos B.化简，得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B . 因为2sin(A ＋B )＝2sin(π－C )＝2sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝2sin C . 由正弦定理，得a ＋b ＝2c .(2)解：由(1)知，c ＝a ＋b2，所以 cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b －14≥12. 当且仅当a ＝b 时，等号成立．故cos C 的最小值为12.9．解：(1)因为f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x－12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)直线x ＝A 是函数f (x )图象的一条对称轴，则2A －π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒A ＝k π2＋π3，k ∈Z .由0<A <π2，得到A ＝π3.所以∠BAD ＝π6.由正弦定理，得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22.所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝512π，∠CDA ＝π－π6－5π12＝5π12.所以AC ＝AD ＝2，DC ＝2AD ·cos 5π12＝6－ 2.所以a ＝BD ＋DC ＝ 6.10．解：如图D114，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得图D114a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(3 2)2＋62－2×3 2×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90.所以a ＝310 .又由正弦定理，得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010. 由题设，知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝310 10.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD. 所以∠ADB＝π－2B.故由正弦定理，得AD＝AB·sin Bsinπ－2B ＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10 .。
2019版高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量课时作业理.docx
5. 如图Z22,己知正方形ABCD 的边长为1,点〃是AB 边上的动点，则•的值为_______ ; •的最大值为 ________ 6. (2015年新课标I )在平面四边形初G?中，ZA=AB=AC=lb° , BC=2,则初的取值范围是7. (2017年广东广州一模)在△/!仇冲，ZACB=60° , BOX, AC=AB+^,当△宓的周长最短时，％的长是 ___________ ・8. (2016年山东)在△力氏中，角儿B, C 的对边分别为臼，b, c,已知2(t8n/+tdnQ tan A tan B I cos B cos A(1) 证明：a+b=2c ；(2) 求cos C 的最小值.专题二 三角函数与平面向量 1. (2016年山东)在中， — sin A),则 A=( ) 3 n ji JI JI A.〒 B- C.y Dp 2. 已知向量曰与b 的夹角为 量,它的长度\aXb\ = \a\ |Z>|sin () 角儿B, C 的对边分别是臼，b, c,已知b=c ，扌=2〃(1 o,定义aXb 为日与6的“向量积”，且aXb 是一个向 0.若"=(2,0), u — v= (1, 一萌)，贝01 uX (w+ v) | = A. 4 ^3 B.A /3 C. 6 D. 2 托 3. (2017年广东揭阳二模)中国古代数学家赵爽设计的弦图［图Z21(l)］是由四个全等的 直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图Z21(2)所示的菱形，已知弦图屮，大 正方形的面积为100,小正方形的面积为4,则图Z21(2)中菱形的一个锐角的正眩值为() A ・H 4.已知 3 B ，5方是单位向量，a ・4=0.若向量c 满足| c —a —b\=\1贝的最大值为 4 C •二 □ a 7 D •亦 CB图Z22⑴求函数fd ）的单调递增区间;（2）锐角三角形血农的角〃，B, Q 所对边分别是日，b, c,角/的平分线交滋于点〃, 直线x=A 是函数代方图象的一条对称轴，AD=£B D=2,求边自.10. （2015年安徽）在屮，昇=牛，初=6, 心3乜，点D 在边上,AD=BD, 求血的长. 专题二三角函数与平面向量1. C 解析：因为b=c,所以由余弦定理，得—2力QCOS M=2Z?2—2/Jcos A = 2Z/（1—cos A ）.又因为 /=2〃（1 —sin A ）,所以 cos /=sin A.因为 cos 力HO,所以tan A = 1.因为（0,兀）,所以A = .故选C.2. D 解析：由题意得 v=u~ ^u —v ） = （1,羽），则 u+ v= （3,寸^）, cos 〈〃，u+ v ） r ]= 2~^ 则 sin 〈“，u+ v ） =9.由定义知，| “X （〃+p ） | = | "| | “+讥 sin 〈"，u+ v ） =2X2 羽X*=2 故选 D.3. A 解析：设围成弦图的直角三角形的三边长分别为白，b, c, c>a>b,依题意，得c 6= 10,才+方2=]00,（日_方）2=4,解得日=8,方=6.设小边Z?所对的角为0,则sin ^=— 3 n 4 °C 介八 24 =~, cos 0 == sin 2 〃=2sin "cos 0 =— t ） *3 24. ^2 + 1解析：方法一，Va, b 是单位向量， I a| = I Z>| = 1.又 a •方=0, .\a±b. /. I a+b\ =y[2..:I c~a~b\"=c ~2c ・（a+b ） +2a •方+a + F=l. ・*. c~—2c • （a+A ） +1=0..*.2c •（曰+方）=c + \.c" +1 = 2 I cI I a+A| cos 6 { 0 是 c 与 a+ b 的夹角）.c' +1 = 2 1 c I cos 迈 |c|.c — 2 ^21 c\ +1W0.・・£ — lW|c| W 辺+1.9. （2017年江西南昌二模）已知函数A%） =2si\ c \的最大值为yf^ + L方法二，建立如图Dill所示的平面直角坐标系，由题意，知a丄氏且曰与b是单位向量，二可设OA=a= (1,0), OB=b= (0, 1), OC=c= (%, y)・c~a—b= (^r—1, y—1).•: \ c-a-b\=l, :. (x-l)2+(y-l)2=l.即点Cd, y)的轨迹是以Ml, 1)为圆心，1为半径的圆.又T 丨c\ =yjx +y,・•・|c|的最大值为|捌+1,B|J | C|nrn=^+1.5. 1 1解析：方法一，如图D112,以射线肋，初为X轴，y轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则水0,0), 3(1,0), 0(1,1), 0(0, 1),设EkO),圧[0,1].则庞 =(广，-1),丽=(0, -1).所以産・彥=&, 一1)・(0, 一1)=1.因为庞=(1,0),所以化'・ DC- （f, 一1）・（1, 0） = ^1.故庞・庞的最大值为1.方法二，由图D112知，无论点F 在哪个位置，庞在沏/向上的投影都是CB=\,:j ）E ・ C8=\C/^\ ・ 1 = 1.当上'运动到点〃时，庞在庞方向上的投影最大即为DC=\,：・（庞・庞九=|庞1・1 = 1.yc /j\ A\ (O) E L 3 x图 01126. （、何一応，、帀+边）解析：如图D113,延长创CD 交于E,平移/1〃，当畀与〃 重合与厂点时，/矽最长，在△磁中，Z 〃=ZQ=75° , ZE=30° , BC=2,由正弦定理， 可得• "/尸.笃 即.：『=•作。
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三角函数与平面向量（一）课后作业
1．
函数()πsin 4f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象的一条对称轴是（ ）.
A ．π4x =
B ．π2
x = C ．π4x =- D ．π
2x =-
2．
若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间ππ32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减，
则ω=( ).
A ．3
B ．2
C ．
32 D ．23
3．
设P 为函数()()sin πf x x =的图象上的一个最高点，Q 为函数()()cos πg x x =的图象上的一个最低点，则||PQ 的最小值是（ ）.
A B ．2 C
D ．4． 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V →R 满足：对任意向量11()a x y V =∈，，22()b x y V =∈，，以及任意λ∈R ，均有
((1))()(1)()f a b f a f b λλλλ+-=+- 则称映射f 具有性质P ．现给出如下映射：
①11:R ()();f V f m x y m x y V →=-=∈，，， ②222:R,(),(,);f V f m x y m x y V →=+=∈ ③33:R,
()1,(,)f V f m x y m x y V →=++=∈
其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序
号）
5．
设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，
1412()A A A A μμ=∈R ，且
1
1
2λ
μ
+
=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(0)C c ，，
(0)D d ，，()c d ∈R ，调和分割点(00)A ，，(10)B ，，则下面说法正确的是（ ） A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
1. 【答案】C.
【解析】 根据函数图像可得.
2. 【答案】C.
【解析】 据题意结合图形易得当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，ππ0032x ωω⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，
同理当ππ32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，πππ3π3
222x ωωω⎡⎤⎡⎤
∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，因此ππ3322ωω=⇒=.
3. 【答案】C.
【解析】 依题意有P ，Q 为两函数相邻的最高点和最低点，我们不妨在原点附近找，即为
1
-2
（，1）和（1，1）
4.
【答案】①③
【解析】 ①1111212()((1))((1)(1))f m x y f a b f x x y y λλλλλλ=-+-=+-+-，，
12121122(1)(1)()(1)()x x y y x y x y λλλλλλ=+----=-+--()(1)()f a f b λλ=+-
具有性质P 的映射，同理可验证③符合，②不符合．
5.
【答案】D
【解析】 据已知调和分割的定义可得()()010AC AB c λλ=⇒=，，，即c λ=，同理
()()010AD AB d μμ=⇒=，，，即d μ=，又
1111
2c d
λμ+=+=，
依次判断各选项，A ，若C 为AB 的中点，则1
2
λ=
，又11112c d λμ+=+=可知不存在μ值使得不等
式成立，故A 错；同理B 选项也为假命题；对于C 选项，若C D ，均在线段AB 上，则0101λμ<<<<，，故
1
1
2λ
μ
+
>，这与已知定义不符，故命题错误．。