专题24.1 圆的有关性质

1．圆在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作______________. 圆心：固定的端点叫作圆心.半径：线段OA的长度叫作这个圆的______________.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“______________”，读作“圆O”.同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.2．垂直于弦的直径（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的________________，圆有_______________条对称轴.（2）垂直于弦的______________平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并且________________弦所对的弧.3．弧、弦、圆心角（1）顶点在圆心的角叫做_______________.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________________，所对的弦也________________.（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.4．圆周角（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___________. （3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的_______________.（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____________，90°的圆周角所对的弦是_______________.（5）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____________，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的______________.K知识参考答案：1．圆半径⊙O2．（1）对称轴无数（2）直径垂直平分3．（1）圆心角（2）相等相等4．（2）一半（3）一半（4）直角直径（5）圆内接多边形对角互补K—重点垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论K—难点圆的有关概念、圆心角、圆周角的概念K—易错弧、弦、圆心角的关系圆的有关概念圆中容易混淆的“两组基本概念”1．弦与直径：（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.2．弧与半圆：（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆. （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.下列说法错误的是A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【答案】B【解析】A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选B．垂径定理及其推论的有关计算与证明垂径定理应用中常作的辅助线：（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.如图，在⊙O中，直径CD＝5，CD⊥AB于E，OE＝0.7，则AB的长是A．2.4 B．4.8C．1.2 D．2.5【答案】B应用垂径定理作图圆弧中点的确定：由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所以常通过作孤所对的弦的垂直平分线确定孤的中点.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A．点Q B．点PC．点R D．点M【答案】A【解析】连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点.故选A.利用垂径定理解决实际问题利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题.如图,是一个高速公路的隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圆的半径.【解析】∵CD⊥AB且过圆心O,∴AD=AB=×12=6米,设半径为r米,∴OA=OC=r米,∴OD=CD-OC=(9-r)米,∴在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.故⊙O的半径为6.5米.利用圆周角定理及其推论求角的度数计算圆心角和圆周角时的注意事项：1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝60°，则圆周角∠BAC等于A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】D运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行证明圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角的相等或倍分关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.如图,已知AB、CD是⊙O的直径,DF∥AB交⊙O于点F,BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE=DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明).【解析】(1)∵DF∥AB,BE∥DC，∴∠EBA=∠COA=∠CDF.∴弧ECA=弧CAF，∴弧BE=弧DF，∴BE=DF；(2)答案不唯一，图中相等的劣弧有：弧DF=弧BE，弧EC=弧FA=弧AC=弧BD，弧DA=弧BC，弧BF=弧DE等.圆内接四边形如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是A．50°B．60°C．80°D．100°【答案】D【解析】圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．圆中计算防漏解已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则两弦AB，CD间的距离是A．7 cm B．17 cmC．12 cm D．7 cm或17 cm【易错提示】本题应分两种情况解答：（1）两弦在圆心的同侧；（2）两弦在圆心的异侧，易遗漏两弦在圆心的异侧时的情况.对圆心角与圆周角的性质理解不透彻判断：（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.（）（2）相等的圆周角所对的弧相等.（）【易错提示】误以为这两个题均是正确的.如图①，在同心圆中，∠AOB=∠COD，但弧AB＜弧CD，<<即弧AB≠弧CD，,AB CD AB CD,≠≠.AB CD AB CD在图②中，⊙O与⊙P有公共点M，显然圆周角∠AMB=∠CMD，而弧AB≠弧CD.【正解】（1）错误；（2）错误.求圆周角时未分类讨论而漏解如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为A．50°B．80°或50°C．130°D． 50°或130°【易错提示】点C可能在优弧上也可能在劣弧上，此题应分两种情况进行讨论.【正解】①如图所示，当C点在优弧AB上时，因为∠AOB=100°，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=12∠AOB=50°.②如图所示，当C点在劣弧AB上时，因为∠AOB=100°，所以优弧AB所对的圆心角为：360°−100°=260°，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=130°.综上所述，∠ACB的度数为50°或130°.故选D.1．下列语句中不正确的有①平分弦的直径垂直于弦；②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；③长度相等的两条弧是等弧A．3个B．2个C．1个D．以上都不对2．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，若AB＝26，CD＝24，则OE的长度为A．12 B．8C．7 D．53．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是_______度．A．45 B．60C．90 D．1204．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=A．80°B．50°C．40°D．20°5．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连接AC，则∠DAC的度数为A．15°B．30°C．45°D．60°6．⊙O的一条弦长AB=12 cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为A．12 cm B．6 cmC．7 cm D．8 cm7．如图所示，在⊙O中，若∠A＝60°，AB＝3 cm，则OB＝________ cm.8．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB＝______．9．如图所示，在△中，为的直径，，则的度数是_________度.10．如图，已知点O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E.求证：(1)∠AOE＝∠BOD；(2)弧AD=弧BE.11．如图，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断P A、PC、PB的大小关系，并说明理由．12．如图，已知过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E，F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝57°，那么∠ABC的度数为A．33°B．22°C．58°D．26°13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是()A．∠A＝∠D B．弧CB=弧BDC．∠ACB＝90°D．∠COB＝3∠D14．如图所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝，BD＝，则AB的长为A．2 B．3C．4 D．515．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，弧AB=弧BC，若∠AOB=58°，则∠BDC=_____度．16．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的最大水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差(CD)为________米．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于点D，交AC于点E.若∠DAC＝28°，则∠B 的度数为________．18．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．19．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC 平分∠BAD，连接CE．（1）求证：AD∥EC；（2）连接EA，若BC=6，则当CD=时，四边形EBCA是矩形．20．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．21．（2018四川省巴中市）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于A．B．2C．2D．322．（2018辽宁省阜新市）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是A．25°B．35°C．15°D．20°23．（2018辽宁省盘锦市）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为A．15°B．25°C．30°D．50°24．（2018四川省乐山市）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸25．（2018湖南省邵阳市）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是A．80°B．120°C．100°D．90°26．（2018江苏省淮安市）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是A．70°B．80°C．110°D．140°27．（2018江苏省盐城市）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为A．35°B．45°C．55°D．65°28．（2018山东省威海市）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为A．B．5C．D．529．（2018山东省聊城市）如图，中，弦与半径相交于点，连接，.若，，则的度数是A．B．C．D．30．（2018江苏省镇江市）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= _______________°．31．（2018湖北省孝感市）已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．32．（2018湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=___________度．33．（2018山东省烟台市）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________________．34．（北京市2018）如图，点，，，在上，弧CB=弧CD，，，则________．35．（安徽省2018）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.3．【答案】C【解析】∵圆心处构成一个周角,∴圆心角为360°,∵将圆分割成四个大小相同的扇形,∴每个扇形的圆心角是90°,故选C. 4．【答案】A【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠BCD=80°．故选A．5．【答案】B【解析】∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC=∠DAB=×60°=30°.故选：B.100AOB ∠=，C 为优弧ACB 的中点, 150,2C AOB ∴∠=∠= ()18050265.CAB CBA ∴∠=∠=-÷=故答案为： 65. 9．【答案】100【解析】△ABC 中，∠B =60°，∠C =70°； ∴∠A =180°-∠B -∠C =50°； ∴∠BOD =2∠A =100°．故答案为：100°．10．【解析】（1）∵CA=CB，11．【解析】当点P与点O重合时，P A＝PB＝PC，当点P在OA上时，P A＜PC＜PB.理由：连接OC，在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，∵OA＝OB＝OC，∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴P A＜PC＜PB，同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜P A.12．【答案】C【解析】如图，连接EC，ED.设∠B＝x，∵EA＝EC，∴∠A＝∠ACE，∴∠4＝180°－2∠A＝180°－2×57°＝66°.∵DB＝DE，∴∠1＝∠B＝x，∴∠2＝∠1＋∠B＝2x，而EC＝ED，∴∠3＝∠2＝2x，∴∠4＝∠3＋∠B＝3x，∴3x＝66°，∴x＝22°，即∠ABC＝22°.故选B.13．【答案】D∵∠A=∠D，∴弧CB=弧BD，成立，B不合题意14．【答案】B【解析】因为CD＝，DE=,BD＝,勾股定理知BE=1，设半径是r,在Rt中，,解得r=,所以AB=3.故选B.15．【答案】29【解析】连接OC．∵弧AB=弧BC，∴∠AOB=∠BOC=58°，∴∠BDC=∠BOC=29°.故答案为29．16．【答案】0.5【解析】∵点C为弧AB的中点，O为圆心由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD==2（米），∴CD=OC-OD=2.5-2=0.5（米）；故答案为0.5．17．【答案】62°故答案为：62°.18．【解析】∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等边三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴弧AD=弧BD=弧AB，∴AD=BD=BA．19．【解析】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠E=∠BAC，∴∠E=∠DAC.∵BE∥AC，∴∠E=∠ACE，∴∠ACE=∠DAC，∴AD∥EC．（2）当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，20．【解析】如图，连接ON，OA，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，∵AB=7.2 m，∴AD=12AB=3.6 m．又∵CD=2.4 m，设OA=OC=ON=r，则OD=（r-2.4）m，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，∵CD=2.4 m，船舱顶部为正方形并高出水面2 m，∴CH=2.4-2=0.4（m），∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），在Rt△OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），∴HN= 2.96（m），∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44 m＞3 m，∴此货船能顺利通过这座拱桥．21．【答案】C22．【答案】A【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=65°，∴∠CAB=25°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=25°，故选：A．23．【答案】B【解析】如图，连接OB，∵OA⊥BC，∠AOC=50°，∴∠AOB=∠AOC=50°，则∠ADB=∠AOB=25°，故选：B．24．【答案】C25．【答案】B【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选B．26．【答案】C【解析】作弧AC对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=∠AOC=×140°=70°，∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．27．【答案】C【解析】∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故选C．28．【答案】D【解析】连接OC、OA，∵AB为弦，点C为弧AB的中点，29．【答案】D【解析】∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°.故选：D.30．【答案】40【解析】连接BD，如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，故答案为：40．31．【答案】2或14【解析】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16 cm，CD=12 cm，∴AF=8 cm，CE=6 cm，∵OA=OC=10 cm，∴OF=6 cm，OE=8 cm，∴EF=OF+OE=14 cm．∴AB与CD之间的距离为14 cm或2 cm．故答案为：2或14．32．【答案】60【解析】如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=20°+40°=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，故答案为：60．33．【答案】（-1，-2）34．【答案】70°【解析】由题意知弧CB=弧CD，∴，∴，∵，∴．故答案为：35．【解析】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；。