01-大学自主招生不等式【题目】
数学自主招生试题答案
数学自主招生试题答案一、选择题1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且该点为函数的唯一极值点。
若a>0，求b与c的关系。
答案：根据题意，函数f(x)在x=1处取得极小值，因此一阶导数f'(x)在x=1处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=1代入得f'(1) =2a + b = 0。
又因为x=1是唯一极值点，根据二次函数的性质，其判别式Δ = b^2 - 4ac必须小于0。
将f'(1) = 0代入得Δ = (2a)^2- 4a*c = 4a^2 - 4ac < 0。
由于a>0，可以化简得ac < 0，即b与c的关系为c < 0。
2. 已知一个等差数列的前三项分别为a-2，a，a+2，求该数列的前n项和公式。
答案：设等差数列的首项为a1，公差为d。
根据题意，有a1 = a - 2，a2 = a，a3 = a + 2。
由于是等差数列，有a2 = a1 + d，a3 = a2 + d。
将已知条件代入得a = a1 + d，a + 2 = a1 + 2d。
解这个方程组得a1 = a - d，d = 2。
所以首项a1 = a - 2，公差d = 2。
根据等差数列前n项和公式Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，代入a1和d的值，得到Sn = n/2 * (2(a - 2) + (n-1)*2) = n/2 * (2a - 4 + 2n - 2) = n/2 * (2a + 2n - 6)。
二、填空题1. 一个圆的半径为r，求该圆的面积与周长。
答案：圆的面积公式为A = πr^2，周长公式为C = 2πr。
所以该圆的面积为πr^2，周长为2πr。
2. 已知一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，请判断该三角形的形状。
答案：根据勾股定理，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是一个直角三角形。
自主招生数学试题中用“函数法”求不等式问题
查 正开 ： 自主 招生数学试题 中用“ 函数 法” 求不等 式问题
・３ ９・
自主 招 生数 学 试 题 中用“ 函数 法 ＂ 不等 式 问题 求
●查正 开 （ 常熟市中学 江苏常熟 ２５０ ） １５０
不等式问题在 自主招生试题 中占有重要 的地位． 随着新课程改革的实施 ， 不等式的证明已成为理科学 生 的选 学 内容 （ 选修 ４５ ， －） 因此 不少 优 秀 学 生 得不 到 系 统 的训 练 ， 以处 理 此类 题 目． 此 本文 给 出解 决 难 为 不等 式 问题 的有效 途径— — “ 函数 法 ” 希 望 能对考 生有 所 帮助． ，
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用 均 值 不等 式 给出解 答．
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问题 进行 推广
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点评
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一道自主招生不等式问题的加强及证明
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与 加 强［］ 数 学 通 讯 ２ １ ，（ 半 月 ） Ｊ． ００９下 ．
（ 稿 日期 ：Ｏ Ｏ Ｏ — ５ 收 ２１—９２）
是“ 天上掉 下个林 妹妹 ” 本 文 笔者 用 构造 函数 的 ， 方法 来 证 明该 不 等 式 ， 开 文 Ｅ ｉ神 秘 证 明 的 揭 ｌ
面 纱． 证 明 设 厂ｚ （ ）： （ — Ｘ ） — ） 则 ｚ 。（ ，
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文 ［ ］将 此 不 等 式 加 强 并 证 明 了 如 下 不 １
等式 ： 若ｚ， ， １ ２ …… ， ｚ 为小 于 Ｉ 的正数 且 １ ｚ ＋ｚ
＋ … ＋ 一 ｌ 则 ，
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ｚ＜０ 。 ＜ ＜ ｚ ＜ １由导函数 ／（） ， 的图象知
求证：
＋
＋ … ＋
” 一 ｚ
＞ ４ ．
故上述 不 等式 可 化为
上
．
— ≥ 二 ［ｎ ３ ， —多 ｌ ） ］ 二 ｊ 一’
Ｘ；－ － Ｘ３
厂（ ） （ —３ 。（ ｚ ： １ ｘ ）ｍ—ｚ ＋ 一ｚ 即ｆ （ ） ） ， ｚ 一
学生版——自主招生——(专题六)不等式——放缩法
1 (n 2)
6 2(2n 1)
(2)求证 : 1 1 1 4 16 36
1 11 4n2 2 4n
1 13 135
(3)求证 :
2 2 4 246
1 3 5 (2n 1) 2 4 6 2n
2n 1 1
(4) 求证： 2( n 1 1) 1 1 1 23
1 2( 2n 1 1)
n
【例 3】 求证 : 6n
111
(n 1)( 2n 1)
49
15 n2 3
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提高题分析
【例 1】（ 2008 年清华 )设函数 f (x) x xln x .数列 an 满足 0 a1 1. an 1
f ( an ) .
设 b ( a1，1) ，整数 k ≥ a1 b .证明 : ak 1 b .
a1 ln b
(I) 求证：函数 g (x) f ( x) 在(0, ) 上是增函数； x
(II) 当 x1 0, x2 0时,证明 : f ( x1 ) f (x2 ) f ( x1 x2 ) ；
f ( x) 在 x 0上恒成立 .
(III) 已知不等式 ln( 1 x ) x在 x 1且 x 0 时恒成立，
求证：
2! 3!
(1
1 )
e和 (1 1)(1
1)
n!
9 81
1 (1 3 2n )
e.
【例 5】 求证 : (1 1 2) (1 2 3) [1 n(n 1)] e2n 3
【例 6】 证明 : ln 2 ln 3 ln 4 345
ln n n(n 1) (n N *, n 1) n1 4
【例 7】 已知 a1
【 例 2 】 （ 2011 年 华 约 试 题 改 编 ) 已 知 n,m N , x 1, Sm 1m 2m 3m n m 1 (m 1)Sn (n 1) m 1 1 .
自主招生材料学生版 - 不等式
例2.设a, b, c∈R+，试证：对任意实数x, y, z,
有x2+y2+z2
利用函数性质
例3已知实数a, b, c满足0<a≤b≤c≤ ，求证：
例4已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)= 的最小值。
例5.实数a使得对于任意实数 ，不等式 都成立，求a的最大值．
例21：n为正整数，证明：
练习：
1、已知x, y, z∈R+，求证：
应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.
例6：设 ，求证：
练习:
1、函数 的最大值是_______
2、（83全国）设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=+，Q=·，那么（）
A．P≥QB．P≤Q
C．P<QD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．
排序不等式：设有两个有序数组 ，则 （顺序和）
证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.
例18：已知 求证：
例19：利用排序不等式证明 .
【评述】对 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得， .
例20：证明：对于任意正整数R，有
【评述】（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证
自主招生不等式(附答案)
第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。
自主招生数学试题
自主招生数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，的图象如图：2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）为有理数，且等式成立，则=，+c，4．（2013?莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3×1=，=7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则32，交换））1234n123Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为；面积小于2011的阴影三角形共有 6 个．===，，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为=，=，=，==A B B，；10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=（=2××=++11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为＜a≤．，解得．＜a≤奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2?i=﹣1×i=﹣i，则i2011= ﹣i．，②方程x2﹣2x+2=0的两根为13．（2013?日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的，，?3a?b=12上，b=ab=814．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：（1）甲校选手所得分数的中位数是90分，乙校选手所得分数的众数是80分；（2）请补全条形统计图；（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校，=12个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；2AB=，列出方程，解方程即可求出AE=，CE=，16．（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，x+，通过解该方程组来y=与直线，y=上，，y=），﹣x=，，﹣．x+x x=代入x+，，tan∠DON=．的坐标为（）．．﹣，得，，﹣+．+，=121212根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；=，=，=0 4?+，?，+=0=，+cx+4?﹣圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；===，×2×3+×3×4.5﹣﹣．（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，（a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足=y=，n+3=n﹣，（﹣），=）．，，﹣，）．。
自主招生考试题目
自主招生考试题目
一、数学题目
1. 求解下列不等式：
a) |2x + 3| > 5
b) 2x^2 + 5x - 3 < 0
2. 如果直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。
3. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，求f'(1)的值。
二、语文题目
1. 阅读下面的古诗，分析其意境：
白日依山尽，黄河入海流。
欲穷千里目，更上一层楼。
2. 请用800字作文，描述你最喜欢的一本书，包括书名、作者、内容梗概和感受。
三、英语题目
1. 请用英语写一封100字左右的信件，向你的朋友介绍你的家乡。
2. 根据所给单词，在空白处填入适当的单词，使句子完整和通顺：
I have never been to ______ before, so I'm looking forward to the trip.
以上为自主招生考试题目，考生请认真完成各项题目，祝你们考试顺利，取得优异的成绩！。
自主招生数学真题200道解析
0
(x )2n1(1 sin2n x)dx (x )2n1(1 sin2n x)dx 0
0
0
007（2016 年北京大学自主招生）
已知 x y z 2016, 1 1 1 1 ，则 (x 2016)( y 2016)(z 2016) ______ x y z 2016
A.-1
B.0
C.1
D.前三个答案都不对
（2016 年北大博雅 15）设 x3 3x2 y3 3y2 z3 3z2 m ，则 x, y, z 是关于 t3 3t2 m 的三个实数根，
其中 m 为常数，由韦达定理可以， x y z 3。
010（2016 年北京大学博雅计划）
2017 自主招生必刷真题 200 道——数学解析
已知 a b c 1，则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值与最小值乘积属于区间（ ）. A.[10,11) B.[11,12) C.[12,13) D.前三个答案都不对
自主招生数学真题 2 0 0 道
分类汇编
1/110
目录
（一）代数式变形 ............................................................................................................................................. 3 （二）复数、平面向量 ................................................................................................................................... 18 （三）函数与方程 ........................................................................................................................................... 24 （四）三角函数 ............................................................................................................................................... 44 （五）概率 ....................................................................................................................................................... 54 （六）平面几何与立体几何 ........................................................................................................................... 59 （七）解析几何 ............................................................................................................................................... 74 （八）数列 ....................................................................................................................................................... 84 （九）数论 ....................................................................................................................................................... 95 （十）排列、组合与二项式定理 ................................................................................................................. 100
历年自主招生试题分类汇编不等式.doc
历年自主招生试题分类汇编——不等式5. （ 2014 年北约） 已知 xy1 且 x, y 都是负数 ,求 xy1的最值 .xy【解】由 x 0, y 0可知 ,xy 1 | x y | 1 | x | | y | 1 , 所以 | xy | | x || y | (| x | | y|)2 1 ,即 xy (0, 1] ,444令 t xy(0, 1] ,则易知函数 y t 1 在 (0,1] 上递减 ,所以其在 (0, 1] 上递减 ,4 t 4 于是 xy11 17有最小值 4 4,无最大值 .xy4解答二： 1( x) ( y) 2 xy 得 0 xy 1，而函数 f (t) t 1 在 (0,1) 上单调递4t减，在 (1,) 单调递增， 故 f ( xy)f (1) ，即 xy 1 17 ，当且仅当 x y1 时4xy 42取等号．10. （ 2014 年北约） 已知 x 1, x 2 ,L ,x n R ,且 x 1x 2 L x n 1,求证: ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x n ) ( 2 1)n .【证】 (一法 :数学归纳法 )①当 n 1 时,左边 2 x 12 1 2 1 右边 ,不等式成立 ;②假设 n k( k 1,k N * ) 时 ,不等式 ( 2 x 1)(2 x 2 )L ( 2 x k ) ( 2 1)k成立 .那么当n k 1 时 , 则 x x L x xk 11 由于这k 1 个正数不能同时都大于也不能同时都1 2 k ,1,小于 1,因此存在两个数 ,其中一个不大于 1,另一个不小于 1,不妨设 x k 1,0 x k 11,从而 ( x k 1)(x k 1 1) 0x k x k 1 1 x k x k 1 ,所以( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x k )( 2 x k 1)( 2 x 1 )( 2 x 2 )L [22( x k x k 1 ) x k x k 1 ]( 2 x 1 )( 2 x 2 )L ( 2 x k x k 1 )( 2 1) ( 2 1)k ( 2 1) ( 2 1)k 1其中推导上式时利用了 x 1x 2 L x k 1 (x k x k 1 ) 1 及 n k, n k 1 时不等式也成时的假设 故立.综上①②知 ,不等式对任意正整数 n 都成立 .(二法 )左边展开得 ( 2 x 1 )( 2 x 2 )L ( 2 x n )n( 2) n ( 2) n 1x i ( 2) n 2 (x i x j ) L( 2) n k (x i 1 x i 2 L x i k ) x 1x 2 L x ni 11 i j n1 i 1 i2 L i k n由平均 不等式得11x i 1 x i 2 L x i k ) C nkk 11 i 1 i2 L i k nx i 1 x i 2 L x i kC n k (C n k(( x 1x 2 L x n ) C n 1 ) C n kC n k1 i 1 i2 L i kn故 ( 2 x 1 )( 2 x 2 ) L ( 2 x n )2) n ( 2) n 1C n 1 ( 2) n 2 C n 2 L ( 2) n k C n k LC n n ( 2 1)n ,即 .(三法 )由平均 不等式有n 2n21nx knx k 1n(n⋯⋯① ;n() n⋯⋯②)2 x k2 x kk 12 x kk 12 x kk 1k 11 2 ( x 1 x 2 L x n )n , 即 ( 2 x 1 )( 2n①+②得 n nn1x 2 )L ( 2 x n ) ( 2 1)成立 .(k 12 x k ) n1n22( 四 法 )由AM GM不 等 式 得 ：( ) n ，n i 1 x i 2n( x i2)i 11 (nnx i12 1) ， 两 式 相 加 得 ： 1， 故nni 1x i 2( x i 2)n( x i2)ni 1i 1n1)n ．( 2 x i ) ( 2i 11．（ 2011 年北 文） 0，求 ： sin tan ．2【解析】 不妨 f ( x)xsin x ， f (0) 0 ，且当 0x ， f ( x) 1 cos x 0 ．于是2f ( x) 在 0x上 增．∴ f ( x) f (0) 0 ．即有 x sin x ．2同理可 g (x) tan x x0 ．g(0)0 ，当 0 x1 1 0 ．于是 g ( x) 在 0x上 增。
单招不等式复习题
单招不等式复习题一、选择题1. 若a > 0，b < 0，则不等式ax + b > 0的解集是（）A. x > -b/aB. x < -b/aC. x > 0D. x < 02. 对于任意实数x，下列不等式中正确的是（）A. x^2 ≥ 0B. x^3 ≥ 0C. x^4 ≥ 0D. x ≥ 03. 若不等式|x - 1| < 2的解集是（）A. -1 < x < 3B. -2 < x < 2C. -1 ≤ x ≤ 3D. -2 ≤ x ≤ 2二、填空题4. 已知a < 0，b > 0，且|a| < |b|，则不等式a + b _______ 0。
5. 若不等式组\{x > 2, x < 4\}的解集是_______。
三、解答题6. 证明不等式：对于任意正数a和b，有a + b ≥ 2√(ab)。
7. 解不等式：3x^2 - 6x + 2 > 0，并写出其解集。
8. 解绝对值不等式：|x + 1| + |x - 3| ≥ 4，并讨论其解集。
四、综合题9. 已知不等式组\{x > a, x < b\}，若a和b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两个根，求不等式组的解集。
10. 给定函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若对于所有x ∈ R，都有f(x) ≥ 0，说明理由。
五、开放性问题11. 假设你有一个不等式：|x - 2| ≤ k，其中k > 0，请讨论k的不同取值对解集的影响。
12. 考虑一个实际问题，例如：一个房间的长和宽的比值有限制，如何利用不等式来解决这类问题？本试题旨在帮助考生复习不等式的基本性质、不等式的解法以及不等式在实际问题中的应用。
希望考生通过练习这些题目，能够加深对不等式相关知识点的理解和掌握。
【完】。
2023年自主招生数学专题讲义不等式
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式旳证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数波及到不等式旳证明；交大试题中，不等式部分一般占10%-15%，其中波及到某些考纲之外旳特殊不等式 常用不等式及其推广：需要合适补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、 2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥柯西不等式旳证明分析：，a a a A n 22221+++= 设证明：柯西不等式旳推论一柯西不等式旳推论二nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则柯西不等式旳应用柯西不等式练习1、2.已知21x y +=,求22x y +旳最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+旳最小值．第三部分 真题精析：例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例22sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,22x x y y x x x xt x x t x x t ==++-⎡+==∈⎣令令则且（，复旦）（，同济）关键环节提醒：2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-。
(完整版)基本不等式全题型
题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )值域为________；(2)函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2x 2＋1·1x 2＋1－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立．答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.例：当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 x －13x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2. 题型2 基本不等式反用ab ≤a ＋b2例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为__________；(2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为__________．解析：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 3．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解析：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12.4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A.13B.12C.34D.23解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求函数y ＝x (a －2x )的最大值；解：∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a 28，当且仅当x ＝a4时取等号，故函数的最大值为a 28.题型三：利用基本不等式求最值2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．答案 －2例：当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．例1：(1)求函数f (x )＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；(2)求函数f (x )＝x 2－3x ＋1x －3(x ＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y ＝M ＋aM的形式． (1)∵x ＞3，∴x －3＞0.∴f (x )＝1x －3＋(x －3)＋3≥21x －3·x －3＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号，∴f (x )的最小值是5.(2)令x －3＝t ，则x ＝t ＋3，且t ＞0.∴f (x )＝t ＋32－3t ＋3＋1t ＝t ＋1t＋3≥2t ·1t＋3＝5. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1时取等号，此时x ＝4，∴当x ＝4时，f (x )有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y ＝cx 2＋dx ＋fax ＋b(a ≠0，c ≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y ＝t ＋p t(p 为常数)型函数，要注意t 的取值范围； 例：设x >－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值；解：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9. 1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 答案 815．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为_______________．解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 36．(2013·大连期中)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：32．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为________．解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．答案：18 5．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：2(2012·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． 解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b，即a ＝2b 时取等号)．∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a＋9b有最小值18. 3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( )A ．2 B.32 C ．1 D.12解析 由a x ＝b y＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y的最大值 为1. 答案 C6．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案 9例：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为1225.4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.例：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.3．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30xx ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．例：已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24， 当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16ba －b取得最小值16. 8．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6 ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz取得最小值3.答案：3例：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．解析：由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xyx ＋y的最大值是2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.答案：21．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22x －a ·2x －a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：325．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 答案 A解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)．故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b 的最小值．易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答解 方法一 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab ＋1ab －3ab 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎪⎫4－322＝254.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分] 方法二 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a ＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋a ＋b 2－2abab＝2ab＋ab －2.[8分]令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.又f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4.(2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163.失误与防范1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型四：利用基本不等式整体换元例2：若正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值范围．思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想． 自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0. 即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 又∵ab ≤a ＋b2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2－4()a ＋b －12≥0，(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，则b ＝a ＋3a －1. ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2a －1·4a －1＋5＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1， a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2()a －1·4a －1＋2＝6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b .例3：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b的最小值是____．试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝3＋2b a＋ab≥3＋22b a ·ab＝3＋2 2.易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。
初升高自主招生——方程与不等式(含答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、一元一次方程、一元二次方程（1）含字母讨论（特别注意：一切实数解与无解的应用）（2）判别式与配方法（3）韦达定理（判别式前提、变形）（4）构造求参2、其他方程（分式方程、无理方程、高次方程、方程组等）（1）思想：降次、消元（2）换元法（整体思想、换元检验）（3）因式分解（猜、凑、待、除、添、拆）（4）技巧：对称换元、主元转换、特殊赋值3、绝对值相关（1）分类讨论（2）公式展开（3）平方法4、不等式问题（1）一元二次不等式（2）均值不等式5、其他（1）整数根问题（韦达定理、初等数论、区间长度等）（2）新定义问题【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+ 【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________． 【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______. 【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p +-=的根12,x x 满足44122x x +≤，则p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
不等式单招试题答案
不等式单招试题答案一、选择题1. 若 $a > 0$，$b < 0$，则下列不等式正确的是（）。
A. $a + b > 0$B. $a + b < 0$C. $a - b > a$D. $a - b < a$答案：C解析：由于$a > 0$，$b < 0$，显然$a + b$的和小于$a$，故A、B选项错误。
又因为$a$为正数，$b$为负数，所以$a - b$一定大于$a$，故选C。
2. 对于实数$x$，若$x^2 - 3x + 2 < 0$，则$x$的取值范围是（）。
A. $(1, 2)$B. $(0, 3)$C. $(2, 3)$D. $(1, 3)$答案：C解析：将不等式$x^2 - 3x + 2 < 0$进行因式分解，得到$(x - 1)(x- 2) < 0$。
由此可知，$x$的取值应在两个根1和2之间，故选C。
3. 已知$a, b, c$为正实数，且满足$a + b + c = 1$，求证：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$证明：由柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）可知，对于任意正实数$a, b, c$，有：$$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right) \geqslant (1 + 1 + 1)^2$$代入已知条件$a + b + c = 1$，得到：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 9$$二、填空题4. 若$x, y$满足$x^2 + y^2 = 4$，则$x^2y + xy^2$的最大值为______。
答案：4解析：由题意知$x^2 + y^2 = 4$，根据平方和的性质，$x^2y +xy^2$的值不会超过$(x^2 + y^2)(y + x)$的一半，即$4(x + y)$的最大值的一半。
自主招生数学不等式 第三讲
自主招生学案：不等式第三讲（2013年12月24日枣庄八中陈文)考点三：重要不等式一、考点分析：自主招生考试中所考的重要不等式主要包括绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式、琴生不等式等。
二．不等式求解的常见题型：1、利用不等式证明结论。
2．利用不等式解决数学建模问题。
3．借助不等式求最优解问题。
4．不等式的综合问题。
三、例题详解及梯度训练：（一）绝对值不等式从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积或体积的大小、重量的大小等等，他们都要通过非负数来表示，因此，研究含有绝对值的不等式具有重要意义。
定理1： 如果a ，b 都是实数，则||||||||||||a b a b a b -≤±≤+等号是否成立依赖与ab 的符号。
定理2： 如果a ，b ，c 都是实数，那么||||||a c a b b c -≤-+- 当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立例1．如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个火车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？(2010年浙江大学)梯度训练：1.若对一切实数x ，都有|x-5|+|x-7|>a ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a<12 B. a<7 C. a<5 D. a<2 (2011年复旦大学)2.|x-5|+|x-7|+|x-6|+|x-8|>a ，则a 的取值范围如何？（二）平均值不等式设(0,)(1,2,...,)i a i n ∈+∞=，记这n 个数的 调和平均值11n ni in H a ==∑，几何平均值n G =算术平均数1nii n aA n==∑，方幂平均数n X =则n n n n H G A X ≤≤≤，当且仅当12...n a a a ===时等号成立。
例2．设正数a ，b ，c 满足a+b+c=1，求证：1111000()()...()27a b c a b c +++≥。
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第一章 不等式
【知识梳理与归纳】
1、不等式证明
常用方法：比较法、放缩法、调整法、单调性法（含导数）等
（1）比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方；
（2）放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证得结论中考察；
（3）调整法用于变量较多的情况，通过先固定其中一部分变量，来减少需要讨论的变量； （4）单调性法有移项、判断单调性、求最值（极值）三个步骤；
2、均值不等式
设(0,)(1,2,,)i a i n ∈∞= ，记这n 个正实数的： 调和平均值为11
n n
i i
n H a ==
∑
，几何平均值为n G =
算术平均值为1
n
i
i n a
A n
==
∑
，方幂平均值为n Q =
且n n n n H G A Q ≤≤≤。
等号成立当且仅当12n a a a ===
【真题解析】
1、基本不等式
例1（04年同济）设有正数a 与b ，，满足a b <，若有实数1122,,,x y x y ，使11x y +是a 与b 的算术平均数，22x y 是a 与b
22x y +的取值范围是_______
（答案用,a b 表示）
例2（08年浙大）已知0,0,,x y a x y b c >>=+==在正数m 使得对于任意正数,x y 可使,,a b c 为三边构成三角形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由。
巩固练习
1、（05年上海交大）方程2
2
1
02x px p
--=的两根12,x x 满足44122x x +≤p 的取值范围为_______（p R ∈）
2、（11北约）在2,60ABC a b c C ∆+≥∠≤ 中，如果证明。
3、(06清华）已知b a 、为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值．
例2求函数21
(0)2y x x x
=+>的最小值
例3求函数2
(2)(02)y x x x =-<<的最大值
例4（09复旦千分考）设,,0x y z >满足12xyz y z ++=，则422log log log x y z ++的最大值是________
（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6 巩固练习
1、（11复旦千分考）设n 是一个正整数，则函数1
n
x nx +在正半轴上的最小值是____. A 、1n n - B 、21n n ++ C 、1n n + D 、1
n
n +
2、设,,x y z 为正数，且1x y z ++=，求2
2
xy z xyz +的最大值
3、（11华约）已知ABC ∆的面积为2，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，F 为线段DE 上
一点，设,,AD AE DF
x y z AB AC DE ===，且1y z x +-=，则BDF ∆面积的最大值为（） （A ）827 （B ）1027 （C ）1427 （D ）1627
2、放缩法
例5（12华约）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围是（）
A.2
B.1[,
22
C.(0,1)
D.(
2
例6（12华约）已知,,x y z 是互不相等的正整数，且|(1)(1)(1)xyz xy yz zx ---，求,,x y z
巩固练习：
1、（00
交大）证明不等式：3
4
12≤≤，[0,]2
x π
∈．
2、（13华约）数列{}n a 各项均为正数，且对任意*n N ∈满足2
1n n n a a ca +=+（0c >为常数）
（1） 求证：对任意正数M ，存在*N N ∈，当n N >时有n a M >
例7 （06年复旦）下列正确的不等式是 （ ）
A.120
1617k =<
<
B.120
1819k =<<
C.120
2021k =<<
D.120
1
2223k =<<
例8（04
复旦保送）求证：13+
<
巩固练习
1、（02上海交大保送生）
（1）用数学归纳法证明一下结论：2221111
12(2,)23n n N n n
*+
+++<-≥∈ （2）若有2sin 116x x x
-
<<，利用（1）的结论求：111
lim (1sin12sin sin )2n n n n →∞⋅+⋅++⋅
2、（08
3521
2422
n n -<∙∙∙<-
3、（03复旦保送）12．123,,,,n a a a a 是各不相同的自然数，2a ≥，求证：
1231111
()()()()2a a a a n
a a a a ++++< ．
3、调整法
例9（12华约）10、已知610(1,2,,10)i x i -≤≤= ，10
1
50i
i x
==∑，当10
2
1
i i x =∑取得最大值时，
在1210,,,x x x 这十个数中等于6-的数共有（） A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
巩固练习：
1、（09中科大）求证：()13,,2
2
-+≥++∈∀y x xy y x R y x 恒成立。
4、单调性法
例1已知,,a b c R ∈，且||1a <，||1b <，||1c <，求证：10ab bc ca +++>
【课后练习】
1、若6x y z ++=，求222x y z ++的最小值
2、已知,,x y z 为正数，且()1xyz x y z ++=，求()()x y y z ++的最小值
3、（2010华约）设函数()1x m f x x +=
+，且存在函数1
()(,0)2
s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121
(
)t s f t s
-+= （1）证明：存在函数()(0)t s cs d s ψ==+>，满足2121
(
)s t f s t +-=； （2）设113,(),1,2,n n x x f x n +=== ，证明：11
|2|3
n n x --≤
4、（12卓越）已知函数21
()ax f x bx
+=，其中a 是非零实数，0b >
（1）求()f x 的单调区间； （2）若0a >，设||
i x >
，1,2,3i = ，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，
证明：123()()()f x f x f x ++>。