一类超线性Kirchhoff-方程的无穷多解

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基尔霍夫型方程的无穷多解

第47卷第2期2021年4月Vol.47 No.2Apr. 2021曲阜师范大学学报Journal of Qufu Normal University DOI ： 10.3969/j.issn.1 0015337.2()21.2.044基尔霍夫型方程的无穷多解张琪,栾世霞(曲阜师范大学数学科学学院,73165 ,山东省曲阜市)摘要：研究了全空间上一类基尔霍夫问题的无穷多解，通过山路结构和临界点理论，得到了(PS)序列. 再利用Bartsch 的喷泉定理，得到了方程的多重解.关键词：基尔霍夫型问题；喷泉定理；变分方法中图分类号:O175.8 文献标识码:A 文章编号：0015337(2021)020044050引言本文主要研究下述基尔霍夫型方程—(+" V u 2 X ) △ u +V (x)u =f(x,u ),x € R N , (1 )J R N a 为常数且 a >0,是一个参数，f € C(R N X R, R),F(x,u ) = ［"f (x ,s)ds,s € R N .J 0过去几十年间，问题(1)是一个重要的非局部拟线性问题.因为当f 满足不同的条件就会得到不同的结果，所以这类基尔霍夫问题及其结果已经得到了广泛的研究.例如，文献［4］在f 满足超线性的条件下，通过变分方法和扰动方法得到了基尔霍夫问题的无穷多解.文献［3］在f 满足渐近线性的条件下，利用极大极小方法和莫斯理论，得到了共振和非共振条件下基尔霍夫型方程的3个非平凡解的存在性.文献［8］提出当f 满足适当的控制增长条件，通过最小化的讨论，得到基尔霍夫型方程的最小能量变号解.另外，当f 满足奇性条件，利用定量形变引理，得到基尔霍夫型方程的无穷多非平凡弱解.当V(x )=0,A 为正常数，R N 被一个有界区域Q 取代时，问题(1)就简化为下述问题— (a +b J Q V u 2d x )=f (x ,u ) .基尔霍夫在文献［］中首次提出此方程.准确来说，与拟线性基尔霍夫方程u t — (a +b )| V u |2 X ) = f (x , u )J Q密切相关，是自由振动弹性绳的经典达朗贝尔波方程的扩展.自此方程提出后，方程()备受关注，早期的研究成果见文献［57］.事实上，在各种物理和生物模型的研究中，基尔霍夫问题也受到越来越多的关注［81214］.文献［5］通过下降流不变集的方法在R 3中得到无穷多变号解.文献［6］利用喷泉定理，在AR 条件下，即3 u >4 ,R >0,使得I u I A R 时0<“F (x ,u )C uf (x ,u )得到了无穷多高能量解.利用变分方法， JinJ 和Xu X ［i7］研究了当V (x )=1时在有界区域的基尔霍夫方程的无穷多径向解.受上述研究启发，在全空间上，我们给VX )增加一些条件，证明了无穷多解的存在性.在主要结果证明前，我们假设V(x),f(x,u )满足以下条件：(V i ) V(x )€C (R N ,R ),V(x )三 V (|x |)>V 0= inf V(x )>0,x € R Nx € R N收稿日期:2020-10-12作者简介：张琪，女,996-硕士研究生；研究方向：基础数学:E-mail ： *****************；通信作者：栾世霞，女,1972-,博士，教授；研究方向：非线性泛函分析;E-mail ： ***************.cn .第2期张琪，等：基尔霍夫型方程的无穷多解45(F i)存在4<p<2*,f(x,)|Cc(t+t p I)其中2+*,N=1,2.(F2)lim fX，)=0x€R N.,当11|f+*.(F3)G()=4f()—F()>0,且G()f*(F J存在常数R>0,满足lim F(x,)>0.(F5)f(x,—1)=—f(xt),€R x€R N.利用喷泉定理来求泛函的解，需验证(PS)条件成立.首先，由于在全空间H4(R n)上，很难验证(PS)序列的有界性，其次，由于非局部项［V u|2X的影响，得到一个有界的(PS)序列时，对于［V u”|2X fR N R NV u|2X极限的成立仍面临着困难.为了解决这些困难，我们使用径向对称的索伯列夫空间H；(R N)H4 (R N)为H4(R n)的子空间.于是，定义泛函I a u L H—CR N)-RV u2d x+V(x)u2X+F(x,u)d x.由(F i)知,a€C4,且I的临界点为问题(1)的弱解.设X=H l(R N丿则X T L q(RN)为紧嵌入q€(2, 2*).见文献[2,推论1.26]1预备知识和主要结果-I p定义了L p空间中的范数，u|=([u|s X)；，C s C*.J R NX=H；(R N)定义了径向函数索伯列夫空间.设X=㊉X,,dim X j<*,'€N.令=@X,,j€R N j=0Z k=®X j,其中,X”,Xm〉=1若n=m；〈X”，X m〉=0若j=kB k={u€Y k:I u IC p}N k= {u€Z k：I u I=r k},且p>r>0.(a V u Vu+V(xCuv)drr(a V u|2+VX)u2)X)记为I u I.C定义了不同的正常数.定理1.假设(V i),F i)—(F5)成立，则存在A*>0,当A€(0,*)时，问题(1)有无穷解u，使得当k f*时，I a(u)f+*.2引理及主要结果的证明因为I a€C1,所以，对任意v€X有〈I a'(u),v〉=(a V u Vu+V Ouv)X+入|V u|2X V u VuX―f(x,)u X.(4) J R N J R N J R N J R N我们先介绍一下喷泉定理.引理212］假设泛函卩€C4(X,R)满足卩(一u)=9(u),对于几乎处处的k€存在p k>r>0,使得(i)a k=max卩(u)C()；u€Yk•u=Pk(ii)b k=inf卩(u)f+*,当ku€Zk■u=r46曲阜师范大学学报(自然科学版)2021 年(iii )对任意的c >0,满足(PS)条件；则卩有一个无界的临界值序列卩(u ) — + x ,—x.证明定义 c k = inf max *(y (u )) Y k =(7 € C (k X ) ： b k =i d }.由(i )和(ii )知，存在 k € N ,u€bk+ \ 1f (x ,k)u k —F(x ’uk )〕d x J RN I 4 丿反证，假设｛u ｝在X 中无界，即当k —x 时,I u I —+ x.由不等式()及条件(F 1 )，若｛u ｝无界，贝」(7)式矛盾，所以｛u k ｝在X 中有界.引理2.5若｛u k ｝在X 中有界，且当k —x 时I , (u )—0，贝」｛u ｝在X 中有一个收敛的子列,为书写方便，仍记为｛u ｝ •证明因为｛u ｝在X 中有界，且索不列夫嵌入H 1(R N )T L p (R N )(p €[,*)为紧嵌入[3].于是, 可以假设子序列｛u k U X ,使得当 k >K 时,k >0,即 b k >a k .于是，存在{u ”}U X ,满足 c »—2e ”C *(u ”)C c » +2” I *'(u ”)|c ¥”，当 n —x 时，有 * u ”)—0 ,*(u ”)—5 .又因为 * € C 1( X , R ),所以，*(u ”)—* (u )*‘(u ”)—* (u ).由极限唯一性知(u)=Ck *' (u )=0.即C 为泛函*的临界点，由c 的定义知c k $b k .引理2.2假设条件(V 1),F 1) —(F 3)成立，则(a )存在 p >0,a >0,使得 I , (u ) $a >0,u € X 且 I u I =p .(b )存在 e €X ,| e I >p ,*>0,当 0<A <A * 时,,()<().证明 a )由条件(F 1)和 F )知，对任意的£>0有C >0使得c- r F(x,u ) C — u |2 +----- u p 2p (5)由索不列夫嵌入不等式，有I a (u ) =1(a 2J R N I u I 22V u |2 + V(x ) u 2) x +I u I 2 —c 2I u I p ,V u 2d x )F (x ,)x $R Nc r —歹 u 12 — ； u p $ I 乡2 p | 2所以，由上式知，当I u I =p >0 ,充分小时，有I a (u )$a >0 ,即()成立.(b )取 e €X ,满足 I )(e)<0 且 e €B p (0)则对于 0 < A <—2I 0(e )V e 2d x )=A ,有I A (e ) =I 0(e ) + V e 2d x )R N因此，存在e €X J| e I >p 且I , ()<0其中0<A <A *,于是(b )成立.引理233]设E 为巴拿赫空间E *为E 的对偶空间.*€C (E , R)存在a <0p >0u 1 €E 且I u 1 I >p ，满足条件 max{ * (0) , * (u ”)}C a <0C if * (u ).设 c $0 , = inf max * (y ())其中 A = {Y € Cu =p Y €A0C t C 1(0,1],E )：Y (0) = 0,Y (1)=u 1}是连接0和u 之间的连续路径的集合.则存在{u ”}U E ,使得I (u j ) — C $0,I ‘(u )— 0, — x .由引理2.2和引理2.3,可知，存在一个(PS)序列{k U X ,满足I a (u )— c > 0 , I'(u ) — 0 , — x(6)引理2.4假设条件(V 1)和(F 3)成立，则(PS)序列｛u ｝在X 中有界. 证明由(6)式得,c + 1 + I u ” I $ I A (u) — 1〈I'(u )，u 〉=(a V u |2 + V(x ) u ) x + || —f (x ,u )u — F(x,u ) x =J RN I 4 丿 *I u I 24(7)第 2 期张琪，等：基尔霍夫型方程的无穷多解47u *亠u ，在X ,u f u 在L p n N >b p e ［,*/)u f u 几乎处处在读N接下来证明｛u ｝有强收敛子列<)'(k) 一 I A ’(u )— u > =(a V w * V(u * ― u J + V(x)u (u * ― u ) J c X +入 | V u * |2 c X N u * V(u * ― u J c X ―J N J J N J J Nf (x ,u k )(u k —u )d x — [(a V u V U * —u ) +V (x )u (u ,一 u ))x + A V u |2 x J N J N J J NVu V(u.k —u )d x — f (x ,u )(u k —u )d x ] =J N J J N I u * — u I 2+A V u * |2d x v ”k V (u —u )d x —A V u |2 XV u V ( u * 一 u J c X +J N J N J N J J N J N V u |2d x V u V U k —u )d x —A N V u * |2 X V u V (u * —u )d x —J N N J N J J N k J J N J N (f (x ,u )—f (x ,u ))(u k u )d x =I U * — u I 2+A V u |2d x f v u * —u ) 2d x +A V u V (u * —-u J d x ( V u * |2 ―J N J N J N J N J J N V u |2)X — (f (x u k J 一 f(x u ) U k 一 u ) X .(8)J 臥N 显然，当n f x 时，等式左边和等式右边的中间两项趋于0.另外，由文献［2］的定理A.2,可以得到f(x,u ”)f f(x,u ),在丄“读“)中 \ q = p\ p — 1由Holder 不等式可知f U k > — f (x u > J U * — u J c X W f(x,u *)—f(x,u ) q \ u * 一 u \ p f 0.J J N 当” fx 时，其中--------= 1.因此，由(8)式可得到当”fx 时，I u k —u I f(),所以在X 中｛u k ｝有强收qp敛子列U f U .定理11的证明由引理2.2,引理2.3,引理2.4可以得到有界的(PS)序列.由引理2.5,可知道IU) 满足引理2.1的条件(iii).另外，由条件(F 5)知,)满足I a (—u )= I a (u ).下面证明I a (”)满足引理2.1中的条件(i >和(ii > .首先验证(i )有条件(F 1Jb F 3)b F .1J 知，存在常数c >0,e N ，使得F (X , U J 上 c 3 u 4 一 c 4 u |2.则 I )(u J = 11 (a V u |2 + V (x J u 2) X + A (| V u |2X ) ― I F (x , u ) X W2J j n 4J j n / J j n 2 I u I 2 +4 V u 4 — c 3 \ U | + c 4 U 2因为在有限维空间Y *中范数等价，所以，当I u I =p ,充分大时b i )满足.其次验证(ii )由条件(F 1)，得|F(x,u ) W ° u |2 +|u p .2p 定义= supU p .u e Zk ■ u = 1由文献[2]知，当k fx,0*f ().所以，在空间乙中，由(9),(1))式及索不列夫嵌入不等式，得IA (”> = 1 I U I 2 + A ([ V u |2x ) ― [ F (X , u (X 上2 4\J j n / J j n(9)(10)取— I u I 2_2I u I 2-加 I u I p .(11)■ （1 一 2c5）p ] p — r ~_因为p >2,所以当k f *,k f + *.将（12）式代入（11）式，得(12)I" (u ) A 1(1 _ 2")p4c 號当k f *,所以，条件（ii ）成立.综上，定理1.得证.参考文献:[1 ] Kirchhoff G. 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渐近线性p-Kirchhoff型方程解的多重性

Ｊ一（ｎ＋６ｊＩ “ ｊｄｚ） △ “ 一ｆ（ｘ，ｕ）・ｚ ∈ ｎ，
ｌ “ 一０，ｚ∈ａｎ．
本文考虑如下Ｐ — Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ型方程：
（１）
』一［Ｍ（』；５ｄｚ）］ △ 一ｃｚ，，ｚ ∈ ｎ，
第５３卷
第３期
吉林大学学报（理学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．５３Ｎｏ．３
Ｍａｖ２０１５
关键词：多重性；山路定理；Ｐ～Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ型方程中图分类号：Ｏ１７５．２５文献标志码：Ａ文章编号：１６７１ — ５４８９（２０１５）０３～０５７２０５
．
ＭｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙｏｆＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＡｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙＬｉｎｅａｒ
．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ；ｍｏｕｎｔａｉｎｐａｓｓｔｈｅｏｒｅｍ；ｐ— Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆｔｙｐｅｅｑｕａｔｉｏｎ
０引目
Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ在研究弹性弦的自由振动时，提出了如下模型：
Ｐ — ＫｉｒｃｈｈｏｆｆＴｙｐｅＥｑｕａｔｉｏｎｓ

全空间上具有临界指数的Kirchhoff类方程无穷多个正解的存在性

全空间上具有临界指数的Kirchhoff类方程无穷多个正解的存在性丁凌;汪继秀;肖氏武【摘要】研究了全空间上具有临界指数的广义的非线性Kirchhoff类方程,在给定参数和空间维数的不同范围内,用各种分析技巧,得到了方程无穷多个正解的存在性结果.%Kirchhoff-type equations with critical exponents in the whole space were investigated.Under the suitable ranges of parameters and space dimension and by using some analysis techniques,the existence results of infinitely many positive solutions were obtained.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2017(041)005【总页数】4页(P414-417)【关键词】Kirchhoff类方程;临界指数;最优常数【作者】丁凌;汪继秀;肖氏武【作者单位】湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳 441053;湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳 441053;湖北文理学院数学与计算机科学学院,湖北襄阳 441053【正文语种】中文【中图分类】O176.3考虑全空间RN上具有临界指数的Kirchhoff类方程：(1)其中当a=1,b=0时，方程(1)变成下列典型的临界指数的椭圆方程：(2)由文献[1-2]知，对任意的ε>0和y∈RN，(3)是方程(2)的所有正解。

用S表示Sobolev空间D1，2(RN)嵌入到Lebesgue空间L2*(RN)的最优常数，即其中分别是Sobolev空间D1,2(RN)和Lebesgue空间Lp(RN)(p∈[2,2*])上的范数，并且(3)式中定义的uε,y满足(4)研究临界指数的Kirchhoff类方程正解的存在性有很多文献[3-6]。

一类广义非线性非局部高阶 Kirchhoff型方程的整体吸引子

一类广义非线性非局部高阶 Kirchhoff型方程的整体吸引子摘要：本文主要讨论了高阶kirchhoff方程的整体吸引子，对于低阶kirchhoff方程的整体吸引子，已有相当的研究.本文在低阶型kirchhoff方程研究的基础上，研究了一类广义非线性高阶kirchhoff型方程的整体吸引子.首先，在对高阶kirchhoff方程中的非线性项做出合理的假设下，得到方程的整体解和吸收集，然后由整体吸引子的判定定理(渐近紧性)，得到此类高阶kirchhoff方程的整体吸引子.关键词：高阶Kirchhoff方程；整体解；吸收集；整体吸引子中图分类号：O175GlobalAttractor for a Class of Generalized Nonlinear nonlocalHigher-Order Kirchhoff Type EquationsLU Jingxin(1Department of Information, Tourism and Culture College of YunnanUniversity,Lijiang,Yunnan 6741992School of Mathematics and Statistics,Yunnan University,kunming650500,yunnan,China)Abstract：In this paper, we mainly discuss the global attractor of higher order Kirchhoff equation. For lower order Kirchhoff equation, the global attractor has been studied considerably. In this paper, the global attractors of a class of generalized nonlinear higher-order Kirchhoff equation are studied on the basis of the study of lower-order Kirchhoff equation. Firstly, under the reasonable assumption ofthe non-linear term in the higher-order Kirchhoff equation, the global solution and the absorbing set of the equation are obtained. Then, the global attractor of the higher-order Kirchhoff equation is obtained by the determination theorem of the global attractor (asymptotic compactness).Keywords：Higher-Order Kirchhoff equations；global solutions；absorbing set；global attractors1 引言本文研究下列非线性高阶Kirchhoff型方程的整体吸引子：(1)(2)(3)其中是R N中具有光滑边界的有界域，而有关的假设将在后文中给出.1883年Kirchhoff在研究弹性横截面运动时，建立了下列方程,作为描述该运动模型，其中是形变静止能量的一部分.此方程比经典波动方程更准确的描述了弹性杆运动.因此后人将此类方程命名为kirchhoff方程.关于低阶kirchhoff方程已有很多深入的研究[1-11]，Yang Zhijian[1]也研究了在中具有强阻尼项的Kirchhoff型方程的长时间行为:, (4)其中 , . 是具有光滑边界的有界域，是一个外力项。

一类带p(x)-双调和算子的kirchhoff型问题的多解性

f
f型问题的研究得到了很多结
收稿日期:
2019
06
11
基金项目:国家自然科学基金资助项目(
11861078);云南省教育厅科学研究基金资助项目(
2019
J
0689)
作者简介:缪清(
1984-),女,云南马龙人,云南民族大学副教授,博士,
E
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l:mi
a
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ng_0404@163.
c
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第 1期
Amb
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AR)
1)
x,
u)关于变量u 在无
穷远处是超线性的.
论文主要研究非线性项不满足 AR 条件时问题(
的多解性.
1)
1 预备知识及引理
令
C+ (
Ω)= p(
x)|p(
x)∈ C Ω ,
x)>1,
x ∈Ω ,
p(
∫
u
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fλ >0∫
=i
λ
Lp x Ω = u|u 为可测的实值函数, |u(
n
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p-Kirchhoff型方程解的多重性

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅａｌｓｗｉｔｈｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｐ～ＫｉｒｃｈｈｏｆｆｔｙｐｅｅｑｕａｔｉｏｎｓＷｉｔｈｔｈｅ
０引言与主要结果
考虑如下ｐ－Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ型方程：
ｌ “ 一０，
：
（ｆＶｕ）ｆ
…）， ∈ ，
∈ ａ，
（１）
其中： △ 一ｄｉｖ（ “ Ｉｌ叫 “ ），１＜＜Ｎ；ｎ是
ｄｏｉ：１０．７６９４／ｊｄｘｂｌＸｂ２Ｏ１３０４Ｏ７
Ｐ — Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ型方程解的多重性
李健，杜泊船。，赵昕，吕显瑞。
（１．吉林农业大学信息技术学院，长春１３０１１８；２．吉林大学生命科学学院，长春１３００１２
．
ｈｅｌｐｏｆｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｔｏｇｅｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｖａｔｚｅｒｏａｎｄｉｎｆｉｎｉｔｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆ — ＫｉｒｃｈｈｏｆｆｔｙｐｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｗｈｅｎｔｈｅＡｒａｂｒｏｓｅｔｔｉ —

Kirchhoff型问题的变号解和多重解

静态模拟方程一（＋ｂＩａＩ
ｌ△ “＝ｇ，密切相关，）（￡）它是经典ＤＡｅｂｒ波方程的延伸，ｌｅｔｍ用于描述在
长度改变的情况下弹性弦的横向振动．于Ｋｉｈｏｆ程的研究结果。可参见文献［～７］最近，多作关ｒｈｆ方ｃ３．许者将变分法用于方程（）的研究，得到一些有意义的结论，别是Ｍａ１并特ｏ和Ｚａｇ在假设ｔ（ｔｈｎｆ，）≥ ０下得到
则方程（）至少有１个正解、１１个负解和１个变号解．受到文献［８］的启发，文将使用下降流的不变集技巧改进上述定理的结论．本
令＝（，ｎ）众所周知，关于内积（，）＝Ｉ “・ｄ构成一个Ｈｌｒ空间．ＭＶｖｘｉｅｂｔ并且，ｏｏｖ由Ｓｂｌ嵌ｅ
（当时，，￡Ｆ，一＋ ∈ 一成并存＞｛譬｝充３一）￡一（￡对Ｑ致立且在ｍ１，）），使当分时ｘ） ≤ｃ大有Ｉ，Ｉ［，￡Ｆｘ）；ｔ￡一（ｔ），］
（４）对一致的 ∈ ｎ，）是ｔ局部Ｌｐｃｉｔ的ｉｓｈｔ续函数．ｚ连
收稿日期：００— ３—２２１０５基金项目：昭通师范高等专科学校科学基金资助项目（ＪＺ９０ＸＫ０１）
ｌ（ｔ ≤ ｃ１＋ｌｖ）－，厂）Ｉ（－，ｔ１

一类四阶Kirchhoff方程解的存在性

1212020年第 6 期下TE SE YAN JIU／特色研究引进图书馆、阅览室等地的图书资源，让这些图书资源走进教室，为学生读书提供更大的便利。

同时，可以通过竞赛、阅读分享等活动来使图书角的图书加快流通速度，学生读的多了自然就能够提高图书资源的更换频率，从而引进更多更丰富的图书资源。

三、真正地贯彻落实相关措施，提高农村图书管理的规范性农村中小学图书资源优化供给是全民阅读的客观要求,有利于推动农村地区文化教育事业快速发展,促进社会公平。

新时代课程教育改革的创新，离不开图书资源的辅助作用。

图书是一种公共资源，是具有公共性质的教育资源。

不仅是学生，对于教师来说，其教育和科研工作都需要有丰富的图书资源的支撑力量。

因此，相关部门要加强对农村图书资源的投入力度，使相关场地提高现代化水平，引进具有现代化性质的硬件及软件设施，提高图书资源的数字化水平。

同时，要根据中小学生的学习需求，补充有益于其身心发展的课外知识，创新工作模式，不仅可以学生个人借阅图书，也可以以班级、小组等为单位集体借阅图书，为学生看书提供更多方便，提高图书资源的流通率，节约借阅图书手续的时间，在便利学生的同时提高学生阅读的实效性。

为了更好地使学生认识到图书资源的重要性并拓展学生的图书兴趣，学校可以开展一系列的图书活动，例如读书节等，让图书资源走进学生的学习。

也可以利用学校的广播、橱窗等实现图书资源的流通。

还可以采取“诚信书屋”的形式，调动学生将个人所拥有的图书资源进行共享，这样的活动要求学生有高度的自觉性和较高的诚信素养，这样的“诚信书屋”一方面能够减轻农村图书资源的负担，另一方面能够教育学生，提高学生的思想道德水平。

在加强智力教育的同时，也实现德育水平的提高。

这样的活动需要教师的指引，设定补偿措施，一定要保证学生的图书资源不丢失，充分发挥“诚信书屋”的优势作用。

四、小结中小学图书室,是广大师生获取知识信息,丰富个人知识储备的重要。

抓好基层中小学图书室的优化管理工作十分必要。

带时滞项的高阶kirchhoff方程的拉回吸引子

带时滞项的高阶kirchhoff方程的拉回吸引子高阶Kirchhoff方程是指典型的弹性微分方程，其中包含了一些复杂的时滞项。

这些方程模拟了各种物理或工程现象中的振动现象。

在许多实际应用中，我们通常只能获得系统内某些状态的延迟信息。

因此引入带时滞项的Kirchhoff方程是一种常见的建模方法。

本文将简要介绍带时滞项的高阶Kirchhoff方程，并讨论它的拉回吸引子。

首先，我们介绍一下高阶Kirchhoff方程的一般形式：$$ Lu(x,t)=-\gamma(t)f(u(t-d))-\gamma(t)h(u^{(m)}(t-d)) $$其中，$L$是一个$2m$阶线性微分算子，$u$是未知函数，$\gamma(t)$和$d$是实函数和正实数，$f,h$是一些连续非线性函数。

系统的初边值条件通常可以写成：$$ u^{(k)}(0)=a_k,k=0,1,...,m-1, $$$$ u^{(k)}(1)=b_k,k=0,1,...,m-1. $$当高阶Kirchhoff方程中不包含时滞项($d=0$)时，这个方程描述的是常微分方程；当$d>0$时，这个方程可以被看作是带有不同类型的时滞的微分方程。

当然，由于高阶Kirchhoff方程中包含的时滞项，这个方程的分析和求解都需要采用一些特别的技巧。

当我们考虑这个方程的拉回吸引子时，我们可以采用拉普拉斯变换和Lyapunov-Krasovskii函数的方法来分析和研究。

在这种情况下，我们可以得到一个具有如下形式的拉普拉斯变换公式：$$ \mathcal{L}\{u(t-d)\}(s)=e^{-sd}\mathcal{L}\{u(t)\}(s) $$基于此，我们可以证明高阶Kirchhoff方程的拉回吸引子的存在性。

具体来说，对于高阶Kirchhoff方程的拉回吸引子，我们可以消去时滞项，将方程写成：$$ Lu(x,t)=-\gamma(t)f(u(t-\tau))-\gamma(t)h(u^{(m)}(t-\tau)) $$由于我们已经证明了高阶Kirchhoff方程具有拉回吸引子，所以在这种情况下，我们可以得到：$$ \lim_{t\rightarrow+\infty}\|u(t)-\Phi(t,u_0)\|=0, $$其中$\Phi(t,u_0)$是高阶Kirchhoff方程的解的拉回吸引子。

含Hardy-Sobolev临界指数的分数阶Kirchhoff型方程多重解的存在性

2. Nehari 流形和纤维映射
2.1. 预备知识和一些记号
( ) ( ) ( ) 定义 LP
3
(1 ≤ p ≤ +∞) 是具有标准范数 u p 的一般 Lebesgue 空间，记 H s
3
是 Cc∞
3
关于
⋅
( ) H
3
范数的完备化空间，其中：
1
( ) ∫ ∫
u
( ) H s
含Hardy-Sobolev临界指数的分数阶Kirchhoff 型方程多重解的存在性
李时雨，魏公明上海理工大学理学院，上海
收稿日期：2021年1月23日；录用日期：2021年2月17日；发布日期：2021年2月25日
摘要
本文主要研究了一类Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程：
( ) ∫ ∫ ∫
3
3
u ( x) − u ( y)
x − y N+2s
2
dxdy
，其中 ΛN ,S
=
22
s
Γ
2
N
+ 2s 4
Γ2
N
− 4
2s
,
DOI: 10.12677/aam.2021.102056
520
应用数学进展
李时雨，魏公明
( ) 我们推出对任意
µ
∈
0,
22s
Γ2
3
+ 2s 4
Γ2
3
− 2s 4
且精细估计收敛的泛函能量水平的阈值。据我们所知很少有文章提及问题(1.1)，因此本文的结果是对 Kirchhoff型临界分数阶椭圆方程已有结论的扩展和补充。
假设 f ( x) 满足下列条件：

一类强奇异Kirchhoff型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性结果

第３７卷第６期２０２３年１１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３７N o ．６N o v ．２０２３收稿日期:２０２３Ｇ０２Ｇ２０基金项目:国家自然科学基金项目(６１３６４０１５)作者简介:蔡序军(１９９８Ｇ),男,江西赣州人,在读硕士,研究方向为分数阶偏微分方程．E Ｇm a i l :x jc a i ３２４４＠１６３．c o m．㊀∗通信作者:吴克晴(１９７２Ｇ),男,江西鹰潭人,副教授,博士,研究方向为运筹学㊁泛函分析等．E Ｇm a i l :w k q６２２＠１２６．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２３)０６Ｇ０００１Ｇ０８一类强奇异K i r c h h o f f 型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性结果蔡序军,吴克晴∗(江西理工大学理学院,江西赣州３４１０００)摘要:利用变分和N e h a r i 方法,研究了一类强奇异K i r c h h o f f 型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性,推广了弱奇异情况的相关结果．关键词:分数阶K i r c h h o f f;强奇异;临界中图分类号:O １７５．２９㊀㊀㊀文献标志码:AU n i qu eR e s u l t s o fP o s i t i v e S o l u t i o n s f o r aC l a s s o f S t r o n g S i n g u l a rK i r c h h o f fT y p eF r a c t i o n a l L a pl a c i a nP r o b l e m s C A IX u Ｇj u n ,WU K e Ｇq i n g∗(C o l l e g e o f S c i e n c e ,J i a n g x iU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,G a n z h o u３４１０００,J i a n gx i ,C h i n a )A b s t r a c t :I nt h i s p a p e r ,t h eu n i q u e n e s so f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fs t r o n g s i n g u l a r K i r c h h o f f t y p ef r a c t i o n a lL a p l a c e p r o b l e m si ss t u d i e db y u s i n g th ev a r i a t i o n a la n d N e h a r i m e t h o d s ．T h e r e s u l t s f o rw e a ks i n gu l a r c a s e s a r e g e n e r a l i z e d ．K e y wo r d s :f r a c t i o n a lK i r c h h o f f ;s t r o n g s i n g u l a r i t y ;c r i t i c a l i t y 0㊀引言本文讨论以下涉及分数阶拉普拉斯的K i r c h Ｇh o f f 型问题正解的唯一性:u θ－１(－Δ)su ＝f (x )u －γ－㊀㊀k (x )u ２∗s －１,在Ω中,u ＞０,在Ω中,u ＝０,在R ３\Ω中,ìîíïïïïïï(１)其中: u 将会在之后定义;s ɪ(０,１),Ω⊂R ３是一个边界∂Ω光滑的有界开集;k ɪL ¥(Ω)是一个非负函数;γ＞１;θɪ(１,２∗s/２)以及f ɪL １(Ω)在Ω内几乎处处为正;(－Δ)s是分数拉普拉斯算子,定义为(－Δ)sφ(x )＝２l i m εң０＋ʏR ３\B ε(x )φ(x )－φ(y )x －y ３＋２s d y ,x ɪR ３,其中φɪC ¥０(R ３),B ε(x )表示R ３中以x ɪR ３为中心且半径ε＞０的球．问题(１)与K i r c h h o f f 在文献[１]中引入如下的物理模型有关:ρu t t －a ＋b ʏL０u ２x d x ()u x x ＝０,(２)其中ρ,a ,b ,L 为常数．这里M ʏL ０u ２xd x ():＝a ＋b ʏL０u ２x dx 描述了在振动期间由于弦长度增加而引起的张力变化．在L i o n s [２]提出了该问题的抽象框架之后,问题(２)才受到了大量关注．之后,F i s c e l l a 在文献[３]中提出了K i r c h h o f f 型分数阶拉普拉斯模型,该模型考虑了弦的分数长度的非局部测量引起的非局部张力．此后,分数阶K i r c h h o f f 型问题得到了广泛研究[４Ｇ７]．文献[８]中,S u n 研究强奇异次临界L a pl a c e 问题,给出了在一定条件下解的存在唯一性．在基尔霍夫型分数阶的背景下,F i s c e l l a [９]运用变分法和截断方法证明了弱奇异退化基尔霍夫型分数阶问题有两个正解．考虑基尔霍夫函数M (t )＝a ＋b t θ－１时,F i s c e l l a 和M i s h r a 在文献[１０]中证明弱奇异临界问题当b 充分小时有两个正解．最近,W a n g 等在文献[１１]中证明了S u n [８]的结果在基尔霍夫型分数阶的背景下依然成立,但临界问题依然无法解决．受上述工作的启发,笔者对γ＞１的临界问题(１)正解的唯一性进行研究．研究这个问题的主要困难是u －γ的不可积性和f (x )的不确定性,以及分数阶拉普拉斯算子的非局部性质和K i r c h h o f f 函数的退化特征．为了克服这些困难,将S u n [８]所做的启发性工作应用变分技术,并基于适当的约束恢复可积性．1㊀预备知识首先,给出一些后面会用到的定义和符号．令Q ＝(R ３ˑR ３)\(C ΩˑC Ω),其中C Ω＝R ３\Ω．定义E ＝{u u :R ３ңR 可测,u ΩɪL ２(Ω)且∬Q u (x )－u (y )２x －y ３＋２sd x d y ＜¥}．空间E 被赋予以下范数: u E ＝uL ２(Ω)＋∬Qu (x )－u (y )２x －y ３＋２sd x d y æèçöø÷１２．(３)此外,用如下的E ０表示E 的线性子空间:E ０:＝u ɪE :在R ３\Ω中几乎处处u ＝０{}．通过文献[１２]可知,空间E ０是一个希尔伯特空间,它可以被赋予以下标量积和范数‹u ,v ›:＝‹u ,v ›E ０＝∬Q(u (x )－u (y ))(v (x )－v (y ))x －y ３＋２sd x d y ,(４) u :＝u E ０＝∬Q u (x )－u (y )２x －y ３＋２s d x d y æèçöø÷１２．(５)因为在R ３\Ω中几乎处处有u ＝０,容易看出(３),(４)和(５)中的积分可以扩展到整个空间R ３．由文献[１２]可知,嵌入E ０ңL r (Ω)对于任何r ɪ[１,２∗s ]都是连续的,对于r ɪ[１,２∗s )是紧的,２∗s ＝６/(３－２s )是分数阶S o b o l e v 指数．对于任意s ɪ(０,１),存在一个最佳常数S s ＞０,使得S s ＝i n f u ɪE ０\{０} u ２u ２L ２∗(Ω)．(６)与问题(１)相关的能量泛函I :E ０ңR 定义如下:I (u )＝１２θ u ２θ＋１２∗sʏΩk (x )u ２∗sd x －１１－γʏΩf (x )u １－γd x ．函数u ɪE ０被称为问题(１)的弱解,如果u ＞０满足u ２(θ－１)‹u ,ψ›＋ʏΩk (x )u ２∗s －１ψd x －ʏΩf (x )u －γψd x ＝０,∀ψɪE ０．本文的主要结果如下．定理１㊀假设γɪ(１,＋¥)和f ɪL １(Ω)在Ω中几乎处处为正,那么,问题(１)存在唯一正解u ０ɪE ０,当且仅当存在u ∗ɪE ０,使得ʏΩf (x )u ∗１－γd x ＜＋¥．(７)2㊀主要引理由于γ＞１,泛函I 在E ０上非良定．为了获得问题(１)的解,定义了以下两个约束集:N ＝{u ɪE ０ u ２θ＋ʏΩk (x )u２∗sd x －ʏΩf (x )u１－γd x ȡ０}和N ∗＝{u ɪE ０ u ２θ＋ʏΩk (x )u２∗sd x －ʏΩf (x )u１－γd x ＝０}．现在,研究上述两个约束集的以下性质．引理１㊀若γɪ(１,＋¥)和式(７)成立,则N 和N ∗是非空的．此外,N 是E ０中的无界闭集．证明㊀由(７),对于任意t ＞０且u ɪE ０,有ʏΩf (x )u １－γd x ＜＋¥,定义J u (t )＝I (t u )＝t ２θ２θ u ２θ＋t ２∗s ２∗sʏΩk (x )u２∗sd x －２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷t１－γ１－γʏΩf (x )u １－γd x ．一方面l i m t ң０＋J u (t )＝＋¥,l i m t ң＋¥J u (t )＝＋¥,另一方面J ᶄu (t )＝t ２θ－１ u ２θ＋t ２∗s －１ʏΩk (x )u ２∗sd x －t －γʏΩf (x )u １－γd x ,J ᵡu (t )＝(２θ－１)t ２(θ－１) u ２θ＋(２∗s －１)t ２∗s －２ʏΩk (x )u ２∗sd x ＋γt －γ－１ʏΩf (x )u １－γd x ＞０．因此,l i m t ң０＋J ᶄu (t )＝－¥,l i m t ң＋¥J u ᶄ(t )＝＋¥．因为对于所有t ＞０有J ᵡu (t )＞０．故J ᶄu (t )在t ＞０上递增．因此,存在唯一的t (u )＞０,使得J u ᶄ(t (u ))＝０,以及对任何的t ＞t (u )有J u ᶄ(t )＞０,即对任何的t ȡt (u ),t (u )u ɪN ∗以及t u ɪN ．因此,N ∗是非空的,N 是非空且无界的．此外,J u (t )在(０,＋¥)中具有唯一的极小点．接着证明N 是一个闭集．假设u n {}⊂N 有ʏΩf (x )u n １－γd x ＜＋¥以及在E ０中u n ңu ,则应当证明u ɪN ．事实上,由于u n {}⊂N ,即 u n ２θ＋ʏΩk (x )u n ２∗sd x ȡʏΩf (x )u n１－γd x ．由于I (u )＝I (u ),通过F a t o u 引理可得 u ２θ＋ʏΩk (x )u ２∗sd x ȡl i mi n f n ң¥ʏΩf (x )un１－γd x ȡʏΩf (x )u n１－γd x ,这推断出u ɪN ．证毕．引理２㊀假设γɪ(１,＋¥)和f ɪL １(Ω)在Ω中几乎处处为正．对任意的u ɪN ∗有u ȡ０,以及φɪE ０有φ＞０,存在ε＞０和一个连续函数t :B ε(０)ңR ＋使得t (τ)(u ＋τφ)ɪN ∗,其中选择τɪR ＋使得 τφ ＜ε．证明㊀对任意的u ɪN ∗,定义F :R ˑR ңR ,F (t ,τ)＝t ２θ＋γ－１ u ＋τφ ２θ＋t ２∗s ＋γ－１ʏΩk (x )u ＋τφ２∗sd x －ʏΩf (x )u ＋τφ１－γd x ．显然,F (t ,τ)有定义．简单计算得出F t (t ,τ)＝(２θ＋γ－１)t ２θ＋γ－２ u ＋τφ ２θ＋(２∗s ＋γ－１)t ２∗s ＋γ－２ʏΩk (x )u ＋τφ２∗sd x ．因为u ɪN ∗,得到F (１,０)＝ u ２θ＋ʏΩk (x )u ２∗sd x －ʏΩf (x )u １－γd x ＝０,F t (１,０)＝(２θ＋γ－１) u ２θ＋(２∗s ＋γ－１)ʏΩk (x )u ２∗sd x ＞０．然后,将隐函数定理应用于点(１,０)处的F ,可得ε＞０和连续函数t ＝t (τ)＞０,满足对任意的τɪR ＋, τφ ＜ε,有t (０)＝１,t (τ)(u ＋τφ)ɪN ∗．引理３㊀若γɪ(１,＋¥)和(７)成立,则存在u ０ɪN ∗使得I (u ０)＝m ．证明㊀因为γ＞１,可得I (u )＝１２θ u ２θ＋１２∗sʏΩk (x )|u |２∗s d x －１１－γʏΩf (x )|u |１－γd x ȡ１２θ u ２θ．因此,I 是强制性的且下方有界．于是,m ＝i n f u ɪNI (u )是良定的．通过引理１,N 是闭的,将E k e l a n d 变分原理应用于这个最小化问题,存在一个序列u n {}⊂N 满足以下性质:(i )I u n ()＜m ＋１/n ;(i i )I (u )ȡI u n ()－１nu n －u ,∀u ɪN ．(８)由于I (|u |)＝I (u ),可从一开始就假设在Ω中u n ȡ０．因为u n ɪN ,有ʏΩf (x )u n １－γd x ＜＋¥,这意味着u n (x )＞０对几乎处处的x ɪΩ成立．显然,u n {}在E ０中是有界的．如有必要,转到子序列,仍然用u n {}表示,存在u ０ɪE ０且u ０ȡ０,满足当n ң¥时,u n ⇀u ０㊀在E ０中,u n ңu ０㊀a ．e ．在Ω中,u n ңu ０在L r (Ω)(２ɤr ＜２∗s )中．(９)由于ʏΩf (x )u ０１－γd x 的连续性不成立,本文只能由F a t o u 引理得到ʏΩf (x )u ０１－γd x ＜¥以及３第６期蔡序军等:一类强奇异K i r c h h o f f 型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性结果u ０(x )＞０对几乎处处的x ɪΩ成立．因此,根据引理１中的证明,存在唯一的正常数tu ０(),使得Itu ０()u ０()＝m i n t ＞０I (t u )且tu ０()u ０ɪN ∗．因为在E ０中u n ⇀u ０,利用范数的弱下半连续性,有l i mi n f n ң¥u n ȡ u ０．此外,鉴于γ＞１和F a t o u 引理,得到l i mi n f n ң¥－１１－γʏΩf (x )u n １－γd x æèçöø÷ȡ－１１－γʏΩf (x )u ０１－γd x ．因此,有m ＝l i m n ң¥I u n ()＝l i mi n fn ң¥( u n２θ２θ＋１２∗sʏΩk (x )u n ２∗sd x －１１－γʏΩf (x )u n １－γd x )＝l i mi n f n ң¥ u n ２θ２θ－１１－γʏΩf (x )u n １－γd x æèçöø÷＋１２∗sʏΩk (x )u ０２∗sd x ȡ－１１－γʏΩf (x )u ０１－γd x ＋ u ０２θ２θ＋１２∗sʏΩk (x )u ０２∗sd x ＝I u ０()ȡItu ０()u ０()ȡi n f u ɪN∗I (u )ȡm ,(１０)这推断出I u ０()＝m ,u ０ɪN ∗i ．e ．tu０()＝１()．3㊀定理1的证明定理１的证明㊀显然,必要性是正确的．现在,只需证明充分性．分以下两种情况来证明．情形１㊀假设引理３中的子序列u n {}⊂N 对于所有足够大的n 满足u n {}⊂N \N ∗．设φɪE ０且φȡ０．由于u n {}⊂N \N ∗和γ＞１,对于任何τ＞０,有u n ２θ＋ʏΩk (x )u n ２∗sd x ＞ʏΩf (x )u n １－γd x ȡʏΩf (x )u n＋τφ１－γd x ．因此,通过连续性,可以选择足够小的τ＞０,使得u n ＋τφ ２θ＋ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗sd x ＞ʏΩf (x )u n ＋τφ１－γd x ,这意味着当τ＞０足够小时,u n ＋τφɪN ．因此,根据(８)中的(i i ),得 u n －u n ＋τφ()nȡI u n ()－I u n ＋τφ(),即τ φ n ȡ u n ２θ－ u n ＋τφ ２θ２θ＋ʏΩk (x )u n２∗s－k (x )u n ＋τφ２∗s[]d x２∗s－ʏΩf (x )u n１－γ－f (x )u n ＋τφ１－γ[]d x１－γ．将不等式除以τ＞０,然后对上述不等式取下极限τң０,从F a t o u 引理可以看出l i mi n f τң０[φ n ＋u n ＋τφ ２θ－ u n ２θ２θτ＋ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗s －k (x )u n ２∗s ２∗s τd x ]ȡl i m i n fτң０ʏΩf (x )u n ＋τφ１－γ－f (x )u n １－γ(１－γ)τd x ȡʏΩl i m i n fτң０f (x )u n ＋τφ１－γ－f (x )u n １－γ(１－γ)τd x ＝ʏΩf (x )u n －γφdx ．另一方面,通过引理３知m 是由u ０ɪN ∗实现的,即对于u ０ɪN ∗,I u ０()＝m ．则由(１０)可得出当n ң¥时, u n ２θң u ０２θ．考虑到这些事实,让n ң¥,再次通过F a t o u引理得u ０２(θ－１)‹u ０,φ›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１φdx ȡʏΩf (x )u ０－γφd x ,∀φɪE ０,φȡ０．(１１)情形２㊀假设引理３中的子序列对于所有足够大的n 满足u n {}⊂N ∗．设φɪE ０且φȡ０．应用引理２,当u ＝u n 和τ＞０足够小时,发现一个连续函数序列t n ＝t n (τ),使得t n (０)＝１和t n (τ)(u n ＋τφ)ɪN ∗．注意到u n ɪN ∗,有t ２θn (τ) u n ＋τφ ２θ＋t ２∗s n (τ)ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗sd x －t １－γn(τ)ʏΩf (x )u n＋τφ１－γd x ＝０,(１２) u n２θ＋ʏΩk (x )un２∗sd x －４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷ʏΩf (x )u n １－γd x ＝０．(１３)从(１２)和(１３)可以看出t ２θn(τ)－１() u n ＋τφ ２θ＋u n ＋τφ ２θ－u n ２θ()＋t ２∗s n (τ)－１()ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗sd x ＋ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗s－k (x )u n ２∗s[]d x －t １－γn(τ)－１()ʏΩf (x )u n ＋τφ１－γ－ʏΩf (x )u n ＋τφ１－γ－f (x )u n１－γ[]d x ＝０．然后除以τ＞０,由于γ＞１,有t n (τ)－１τ(t ２θn (τ)－１t n (τ)－１ u n ＋τφ ２θ＋t ２∗s n (τ)－１t n(τ)－１ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗sd x －t １－γn(τ)－１t n (τ)－１ʏΩf (x )u n ＋τφ１－γd x )＋u n ＋τφ ２θ－u n ２θτ＋ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗s －k (x )u n ２∗s τd x ɤ０．让τң０,推断ωᶄn ,０(２θ u n ２θ＋２∗sʏΩk (x )u n２∗sd x －(１－γ)ʏΩf (x )u n１－γd x )＋２θ u n ２(θ－１)‹u n ,φ›＋２∗sʏΩk (x )u n ２∗s －１φdx ɤ０．由u n ɪN∗,对于一些C ＞０,有ωᶄn ,０((２θ－１＋γ) u n ２θ＋(２∗s －１＋γ)ʏΩk (x )u n ２∗sd x )＋２θ u n ２(θ－１)‹u n ,φ›＋２∗sʏΩk (x )u n２∗s －１φdx ɤωᶄn ,０C ＋２θ u n ２(θ－１)‹u n ,φ›＋２∗sʏΩk (x )u n２∗s －１φdx ɤ０,其中,ωᶄn ,０＝l i m τң０t n (τ)－１τɪ[－¥,＋¥]．如果极限不存在,可以选择τk ң０(而不是τң０),所以l i m k ң¥t n τk ()－１τkɪ[－¥,＋¥]．由于u n {}在E ０中有界,上述不等式意味着ωᶄn ,０ʂ＋¥．因此ωᶄn ,０对n 上方一致有界．另一方面,为了获得一致估计ωᶄn ,０ɤC 对于所有大的n 都成立,回到(８)中的(i i )．从t n (τ)(u n ＋τφ)ɪN ∗和u n ɪN ∗可以得出t n (τ)－１ u n n ＋τt n (τ) φnȡ u n －t n (τ)u n ＋τφ()nȡI u n ()－I t n (τ)u n ＋τφ()[]＝(２θ－１＋γ)２θ(１－γ)t ２θn (τ)－１() u n ＋τφ ２θ[＋ u n ＋τφ ２θ－u n ２θ()]＋(２∗s －１＋γ)２∗s (１－γ){t ２∗s n (τ)－１()ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗sd x ＋ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗s－k (x )u n ２∗s[]d x }．除以τ＞０,然后让τң０,推导出ωᶄn ,０u n n ＋l i m τң０t n (τ) φ nȡ２θ－１＋γ１－γωᶄn ,０ u n ２θ＋ u n ２(θ－１)‹u n ,φ›[]＋２∗s －１＋γ１－γωᶄn ,０ʏΩk (x )u n ２∗sd x [＋ʏΩk (x )u n２∗s －１φdx ],即ωᶄn ,０u n n ＋ φnȡωᶄn ,０２θ－１＋γ１－γu n ２θéëêê＋２∗s －１＋γ１－γʏΩk (x )u n ２∗sd x ùûúú－２θ－１＋γ１－γu n ２(θ－１)‹u n ,φ›éëêê＋２∗s －１＋γ１－γ＋ʏΩk (x )u n ２∗s －１φd x ùûúúȡ－ωᶄn ,０C －２θ－１＋γ１－γu n ２(θ－１)‹u n ,φ›éëêê＋２∗s －１＋γ１－γ＋ʏΩk (x )u n ２∗s －１φd x ùûúú．因此,ωᶄn ,０ʂ－¥,因为γ＞１．即ωᶄn ,０对所有大的n 下方一致有界．因此,对所有大的n ,ωᶄn ,０ɤC ．现在,再次应用(８)中的条件(i i)得出t n (τ)－１τu n n ＋t n (τ) φn ȡ５第６期蔡序军等:一类强奇异K i r c h h o f f 型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性结果１τ u n －t n (τ)u n ＋τφ() nȡ１τI u n ()－I t n (τ)u n ＋τφ()[]()＝－１２θτt n (τ)２θ－１() u n ＋τφ ２θ[＋ u n ＋τφ ２θ－u n ２θ()]－１２∗s τt n (τ)２∗s －１()ʏΩk (x )u n＋τφ２∗sd x [＋ʏΩk (x )u n＋τφ２∗s－k (x )u n ２∗sd x ]＋１(１－γ)τt n(τ)１－γ－１()ʏΩf (x )u n＋τφ１－γd x [＋ʏΩf (x )u n＋τφ１－γ－f (x )u n１－γd x ]＝－t n (τ)－１τt n (τ)２θ－１２θt n (τ)－１()u n ＋τφ ２θéëêê＋t n (τ)２∗s－１２∗s t n (τ)－１()ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗sd x －t n (τ)１－γ－１(１－γ)t n (τ)－１()ˑʏΩf (x )u n ＋τφ１－γd x ]－u n ＋τφ ２θ－ u n ２θ２θτéëêê＋ʏΩk (x )u n ＋τφ２∗s －k (x )u n ２∗s ２∗s τd x －ʏΩf (x )u n ＋τφ１－γ－f (x )u n １－γ(１－γ)τd x ùûúú,令τң０,由于γ＞１,根据F a t o u 引理,由上面的不等式可以得出ωᶄn ,０u n n ＋l i m τң０t n (τ) φn＝ωᶄn ,０u n n ＋ φ nȡ－ωn ,０ᶄ(u n ２θ＋ʏΩk (x )u n ２∗sd x －ʏΩf (x )u n １－γd x )－(u n ２(θ－１)‹u n ,φ›＋ʏΩk (x )u n ２∗s －１φd x －ʏΩl i m i n fτң０f (x )u n ＋τφ１－γ－f (x )u n １－γ(１－γ)τd x )＝－(u n ２(θ－１)‹u n ,φ›＋ʏΩk (x )u n ２∗s －１φd x －ʏΩf (x )u n －γφdx ),由于u n ɪN ∗,ωᶄn ,０ɤC 对于所有大的n 一致成立和F a t o u 引理依次表明f (x )u －γφ是可积的,并且u ０２(θ－１)‹u ０,φ›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１φdx －ʏΩf (x )u ０－γφdx ȡ０．(１４)结果能够证明u ０是问题(１)的解．由引理３,(１１)和(１４),得到了u ０ɪN ∗和 u ０２(θ－１)‹u ０,φ›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１φdx －ʏΩf (x )u ０－γφd x ȡ０,∀φɪE ０,φȡ０．(１５)对任意的ψɪE ０,定义Ωε＝{x ɪR ３:u ０＋εψɤ０},选择Ψε＝u ０＋εψ,带入(１５),有０ɤ u ０２(θ－１)‹u ０,u ０＋εψ()＋›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１u ０＋εψ()＋[－f (x )u －γ０u ０＋εψ()＋]d x ＝ u ０２(θ－１)‹u ０,u ０＋εψ›－ u ０２(θ－１)‹u ０,Ψ－ε›＋ʏΩ－ʏΩε()k (x )u ２∗s －１０u ０＋εψ()[－f (x )u －γ０u ０＋εψ()]dx ＝( u ０２θ＋ʏΩk (x )u ２∗s０d x －ʏΩf (x )u １－γ０d x )＋ε[ u ０２(θ－１)‹u ０,ψ›＋ʏΩk (x )u ２∗s －１０ψd x －ʏΩf (x )u －γ０ψdx ]－[ u ０２(θ－１)‹u ０,Ψ－ε›＋ʏΩεk (x )u ２∗s －１０ˑu ０＋εψ()－f (x )u －γ０u ０＋εψ()dx ]ɤ u ０２(θ－１)‹u ０,ψ›＋ʏΩk (x )u ２∗s －１０ψd x [－ʏΩf (x )u －γ０ψd x ]－ u ０２(θ－１)‹u ０,Ψ－ε›＋εʏΩεk (x )u ２∗s －１０ψd x ．(１６)令K ε(x ,y )＝u ０(x )－u ０(y )()Ψ－ε(x )－Ψ－ε(y )()x －y ３＋２s ,K (x ,y )＝u ０(x )－u ０(y )()(ψ(x )－ψ(y ))x －y ３＋２s ,通过分数核的对称性得到６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷‹u ０,Ψ－ε›＝∬ΩεˑΩεK ε(x ,y )d x d y ＋２∬Ωεˑℝ３\Ωε()K ε(x ,y )d x d y ɤ－ε∬ΩεˑΩεK (x ,y )d x d y (＋２∬Ωεˑℝ３\Ωε()K (x ,y )d x d y )ɤ２ε∬Ωεˑℝ３K (x ,y )d x d y ．(１７)显然,K ɪL １R ３ˑR ３(),对于任意σ＞０,存在足够大的R σ,使得∬(s u p p ψ)ˑℝ３\B R σ()K (x ,y )d x d y ＜σ２．根据Ωε的定义,有Ωε⊂s u p p ψ和ΩεˑB R σң０,当εң０＋时．因此,对K ɪL １R ３ˑR ３(),存在δσ＞０和εσ＞０,使得对于任意εɪ(０,εσ],有ΩεˑB R σ＜δσ,∬ΩεˑB R σK (x ,y )d x d y ＜σ２．因此,对任意的εɪ(０,εσ],∬ΩεˑR３K (x ,y )d x d y ＜σ,从而得到l i mεң０＋∬ΩεˑR３K (x ,y )d x d y ＝０．故由(１７)可知l i mεң０＋１ε‹u ０,Ψ－ε›＝０,因为 u ０θ－１是有界的．由于当εң０时,m e a su ０＋εψɤ０{}ң０,通过取极限εң０,得到ʏΩεk (x )u ２∗s －１０ψdx ＝０．因此,让(１６)式除以ε且令εң０,有 u ０２(θ－１)‹u ０,φ›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１φdx －ʏΩf (x )u ０－γφdx ȡ０,对所有的ψɪE ０都成立．这个不等式对于－ψ也同样成立．由此可见u ０２(θ－１)‹u ０,φ›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１φdx －ʏΩf (x )u ０－γφdx ＝０(１８)对所有的ψɪE ０都成立．因此,u ０确实是问题(１)的正解．最后,证明问题(１)解的唯一性．假设v ０是问题(１)的另一个解,则由(１８)可知 u ０２(θ－１)‹u ０,u ０－v ０›＋ʏΩk (x )u ０２∗s －１(u ０－v ０)d x －ʏΩf (x )u ０－γ(u ０－v ０)d x ＝０,(１９) v ０２(θ－１)‹v ０,u ０－v ０›＋ʏΩk (x )v ０２∗s －１(u ０－v ０)d x －ʏΩf (x )v ０－γ(u ０－v ０)d x ＝０．(２０)由(１９)和(２０)可得( u ０２θ－u ０２(θ－１)‹u ０,v ０›－v ０２(θ－１)‹u ０,v ０›＋ v ０２θ)＋ʏΩk (x )u ２∗s －１０－v ２∗s －１０()u ０－v ０()d x －ʏΩf (x )u －γ０－v －γ０()u ０－v ０()d x ＝０．(２１)由于γ＞１,很容易得到下列不等式:ʏΩf (x )u －γ０－v －γ０()u ０－v ０()d x ɤ０,ʏΩk (x )u２∗s －１０－v ２∗s －１０()u ０－v ０()d x ȡ０．(２２)定义J u ０,v ０():＝ u ０２θ－ u ０２(θ－１)‹u ０,v ０›－v ０２(θ－１)‹u ０,v ０›＋v ０２θ．通过H öl d e r 不等式,可得J u ０,v ０()ȡu ０－ v ０ ()２ u ０２θ－２(＋u ０２θ－３ v ０＋＋ v ０２θ－２)ȡ０．(２３)因此,由(２１)－(２３)可知u ０＝v ０．于是,u ０是问题(１)的唯一正解．4㊀结语本文以变分理论为基础,在一定条件下研究问题(１)的可解性．由于方程(１)对应的能量泛函I 非良定,导致一些非线性分析的技巧不再适用．为了求解问题,定义了两个非空的约束集N 和N ∗,在约束集N 中找到了一个u ０,使其泛函值I u ０()为约束集N ∗内泛函值的极小,其中,应用E k e l a n d 变分原理获得了一个极小化序列u n {}．最后,分别对序列u n {}包含在N \N ∗和N ∗两种情形证明了问题(１)正解的存在性并确定正解唯７第６期蔡序军等:一类强奇异K i r c h h o f f 型分数阶拉普拉斯问题正解的唯一性结果一．值得注意的是,问题(１)是一个强奇异退化问题,推广了弱奇异情况的已知结果．然而,在非退化情形下,该问题解的存在性和多重性结果尚属开放．参考文献:[１]K I R C HHO F F G．M e c h a n i k[M]．T 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i n v o l v i n g t h e f r a c t i o n a l pＧL a p l a c i a n[J]．A pＧp l i e d M a t h e m a t i c s a n dO p t i m i z a t i o n,２０１９,８０(１):６３Ｇ８０．[６]F I G U E I R E D O G,MO L I C AB I S C IG,S E R V A D E IR．O n af r a c t i o n a l K i r c h h o f fＧt y p e e q u a t i o n v i a K r a sＧn o s e l s k i i s g e n u s[J]．A s y m p t o t i cA n a l y s i s,２０１５,９４(３Ｇ４):３４７Ｇ３６１．[７]X I A N G M Q,B I S C IG M,T I A N G H,e t a l．I n f i n i t e l y m a n y s o l u t i o n s f o r t h e s t a t i o n a r y K i r c h h o f f p r o b l e m s i n v o l v i n g t h e f r a c t i o n a l pＧL a p l a c i a n[J]．N o n l i n e a r i t y,２０１６,２９(２):３５７Ｇ３７４．[８]S U N YJ．C o m p a t i b i l i t yp h e n o m e n a i ns i n g u l a r p r o bＧl e m s[J]．P r o c e e d i n g so f t h eR o y a lS o c i e t y o fE d i nＧb u r g h:S e c t i o n A M a t h e m a t i c s,２０１３,１４３(６):１３２１Ｇ１３３０．[９]F I S C E L L A A．Af r a c t i o n a lK i r c h h o f f p r o b l e mi n v o lＧv i n g as i n g u l a rt e r m a n dac r i t i c a ln o n l i n e a r i t y[J]．A d v a n c e si n N o n l i n e a r A n a l y s i s,２０１９,８(１):６４５Ｇ６６０．[１０]F I S C E L L A A,M I S H R A P K．T h eN e h a r im a n i f o l d f o r f r a c t i o n a lK i r c h h o f f p r o b l e m s i n v o l v i n g s i n g u l a r a n d c r i t i c a l t e r m s[J]．N o n l i n e a r A n a l y s i s,T h e o r y,M e t h o d s a n dA p p l i c a t i o n s,２０１９,１８６:６Ｇ３２．[１１]WA N G L,C H E N G K,Z HA N G B L．A u n i q u e n e s s r e s u l t f o rs t r o n g s i n g u l a r K i r c h h o f fＧt y p ef r a c t i o n a l L a p l a c i a n p r o b l e m s[J]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sa n dO p t i m i z a t i o n,２０２１,８３:１８５９Ｇ１８７５．[１２]S E R V A D E I R,V A L D I N O C I E．M o u n t a i nP a s s s o l uＧt i o n s f o rn o nＧl o c a le l l i p t i co p e r a t o r s[J]．J o u r n a lo fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n s,２０１２,３８９(２):８８７Ｇ８９８．[责任编辑:赵慧霞]８㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷。

一类非线性Kirchhoff方程限制极小值点的存在性

一类非线性Kirchhoff方程限制极小值点的存在性郝晓翠;李宇华【摘要】利用Gagliardo-Nirenberg不等式以及证明一个严格的次可加条件来研究限制在L2(R4)范数下的Kirchhoff方程的极小值点的存在性.%We discuss the minimization problems with a prescribed L2 (R4)-norm for Kirchhoff equations,with the Gagliardo-Nirenberg inequality and the proof of the strict subadditivity condition.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(038)001【总页数】5页(P18-22)【关键词】限制极小值;次可加条件;Kirchhoff方程【作者】郝晓翠;李宇华【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】O175.25;O177本文主要研究如下的Kirchhoff方程(1)其中a,b>0.方程(1)与如下方程(2)的稳态解相关,其中f(x,u)是一般的非线性项.方程(2)描述了横向波引起的绳的长度的改变,模拟了弹性绳的自由振动[1].文献[2]对Kirchhoff方程引进了变分结构，引起了许多学者的关注[3-5].当把λ看作一个未知的Lagrange乘数时,方程(1)就被认为是一个特征值问题.通过研究一些约束变分问题,可得到方程(1)的正规化解.受文献[6-7]的启发,我们考虑下面的极小值问题mc2infu∈ScE(u)(3)其中Sc{u∈H1(R4)∶‖u‖2=c>0}为证明主要结果，需要如下带有最佳常数的Gagliardo-Nirenberg不等式[8](4)当且仅当u=Q时,等式成立.通过平移,Q是下列方程的唯一的基态解(5)本文研究的主要结果如下.定理1 令p∈(2,3],有(ⅰ)存在c*∈[0,+)使得进一步,当2<p<3时, c*=0,当p=3时,c*=a‖Q‖2,Q可由(5)式给出.(ⅱ)对任意的c>c*,经过适当的平移,在H1(R4)中,问题(3)的所有极小化序列都是列紧的,从而mc2是可达的,也就是,方程(1)有一对解(uc,λc)∈H1(R4)×R满足‖u‖2=c,λc<0.(ⅲ)对任意的0<c≤c*,mc2是不可达的,也就是,方程(1)对任意的λc都没有解.1 预备工作为方便,做以下记号A(u)于是E(u)=A(u)+B(u)-C(u)对任意的c>0,u∈Sc,由(4)式可得(6)当且仅当u=Q时,等式成立.进一步,从(5)式可得(7)2 主要引理引理2.1 假设2<p≤3,(1)对每一个c>0,mc2有定义且mc2≤0;(2)对每一个p∈(2,3), 当c>0时，mc2<0.证明 (1)对任意的c>0,u∈Sc,由(6)式可得,存在满足因为2<p≤3,所以E在Sc上有界;也就是说,mc2是有定义的.令ut(x)t2u(tx),t>0,则ut∈Sc且mc2≤E(ut)=t2A(u)+t4B(u)-t2(p-2)C(u)→0,t→0(8)因此,对所有的c>0,mc2∈(-,0].(2)如果p∈(2,3),那么0<2(p-2)<2,于是(8)式表明,当c>0,t充分小时,mc2<0.证毕. 引理2.1表明对每一个p∈(2,3],集合{c∈(0,+)|mc2<0}≠Ø取c*i nf {c∈(0,+)|mc2<0}引理2.2[9] 对每一个2<p≤3,函数cmc2在(0,+)上是连续的.引理2.3(1)如果2<p<3,那么c*=0.(2)如果p=3,那么c*∈(0,+)且进一步,当p=3时,c*=a‖Q‖2.证明(1)由引理2.1(2)易得c*=0.(2)对每一个0<c≤a‖Q‖2c*以及u∈Sc,由(6)式可得上式表明mc2≥0.由引理2.1(1)得,对所有的0<c≤c*有mc2=0.如果c>c*=a‖Q‖2,令Qt(x)于是,Qt∈Sc.因此,由(7)式得f(t)于是有所以,由c*的定义和引理2.1(1)可得,当c>c*时,mc2<0,当0<c<c*时,mc2=0.由mc2的连续性可得,引理2.4 如果2<p≤3,那么,对任意的c>c*,0<α<c有mc2<mα2+mc2-α2证明对任意的c>c*,由引理2.3得,mc2<0.取mc2的一个极小化序列{un}⊂Sc,则存在不依赖于n的两个常数k1,k2,并且0<k1<k2，使得令则进一步有当n→+时,注意到右边第二项是严格负的且不依赖于n,于是有mθ2c2<θ2mc2,θ>1因此,s在(0,c)上是递减的，因而和进一步有引理得证.引理2.5 当2<p≤3时,如果函数E|Sc有限制临界点u∈Sc,那么2A(u)+4B(u)-(p-2)C(u)=0(9)且存在λc<0满足E′(u)-λcu=0.证明因为(E|Sc)′(u)=0,于是,存在λc∈R使得在H-1(R4)中E′(u)-λcu=0.因此2A(u)+4B(u)-pC(u)=λcc2(10)进一步,u满足下面Pohozaev等式[10]A(u)+2B(u)-2C(u)=λcc2上式和(10)式表明(9)式成立.由(9)式和2<p≤3,可得引理2.6 当2<p≤3,c>c*时,经过平移,问题(3)的任意极小化序列在Lq(R4)(2<q<4)中都强收敛.证明取mc2<0的一个极小化序列{un}⊂Sc,于是,很容易得到{un}在H1(R4)中有界.令σ如果σ=0,由消失引理可得,对任意的2<q<4,在Lq(R4)中un→0.因此,0≤limn→+(A(un)+B(un))=mc2<0,而这是不可能的.所以,一定有σ>0,而且,存在一个序列{yn}⊂R4使得(11)记un(·-yn),则,⊂Sc也是mc2的一个极小化序列.对某个假设(12)上式和(11)式表明因此α接下来,证明假设α<c,由(12)式,有(13)这里,当n→+时,o(1)→0.由Brezis-Lieb引理和引理2.2得上式与引理2.4矛盾.因此,于是,由(4)式可得,在Lq(R4)中3 定理1的证明证明取泛函E在Sc上的极小化序列{un},根据引理2.6,在Lq(R4)中,存在{yn}⊂R4,使得un(·-yn)→u.因此,由范数的弱下半连续性,有E(u)≤mc2事实上,{un(·-yn)}在H1(R4)中是强收敛的.由引理2.6有‖u‖2=c,又由(12)式得mc2≤E(u)≤limn→+E(un(x-yn))=mc2所以u∈Sc是mc2的一个极小值点,从而u是E|Sc的一个临界点.因此,由引理2.5知,存在λc<0使得(uc,λc)是方程(1)的一对解.事实上,当p=3时,对所有的0<c<c*,mc2没有极小值点;进一步,也没有极小值.假设对某个c0∈(0,c*],存在uc0∈Sc0满足由(6)式可得上式表明B(uc0)=0.因此,uc0=0,而这是不可能的.定理得证.参考文献:【相关文献】[1] LUO X,WANG Q.Existence and asymptotic behavior of high energy normalized solutions for the Kirchhoff type equations in R3[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2017,33:19-32.[2] LIONS J L.On some questions in boundary value problems of mathematicalphysics[J].North-Holland Mathematics Studies,1978,30:284-346.[3] DENG Y,PENG S,SHUAI W.Existence and asymptotic behavior of nodal solutions for the Kirchhoff-type problems in R3[J].J. Funct. Anal.,2015,269(11):3 500-3 527.[4] HE Y,LI G,PENG S.Concentrating bound states for Kirchhoff type Problems in R3 involving critical Sobolev exponents[J].Adv. Nonlinear Stud.,2014,14(2):483-510.[5] HE X,ZOU W.Existence and concentration behavior of positive solutions for a Kirchhoff equation in R3[J].J. Differential Equations,2012,252(2):1 813-1 834.[6] BELLAZZINI J,JEANJEAN L,LUO T.Existence and instability of standing waves with prescribed norm for a class of Schrödinger-Poisson equations[J].Proceedings of London Mathematical Society,2013,107(2):303-339.[7] YE H.The sharp existence of constrained minimizers for a class of nonlinear Kirchhoff equations[J].Math. Methods Appl. Sci.,2015,38(13):2 663-2 679.[8] WEINSTEIN M I.Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates[J].Comm. Math. Phys.,1983,87(4):567-576.[9] BELLAZZINI J,SICILIANO G.Scaling properties of functionals and existence of constrained minimizes[J].J. Funct. Anal.,2011,261(9):2 486-2 507.[10]LI G,YE H.Existence of positive ground state solutions for the nonlinear Kirchhoff type equations in R3[J].J. Differential Equations,2014,257(2):566-600.。

一类分数阶Kirchhoff型方程无穷多解的存在性

一类分数阶Kirchhoff型方程无穷多解的存在性
安育成;索洪敏
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(038)003
【摘要】利用临界点理论中的对称山路引理,研究一类分数阶Kirehhoff型方程在次临界增长条件下无穷多解的存在性,获得了一些新的可解性条件,改进和丰富了已有文献的相关结果.
【总页数】6页(P345-350)
【作者】安育成;索洪敏
【作者单位】贵州工程应用技术学院理学院,贵州毕节551700;贵州民族大学理学院,贵州贵阳550025
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.一类 p-Kirchhoff 方程无穷多解的存在性 [J], 宋宇鹏
2.一类Neumann边界的Kirchhoff型方程无穷多解的存在性 [J], 赵仕海;索洪敏;雷春雨;张鹏
3.一类具有无穷点积分边界条件非线性分数阶微分方程解的存在性与多解性 [J], 耿鑫彪;刘雯
4.具有临界指标的分数阶Kirchhoff型问题无穷多解的存在性 [J], 赵福;刘泽一;梁
四化
5.一类分数阶边值问题无穷多解的存在性 [J], 何仙;张清业
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一类带参数的Kirchhoff型问题的正解

一类带参数的Kirchhoff型问题的正解柳畅;张建明;王淑丽【摘要】探讨了带一个参数的Kirchhoff型方程正解的存在性.首先,通过固定非局部项将Kirchhoff型方程化为椭圆型方程,由变分法得到椭圆方程对应的能量泛函Jω,并验证Jω满足文章给出引理的几何性质,进而获得了泛函Jω的PS序列.在缺乏通常的紧性条件下,利用波霍扎叶夫等式证明了PS序列的有界性.其次,证明了有界的PS序列有强收敛子列,且收敛到泛函Jω的一个非平凡临界点uω.最后,通过迭代方法对ω进行迭代获得了泛函{Jun-1}的临界点序列{un},并证明序列{un}收敛到原Kirchhoff型方程的一个正解,进而得到结论:当参数在一定范围内变化时,该问题至少存在一个正解.【期刊名称】《中北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)004【总页数】6页(P356-360,374)【关键词】Kirchhoff型问题;变分法;迭代方法;波霍扎叶夫等式【作者】柳畅;张建明;王淑丽【作者单位】太原理工大学数学学院,山西太原030024;太原理工大学数学学院,山西太原030024;太原理工大学数学学院,山西太原030024【正文语种】中文【中图分类】O175本文主要研究带有一个参数的Kirchhoff型问题正解的存在性, 其中N≥3, a是正常数, λ≥0 是参数, m, f: R+→R+是连续函数, 并且K是势函数.密切相关, 它是经典的d’Alembert’s 波动方程的延伸，关于Kirchhoff方程已有很多研究结果[1-3]. 近年来, 许多学者应用变分方法和山路定理等可行性方法研究了问题(Pλ)在有界区域上正解的存在性[4-10]，而在无界区域上研究的文章却很少. 受文献[11]的启发, 本文应用变分方法和迭代方法获得了问题(Pλ) 的正解的存在性, 而且不需要通常的紧性条件.为了证明正解的存在性, 本文作如下假设 :(K1) K∈ C(RN,R)且存在使得其中(K2) 存在α∈(0,2)，使得对几乎所有的x∈RN, 有|x·K(x)|≤αK(x);定理 1 若K满足(K1)和(K2), f满足(F1), (F2)和 (F3), 则对函数m∈ C(R+, R+), 存在使得对于任意问题(Pλ)至少存在一个正解.推论 1[12] 如果条件(K1), (K2), (F1), (F2)和 (F3)成立, 那么存在使得对于任意型问题至少存在一个正解.本文只考虑问题(Pλ)正解的存在性, 所以当t<0 时，设f(t)=0.记|·|q 为通常的Lq(RN)范数, 那么D1,2(RN)是连续嵌入到L2*(RN) 的.对于给定的ω∈ D1,2(RN) 和定义空间D1,2(RN) 上的泛函Jω, τ为其中，s. 由f和K的假设条件易知Jω, τ∈C1(D1,2(RN), R), 并且是问题(Pλ)的一个弱解如果对于任意v∈D1,2(RN), 有显然问题(Pλ) 的弱解等价于泛函J在D1,2 (RN)中的临界点, 其中为了证明主要结论, 给出如下引理.引理 1[13] 设X是一个Banach空间, I⊂R+是一个区间. 考虑X 上的一族C1泛函Jτ(u)=A(u)-τB(u), τ∈I, 其中B(u)非负, 当‖u‖→∞ 时A(u)→0或者B(u)→0, 并且Jτ(0)=0. 记Γτ={γ∈C([0, 1], X)|γ(0)=0, Jτ(γ(1))<0}. 如果对每个τ∈I, 集合Γτ≠Ø 且那么对于几乎所有τ∈I, 存在序列{un,τ}⊂X使得(i) {un,τ} 是有界的;.令空间(‖ω‖2))‖u‖2, B(u)=∫RNK F(u), 那么空间X上相应的泛函可以记为Jω,τ(u)=Aω(u)-τB(u), 并且引理 2 对于给定的L,R>0 和ω∈ D1,2(RN)且‖ω‖≤R, 存在使得对于任意τ∈I, 如果那么Γω,τ≠Ø.证明由条件(K1) 和m∈ C(R+, R+) 知, 对于给定的L,R>0, 存在和使得并且对任意有选取函数φ满足‖φ‖=1, supp(φ)⊂和φ2>0.由条件 (F3) 知, 对于φ2)-1, 存在C3>0使得因此，对于任意τ∈I和,其中，显然当t0>0充分大时有Jω, τ(t0φ)<0.引理 3 对于给定的L, R>0 和ω∈ D1,2(RN) 满足‖ω‖≤R, 存在σ>0, 使得对于任意τ∈I, Cω,τ≥σ.证明由条件(K1), (F1) 和 (F2)知存在常数C1>0，使得0≤K(x)F(s)≤C1|s|2*. 因此，对于每一个τ∈ I, λ∈R+ 和u∈ D1,2(RN), 有其中， S是最好的Sobolev嵌入常数. 由上述不等式易知，存在ρ>0 使得当0<‖u‖≤ρ时Jω,τ(u)>0. 特别地, 若‖u‖=ρ, Jω,τ(u)≥σ>0, 其中是与τ和ω无关的常数. 又由Γω,τ的定义知对于每一个γ∈Γω,τ有‖γ(1)‖>ρ, 因此由介值定理知存在tγ∈(0,1) 使得‖γ(tγ)‖=ρ. 所以，对于每一个τ∈I 和λ∈R+, 有引理 4 在引理2的假设下, 对于任意的τ∈I, 如果λ ∈ [0, ), 那么泛函Jω,τ 的每一个有界的(PS)序列都有一个收敛子列.证明对于每个给定的). 令{uω,τ,n}⊂ D1,2(RN)满足不失一般性, 假设存在uω,τ∈D1,2(RN) 使得在空间 D1,2(RN) 中uω,τ,n⇀uω,τ, 在空间中uω,τ,n→uω,τ, 其中p∈(1,2*), 并且对几乎所有的x∈RN 有uω,τ,n(x)→uω,τ(x). 由此可知对每一个r>0, 由(K1), (F1) 和 (F2) 得又由(F1) 和 (F2)知，对于任意ε>0, 存在正常数β1, β2 和Cε使得记En={x∈ RN|β1≤|uω,τ,n(x)|≤β2}. 则|En|≤∫En|uω,τ,n|2*≤∫RN|即|E{n}|其中|En| 是En的Lebesgue测度. 由式(6)和条件(K1) 知其中，q′∈(0,∞) 满足那么结合式(5)有由式(1)知结合式(4)和式(7)可知即.又因为在D1,2(RN) 中uω,τ,n⇀uω,τ, 所以引理 5 序列{τk}⊂I满足τk=1, 如果那么对于几乎每一个k, 泛函Jω, τk有一个非平凡临界点uω, τk.证明对于给定的L, R>0 和ω∈D1,2(RN) 满足‖ω‖≤R, 由引理1，2和3知，存在和满足的序列{τk}⊂I, 使得对于每一个k,存在一个有界的序列{uω,τk,n}满足其中Cω,τk如式(2)所定义.由引理4知, 对每一个k, 存在uω,τk∈D1,2(RN) 使得Jω, τk(uω,τk)=Cω,τk 并且即uω,τk 是泛函Jω,τk的一个非平凡临界点 .引理 6 在引理2的假设下, 存在使得如果uω,τk是泛函Jω,τk在水平Cω,τk下的一个临界点, 那么对于每一个), {uω,τk}是一致有界的.证明因为uω,τk是泛函Jω,τk在水平Cω,τk下的一个临界点, 所以由文献[14]可知uω,τk满足下面的Pohožaev 等式由条件(K2) 知又由Jω,τk(uω,τk)=Cω,τk得结合式(8)和(9)有由Cω,τk的定义, 引理2和式(3)知, 存在C5(L)>0使得其中，φ 是引理2中取定的.因为所以对于给定的L>0, 如果记那么对于任意ω∈D1,2(RN) 满足‖ω‖ ≤R, 存在使得当时, Jω,τk有一个临界点uω,τk且‖uω,τk‖≤R.记(‖ω‖2))‖u‖2-∫RNKF(u).引理 7 如果), 那么泛函Jω有一个非平凡临界点.证明令{uω,τk}是泛函Jω,τk在水平Cω,τk下的临界点. 由引理6知{uω,τk}是有界的, 因此{Jω(uω,τk)} 也是有界的.对任意因此当k → ∞ 时所以{uω,τk}是泛函Jω的一个有界的(PS) 序列.由引理4易知, {uω,τk}有一个收敛子列.不失一般性, 可以假设在D1,2(RN) 中uω,τk→uω, 因此，.又由引理3知，所以，uω是泛函Jω的一个非平凡临界点. 定理1的证明对于给定的L>0, 选择如果令ω=ω0≡0, 由引理2～7知，泛函Jω有一个非平凡临界点, 记为u1 并且‖u1‖≤R. 令ω=u1, 那么泛函Ju1有一个非平凡临界点u2, 并且‖u2‖≤R. 由此类推, 可以得到一个序列{un}⊂ D1,2(RN) 使得‖un‖≤R 是Jun-1的一个非平凡临界点并且 Jun-1(un)≥σ>0, n=1,2,….下面验证迭代序列{un}收敛到泛函 J 的一个非平凡临界点. 因为‖un‖≤R, 所以可以假设在 D1,2(RN) 中un⇀u, 在中un→u, 其中p∈(1, 2*), 并且对几乎所有的x∈RN 有un(x)→u(x). 类似引理4中式(7)的证明, 易得因此，由可知又因为在D1,2(RN) 中un⇀u, 所以u. 因此，在L2*(RN) 中un→u.对于任意的v∈ D1,2(RN), 由文献[15]和条件(F0), (F∞1)知所以即u是问题(Pλ)的一个解. 又因为u≠0. 因此u是问题(Pλ)的一个非平凡正解.。

Kirchhoff方程解的指数衰减性质

Kirchhoff方程解的指数衰减性质秦雨萍;张双;蒲志林【摘要】In this paper, the exponential decay for solutions to Kirchhoff equation is studied based on method of nonlinear Kirchhoff equation and nonlinear wave equation. The boundedness of solutions is obtained by Calerkin approximation. Moreover, exponential decay of solution for Kirchhoff equation are proved at specific condition by constructuring an appropriate Lyaponuv function. The results obtained in this paper play a positive role for further study of Kirchhoff equation.%研究了Kirchhoff方程解的指数衰减性,借助于非线性Kirchhoff方程和非线性波动方程解的性质,利用Galerkin方法证明了解的有界性,进一步通过构建适当的Lyapunov函数,证明特定条件下Kirchhoff方程解呈指数衰减.该理论的证明对完善Kirchhoff方程解的研究有积极的意义.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)003【总页数】4页(P318-321)【关键词】Kirchhoff方程;有界性;指数衰减【作者】秦雨萍;张双;蒲志林【作者单位】成都理工大学工程技术学院,四川乐山614000;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066;成都理工大学工程技术学院,四川乐山614000;澳门大学科技学院生物医学工程实验室,澳门999078;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066【正文语种】中文【中图分类】O175.25本文考虑如下Kirchhoff方程其中，p≥2，ω，λ＞0，另外p还需满足本文主要目的是研究强阻尼Kirchhoff方程解的衰减性.Kirchhoff方程是一类重要的非线性波动方程，它起源于对弹性细绳的微小振动的描述这里，0＜x＜L，t≥0，u=u(x，t)是在u(x，t)时的横向位移，E是Young系数，ρ是密度，h是振动高度，L是长度，p0是初始张力，δ是阻力系数，f是外力.当δ=f=0时，这个方程是由G.Kirchhoff第一次提出，因此以他的名字命名.一百多年来，有很多人研究过Kirchhoff方程，取得了一系列重要进展，尤其是对Kirchhoff方程初边值问题解的有界性及其衰减性的研究取得了丰硕的成果.当ω=0时，文献［1-3］有相应的研究，并得出了解的有界性、一致衰减、爆破等结论;当ω＞0时，若将(1)系统中(1+‖▽u‖22)△u项替换为△u，系统就转化为了半线性阻尼波动方程，在文献［4-6］中则证明了解的渐近性，爆破性以及解的整体存在性和指数衰减性.对于Kirchhoff方程对其解的存在性做了较多的工作，详见文献［2-3］，而对更一般的方程(1)其解的衰减性的研究还不常见，因此本文讨论了当ω＞0时Kirchhoff方程(1)解的衰减性.本文对(1)式的解的衰减性研究思想主要来源于文献［1，5］，而研究中出现的主要困难就在于如何运用Galerkin近似方法证明Kirchhoff方程(1)解的有界性，比如能构造一个恰当的Lyapunov函数.为此本文借助于文献［1，6-7］中证明的思想，受文献［8］的启发，找到了适合方程(1)的Lyapunov函数，从而证明了该方程的解有界且呈指数衰减.1 预备知识设u满足u∈C0((0，+∞)，(Ω))，ut∈C((0，+∞);L2(Ω))，通过(2)式定义两个函数：且满足对于方程(1)，它所对应的能量泛函为用ut与(1)式两边做内积有定义Nehari展式其中在下面的证明中将多次用到，定义2 解的衰减性的证明用类似文献［8］中的Galerkin方法，可证得(1)～(2)式存在唯一解，且u∈C0((0，+∞)，(Ω))，ut∈C((0，+∞);L2(Ω)).引理2.1 对于(1)～(2)式，若u0∈N+，u1∈L2(Ω)，且E(0)＜d，那么∀t∈［0，+∞)，U(t，·)∈N+.证明由N+的定义，存在T*≤T，任取t∈［0，T*)满足I(u(t，·))≥0有由(6)式知，E(t)是关于t的单调不增函数，故由(7)式有故故即I(t)＞0，u(t，·)∈N+，重复上面的过程，引理2.1得证.引理2.2 对于(1)～(2)式，若u0∈H1(Ω)，u1∈L2(Ω)，则u满足证明用v=ut+αu与(1)式作内积，其中0＜可得因为有下面不等式成立由(5)式知，存在K＞0，使得所以整理有令其中故从而(9)式整理得令故有由Gronwall不等式可得y(t)≤y(0)e-δt+2αK(1-eδt)，t≥0.故存在t0，当t≥t0时有y(t)≤μ2，则其中引理2.3 对于(1)～(2)式，若u0∈N+，u1∈L2(Ω)，且E(0)＜d，则存在与t有关的正常数C、δ，满足证明构造(1)～(2)式对应的泛函如下：则在R(t)、E(t)之间存在与ϵ有关的常数α1，α2＞0，满足对(10)式中的t求导有又因为有下面不等式成立再结合(7)式及引理2.1的结论，(12)式有让δ足够小，存在C0＞0(取决于δ)，使得(13)式满足由(11)式知，存在正数L，满足令L≤2 min{C0，2}，且让ϵ充分小，使得从而使得(14)式可简化为由(11)式可得对(15)式两边在(0，t)上积分有即有结论其中引理2.3得证.参考文献［1］王玉兰，宋小军.一类反应扩散方程组的解的爆破［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2006，31(5)：43-46.［2］廖为，蒲志林.一类缺乏紧性的P-Laplacian方程非平凡弱解的存在性［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2006，29(1)：26-29.［3］张再云.强阻尼非线性Kirchhoff方程的局部解［J］.湖南工业大学学报，2007，21(2)：43-45.［4］Zhang Y，Pu Z L.Boundedness of the solution to the nonlinear Kirchhoff equation［J］.西南师范大学学报：自然科学版，2008，33(6)：5-8. ［5］Park J Y.Uniform decay of solution for wave equation of Kirchhoff type［J］.Nonlinear Anal，2002，31(50)：871-884.［6］Gazzola F，Squassina M.Global solutions and finite time blow up for damped semilinear wave equations［J］.Ann Inst H Poincare，2006，23：185-207.［7］姜静香，秦剑峰.一类Kirchhoff方程的爆破［J］.渤海大学学报：自然科学版，2005，26(2)：145-149.［8］Zuazua E.Exponential decay for the semilinear wave equation with locally distributed damping［J］.Commun Part Diff Eqns，1990，15：205-235.［9］Nakao M.An atractor for a nonlinear dissapative wave equation of Kirchhoff type［J］.J Math Anal Appl，2009，353：652-659.［10］Ball J M.Global attractors for damped semilinear wave equations ［J］.Discrete Contin Dyn Sys，2004，10：31-52.［11］Gerbi S，Said-Houari B.Exponential decay for solutions to semilinear damped wave equation［J］.Discrete Contin Dyn Sys，2011，S5(3)：559-566.［12］Leonetti L，Mazza M.A symmetric boundary element model for the analysis of Kirchhoff plates［J］.Engin Anal Bound Elem，2009，33：1-11. ［13］Mao A M，Zhang Z T.Sign-changing and multiple solutions of Kirchhoff type problems without the P.S.condition［J］.Nonlinear Anal：TMA，2009，70：1275-1287.［14］Cheng B T，Wu X.Existence results of positive solutions of Kirchhoff type problems［J］.Nonlinear Anal：TMA，2009，71：4883-4892.［15］Autuori G，Pucci P.Kirchhoff systems with dynamic boundary conditions［J］.Nonlinear Anal：TMA，2010，73：1952-1965.［16］Ghisi M，Gobbino dly degenerate Kirchhoff equations with weak dissipation：Global existence and time decay［J］.J Diff Eqns，2010，248：381-402.。

一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性

一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程正解的存在性李红英;廖家锋【摘要】研究一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程{-(a+b∫Ω▽u^2dx)Δu=u^5-2s/(x^s)+λu^q, x∈Ω,u=0, x∈■Ω,其中Ω■R3是一个有界开区域且边界■Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b> 0,λ> 0,0<q<1,0≤s<1。

利用变分方法,获得该问题正解的存在性结果。

【期刊名称】《中国科学院大学学报》【年(卷),期】2019(036)001【总页数】4页(P11-14)【关键词】Kirchhoff型方程;Hardy-Sobolev临界指数;正解;变分法【作者】李红英;廖家锋【作者单位】[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[1]西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;[2]遵义师范学院数学学院,贵州遵义563006;【正文语种】中文【中图分类】O175.25考虑如下带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程(1)其中Ω⊂3是一个有界开区域且边界∂Ω光滑,0∈Ω,a,b≥0且a+b>0,λ>0,0<q<1,0≤s<1。

6-2s是Hardy-Sobolev临界指数。

2012年,Liu和Sun[1]研究如下问题(2)其中:4<p<6-2s,0<q<1,a,b,λ>0。

当λ>0充分小时,结合变分方法和Nehari方法,他们获得问题(2)的2个正解的存在性。

随后,他们继续研究问题(2),当-1<q<0时,结合变分方法和Nehari方法也获得2个正解,详见文献[2]。

文献[3]研究一类奇异非线性Kirchhoff型问题,结合Ekeland变分原理和一些分析技巧,获得正解的存在唯一性结果。

一个自然的问题:问题(1)是否也存在正解?事实上,当s=0时,Sun和Liu在文献[4]中获得问题(1)正解的存在性,并提出一个公开问题:如何证明第2个正解的存在性?据查阅文献所知,这个开问题至今尚未解决。

带p(x)-双调和算子的Kirchhoff型问题解的存在性

带p(x)-双调和算子的Kirchhoff型问题解的存在性缪清;肖虹兆【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(026)005【摘要】研究了一类带p(x)-双调和算子的Kirchhoff型问题解的存在性,利用临界点定理,得到问题至少存在一个非平凡弱解的充分条件.%This paper discusses the Kirchhoff-type problems involving P(x)-biharmonic operators.The technical approach is mainly based on a critical point theorem,and sufficient conditions are obtained for the existence of at least one nontrivial weak solution.【总页数】4页(P369-372)【作者】缪清;肖虹兆【作者单位】云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500【正文语种】中文【中图分类】O175.6【相关文献】1.一类带Neumann边值问题的p(x)-Kirchhoff型问题解的存在性 [J], 缪清;彭晨;肖虹兆2.一类带奇异系数P（x）-Kirchhoff型问题解的存在性 [J], 缪清3.带变号势和对数非线性项Kirchhoff问题解的存在性 [J], 赵莉;黄永艳4.带变号势和对数非线性项Kirchhoff问题解的存在性 [J], 赵莉;黄永艳;5.一类带p(x)-双调和算子的Kirchhoff型问题的多解性 [J], 缪清因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类基尔霍夫型方程山路解的存在性

一类基尔霍夫型方程山路解的存在性摘要：本文主要研究下述的基尔霍夫（Kirchhoff）型方程：其中常数，。

在弱的条件下，通过使用变分法中的山路引理，我们证明了上述问题至少有一个山路解。

关键词：基尔霍夫型方程；变分法；山路引理。

本文研究下述的Kirchhoff型方程：(P)其中是中的有界区域，常数,。

问题(P)来源于Kirchhoff [1]建立的横向振动弦的模型,其中表示弦线材质相关系数，表示弦线长度,表示位移。

自从文章[2]关于下述方程提出了问题的变分理论框架后，此方程解的存在性一直是变分方向的热点问题。

1已有结果和本文的结果1.1已有结果首先，我们列出问题(P)的变分框架。

若假设方程的非线性项满足，并且，其中为常数，则问题(P)的弱解就是下面泛函对应的临界点，其中，中的范数记为。

对于，我们有。

另外，我们设为算子在空间中的特征值。

其次，我们列举关于山路解的存在性结果。

在已有的山路解的存在性的证明中，下面的Ambrosetti-Rabinowitz 型条件起到了关键的作用：存在常数和满足因为此条件能推出超线性增长条件：存在常数满足而这是得到泛函的紧性条件和山路结构的基础。

关于Ambrosetti-Rabinowitz 型条件的解的存在性结果已有很多，比如文章[4]利用此条件得到了方程在无穷远处的临界群都是零的结论，从而得到方程多解的存在性。

其它的结果请参考文献[3,4,5,6,9]等。

1.2本文结果假设并且存在常数满足本文的结果为：定理1.1假设条件和成立，其中，并且存在常数使得，那么方程 (P)有一个非平凡解。

注与已有的结果相比，我们把条件减弱为，为此我们需要克服两个困难：一是要验证泛函的紧性条件，二是要验证泛函山路解的几何结构。

2紧性条件定义2.1如果序列满足下列条件（i）有界，（ii），当，那么称为Palais-Smale序列（简称为(PS)序列）；若任何Palais-Smale 序列在中列紧，则称泛函满足Palais-Smale条件（简称为(PS)条件）。

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不能像通常那样得到泛函（I u）的（PS）序列的有界
性，进而证明（PS）条件的成立.这为运用临界点理
论造成了困难.然而如果能证明泛函（I u）满足如下
的 Cerami 条件，就可以直接利用喷泉定理，得到泛
函（I u）的无穷多个临界点的存在性.
定义 1 设 X 是 Banach 空间，称泛函 J沂C1
嗓〈渍n，淄m〉=啄mn =
1， n=m； 0， n屹m.
X =span {淄n，n 沂N}，Xj =span {淄j}，X*=span {渍n，n 沂N}，
X =茌j逸1Xj.令 Y k=茌kj = 1 Xj，Zk=茌j逸kXj.若 j 沂C（1 X，R）
且满足 Cerami 条件，J（-u）=J（u），并对 n沂N，存在
籽k>rk>0，使得（i） bk颐=infu沂Zk ，椰u椰=rkJ（u）寅+肄，当 k寅+肄；
（ii） ak 颐=maxu沂Yk，椰u椰=籽kJ（u）臆0.
则泛函 J（u）有一列趋于+肄的临界值.
注 1 在文献[8]中，喷泉定理是在（PS）条件下
得到的，虽然 Cerami 条件比（PS）条件弱，但和（PS）
条件一样，Cerami 条件足以保证（第一）形变的成
立（见文献[9]），所以我们可以在 Cerami 条件下得
到喷泉定理.
引理 1 设 f（x，u）满足（2）式以及条件（f1）、
得
（f x，s）臆C（1 1+ s q-1），
（2）
2N 扇设
设
其中
C1
为常数，2*=
设缮设
N-2
设
，N逸3；
设
设墒设
肄，N=1，2.
方程（1）与 Kirchhoff 方程
乙 utt-（a+b 赘 u 2 dx）驻u沂g（x，u）
稳定态的模拟有关，它是由 Kirchhoff（文献 [1]）研究对可伸缩绳的自由振动的经典 D’Alembert 波动方程过程中提出的一种实际存在的方程， Kirchhoff 型问题考虑伸缩绳横向振动的长度变化 . 文献 [2 ] 中指出方程（1）可作为一些物理和生物系统的模型，直到 Lions 在文献 [3]提出了这个问题的一个抽象结构后，它才受到了极大的关注 .
摘要：研究了一类超线性 Kirchhoff - 方程，在没有（AR）条件假设之下，得到了无穷多个高能量解的存
在性.
关键词：Kirchhoff 方程；超线性；Cerami 条件；喷泉定理
中图分类号：O175.29
文献标识码：A
文章编号：2096-2134（2019）03-0001-04
了方程（1）无穷多个大能量解的存在性，得到主要
结果如下：
定理 1 设（f x，u）沂C（赘伊R，R），且满足（2）式及以下条件：
（f1）对一切
x沂赘，一致地有
lim
s 寅肄
=（f x，s）4 s s
=+肄；
（f2）存在兹逸1，对一切（x，t）沂赘伊R，s 沂[0，1]，有兹G（x，t）逸G（x，st），其中 G（x，s）=（f x，s）s-4F（x，s）；
0 引言和主要定理
本文考虑如下的 Kirchhoff 方程：
乙 -（a+b 扇设
设
设
设缮设
赘
u 2 dx）驻u=（f x，u），x沂赘；
设
墒设设u=0，x沂鄣赘.
（1）
（1）式中赘是 RN 中的有界区域，a，b>0，（f x，u）沂C
（赘伊R，R）满足次临界增长条件，即存在 2<q<2*，使
已经有很多文献 [4-7]研究了方程（1）正解的性
质以及（AR）条件不成立时的解的存在性，他们大
都要求（f x，u）具有渐进线性和超线性.这里（AR）条件如下：
（AR）存在兹>4，M>0，使得x沂赘，s >M，有
（f x，s）s逸兹F（x，s），
乙s
其中 F（x，s）= （f x，t）dt. 0 我们在没有（AR）条件下，利用变分方法，研究
（X，R）满足 Cerami 条件，如果对任何的{un}奂X，由
J（un）寅c，（1+椰un椰）J（忆 un）寅0（n寅肄），可推得{un}
存在收敛的子列.
要证明定理 1 要用到如下的临界点定理 Bartsch
喷泉定理：
命题 1 [8] 设 X 是可分的 Banach 空间，于是
存在{淄n}n沂N 奂X，{渍n}n沂N 奂X*，使得
第 40 卷第 3 期 2019 年 6 月
DOI：10.13933/ki.2096-2134.2019.03.001
喀什大学学报 Journal of Kashi University
Vol.40 No.3 Jun. 2019
一类超线性 Kirchhoff - 方程的无穷多解
胡爱莲
（喀什大学数学与统计学院，新疆喀什 844000）
窑2窑
喀什大学学报
第 40 卷
1 Cerami 条件和喷泉定理
对于方程（1），我们考虑泛函 I 颐匀园员（赘）寅R，
乙（I u）=
a 2
2
椰u椰 +
b 4
4
椰u椰 -
F（x，u）dx，
赘
（Байду номын сангаас）
1
蓸乙蔀2
这里匀园员（赘）是具有范数椰u椰=
2
u dx
赘
的标
准的 Sobolev 空间. 由（2）式可知，泛函 I（u）是 C1
的，且对任意的渍沂匀园员（赘），有
乙乙〈I（忆 u），渍〉=（a+b椰u椰2） u· 渍dx- （f x，u）渍dx，（4）
赘
赘
则方程（1）的解为 u沂匀园员（赘）当且仅当 u 泛函（I u）
的临界点，即 u 满足
〈I（忆 u），渍〉=0，坌渍沂匀园员（赘）.
由于 f（x，u）的假设条件没有（AR）条件，我们
（f3）对（x，t）沂赘伊R，有（f x，-t）=-（f x，t）. 则方程（1）存在一列解{uk}k沂N 满足 k寅+肄时，
乙（I uk）=
a 2
2
椰uk椰 +
b 4
4
椰uk椰 -
赘 F（x，uk）dx寅+肄，
1
蓸乙蔀2
其中椰u椰=
赘
2
u dx
是匀园员（赘）空间的范数.
收稿日期：2019-03-04 基金项目：新疆高校科研计划重点项目（XJEDU2016I039）. 作者简介：胡爱莲（1967-），女，教授，硕士，主要研究方向为微分方程的理论与应用.