第2章 共轴球面系统.ppt
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§2 共轴球面光学系统
y
光焦度
n
n
h
U
n n r
I
n n l n n f' f
n n l
o
I
U
r
l'
y
-l
6
共轴球面光学系统
三、近轴区域的物像放大率
1、垂轴放大率b
y nu nl b y nu' nl
dl nl 2 n 2 2、轴向放大率a a b 2 dl nl n
当物体位于不同的位置时， b不同。
2.
因a恒为正，故当物点沿轴向移动时，其像点沿光轴同 向移动；且因a ≠ b，故空间物体成像时要变形，例如一 正方体成像后将不再是正方体。 g只与共轭点的位置有关，而与光线的孔径角无关。
8
位置公式 2、成像放大率
b l l
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
I
U
o
-l
r
l'
y
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
光焦度
n
n
h
U
n n r
I
n n l n n f' f
n n l
o
I
U
r
l'
y
-l
6
共轴球面光学系统
三、近轴区域的物像放大率
1、垂轴放大率b
y nu nl b y nu' nl
dl nl 2 n 2 2、轴向放大率a a b 2 dl nl n
当物体位于不同的位置时， b不同。
2.
因a恒为正，故当物点沿轴向移动时，其像点沿光轴同 向移动；且因a ≠ b，故空间物体成像时要变形，例如一 正方体成像后将不再是正方体。 g只与共轭点的位置有关，而与光线的孔径角无关。
8
位置公式 2、成像放大率
b l l
3、角放大率g
g
u l n n' l n 1 u l n' nl n' b
n
ag b
n
h
nuy nuy J
单折射球面光学系统 拉赫不变量
I
y
U
I
U
o
-l
r
l'
y
7
共轴球面光学系统
结论：
1.
b是有符号数，具体表现为
成像正倒：当b>0时，表明y’、y同号，成正像；否则，成倒像。 成像大小：当|b|＝1时，表明|y’|=|y|，像、物大小一致；|b|>1时， 表明|y’|>|y|，成放大的像；反之，成缩小的像。 成像虚实：当b>0时，表明l’、l同号，物像同侧，虚实相反；否 则，物像异侧，虚实相同。
第二章 共轴球面系统(1)
符号规则的应用举例：
20º 20º
20º 20º
100
100
符号规则的应用举例：
光路图中所有几何量一律以绝对值标注，负号则
表示该几何量的方位。 应用一定形式的公式可进行各种光路的正确计算。 推导公式时，也要使用符号规则，以便使导出的 公式具有普遍性。
举例：
透镜的结构参数： r1 = 10
d=5
n1 = 1.0 n1’ = n2 = 1.5163 (K9)
r2 = -50
n2’ = 1.0
§ 2-3
近轴成像
当U很小时，U’ ，I与I’ 也相应很小，则这 些角度的正弦值可近似地用弧度值来代替， 并改用小写字母 u，u’ ，i，i’ 来表示。此时， 其他各量均用相应小写字母来表示。 此时，由于u角很小，光线很靠近光轴， 这样的光线称为近轴光线（或称傍轴光线）。 近轴光线所在的区域，称为近轴区（或称傍 轴区）(Paraxial region)。
〈讨论〉
③ 当一物点位于反射镜的球心时，此时 I= -I″= 0 ，即说明从球心发出的 光线被球面镜反射后，反射光线按原 路返回；也就是说，从C点发出的任 何光线经球面镜反射后，仍会聚于C点。
何谓理想光学系统？
此即是把近轴区成完善像的范围扩 大到整个光学系统的任意空间；亦即当 任意大范围的物体以任意宽的光束经光 学系统后均能成完善像的光学系统。
A
-u
C
A’ B’
- u’
O
-l’ -l
球面反射镜的成像特性
1、焦距公式：
f ′= f = r / 2 2、物像关系：
（2-18）
1 / l′+ 1 / l = 2 / r
β=-l’/l α= - β 2 γ= -1 / β
《应用光学》共轴球面系统的物像关系 ppt课件
B
B′
l=0
F′ H A
A′ H′
F
像平面为: 像方主平面
ppt课件 17
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
B′
f' l 2
B H H′
Aபைடு நூலகம்
F A′
F′
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
ppt课件 18
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
l = −f′
B
… …
F A
F′ H H′
像平面在像 空间无限远 处.
l′=∞
ppt课件 6
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B′ B A′ F A H F′ H′
f' l 2
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
l ′ = −f′
ppt课件 7
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B
B′
l=0
F H A
A′ H′
F′
像平面为:
像方主平面
ppt课件 8
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
B B′ F H A′ H′ A F′
f' l 2
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
l ′ = f′/3
ppt课件 9
2.4 作图法对位于空气中的正透镜组(f′＞０)分别求不 同物距的像平面位置.
ppt课件 13
2.5 作图法对位于空气中的负透镜组(f′＜０)分别求不 同物距的像平面位置.
应用光学第二章共轴球面系统的物像关系
l ' f (n, n ', l , r )
第4节 近轴光学的基本公式 和他的实际意义
• 物像位置关系式
• 推导出 l ' f (n, n ', l , r )
h n ' u ' nu (n ' n) r
L1’
I1 I1’ L1’ U1’
35.96893
11.06815 7.27365 35.96893 2.79450
34.5908
22.57512 14.66568 34.5908 5.90945
32.22743
35.14835 22.31332 32.22743 9.83503
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 折射光线位置：
– L’：折射光线与光轴的交点A’到球面顶点的距离。 – U’：折射光线与光轴的夹角。
• 其他已知量：
–球面半径r； –折射球面前后的折射率n、n’。
O
P
n n’ I r L’ L I’
φ
U C’
A’
U
A
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 共轴球面系统的光路计算公式
• 已知：L、U、r、n、n’；求L’、U’。 • 对△APC应用正弦定理得到：
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
起始角度U1 L1 r1 -1° -100 10 -2° -100 10 -3° -100 10
(L1-r1)/r1 sinU1
sinI1 I1
-11 -0.017452
0.19198 11.06815
-11 -0.034899
0.38389 22.57512
第2章 共轴球面系统的物像关系
12
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
5
• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
6
对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
9
§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
应用光学 第二章 球面和球面系统
一.符号规则
1、沿轴线段：L、 L 、r以折射球面（或反射面）
顶点O为原点，到光线与光轴交点或球心的方向 与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负；
2、垂轴线段：以光轴为基准，在光轴上为正，反 之为负； 3、孔径角U和U′ ：光轴以锐角方向转到光线，顺 时针为正，逆时针为负； 4、光线与法线的夹角：I 和I′ ，光线以锐角方向 转到法线，顺时针为正，逆时针为负； 5、光轴与法线的夹角 ：光轴以锐角方向转向法 线，顺时针为正，逆时针为负； 6、折射面之间的间隔：在折射系统中，d恒为正。
3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm，现求 β, y’ （横向放大率与像的大小）
l2 l'1 d1 ,l3 l'2 d 2 ......lk l'k 1 d k 1
当只关心物像位置且折射面很少时，用方法2较为 方便。如需知道一些中间量且折射面较多时，多 采用方法1。
第五节 球面反射镜
一.球面反射镜的物像位置
1 1 2 l' l r
实物成实像
三个放大率之间的关系：
第四节 共轴球面系统
※光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线， 称为光轴。这种系统被称为“共轴系统”
光轴
一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定 （如有 k 个折射面）：各个折射面的曲率半 径 r1 ,r2 ,r3 rk ；各个折射球面的顶点之间的间 隔 d1 , d 2 , d3 dk-1 。各球面间的介质折射 率 n1 , n2 , n3 nk+1 ，其中 nk+1 nk
共轴球面系统的物像关系
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三、角放大率：
u' γ= u tgU ' l γ= = tgU l ' x f γ= = f ' x'
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四、三种放大率之间的关系
β α = or β = α λ γ
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第十一节 物像空间不变式
物像空间不变式代表了实际光学系统在近轴范围 内成像的一种普遍特性
f1 ' f 2 ' f1 f 2 f '= ,f =
通常用φ表示像方焦距的倒数， 通常用φ表示像方焦距的倒数，成为光焦度
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第十六节 理想光学系统中的光路计算公式
h n ' tgU ' ntgU = n ' f' hi +1 = hi di tgU i '
n' n ' u ' nu = h f' hi +1 = hi di ui '
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 单个折射球面的主平面和焦点 共轴球面系统主平面和焦点 用作图法求光学系统的理想像 理想光学系统的物像关系式 光学系统的放大率 物像空间不变式
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第二章 共轴球面系统的物像关系
第十二节 第十三节 第十四节 第十五节 第十六节 第十七节 算公式 物方焦距和像方焦距的关系 节平面和节点 无限远物体理想像高的计算公式 理想光学系统的组合 理想光学系统中的光路计算公式 单透镜的主平面和焦点位置的计
J = n'u ' y ' J = nytgU = n ' y ' tgU '
三、角放大率：
u' γ= u tgU ' l γ= = tgU l ' x f γ= = f ' x'
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四、三种放大率之间的关系
β α = or β = α λ γ
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第十一节 物像空间不变式
物像空间不变式代表了实际光学系统在近轴范围 内成像的一种普遍特性
f1 ' f 2 ' f1 f 2 f '= ,f =
通常用φ表示像方焦距的倒数， 通常用φ表示像方焦距的倒数，成为光焦度
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第十六节 理想光学系统中的光路计算公式
h n ' tgU ' ntgU = n ' f' hi +1 = hi di tgU i '
n' n ' u ' nu = h f' hi +1 = hi di ui '
第六节 第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 单个折射球面的主平面和焦点 共轴球面系统主平面和焦点 用作图法求光学系统的理想像 理想光学系统的物像关系式 光学系统的放大率 物像空间不变式
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第二章 共轴球面系统的物像关系
第十二节 第十三节 第十四节 第十五节 第十六节 第十七节 算公式 物方焦距和像方焦距的关系 节平面和节点 无限远物体理想像高的计算公式 理想光学系统的组合 理想光学系统中的光路计算公式 单透镜的主平面和焦点位置的计
J = n'u ' y ' J = nytgU = n ' y ' tgU '
球面和共轴球面系统培训课件
物体位于有限 远处
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
三角形AEC中应用正弦定律有： sin I sin(U )
rL
r
由此推出入射角I公式：sin I L r sinU r
再由折射定律可以求得折射角I '的公式：sin I ' n sin I n'
由图可知：＝U I U ' I ', 所以有：U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： sin I ' sinU '
L ' r
r
则像方截距为： L ' r r sin I ' sinU '
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 旳光路计算公式
❖ 由上面提供旳公式，我们能够由已知旳L和U求出L’和 U’。
❖ 1）求高斯像面旳位置； ❖ 2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位
置；
❖ 3）当入射高度为h=10mm，问光线旳像方 截距是多少？和高斯像面相比相差多少？ 阐明什么问题？
2.3 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一种基本成像元件 （反射镜例外，能够单面成像），基本成像元件 是至少两个球面或非球面所构成旳透镜。大部分 透镜都由球面构成，加工以便，成本降低。
❖ 课后习题： 2.2、2.3、2.4、2.5、2.6、2.7、2.8、
2.9 。
2、
n ' u '- nu n ' n h
r
该公式表达近轴光折射前后旳孔径角u和u’之间旳关系。
第二章球面和共轴球面系统分析
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大 小问题，必须计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 光线经过单个折射球面的情况如图所示。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。 计算的目的：光从何处来，经何处到哪里去（由此得出由物 点发出的光线经过系统后能否交到一点完善成像）？
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
首要问题：用什么量（怎样）来决定光线在空间中的位置？
对AEC应用正弦定理得 L r r Lr 即 sin I sin U 可求出I sin I sin （ U） r n 据折射定律 sin I ` sin I 可求出I ` n` 对AEC和A`EC应用外角定理 U I U ` I ` U ` U I I ` 可得到U ` sin I ' sin U ' sin I 在A ' EC中 ，利用正弦定律 L ' rr L ' r r sin U
从光轴起算，光轴转向光线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
入射角、折射角 从光线起算，光线转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。 ③ 光轴与法线的夹角（如） 从光轴起算，光轴转向法线（按锐角方向）， 顺时针为正，逆时针为负。
二、实际光线经过单个折射球面的光路计算
已知：折射球面曲率半径r，介质折射率n和n′，及物方坐标L和U。 求：像方L ′和 U ′。
共轴球面系统由许多单个球面构成，当计算出第一面后， 其折射光线就是第二面的入射光线。
U 2 U1; L2 L1 d1
再由相邻两折射球面间的关系，求出下一个球面的折 射光线。
第四节 球面反射镜成像
n n n n 成像公式： l l r
n n
1 1 2 l l r
第二章_共轴球面系统的物像关系
1度
2度
3度
起 始 角 度 U2 L2 -r2 L2-r2 ÷r2 ×sinU2 SinI2 ×n2/n’2 SinI’2 ×r2 ÷sinu’2 L’2-r2 +r2 L’2
-1 度
2度 第二面 29.59107 50 79.59107 -50 0.102956 -0.16389 1.5163/1 -0.24850 -50 0.18851 65.9121 -50 15.9121
第二章
共轴球面系统的物像关系
本章内容：共轴球面系统求像。 由物的位置和大小求像的位置和大小
§ 2-1 共轴球面系统中的光路计算公式
求一物点的像，即求所有出射光线位置，交点就是 该物点的像点。
因为所有出射光线位置的求法是相同的，只须找出 求一条出射光线的方法即可。 因为所有的球面的特性是一样的，只须导出光线经过 一个球面折射时,由入射光线位置计算出射光线位置的 公式, 即球面折射的光路计算公式。
例题2
一物体位于凹球面反射镜顶点前40mm，球面反射镜半径为 120mm，求像的位置及轴向放大率。
120mm
近轴光路计算公式总结
u1 , l1 解法一
lr i u r n ' i 'i n u' u i i' ri l r ' uຫໍສະໝຸດ ' 'k个球面
u1 h1 l1
……
hk
lk
d—由前一面顶点算起到下一面顶点。
2．角度： 一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始轴： U、U'—由光轴起转到光线； I、I'—由光线起转到法线； ψ—由光轴起转到法线，
应用时，先确定参数的正负号，代入公式计算。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位置。 推导公式时，也要使用符号规则。
第二章 球面和球面系统
（4）r = -40mm, L’ = 200mm, U’ = -10° （5）r = -40mm, L = -100mm, U = 10°, L’= -200mm
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
符号规则是人为规定 的，一经定下，就要 严格遵守，只有这样 才能导出正确结果
不同版本的书符号规则可能不同，使用公 式时必须要注意。
二.光线经折射球面的光路计算公式
1、已知一折射球面其r =36.48mm，n =1， n’ =1.5163。轴上点A的截距 L=-240mm，由它发出一 同心光束，今取U为-1°、-2 °、 -3 °的三条光线， 分别求它们经折射球面后的光路。（即求像方截距L’ 和 像方倾斜角U’ ） 2：仍用上例的参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, sinU= u = - 0.017， 求：l ’, u’
与单个折射球面一样有如下关系：
对于拉赫不变量：
J n1u1 y1 n2u2 y2 nkuk yk nk ' uk ' yk '
成像计算中有两种方法：
方法1： 对每一面用追迹公式
lr u r n i' i n' i
u' u i i'
l ' r( 1 i' ) u'
（3）若|β| >1, 则| y’ | > | y |，成放大 像， 反之 |y’ | < | y |，成缩小 像
y' nl' y n' l
还可发现，当物体由远而近时，即 l 变小， 则β增大
！ ！
成像的位置、大小、虚实、倒正极为 重要！！！
若β＜０，成倒像 ，l 和 l '异号。对实物成实像， 对虚物成虚像。
应用光学第二章共轴球面系统的物像关系
I’=-I • 往后推导公式，都只讲折射，对反射
情形，只需将n’=-n代入即可无须另行 推导。
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 研究光线通过球面后成像规律和特性，找出理想成像范围
• 例子：对一个单透镜进行三条光线的实际计算，透镜结构 参数为：
– r1=10
n1=1.0
空气
–
d1=5 n1’=n2=1.5163 玻璃（K9）
5.90945
24.5908
34.5908
22.57512 14.66568
34.5908 5.90945
-3°
-100 10
-11 -0.05234
0.57570 35.14835
0.37967 22.31332
9.83503
22.22743
32.22743
35.14835 22.31332
32.22743 9.83503
P1
P2 U1’=U2
A
O1
O2L1’ A2’
A1’(A2)
d1
L2
第2节 符号规则
• 符号规则
• 在实际光学系统中，光线和球面位置可能是各种各样的， 为了是光路计算公式普遍适用于各种情况，必须规定一套 符号规则。符号规则直接影响公式的形式。
• 各参量的符号规则规定如下：
– 线段：规定从左到右为正，从下到上为正，反之为负。
L’ L
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 转面公式：
• 计算完第一面后，其折射光线就是第二面的入射光线。
L2 L1 ' d1
U2 U1 ' (2-5)
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
情形，只需将n’=-n代入即可无须另行 推导。
第3节 球面近轴范围内的成像性质 和近轴光路计算公式
• 研究光线通过球面后成像规律和特性，找出理想成像范围
• 例子：对一个单透镜进行三条光线的实际计算，透镜结构 参数为：
– r1=10
n1=1.0
空气
–
d1=5 n1’=n2=1.5163 玻璃（K9）
5.90945
24.5908
34.5908
22.57512 14.66568
34.5908 5.90945
-3°
-100 10
-11 -0.05234
0.57570 35.14835
0.37967 22.31332
9.83503
22.22743
32.22743
35.14835 22.31332
32.22743 9.83503
P1
P2 U1’=U2
A
O1
O2L1’ A2’
A1’(A2)
d1
L2
第2节 符号规则
• 符号规则
• 在实际光学系统中，光线和球面位置可能是各种各样的， 为了是光路计算公式普遍适用于各种情况，必须规定一套 符号规则。符号规则直接影响公式的形式。
• 各参量的符号规则规定如下：
– 线段：规定从左到右为正，从下到上为正，反之为负。
L’ L
第1节 共轴球面系统中的光路计算公式
• 转面公式：
• 计算完第一面后，其折射光线就是第二面的入射光线。
L2 L1 ' d1
U2 U1 ' (2-5)
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
工程光学 章节2 球面系统
3. 光路计算是根据给定的光学系统，由物求像或由像 求物的过程。 4. 光路计算是根据几何光学的基本定律利用成像光路 图建立起的物象计算式。
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
光线经球面折射时的光路计算
要讨论成像规律，即像的虚实，成像的位置、正倒和大小问题，必须 计算出光线的走向，所以我们先讨论计算公式。 包含光轴和物点的平面称为含轴面（纸面）或子午面。
第一种情况
求光束经过两次成像后的会聚，图 已知系统 r1 R r2 R n1 1 n2 1.5 n3 1
•第一次成像
n1 1
n'1 1.5
r R
l1
1.5 1 1 .5 1 l '1 R
l1 '求得
A′ -Y′ B′
规则： 以球面的顶点为原点 2-1 沿轴量向右取正，向左取负 垂轴量向上取正，向下取负
单个球面的折射光路
B Y
A -U -L n E I
h I′ O C U′ r L′
n′
A′ -Y′ B′
2-1
角度的符号
• 角度量：U、U′、I、 I ′、φ
规则： 角度正切值为正时该角度为正，反 之为负
第二章 共轴球面光学系统
第一节 光路计算
• • • • 一、概述 二、符号规则 三、单个球面的成像计算 四、共轴球面的成像计算
一、概述
1. 绝大多数光学系统由球面、平面或非球面组成，如 果各曲面的曲率中心在一条直线上，则称该光学系 统为共轴光学系统，该直线为光轴。
2. 非球面, 如抛物面、椭球面等对某些位置等光程的 像质不错, 但加工检验有一定困难。因此，后面的讨 论主要是由球面和平面组成的光学系统。
• 实际光线的光路计算
严格按照几何光学基本定律的光线计算，这类 光线称为实际光线
球面与共轴球面系统
y l r n l
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
y l r n l
说明：a) β取决于n、 n′、l′、l b) β> 0，l 、l′同号，物象同侧，虚实相反 β< 0，l 、l′异号，物象异侧，虚实相同 c) β> 0，成正象 β< 0，成倒象 d) β> 1，成放大象 β< 1，成缩小象
2. 轴向放大率：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的比值
§ 2－3 共轴球面系统
探讨方法：将光线的光路计算公式及放大率公式反复应用于各个 折射面，分别求出各面的u、 u′、l 、 l′、Q、Q ′、β、α、γ、 y、y′J、J′。 转面公式— 前后相邻面之间的基本量的转化关系。 主要内容：1、结构参量；
sin I L r sin U r
sin I n sin I n
U U I I
L r r sin I sin U
（点成象）
小结：
5、近轴光计算公式：
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
6、四个常用的推导公式：
h lu lu
Q n(1 1) n(1 1 )
3、四线：截距：顶点到光线与光轴交点的距离（L、L′－物方截距、 象方截距）；r－球面曲率半径； h－入射高度；
4、界面：n 、n′－物象方空间折射率；OE－折射球面 。
三、 符号法则（线段和角度，便于统一计算）
1、线段：规定光线从左向右传播 a）沿轴线段 L、L′、r、d
以O为原点， 与光线传播方向相同，为“＋” 与光线传播方向相反，为“－”
逆时针为“－” 夹角的优先级：“光轴－光线－法线” 3、所有参量是含符号的量，但图示标为参量的大小。
四、 远轴光的计算公式（实际光线光路计算）（点成象）
第二章共轴球面系统
dx' x' α= = dx x
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
讨论: ① α恒为正,当物点沿轴向移动时,像点沿轴同 向移动 ②一般α≠ β,即空间物体成像后要变形,如正方 体. ③只有在dl 很小时才适用
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u ′和u 的比值,称为角放大率.
B' K B K'
H
A F
H'
F'
A'
对共轴理想光学系统性质第三点的解释: 一个共轴理想光学系统,如果已知两对共轭面的位置和放 大率,或者一对共轭面的位置和放大率,以及轴上两对共 轭点的位置,则其他一切物点的像点都可以根据这些已知 的共轭面和点确定
§2.8 理想光学系统的物像关系式
I I' B'
2.近轴光路计算公式 在近轴几何光学中,经常用到以下近似公式(一 级泰勒展开)
sin U ≈ U ≈ tan U
1 1 (sin θ = θ θ 3 + θ 5 ......) 3! 5!
U为物方孔径角,是个很小值(<<1rad),当 U<5°,近似代替误差大约为1%.
代入到(2-1)-(2-3),并用小写字母表示,得到以下公式:
dl ′ α = dl
(1)高斯公式求解:
f' f + =1 l' l
f ' dl ' fdl '2 2 = 0 l l
fl ' α = 2 f 'l
dl ′ nl ′2 n′ 2 = 2 = β α= dl n′l n
2
(2)牛顿公式求解:
xx' = ff '
xdx'+ x' dx = 0
第2章 共轴球面系统.ppt
二、符号规则 1.光线传播方向：规定光线从左向右传播为正。
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后物
像方孔径角的关系。
例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163,
物距为 l 60mm ，求像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后物
像方孔径角的关系。
例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163,
物距为 l 60mm ，求像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
共轴球面系统转面公式精PPT课件
l3
r3
l3 25.60mm
《眼镜光学技术》
4.晶体后面成像
曲率半径
折射率 厚度
角膜
前
后
7.8
6.8
1.376
0.5
房水
1.336 3.1
l4 l3 d3 22.60mm
n玻璃体 n晶体 n玻璃体 n晶体
l4
l4
r4
晶体
前
后
10.0
-6.0
1.406
3.0
玻璃体 1.336
玻璃体
角膜
视
网
房水
膜
晶状体
虹膜
眼睛的水平剖面图
《眼镜光学技术》
1.角膜前表面成像
曲率半径
折射率 厚度
角膜
前
后
7.8
6.8
1.376
0.5
房水
1.336 3.1
晶体
前
后
10.0
-6.0
1.406
3.0
玻 1
l1
r1
l1
n角膜 n角膜 1
r1
l2
l2
r2
l2 30.98mm
《眼镜光学技术》
3.晶体前面成像
曲率半径
折射率 厚度
角膜
前
后
7.8
6.8
1.376
0.5
房水
1.336 3.1
晶体
前
后
10.0
-6.0
1.406
3.0
玻璃体 1.336
l3 l2 d2 27.88mm
n晶体 n房水 n晶体 n房水
l3
第二章-共轴光学系统PPT课件
u l
n(nu) n 1 n nu n
n 2
n
n 1 n
(226)
yuunlllnuynuy J
y nl
.
拉赫不变量
例1、半径为r=20mm的一折射球面，两边的折射 率为n=1，n’=1.5163，当物体位于距球面顶点 l=-60mm时，求：
（1）轴上物点A的成像位置。 （2）垂轴物面上距轴上10mm处物点B的成像位置。
物点参数为 (l1,u1,y1)
（1）对第一面做单个球面成像计算求得 (l1,u1,y1)
（2）用过渡公式由 (l1,u1,y1) 求得 (l2,u2,y2) （3）对第二面做单个球面成像计算求得 (l2,u2,y2)
……
（4）对第K面做单个球面成像计算求得(lk,uk,yk)
1 2 3 ; 1 2 3 ; 1 2 3 .
为正。
符号规则的意义： 物象的虚实和正倒。
1、负物距对应实物；正物距对应虚物。
2、正像距对应实像；负像距对应虚象。 3、像高和物高符号相反则成倒立像，反之 成正立像。
.
§2.2 物体经单个折射球面的成像
1、单球面成像 的光路计算
在A中E，C利用正弦定律
sin1(8o0I)sinU ()
r(L)
r
.
所以 A与 B 相A 似B C C ：
y l r y (l) r
所以
y lr nl
y l r nl
.
利用 lu lu hl u l u
nu
nu
0
0 1
1
表示正立像； 表示倒立像； 放大像； 缩小像。
.
②、轴向放大率
物平面沿轴方向移动一微量 dl 像平面沿轴方向移动一微量 dl '。
n(nu) n 1 n nu n
n 2
n
n 1 n
(226)
yuunlllnuynuy J
y nl
.
拉赫不变量
例1、半径为r=20mm的一折射球面，两边的折射 率为n=1，n’=1.5163，当物体位于距球面顶点 l=-60mm时，求：
（1）轴上物点A的成像位置。 （2）垂轴物面上距轴上10mm处物点B的成像位置。
物点参数为 (l1,u1,y1)
（1）对第一面做单个球面成像计算求得 (l1,u1,y1)
（2）用过渡公式由 (l1,u1,y1) 求得 (l2,u2,y2) （3）对第二面做单个球面成像计算求得 (l2,u2,y2)
……
（4）对第K面做单个球面成像计算求得(lk,uk,yk)
1 2 3 ; 1 2 3 ; 1 2 3 .
为正。
符号规则的意义： 物象的虚实和正倒。
1、负物距对应实物；正物距对应虚物。
2、正像距对应实像；负像距对应虚象。 3、像高和物高符号相反则成倒立像，反之 成正立像。
.
§2.2 物体经单个折射球面的成像
1、单球面成像 的光路计算
在A中E，C利用正弦定律
sin1(8o0I)sinU ()
r(L)
r
.
所以 A与 B 相A 似B C C ：
y l r y (l) r
所以
y lr nl
y l r nl
.
利用 lu lu hl u l u
nu
nu
0
0 1
1
表示正立像； 表示倒立像； 放大像； 缩小像。
.
②、轴向放大率
物平面沿轴方向移动一微量 dl 像平面沿轴方向移动一微量 dl '。
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nk ykuk J (7)
nyu nyu J
结论：实际光学系统在近轴区内成像时，对 于一对共轭平面来说，物高、物方孔径角和 物方介质折射率的乘积是一个常数。
2.3 共轴球面系统
主要内容： 共轴球面系统的概念 转面公式 共轴球面系统的三种放大率、拉赫不变量
2.3 共轴球面系统
已知: 各球面的曲率半径r1，r2，…, rk 各球面顶点之间的间隔d1 ，d2，…,dk 折射率n1 ，n2，…,nk 讨论经共轴球面系统成像的几个问题。 概念： 1.共轴球面系统：系统各零件曲率中心在一条直线上。 2.光轴：各零件曲率中心的连线。
2.2单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
物点由A1移动到A2点，物方截距l2-l1,像方截距
l’2-l‘1，则轴向放大率为：
n n
1
2
——平均沿轴放大率
结论：只有当dl很小时，才能满足
dl dl
nl2 nl 2
n 2
n
2.2 单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
3.成像性质：
由近轴光线光路计算公式可知，当角度u扩 大或减小K倍，i, i’ ,u’均扩大或缩小K倍。
ki l r ku r
ku ku ki ki
ki n ki n
l r r ki r r i
ku
u
结论：当入射光线的u改变时，l值不变，即 由同一物点发出的近轴光线，经单个折射球 面折射后交于同一点，成完善像。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
近轴光线满足：lu lu h
n n n n
(1)
l l r
推导出下面的公式 n(1 1) n(1 1) Q (2)
rl
r l
nu nu n n h
(3)
r
（1）式表示物像位置的关系；（2）式称为贝
二、符号规则 1.光线传播方向：规定光线从左向右传播为正。
2.线段： 沿轴线段:以顶点O为基准，左负右正；
垂轴线段:(h)以光轴为准，上正下负；
间隔d：以前一个面为基准，左负右正。
2.1光线经单个折射球面的折射
3.角度： 光轴与光线组成角度：光轴以锐角方向转到光
线，顺时针正逆时针负； 光线与法线组成角度：光线以锐角方向转到法
n2 n1 y2 y1
l2 ,u2 , y2
物体位置 l2 l1 d1
2.3 共轴球面系统
对于由k个球面组成的共轴球面系统，相邻两球
面之间满足如下关系：
n2 n1, n3 n2 ,, nk nk 1
(1)
u2 u1, u3 u2 ,, uk uk 1
2.2单个折射球面的成像放大率及 拉赫不变量
一、垂轴平面物体以细光束成像
A’是A的完善像点，根据物像之间等光程性，可知 面是 面的细光束像。
根据物像位置关系公式知，B点的像在 面的左侧. 结论：如果物是垂轴平面物体，则它经过单个折射球 面折射后，它的细光束像不再是平面，而是一个比 面更弯曲的曲面，成像不完善——像面弯曲。
不变量公式，它表示单个折射球面物方和像方的
Q值相等；（3）式表示近轴光线经球面折射后物
像方孔径角的关系。
例题：有一折射球面，其参数为 r 20mm,n 1,n 1.5163,
物距为 l 60mm ，求像距的值。
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
主要内容： 垂轴平面物体以细光束经折射球面成像 单个折射球面的近轴光线成像放大率 三种放大率的关系 拉赫不变量
dl
光焦度公式：n n n n 两边微分
l l r
dl nl2
dl nl 2
(4)
n n
n 2 (5)
n
n ( nl)2
n
nl
结论：①若物为正方体，像不再是正方体，只有 的一对共轭面相似；②对折射球面而言，轴向放 大率恒为正值，即物像移动方向相同；③轴向放 大率公式只在dl很小时适用。——why？
难点：近轴光线的物像位置关系公式；单个 折射球面的拉赫不变量；共轴球面系统的转 面公式、拉赫公式和放大率。
物体 物点
光学系统
像
规律
像点
入射光线
单个折射 球面
出射光线
2.1光线经单个折射球面的折射
主要内容: 符号规则 光线经单个折射球面的实际光路计算公式 光线经单个折射球面的近轴光路计算公式 近轴物像位置关系公式 单个折射球面的成像放大率
像的 位置
像的大小、正倒、虚实？
1. 垂直放大率：像高与物高之比，或称为横向
放大率。 y / y
2.2 单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
令AB y, AB y
根据三角形相似，得
y l r
y lr
n(1 1) n(1 1) Q r l r l
y nl
y nl
nyu nyu J
lu lu h
此式称为拉格朗日——赫姆霍兹定理，J为拉赫不 变量。
阿贝不变量：n(1 1) n(1 1) Q
r l r l
2.2单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
4.轴向放大率
定义： dl
第 2章 球面和球面系统
主要内容：符号规则；光线经过单个折射球 面的光路计算公式；单个折射球面成像放大 率及拉赫不变量；共轴球面系统的转面公式、 放大率和拉赫公式；球面反射镜的物像位置 关系公式及成像放大率。
重点:符号规则；近轴光线经单个折射球面的 物像关系公式；共轴球面系统的转面公式、 拉赫公式和放大率。
及拉赫不变量
结论：垂轴放大率和角放大率乘积只与
球面两侧介质折射率之比有关。
y nl
y nl
u l
u l
n n
6. 三种放大率之间的关系
n 2
n
n 1 n
2.2单个折射球面的成像放大率 及拉赫不变量
7. 拉赫不变量
2.1光线经单个折射球面的折射
2.近轴光线的光路计算公式：
sin I L r sinU sin I n sin I
r
n
U U I I L r(1 sin I ) sinU
光线平行于光轴:光线的入射角用光线的入射高度
表示为： i h / r
2.1光线经单个折射球面的折射
l r nl l r nl
因此横向放大率为：
y nl
(1)
y nl
2.2 单个折射球面的成像放大率
及拉赫不变量
2. 讨论： y nl nu
y nl nu
1, 放大像 1,缩小像
0 l和l同号，物像位于球面同侧
y和y同号，物体成正像
l
2.1光线经单个折射球面的折射
轴外点近轴光线成像：对于单个折射球面，如 果Ｂ点离主光轴很近，则Ｂ点发出的近轴光线 相对于主光轴来说也是近轴光线，经球面折射 后交于一点。
结论：位于近轴区的轴外物点，利用近轴光线 成像时，符合点对点的理想成像关系。
2.1光线经单个折射球面的折射
4.物像位置关系公式（l与l )
i lru r
i n i n
u u i i
l r r i u
u ir lr
i( 1 1) i( 1 1)
l r
lr
颠倒相除 r
u ir l r
n n n n (1) l l r
像的位置l只与物点的位置 l和折射球面的结构 及物像方介质折射率有关。
2.1光线经单个折射球面的折射
一、概念
1.子午平面：包含光轴的平面。 2.截距：物方截距——物方光线与光轴的交点到顶
点的距离；像方截距——像方光线与光轴的交点 到顶点的距离。 3.孔径角：物方孔径角——物方光线与光轴的夹角； 像方孔径角——像方光线与光轴的夹角。
2.1光线经单个折射球面的折射
分界面有左右，球面有凹凸，光轴有上方下方，如 何区别？
2.3 共轴球面系统
一、过渡公式
已知两个折射面的曲率半径r1和r2，每个折射面的物 像方介质折射率n1、n1’和n2、n2’，两球面之间的间
距为d。问如何求物体AB（l1,u1, y1)经整个系统后的成
像位置( l2 ,u2 , y2 )？ 已知 l1, u1 l1, u1
折射率 物高
u2 u1
5.角放大率
定义：在近轴区，一对共轭光线与光轴夹角的
比值称为角放大率，即像方孔径角与物方孔径
角之比。
u
u
表达式：利用近轴光线成立条件
lu lu h
u l (7)
u l
结论：角放大率只与共轭点的位置有关，与光 线的孔径角无关。
2.2单个折射球面的成像放大率
二、拉赫不变量
将单个折射球面的拉赫不变量公式 nyu nyu
应用于共轴球面系统的每一个折射面，则有
n1 y1u1 n1 y1u1
n2 y2u2 n2 y2u2
n1 y1u1 n2 y2u2 nk ykuk
nk yk uk nk yk uk
n2 n1, n3 n2 ,, nk nk1
(5)
对于（1）、（2）和（4）式同样适用于远轴光线：
n2 n1, n3 n2 ,, nk nk1
U2 U1,U3 U2 ,,Uk Uk1