高二数学期末专题复习(1)
湖南省长沙市长郡湘府中学高二上学期数学期末复习试题资料(1)直线与圆
长郡湘府中学2022年高二第一学期期末复习数学资料（1）直线与圆一、单选题1．已知两条直线1l ：10mx y +-=和2l ：()220x m y +-+=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．22．经过点5)A 和(2,2)B -，且圆心在x 轴上的圆的一般方程为（ ） A ．2260x y y +-= B ．2260x y y ++= C ．2260x y x ++=D ．2260x y x +-=3．圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切4．若圆()()22:138C x y -+-=上存在四个点到直线:0l x y m ++=2m 的取值范围是（ ）A ．6m <-B ．2m >-C ．62m -<<-D ．6m <-或2m >- 5．已知过点()0,2的直线l 与圆心为C 的圆()()222110x y -+-=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．220x y -+=或220x y +-= C ．0x = D ．0x =或220x y +-=二、多选题6． 若过点(1,a )，(0,0)的直线l 1与过点(a ,3)，(-1,1)的直线l 2平行，则a 的取值可以为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．27．(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则（ ） A ．圆心坐标为(1，－2) B 22C ．直线与圆相交D 2 8．已知动圆22:(cos )(sin )1C x y αα-+-=，[0,2)απ∈，则（ ） A ．圆C 与圆224x y +=相交B ．圆C 与直线cos sin 0x y αα+=相切C ．若点(1,0)在动圆C 外，则4,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．圆C 上一点M 满足(0,1)CM =，则M 的轨迹的长度为2π 三、填空题9．直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________. 10．已知直线()110a x ay +--=与圆22(1)(1)2x y -+-=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为___________.11．已知圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，(),P x y 为圆C 上一点，则2x y -的最大值为__________．12．当曲线y =240kx y k -++=有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． 四、解答题13．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与y 轴相切于点0,1. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅰ）若圆C 与直线l ：0x y m -+=交于A ，B 两点，_____________，求m 的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件Ⅰ：120ACB ∠=︒；条件Ⅰ：AB =注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.14．（1）圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1),(1,3)A B -两点，求圆C 的方程； （2）圆C 经过(1,5),(5,5),(6,2)P Q R --三点，求圆C 的方程．15．求经过直线l1：2x﹣y+4＝0和直线l2：x﹣y+5＝0的交点C，并且满足下列条件的直线方程．（1）与直线x﹣4y+4＝0垂直；（2）到原点的距离等于1．16．已知方程22244m0+-++=．x y x y(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，求圆F 的一般方程．参考答案：1．B【解】12l l ⊥，显然0m ≠且2m ≠，()112m m ⎛⎫∴-⨯-=- ⎪-⎝⎭，解得1m =.2．D【解】设圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆心在x 轴上，所以02E-=，即0E =．又圆经过点A 和(2B -，，所以222210,2(20,D F D F ⎧+++=⎪⎨+-++=⎪⎩即60,2120,D F D F ++=⎧⎨++=⎩解得6,0.D F =-⎧⎨=⎩ 故所求圆的一般方程为2260x y x +-=． 3．D【解】由题，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160x y x y +--+=，即()()22439x y -+-=，所以圆心为()4,3，半径为3；523==+，所以两圆外切.4．C【解】由题设，(1,3)C 且半径r =:0l x y m ++=ⅠC 到:0l x y m ++=的距离d =<62m -<<-. 5．A【解】圆()()222110x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径为r =由CA CB ⊥，且CA CB ==ABC 是以ACB ∠为直角的等腰直角三角形， 所以，点C 到直线l 的距离为cos 455d r ==若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为0x =，此时点C 到直线l 的距离为2，不合乎题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，则有d =()220k -=，解得2k =，所以直线l 的方程为22y x =+. 6．AC【解】若直线l 1与l 2平行，则()031101a a --=---，即a (a +1)=2，故a = -2或a =1.当2a =-时，12k =-，2221k a ==-+，符合题设； 当1a =时，11k =，2211k a ==+，符合题设； 7．AD【解】把圆的方程化为标准形式得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，2，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d 22 8．BD【解】A. 动圆22:(cos )(sin )1C x y αα-+-=圆心C ()cos ,sin αα，半径1r =， 22cos sin 1αα+=，正好为两半径差，故两圆内切，错误； B. 圆心C ()cos ,sin αα到直线cos sin 0x y αα+=22cos cos sin sin 1cos sin αααααα+=+，故圆C 与直线cos sin 0x y αα+=相切，正确；C. 点(1,0)在动圆C 外，则22(1cos )(0sin )1αα-+->，整理得1cos 2α<， 又[0,2)απ∈，解得5,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，错误； D.设点(),M x y ，又C ()cos ,sin αα，则()(cos 0,,sin 1)x CM y αα=--=，cos 0sin 1x y αα-=⎧∴⎨-=⎩，消去α得()2211x y +-=， 故点M 的轨迹是半径为1的圆，故轨迹的长度为2π，正确； 9．1【解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1），因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内.当OA MN ⊥时，|MN |取最小值， 由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，Ⅰ1m =，10．2【解】直线()110a x ay +--=恒过()1,1点，圆()()22112x y -+-=的圆心()1,1，2，直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段AB 的长为22 11．20【解】方程22240x y ax y +-+=可化为()()22224x a y a -++=+，所以圆22:240C x y ax y +-+=的圆心为(),2C a -因为圆22:240C x y ax y +-+=关于直线320x y ++=对称，所以()3220a +⨯-+=，所以4a =，令2z x y =-≤所以1010z -≤，所以020z ≤≤，所以2x y -的最大值为20， 12．3[1,)4--【解】因为y ()2204y x y +=≥，其表示圆心为()0,0，半径为2的圆的上半部分； 因为240kx y k -++=，即()42y k x -=+， 其表示过点()2,4A -，且斜率为k 的直线. 在同一坐标系下作图如下：不妨设点()2,0B ，AB 直线斜率为1k ，且过点A 与圆相切的直线斜率为2k数形结合可知：要使得曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点， 只需12k k k ≤<即可. 容易知：140122k -==---； 不妨设过点A 与224x y +=相切的直线方程为()242y k x -=+， 2=，解得234k =-，故31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.13．【解】（Ⅰ）设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =. 又Ⅰ圆C 与y 轴相切于点0,1，Ⅰ1b =，2a =，则02r a =-=.Ⅰ圆C 的圆心坐标为()2,1，则圆C 的方程为()()22214x y -+-=.（Ⅰ）如果选择条件Ⅰ：120ACB ∠=︒，而2CA CB ==， Ⅰ圆心C 到直线l 的距离1d =，则21111m d -+==+，解得21m =或21--.如果选择条件Ⅰ：23AB =2CA CB ==， Ⅰ圆心C 到直线l 的距离1d =，则21111m d -+==+，解得21m =或21--.14．【解】（1）(1,1),(1,3)A B -的中点为(0,2)，因为3111(1)AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为1-，所以线段AB 的中垂线的方程为2y x -=-， 当0y =时，2x =，则圆心为(2,0)22(21)(01)10++- 所以所求圆的方程为22(2)10x y -+=； （2）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则125502525550364620D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， 所以圆的方程为2242200x y x y +---=.15．【解】（1）由于直线l 2：x ﹣y +5＝0与直线x ﹣4y +4＝0不垂直故设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，故()()21450x y λλλ+-+++=， 因为此直线与直线x ﹣4y +4＝0垂直，故()()2410λλ+++=，故65λ=-，故所求直线为4100x y +-=.（2）由于原点到直线l 2：x ﹣y +5＝0的距离12d =≠故设所求直线为()()2450x y x y λ-++-+=，故()()21450x y λλλ+-+++=， 221(2)(1)d λλ==+++ 解得1λ=-或1123-故直线方程为：10x -=或3512370x y -+=16．【解】(1)若此方程表示圆，则22(2)4440m -+-⨯>，解得54m <. (2)由(1)可知m =1，此时圆E ：22+2+4+4=0x y x y -， 圆心坐标为E (1，-2)，半径为1， 因为圆F 和圆E 关于y 轴对称，所以圆F 圆心坐标是(-1，-2)，半径是1，故圆F 方程为(x +1)2+(y +2)2=1，化为一般方程为:22+2+4+4=0x y x y .。
2021年高二数学上学期期末复习模拟一(选择性必修一、选择性必修第二册数列)
x1 x2
y1 y2
z1 z2
C． cos a,b
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ，则
a
为单位向量
10．设 x R ，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则函数 y x称为高斯函数，也叫取 整函数，如： 1.5 1 ，1.3 2 ，则下列结论正确的是（ ）
绝密★启用前
期末复习模拟一
一、单选题
范围：选择性必修一 + 数列
第 I 卷（选择题）
1．若圆 x a2 y b2 1a R, b R 关于直线 y x 1对称的圆的方程是 x 12 y 32 1, 则 a b等于（ ）
A．4
B．2
C．6
D．8
2．在等比数列 an 中，若 a4 ， a8 是方程 x2 4x 3 0 的两根，则 a6 的值是（ ）
A． 3
B． 3
C． 3
D． 3
3．平行六面体
ABCD
A1B1C1D1
中，M
为
AC
与
BD
的交点，若
AB
a
， AD
b
，
AA1 c ，则下列式子中与 D1M 相等的是（ ）
A．
1
a
1
b
c
22
C．
1
a
1
b
c
22
4．抛物线 y2 x 的准线方程为（ ）
B．
1
a
1
b
c
22
D．
A． C1C// 平面 OMN
B．平面 A1CD / / 平面 OMN
高二数学上学期期末复习题1
高二数学上学期期末复习题二（理科）（2013.12）1．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）A.不存在0x ∈R, 02x >0B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x≤0 D.对任意的x ∈R, 2x>0 【答案】D2．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2 C.k 3<k 2<k 1 D.k 1<k 3<k 2 【答案】B3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =±（C ）12y x =±（D ）y x =±【答案】C ；4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 等于( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为错误!＝1，即2m 2－3m －2＝0， ∴m ＝2或m ＝－错误!. 答案：D5．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为 ( )．A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 2＋y 2＝1 解析 因为错误!＝错误!，且c ＝错误!，所以a ＝错误!，b ＝错误!＝1.所以椭圆C 的方程为错误!＋y 2＝1. 答案 A 6．如图，在正方体1111D C B A ABCD -，若11AA z y x BD ++=，则x y z ++的值为 （ ）A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 【答案】B7．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A88．给出下列互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β. ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m . ③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：①中α与β也可能相交，∴①错；在②中l 与m 也可能异面，∴②错，③正确． 答案：C9．设m ，n 为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ，n 为两条异面直线，且m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 答案：D10．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010答案：B11．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(4,0)，抛物线的焦点为(,0)2p ，所以42p=，即8p =。
高二数学期末测试题(一)试题1
4
∴Leabharlann an 1 = a n 1 2
an=2048(
1 n－1 ) . 2
(2) ∵log2an=log2[2048( ∴Tn=
1 n－1 ) ]=12－n, 2
1 2 (－n +23n). 2
由 Tn<－509,解待 n>
23 4601 ,而 n 是正整数,于是,n≥46. 2
∴从第 46 项起 Tn<－509.
19．解： （Ⅰ） 设等差数列 an 的公差为 d ,由 （Ⅱ）由 bn an p n ，得 bn npn 。所以 Tn p 2 p2 3 p3 (n 1) pn1 npn ，
a
当 p 1 时， Tn 当 p 1 时，
n 1 ； 2
pTn p2 2 p3 3 p4 (n 1) pn npn1 ，
3 2
（Ⅰ）求 a , b 的值； （Ⅱ）讨论函数 f ( x ) 的单调性。
2
21．设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ， an Sn 4096 。 （1）求数列 {an } 的通项公式 （2）设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn ,对数列 Tn ，从第几项起 Tn 509 ？ 22．某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一 座铁塔 如图所示， 塔及所在的山崖可视为图 中 的 竖 线 OC ， 塔 高 BC80( 米 ) ， 山 高 OB220(米)，OA200(米)，图中所示的山 坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上， l 与水
160 640 160 640 288 2 160 640 288 ．当且仅当 x 时上式 x x 320 200 60 ． 取等号．故当 x 320 时 tan BPC 最大．这时，点 P 的纵坐标 y 为 y 2
高二数学期末复习(1)
常熟市浒浦高级中学高二数学期末复习（1）必修2 立体几何初步6/6姓名：____________ 1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l___________(填“相交、平行、异面、垂直”).2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是________．3．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．4．过长方体ABCD—A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中能够与平面ACC1A1平行的直线有________条．5．给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的______________条件．6．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．7．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 .8．如图， ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，有下面结论： ①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥BD ；③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成的角为60°. 其中正确命题的序号是________．9．如图，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 的圆周上的任意一点，P A 垂直于圆O 所在的平面，则BC 和PC ________.10．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．11．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.12．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外) 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作 DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．13．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点. 求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面；(2)CE 、D 1F 、DA 三线共点.14．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是菱形，P A⊥平面ABCD，点F为PC的中点．求证：(1)P A∥平面BDF；(2)平面P AC⊥平面BDF.15．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.(1)证明P A∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；16．在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC ＝60°，A1A＝AC＝BC＝1，A1B＝ 2.BC⊥平面ACC1A1；(1)求证：平面A(2)如果D为AB中点，求证：BC1∥平面A1CD.17. 如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA =AC 、BD 相交于点O 求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）面PAC 与面PBC 所成的角。
湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二上学期期末复习数学理试题(1) Word版含答案
2014-2015年度衡阳县四中高二数学（理）期末复习测试题（一）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分． 1.下列命题中的假命题．．．是（ C ） A.,lg 0x R x ∃∈= B.,tan 1x R x ∃∈= C. 3,0x R x ∀∈> D.,20x x R ∀∈>2. ”“1>x 是”“1||>x 的（ A ） A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是（ A ）A 若a +b +c ≠3，则222a b c ++<3B 若a +b +c =3，则222a b c ++<3C 若a +b +c ≠3，则222a b c ++≥3D 若222a b c ++≥3，则a +b +c =34. 双曲线2214x y -=的渐近线的方程为（ A ） A ．2xy =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．4y x =± 5. 设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ C ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．如图，已知平行六面体1111OABC O A B C -，点G 是上底面1111O A B C 的中心，且a OA =， b OC =，=1，则用a ，b ，c 表示向量OG 为( ) A ．)2(21c b a ++ B ．)2(21c b a ++ C ．)2(21c b a ++ D ．)(21c b a ++ 7. 设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线0=y 相切，则C 的圆心轨迹为( B )A 双曲线B 抛物线C 椭圆D 圆 8. 以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( D )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 GAC B 1O 1C 1A 1O9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( A )A.2B.3C.115 D.371610. ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是( C )A.221916x y -= B. 221169x y -= C.)3(116922>=-x y x D.221(4)169x y x -=> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.11．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．39-12．已知)3,1,2(-=，)2,4(，y -=，且)(+⊥，则y 的值为 ． 13.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是 。
高中数学-高二期末复习卷(1)
高二期末复习卷一、单选题1.已知()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（）A．B．C．D．2.“m>2”是“方程22212x ym m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2121S =，则616a a +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．44.若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（）A．()(0,- B．(0,C ．()()2,00,2-⋃D ．()0,25.已知()f x 在0x x =处可导，则()()02200lim x x f x f x x x →-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-等于（）A ．()0f x 'B ．()0f x C ．()20f x '⎡⎤⎣⎦D ．()()002f x f x '6.有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从（）年（填年份）开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据:lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A ．2019B ．2020C ．2021D ．20227.数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，过F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，12AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q .则下列四个命题中正确的个数是（）个.①QA QB ⊥；②若M （1，1），P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52；③AOB （O为坐标原点）的面积为；④(,0)2PM -，则tan AMB ∠=A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知函数3()2f x x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B ．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =图象上，若函数()f x 从1x 到2x则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC ．已知直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是221V t =-，则2t =时瞬时加速度为7D ．已知函数()f x x =，则(9.05) 3.008f ≈10．在底面边长为2、高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为棱1A A 上一点，且111,4A O A A P Q =､分别为线段1111B D A D ､上的动点，M 为底面ABCD 的中心，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（）A ．CN 与QM 共面B ．三棱锥A DMN -的体积为43C ．PQ QO +的最小值为322D ．当11113D Q D A = 时，过,,A Q M 三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为()82103+11．数列{}n a 满足1a a =，2131n n n a a a +=--，则下列说法正确的是（）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦12．设F 是抛物线2:4C y x =的焦点，直线:1l x ty =+与抛物线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．||4AB ≥B ．OA OB ⋅可能大于0C ．P 为抛物线上异于A 、B 的点，直线l 与准线交于点T ，当0,t A >为第一象限的点时，若APB α∠=，PF 平分APB ∠，则π2APT +∠=αD ．若在抛物线上存在唯一一点Q (异于,)A B ，使得QA QB ⊥则3t =±三、填空题13．若()f x 为可导函数，且()()0121lim 14x f x f x→--=-，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为______．14．对于数列{}n a ，若1,n n a a +是关于x 的方程2103n n x c x -+=的两个根，且12a =，则数列{}n c 所有项的和为________．15．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列说法，正确的有______.①椭圆Γ的离心率为22②MPQ 面积的最大值为232a③M 到Γ的左焦点的距离的最小值为()22a-④若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =-16．已知数列{}n a 的通项公式为4152nn n a +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，设数列{}n a 的最大项和最小项分别为,M N ，则M N +=______.四、解答题17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 右焦点且倾斜角为135︒的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，求MN 的值．18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，四点12346,,4,,4,333M M M M ⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有三点在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点(3,0)的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x =的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．19．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，4AC BC ==，D 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且DE AB ⊥.将ADE V 沿着DE 折起，形成四棱锥-P BCDE ，其中点A 对应的点为点P ，如图2.(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PDE ？若存在，请求出PFPB的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π，求四棱锥-P BCDE 的体积.20．在①11a =，525S =；②35a =，917a =；③416S =，864S =这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答.已知等差数列{}n a 满足________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{3}n n a ⋅的前n 项和.n T (如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z 拓展”．如数列1，2第1次“Z 拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z 拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a 、b 、c 经过第n 次“Z 拓展”后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ．(1)求1P 、2P ；(2)若2023n P ≥，求n 的最小值；(3)是否存在实数a 、b 、c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a 、b 、c 满足的条件；若不存在，说明理由．21．记数列{}n a 的前n 项和为111,2,34n n n n S a S S a ++=+=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =，记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.22．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x轴的正半轴，F 到直线20x +=的距离为54.点()2,2N ，不过点N 的直线l 与抛物线交于两点,A B ，且2NA NB k k +=-.(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程(2)求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.高二期末复习卷(答案)一、单选题1.已知()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（）2.“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2121S =，则616a a +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质，可得2121S =与616a a +的关系式，即可求得结果.4.若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．()(0,-B ．(0,2,00,2-⋃0,2如图可知，当直线l 介于直线12y x =-和与曲线C 有两个公共点．设1l 的方程为012y x m =-+，()00m >，则有联立220116412x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去x 并整理得2y 由()2200Δ4840m m =--=，解得022m =故m 的取值范围为()0,22．故选：B ．5.已知()f x 在0x x =处可导，则()()02200lim x x f x f x x x →-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-等于（）A ．()0f x 'B ．()0f x C ．()20f x '⎡⎤⎣⎦D ．()()002f x f x '业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从（）年（填年份）开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据:lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）7.数列{}n a 满足154a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）8.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，过F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，12AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q .则下列四个命题中正确的个数是（）个.①QA QB ⊥；②若M （1，1），P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52；③AOB （O 为坐标原点）的面积为；④(,0)2PM -，则tan AMB ∠=二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知函数3()2f x x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B ．已知11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =图象上，若函数()f x 从1x 到2x 则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC V 与时间t 的关系是221V t =-，则2t =时瞬时加速度为7D ．已知函数()f x =，则(9.05) 3.008f ≈【答案】BD10．在底面边长为2、高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，O 为棱1A A 上一点，且11,4A O A A P Q =､分别为线段1111B D A D ､上的动点，M 为底面ABCD 的中心，N 为线段AQ 的中点，则下列命题正确的是（）A ．CN 与QM 共面B ．三棱锥A DMN -的体积为43C ．PQ QO +的最小值为2D ．当11113D Q D A = 时，过,,A Q M 三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为83对于C ，如图2，展开平面点P ，交11A D 与点Q ，则此时对于D ，如图3，取11113D H D C =uuuu r uuuu r共面，即过,,A Q M 三点的正四棱柱的截面为梯形，且12233QH AC ==，所以平面截正四棱柱所得截面的周长为故选:ACD.11．数列{}n a 满足1a a =，1n n n +=--，则下列说法正确的是（）A ．若1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减B ．若存在无数个自然数n ，使得1n n a a +=，则1a =C ．当2a >或1a <时，{}n a 的最小值不存在D ．当3a =时，121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦【答案】ACD【分析】A 选项，根据()2110n n n a a a +=--<-求出1n a ≠，再由21311n n n a a a +=--≠求出2n a ≠，从而得到1a ≠且2a ≠，数列{}n a 单调递减，A 正确；B 选项，可举出反例；与抛物线C 交于两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．||4AB ≥B ．OA OB ⋅可能大于0C ．P 为抛物线上异于A 、B 的点，直线l 与准线交于点T ，当0,t A >为第一象限的点时，若APB α∠=，PF 平分APB ∠，则π2APT +∠=α对于D 选项，因QA QB ⊥，则Q 为以因()()1122,,A x y B x y ，，1222y y t +=，212212x xt +=+，2AB 则以AB 为直径的圆的方程为(22x t -将其与2:4C y x =联立，消去x 化简得：注意到()4228166448y t y ty +---4y =()()2244412yty yty =--++，由题可得，联立方程有2440y ty --=，其判别式恒大于0，则24120y ty ++=的判别式216t -故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题为直线与抛物线综合题为常用手段；对于C 选项，在抛物线中有很多的等量关系与成比例的关系分解因式处理.三、填空题13．若()f x 为可导函数，且()()121lim14x f x f x→--=-，则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为14．对于数列n a ，若1,n n a a +是关于x 的方程203n n x c x -+=的两个根，且12a =，则数列{}n c 所有项的和为________．【答案】92##4.5种情况进行分类讨论，利用分组和法来求得n T ，进而可利用极限求得“数列所有项的和”.15．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列说法，正确的有______.①椭圆Γ②MPQ 面积的最大值为232a③M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2a④若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为1k ，2k ，则1212k k =-16．已知数列{}n a 的通项公式为52n n a +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，设数列{}n a 的最大项和最小项分别为,M N ，则四、解答题17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为12．18．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>，四点12346,,4,,3M M M M⎛⎛⎛-⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有三点在C上．(1)求C的方程；将ADEV沿着DE折起，形成四棱锥-P BCDE，其中点A对应的点为点P，如图2.(1)在图2中，在线段PB 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PDE ？若存在，请求出PFPB的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；(2)在图2中，平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π，求四棱锥-P BCDE 的体积.3PB 理由如下：过点C 作CH ED ⊥，垂足为H ，在PE 上取一点M ，使得13PM PE =，连接因为13PM PE =，13PF PB =，所以FM 建立空间直角坐标系，设PEB θ∠=，则()2,0,0D -，()22,2,0C -，(P 则()2,2,0DC =- ，(2,2cos DP = 设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,22cos 2sin m DC x y m DP x y θθ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+⋅+⎪⎩取sin x θ=，则sin y θ=，cos z θ=-所以()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--，，948153线上并解答.已知等差数列{}n a满足________.(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求数列{3}na⋅的前n项和.n Tn一次“Z拓展”．如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为n P，所有项的和记为n S．(1)求1P 、2P ；(2)若2023n P ≥，求n 的最小值；(3)是否存在实数a 、b 、c ，使得数列{}n S 为等比数列？若存在，求a 、b 、c 满足的条件；若不存在，说明n 项和为111n n n n ++(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =，记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)2nn a =(2)8t ≤【分析】（1）利用n a 与n S 的关系证得数列{}n a 是等比数列，从而求得2n n a =；22．已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线20x +=的距离为4.点2,2N ，不过点N 的直线l 与抛物线交于两点,A B ，且2NA NB k k +=-.(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程。
高二数学上学期期末复习题1(文科)
第1页 共4页 ◎高二数学上学期期末复习题一（文科） 第2页 共4页高二数学上学期期末复习题一（文科）（2013.12）1．命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2,244x R x x ∀∈-+≤ C. 2,240x R x x ∃∈-+> D. 2,240x R x x ∃∉-+>2．与直线013=++y x 垂直的直线的倾斜角为 （ ） A ． 6π B ． 3πC ． 32πD ．65π 3．已知双曲线C:22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A 、y=±14x （B ）y=±13x （C ）y=±12x （D ）y=±x4．设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim 0000x f xx f x x f x 则（ ）A ．21B ．－1C ．0D ．－25．点(,2,1)P x 到点(1,1,2),(2,1,1)Q R 的距离相等，则x 的值为( )A ．12B ．1C ．32D ．26．若直线经过0,0,0,2A B 两点，则直线AB 的倾斜角为A ． 30°B ． 45°C ． 90°D ．0°7．椭圆221259x y +=上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点．则|ON|等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）328．“4ab ”是“直线210x ay 与直线220bx y 平行”的（）（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A ．BD //平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°10．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=111．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <3212．已知抛物线x y 42=的焦点F 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为（ ）A ． 23-B ．21 C ．21- D ．22选择题答案：1-6 7-1213．曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 .14．直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______.15．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .16．三棱锥S ABC -的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）．则这个三棱锥的体积为 _______ ；17．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为2，则OA OB ⋅的值为 ． 18．已知A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，满足2AF FB =，3||OABSAB =，则的值为19．如图，四边形ABCD 与A 'ABB'都是边长为a 的正方形，点E 是A 'A 的中点，AA'ABCD ⊥平面⑴求证：A'C //BDE 平面； ⑵求证：平面A'AC BDE ⊥平面； ⑶求体积A'ABCD V -与E ABD V -的比值。
东海高级中学高二文科数学期末复习模拟试题(一)
东海高级中学高二文科数学期末复习模拟试题(一)2010.1一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．抛物线x y 42=的焦点坐标是 。
2．命题“R x ∈∃，012≤++x x ”的否定是 。
3．下面给出的伪代码运行结果是 。
4．要从容量为1003的总体中抽取一个容量是50的样本， 先从1003个个体中随机抽出3个并将其剔除，然后在剩 余的1000个个体中采用系统抽样的方法抽出50个个体组 成一个样本，那么每个个体被抽到的概率为 。
５．航天飞机发射后的一段时间内，第t 秒时的高度10)(3+=t t h ，其中h 的单位为米，则第1秒末航天飞机的瞬时速度是 米／秒。
6．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为 。
7．右上图是设计计算1017531⨯⨯⨯⨯⨯ 的流程图，那么，判断框中应补条件 。
8．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x y 34=，则该双曲线的离心率为 。
９．已知样本方差是由公式()212125121∑=-=k k x s 求得，则=+++1221x x x 。
10．若直线kx y =是x y ln =的切线，则=k 。
11．已知函数)(x f 的导函数13)(2-='x x f ，且2)1(=f ，则)(x f 的解析式为 。
12．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则两次观察到的点数之和为数字 的概率是61。
第3题13．函数tx x x x f --=cos sin )(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增，则实数t 的取值范围是 。
14．给出下列命题：①若0)(0='x f ，则函数)(x f 在0x x =处有极值； ②0>m 是方程1422=+y m x 表示椭圆的充要条件； ③若x e x x f )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；④)1,1(A 是椭圆13422=+y x 内一定点，F 是椭圆的右焦点，则椭圆上存在点P ，使得PF PA 2+的最小值为3．其中为真命题的序号是 ▲ 。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
数学高二上期末经典复习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：13328]在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49D ．292．(0分)[ID ：13318]某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 3．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．94．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．86．(0分)[ID ：13295]如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯7．(0分)[ID ：13294]随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．(0分)[ID ：13288]执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．110．(0分)[ID ：13278]执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A．261B．425C．179D．54411．(0分)[ID：13277]在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．140812．(0分)[ID：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>13．(0分)[ID ：13245]定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3214．(0分)[ID ：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．815．(0分)[ID ：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．127B ．29C ．49D ．827二、填空题16．(0分)[ID ：13412]执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．17．(0分)[ID ：13395]一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.18．(0分)[ID ：13388]某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．19．(0分)[ID ：13376]某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
连云港外国语学校2012-2013学年高二下学期期末复习(1)数学(文)试题
连云港外国语学校2012～2013学年度 高二年级数学文科期末复习卷（一）命题人：刘希团 2013年6月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置. 1. 已知x>0 , y>0 , 且225x y+=, 则lgx+lgy 的最大值为____ ____. 2. 已知不等式2430kx kx --<对任意[1,1]k ∈-时均成立，则x 的取值范围为___ ____. 3.设()2sin f x x x =-,若0()0f x '=且0(0,)x π∈,则0x =___ ____. 4. 计算2log 52(lg2)lg5lg202+⨯+= ． 5. 已知函数2()12x af x a=-+()a R ∈是奇函数，则a = ． 6. ,x y 互为共轭复数,且2()346x y xyi i +-=-则||||x y +=____________．7. 函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ,若对任意),1[+∞∈x ，()1f x >恒成立，则实数a 的取值范围为____ ____.8. 已知322()f x x ax bx b =+++，当1x =-时，有极值8，则a b += ．9.已知2=34...，2011 则21n m += ． 10. 设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则当ｎ＞４时， ()f n ＝ ． 11. 设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35,则a b +的最小值为 ．12. ()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0xf x f x '-<且(4)0f -=，则不等式()0f x x<的解集为 . 13. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. 当x ∈[2,4]时，则f (x )= ．14．设0a >，函数2(),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合}0)5)(1(|{≤-+=x x x A ，集合}0,11|{>+≤≤-=m m x m x B ． （1）若B A ⊆，求m 取值范围；（2）若集合B A 中有且只有3个整数，求m 取值范围.16. （本题满分14分）若函数2()(2)2f x x a x b =-++++，2log (1)2f =，且()()2g x f x x =-为偶函数. （1）求函数()f x 解析式；（2）函数()f x 在区间[,)m +∞的最大值为33m -，求m 的值.17．（本题满分14分）如图，重量是2000N 的重物挂在杠杆上距支点10米处．质量均匀的杆子每米的重量为100N ．（1）杠杆应当为多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F 最小；（2）若使得加在另一端用来平衡重物的力F 最大为2500N ，求杠杆长度的变化范围．18. （本题满分16分）在函数()lg f x x =的图象上有三点A B C 、、，横坐标依次是1,,1(2)m m m m -+>． （1）试比较(1)(1)f m f m -++与2()f m 的大小； （2）求ABC ∆的面积()S g m =的值域．（第18题图）19. （本题满分16分）已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠． （1）当1a =时，解不等式()0f x >；(2）若方程'()f x =212ln 69x ax a a ---在[1,2]恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围（注：ln20.69≈）；（3）当0a >时，若()f x 在[0,2]的最大值为()h a ，求()h a 的表达式．20. （本题满分16分）已知函数2()2ln f x x x a x =++． （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,2]上恒为单调函数，求实数a 的取值范围； （3）当1t ≥时，不等式(32)3()6f t f t --≥恒成立，求实数a 的取值范围．高二年级数学文科期末复习卷参考答案（六）命题人：刘希团 2013年6月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.1. 已知x>0 , y>0 , 且225x y+=, 则lgx+lgy 的最大值为____ ____.1 2. 已知不等式2430kx kx --<对任意[1,1]k ∈-时均成立，则x 的取值范围为________.()(23,2-⋃+3.设()2sin f x x x =-,若0()0f x '=且0(0,)x π∈,则0x =____▲____.答案：03x π=4. 计算2log 52(lg2)lg5lg202+⨯+= ． 答案：65. 已知函数2()12x af x a=-+()a R ∈是奇函数，则a = ． 答案：1±6. ,x y 互为共轭复数,且2()346x y xyi i +-=-则||||x y +=_____。
(完整版)高二数学复习讲义1
高二数学复习讲义（1） ——《常用逻辑用语》<知识点>1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）（1）四种命题的关系，（2）等价关系（互为逆否命题的等价性） （a ）原命题与其逆否命题同真、同假。
（b ）否命题与逆命题同真、同假。
2. 充分条件、必要条件、充要条件（1）定义：若p 成立，则q 成立，即q p ⇒时，p 是q 的充分条件。
同时q 是p 的必要条件。
若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。
（2）判断方法： （i ）定义法，（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆ 则p 是q 的充分条件。
同时q 是p 的必要条件。
若A=B ，则p 与q 互为充要条件。
（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。
当原命题为真时，p 是q 的充分条件。
当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。
注意：充分条件与充分非必要条件的区别：用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。
3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。
（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。
p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真 真假假真假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。
<练习题>一、填空题1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________． 2.⎩⎪⎨⎪⎧x 1>3x 2>3，是⎩⎨⎧x 1＋x 2>6，x 1x 2>9成立的________条件． 3．命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是________． 4．下列四个命题中，是真命题的序号是________．①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．5．下列命题是真命题的是________(填序号)．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0；②∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；③∃x ∈Z ，x 2＝2；④∃x ∈R ，x 2＝2.6．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的________条件．7．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件．8．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若 p 是 q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．9．命题“偶数能被2整除”的否定形式是________． 10．下列命题中，假命题是________． ①∃α、β∈R ，使sin(α－β)＝sin α－sin β； ②∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；③∀x 、y ∈R ，x ＋y2≥xy ；④点(3,4)不在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0上．11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．12．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题； ④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)． 13．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．14．已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________.二、解答题(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sinα＝sinβ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.16．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．17．命题甲：a∈R，关于x的方程|x|＝ax＋1(a>0)有两个非零实数解，命题乙：a∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－2>0的解集为空集．当甲、乙中有且仅有一个为真命题时，求实数a的取值范围．。
高二数学上期末复习1(直线、圆、圆锥曲线、统计、概率)
绵阳市开元中学高2013级第三学期数学试题高2013级第三学期期末数学复习题1（满分100分，50分钟完卷）制卷：王小凤 学生姓名一．选择题（本题共6个小题，每小题10分，共60分）1．若0ab <，则过点10,P b ⎛⎫- ⎪⎝⎭与1,0Q a ⎛⎫⎪⎝⎭的直线PQ 的倾斜角的取值是( )A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是（ ）A ．y x 322=或x y 212-=B ．y x 322-=或x y 212=C ．x y 322=或y x 212-=D ．x y 322-=或y x 212=3．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为( )A．y =B ．2y x =±C ．12y x =±D．2y x =±4．圆2224200x y x y +-+-=截直线5120x y c -+=所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或68- C ．5或34- D ．68- 5已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y 的值分别为（ ） A ．2,5B ．5,5C ．5,8D ．8,86．过点(),P x y 的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =uu r uu r 且OQ AB ⋅uuu r uu u r=1，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．22331(0,0)2x y x y +=>>B ．22331(0,0)2x y x y -=>>C ．22331(0,0)2x y x y -=>>D ．22331(0,0)2x y x y +=>>二．填空题：（本题共2小题，每小题5分，共10分）7．已知两条直线0123:1=-+ay x l ,02:2=+-y ax l ,若21l l ⊥，则a ＝___ __ 8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示)，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为__ _ ．三．解答题（本题共3个小题，每小题15分，共30分）9．求过三点()1,5A -、()5,5B 、()6,2C -的圆的方程，并写出其圆心和半径．10．在直角坐标系xoy 中，点P 到两点(0,，(的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 交于,A B 两点。
高二数学文科年中期末复习一(必修三 1-1)
高二文科数学期末复习一一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1．把十进制25转化为二进制数为 ( )A ．10101（2）B ．11001（2）C ．10011（2）D ．11100（2） 2．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为8，则点P 到其准线的距离为( )A ．2B ．4 C. 6 D. 83．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P （A B ）等于（ ）A ．12B ．23C ．56D ．134．已知命题()2:,10p x R x ∀∈->；命题1:,sin 2q x R x ∃∈=，则下列判断正确的是（ ）A ．q ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p ⌝是假命题D ．p 是真命题5. 双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，在左支上过点1F 的弦AB 的长为5，那么2ABF ∆的周长是（ ）A.16 B ．18 C ．21 D ．26 6．阅读右边的程序，输出的s 值等于( )A.3B.7C.15D.177．某学校有小学生126人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的近视情况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，采用何种方法较为恰当 ( ) A ．简单随机抽样 B ．系统抽样C ．分层抽样D ．先从小学生中剔除1人然后再分层抽样8.已知椭圆2212516x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离是3，则P 到另一焦点距离为（ ） A.2 B. 3 C. 5 D. 7 9．已知函数2sin y x x =，则y '＝（ ）A. 2sin x xB. 2cos x xC. 22sin cos x x x x +D. 22cos sin x x x x + 10．曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+11. 函数3()34f x x x =- ，[]0,1x ∈的最大值是（ ）A ．12B ． -1C ．0D ．1 12．已知曲线32()3f x x x x =+++在1x =-处的切线恰好与抛物线22y px =相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为（ ）. A. 4 B.14 C. 8 D. 18二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中相应的横线上）13．函数321()233f x x x x =-+-的单调递减区间是 。
(必考题)数学高二下期末经典测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示,若将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x 图象,则()g x 的解析式为( )A ．2()2sin(2)3g x x π=+ B ．5()2sin(2)6g x x π=- C ．()2sin(2)6g x x π=+D ．()2sin(2)3g x x π=-2．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．66B ．66±C ．62D ．62±3．已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．45 4．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A 3B ．3C ．6 D ．1525．非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°6．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．37．设奇函数()()()()sin 3cos 0f x x x ωφωφω=+-+>在[]1,1x ∈-内有9个零点，则ω的取值范围为( )A ．[)4,5ππB ．[]4,5ππC ．11,54ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,54ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛⎫⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()y f x =的表达式是（ ）A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()22sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9．已知函数()sin 3cos f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 10．若()2sin sinsin777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的个数是（ ） A ．16B ．72C ．86D ．10011．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称12．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2cos ,2sin )CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是（ ）．A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．π5π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π214．若向量a ，b 满足2a b ==，a 与b 的夹角为60，则a b +等于（ ） A ．223+B ．23C ．4D ．1215．已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ）A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 17．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin sin()cos()απαπα--+的值为__________. 18．实数x ，y 满足223412x y +=，则23x y +的最大值______． 19．如图在ABC 中，AC BC =，2C π∠=，点O 是ABC 外一点，4OA =,2OB =则平面四边形OACB 面积的最大值是___________．20．已知角α的终边上一点)3,1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．21．已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________.22．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． （2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤． （3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=．请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）23．将函数e x y =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为__________． 24．已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值为__________． 25．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________． 三、解答题26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 27．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求C ；（2）若c =，ABC 的面积为ABC 的周长.28．在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式； (2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 29．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像经过点,412π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点5,412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像有一条对称轴为12x π=. （1）求()f x 的解析式及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.30．已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示（1）求函数()f x 的解析式； （2）写出函数()f x 的单调递增区间（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C11．A12．D13．A14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m则由余弦定理把m表示出来利用四边形OACB面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m则由余20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题25．【解析】由题意得三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据函数的图象求出函数()f x 的解析式，再根据图象的平移变换得到()g x 的解析式即可. 【详解】 由图象可知，A =2,541264T πππ=-=, 2T ππω∴==,2ω∴=,又当512x π=时，52sin(2)212πφ⨯+=， 即5sin()16πφ+=， 2πφ<， 3πφ∴=-，故()sin()f x x π=-223，将()f x 图象向左平移4π个单位后得到()g x ， ∴ ()2sin[2()]2sin(2)436g x x x πππ=+-=+，故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，图象的变换，属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-，∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=，∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．3．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A4．D解析：D 【解析】 【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单5．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．7．A解析：A 【解析】f （x ）=sin （ωx+φ（ωx+φ）=2[12sin （ωx+φ（ωx+φ）] =2[cos3πsin （ωx+φ）﹣sin 3πcos （ωx+φ）]=2sin （ωx+φ﹣3π） ∵函数f （x ）为奇函数，∴f （0）=2sin （φ﹣3π）=0，∴φ=3π+kπ，k ∈Z ∴f （x ）=2sin （ωx+kπ），f （x ）=0即sin （ωx+kπ）=0，ωx+kπ=mπ，m ∈Z ，解得，x=()m k πω-，设n=m ﹣k ，则n ∈Z ，∵A ∈[﹣1，1]，∴﹣1≤x≤1,[]1,1n πω∈-，∴n ωωππ-≤≤, ∵A ∈[﹣1，1]中有9个元素,4545.ωπωππ∴≤<⇒≤< 故答案为A.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式.由题图可知2A =，且11522122T πππ=-=即T π=，所以222T ππωπ===， 将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+， 得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23k k πϕπ=-∈Z ， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=-，所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象， 又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈， 即ππ6m k =+，k Z ∈， 又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.10．C【解析】 【分析】 【详解】 令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数，而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.11．A解析：A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】 由题意，函数23111()3cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++， 当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确； 又由12x π=时，131()sin(2)612622f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】 不妨设(0,0)O∵(2,2)OC =，(2cos ,2sin )CA αα=． ∴(2,2)C 、(22,22sin )A cos αα++． ∴点A 在以(2,2)为圆心半径为2的圆上． ∴OA 与OB 的夹角为直线OA 的倾斜角． 设:OA l y kx = ∴22121k d r k -=≤=+．即2410k k -+≤，则[23,23]k ∈-+． 又∵π23tan12-=，523tanπ12+=． ∴OA 、OB 夹角[23,23]θ∈-+．故选D ．13．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x 且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题14．B解析：B 【解析】 【分析】将a b +平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式. 【详解】因为2222cos 6044412a b a a b b +=+︒+=++=，所以23a b +=， 故选：B. 【点睛】本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算xa yb +这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去计算模长.15．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++； 因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()449ππθθθ=++=-. 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.17．【解析】【分析】先根据已知求出最后化简代入的值得解【详解】由题得由题得=故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力解析：35【解析】 【分析】先根据已知求出tan α，最后化简2sin sin()cos()απαπα--+,代入tan α的值得解. 【详解】 由题得tan 111,tan 1+tan 32ααα-=-∴=.由题得22222sin +sin cos sin sin()cos()=sin +sin cos =sin +cos ααααπαπαααααα--+ =2211tan tan 3421tan 1514ααα++==++. 故答案为35【点睛】本题主要考查差角的正切和同角的商数关系平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy解析：【解析】分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x ，y 满足223412x y +=，即22143x y +=，设2cos x θ=，y θ=，则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又由()15sin 1θα-≤+≤，则525x -≤≤，即2x +的最大值5； 故答案为：5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．19．【解析】分析：利用余弦定理设设AC=BC=m 则由余弦定理把m 表示出来利用四边形OACB 面积为S=转化为三角形函数问题求解最值详解：△ABC 为等腰直角三角形∵OA=2OB=4不妨设AC=BC=m 则由余解析：5+ 【解析】分析：利用余弦定理，设AOB α∠=,设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理把m 表示出来，利用四边形OACB 面积为S=24sin 4sin 2OACB ABC m S S αα∆∆=+=+．转化为三角形函数问题求解最值．详解：△ABC 为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，不妨设AC=BC=m ，则AB =．由余弦定理，42+22﹣2m 2=16cos α，∴2108cos m α∴=-．108cos 4sin 4sin 4sin 4cos 52OACB ABC S S ααααα∆∆-∴=+=+=-+)554πα=-+≤.当34απ=时取到最大值5+.故答案为5+点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设AOB α∠=，再建立三角函数的模型.20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力【解析】分析：先根据三角函数定义得cos ,tan αα，再根据诱导公式化简求值.详解：因为角α的终边上一点)1A -，，所以cos tanαα===, 因此()sin tan 2παπα⎛⎫-++⎪⎝⎭cos tanαα=+== 点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，考查基本求解能力.21．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力解析：12【解析】 分析：先化简2sincos cos 1242C C π+=得到2C π=，再化简2sin sin sin B A C =得到sin A =详解：因为2sincos cos 1242C C π+=，所以1-2cos 1222C C +=,所以cos(cos 0,cos 0(cos =222222C C C C -=∴=舍）或， 因为0C π<<,所以2C π=,所以A+B=2π.2sin sin sin B A C =因为，所以22cos sin ,sin sin 10,sin A A A A A =∴+-=∴=因为sinA>0,所以1sin 2A =.. 点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.22．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.23．【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式详解：点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟练掌握无论是哪种变形切记每一个变换总是对字母而言 解析：24e x y -=【解析】分析：根据图像平移规律确定函数解析式. 详解：222(2)24e ee e xxx x y y y --=→=→==横坐标变为一半右移个单位点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.24．【解析】分析：由可得化简即可求得其值详解：由即答案为点睛：本题考查三角函数的化简求值考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用是基础题 解析：65【解析】 分析：由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得tan 2α=，化简()()2cos sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，即可求得其值.详解：tan tantan 114tan ,tan 2,4tan 13tan tan 4παπαααπαα--⎛⎫-===∴= ⎪+⎝⎭+ 由()()22cos sin cos sin sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+⎪⎝⎭22222sin sin cos tan tan 6.sin cos tan 15αααααααα++===++ 即答案为65. 点睛：本题考查三角函数的化简求值，考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．25．【解析】由题意得解析：3-【解析】由题意得()1sin sin ,[,],cos 32ππαααπα-==∈∴==三、解答题 26． （1）34-（2）16【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224aca cb Bac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B = ∴sin22sin cos BB B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 27．（1）3C π=（2）7+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将2cos (cos cos )C a B b A c +=，转化为2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，再利用两角和与差的三角的三角函数得到sin (2cos 1)0C C -=求解.（2）根据ABC 的面积为1sin 2ab C =12ab =，再利用余弦定理得()23a b ab =+-，求得+a b 即可. 【详解】（1）因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 所以2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 所以()2cos sin sin C A B C +=， 所以sin (2cos 1)0C C -=， 所以1cos 2C =， 又因为()0,C π∈， 所以3C π=.（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2ab C = 所以12ab =.由余弦定理得：若2222cos c a b ab C =+-，()23a b ab =+- 所以7a b +=所以ABC 的周长7【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.28．（1）()2sin(2)6f x x π=+ （2）[-1，2] 【解析】试题分析：根据正弦型函数图象特点，先分析出函数的振幅和周期，最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,周期T π=，则2==2T πω，又函数图象过2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故1126k k Z πϕπ=-+∈，，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而确定6πϕ=，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其单调增区间． (2)分析72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图象，可知当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 试题解析：（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-． 点睛：本题考查了三角函数的图象和性质，重点对求函数解析式，单调性，最值进行考查，属于中档题．解决正弦型函数解析式的问题，一定要熟练掌握求函数周期，半周期的方法及特殊值的应用，特别是求函数的初相时，要注意特殊点的应用及初相的条件，求函数值域要结合正弦函数图象，不要只求两个端点的函数值．29．（1）()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，23π；（2）22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】【分析】（1）由函数的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=， 可得最大值A ，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．【详解】（1）函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，2πϕ＜）在一个周期内的图象经过点412，π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5412π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且f （x ）的图象有一条对称轴为直线12x π=， 故最大值A ＝4，且5212123T πππ=-=, ∴2T 3π=， ∴ω2Tπ=＝3． 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.因为()f x 的图象经过点,412π⎛⎫⎪⎝⎭，所以44sin 312πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 所以24k ϕπ=+π，k Z ∈. 因为||2ϕπ<，所以4πϕ=， 所以()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）因为()4sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以232242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 所以2243123k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 即()f x 的单调递增区间为22,()43123k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +ϕ）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．30．（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76π； 【解析】【分析】（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；（2）利用正弦函数的递增区间可解得；（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果.【详解】（1）由函数()f x 的图象可得4A =， 又因为函数的周期72()1212T πππ=-=，所以22πωπ==， 因为函数的图象经过点(,4)12P π，即4sin(2)412πϕ⨯+=， 所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， 所以()4sin(22)4sin(2)33f x x k x πππ=++=+. （2）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈， （3）因为(0,)x π∈，所以72(,)333x πππ+∈， 又因为()2f x =-可得1sin(2)32x π+=-， 所以7236x ππ+=或11236x ππ+=， 解得512x π=或34x π=，、 因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-， 所以1253147124126x x ππππ+=+==. 【点睛】本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.。
2020-2021学年高二数学期末复习题选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何(含答案)
2020-2021学年高二数学人教A 版（2019）期末复习题第一章空间向量与立体几何一、选择题1.已知空间点()()1,,5,2,7,2A a B a ---,则AB 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．2.若向量(,4,5),(1,2,2)a x b =--=-,且a 与b 的夹角的余弦值为,则实数x 的值为( ) A.-3 B.11 C.3 D.-3或113.已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,)a b c m =-=--=，若,,a b c 共面，则实数m 的值为( ) A.607B.14C.12D.6274.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对二、填空题5.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是__________.6.若(2,1,2),(6,3,2)a b =-=-,且()a b a λ+⊥,则实数λ= .7.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中,侧棱PA ⊥底面,,90,2,1ABCD BCAD ABC PA AB BC AD ∠=︒====,则AD 到平面PBC 的距离为_______.三、多项选择题8.已知空间中三点()()()0,1,0,2,2,0,1,3,1A B C -,则下列说法不正确的是( )A.AB 与AC 是共线向量B.与AB 同向的单位向量是⎫⎪⎪⎝⎭C.AB 与BCD.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)AB AD AP =--==--,则下列结论正确的是( )A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP 是平面ABCD 的法向量D.APBD10.设,,a b c 是任意的非零空间向量,且两两不共线,则下列结论中正确的有( ) A.()()0⋅-⋅=a b c c a b B.||||||-<-a b a bC.()()⋅-⋅b a c c a b 不与c 垂直D.22(32)(32)9||4||+⋅-=-a b a b a b11.设,a b 为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有( ) A.22||=a a B.2⋅=a b ba aC.222()⋅=⋅a b a bD.222()2-=-⋅+a b a a b b四、解答题12.ABC △的内角,,A B C 对的边为,,a b c ,向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行. (1)求角A ;（2）若2,a =求b c +的取值范围.13.如图,在边长为2的正三角形ABC 中,点,,D E G 分别是边,,AB AC BC 的中点,连接DE ,连接AG 交DE 于点F .现将ADE 沿DE 折叠至1A DE 的位置,使得平面1A DE ⊥平面BCED ,连接1,AG EG .求点B 到平面1A EG 的距离.14.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交CC 于D ．（1）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （2）求二面角111A B C A -的余弦值．15.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为1BB 的中点.(1)求1D E 的长；(2)求异面直线AE 与1BC 所成的角的余弦值.16.如图,在三棱锥S ABC -中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90BAC ∠=︒,O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A SC B --的余弦值参考答案1.答案：C2.答案：A3.答案：B4.答案：A 点()3,4,5P 与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为相反数,所以两点关于x 轴对称.5.答案：11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M ,连接PM 则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离 设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =由两点间距离公式可得x =化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+-()224421x x =+-+-()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 答案: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.答案：919-7.2分析知,,AB AD AP 两两垂直,∴可建立以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系(如图所示),则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,0A B C P PB BC =-=,设平面PBC 的法向量为(),,a b c =n ,则0PB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即22020a c b -=⎧⎨=⎩,取1a =,则0,1b c ==,则()1,0,1=n 是平面PBC 的一个法向量.又(2,0,0),AB AD =平面,PBC ∴所求距离为||||AB ⋅=n n . 8.答案：ABC解析：对于A,(2,1,0),(1,2,1)AB AC ==-,所以不存在实数λ,使得AB AC λ=,则AB 与AC 不是共线向量,所以A 错误;对于B,因为(2,1,0)AB =,所以与AB同向的单位向量为⎫⎪⎪⎝⎭,所以B 错误;对于C,向量(2,1,0),(3,1,1)AB BC ==-,所以cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅〈〉==-,所以C 错误;对于D 项,设平面ABC 的一个法向量是(,,),(2,1,0),(1,2,1)x y z AB AC ===-n ,所以0,0,AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 则20,20,x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1x =,则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)=-n ,所以D 正确.故选ABC. 9.答案：ABC 解析：0,0,,AB AP AD AP AB AP AD AP ⋅=⋅=∴⊥⊥,则选项A,B 正确.又AB 与AD 不平行,AP∴是平面ABCD 的法向量,则选项C 正确.(2,3,4),(1,2,1),BD AD AB AP BD =-==--∴与AP 不平行,故选项D 错误. 10.答案：BD解析：根据空间向量数量积的定义及性质,可知⋅a b 和⋅c a 是实数,而 c 与 b 不共线,故()⋅a b c 与()⋅c a b 一定不相等,故A 错误；因为2[()()]()()()⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅b a c c a b c b a c c a b c ,所以当⊥a b ,且⊥a c 或⊥b c 时,[()()]0⋅-⋅⋅=b a c c a b c ,即()()⋅-⋅b a c c a b 与 c 垂直,故C 错误；易知BD 正确.故选BD. 11.答案：AD解析：由数量积的性质和运算律可知AD 是正确的.12.答案：（1）由于(,3)m a=与(cos sin )n A B =+平行，∴sin cos 0a B A =，∴sin sin cos A B B A ，∵sin 0B ≠，∴tan A ， ∵0πA <<，∴π3A =.（2）∵π2,3a A ==，∴22sin R A == ∴2ππ2(sin sin )2sin sin 4sin 36b c R B C R B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵2πππ5π0,3666B B <<<+<， ∴1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， ∴24b c <+≤. 解析：13.答案：连接BE .以F 为坐标原点,1,,FG FE FA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则111,0,,0,,0,2B A E G ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 1331331,,0,0,,,,,0222EB EA EG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面1A EG 的法向量为(,,)x y z =n ,则11023102EA y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩n ,取x =则3,y z ==,则=n 是平面1A EG 的一个法向量,∴点B 到平面1A EG 的距离||||EB d ⋅===n n 解析：14.答案：解：（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接CE BE ，， 设AD CE O ⋂=，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形， CE AD ∴⊥，又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴≅△△，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥， 又AD ，BO ⊂平面BAD ，AD BO O ⋂=，CE ∴⊥平面BAD ．又CE ⊂平面11AA C C ，∴平面BAD ⊥平面11AA C C . （2）在ABC △中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在RtBOC △中，12CO CE ==BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥， AD CE O ⋂=，AD ，CE ⊂平面11AA C C ，BO ∴⊥平面11AA C C ，故建立如图空间直角坐标系0xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩， 令16x =，得(6,4,m =-，设平面111A B C 的一个法向量为()222,,n x y z =， 则1111n C B n C A ⊥⎧⎨⊥⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y =，得(0,2,1)n =-，92cos ,||||102m n m n mn ⋅∴<>==⋅⋅，故二面角111A B C A --解析：15.答案：(1)以AD ,AB ,1AA 的正方向分别为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则()12,0,2D ,()0,2,1E ,可得1(03D E ==, 所以1D E 的长为3.(2)由(1)的坐标系,可得()0,0,0A ,()0,2,1E ,()0,2,0B ,()12,2,2C ,所以()0,2,1AE =,()12,0,2BC =,设异面直线AE 与1BC 所成的角为θ,所以111cos cos ,5AE BC AEBC AE BC θ⋅====, 即异面直线AE 与1BC. 解析：16.答案：(1)由题设AB AC SB SC SA ====,连结,OA ABC △为等腰直角三角形,所以OA OB OC ===,且AO BC ⊥,又SBC △为等腰三角形,故SO BC ⊥,且SO =,从而222OA SO SA +=．所以SOA △为直角三角形,SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．(2)取SC 中点M ,连结,AM OM ,由(1)知,SO OC SA AC ==,得,OM SC AM SC ⊥⊥． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥,又AM =,故sin AO AMO AM ∠===所以二面角A SC B --。
高二数学期末复习题及答案
高二数学期末复习题及答案SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高二理科数学期末复习训练题（一）命题人：张泉清 （增城市仙村中学）注意：本试卷满分150分，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷的答案按要求写在答题纸上。
Ⅰ卷（满分40分）一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，答案涂在答题卡上。
1. 在复平面内，复数1ii+对应的点位于 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2. 函数f(x)=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值是（ ）A.319 B. 316 C. 313 D. 3103.120(23)x x dx -=⎰（ ）A 1B 0C 0或1D 以上都不对。
4．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）A 1－k pB ()k n k p p --1C 1－()k p -1D ()k n k kn p p C --1 个人站成一排，其中甲不在左端也不和乙相邻的排法种数是（ ）。
A 48 B 54 C 60 D 666.若3322103)45(x a x a x a a x +++=+，则=+-+)()(3120a a a a （ ） A 1- B 1 C 2 D 2-7. 如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）。
A. 32B. 34C. 38D. 3128图：x 解密密钥密加密密钥密明密密发送明现在加密密钥为 log (2)a y x =+ ,如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”。
问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为（ ）。
A. 12B. 13C. 14D. 15 二、填空题（每小题5分，共30分，请将正确答案填写到答题卡上） 9.函数1y x=的导函数是 ； 10．(ax －x1)8的展开式中2x 的系数为70，则a 的值为；11．实数x 、y 满足(1-i)x+(1+i)y=2,则 xy 的值是 _________ ； 12. 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下:则q= ；13. 一同学在电脑中打出如下若干个圆，○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前100个圆中有_ ___ 个●；14．函数2()276f x x x =-+-与()g x x =-的图象所围成封闭图形的面积为 . 三、解答题（共80分，请写到答题卡上）15(14分)已知函数321()252f x x x x =--+( 1 ) 求函数的单调区间。
高二数学期末复习一(不等式2)
高二数学期末复习一（不等式2） 一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba>2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1<b 1<0；则下列不等式:①a +b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④a b +ba >2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的 大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件 分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0； 即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数； 则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +； 只要证a a +b b ≥a b +b a ； 即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)； 即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ； 而xy =100；解得x =15； 即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)； 又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920； 当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0； 即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。
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高二数学期末专题复习（一）一、立体几何部分题型一、空间几何体1、 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(A)A ．283π-B ．83π-C ．82π-D ．23π2、某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125解：从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字 所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系 和三角形面积公式，可得：10=底S ，10=后S ，10=右S ，56=左S ，因此 该几何体表面积5630+=+++=左右后底S S S S S ，故选B 。
3、如图，正方体ABCD-1111A B C D 的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E=x ，DQ=y ，D Ｐ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PE ＦＱ的体积（ D ）Ａ、与ｘ，ｙ，ｚ都有关 Ｂ、与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 Ｃ、与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 Ｄ、与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关 5、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是( C )A ．2∶πB ．1∶2πC ．1∶πD ．4∶3π 6、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 3π ．7、三棱锥P A B C -中，A B C ∆是底面，,PA PB ⊥,PA PC ⊥,PB PC ⊥且这四个顶点都在半径为2的球面上，2,PA PB =则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ B ）题型二、平面基本性质1、若,m n 表示不重合的两直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（C ） ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭；②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭2、下列命题正确的是（ C ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3、设n m ,是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题①γβγαβα//////⇒⎭⎬⎫；②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //；③βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ；④αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂；其中正确的命题是（ ）Ａ．①④； Ｂ．②③； Ｃ．①③； Ｄ．②④；答案：C4、给定下列四个命题：设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
上面命题中，真命题．．．的序号 (1)(2) （写出所有真命题的序号）.题型三、空间角与距离1、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别是C D 、1C C 的中点， 则异面直线1A M 与D N 所成角的大小是______2π______。
2、如图，二面角β--l a 的大小是60°，线段l B AB ∈⊂,α，AB 与l 所成角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是____43____________。
3、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，沿对角线BD 将△ABD 折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C —AB —D 的平面有大小为θ， 则sin θ的值等（ A ）NA 1A ．43 B ．47 C ．773 D ．544、若正四棱柱1111ABC D A B C D -的底面边长为1，1A B 与底面A B C D 成60°角，则11A C 到底面A B C D 的距离为 （ D ）A．3B ．1 CD5、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°], 则折后两条对角线之间的距离的最值为( B ) A ．最小值为43, 最大值为23 B ．最小值为43, 最大值为43 C ．最小值为41, 最大值为43 D ．最小值为43, 最大值为236、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =，90=∠ABC ，,E F分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 ．解析：分别将111A B C △沿11A B 折到平面11ABB A 上；将111A B C △沿11A C 折到平面11AC C A 上；将11BCC B 沿1B B 折到平面11ABB A上；将11BCC B 沿1C C 折到平面11AC C A 上，比较其中E F 长即可．2．题型四、综合运用1、如图，已知矩形ABCD ，AB=2AD=2a,E 是CD 边的中点，以AE 为棱，将△DAE 向上折起，将D 变到D ′的位置，使面D ′AE 与面ABCE 成直二面角（图7-32）。
（1）求直线D ′B 与平面ABCE 所成的角的正切值；（2）求证：AD ′⊥BE ；（3）求四棱锥D ′—ABCE 的体积； （4）求异面直线AD ′与BC 所成的角。
AB1A 1E解 （1）∵D ′—AE —B 是直二面角，∴平面D ′AE ⊥平面ABCE 。
作D ′O ⊥AE 于O ，连 OB ，则D ′O ⊥平面ABCE 。
∴∠D ′BO 是直线D ′B 与平面ABCE 所成的角。
∵D ′A=D ′E=a ，且D ′O ⊥AE 于O ，∠AD ′E=90° ∴O 是AE 的中点， AO=OE=D ′O=22a, ∠D ′AE=∠BAO=45°。
∴在△OAB 中，OB=︒⋅⋅-+AB cos45222OA ABOA=222a))(22(2)·2()22(22a a a ⋅-+=210a 。
∴在直角△D ′OB 中，tan ∠D ′BO=OBO D '=55。
（2）如图，连结BE ，∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE ⊥AE 于E 。
∵D ′O ⊥平面ABCE ，∴D ′O ⊥BE ，∴BE ⊥平面AD ′E ，∴BE ⊥AD ′。
（3）四边形ABCE 是直角梯形， ∴S ABCE =21（a+2a ）·a=23a 2。
∵D ′O 是四棱锥的高且D ′O=22a,∴V D ′—ABCE =31（22a ）·（23a 2）=42a 3。
（4）作AK ∥BC 交CE 的延长线于K ，∴∠D ′AK 是异面直线AD ′与BC 所成的角， ∵四边形ABCK 是矩形，∴AK=BC=EK=a 。
连结OK ，D ′K, ∴OK=D ′O=22a, ∠D ′OK=90°, ∴D ′K=a, AK=AD ′=D ′K=a 。
∴△D ′AK 是正三角形，∴∠D ′AK=60°，即异面直线AD ′与BC 成60°3、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示，D 、E 分别为棱CC 1和B 1C 1的中点。
（1）求点B 到平面A 1C 1CA 的距离； （2）求二面角B —A 1D —A 的大小；（3）在AC 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面A 1BD ，若存在确定其位置，若不存在，说明理由.解：（1）由已知得：CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°∴BC ⊥AC∴BC ⊥平面A 1C 1CA∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2（2）如图建立空间直角坐标系则B （0，2，0）D （0，0，1）A 1（2，0，2） )2,2,2()1,0,2(11----=∴D A D A设平面A 1DB 的法向量为),,1(1y x n 则⎩⎨⎧-=-=∴⎩⎨⎧=-+-=--12022202x y y x y )2,1,1(1--=n 而平面ACC 1A 1的法向量为)0,1,0(2n 61cos 21->=⋅<∴n n ∴二面角B —A 1D —A 的大小为66arccos（3）存在F 为AC 的中点，使EF ⊥平面A 1BD 设F （x ，0，0），由E （0，1，2）得)2,1,(--=x EF 若EF ⊥平面A 1BD ，则1//n EF 由)2,1,1(1--=n 得x =1 ∴F 为AC 的中点∴存在F 为AC 的中点，使EF ⊥平面A 1BD3、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，AB =2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且).0(>==λλFABF EDPE（I ）判断EF 与平面PBC 的关系，并证明；（II ）当λ=1时，证明DF ⊥平面PAC ；（III ）是否存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 解：（I ）EF ∥平面PBC . 证明如下 作FG ∥BC 交CD 于G ，连结EG ，则λ===FABF EDPE GDCG FABF∴GDCG EDPE =∴PC ∥EG 又FG ∥BC ，BC ∩PC =C ，FG ∩GE =G .∴平面PBC ∥平面EFG .又EF ⊂平面EFG ∴EF ∥平面PBC（II ）λ=1，则F 为AB 的中点又AB =2AD AF =21AB∴在Rt △FAD与Rt △ACD中222tan ===∠ADAD AFAD AFD22tan ===∠ADAD ADCD CAD∴∠AFD =∠CAD ∴AC ⊥DF 又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ∴PA ⊥DF .∴DF ⊥平面PAC（III ）建立如图所示空间填角坐标系，设PA =AD =1，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，1，0），C （2，1，0），P （0，0，1）又)0(>==λλFABF EDPE)0,0,12(λ+∴F ……………………8分设),,0(00z y E 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴--=-∴=>=--=-=λλλλλλλ111),1,0()1,,0()0(),1,0(),1,,0(0000000000z y z y z y EDPE EDPE z y ED z y PE 即又即)11,1,0(λλλ++E)11,1,12(λλλλ+-+-+=∴EF)0,0,2(-=CD 假设存在实数λ，使异面直线EF 与CD 所成的角为60°，则2132213|12|60cos 22=+=⋅+++-==︒λλλλ552=∴=∴λλ∴存在实数5=λ使异面直线EF 与CD 所成的角为60°。