必修五3.4 基本不等式 课件(共34张PPT)
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《3.4基本不等式》ppt课件
赵爽：弦图
3
探究点1 探究基本不等式 1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或 不等关系吗？
D
C GF HE A
B 4
D
设AE=a,BE=b,
GF
HE
A
a Z.x.x. K
b
a2 b2 B
C 则正方形ABCD的面积 是___a_2+_b_2__， 这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
当 x = 1600 即x = 40 x
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价 最低，最低造价是297600元
24
练习：
做一个体积为32 m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长 与宽取什么值时用纸最少？
2 x
y
25
7.若2x 2y 1,则x y的取值范围是多少？
21
高考方向标：
1、当x>0时， x 1 的最小值为
2 ，此时x= 1
。
x
2、(04重庆）已知 2x1 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
6。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3x 3y 的最小值是（D ）
2
)
22
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积 为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元， 池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价 最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到 了均值不等式定理。
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件
学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
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探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
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思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
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a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
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探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
人教版高中数学必修五基本不等式课件PPT
第三章 不等式
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
1.两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2 b2 2ab(a, b R)“a=b”时取“=”
基本不等式
ab
a b (a＞0,b＞0) 2
“a=b”时取“=”
第三章 不等式
第三章 不等式
在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生 长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。
——郁达夫
1.你能在这个图案中找出一些相等关系
第三章 不等式
D
提示: 设AE=a,BE=b,
GF HE A
则正方形ABCD的面积 C 是__a_2_+_b_2__，
这4个直角三角形的面 积之和是___2_a_b____，
B
S> 正方形ABCD
4S直角三角形，
即a2 b2 2ab.
第三章 不等式
【提升总结】 基本不等式： 注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号.
第三章 不等式
D
如图,AB是圆的直径，C
是AB上任一点，
AC=a,CB=b,过点C作垂
A
C
B
直于AB的弦DE，连接
AD,BD,
E
则CD=＿＿,
半径为＿＿.
第三章 不等式
CD小于或等于圆的半径. 用不等式表示为 上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b 时，等号成立. 几何意义：半径不小于半弦.
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1” 是相同的．
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式
高中数学必修5《基本不等式》优秀课件
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab （a＞0,b＞0） 2
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 几何意义：半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的
v
等差中项
重要不等式： a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
变式训练
1.已知函数 f x x 3 ，求函数的最值和
此时x的取值．
x
运用均值不等式的过程中，切记不要忽略 了“正数”这个条件．
2.已知x＞1，f x x 1 的最小值.
x 1
运用均值不等式的过程中，切记不要忽略 了“积为定值”这个条件．
3.4基本不等式:
ab a b 2
学习目标
学习目标： 1、探索并了解基本不等式的证明过程； 2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
重点与难点
重点：利用数形结合思想理解基本不等式。 难点：基本不等式成立的条件及应用。
导学案反馈
● 优秀小组：4组、7组、10组、12组 ● 优秀个人：
(评价标准：卷面干净，书写规范，正确率高）
李 傲、李艳萌
优秀导学案展示
卷面干净 书写规范 正确率高
ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
基本不等式
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 几何意义：半弦长小于等于半径
从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的
v
等差中项
重要不等式： a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。
（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须 能够相等
变式训练
1.已知函数 f x x 3 ，求函数的最值和
此时x的取值．
x
运用均值不等式的过程中，切记不要忽略 了“正数”这个条件．
2.已知x＞1，f x x 1 的最小值.
x 1
运用均值不等式的过程中，切记不要忽略 了“积为定值”这个条件．
3.4基本不等式:
ab a b 2
学习目标
学习目标： 1、探索并了解基本不等式的证明过程； 2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
重点与难点
重点：利用数形结合思想理解基本不等式。 难点：基本不等式成立的条件及应用。
导学案反馈
● 优秀小组：4组、7组、10组、12组 ● 优秀个人：
(评价标准：卷面干净，书写规范，正确率高）
李 傲、李艳萌
优秀导学案展示
卷面干净 书写规范 正确率高
3.4 基本不等式 课件(41张PPT)高中数学必修5(人教版A版)
解析：xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6，令xy＝t2，可得t2－x＝3，y＝6时等号成立，故xy的
2x＝y， 当且仅当 2x＋y＋6＝xy，
最小值为18.
答案：18
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 郑州模拟)设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值 是 A．6 C．2 6 B．4 2 D．8 ( )
答案： B
2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( A．18 C．81
等号成立．
)
B．36 D．243
解析：∵m>0，n>0，∴m＋n≥2 mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，
答案：A
3．(教材习题改编)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的 是 4 A．y＝－x－x C．y＝ x2＋1＋ 1 x2＋1 1 B．y＝lg x＋lg x D．y＝x2－2x＋3 ( )
[失误展板] 错解：∵a>0，b>0，a＋b＝2， a＋b2 ∴ab≤ 4 ＝1. 1 4 又 y＝a＋b≥2 4 ab＝4 1 1＝4. 1 ab，
又 ab≤1，∴y≥4
错因：上面的解法显然是错误的．主要原因是对 a＋b 1 4 与a＋b两次使用基本不等式．但它们成立的条件不同， 一个是 a＝b，另一个是 b＝4a.这显然是不能同时成立 的，故不正确．
[正确解答] a＋b ∵a＋b＝2，∴ 2 ＝1. a＋b 1 4 1 4 ∴a＋b＝a＋b 2 5 2a b 5 ＝2＋ b ＋2a≥2＋2
2a b b· 2a
9 2a b ＝2(当且仅当 b ＝2a，即b＝2a时，“＝”成立)． 1 4 9 故y＝a＋b的最小值为2.
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
3.4基本不等式 课件(共43张PPT)
A
a
2ab 面积和S’ =＿＿
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
> S′ S____
问：那么它们有相等的情况吗？
D b G A H F E
D
a 2 b2
a a
C
A
E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a 2Hale Waihona Puke §3.4 基本不等式（3）
ab ab 2
2 2 1、重要不等式 a + b ≥ 2ab（当且仅当a = b时，等号成立）
2、基本不等式； a b 2 a＋b 3、均值不等式： ab≤ 2
ab
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当
a＝b
时取等号．
[证明]
∵a，b，c∈{正实数}，a＋b＋c＝1，
1－a b＋c b c 2 bc 1 ∴a－1＝ a ＝ a ＝a＋a≥ a ， 1 2 ac 1 2 ab 同理b－1≥ b ，c －1≥ c . 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 1 1 1 2 bc 2 ac 2 ab ∴( －1)( －1)( －1)≥ · · ＝8. a b c a b c 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时取等号．
a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 2 2 a＋b 2 (5)ab≤ 2 (a，b∈R)，当且仅当
a＝b 时取等号．
5：用均值不等式求最值：已知 和x
3.4基本不等式 课件(人教A版必修5)
因最此短，，x解这最yx≥个短yx2矩的1y0形篱x0y，的笆可2长是得、4P0宽mxy .都1100为10m时，所用的篱笆
例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜
园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积
最大，最大面积是多少？
A
D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
y
则 2(若x x+、y)y=皆3为6 ,正x数+ ，y =18
四、当堂训练，针对点评
1.设 a >0，b >0，若
3是
3a与
3b
的等比中项，则
1 a
1 b
得最小值为（ B）
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
1 D.
4
因花因花此园此园，面，面这积这积个最个最矩大矩大形，形，的最的最长大长大为面为面积12积1是m2是m、7、27宽m2宽m为2 为26m6m时时，，
由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此
xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
即 z 240000 720 2 1600
z 297当60x0=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形 时总造价最低,最低总造价为297600元.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2)
x+y=S
xy≤
1 4
S2(当且仅当
x=y
时,
取“=”号).
利用基本不等式求最值时，要注意
①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
数学3.4《基本不等式》课件一(新人教A版必修五)
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每 平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最 低总造价是多少？
练习：
x
1
1、当x>0时，
x
的最小值为 2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知
2x 3y 2(x 0, y 0)
§3.4基本不等式: ab a b
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
BLeabharlann B基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
ad bc bc ad 4
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
C、 y 3x 3x (x R)
D、 y sin x 1 (0 x )
sin x
2
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数
y 1 的最x小(x值 3) x3
y 思考x2：求5 函数 x2 4
的最小值
构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0 x 1 ，求 x 1 x2 的最大值
(4)a2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
高中数学人教版必修5基本不等式 课件PPT
课前准备：
（1）阅读教材3.4节《基本不等 式》；
（2）准备一大一小两张正方形纸 片，在大正方形纸片各边上标出若 干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式 （第1课时）
【问题引入】现有三种5寸手机可 供选择的设计方案， 对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
（1）为什么蜂巢都是正六边形？ （2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业： 《课时练》P59～60
谢谢！
b
选择因素：
（1）屏幕最大 -- 1:1
（2）比例协调 --16:10
（3）节能环保 --16:9
【总结归纳】 四个“一”
(1)基本不等式一；个不等式 (2)用基本不等式一解类决问简题单最值问题； (3)数形结合的思一想种；思想 (4)数学来源于生一活种，观也念应用于生活。
【课外研究】
请你来判断:
问题1.已知 a 0,b 0，a b 1，求 ab 的最大 值；
问题2.已知 x 0 ，当 x取什么值，x 1 的值最
小？最小是多少.
x
变式1：若 x 1,x 1 还有最小值么？
x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题， 你有什么收获呢？
图象
【应用提升】 简单最值问题
分享收获: 一正
如何设计呢？
【实验探究】
a2 b2 …2ab ab „ a b 2
想一想？
实验
【新知建构】 基本不等式
结论: 若a,b R,则a2 b2 …2ab, 若a 0,b 0, ab „ a b , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等 式吗？
【应用提升】 简单最值问题
（1）阅读教材3.4节《基本不等 式》；
（2）准备一大一小两张正方形纸 片，在大正方形纸片各边上标出若 干等分点．
谢谢合作！
3.4基本不等式 （第1课时）
【问题引入】现有三种5寸手机可 供选择的设计方案， 对应屏幕比分别为： 1:1,16:10,16:9。
（1）为什么蜂巢都是正六边形？ （2）为什么水管的横截面一般为圆形呢？
…… 作业： 《课时练》P59～60
谢谢！
b
选择因素：
（1）屏幕最大 -- 1:1
（2）比例协调 --16:10
（3）节能环保 --16:9
【总结归纳】 四个“一”
(1)基本不等式一；个不等式 (2)用基本不等式一解类决问简题单最值问题； (3)数形结合的思一想种；思想 (4)数学来源于生一活种，观也念应用于生活。
【课外研究】
请你来判断:
问题1.已知 a 0,b 0，a b 1，求 ab 的最大 值；
问题2.已知 x 0 ，当 x取什么值，x 1 的值最
小？最小是多少.
x
变式1：若 x 1,x 1 还有最小值么？
x
变式2：若 x 0呢？
由这两个问题， 你有什么收获呢？
图象
【应用提升】 简单最值问题
分享收获: 一正
如何设计呢？
【实验探究】
a2 b2 …2ab ab „ a b 2
想一想？
实验
【新知建构】 基本不等式
结论: 若a,b R,则a2 b2 …2ab, 若a 0,b 0, ab „ a b , 2 当a b时等号成立.
你能用代数方法来证明基本不等 式吗？
【应用提升】 简单最值问题
高中数学必修5课件：第3章3-4基本不等式
数学 必修5
第三章 不等式
方法二：由1x＋9y＝1，得 (x－1)(y－9)＝9(定值)． 可知 x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2 x－1y－9＋10＝16， 当且仅当 x－1＝y－9＝3，即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
已知代数式a2＋b2,2ab(a，b∈R)， [问题1] 比较两个式子的大小． [提示] ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. [问题2] “＝”在什么条件下成立？ [提示] a＝b
数学 必修5
第三章 不等式
已知 a>0，b>0，代数式 a＋b 与 2 ab. [问题 3] 比较两个式子的大小． [提示] ∵a>0，b>0， a＋b－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b≥2 ab.
[问题 4] 不等式 a＋b≥2 ab中的“＝”什么时候成立？ [提示] a＝b
数学 必修5
第三章 不等式
基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数 a，b，都有 a2＋b2__≥__2ab，
当且仅当__a_＝__b___时，等号成立．
(2) 基 本 不 等 式 ：
ab
__≤__
a＋b 2
(a>0
，
数学 必修5
第三章 不等式
第三章
不等式
3．4 基本不等式 ab≤a＋2 b
数学 必修5
第三章 不等式
1．了解基本不等式的代数和几何背景． 2．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等 式． 3．理解并掌握基本不等式及其变形． 4．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．
人教版高中数学必修五课件3.4 第1课时 基本不等式4精选ppt课件
(1
1)
a
b
易错案例 利用基本不等式比较大小
【典例】(2015·潍坊高二检测)给出下列结论：
(1)若a>0，则a2+1>a.
(2)若a>0，b>0，则 9
a
(3)若a>0，b>0，则(a+b)
≥4.
(4)若a∈R且a≠0，则 +a≥6.
其中恒成立的是________.
【失误案例】 a21a(a1)230， 24 1 a
a bc
11 2 2
ab
2.因为a，b，c都是正数，所以 也都是正数.
所以
ab3，ab8，a2b210，2ab8.
三式相加得2 a b
2 2 ab3
即 a ，当且仅当a=bb=c时取等号.
bcacab(abc) a bc bcac(bcac)2c， acab(acab)2a， ab ab bc bc
ab
ab
所以 ≥2， 所以(a+b) ≥4，故(3)恒成立. 因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件， 故 +a≥6是错误的. 答案：(1)(2)(3)
【防范措施】 1.把握基本不等式适用的条件 基本不等式适用的条件是“一正，二定，三相等”， 这三个条件缺一不可，如本例忽视正实数，则会导致 错选.
(AC1aa..)(ba21b)2a4.+bb2
B. D.a+b
(1a)(b1)4. ab
【解析】选D.因为0<a<1，0<b<1，a≠b， 所以a+b> ，a2+b2>2ab， 所以，最大(1a)(b的1)4只. 能是a2+b2与a+b之一. 而a2+b2-a(a+b b)=a(a-1)+b(b-1)， 又0<a<1，0<b<1，所以a-1<0，b-1<0， 因此a2+b2<a+b，所以a+b最大.
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3.4 基本不等式的应用
滑县二中 吕许凤
2015年10月21
应用基本不等式求最值的条件：
ab ab 2
（ a＞0，b＞0）
导
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
导
1．若 p，k 为常数，a，b 是正实数，则 (1)若 a· b＝k，当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 (2)若 a＋b＝p，当且仅当 a＝b 时，a· b 有最大值 ； .
，此时x= 1
。
2x1 3 y 2( x 0, y 0)
6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3 x 3 y 的最小值是（ D） A、10 B、 C、4 6 D、18 3 6 3 4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ） 1 x 5 y lg x (1 x 10) A、 B、 y ( x R , x 0) lg x
议
典题：勇攀高峰
1 x( x 3) 的最小值 求函数 y x 3
展
典题：勇攀高峰
已知 x 0, y 0 且 2 x 5 y 20 ，则 lg x lg y
最大值是多少？
牛刀小试
检与评
2
1 1、当x>0时， x 的最小值为 x
2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是
【典题：基础应用】
思
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
∵ a b 2 ab ab=36 ∴当a=b=6时，和a+b最小为12
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
∵ ab ( a b ) 2
2
a+b=18
∴当a=b=9时，积ab最大为81
5 x
x x y 3 3 ( x R) C、
y sin x D、
1 (0 x ) sin x 2,b>0) 2
注意：1.公式条件，要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
作业布置
• 课时作业：22课时
滑县二中 吕许凤
2015年10月21
应用基本不等式求最值的条件：
ab ab 2
（ a＞0，b＞0）
导
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
导
1．若 p，k 为常数，a，b 是正实数，则 (1)若 a· b＝k，当且仅当 a＝b 时，a＋b 有最小值 (2)若 a＋b＝p，当且仅当 a＝b 时，a· b 有最大值 ； .
，此时x= 1
。
2x1 3 y 2( x 0, y 0)
6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3 x 3 y 的最小值是（ D） A、10 B、 C、4 6 D、18 3 6 3 4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ） 1 x 5 y lg x (1 x 10) A、 B、 y ( x R , x 0) lg x
议
典题：勇攀高峰
1 x( x 3) 的最小值 求函数 y x 3
展
典题：勇攀高峰
已知 x 0, y 0 且 2 x 5 y 20 ，则 lg x lg y
最大值是多少？
牛刀小试
检与评
2
1 1、当x>0时， x 的最小值为 x
2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是
【典题：基础应用】
思
（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
∵ a b 2 ab ab=36 ∴当a=b=6时，和a+b最小为12
（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
∵ ab ( a b ) 2
2
a+b=18
∴当a=b=9时，积ab最大为81
5 x
x x y 3 3 ( x R) C、
y sin x D、
1 (0 x ) sin x 2,b>0) 2
注意：1.公式条件，要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。 2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”
作业布置
• 课时作业：22课时