基本不等式： ≤(a+b)4 PPT
基本不等式： ≤(a+b)_教学课件
热点之三 利用基本不等式求解实际问题
解实际应用题要注意以下几点：
1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；
2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只 需利用基本不等式求得函数的最值；
3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使 实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
a＋b 基本不等式： ab≤ 2
1．基本不等式 设a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识 到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量 式，应用广泛． 2．均值不等式 设a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，当且仅当a＝b时，不等 式取等号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等 式中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b∈(0，＋∞)．
＝x＋
1 2
＋
1 x＋21
－
3 2
≥2
x＋12·x＋1 12－
3 2
＝ 12 ，当且仅当x＋
1 2
＝
1 x＋21
，即x＝ 12
时取
等号，所以函数的最小值等于12.故填12.
(2)由a2＋2ac＋2ab＋4bc＝1，得(a＋2b)(a＋2c)＝1.因为a， b，c>0，所以a＋2b>0，a＋2c>0.因此有(a＋2b)＋(a＋ 2c)≥2 a＋2b·a＋2c ＝2，即2(a＋b＋c)≥2，当且仅当a＋2b ＝a＋2c时，取到等号．故a＋b＋c≥1，所以a＋b＋c的最小值为 1.故选B.
从近几年的高考试题看，基本不等式
ab ≤
a＋b 2
的应用一直
是高考命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出
现，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是
2.2.1 基本不等式 课件(28张)
【定向训练】
已知a,b,c都是非负实数,试比较 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2 与 2 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b2≥2ab,
所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,
所以 a2＋b2(a+b2 ),
2
同理 b2＋c2(b +c2),
2
c(2c＋+aa2), 2
xyz
【证明】因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,
所以 1－1＝1－x＝ y＋z 2 yz ，①
x
x
x
x
1－1＝1－y＝x＋z 2 xz ，②
y
yy
y
1－1＝1－z＝x＋y 2 xy ，③
z
zz
z
又x,y,z为互不相等的正数,由①×②×③,
得 ( 1－1)( 1－1)( 1－1>) 8.
【定向训练】
已知a,b,c为正数,
求证: b＋c－a＋c＋a－b＋a＋b－c 3.
a
b
c
课堂素养达标
1.下列不等式中,正确的是
()
A.a+ 16 ≥8
B.a2+b2≥4ab
a
C. ab a＋b
2
D.
x
2＋
3 x2
2
3
【解析】选D.若a<0,则a+ 16 ≥8不成立,故A错;若a=1,b=1,a2+b2<4ab,故B错,
x
C.当x≥2时,x+ 1 的最小值为2
x
D.当0<x≤2时,x-
1
第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件44
3 4
•[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最 值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值 “1”的替换，即由已知条件得到某个式子值
为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数， 再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不 等式求最值．
【自主体验】
(2013·台州一模)设 x，y 均为正实数，且2＋3 x＋2＋3 y＝1，则
求证：1a＋1b＋1c≥9.
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
• 答案 D
2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时 取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(√)
[感悟·提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成 立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和 为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就 会出现错误．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们 的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不 等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一 致.
•规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时， 应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中 的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的 函数关系式，然后用基本不等式求解．
基本不等式： ≤(a+b)_多媒体课件
=3 2 .
4
当且仅当x= 3
2
,y=
22（即x2=
1 y2 2
）时,
x 1 y2 取得最大值 3 2 .
4
x=cosθ
(方法二)令 y= 2 sinθ(0≤θ≤
), 2
则x 1 y2 =cosθ 1 2sin2 =
2cos2 (1 sin2 ) 1
2
≤ 1·
2
2 cos2 (1 2sin2 ) 1
❖不等式及不等式选讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（组）的实际背景. 2.一元二次不等式. (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 次不等式，会设计求解的程序框图.
点评 比较大小，常用作差（商）比较法. 题型三 利用基本不等式求最值
y2
例3 设x≥0,y≥0，x2+ =1，求
2
x 1 y的2 最大值.
(方法一)因为x≥0，y≥0，x2+ y=21,
2
所以x 1 y2 = x2 (1 y2 ) = 2x2 1 y2
2
≤
x2 1 y2
2
2=
2
x2 y2 1 2 2 2
B.a2+ ≥a+1a
a2
1
C.|a-b|+ ≥2
ab
D. a 3 - a 1≤ a 2- a
C选项|a-b|+
a
1
b
≥2，当a-b<0时不
成立.运用公式一定要注意公式成立的条
3.4.2基本不等式课件(人教A版必修5)
4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
4800 z 150 120( 2 3 x 2 3 y ) =240000+720(x+y) 3
由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,
因此xy=1600,
由基本不等式与不等式性质，可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
2 ( x 1) x 1 1 3
(1)x=2 (2)x=1/2
思考：取到最值时x的值呢？
构造法
变式：（1）已知x>-2,求
1 x 的最小值； x2
（2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值.
1 变式：（1）已知x>-2,求 x 的最小值；0 x2 （2）已知0<x<1/2,求x(1-2x)的最大值. 1 8
解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m 则 2(x+y)=36，x+y=18 由
xy x y 18 9 2 2
矩形菜园的面积为xy m2 xy≤81
可得
等号当且仅当x=y时成立，这时x=y=9.
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的 面积最大，最大面积为81m2
例6 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容 积为4800m3，深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以,将水池的地面设计成边长为40 m的正方形 150元,池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低？最低造价为多少元？ 解：设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z元,根据题意，有
基本不等式： ≤(a+b)_PPT
＝1＋1x0＋1x0≥1＋2 1x0·1x0＝3. 当且仅当1x0＝1x0，即 x＝10 时，y 取最小值． 答：汽车使用 10 年平均费用最少.
探索延拓创新 利用基本不等式证明不等式
已知 a、b、c、d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac ＋bd)≥4abcd.
[解析] 由 a、b、c、d 都是正数得， ab＋2 cd≥ ab·cd＞0， ac＋2 bd≥ ac·bd＞0. ∴ab＋cd4ac＋bd≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
解法二：由 xy＝24 得 x＝2y4.
∴l＝4x＋6y
＝
96 y
＋6y＝
61y6＋y≥6×2
1y6·y＝48.当且
仅当1y6＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6.
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽 油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递 增 0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 解法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227， 即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．
由22xx＝＋33yy＝18 ， 解得yx＝＝34.5 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
[辨析] a＋b≥2 ab是在 a>0，b>0 的条件下才成立，题 目中没有限定 x>0，函数的定义域应是(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因此应分类讨论．
[正解] 显然函数 y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋ ∞)，
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
基本不等式ppt课件
12 3
1 4b 3a 1
＋
8＋ a ＋ b ≥ 8＋2
5a b(a＋2b)＝5
5
4b 3a
4b 3a 8＋4 3
(当且仅当 a ＝ b ，
·
＝
5
a b
8＋4 3
2 3
即 2b＝ 3a 时取等号)，∴ ＋ 的最小值为
.故选 B.
a b
5
22．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学上学期适应性调查考试)小王从
n 4m 9
4m·n ＝2，
2
1
当且仅当 n＝3，m＝6时取等号．故选 C.
2
3
3．设 x＞0，则函数 y＝x＋
－2的最小值为( A )
2x＋1
A．0
1
B．2
解析
2≥2
C．1
3
D．2
1
2
3
由 于 x>0 ， 则 y ＝ x ＋
－ ＝ x＋2 ＋
2
2x＋1
1
x＋ ·
2
m· n 4
二、高考小题
13．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为 4 的是( C )
A．y＝x ＋2x＋4
4
B．y＝|sin x|＋|sin x|
C．y＝2 ＋2
4
D．y＝ln x＋
ln x
2
x
2－x
15．(2020·上海高考)下列不等式恒成立的是( B )
A．a2＋b2≤2ab
C．a＋b≥2 |ab|
命题中正确的是( AB )
A．若 P＝1，则 S 有最小值 2
B．若 S＋P＝3，则 P 有最大值 1
基本不等式(共43张)ppt课件
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件
第九章 不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方 向 不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数 轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本 性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q
第三节 基本不等式 (高中数学精品课件PPT)
返回
设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为
a＋b 2
，几何平均
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
2 p(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
返回
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
返回
考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关]
返回
(一) 拼凑法——利用基本不等式求最值
[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值
2 为____3____．
[解析]
x(4－3x)＝
1 3
·(3x)(4－3x)≤
1 3
A．80
B．77
C．81
D．82
( C)
返回
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是
(B )
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
解析：因为0＜a＜b，所以a－ ab＝ a( a－ b)＜0，
故a＜ ab；b－a＋2 b＝b－2 a＞0，故b＞a＋2 b；由基本不等式
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；(4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(5)a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
基本不等式： ≤(a+b)_PPT
│ 规律总结
3．利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目 标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足一定条件的二 元函数关系．
│ 易错警示
易错警示
[易错六] 基本不等式—忽视“等号”条件成立的要素 例在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两 个正整数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△， ○)应为________．
a2＋b2
≤
2 .( )
│ 问题思考
[答案]对
[解析] 根据基本不等式和不等式的性质a2＋abb≤22aabb＝ ab；由
于
a＋b 2
＝
(a＋b)2 4
＝
a2＋b2＋2ab
4
≤
a2＋b2＋a2＋b2 4
＝
a2＋b2 2.
所以a2＋abb≤
a＋b ab≤ 2 ≤
a2＋b2 2.
│ 问题思考
► 问题3 当x<0时，函数y＝x＋1x的最大值为－2.( )
[解答] (1)v>0且a2≥25100av2，解得0<v≤25 2.
(2)当v≤25
2
时，Q＝
1000v 3
，Q是v的一次函数，所以，当v
2a
＝25
2
时，Q最大为
50000 3a
2 ；当v>25
2
时，Q≤
1000 a1v＋25v00
≤250a00，当且仅当1v＝25v00，即v＝50时，Q最大为250a00.
│ 要点探究
要点探究
► 探究点1 与基本不等式有关的函数最值问题 例1 证明下列不等式： (1)已知a>0，b>0，c>0，证明：acb＋bac＋cba≥a＋b＋c； (2)已知a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝2，证明： a＋13 ＋
不等式的基本性质PPT课件
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
4 第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4. ( ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充要条件．( )(4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82解析：选C.xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1822＝81，当且仅当x ＝y ＝9时等号成立，故选C.若x <0，则x ＋1x( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2解析：选D.因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5(教材习题改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝10，所以S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时取等号．答案：25 m 2利用基本不等式求最值(典例迁移)(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)(2018·高考天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为____________．(3)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号．(2)由题知a －3b ＝－6，因为2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥2×2a ×18b ＝2×2a －3b ＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3b ，a ＝－3，b ＝1时取等号．(3)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝ ⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】 (1)23 (2)14(3)9[迁移探究1] (变问法)若本例(3)中的条件不变，则1a ＋1b 的最小值为________．解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 答案：4[迁移探究2] (变条件)若本例条件变为：已知a >0，b >0，4a ＋b ＝4，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________．解析：由4a ＋b ＝4得a ＋b4＝1，⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 4b＝⎝⎛⎭⎫2＋b 4a ⎝⎛⎭⎫54＋ab ＝52＋2a b ＋5b 16a ＋14≥114＋258＝114＋102.当且仅当42a ＝5b 时取等号． 答案：114＋102利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．(2019·南昌市摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：因为x >2，m >0，所以y ＝x －2＋mx －2＋2≥2（x －2）·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，所以2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案：42．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________． 解析：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， 所以3x ＋4y 的最小值是5. 答案：53．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 答案：4利用基本不等式解决实际问题(师生共研)某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400，600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]． 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(2)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．解：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．[基础题组练]1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b≥2b a ·a b＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A. 4．(2019·长春市质量检测(一))已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B.由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________．解析：xy ＝2xy 2＝12×2xy ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝98，当且仅当2x ＝y ＝32时取等号． 答案：986．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：307．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析：因为y ＝x 2－1＋1x ＋1＝x －1＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－2，x >－1，所以y ≥21－2＝0， 当且仅当x ＝0时，等号成立． 答案：08．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则3a ＋81b 的最小值为( )A ．6B ．9C ．18D ．24解析：选C.因为a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，所以ab (a ＋b )＝a ＋b >0，所以ab ＝1.则3a ＋81b ≥23a ·34b ＝23a ＋4b ≥232a ·4b＝18，当且仅当a ＝4b ＝2时取等号．所以3a ＋81b 的最小值为18.故选C.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝⎛⎭⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a≥2 a b ·ba＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．3．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：令t ＝x ＋2y ，则2x ＋4y ＋xy ＝1可化为1＝2x ＋4y ＋xy ≤2(x ＋2y )＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2t＋t 28.因为x >0，y >0，所以x ＋2y >0，即t >0，t 2＋16t －8≥0，解得t ≥62－8.即x ＋2y 的最小值是62－8.答案：62－84．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． 解析：因为a ＋b ＝4，所以a ＋1＋b ＋3＝8，所以1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：12。
基本不等式课件(共43张PPT)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
立
a2 b2≥2ab 当且仅当a=b时，等号成
适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
课堂练习： 已知 a，b，c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1.
求证：1a＋1b＋1c≥9.
解：证明：1a＋1b＋
1c ＝ a＋ab＋c ＋ a＋bb＋c ＋
a＋b＋c c
＝3＋
(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时取等号．
小结 基本不等式 ab a b (a 0,b 0)
第三章 不等式
§3.4 基本不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
D
a2 b2
b
G
F
A
a HE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿＿2 ＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
[例 2] 若 a>b>1，P＝ lga·lgb，Q＝lga＋2 lgb，R＝lg(a＋2 b)， 试比较 P、Q、R 的大小．
语文版中职数学拓展模块4.6《基本不等式》ppt课件3
22
以上不等式等号成立的条件均为a=b时取得.
3.算术平均数与几何平均数
算术平均数
几何平均数
a>0,b>0
ab
__2 _
__a _b
关系
两个正数的算术平均数_不__小__于__它们的几何平均 数
4.利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
①函数y=x+ 1 的最小值是2;
x
②ab≤ ( a b ) 2成立的条件是ab>0;
2
③函数f(x)=cos x+ 4 ，x(0,) 的最小值等于4;
cos x
2
④x>0且y>0是 x y 2 的充分不必要条件;
yx
⑤若a≠0，则
a2
1 a2
的最小值为2.
其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.③⑤ D.④⑤
【解析】选B.因为x,y>0且x+4y=1,
所以 1 1 (1 1 )x 4 y 1 4 y x 4 24 y x 5 9 ,
xy xy
xy xy
当且仅当 x 1 , y时 取1 等号.
36
5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离 成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比, 如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万 元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站
cos x
cos x 4 ， cos x
即cos x=2，但这显然不成立，所以不能说函数的最小值是4.