浙江省杭州市萧山区第八高级中学高中数学必修五：34基本不等式课件(共16张PPT)
合集下载
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式课件
学家大会的会标，它是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去象一个风车，代表中国人民热
情好客.在这个图案中既有一些相等关系，
也有一些不等关系，
对这
些等与不等的关系，
我们作些相应研究.
精品PPT
精品PPT
探究（一）:基本不等式的原理
思考1：将图中的“风车”
抽象成如图，在正方形
ABCD中有4个全等的直角
2
两边平方可得什么结论？它与不等式 a2＋b2≥2ab有什么内在联系？
( a + b)2 ³ ab 2
精品PPT
思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加
上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有
什么特色？ a 0
y ax2 bx c x1, x2 (x1 x2 )
a2 + b2 ³
2
(a + b)2 2
b
和
ab 分别为a，
2
b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？
两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
精品PPT
a+b
思2 考8：如图，在直角三角形ABC中，CD
为斜边上的高， CO为斜边上中线，你能
利用这个图形对基本不等式作出几何解
释吗？
C
A
O
DB
精品PPT
探究（二）：基本不等式的变通 思考1：将基本不等式 a b ab
三角形.设直角三角形的
两a2b2 条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D
分别为多少？
A
F GE
C
H
a2 b2
|a－b |
B
高中数学必修5课件3.4基本不等式(共34张PPT)
3.4 基本不等式
ab ab 2
思考：这会标中含有怎 样的几何图形？ 思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
zxxk
问1：在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a b 为S=———— , 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab A D 形,它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？
4800 Z=150× 3
+ (2 3x 2 3 y) 120=240 000+720(x+y)
3 x y
∵容积为4800
m
3
∴3xy=4800
即xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720( x y) 240000 720 2 xy ∴z≥297 600 240000 720 2 1600
当且仅当 a=b 时“＝”号成
立 此不等式称为基本不等式
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
基本不等式的几
B
E
半弦CD不大于半径
2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园,问这个矩形菜园长、宽个为多少 例题1
时,所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 篱笆的长为2(x+y)m 由
∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候,两条直角边的和最小为20
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大？面积最大值是多少？学科网 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=36 即 X+y=18 x y 2 ) =81 ∴ xy ( 当且仅当x=y=9时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大,为81 m x 练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折？ 解： 设矩形的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=20 即 x+y=10 x y 2 ) =25 ∴ xy ( 当且仅当x=y=5时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大,为25 m
ab ab 2
思考：这会标中含有怎 样的几何图形？ 思考：你能否在这个图 案中找出一些相等关系 或不等关系？
zxxk
问1：在正方形 ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积 2 2 a b 为S=———— , 问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角 2ab A D 形,它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？
4800 Z=150× 3
+ (2 3x 2 3 y) 120=240 000+720(x+y)
3 x y
∵容积为4800
m
3
∴3xy=4800
即xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720( x y) 240000 720 2 xy ∴z≥297 600 240000 720 2 1600
当且仅当 a=b 时“＝”号成
立 此不等式称为基本不等式
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
基本不等式的几
B
E
半弦CD不大于半径
2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园,问这个矩形菜园长、宽个为多少 例题1
时,所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 篱笆的长为2(x+y)m 由
∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候,两条直角边的和最小为20
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大？面积最大值是多少？学科网 解： 设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=36 即 X+y=18 x y 2 ) =81 ∴ xy ( 当且仅当x=y=9时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大,为81 m x 练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折？ 解： 设矩形的长为xm,宽为ym,则 2(x+y)=20 即 x+y=10 x y 2 ) =25 ∴ xy ( 当且仅当x=y=5时取等号 2 2 ∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大,为25 m
34基本不等式(人教A版必修5)精品PPT课件
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2
b
2B
>
2ab
(a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2 当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2
b
2B
>
2ab
(a≠b)
B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a2 b2≥2ab 的证明吗？
证明：（作差法） a2 b2 2ab (a b)2 当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0 所以(a b)2≥0 所以a2 b2≥2ab.
③OD与CD的大小关系怎样? OD__≥＞___CD
a b≥ ab 2
几何意义：半径不小于弦长的一半
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
a b≥ ab 2
a>0,b>0
文字叙述
两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
2019版高中数学第一部分34基本不等式课件新人教A版必修5
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某 测观点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最 大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
[思路点拨] (1)依题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当 20≤x≤200时，v是x的一次函数，可用待定系数法求得 v(x)，从而得分段函数v(x)； (2)显然f(x)是分段函数，先求得f(x)的解析式，然后分段 求出最大值，进而得整个值域内的最大值．
[例3] (12分)(2019·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能 力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的 车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米) 的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞， 此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速 度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x的一次函数．
f(x)＝13x(200－x)≤13[x＋2020－x]2＝10 3000.
(10 分)
当且仅当 x＝200－x，即 x＝100 时，等号成立．
所以，当 x＝100 时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值
10 000 3
(11 分)
综上，当
x＝100
时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10
)
A．R<P<Q
B．P<Q<R
C．Q<P<R
D．P<R<Q
解析：∵a>b>1，∴lg a>0，lg b>0.
∴p＝
lg
a·lg
lg b<
a＋lg 2
高中数学必修五：3.4基本不等式 课件
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
高中数学 3.4 基本不等式课件 新人教版必修5
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 解法一：∵2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由2xxy＝ ＝32y4， ， 解得xy＝ ＝64， .
故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
分析:设每间虎笼长x m，宽y m，则问题 (1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值； 而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的
最小值．因此，使用均值定理解决．
解析:设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.
2．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－ b)2________0，因此a2＋b2________2ab，当且仅 当________时，取等号． 答案： ≥ ≥ a＝b
引例： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 证明: a2 + b2 – 2ab = ( a – b )2
当 a≠ b时, (a – b)2 > 0 ; 当a=b时, (a – b)2 =0 所以( a – b )2≥0, 即 a2 + b2≥2ab
分别用 a , b 代替引例中的a,b, 即可得 ab2 ab
基本不等式的代数解释
∵a＋b－2 ab＝( a)2＋( b)2－2 ab＝( a－ b)2≥0， ∴a＋b－2 ab≥0，即 a＋b≥2 ab， ∴a＋2 b≥ ab.
第三章 不等式
3.4 基本不等式
高中数学第三章不等式34基本不等式课件新人教A版必修5
4．若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为 ________．
【答案】9 【解析】x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y＝(x＋ 4y)1x＋1y＝1＋4＋xy＋4xy≥5＋2 xy·4xy＝9，当且仅当 x＝2y＝13 时，等号成立，则1x＋1y的最小值为 9.
(2)21x＋1y＝2x2＋xyy＝23xy. ∵2x＋y＝3≥2 2xy，∴2xy≤94. ∴21x＋1y≥39＝43，当且仅当2x＝y＝32，
4 即x＝34，y＝32时，等号成立． ∴当x＝34，y＝32时，21了基本不等式这一基础知识 的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时， 和有最小值．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
重点难点
重点：会用基本不等 式进行代数式大小的 比较及求解简单的最 值问题． 难点：用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
1．基本不等式 (1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋ b2__≥____2ab，当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．
(2)基本不等式：如果a＞0，b＞0，那么 ab__≤____a＋2 b， 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立．
2．应用基本不等式求最值
已知x，y都为正数，则 s2 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝__y____时，积xy取得最大 值4________．
(2)若xy＝p(积为定值)，则x当＝_y_____时，和x＋y取得最 小2值p________．
1．函数f(x)＝x＋x1的最大值为(
)
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(共16张PPT)
3. 代数方法如何证明？ 4.从几何上如何解释？
代数方法：
证明:当
a0,b0时,
a
b 2
ab .
证明:要证 ab ab ① 分析法
2
只要证 ab ( 2 ab ) ②
要证②，只要证 ab(2 ab ) 0 ③
要证③，只要证（
a－
2
b ) 0
④
显然: ④ 是成立的,当且仅当 a b时
④中的等号成立.
3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应 怎样折？
相等”
三、应用 当两正数积为定值时，求其和的最小值
abab（ a0,b0） ab2a（ ba0,b0）
2
例1、（1）若
求
的最小值.
(2) 若
求
的最大值.
练习1:若
x0求
y 3x12的最小值.
x
练习2:若
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ab0 求
yab ba
的最小值.
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
(1)(a1)(b1)4 ab
何时相等？
A
Ea F cb
a2 b2 B
D
D
a2 b2
b
G
F
a
C
a
A 当且仅当a =b时，等号成立.
E
H （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
练习3：设a>0，b>0，证明下列不等式
A
E(FGH) b
C
则AB=
则正方形的面积为S=
。
结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有
() 得最小值为（ ）
4 C.
x＞0, 当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
2024版人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
最新-高中数学 34基本不等式(2)课件 新人教A版必修5 精品
二、练习
11.函数y 12.已知x
x 1,
2
8 x2
的最
则函数y
_小__
x
值为 _4__2_;
8 的最 小___
值为
_4__2_;
1
13.函数y
x2
8 x2
x 1
的最 小___ 值为 _2___;
4
14.若x 0,则函数y x2 4 的最 _小__ 值为 __4__;
15.若x
0, 则函数y
2.已知a 0,b 0, a 2b 8,则ab的最 _大__ 值为__8__;
3.已知0 a 1,则a(1 a)的最 _大__ 值为__1__;
4.已知0
a
1
,
则a(1
2a)的最
_大__
41
值为__8__;
5.已知0
a
2 1 3
, 则2a(1
3a)的最
_大__
1
值为__6__;
6.已知a 0,b 0, ab 9,则a b的最 _小__ 值为 _6___;
x
x x 2
的最 1
_大__
值为
1 __2__;
16.若x 1,则函数y x2 2 x 3的最小___ 值为2___2_;
x 1
17.若x 1,则函数y x2 3x 3的最 _小__ 值为 _3___;
x 1
18.若x
1, 则函数y
x2
x 1
的最
大___
值为
1
____;
3x 6
5
7.已知ab 9,则a2 b2的最 _小__ 值为 _1_8__;
8.已知ab 9,则a2 2b2的最 _小__ 值为1_8__2_;
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
x
C
矩形则菜当园x的+y面的积值为是x常y m数2S时，
当且x当xy仅y≤有且当x最仅x2=大当yy时值x1=，2_8y_时等_14_，9号_S_成_2 ；立得
xy ≤ 81 即x=y=9
因菜x此园y≤，面这积x 个最2 矩大y 形， 的最S2长大、面x宽积y都是≤为8141m9Sm22时，
应用二：解决最大（小）值问题
(4)a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
4．当 a>0，b>0 且 a≠b 时，a＋2 b， ab，1a＋2 1b，
a2＋2 b2按
从小到大的顺序排列为 所以1a＋2 1b≤
ab≤a＋2 b≤
.
a2＋b2 2.
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜
园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最
短的篱笆是多少？
A
D
解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=若1x0、0，y皆篱为笆正的数长，为2(x+y)m. B
y
x
C
x 则y ≥当xxyy的值是x常数y≥P时2 ，100 20,
2当且仅当x=y时， 2(x y)≥40 当且仅x+当y有x=最y小时值，_等_2_号__P成__立. 此时x=y=10.
例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 xy是定值P，那么当 x y 时，
和 x y有最小值 2 P （2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。
1、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是 6
。
2、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小
值是（ D ）
A、10
B、6 3
C、4 6
D、18 3
3、在下列函数中，最小值为2的是（ C）
A、y
x 5
5 x
(x
R,
x
0)B、y
lg
x
1 lg x
ICM2002会标
如图，这是在北京召 开的第22届国际数 学家大会会标．会标 根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的， 颜色的明暗使它看上 去象一个风车，代表 中国人民热情好客。
欣 赏 体 会
丰 富 自 我
D
D
a2 b2
b
A
G
F
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
HE
C A
a
E(FGH) b
C
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，
两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误
：两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
提示：不一定．如 x2＋2＋ x21＋2中，虽然 x2＋2与 x21＋2的积为定值 1.但当 x2＋2＝ x21＋2时有 x2＝－1
不成立． ∴ x2＋2＋ x21＋2≥2 中等号不成立．
(1
x
10)
C、y
3x
3x(x R)
D、y sin x 1 (0
sin x
x ) 2
我们有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
用 a和 b代替a、b 会得到什么？
基本不等式2： ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同.
a b ab 2
算术平均数
几何平均数
剖析公式应用
深
入 2. 基本不等式可以叙述为:
探 究 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
揭 3.正用、逆用，注意成立的条件
示
⑴ a、 b是两个正数.
本
⑵ 当且仅当a=b时“＝”号成立
质 4.变形用
a b ab (a b)2 ab
2
2
3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2 (a，b∈R)； (2)当 x>0 时，x＋1x≥ 2 ；当 x<0 时，x＋1x≤ －2 . (3)当 ab>0 时，ba＋ab≥ 2 ；当 ab<0 时，ba＋ab≤－2 .
因最此短，，x解这最yx≥个短yx2矩的1y0形篱x0y，的笆可2长是得、4P0宽mxy .都1100为10m时，所用的篱笆
例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形
菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面
积最大，最大面积是多少？
A
D
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
y
则 2(若x x+、y)y=皆3为6 ,正x数+ ，y =18