09福建省高一数学竞赛试题
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2009年全国高中数学联赛一试(试题参考答案及评分标准)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009 【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a b a b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111ab OP OQ+=+． 于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分 因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以 1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y =当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立． 因此y 的最大值为11…………………………………………………………………………………15分。
福建省高一数学竞赛试题
年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。
•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。
又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。
2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。
()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。
()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。
对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。
又 AB , _ OF 。
因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)1.已知函数f (x )满足f (||2x x +)=log 2||x x , 则f (x )的解析式是( ) A.2-x B.log 2 x C. -log 2 x D.x -22.已知f (x )=1-21x -(-1≤x ≤0), 函数y =f (x +1)与y =f (3-x )的图象关于直线l 对称, 则直线l 的方程为( )A.x =2B.x =1C.x =21 D.x =0 3.设f (x )是R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f (21)=0, f (log 4x )＞0, 那么x 的 取值范围是( )A.x ＞2或21＜x ＜1B.x ＞2C.21＜x ＜1D.21＜x ＜2 4.已知定义域为R 的函数y =f (x )在(0, 4)上是减函数, 又y =f (x +4)是偶函数, 则( )A. f (5)＜f (2)＜f (7)B. f (2)＜f (5)＜f (7)C. f (7)＜f (2)＜f (5)D. f (7)＜f (5)＜f (2)5.若不等式2x 2+ax +2≥0对一切x ∈(0,21]成立, 则a 的最小值为( ) A.0 B. -4 C.-5 D. -66.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (-x )= -f (x +2), 且当x ＞1时, f (x )单调递增. 如果x 1+x 2＜2, 且(x 1-1)(x 2-1)＜0, 则f (x 1)+f (x 2)的值( )A.恒大于0B.恒小于0C.可能为0D.可正可负7.若函数f (x )=25-|x +5| -4×5-|x +5| +m 的图象与x 轴有交点, 则实数m 的取值范围是( )A.m ＞0B.m ≤4C.0＜m ≤4D.0＜m ≤38.对定义在区间[a , b ]上的函数f (x ), 若存在常数c , 对于任意的x 1∈[a , b ]有唯一的x 2∈[a , b ], 使得221)()(x f x f +=c 成立, 则称函数f (x )在区间[a , b ]上的“均值”为c . 那么, 函数f (x )=lg x 在[10, 100]上的“均值”为( )A.101 B.10 C.43 D.23二、填空题(每小题5分, 共30分)9.已知集合A={x | 4-2k ＜x ＜2k -8}, B={x | -k ＜x ＜k },若A ⊂ ≠B, 则实数k 的取值范围是____________________10.若函数y =log a (2x 2+ax +2)没有最小值, 则a 的所有值的集合是_________________11.集合P ={x |x =2n -2k , 其中n , k ∈N , 且n ＞k }, Q ={x |1912≤x ≤2006, 且x ∈N }, 那么, 集合P ∩Q 中所有元素的和等于_________12.已知方程组⎩⎨⎧=-=+164log 81log 4log log 6481y xy x 的解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x , 则log 18(x 1 x 2 y 1 y 2)=________ 13.若关于x 的方程4x +2x m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,则实数m 的取值范围是_________________14.设card(P)表示有限集合P 的元素的个数. 设a =card(A), b =card(B), c =card(A ∩B),且满足a ≠b , (a +1)(b +1)=2006, 2a +2b =2a +b -c +2c , 则max{a , b }的最小值是______三、解答题(每题10分, 共30分)15.设函数f (x )=|x +1|+|ax +1|.(1)当a =2时, 求f (x )的最小值;(2)若f (-1)=f (1), f (-a 1)=f (a1)(a ∈R, 且a ≠1), 求a 的值 16.设函数f (x )的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x , y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立. 已知f (2)=1, 且x ＞1时, f (x )＞0.(1)求f (21)的值; (2)判断y =f (x )在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; (3)解不等式f (x 2)＞f (8x -6) -1.17.已知函数f (x )=log a (ax 2-x +21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a 的取值范围.(洪一平命题, 后附参考答案)参考答案1.C2.B3.A4.A5.C6.B7.D8.D9.(0, 4] 10.(0,1)∪[4,+∞) 11.3904 12. 12 13.]52,421[-- 14.58 15.(1)当a =2时, f (x )=|x +1|+|2x +1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥+-<<---≤--21,23211,1,23x x x x x x ∴当x ≤-1时, f (x )递减, 故f (x )≥f (-1)=1, 当-1＜x ＜-21时, f (x )递减, 故f (x )＞f (-21)=21, 当x ≥-21时, f (x )递增, 故f (x )≥f (-21)=21, 因此, f (x )的最小值为21 (2)由f (-1)=f (1)得 2+|a +1|=|1-a | (*), 两边平方后整理得|a +1|= -(a +1) ∴ a ≤-1 ①同理, 由f (-a 1)=f (a 1)得2+|a 1+1|=|1-a 1|, 对比(*)式可得 a1≤-1 ∴ -1≤a ＜0 ② 由①②得a = -116.(1)令x =y =1, 则可得f (1)=0, 再令x =2, y =21, 得f (1)=f (2)+f (21), 故f (21)= -1 (2)设0＜x 1＜x 2, 则f (x 1) +f (12x x )=f (x 2) 即f (x 2) -f (x 1)=f (12x x ), ∵12x x ＞1, 故f (12x x )＞0, 即f (x 2)＞f (x 1) 故f (x )在(0, +∞)上为增函数 (3)由f (x 2)＞f (8x -6) -1得f (x 2)＞f (8x -6) +f (21)=f [21(8x -6)], 故得x 2＞4x -3且8x -6＞0, 解得解集为{x |43＜x ＜1或x ＞3} 17.题设条件等价于(1) 当a ＞1时, ax 2-x +21＞1对x ∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a ＜1时, 0＜ax 2-x +21＜1对x ∈[1, 2]恒成立. 由(1)得a ＞21)11(2112122-+=+x x x 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得a ＞23. 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-->-+<21)11(2121)11(2122x a x a 对x ∈[1, 2]恒成立, 故得21＜a ＜85. 因此, a 的取值范围是a ＞23或21＜a ＜85。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
2009年高考福建数学(理科)试题及参考答案
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1 B. 12- C. 12D.1 1．【答案】：B [解析]∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-.故选B 2.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 A ． { x ∣0≤x ≤2} B { x ∣0<x<2} C ． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x ≤0或x ≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x =<或}2x >∴}{02CuA x x =≤≤.故选A3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 53C.- 2 D 3 3．【答案】：C [解析]∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 4.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+24．【答案】：D[解析]∵2sin (sin )[sin()]222222x x xx πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．2 B .4 C. 8 D .166．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在122,//,//m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。
2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答
2009年全国高中数学联赛福建省预赛2009年全国高中数学联赛福建省预赛暨2009年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办. 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题. 命题负责人：陈荣斯.试题以《普通高中数学新课程标准》的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容. 试题包括10道填空题，每小题6分；5道解答题，每小题20分. 全卷满分160分.考试时间：2009年9月13日（星期日）上午9：00－11：30. 考试地点：由各设区市组织进行.预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单. 同时，省数学学会根据各设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选.试 题一、填空题（每小题6分，共60分）1．已知向量(2cos()1)2OP x π=+-，，(sin()cos 2)2OQ x x π=--，，()f x OP OQ =⋅. 若a 、b 、c 分别是锐角ABC △中角A 、B 、C 的对边，且满足()1f A =，5b c +=+a =则ABC △的面积S = .2．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =__ _____.3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 .4．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，M N 、分别为A 在SB SC 、上的射影. 当三棱锥S AMN -的体积最大时，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是 .5．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，3()log f x x =，则方程1()(0)3f x f =-+在区间(010，内的所有实根之和为 .6．平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：4520x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，直线2l 与线段A B O A 、分别交于点C D 、，且平分△AOB 的面积，则2CD 的最小值为 .7．若对于任意的实数x ，函数2()2124f x x x x a x =------+的值都是非负实数，则实数a 的最大值为 .8．集合{}1232009，，，，的元素和为奇数的非空子集的个数为 .9．方程[]92xx =的实数解是 . （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 10．满足020i k ≤≤，1234i =，，，，且1324k k k k +=+的有序整数组1234()k k k k ，，，的个数为 .二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知1()31ax f x x +=-，方程()48f x x =-+有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且()nnS f n T =（1n =，2，3，…）. （1）设()nna g nb =（1n =，2，3，…），求()g n 的最大值； （2）若152a =，数列{}n b 的公差为3，探究在数列{}n a 与{}n b 中是否存在相等的项. 若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{}n c 的通项公式；若没有，请说明理由.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为(20)F ，，点P 的坐标为(0)m ，（0m ≠）. （1）设过点P 斜率为1的直线1l 交抛物线C 于A 、B 两点，若0m <，P 关于原点的对称点为Q . 求QAB △面积的最大值.（2）设过点P 斜率为k （0k ≠）的直线2l 交抛物线C 于M 、N 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.13．如图，O ⊙与线段AB 相切于点M ，与以AB 为直径的半圆相切于点E . CD AB ⊥于点D ，CD 与以AB 为直径的半圆交于点C ，且与O ⊙相切于点F ，连接AC 、CM . 求证：（1）A 、F 、E 三点共线； （2）AC AM =； （3）22MC MD MA =⨯.（第13题）14． 设{}11122010i x i ∈=，，，，.令123420092010S x x x x x x =+++.（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？15．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤. 求证：BA（1）111331112a b c >++≥+++； （2）1112(2)(2)(2)a b c a a b b c c +++++≥+++.解 答1. 由条件知所以)14A π-=，sin(2)4A π-=.又因为A 为锐角，32444A πππ-<-<，因此244A ππ-=，4A π=.因为 5b c +=+a =222132cos ()22cos b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即1343(2bc =+.所以 bc =ABC △的面积1115sin 2222S bc A ==⨯=.2. 由1a <-及2x ax x +≤-，得0(1)x a ≤≤-+. 设222()()24a a f x x ax x =+=+-.若(1)2aa ->-+，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-.若(1)2a a -≤-+，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =（舍去）.综上可知32a =-.3. 设这5个数为a b c d e <<<<，则32364851a b a c c e d e +=+=+=+=，，，，下面说明37b c +=.因为437c b d c d b -=-=-=，，，所以 ()()39a d a b d b +=++-=，故 37b c +=. 所以2()()()31a a b a c b c =+++-+=，故 15.516.520.527.523.5a b c e d =====，，，，，即最大的数为27.5. 4. 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面.所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面，13S AMN ANM V SM S -=⋅⋅△.由2SA AB ==，得AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN △为斜边长为形，面积最大在1AN MN ==时取到.所以，当三棱锥S AMN -的体积最大时，1AN MN ==，此时，60SCA ∠=︒，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是. 5. 函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，以及(f x ）奇函数知， (2)()()f x f x f x +=-=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，4是它的一个周期.由()f x 是定义在R 上的奇函数，知(0)0f =，方程1()(0)3f x f =-+化为1()3f x =-.结合图象可知，1()3f x =-在(01)，、(12)，内各有一个实根，且这两根之和为2；1()3f x =-在(45)，、(56)，内各有一个实根，且这两根之和为10；1()3f x =-在(89)，、(910)，内各有一个实根，且这两根之和为18.所以，方程1()(0)3f x f =-+在区间(010)，内有6个不同的实根，这6个实根之和为30. 6. 由条件知，5OA =，4OB =，AB =设BAO θ∠=，则cos θ=. 由2AOB ACD S S =△△，得122AC AD AB AO ⋅=⋅=. 由余弦定理，得2222cos 22cos 25CD AD AC AD AC AD AC AD AC θθ=+-⋅⋅⋅≥⋅-⋅⋅=.当AD AC =时等号成立. 所以，2CD的最小值为25.7. 由条件知(0)120(1)20f a f a ⎧=-++≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得21a -≤≤.当2a =-时，2()2124f x x x x x =--+--+，即2223,1,()21,12,45, 2.x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩，易知对于任意的实数x ，()f x 的值都是非负实数，因此，2a =-符合要求.所以，实数a 的最小值为2-. 8. 方法一 令232009()(1)(1)(1)(1)f x x x x x =++++，则问题中要求的答案为()f x 的展开式中，x 的奇次项的系数和. 故所求的答案为20092008(1)(1)20222f f ---==.方法二 对集合{}1232009，，，，的不含2009的子集A 讨论，若A 的各数之和为偶数则补入2009，否则不补，故共有20082个元素和为奇数的非空子集.9. 显然0x >. 若3x ≥，则[]3x ≥，从而[]393272xx ≥=>. 若02x <<，则[]02x ≤<，从而[]29242xx <=<. 所以23x ≤<，于是[]2x =，故292x =，所以x = 10. 当020m ≤≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()0x y j m j j m =-≤≤，，，，共1m +组. 当2040m <≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()x y j m j =-，，，2020m j -≤≤，共401m -+组.所以，满足1324k k k k +=+的解共有2040222211(1)(401)22021412161816m m m m ==++-+=⨯⨯⨯⨯+=∑∑. 11. （1）由()48f x x =-+得，14831ax x x +=-+-，整理得 设1x 、2x 是方程①的两根，且213x x =，则 所以 112x =，4a =，41()31x f x x +=-. 因为41()31n n S n f n T n +==-，所以21214(21)18347()3(21)16433(64)n n n n S a n n g n b T n n n ---+-=====+----. 所以 1n =时，()g n 取最大值52. （2）由（1）知，1152a b =，22138a b =，结合152a =，数列{}n b 的公差为3，知11b =，24b =，2132a =，所以 5834(1)22n n a n -=+-=， 13(1)32n b n n =+-=-.若在数列{}n a 与{}n b 中存在相等的项，设m k a b =（m 、k 为正整数），则83322m k -=-. 整理得681k m -=. 由于68k m -为偶数，而1为奇数，故上述方程无正整数解.所以，在数列{}n a 与{}n b 中不存在相等的项.13.（1）由条件知，抛物线C 的方程为28y x =，直线1l 的方程为y x m =-，点Q 的坐标为(0)m -，. 由28y x m y x=-⎧⎨=⎩，得222(4)0x m x m -++=. ①由①0>△，得2m >-. 设11()A x y ，、22()B x y ，，则122(4)x x m +=+，212x x m =，12AB x x =-=又因为点(0)Q m -，到直线1l的距离d m =，所以QAB △的面积12S m =⋅= 其中20m -<<.记32()2f m m m =+，则2()34f m m m '=+. 所以，当423m -<<-时，()0f m '>；当403m -<<时，()0f m '<. 所以，()f m 在区间423⎛⎤-- ⎥⎝⎦，上为增函数，在区间403⎡⎫⎪⎢⎣⎭－，上为减函数. 所以 43m =-时，()f m 取最大值3227.因此，QAB △. （2）2l 方程为()y k x m =-. 由2()8y k x m y x =-⎧⎨=⎩，得222222(4)0k x mk x k m -++=. ②设33()M x y ，、44()N x y ，，则234228mk x x k++=，234x x m =. 设点T 存在，其坐标为(0)t ，. 由TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等知，0T M T N k k +=，即34340y yx t x t+=--，即 3434()()0k x m k x m x t x t--+=--，34342()()20x x m t x x mt -+++=.所以222282()20mk m m t mt k +-+⋅+=，t m =-.因此，符合条件的点T 存在，其坐标为(0)m -，. 13.（1）如图，设AB 中点为P ，由条件知P ⊙与O ⊙内切于E ，故P ，O ，E 三点共线. 连接FO ，由CD AB ⊥，CD 切O ⊙于点F ，知CD OF ⊥，FO AP ∥，EOF EPA ∠=∠. 因为OE OF =，PE PA =，所以 OEF PEA ∠=∠，A 、F 、E 三点共线.（2）在O ⊙中，由切割线定理知，2AM AF AE =⨯. 连接EB ，由于AE EB ⊥，因此E ，F 、D 、B 四点共圆，AD AB AF AE ⨯⨯＝. 连接BC ，则AC CB ⊥，因此，22AC AD AB AF AE AM =⨯=⨯=.所以 AC AM =.（3）延长MA 至点R ，使得AR AM =. 连接CR ，由（2）中AC AM =知，RC CM ⊥. 所以22MC MD MR MD MA =⨯=⨯.14.（1） 因为221)31)31)1=-=+=，所以{}212331i i x x -∈-+.设和式S 中有a个3+b个3-，c 个1，则a ，b ，c 是非负整数，且1005a b c ++=.10052121(3(333)i ii S xx a b c a b c a b -===++-+=+++-∑， 若2010S =，则a b =，此时是一个奇数. 所以S 不可能等于2010.（2）由（1）可知，若S 是整数，则a b =，41005S a =+. 由于21005a b c a c ++=+=，0502a ≤≤，所以，S 可以取到503个不同的整数值.15.（1）由a 、b 、c 为正数知，111a <+，111b <+，111c <+，1113111a b c ++<+++. 由平均不等式得，[]111()(1)(1)(1)9111a b c a b c +++++++≥+++. 所以 03a b c <++≤，111993111(1)(1)(1)332a b c a b c ++≥≥=+++++++++. （2）由（1）以及平均不等式得92362≥=-.。
福建省高中数学竞赛
年福建省高中数学竞赛暨年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间：年月日上午：－：，满分分）一、填空题（共小题，每小题分，满分分。
请直接将答案写在题中的横线上）．已知数列{}n a 满足132a =，12n n a a n +-=（*n N ∈），则na n的最小值为。
【答案】313【解答】由132a =，12n n a a n +-=知，12(1)n n a a n --=-，122(2)n n a a n ---=-，……，2121a a -=⨯，132a =。
上述n 个等式左右两边分别相加，得(1)32n a n n =-+。
∴321n a n n n =-+，又5n =时，525n a n =；6n =时，313n a n =。
∴6n =时，n a n 取最小值313。
．对于函数()y f x =，x D ∈，若对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M 。
已知32()1f x x x =-+，[]12x ∈，，则函数32()1f x x x =-+在[]12，上的几何平均数M =。
【解答】 ∵ 当12x <<时，2()32(32)0f x x x x x '=-=->，∴32()1f x x x =-+在区间[]12，上为增函数，其值域为[]15，。
∴ 根据函数()f x几何平均数的定义知，M = ．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。
已知集合{}2013M x x x Z =≤∈，，集合P 是集合M 的三元子集，即{}P a b c M =⊂，，。
若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。
则不同的“好集”的个数为。
【答案】【解答】若a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1122a b c a c b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，2a b =-，4c b =。
2009年福建理科高考数学word版带答案解析
2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
函数()sin cosf x x x=最小值是A．-1 B.12-C.12 D.11．【答案】：B[解析]∵1()sin22f x x=∴min1()2f x=-.故选B2.已知全集U=R，集合2{|20}A x x x=->，则U Að等于A．{ x ∣0≤x≤2} B { x ∣0<x<2} C．{ x ∣x<0或x>2} D { x ∣x≤0或x≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x=<或}2x>∴}{02CuA x x=≤≤.故选A3.等差数列{}na的前n项和为nS，且3S=6，1a=4，则公差d等于A．1 B 53 C.- 2 D 33．【答案】：C[解析]∵31336()2S a a==+且3112=4 d=2a a d a=+∴.故选C4.22(1cos)x dxππ-+⎰等于A．π B. 2 C. π-2 D. π+2 4．【答案】：D[解析]∵2sin(sin)[sin()]222222xx xxπππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x中，满足“对任意1x，2x∈（0，+∞），当1x<2x时，都有1()f x>2()f x的是A ．()f x =1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x eD ()ln(1)f x x =+ 5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。
6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．2B .4 C. 8 D .16 6．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B [解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在122,//,//m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。