浅谈两个重要极限的应用
两个重要极限的推广及应用
两个重要极限的推广及应用极限在微积分中占有重要的地位，是微积分的基石。
两个重要极限是极限内容中的重点和难点。
因此本文结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广应用。
标签：重要极限；推广；应用0 引言极限概念是微积分学的理论基础，极限方法是微积分学的基本分析方法，掌握和运用好极限方法是学好微积分学的关键。
在极限这部分内容的教学中，两个重要极限是重点、也是难点。
在极限计算、导数公式推导过程中，两个重要极限占有极其重要的地位。
两个重要极限能够简化复杂的极限运算，使我们更容易深刻理解并記忆导数公式；进而体现了两个重要极限的“重要性”。
1 两个重要极限的基本形式及其推广形式极限贯穿了微积分的全部内容，是微分和积分的基石。
利用两个重要极限求极限是极限内容中的重点和难点。
本文将通过实例对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳。
1.1 第一个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）分数线上面与下面的x要保持一致；（2）x→0当时，分子、分母都趋于0，即型未定式；（3）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：如当时，有。
因此，这一重要极限可以推广为，其中Δ代表一个未知量。
1.2 第二个重要极限的基本形式：运用这个极限时，我们应注意以下几点：（1）x可以是一个未知数，也可以是一个函数：（2）括号内1后面的部分与括号外的幂次互为倒数，这个重要极限可以转化为1∞这种未定式。
因此，这一重要极限可以推广为或，其中Δ代表一个未知量。
2 两个重要极限在微分学中的应用极限在微分学中应用非常广泛，其中导数定义就是由极限来定义的；而两个重要极限则是推导一些重要极限的有力工具，比如三角函数和对数函数导数的推导。
以上实例说明运用两个重要极限可以推导一些导数公式，而且有些时候必须用两个重要极限求导数，比如（sinx）/=cosx等用其他方法很难求出。
由此可见，在推导基本初等函数的求导公式的过程中，尤其是有关三角函数的求导过程中，两个重要极限起到了非常关键的作用。
两个重要极限((经济类《高等数学》)
advanced mathematics
例1 求
sin 2 x lim x 0 2x
解： lim sin 2 x x 0 2x 2 sin x cos x lim x 0 2x sin x lim lim cos x x 0 x x 0
1
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
1 lim x sin . x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
引例解决：求半径为R的圆的面积 解 如前所述，可以通过求圆的内接正n边形的面积的 极限计算圆的面积，而内接正n边形的面积为
R2 2 An n sin (n 3) 2 n
=？
1 x 提问： (1 ) ? lim x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)advanceຫໍສະໝຸດ mathematics2、
1 x lim (1 ) =e x x
(1 )
105 106 …
(e 2.71828)
x 10 102 103 104
解
sin 2 x 1 tan 2 x 2. lim lim x 0 x 0 x cos 2 x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
训练2
sin 4 x (1)求 lim x 0 3x
解
sin 4 x 4 sin 4 x 4 sin 4 x 4 lim lim lim . x 0 x 0 3 4 x 3x 3 x 0 4 x 3
两个重要极限的应用探讨
两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟指导教师：郭媛摘要微积分中的两个重要极限是:;,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用对型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospital's Rule.Key words：Two important limits; calculus; application;第1章绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。
准则1（夹逼准则）：如果（1）当x∈U（x0，r）或（｜x｜>M）时，（2）或那么或存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。
1.3 两个重要极限的形式通过极限存在准则的应用，得到两个重要极限。
第一个重要极限的形式为：（1.1）第二个重要极限的形式为：（1.2）第一个重要极限的数值意义实际上就是函数y=sin x在x=0处的导数，或者是正弦曲线在原点处的斜率.根据单调有界数列必有极限可知，第二个重要极限的极限存在，《高等数学》教材上通常用字母e表示它，其实这个极限值就是无理数e。
对两个重要极限的重要性的认识
对两个重要极限的重要性的认识之青柳念文创作摘要：通过对两个重要极限重要性的懂得和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不但局限于讲义，要培养提高探究问题的才能，系统全面的对待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性.关键词：重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着无足轻重的作用，今朝，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来历，证明，应用和深入扩大，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限实际，没有深入认识两个重要极限的学生来讲，具有指导意义.《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限和时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位.它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常矫捷.因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难懂得了.试想, 若没有它们, 那末只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还纷歧定求得出来，更不必说由它们推广出的更复杂的应用了.2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限实际的重要内容, 也是处理极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，懂得它们的证明方法对充分懂得和认识它们是十分需要的，它的证明过程也是对双方夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用.2.1第一个重要极限：1sinlim=→xxx1sinlim=→xxxexxx=+∞→)11(lim证明：作单位圆，如图1：图1设x为圆心角AOB∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO DAO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即x x x tan sin <<，（因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，xxx sin ,cos 及1的值均不变，故对知足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<x xx .又因为21421)2(sin 21)cos 1(1cos 222x x x x x -=⋅->-=--=，所以1cos lim 1cos 2102=⇒<<-→x x x x而1sin lim11lim cos lim 00=⇒==→→→x xx x x x ，证毕.第二个重要极限：ex x x =+∞→)11(lim先思索x 取正整数时的情形：nn n )11(lim +∞→对于0>>a b ，有不等式：nn n b n a b a b )1(11+<--++，即：)()1(11a b b n a b nn n -+<-++， 即：])1[(1nb a n b a n n -+>+ （i ）现令nb n a 11,111+=++=，显然0>>a b ，因为1)1(11)1(=+-++=-+n n nb a n 将其代入，所以n n n n )11()111(1+>+++，所以})11{(n n +为单调数列，记作{n x }.（ii ）又令1=a ，21)21(1)1(,211=+-+=-+⇒+=n n nb a n nb所以nn nn )211(221)211(1+>⇒⋅+>nn 2)211(4+>⇒， 即对4,2<∀n x n ， 又对4)2211()1211(2212<++<++∀++n n n n所以{nn )11(+}是有界的.由单调有界定理知 nx n )11(lim +∞→存在，并使用e 来暗示，即 590457182818284.2)11(lim ==+∞→e n n x在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类：○1幂函数y x α=(R α∈),○2指数函数(0,1)xy a a a =>≠， ○3对数函数log a y x =(0,1a a >≠)，○4三角函数y=sin x, y=cos x ，y=tan x, y=cot x, ○5反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx.由基本初等函数颠末有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们常常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的.即求一个函数f (x )在点x 处的导数 ，就是计算极限 （3.1）当这一极限存在时，其值就是 .但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限 3.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用.事实上，在求函数的导数时，其实不都需要计算极限3.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则便可以很方便地求得任何一个初等函数的导数.因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用. 关于基本初等函数的求导，我们可以大致分为三类函数：第一类是幂函数，第二类是三角函数和反三角函数，第三类是指数函数和对数函数.对于第一类函数的求导，要操纵二项式定理和导数定义便求得.对于第二类函数的求导，需要操纵到 这个重要极限.对于第三类函数的求导，需要操纵到这个极限. 下面来看一看基本求导公式是如何得来的.3.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用 以正弦函数sin x其中应用了第一个重要极限0sin lim 1x xx =→，即00sinsin 2lim lim 12x t xt x t ∆∆==∆→→（令2xt ∆=）.求得(sin x )’=x cos 后，其余的三角函数和反三角函数xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0)('x f )('x f e x x x =+∞→)11(lim 0sin lim 1x xx →=e xxx =+∞→)11(lim 0sin lim 1x x x=→的导数公式便可以操纵多个求导法则得到了.3.2 重要极限在指数函数和幂函数求导过程中的作用 其次，再看看对数函数log a x 的求导公式的推导过程.由导数定义其中应用了第二个重要极限1lim(1)x x ex ∞+=→，即01lim log (1)lim(1)x u x a x u x e x u ∆∆∞∆+=+=→→（令/x x u ∆=）.求得了(log )'a x 以后，指数函数和幂函数的求导公式就容易得出了.可见，两个重要极限在导出基本初等函数的求导公式的过程中，特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用，没有这两个重要极限，两类函数的求导公式就不成能得出.两个重要极限在初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用，因为推倒正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限，而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发，颠末有限的四则运算复合得到.因此，从这两类函数的导数出发，操纵函数的四则运算、复合和反函数求导法则，就可以求得全部初等函数的导数.再由于积分是微分的逆运算，可以得到基本积分表，依靠他们能算出大量初等函数的积分.可以说，两个重要极限可以说是全部微分积分学的基础，在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，所以这两个重要极限极其重要.第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限.若分子分母分别求极限便得 这一不定的成果，因此称这一类型的极限为 型未定式.近似地，第二个重要极限是属于1∞型未定式.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的型未定式和1∞型未定式，我们都可无妨用两个重要极限来试试，看可否求出它的成果，以下举例来讲明如何应用这两个重要极限于极限运算中的.例1 求20cos 1limx xx -→．解:20cos 1lim x xx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例2求30sin tan limx xx x -→．解:30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim x x xx x x x x x x -⋅=-→→=21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→x x x x x x x x ． 例3 求xx x )21(lim -∞→． 解: 令－x2=t ，则x =－t2．当x时t0，于是x x x )21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例4求xx x x )23(lim --∞→．解: 令xx --23=1+u ，则x =2－u1．当x时u0，于是x x x x )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1． 例5求xx x cot 0)tan 1(lim +→．解: 设t =tan x ，则t 1＝cot x ．当x 0时t0， 于是xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．1sin lim0=→x xx 的应用极限1),(),(sin lim0),(=→y x u y x u y x u 是一元函数第一个重要极限的推广，其中，）（）（00,,y x y x →时，0),(→y x u ，把),(y x u 看做新变量t ，思索极限过程0→t .例1 求极限2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→解：2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形. 我们设2233)sin(),(y x y x y x f ++=，定义域是})0,0(),(),({D ≠=y x y x .再设223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=定义域(){},)0,0(),(,D 1x y y x y x ≠≠=且显然有D D 1∈. 可以看到，从函数),(y x f 到),(1y x f 定义域变小了，但),(y x f ，),(1y x f 分别在各自的定义域D 与1D 内，当)0,0(,→）（y x 时，可以证明极限都是存在的，证明如下：22333333)0,0(),()sin(lim y x y x y x y x y x ++⋅++=→（1）以下是对2233)sin(),(y x y x y x f ++=在定义域})0,0(),(),({D ≠=y x y x 内极限的证明.因为当)0,0(,≠）（y x 时，有： 所以由夹逼准则得2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→ =0 (2)对223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=在定义域(){},)0,0(),(,D 1x y y x y x ≠≠=且内极限的存在性，由极限的四则运算法则容易知道，而且其值易算得为0. 既然2233)sin(),(y x y x y x f ++=在定义域})0,0(),(),({D ≠=y x y x 内极限存在，那末极限必唯一.我们可以在D 内任找)0,0(,→）（y x 的方式来计算出极限值.由D 与1D 的关系（D D 1∈），知道在11D =D D 中两函数相等，所以在求极限找)0,0(,→）（y x 的方式时，我们可以在1D ）（D D 1⊂中找，显然，两函数的极限是相等的.2233)sin(),(y x y x y x f ++=≠223333331)sin(),(y x y x y x y x y x f ++++=，2233)0,0(),()sin(lim y x y x y x ++→但是，=),(lim10,0),(y x f y x ）（→是成立的.所以在)0,0(,→）（y x 时，两函数的极限是相等的.同理可以计算下面例子. 例2 求极限y xyy x sin lim)0,0(),(→22333333)0,0(),()sin(lim y x y x y x y x y x ++⋅++=→解：001lim sin lim sin lim sin lim)0,0(),(0)0,0(),()0,0(),(=⋅===→→→→x xy xyx xy xy y xy y x xy y x y x .在一元函数中由第一个重要极限可以得到几个常常使用的等价无穷小，推广到二元函数中得到：同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例3 求极限)tan(sin lim )0,0(),(y x xy y x +++→解：)tan(sin lim )0,0(),(y x xy y x +++→=yx xy y x +++→），（00),(lim =0例4 求极限222222)0,0(),()()cos(1limy x y x y x y x ++-→解：222222)0,0(),()()cos(1limy x y x y x y x ++-→=21)()(21lim 2222222)0,0(),(=++→y x y x y x y x 4.2.2 重要极限ex x x =+∞→)11(lim极限e y x u y x u y x u =+∞→),(),()),(11(lim 是一元函数中第二个重要极限的推广.下面举例说明它的应用. 例5 求极限yx x y x x+∞→+2)11(lim )1,(),(解：yx x y x x+∞→+2)11(lim )1,(),(=xy x x x y x x 1)1,(),(2)11(lim +∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+[]),(~1);,(~),(tan );,(~),(1ln );,(21~),(cos 1);,(~),(sin ),(2y x u e y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u -+-=eexyxxxyxyx==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→∞→1lim)1,(),()1,(),()11(lim对于二元函数极限的运算方法除了操纵两个重要极限以外，还有多种方法，比方操纵不等式，使用夹逼准则；操纵初等函数的持续性及极限的运算法则；同时还可以用途径的方法断定极限不存在，但是在使用这些方法时往往不是孤立使用的，通常会多种方法综合使用，来处理二元函数的极限问题.本文通过举例主要讨论了两个重要极限在二元函数极限中的应用，并给出了二元函数极限运算中几个罕见的无穷小的等价代换公式及其应用，更加深了对两个重要极限在二元函数极限运算中作用的懂得，以便更好的处理二元函数的极限问题.5.总结关于两个重要极限的公式自己十分简单，但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小范畴内的变更性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并处理问题的法子. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入懂得和掌握了这一思想, 才会深刻懂得和学习.著名日本迷信家米山国藏指出: 作为知识的数学, 出校门不到年能够就忘了, 唯有深深铭刻在头脑中的数学的精华、数学的思想研究方法和着眼点等, 这些都随时随地发生作用,使人们终身受益.这句话揭露了数学的精华不在于知识自己,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法，因此，我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系，从而更好的掌握知识.。
浅谈两个重要极限解题技巧
在学习时，要充分掌握两个极限的类型以及所满足的条 件，借助典例题来总结其中的规律，掌握其中的思想方 法，但同时也要做到循序渐进，灵活多变，而不是对公式 的死记硬背。这对学生的学习提出更高的要求，只有逐步 领会其中的主旨内涵，才能进一步提高学习效率。
【参考文献】 [1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版
若
lim
x→_
f
(x)
=
sin f
f (x) (x)
=1，
注：（1）极限形式：幂指函数 f (x)g(x) （2）极限类型：1∞ 型
2.2 推广
若
lim
x→_
f (x) = ∞ ，则 xl→im_1+
f
1 (x)
f
(
x)
=e
即： lim1+ 1 ∆ = e (∆ → ∞)
∆
2.3 变形与推广
社，2007. [2]司国星，闫丽娜.浅谈高等数学中两个重要极限公式的教学
策略[J].高教视野，2018(1). [3 ]张 必 胜 .关于 两 个 重要 极 限 的 教 学[J].高 师 理 科 学
刊，2017(4). [4]孙 芳菲.浅谈两个重要 极 限 的应用型教学[J].山西农
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧【摘要】本文将讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
首先解释了这两种技巧的基本原理和应用方法，然后进一步讨论了如何在实际问题中灵活运用这两种技巧。
通过具体例题的分析演示了这两个技巧在解决极限问题中的重要性和有效性。
同时提醒读者在使用这些技巧时需要注意的问题，避免在解题过程中出现错误或误解。
通过本文的介绍和讨论，读者将能够更好地掌握和运用这些重要的极限解题技巧，提高解题效率和准确性。
【关键词】极限解题技巧、夹逼准则、换元法、实例分析、注意事项、引言、结论1. 引言1.1 引言极限是高等数学中重要的概念之一，它在微积分、数学分析等领域中都有着广泛的应用。
在求解极限时，常常需要运用一些技巧和方法来辅助计算，提高求解的效率和准确性。
本文将重点讨论两个重要的极限解题技巧：利用夹逼准则和使用换元法。
在学习极限的过程中，我们经常会遇到一些难以直接计算的极限表达式，这时可以考虑利用夹逼准则来近似求解。
夹逼准则是一种常用的极限方法，通过构造一个夹在待求极限函数和已知函数之间的函数序列，来逼近待求极限的值。
这种方法常常可以简化复杂的极限计算，提高求解的效率。
使用换元法也是解决极限问题的重要技巧之一。
当遇到形式复杂的极限表达式时，可以尝试通过换元的方式将问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
换元法可以帮助我们找到一些隐含的规律和关联，为极限计算提供新的思路和方法。
通过深入学习和实践这两种极限解题技巧，我们可以更加灵活地处理各种复杂的极限计算问题，并提高解题的效率和准确性。
接下来，我们将详细讨论如何应用这两个技巧来解决不同类型的极限问题，并通过实例分析和具体例题演示技巧的运用。
我们也将介绍在使用这些技巧时需要注意的问题和注意事项。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握极限解题的方法和技巧，提升数学分析的能力和水平。
2. 正文2.1 技巧一：利用夹逼准则夹逼准则是解决极限问题时非常重要且常用的一种技巧。
第二个重要极限使用条件
第二个重要极限使用条件第二个重要极限使用条件是指在使用某种技术或方法时，必须注意其使用条件和限制，以避免出现意外和危险。
这种重要极限使用条件在很多领域都有应用，如航空、化工、医疗等领域。
在这些领域中，失误和意外往往会造成严重的后果，因此必须非常严格地遵守这些使用条件。
对于航空领域来说，第二个重要极限使用条件特别重要。
航空器在高空飞行时，受到重力、空气阻力、温度、气压等多种因素的影响，因此必须保证飞行时使用的材料和设备必须符合特定的使用条件。
例如，飞机的机翼和发动机必须能够耐受巨大的气压和温度变化，而飞行员则必须在极端的高压和低温环境下进行飞行。
因此，航空器制造商和维修人员必须严谨地考虑第二个重要极限使用条件，以保证飞机的安全性和可靠性。
在化工领域中，第二个重要极限使用条件同样至关重要。
化工生产中涉及到的材料和化学品往往具有较强的腐蚀性和毒性，一旦使用不当，就会对人员和环境造成严重的危害。
因此，化工生产企业必须要求员工必须具有良好的职业素养，严格遵守第二个重要极限使用条件，并加强安全培训和监管，以降低事故发生的概率。
在医疗领域中，临床医生和医疗保健专家也必须遵循第二个重要极限使用条件。
医疗设备和药品对人体的影响非常大，必须精确地控制使用量和使用时间。
例如，化疗药物的使用时间和用量必须经过仔细计算和监控，否则可能导致患者细胞功能异常、免疫力下降等严重后果。
临床医生必须仔细考虑患者的病情和身体状况，并根据第二个重要极限使用条件选择合适的医疗方案，以确保患者的安全和舒适度。
总之，第二个重要极限使用条件在工业生产和人类生活的多个领域中起着至关重要的作用。
在面对高风险、高技术和高负荷的工作场所中，必须严格遵守第二个重要极限使用条件，以保护人们的生命和财产安全。
对两个重要极限的新认识
Science &Technology Vision 科技视界在“高等数学”或是“数学分析”课程的开头讲“极限”时,都会讲到下面两个重要极限lim x →0sin x x=1或lim x →∞1+1x ()x=e .它们之所以重要是因为推导正弦函数和指数函数的导数公式的过程中要用到,而所有的初等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限次的四则运算、复合得到。
再由于积分是微分的逆运算,可以得到微积分学计算的基础,其重要性就不难理解了。
1两个重要极限的新证明1.1第一个重要极限:lim x →0sin x x=1证法1利用几何图形,作一单位圆(如图所示):设∠BOC =x (弧度),对于AB 轴作半径OC ,∠BOD =x ,连接CD ,则BC⌢=x ,CD ⌢=2x ,CD =2sin x 所以sin x x =CD CD ⌢,当x →0时,CD →CD⌢,从而lim x →0sin x x =lim x →0CD CD⌢=1,即lim x →0sin x x=1证法2利用拉格朗日中值定理,选取函数f (x )=sin x ,则f (x )在[0,x ]上满足拉格朗日中值定理的条件,且f′(x )=cos x ,因而在(0,x )内至少存在一点ξ使得sin x-sin0x-0=cos ξ,即sin x x=cos ξ(0<ξ<x )从而有lim x →0sin x x =lim ξ→0cos ξ=1,即lim x →0sin x x=11.2第二个重要极限:lim x →∞1+1x()x=e证明lim x →∞1+1x()x=e 的关键是通过证明lim n →∞1+1n ()n=e 来实现,而证明lim n →∞1+1n ()n=e 的关键是证明1+1n()n{}是递增有界数列,故先引入下面引理。
引理:设数列a n =1+1n()n,则1+1n()n {}是一个递增有界数列。
两个重要极限的应用探讨
两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟 指导教师：郭媛摘 要微积分中的两个重要极限是:①1sin lim 0=→x x x ; ②e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 的6 个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 对∞1型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词: 两个重要极限;推广;应用AbstractTwo important limits are the basis of calculus. This paper discussed the essential meaning of two important limits and proved them using different method. Finally，the paper shows the application of two important limits in limits calculation and elaborated the relation between two important limits and Hospital's Rule.Key words：Two important limits; calculus; application;第1章 绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的. 两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。
准则1（夹逼准则）：如果（1）当x ∈U （x 0，r ）或（｜x ｜>M ）时，()()()g x f x h x ≤≤ （2）()()A x h A x g x x x x ==→→0lim ,lim 或()()A x h A x g x x ==∞→∞→lim ,lim那么()x f x x 0lim →或()x f x ∞→lim 存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。
两个重要极限在函数极限中的应用
2015届本科毕业论文(设计）题目：两个重要极限在函数极限中的应用学院：数学科学学院专业班级：数学11-1班学生姓名：图尔荪托合提·图尔荪尼亚孜指导老师：马哈提答辩日期：2015年5月7日新疆师范大学教务处目 录引言............................................................... 1 1.两个重要极限在一元函数极限中的应用. (2)1.1 重要极限1sin lim0=→xxx 在三角函数和反三角函数极限中的应用 (2)1.2 重要极限e xx x =+∞→)11(lim 在幂函数和对数函数极限中的应用 (3)2.两个重要极限在二元函数极限中的应用 (4)2.1 重要极限1sin lim0=→xxx 在二元函数极限中的应用................... 4 2.2 重要极限e x x x =+→)11(lim 0在二元极限中的应用 (6)3.总结............................................................. 7 参考文献：......................................................... 8 致谢 (9)两个重要极限函数极限中的应用摘要：在接触两个重要极限之前，解决一部分函数极限问题是非常的困难，需要大量而且复杂的数学运算。
本论文通过探讨两个重要极限函数极限中的应用，揭示两个重要极限在函数极限中重要的桥梁纽带作用。
同时强调，要想更好的掌握两个重要极限的有关知识和技巧，不仅要会用教科书里面的公式，而要求理解并能熟练地运用两个重要极限公式的变形。
关键词：重要极限；重要性；应用；未定式；等价无穷小量引 言在教科书里面所描述的两个重要极限指的是1sin lim0=→x x x 和e xx x =+∞→)11(lim 。
这两个极限在求解极限问题中占有重要地位。
两个重要极限(整理).pdf
两个重要极限（整理）.pdf第一个重要极限的公式：limsinx/x=1(x->0)当x→0时，sin/x 的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1/x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
第二个重要极限的公式：lim(1+1/x)^x=e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
两个重要极限公式作用（1）sinx/x的极限，在中国国内的教学环境中，经常被歪解成等价无穷小。
而在国际的微积分教学中，依旧是中规中矩，没有像国内这么疯狂炒作等价无穷小代换。
sinx经过麦克劳林级数展开后，x是最低价的无穷小，sinx跟x只有在比值时，当x趋向于0时，极限才是1。
用我们一贯的，并不是十分妥当的说法，是“以直代曲”。
这一特性在计算、推导其他极限公式、导数公式、积分公式时，会反反复复地用到。
sinx、x、tanx也给夹挤定理提供了最原始的实例，也给复变函数中sinx/x的定积分提供形象理解。
（2）关于e的重要性，更是登峰造极。
表面上它起了两个作用：A、一个上升、有阶级数，跟一个下降的有阶级数，具有一个共同极限；B、破灭了我们原来的一些固有概念：大于1的数开无限次幂的.结果会越来越小，直到1为止；小于1的正数开无限次幂的结果会越来越大，直到1为止。
整体而言，e的重要极限，有这么几个意义：A、将代数函数、对数函数、三角函数，整合为一个整体理论，再结合复数理论，它们成为一个严密的互通互化互补的、相辅相成、交相印证的完整理论体系.B、使得整个微积分理论，包括微分方程理论，简洁明了。
没有了e^x这一函数，就没有了lnx，也就没有一切理论，所有的公式将十分复杂。
极限存在准则25两个重要极限
在数学和物理中，存在准则是一项重要的原则，用于确定一个函数在某一点 是否存在极限。极限存在准则在数学和科学研究中具有重要的意义。
存在准则的定义
1 概念
存在准则是一个用来确定函数是否在某一点存在极限的数学原则。
2 要点
该准则有多个形式，包括柯西存在准则和魏尔斯特拉斯存在准则。
极限的例子
通过具体的数学函数来说明极限 的计算和性质。
极限的应用
介绍了极限在微积分、物理学和 工程学等领域中的重要应用。
第一个重要极限的例子
1 正弦函数
通过计算正弦函数在不同点的极限，展示了 极限的计算方法和特性。
2 极限的性质
讨论了极限存在的唯一性和无穷公式等极限 的性质。
第一个重要极限的应用
1
物理学
极限的概念在描述物理系统的变化过程中有广泛的应用，例如速度、加速度和力 的计算。
2
工程学
在工程学中，极限的概念用于分析结构和材料的强度和稳定性。
3
金融学
金融学中的极限概念被用来计算复利、回报率和投资风险。
第二个重要极限的例子
1 指数函数
2 无穷大和无穷小
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
以指数函数为例，探讨了极限的计算和性质。
极限存在准则的重要性
基础性原理
极限存在准则是推导和证明数学和物理理论的基础性原理之一。
数学应用
该准则在微积分、实分析和复分析等数学领域有广泛的应用。
科学研究
其他科学领域如物理学、工程学和计算机科学也使用极限存在准则来分析自然现象。
25两个重要极限的介绍
极限定义
定义了极限的概念，即函数在某 一点的值随着自变量无限靠近该 点而趋于一个特定的值。
浅谈两个重要极限的应用_彭英
[ 1] [ 2] [ 3] [4]
参考文献 同济大学应用数 学系 . 高 等数 学 ( 上 ) [ M ] . 北 京 : 高等 教 育出版社 , 2004. 北京大学 数学 科学学 院 . 高等 数学辅 导 [ M ] . 北京 : 科 学 技术文献出版社 , 1990. 王荷芬 , 等 . 高等数学试题汇 解 [ M] . 上海 : 同 济大学出 版 社 , 1990. 郎 宏 志 . 对 两 个 重 要 极 限 的 讨论 [ J] . 中 国 科 技 信 息 , 2006.
k
D
1+ 1+
9z 9x
2
2
+
9z 9y
2
dxdy
k
D
x2 y2 dxdy 2 + 2 x + y x + y2
综上所述 , 转化思想 是一种 非常重 要的数学 思想 , 掌握 了 这一思想 , 有利于数学知识的理解 , 有利于数学知识的记忆 , 也 有利于/ 原理和态度 的迁移0 。 也正 因为如 此 , 在数 学课的 教 学中应注重数学思想的培养。 著名日本科学家米山国藏指出 : / 作为知识的数学 , 出校门 不到两年可能就忘了 , 唯有深 深铭记 在头脑中 的数学 的精髓、 数学的思想研究方法和着 眼点等 , 这 些都随时 随地发 生作用 , 使人们终身受益。 0 这句话揭示了数学的精髓不在于知识本身 , 而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法 ; 数学教学的目的不 在于学生掌握多少数学知识 , 而 在于掌握和运用数学思想方法 来解决实际问题。因此 , 数学教学的重点应放在数 学思想方法 教育上。 参考文献 [ 1] 高淑君 . 数学课 应注重 数学思 想方法 的教 育 [ J] . 辽宁 教 育行政学院学报 , 2006( 4) : 99- 101. [ 2] 许 筱 红 . 谈 数 学思 想 与数 学 方法 在 教 学中 的 渗透 环 节 [ J] . 襄樊职业技术学院学报 , 2006( 3) : 49- 50.
两个重要极限的推广与应用
两个重要极限的推广与应用摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。
两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。
我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。
当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。
关键词： 重要极限 推广形式 应用Two important limits of popularization and applicationAbstract :Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but abasic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important. We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application.Keywords:Important limit Extended form application极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限1sin lim 0=→xx x 和e x x x =+∞→)11(lim 来求极限是极限内容中的重点和难点。
两个重要极限的应用探讨
两个重要极限的应用探讨两个重要极限的应用探讨一、引言微积分学是现代数学的重要组成部分，而极限理论则是微积分学的理论基础。
在极限理论中，两个重要极限扮演着至关重要的角色。
它们不仅是微积分学的基础，而且在解决实际问题中也具有广泛的应用。
本文将对这两个重要极限的应用进行深入探讨。
二、两个重要极限的概述第一个重要极限是：当x趋近于0时，sinx/x的极限为1。
这个极限可以用几何解释和代数解释两种方法来理解。
几何解释是将sinx表示为一个三角形的斜边，x表示三角形的底边，当底边无限缩短时，斜边与底边的比值趋近于1。
代数解释则是利用泰勒级数展开sinx，得到sinx/x的极限为1。
第二个重要极限是：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限为e。
这个极限可以通过二项式定理和夹逼定理来证明。
二项式定理将(1+1/x)^x展开为多项式，夹逼定理则证明了当x趋近于无穷大时，多项式的极限为e。
三、两个重要极限的应用1.三角函数的应用第一个重要极限在三角函数中有广泛的应用。
例如，在求解三角函数的极限问题时，可以利用第一个重要极限将问题转化为求sinx或cosx的极限。
此外，在求解三角函数的导数时，也需要利用第一个重要极限。
例如，在求解sinx的导数时，可以将sinx表示为(sinx/x)x，然后利用第一个重要极限和导数的定义求解。
2.复利计算的应用第二个重要极限在复利计算中有广泛的应用。
例如，在求解连续复利的极限问题时，可以利用第二个重要极限将问题转化为求(1+r/n)^(nt)的极限，其中r为年利率，n为每年计息次数，t为投资时间。
此外，在求解连续复利的导数时，也需要利用第二个重要极限。
例如，在求解连续复利函数e^(rt)的导数时，可以利用第二个重要极限和导数的定义求解。
3.经济学中的应用两个重要极限在经济学中也有广泛的应用。
例如，在求解经济增长率和折现率的问题时，可以利用第二个重要极限将问题转化为求(1+r)^(-t)的极限，其中r为折现率，t为时间。
对两个重要极限的重要性的认识
e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→xxx对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。
它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。
因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。
试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证明：作单位圆，如图1：图1设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<⇒xx x x x x （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，x xx sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<xxx 。
两个重要极限在高等数学中的地位
解 ：lim4 sin — = lim -
4
^=
lims-i-n-6 =
1。
第 二 个 重 要 极 限 的 特 征 是 ：（ 1 ) “ 1 °°”（ 1 的 无 穷 大 次 方
(2 ) 内 外 互倒 （里 面的1X 与 指 数 上 面 的 4 互 为 倒 数 ）。
【例 3】
求
4li0mU
/
\
1
54 X
求
lim
<24 5 3 、 ( 4 51 y
解 ： lm
24 5 3 451 24 5 1 )
^24 5 15 2 、 Alm ( 24 5 1 /
15Alm
15：5 Y
另 外 一 种 推 广 形 式 为 ：若 6 ( 4 ) 是 4 的 函 数 ，4l0im4 06 ( 4 ) =
0 (4li0mU 6 (4 ) = 0 ) ，则40li4m0 ( 1 5 6 (4 ))64) = e (4l0imU ( 1 5 1
关 键 词 ：小 学 数 学 ；教 学 ；策 略 意 识 ；培养
要 想 在 小 学 的 数 学 教 学 中 取 得 一 定 的 成 果 ，并 且 着 实 地 提 高 教 学 质 量 ，就 必 须 在 教 学 中 运 用 一 定 的 数 学 思 维 教 学 ， 这 也 是 为 学 生 学 习 达 到 基 础 ，提 高 其 思 维 能 力 的 关 键 。需要 从 根 本 上 提 高 学 生 的 学 习 效 果 ，并 且 在 当 前 的 数 学 教 学 模 式 中 找 到 正 确 的 教 育 方 向 。在 实 际 的 教 学 过 程 中 ，教师应 该 明 确 教 学 目 标 和 教 学 重 点 ，要 着 重 对 学 生 的 数 学 思 维 进 行 培 养 ，学 生 需 要 在 学 习 中 具 备 一 定 的 策 略 意 识 ，这 对 其 在 学 习 深层次的数学内容过程是有利的。
2.10两个重要极限的推广
两个重要极限的推广第一重要极限：0sin lim =1.x x x→第二重要极限：11lim(1)=e lim(1)=e.x n x n x n→∞→∞++或两个重要极限的理论价值和应用价值极高.但由于太过具体，影响到两个重要极限的直接运用.较为遍使用的是两个重要极限的推广形式.第一重要极限的推广：第二重要极限的推广：()()1lim (1) e.()f x f x f x →∞+=()0sin ()lim 1()0.()f x f x f x f x →=≠，其中).(x f x 在推广中，将原来的替换成了函数()f x 而可以取.从而使得两个重要极限的运用更加广泛22,,e xx x −等函数，比如，1(),f x x =取则有101lim sin 1lim(1) e.x x x x x x→∞→=+=和()仍称为第一重要极限()仍称为第二重要极限1例 0sin(sin )lim .tan 5x x x→求解 0sin(sin )lim tan 5x x x →0sin(sin )=lim sin x x x →sin x x⋅cos 5sin 55x x x ⋅15⋅1.5=2例 lim(1).x x xλλ→∞+求，其中为常数解 =0λ如果，则lim(1)=lim1=1xx x x λ→∞→∞+；0λ≠如果，则1lim(1)=lim[(1)]x x x x x x λλλλ→∞→∞++=e ,λ所以综上得lim(1)=.x x x λλ→∞+e3例1lim().1n nnn→∞−+求解1lim()1nnnn→∞−+2lim(1)1nn n→∞=−+1lim(1)12nn n→∞=++−21121lim[(1)]12nnnn n+−−+→∞=++−2e.−=.熟练后，有些解题步骤可以简化总结本讲重要介绍两个重要极限的推广及其应用.。