第五章 频率法
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第五章 频率法
第五章频率法自动控制原理东北大学王建辉顾树生主编杨自厚主审主要内容频率特性的基本概念非周期函数的频谱分析频率特性的表示方法典型环节的频率特性系统开环频率特性的绘制 用频率法分析控制系统的稳定性 系统暂态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性系统暂态特性和闭环频率特性的关系 小结第5章频率法第5章频率法学习重点了解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法； 了解典型环节的频率特性；熟练掌握波德图和奈氏图的绘制方法；理解和掌握奈氏稳定判据，会用奈氏判据判断系统的稳定性；熟练掌握系统稳定裕量的物理含义和计算方法；建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系，能够定性地分析系统的性能；了解闭环系统频率特性及其和系统暂态特性的关系。
5.1 频率特性的基本概念1. 频率法根据系统的频率特性能间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简单迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特性的影响，并能指明改进系统的方向。
是一种工程上常用的方法。
5.1 2.5.15.15.1tA5.15.1ω=5.11.周期函数的频谱令：sin(nω∞5.2 非周期函数的频谱分析结论：周期函数等于诸多正弦函数之和，这些正弦函数具有不同频率和相角。
或者周期函数可以用傅氏级数的无穷多次谐波分量之和表示。
周期函数展成复数形式的傅氏级数，然后对它的振幅和频率进行分析，这就称为频谱分析。
周期函数频谱分析：复数形式的傅氏积分为2.非周期函数的频谱例5-3频率特性的定义5.3 频率特性的表示方法1. 幅相频率特性（奈氏图）2. 对数频率特性（Bode图）3. 对数幅相特性（尼氏图）5.3 1.5.3 (2)(3) 奈氏图5.3频率特性的表示方法5.3 2.一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。
()20lg ()()()L A dBradωωϕωϕω=⎧⎨=°⎩，，或5.3 频率特性的表示方法)(lg )(lg ωωA j W =即：通常将对数幅频特性绘在以10为底的半对数坐标中，则：Bode 图5.3 频率特性的表示方法对数频率特性的优点：（1）当频率范围很宽时，可以缩小比例尺。
第五章频率法
52 设系统开环传递函数为： [例]设系统开环传递函数为：Gk ( s ) = ，试用 2 ( s + 1)( s + 2 s + 5)
乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为 − 1 ，
− 1 ± j 2都在s左半平面， 都在s左半平面， 所以 。0 P =乃氏图如 右。
第五章
第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、 第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、振 1/T 轴上； 荡和二阶微分环节为ωn) ，标注在ω轴上； 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。 Bode图位置 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。
小于最低转折频率的频率范围为低频段。） （ω小于最低转折频率的频率范围为低频段。）
了 系 具 较 的定 能 快 性 希L 曲 为 使 统 有 好 稳 性 和 速 ， 望 (ω) 线 在 c附 的 率 − 20dB/ dec， 且 尽 能 高 c的 。 并 要 可 提 ω 值 ω 近 斜 为
ω 3.高频段： 3.高频段： ω >10 c 高频段
系统的抗干扰能力由高频段决定。 系统的抗干扰能力由高频段决定。
如下图所示， [例]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的乃氏 曲线的映射曲线。如右图： 曲线的映射曲线。如右图： 从图上可以看出：映射曲线顺时 从图上可以看出： 针包围( 1,j0)两圈 两圈。 针包围(-1,j0)两圈。因 P = 0 ， 所以 Z = P − N = 0−(−2) = 2 ， 闭环系统是不稳定的。 闭环系统是不稳定的。
第五章 频率法
2
2 G ( j ) arctan 2 2 1
二阶微分的极坐标图
二阶微分的Bode标图
7.时滞环节（延迟环节）
G( s) e
r (t )
s
s
G( j ) e
j
r(t)
y (t )
t
0 y(t) t 0
e
时滞环节极坐标图
| G( j ) || e j | 1
0°
8.非最小相位环节
1 G( s) Ts 1 1 G( j ) jT 1
பைடு நூலகம்
1 一个正实数极点 T
| G ( j ) |
1
2T 2 1
G ( j ) 180 arctan T
U( )=
1 T 1
2 2
T V( )= 2 2 T 1
-0.5
非最小相位环节Bode图
1 G( s) s 1
相角裕度
G( j ) H ( j )与单位圆相交的角频率计为c 剪切频率
| G( jc ) H ( jc ) | 1
Im
-1
0
1 Re
0
c
G( jc ) H ( jc ) 180
G( j ) H ( j )
2T 1 180 arctan 2 2 , 1 2T 2 0 T 1 T
低频与高频渐进对数幅频特性
低频段 1 T , T 1
20 lg (1 2T 2 ) 2 (2T ) 2 20 lg1 0dB 0dB的水平线
高频段 1 T , T 1
G( j ) H ( j )
1 幅值裕度 K g | G ( j g ) H ( j g ) |
自动控制原理 第五章 频率法
频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
自动控制原理
蒋大明
幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
90o
(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
自动控制原理
蒋大明
第三节
1.
第五章频率分析法.ppt
第五章 频域分析法—频率法
频率法的特点：
1、不必直接求解系统的微分方程，而间接的运用系统的 开环特性分析闭环的响应； 2、频率特性具有明确的物理意义，很多元部件都可以用 实验方法确定，进而可计算传递函数； 3、应用广泛，适用于某些非线性系统； 4、频域法也是一种图解的方法； 5、利用频域法可以设计出能有效抑制噪声的控制系统。
-63.5 ° -71.5 °
-78.7 ° -90 °
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1/T 2/T 3/T
-20 -40 -60 -80 -100 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T
ω 4/T 5/T
由上图曲线可知，输入电压频率ω较低时，输出和 输入的幅值几乎相等，相角滞后不大；当ω增大时，输 出幅值减小，相角滞后增大；ω趋于无穷时，输出幅值 为0，相角滞后90°。 函数1/(1+j ωT)完整的描述了网络在正弦输入下的 稳态输出电压幅值和相角随正弦输入信号频率ω变化的 规律，把1/(1+j ωT)称为网络的平率特性。 因此，对于任何线性定常系统， φ(j ω)＝φ(s)|s= jω 故 幅频特性M(ω)＝|φ(jω)| 相频特性ψ(ω)＝∠φ(jω) 因此，已知一个系统的微分方程或传递函数，只要将 复变量s置换成纯虚变量jω，就可以得到系统频率特性 的数学表达式，并依次作出频率特性曲线。
L/dB 40 20 0.1 ψ 0.1 -90°
积分环节的伯特图
特征点： ω＝1，L＝0dB j
-20
1 10 ω
1
10
0
ω
ω
积分环节的幅相曲线（极坐标图）
积分环节的对数幅频是一条在ω＝1处通过横轴 （0dB）、斜率为－20dB/10倍频程的直线，其相频特 性是一条ψ＝－90°的且和横轴平行的直线。
频率法的特点：
1、不必直接求解系统的微分方程，而间接的运用系统的 开环特性分析闭环的响应； 2、频率特性具有明确的物理意义，很多元部件都可以用 实验方法确定，进而可计算传递函数； 3、应用广泛，适用于某些非线性系统； 4、频域法也是一种图解的方法； 5、利用频域法可以设计出能有效抑制噪声的控制系统。
-63.5 ° -71.5 °
-78.7 ° -90 °
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1/T 2/T 3/T
-20 -40 -60 -80 -100 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T
ω 4/T 5/T
由上图曲线可知，输入电压频率ω较低时，输出和 输入的幅值几乎相等，相角滞后不大；当ω增大时，输 出幅值减小，相角滞后增大；ω趋于无穷时，输出幅值 为0，相角滞后90°。 函数1/(1+j ωT)完整的描述了网络在正弦输入下的 稳态输出电压幅值和相角随正弦输入信号频率ω变化的 规律，把1/(1+j ωT)称为网络的平率特性。 因此，对于任何线性定常系统， φ(j ω)＝φ(s)|s= jω 故 幅频特性M(ω)＝|φ(jω)| 相频特性ψ(ω)＝∠φ(jω) 因此，已知一个系统的微分方程或传递函数，只要将 复变量s置换成纯虚变量jω，就可以得到系统频率特性 的数学表达式，并依次作出频率特性曲线。
L/dB 40 20 0.1 ψ 0.1 -90°
积分环节的伯特图
特征点： ω＝1，L＝0dB j
-20
1 10 ω
1
10
0
ω
ω
积分环节的幅相曲线（极坐标图）
积分环节的对数幅频是一条在ω＝1处通过横轴 （0dB）、斜率为－20dB/10倍频程的直线，其相频特 性是一条ψ＝－90°的且和横轴平行的直线。
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其中，s1 , s2 ,, sn是系统的闭环极点。要 使系统稳定， 则si 必须都具有负实部。
假设s1 , s2 ,, sn为互异的极点，则有
C ( s) ( s) R( s)
B( s) A 2 r 2 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) s
3
（） 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
幅值相乘变为相加，简化作图。
L() 20 lg A() 20 lg | G( j) |
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第五章
频率法
由于横坐标采用了对 数分度，因此零频率， 即=0不可能在横坐 标上表示出来，横坐 标表示的最低频率 一般由我们感兴趣的 频率范围来定。
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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第五章
频率法
9
频率特性
幅频特性：输出与输入稳态振荡的振幅比。
A( )
Ac ( j ) Ar
相频特性：输出与输入稳态振荡的相位差角。
( j ) Ar sin(t ( j ))
结论：
线性定常系统对正弦输入信号的稳态反映为与输入 信号同频率的正弦信号。 振幅： Ac ( j ) Ar 相位： t ( j )
4
频率特性的概念
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
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对数频率特性曲线
假设s1 , s2 ,, sn为互异的极点，则有
C ( s) ( s) R( s)
B( s) A 2 r 2 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) s
3
（） 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
幅值相乘变为相加，简化作图。
L() 20 lg A() 20 lg | G( j) |
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第五章
频率法
由于横坐标采用了对 数分度，因此零频率， 即=0不可能在横坐 标上表示出来，横坐 标表示的最低频率 一般由我们感兴趣的 频率范围来定。
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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频率法
9
频率特性
幅频特性：输出与输入稳态振荡的振幅比。
A( )
Ac ( j ) Ar
相频特性：输出与输入稳态振荡的相位差角。
( j ) Ar sin(t ( j ))
结论：
线性定常系统对正弦输入信号的稳态反映为与输入 信号同频率的正弦信号。 振幅： Ac ( j ) Ar 相位： t ( j )
4
频率特性的概念
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
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对数频率特性曲线
5第五章__频率法
1 o 称为转折频率或交换频率。 T
可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。
第五章 频率法
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
第五章 频率法
( )
180
相频特性：
( ) 0
180
第五章 频率法
1 1 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) G ( j ) j T 1 Ts 1 1 A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 1 T P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时： A(0) 1， (0) 0
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。
第五章 频率法
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转 变为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以 下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系 如下：
微分方程
第五章 频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
R Ar 0o ，C Ac
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
C Ac Ac G ( j ) o R Aj dt
传递函数
频率特性
s j
第五章 频率法
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而 且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正 弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频 率特性，但根据式
可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。
第五章 频率法
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
第五章 频率法
( )
180
相频特性：
( ) 0
180
第五章 频率法
1 1 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) G ( j ) j T 1 Ts 1 1 A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 1 T P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时： A(0) 1， (0) 0
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。
第五章 频率法
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转 变为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以 下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系 如下：
微分方程
第五章 频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
R Ar 0o ，C Ac
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
C Ac Ac G ( j ) o R Aj dt
传递函数
频率特性
s j
第五章 频率法
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而 且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正 弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频 率特性，但根据式
自动控制原理简明版第5章频率法课件
03
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
第5章-频率法1
相频特性
( ) arctan T
L( ) 20 lg T 2 2 1 对数幅频
信通学院
18
L( ) dB
[20]
1 T
0
精确曲线
10
( )
90
45
0
信通学院
六.振荡环节
2 n G (s) 2 2 s 2n s n
G ( j )
2
G
( )
[-20] 表示每10倍频程下降20dB 特征点： =1rad/s，L=0
信通学院
三.微分环节 传递函数
G( s) s
j
频率特性 G( j ) j e
2
幅频特性 A( ) G ( j )
相频特性 ( ) G( j ) 对数幅频
信通学院
四、频率特性的三种图示法 1.幅相频率特性曲线——Nyquist图（又叫幅相频率特性、极坐 标图或奈奎斯特图简称奈氏图）
G ( j ) A( )e j ( )
对于某一特定ω，总可以在复平面上找到一个向量与G(jω) 对应，该向量的长度为A(ω),与实轴的夹角为 ( ω)。 2.对数频率特性曲线——Bode图（又叫伯德图） 包括对数幅频特性曲线、相频特性曲线 横坐标按lg ω进行线性分度，但标注ω。 纵坐标分别为L (ω)和 ( ω)。 L(ω)＝20 lgA(ω)
幅频特性 A( ) G ( j ) K 相频特性 ( ) G ( j ) 0
L( )
均与无关
对数幅频 L( ) 20lg A() 20lg K
j
[G ]
20 lg K
0
第5章 频率法
第5章 频域特性分析法
❖5.1 频率特性的基本概念 ❖5.2 频率特性的几种图示方法 ❖5.3 典型环节的频率特性 ❖5.4 系统开环频率特性 ❖5.5 奈奎斯特稳定判据 ❖5.6 稳定裕度 ❖5.7 利用开环频率特性分析系统的性能 ❖5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能 ❖5.9 利用MATLAB绘制频域特性曲线图
1
10 100 1000 w
实现横坐标非线性压缩， -20
频率越高，越压缩；
频率越低，越展开。
-40
便于在较大频率范围内反映频率特性变化情况。
21
对数幅频曲线：纵坐标按 20 lg | W ( jw) |线性分度的优点：
例：
G1 ( s)
G2 (s)
G3 (s)
G(s) = G1 (s)G2 (s)G3 (s)
j(w) = -arctanTw
Bode图 (K = 1)
20
(1)wT << 1时（低频段），即 w << 1/ T
L(ω) (dB)
0
L(w ) = -20 lg 1 + T 2w 2 -20 lg1 = 0dB
-20
(2)wT >> 1时（高频段），即 w >> 1/ T
-40
L(w ) = -20 lg 1+ T 2w 2 -20 lg Tw
12
5.2 频率特性的几种图示方法
❖ 幅相频率特性曲线（奈氏图） ❖ 对数频率特性曲线（Bode图） ❖ 对数幅相特性曲线（尼氏图）
13
❖ 幅相频率特性曲线（奈氏图） 幅相频率特性可以表示成 ▪ 代数形式 ▪ 极坐标形式
14
代数形式
设系统或环节的传递函数为
❖5.1 频率特性的基本概念 ❖5.2 频率特性的几种图示方法 ❖5.3 典型环节的频率特性 ❖5.4 系统开环频率特性 ❖5.5 奈奎斯特稳定判据 ❖5.6 稳定裕度 ❖5.7 利用开环频率特性分析系统的性能 ❖5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能 ❖5.9 利用MATLAB绘制频域特性曲线图
1
10 100 1000 w
实现横坐标非线性压缩， -20
频率越高，越压缩；
频率越低，越展开。
-40
便于在较大频率范围内反映频率特性变化情况。
21
对数幅频曲线：纵坐标按 20 lg | W ( jw) |线性分度的优点：
例：
G1 ( s)
G2 (s)
G3 (s)
G(s) = G1 (s)G2 (s)G3 (s)
j(w) = -arctanTw
Bode图 (K = 1)
20
(1)wT << 1时（低频段），即 w << 1/ T
L(ω) (dB)
0
L(w ) = -20 lg 1 + T 2w 2 -20 lg1 = 0dB
-20
(2)wT >> 1时（高频段），即 w >> 1/ T
-40
L(w ) = -20 lg 1+ T 2w 2 -20 lg Tw
12
5.2 频率特性的几种图示方法
❖ 幅相频率特性曲线（奈氏图） ❖ 对数频率特性曲线（Bode图） ❖ 对数幅相特性曲线（尼氏图）
13
❖ 幅相频率特性曲线（奈氏图） 幅相频率特性可以表示成 ▪ 代数形式 ▪ 极坐标形式
14
代数形式
设系统或环节的传递函数为
第五章 频率法
二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s
sn
)
R s2
2
A1
A2
n
Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2
lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20
0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
第五章 频率法解析
安徽工业大学电气信息学院
5-1 频率特性
一、频率特性的基本概念
如一阶RC电路
R
ui
C uo
这是一个惯性环节
G(s) Uo(s)
1 Cs
1
Ui (s)
R
1 Cs
RCs 1
由电路的知识：
当输入电压 u是i 一正弦量时，输出电压 是uo与 同频u率i 的正弦量，但其幅值和相位不同。
安徽工业大学电气信息学院
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
lg
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
安徽工业大学电气信息学院
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20lg A值(标) 注在纵坐标上。
自动控制理论
第五章 频率法
方炜
安徽工业大学 电气信息学院
本章的主要内容
1
频率特性
2
典型环节的频率特性
3
系统开环频率特性的绘制
4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性
5 系统的频率特性及频域性能指标
6
频率特性的实验确定方法
安徽工业大学电气信息学院
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计 的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
➢只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定；
➢由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
➢系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
➢频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
5-1 频率特性
一、频率特性的基本概念
如一阶RC电路
R
ui
C uo
这是一个惯性环节
G(s) Uo(s)
1 Cs
1
Ui (s)
R
1 Cs
RCs 1
由电路的知识：
当输入电压 u是i 一正弦量时，输出电压 是uo与 同频u率i 的正弦量，但其幅值和相位不同。
安徽工业大学电气信息学院
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
lg
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
安徽工业大学电气信息学院
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20lg A值(标) 注在纵坐标上。
自动控制理论
第五章 频率法
方炜
安徽工业大学 电气信息学院
本章的主要内容
1
频率特性
2
典型环节的频率特性
3
系统开环频率特性的绘制
4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性
5 系统的频率特性及频域性能指标
6
频率特性的实验确定方法
安徽工业大学电气信息学院
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计 的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
➢只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定；
➢由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
➢系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
➢频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
第五章 频率法
2
请指出哪些是微分 的、哪些是积分环 节的？
3） 惯性环节
G ( j )
1 1 j T
2 2
对数幅频特性：
L ( ) 20 lg G ( j ) 20 lg 1 T
对数相频特性
( ) G ( j ) tg
1
T
How to get the Bode chart?
若
则
L ( ) 20 lg G ( j ) 20 lg A ( ) 0
A ( ) 1
输入和输出的幅值相等
b）L()>0 dB，输出的幅值大于输入的幅值。 c）L()<0 dB，输出的幅值小于输入的幅值。
4）对数相频曲线的纵坐标为()，均匀分度，单位是度(°)。
3、对数幅相曲线（尼柯尔斯曲线）
r ( t ) sin ( 2 t )
频率特性的用途——能够方便的进行系统的稳态分析，计算 （稳态解及稳态误差），例解P118例5.1
5.1.3 频率特性的几何表示（Nyquist\Bode\Nichols）
1、幅相曲线——奈氏图（Nyquist） 直角坐标系中： G ( j ) R e[ G ( j )]
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
G (s)
1 Ts
哪根曲线为输出？ 稳态输出
G ( j )
1 0.8 0.6
稳态输出
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
稳态输出
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
第五章 频率法
自动控制原理 蒋大明
振荡环节
误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg [(1 - T2w2)2 + (2ζTw)2]1/2︱w=1/T - 0 = -20lg (2ζ) db
20 dB
ξ =0.05
误差除与w有关, 还与ζ有关. ζ＞0.5 负误差 ζ＜0.5 正误差 令:dA(w)=0,可得峰值频率: wm = wn(12ξ)1/2
自动控制原理 蒋大明
对数频率特性
对数相频特性图 纵坐标：φ(w) =∠G(jw) 单位：度 线性分度 横坐标： w 单位：1/S 对数分度 w每变化10倍，横坐标变化一个单位长度 对数幅频特性 + 对数相频特性 = 对数频率特性（Bode图）
自动控制原理 蒋大明
对数频率特性
特点： 1、 对串联环节，变乘为加； 2、 有近似画法； 3、 高低频特性兼顾。
自动控制原理 蒋大明
振荡环节
传递函数： G(S) = Wn2/(S2 + 2ζWnS + Wn2) =1/(T2S2 + 2ζTS + 1) 标准形式 幅相频率特性： G(jw) = 1/(1-T2w2+j2ζTw) A(w) = 1/[(1-T2w2)2 +(2ζTw)2]1/2 φ(w)= -tg-1[2ζTw/(1-T2w2)]
第五章
定性，快速性和稳态精度。
频率法
频率法所研究的问题，仍然是控制系统的控制性能：稳
频率响应——系统对正弦输入信号的稳态响应。 频率特性——频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频率特性是一种稳态响应特性，但它不仅反映系统的稳 态性能，而且可以用来研究系统的暂态性能.
自动控制原理 蒋大明
第一节 频率特性
第五章 频率分析法
相频特性： ϕ(ω) = ∠G( jω) = −900
三.微分环节
传递函 数： 频率特性：
G(s) = s G( jω) = jω
对数幅频特性： L = 20 lg G( jω) = 20 lgω
对数相频特性： ϕ (ω) = 900
40
0
−40 ϕ( ° )
90° 0°
−90°
20dB / dec ω
相频特性：
ϕ(ω) = 00
20 10
01 − 10 ϕ( ° ) 10°
0° 1 −10°
20lg k
10
100
1000 ω
10
100
1000 ω
二.积分环节
传递函数： 频率特性：
G(s) = 1 s
G( jω) =
1 jω
幅频特性：
M (ω) = G( jω) = 1 ω
对数幅频特性：L = 20 lg M (ω) = 20 lg 1 = −20 lgω ω
2
⎟⎞ ⎠
九.延迟环节
频率特性： 幅频特性：
G( jω) = e− jωτ
M (ω) = G( jω) = 1
对数幅频特性： L = L = 20 lg G( jω) = 20 lg1 = 0
相频特性： ϕ(ω) = ∠G( jω) = −τω
八.一阶不稳定环节
传递函数： 频率特性：
G(s) = 1
−180° 0.1
0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1 Tω
2 3 4 6 8 10
六.震荡环节
传递函数：
s ωω ω ω ω G(s) = 2 + 2ξ
2 n
S+
n
三.微分环节
传递函 数： 频率特性：
G(s) = s G( jω) = jω
对数幅频特性： L = 20 lg G( jω) = 20 lgω
对数相频特性： ϕ (ω) = 900
40
0
−40 ϕ( ° )
90° 0°
−90°
20dB / dec ω
相频特性：
ϕ(ω) = 00
20 10
01 − 10 ϕ( ° ) 10°
0° 1 −10°
20lg k
10
100
1000 ω
10
100
1000 ω
二.积分环节
传递函数： 频率特性：
G(s) = 1 s
G( jω) =
1 jω
幅频特性：
M (ω) = G( jω) = 1 ω
对数幅频特性：L = 20 lg M (ω) = 20 lg 1 = −20 lgω ω
2
⎟⎞ ⎠
九.延迟环节
频率特性： 幅频特性：
G( jω) = e− jωτ
M (ω) = G( jω) = 1
对数幅频特性： L = L = 20 lg G( jω) = 20 lg1 = 0
相频特性： ϕ(ω) = ∠G( jω) = −τω
八.一阶不稳定环节
传递函数： 频率特性：
G(s) = 1
−180° 0.1
0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1 Tω
2 3 4 6 8 10
六.震荡环节
传递函数：
s ωω ω ω ω G(s) = 2 + 2ξ
2 n
S+
n
第五章频域分析法—频率法
L( ) 20lg M ( )
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值， 线性均匀分度，单位是度或弧度。
lg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1
采用对数坐标图的优点是：
(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。 (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数 幅频曲线。 (3) 扩大了研究问题的视野。在一张图 上，既画出频率特性的中、高频段特性， 又能画出其低频特性，而低频特性对分 析、设计控制系统来说是极其重要的。
惯性环节的幅相特性曲线 j
M()
()
0 1 0
1
0 -90
O
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode)
对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频 和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ，并按 对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。 对数幅频特性定义为
幅相曲线
1
对数幅频特性：
L( ) 20 lg G (j ) 20 lg 20 lg1 20 lg
T 22源自1 T 1 20 lg
T
2
1
对数相频特性： G(j ) arctanT
近似对数幅频特性： 当
1 T
时，T
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
-78.7 -90
幅频和相频特性曲线
1 1 2T 2 1
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第五章 频率法
半对数坐标系
第五章 频率法
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）
近似表示。
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
1 o T
2
误差,dB
-0.04
-0.2
-1
-3
-1
-0.2
-0.04
max 20 lg 1 T 2o 3(dB )
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
第五章 频率法
1 ②相频特性： ( ) tg T
第五章 频率法
2. 对数频率特性
1 T 2 2 ①对数幅频特性： L( ) 20 lg A( ) 20 lg K 20 lg 1 T 2 2
为了图示简单，采用分段直线近似表示。 低频段：当 T 1 时， L( ) 20 lg K ，称为低频渐近线。
L 高频段：当 T 1 时， ( ) 20 lg K 20 lg T ，称为高频渐 近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10 倍频程下降20分贝）。
Re
第五章 频率法
2.Bode图： 幅频特性： A( ) K ；相频特性： ( ) 0
L( ) / dB
20 lg K 20 lg K 20 lg K
K 1 K 1 K 1
对数幅频特性：
0 L( ) 20 lg K 常数 0 0
4-1
如一阶RC电路
R
频率特性
一、频率特性的基本概念
这是一个惯性环节
ui
C
uo
U o ( s) Cs 1 G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs
1
由电路的知识： 当输入电压 ui 是一正弦量时，输出电压 uo 是 与 ui 同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。
第五章 频率法
当 o 时，误差为： 2 20 lg 1 T 2 2 20 lg T
T L(),dB 渐近线,dB 0.1 -0.04 0 0.2 -0.2 0 0.5 -1 0 1 -3 0 2 -7 -6 5 -14.2 -14 10 -20.04 -20
最大误差发生在 处，为
A( )
K
K G( s) Ts 1
G ( j )
K jT 1
( ) tg 1T
低频高频渐近线的交点： 由 20 lg K 20 lg K 20 lg T ，得：
1 o 称为转折近似表示惯性环节的对数幅频特性。
作图时先用计算器计算几个特殊点：
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
()
T ()
-0.6
2.0 -63.4
-1.1
3.0 -71.5
o
-2.9
4.0 -76
-5.7
5.0 -78.7
-11.3
7.0 -81.9
-16.7
10 -84.3
-26.6
第五章 频率法
5-2
典型环节的频率特性
G ( j ) K
虚频特性： Q( ) 0 ； 相频特性： ( ) 0
一、比例环节： G( s ) K 实频特性： ( ) K ； P 幅频特性： ( ) K ； A 1.极坐标图：
Im
K
比例环节的极坐标图为 实轴上的K点。
L(ω)=20lgA(ω)/dB
40 20 0 -20 -40 0 -90 -20dB/dec -40dB/dec 0.1 1 10 -20dB/dec
ω
0.1
1
10
ω
-180
第五章 频率法
Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度： 横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 lg 进 行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 每变化十倍，横坐标变化一个单位 而言是非线性刻度。 长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。如下图所 示：
G( j ) G( s ) | s j
由传递函数还是可以得到其频率特性。
第五章 频率法
二、频率特性的表示方法： 工程上常用图形来表示频率特性，常用的有： 1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist) 图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其 虚部为纵坐标，以 为参变量的幅值与相位的图解表示 法。 它是在复平面上用一条曲线表示 由 0 时的频 率特性。即用矢量 G ( j ) 的端点轨迹形成的图形。 是 参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、 幅频和相频特性。
对于一个线性定常的稳定系统，输入一 个正弦信号，则系统的稳态输出也为正弦信 号，输出信号与输入信号同频率，但幅值和 相位不同。
如果输入
则稳态输出
r (t ) Ar sin t
c( t ) Ac sin(t )
A Ac Ar
且输出与输入的幅值比 和相位差 只和系统参数及输入信号的频率 有关。在系统 结构参数给定的情况下，A和 仅仅是频率的函 数。
第五章 频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
R Ar 0o ，C Ac
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
C Ac Ac G ( j ) o R Ar 0 Ar
幅值A() 对数幅值 20lgA() 幅值A() 对数幅值 20lgA() 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 0 2 4 6 8 10 15 20 100 40 1000 60 10000 80 0.0001 -80
1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0 -2 -4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60
只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定； 由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
第五章 频率法
20 -87.1
-35
50 -88.9
-45
100 -89.4
1 1 当 0时， (0) 0 ;当 时， ( ) 45o ;当 时， () 90o。 T T 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0，-45°) 点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变 化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根 据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益 改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
Im
P (0) K，Q(0) 0
Re
0
0
1 T
1 1 K 1 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 K 1 K P ( ) ，Q ( ) T 2 T 2
惯性环节呈低通滤波特性
时：A( ) 0， ( ) 90 P ( ) 0，Q( ) 0
频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正 弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。
第五章 频率法
频率特性 G ( j ) 是 的复变函数：
G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ ( )
Ac 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) | G( j ) | Ar 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态
这是一个惯性环节
ui
C
uo
Uc 频率特性: G ( j ) Ur
U o ( s) Cs 1 G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs 1 1 jC 1 jRC 1 R j C
1
频率特性与传递函数的关系为：
G( j ) G( s ) | s j
Dec Dec Dec Dec
...
0
2 0.01
1 0.1
0 1
1 10
2
100
lg
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
第五章 频率法
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20 lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20 lg A( )值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 lg(幅值)
幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具 有下列关系：
P( ) A( ) cos ( )
Q( ) A( ) sin ( )
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( )
( ) tg 1
Q( ) P ( )
第五章 频率法
如一阶RC电路 R
K 1 K 1 K 1
( ) 180
180
相频特性：
( ) 0
第五章 频率法
K K G ( j ) 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) j T 1 Ts 1 K A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 K KT P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时：A(0) K， (0) 0