第5章 频率特性解析

AT A lim c( t ) css ( t ) cos t sin t 2 2 t 1 (T ) 1 (T )
A [T cos t sin t ] 2 1 (T )
4
A css(t) [T cos t sin t ] 2 1 (T )
T 1 cos t sin t 2 2 1 (T )2 1 ( T ) 1 ( T ) A
A 1 (T )2 sin( t arctan T )
T
1
5
r( t )
lim c( t )
t
A 1 T
第五章 频率响应法
5.1 频率特性
5.2 典型环节的频率特性
5.3 控制系统的频率特性
5.4 奈奎斯特稳定判据
5.5 稳定裕量
5.6 闭环频率特性
5.7 频率特性分析
1
1 频率法的思路是： 建立频率特性 → 作为一种数模 → 相应的系统分析方法 → 频率指标 → 利用与时域指标的对应关系 → 转换成 时域指标 2 频率法的特点： (1) 应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究 闭环稳定性，而不必解特征方程的根； (2) 系统的频率特性可用实验方法测出； (3) 用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程 度； (4) 频率法可用某些非线性系统。
1 1 j T
e
j
1 1 jT
1 1 j T
—— 幅频特性
1 —— 相频特性 1 j T
⑤
1 1 | 即把传函中的s 用j 代替就可得 s j 1 jT 1 sT
到频率特性。 css(t) = A G( j) sin[ t + G( j) ]
2
5-1 频率特性
5.1.1 频率特性的基本概念
例： RC线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asint 时，c(t)的稳态输出为多少？ 解： RC电路的微分方程为
r ( t) R C c(t)
dc( t ) T c( t ) r ( t ) dt
式中，T=RC。网络的传函为：
C ( s) 1 R( s ) Ts 1
2 2
sin(t arctan T )
t css(t) t
r(t)
t
0 css(t) 0
t
6
由此可见：
lim c( t )
t
A 1 T
2 2
sin(t arctan T )
① 网络的稳态输出电压仍然是正弦电压，其频率和输入 电压频率相同。
② 稳态输出电压幅值是输入电压幅值 1 / 1 (T )2 ，是 频率 的函数，称为RC网络的幅频特性。 ③ 稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctanT， 是频率 的函数，称为RC网络的相频特性。
n
c( t ) C i e si ( Be j t De j t )
i 1
n
9
c( t ) C i e si ( Be j t De j t )
i 1
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n
c(t ) Be j t De j t
r0 B G( s ) R( s ) ( s j ) s j G( j ) 2 r0 D G( s ) R( s ) ( s j ) s j G(j ) 2 r0 r0 j t G ( j ) cs ( t ) G(j ) e G(j ) e j t G ( j ) 2 2
r0 G(j ) cos( t G(j ))
G(j ) G( s ) s j
10
4.1.2 定义 1 频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态 输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用G(j) 表示。 物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力 同频，变幅，相移。 2 幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用A() 表示。 A() = G(j) 3 相频特性：稳态输出与输入相位差，用 ()表示。 ()= G(j) 4 实频特性： G(j) 的实部，用Re()表示。 5 虚频特性： G(j) 的虚部，用Im()表示。 11 G(j) = A() e j() = Re() + j Im()
r(t)
G(s) c( t )
下面证明对图所示的线性定常系统，传递函数与频率特 8 性的关系，G(j ) G( s ) s j 。
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm C ( s) G( s ) n R( s ) s a1 s n1 an1 s an r(t) = r0 cos( t + ) 假设 = 0，则 r(t) = r0 cos t r0 j t r0 j t r ( t ) r0 cos t e e 2 2 C(s) = G(s) R(s)
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm r0 r0 1 1 n ( ) n 1 s a1 s an1 s an 2 s j 2 s j
Ci D B ( ) s j s j i 1 s si
④
1 1 (T )
2
e
j arctanT
1 1 j T
e
j
1 1 jT
1 1 j T
上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳 态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律， 7 称为网络的频率特性。
1 1 (T )
1 1 j T
2
e
j arctanT
3
如果输入为正弦电压r(t)=Asint ，c(t)的稳态输出：
1 A C ( s) 2 Ts 1 s 2 AT AT A s 2 2 1 (T ) 1 (T ) 1 (T )2 s 1/T s2 2
t AT AT A T c( t ) e cos t sin t 2 2 2 1 (T ) 1 (T ) 1 (T )