[k12精品]2018版高中数学课时天天提分练9函数y=Asinωx+φ的图像习题课北师大版必修4
高中数学课时分层作业10函数y=Asin(ωx+φ)的图像(含解析)北师大版必修4
高中数学课时分层作业10函数y ＝Asin （ωx＋φ）的图像（含解析）北师大版必修4课时分层作业(十) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点 ( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度A [只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y ＝sin(x ＋1)的图像，故选A.]2．要得到函数y ＝cos 2x 的图像，可由函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度C [y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－π3＝cos 2x .]3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π3个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3――――→向左平移π3个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.故选D.]4．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度，则由函数y ＝sin x 的图像得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，可以实施的方案是( )A ．①→③B ．②→③C ．②→④D ．②→⑤D [由y ＝sin x 的图像到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像可以先平移变换再周期变换，即③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤.]5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4C [由题图可知A ＝42＝2，B ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫512π－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，4得φ＝π6.]二、填空题6．将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图像，则φ的值为________．π3 [将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3.]7．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得图像的函数解析式为________．sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4―――――――――→纵坐标伸长为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin 2x .]8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω等于________．3 [从题图中可以看出：周期T ＝－π3－(－π)＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.]三、解答题9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在其一个周期内的图像上有一个最高点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和一个最低点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－5，求该函数的解析式．[解] 由题意知：b ＝－5＋32＝－1，T ＝π，A ＝4，∴ω＝2πT＝2.∴所求函数为y ＝4sin(2x ＋φ)－1. ∵⎝⎛⎭⎪⎫π12，3为该函数图像上的点，∴当x ＝π12时，y ＝3，即4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1， ∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .∴φ＝π3＋2k π.∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴该函数的解析式为y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.10．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用五点法画出函数的草图；(2)函数图像可由y ＝sin x 的图像怎样变换得到？ [解] (1)列表：2x ＋π40 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图像向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的整个图像．[等级过关练]1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2等于( )A ．－32B ．－22C ．32D ．22B [∵12T ＝3π4－5π12＝π3，∴T ＝2π3.∴2πω＝2π3，即ω＝3. 又∵3×5π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，∴φ可取－π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22.]2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图像，因为此时函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B.]3．某同学给出了以下论断：①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像； ②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，可得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像． 其中正确的结论是________(填序号)．①③ [将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确；将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin[－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．]4．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤2x －π6≤56π，∴－32≤f (x )≤3.]5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜⎭⎪⎫π2，x ∈R 在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝12f (2x )cos x ，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值．[解] (1)由题图可知A ＝2，T ＝7π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π，则ω＝2π4π＝12，∴解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ， 且由f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝2，可得φ＝2k π＋π4，又－π2＜φ＜π2，得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.(2)∵g (x )＝12f (2x )cos x＝12×2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos x ， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋π4cos 5π4＝sin 3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4 ＝(－1)×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝22.。
2018届高考数学(理)一轮复习高频考点学案：专题19函数y=Asin(ωx+φ)的图象
方法二 将 y＝ sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1倍 (纵坐标不变 )，得到 y＝ sin 2x 的图象； 2
再将 y＝ sin 2x 的图象向左平移 π6个单位长度，得到
y＝ sin
2
π x＋ 6
＝ sin
2x＋ π3 的图象；
π 再将 y＝ sin 2x＋3 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的
π f(t)＝ 10－ 3cos12t
专题 19 函数 y＝Asin( ωx＋φ) 的图象
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解
(1) 因为
f( t)＝ 10－2(
3 π 1π 2 cos12t＋ 2sin12t)
＝10－ 2sin
ππ 12t＋ 3
ωx·
sin
π ωx＋ 6
＋a
＝4cos ω x·
3
1
2 sin ω x＋2cos ω x ＋ a
＝2 3sin ω xcos ω x＋ 2cos2ω x－ 1＋ 1＋ a
＝ 3sin 2ω x＋cos 2ω x＋ 1＋a
＝2sin
π 2ω x＋ 6
＋ 1＋ a.
π 当 sin 2ωx＋ 6 ＝ 1 时， f(x)取得最大值 2＋ 1＋ a＝ 3＋ a.
专题 19 函数 y＝Asin( ωx＋φ) 的图象
专题 19 函数 y＝Asin( ω x＋φ) 的图象
1．“五点法”作函数 y＝ Asin( ωx＋ φ )( A>0， ω >0) 的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与
x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤
【配套K12】[学习]2018年秋高中数学 课时分层作业12 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 新
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课时分层作业(十二) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列表示函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图正确的是( ) 【导学号：84352119】A [当x ＝π时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32排除B 、D.当x ＝π6时y ＝sin 0＝0，排除C ，故选A.]2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3A [周期T ＝2ππ3＝6，把(0,1)代入解析式得2sin φ＝1，sin φ＝12，∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，∴初相为π6，选A.]3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )【导学号：84352120】A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C [由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．]4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图154所示，若A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )图154A ．B ＝4 B ．φ＝π6C ．ω＝1D ．A ＝4B [由函数图象可知f (x )min ＝0，f (x )max ＝4. 所以A ＝4－02＝2，B ＝4＋02＝2.由周期T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6知ω＝2 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＋2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，故φ＝π6.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( ) 【导学号：84352121】A ．向右平移π12个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位A [由已知得2πω＝2×π2，故ω＝2.y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．]二、填空题6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的初相是________，图象最高点的坐标是________．－π6⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋8k π，6(k ∈Z ) [初相是－π6，当14x －π6＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max＝6，x ＝8π3＋8k π， 所以图象较高点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫8π3＋8k π，6(k ∈Z )．]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________.【导学号：84352122】y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π8 [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π8――――――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π8.]8．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π2，则x 2＋x 4＝________.3π2 [由函数f (x )的图象的对称性可知x 2＋x 42＝x 1＋x 52， 所以x 2＋x 4＝x 1＋x 5＝3π2.]三、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图155所示．图155(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程.【导学号：84352123】[解] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，(2)变换过程如下：y ＝sin x 图象上的――――――――――――――→所有点的横坐标缩小为原来1/2倍纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象，再把y＝sin 2x 的图象y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象． 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R .(1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴方程是x ＝π3＋k2π，k ∈Z ；由2x －π6＝k π，k ∈Z 解得对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k 2π，0，k ∈Z ；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z 解得单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值为－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值为2.[冲A 挑战练]1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的部分图象不可能是( )D [当a ＝0时，f (x )＝1，是选项C ，当a ≠0时， 函数f (x )＝1＋a sin ax 的周期T ＝2π|a |，振幅为|a |，所以当|a |＜1时，T ＞2π.当|a |＞1时T ＜2π，由此可知A ，B 有可能出现，D 不可能．]2．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________.【导学号：84352124】5π12 [函数y ＝sin 2x 的图象向右平移后得到y ＝sin[2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝⎛⎭⎪⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z )．又φ＞0当k ＝－1时，φ取得最小值512π.]3．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .②③ [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π3 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32.f ⎝⎛⎭⎪⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫43π－π3＝0， 故①错，②正确．令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －23π的图象，故④错．] 4．函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的所有零点之和为________.【导学号：84352125】8 [函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的零点即 方程2sin πx ＝11－x 的根，作函数y ＝2sin πx 与y ＝11－x的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．y ＝2sin πx －11－x ＝2sin π(1－x )－11－x， 令t ＝1－x 则y ＝2sin πt －1t，t ∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【导学号：84352126】[解] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(答案不唯一)(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，且k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，如图所示，当sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的实数解时，s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，由方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解得m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。
【精品提分练习】高考数学一轮复习课时规范练19函数y=Asinωxφ的图象及应用文
课时规范练19 函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动个单位长度,所得图象的函数解析式是()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2017湖南邵阳一模,文6)若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值是()A. B. C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2017天津,文7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=〚导学号24190738〛6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为,则φ=()A. B. C. D.7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为()A.-∈B.-∈C.-∈D.-∈〚导学号24190739〛8.函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=.10.(2017北京,文16)已知函数f(x)=cos--2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈-时,f(x)≥-.〚导学号24190740〛综合提升组11.(2017辽宁大连一模,文11)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]12.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为.13.已知函数y=3sin-.(1)用五点法作出函数的图象;(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.〚导学号24190741〛创新应用组14.已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2〚导学号24190742〛15.如图所示,某地夏天8—14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b,ω>0,φ∈(0,π).(1)求这期间的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.答案：1.B由题意,y=sin x的图象进行伸缩变换后得到y=sin x的图象,再进行平移后所得图象的函数为y=sin-=sin-.故选B.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满足2x+=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.C函数f(x)=sin 2x+cos 2x=sin的图象向左平移φ个单位长度,所得函数y=sin的图象关于y轴对称,则有2φ+=kπ+,k∈Z.解得φ=kπ+,k∈Z.由φ>0,则当k=0时,φ的最小值为.故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.A由题意可知,>2π,,所以≤ω<1.所以排除C,D.当ω=时,f=2sin=2sin=2,所以sin=1.所以+φ=+2kπ,即φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π,所以φ=.故选A.6.C由函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为-φ.故-φ=,即φ=.7.B根据所给图象,周期T=4×-=π,故π=,即ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ).又图象经过,代入有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,故f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.8.因为y=sin x-cos x=2sin-,所以函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.9.函数f(x)=sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=,则x=.x=关于x=对称的直线为x=,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=的点平移到x=,则φ=.10.(1)解f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明因为-≤x≤,所以-≤2x+.所以sin≥sin-=-.所以当x∈-时,f(x)≥-.11.C方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示.由题意,得<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2),故选C.12.∵函数的图象关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos-,k∈Z.∵f(x)的图象平移后得函数y=cos--(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-) .∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).13.解 (1)列表:描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度,得到y=sin-的图象,再把y=sin-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图象,再把y=sin x图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图象,最后将y=sin-的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin-的图象.14.D曲线C1的方程可化为y=cos x=sin,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得曲线y=sin=sin 2,为得到曲线C2:y=sin 2,需再把得到的曲线向左平移个单位长度.15.解 (1)由图象,知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)A=(50-30)=10,b=(50+30)=40,T==2×(14-8)=12,所以ω=,所以y=10sin+40.把x=8,y=30代入上式,得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].。
高三数学y=Asin(ωx+φ)的图象
高三备课组
内容归纳 知识精讲： ⑴一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R（其中 A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法 得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当 φ>0时）或向右（当φ<0时）平行移动|φ|个 单位长度 （得y=sin(x+φ)图）,，再把所得各 点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当 0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）（得 y=sin(ωx+φ)图,），再把所得各点的纵坐标 伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到 原来的Ａ倍（横坐标不变）． （若先伸缩，再平移时移多少？）
f ( x) 2cos x 3sin 2x a(a R为常数)
2
求f(x)的单调递增区间；若x 0, 时， 2
f(x)的最大值为4，求a的值
备例: .( 05全国（1）)设函数 f ( x) sin(2 x ) ( 0), y f ( x)
【例2】(P62)(2002年高考．全国文史类)如 图某地一天从６时至１４时的温度变化 曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b求这 段时间的最大温差．写出这段曲线的函 数解析式．
例3 P64
函数
的最小正周期是------练习:已知若x∈R，
y sin( 2 x) cos 2 x 3
【例1】P64(2003年春季高考· 上海)已 知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R（其中 A>0,ω>0）在一个周期内的图象如图所 示。求直线y= 与函数 f(x)图象的所 3 有交点的坐标
练习:写出下列函数图象的解析式 (1)将函数y=cosx的图象上所有点横坐 标缩为原来的一半，纵坐标保持不变， 然后把图象向左平移 个单位，得到所 3 求函数的图象。 (2):若函数y=f(x)的图象上每一点的纵 坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍， 然后将整个图形沿x轴向左平移 2 个单位， 沿y轴向下平移1个单位，得到曲线与 1 y cos x 的图象相同，求f(x)的表达 2 式（说明具体过程）
2018学年高中数学人教A版必修4课件：1.5.1 函数y=Asinωxφ的图像一 精品
与 y 的值如下表：
x
－π6
π 12
π 7π 3 12
5π 6
2x＋π3
0
π 2
π
3π 2
2π
3sin2x＋π3 0
3 0 －3 0
(2)描点． (3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图像如图所示．
[例 2] 为了得到函数 y＝sin2x－π6的图像，可以将函数
y＝cos 2x 的图像
()
A．向右平移π6个单位长度
ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
2π
x －ωφ 2πω－ωφ ωπ－ωφ 23ωπ－ωφ 2ωπ－ωφ
y 0A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图像．
[活学活用]
画出函数 y＝3sin2x＋π3，x∈R 的简图． 解：由 T＝22π，得 T＝π.
(2)列表：2x＋π3取值为 0、π2、π、32π、2π 得到对应的 x
单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω 的最小值
等于
()
A．13
B．3
C．6
D．9
答案：C
[例 3] (1)将函数 y＝sin x 的图像上各点的横坐标扩大为原
来的 2 倍，纵坐标不变，则所得图像对应的函数为 ( )
A．y＝2sin x
B．y＝12sin x
C．y＝sin 2x
D．y＝sin
Hale Waihona Puke 1 2x7πy＝32sin13x－π3
0
3 2
0
－32
0
描点画图(如图所示)．
[类题通法] 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质 是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期 内的图象．
课时作业2：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第5讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析 最小正周期为T ＝2π12＝4π.答案 D2．(2015·济南模拟)将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4解析 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位得到y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位得到y ＝sin 2x ，故选A. 答案 A3．(2014·浙江卷)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析 ∵y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位即可得到y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，故选A. 答案 A4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3解析 由图象知f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A. 答案 A5．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析 将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则y ＝f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ．此函数为偶函数，周期为2π.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos π2＝0，所以y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称，故选D. 答案 D 二、填空题6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝______．即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.答案227．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________．解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋（1＋1）2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.答案 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析 ∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以T 2≥π2－π6，即T ≥2π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的对称轴，其对称轴应为x ＝π2＋2π32＝7π12，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，故函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π.答案 π 三、解答题9．(2015·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)列表：画图如下：10．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (x )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 所以在10时至18时实验室需要降温．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．若函数g (x )＝af (x )＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 由题意知A ＝2，T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋32－x 0＝32，∴T ＝3，即2π|ω|＝3，又ω＞0，∴ω＝2π3.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ，又函数f (x )过点(0，1)，代入得2sin φ＝1，而|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6，g (x )＝af (x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6＋b . 由⎩⎨⎧2|a |＋b ＝6，－2|a |＋b ＝2，得⎩⎨⎧|a |＝1，b ＝4，∴|a |＋b ＝5. 答案 A12．(2014·东北三省三校联考)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32.答案 A13．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案 14314．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3， 所以当x ＝0时，g (x )max ＝2，当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1.∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1，2]。
18学年高中数学课时跟踪检测九正弦型函数y=Asin(ωx+φ新人教B版4180223114
课时跟踪检测（九） 正弦型函数y = Asin (ωx +φ）层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6. 5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32<0，故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，即φ＝11π6.答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π3的图象．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x ＝12sin ⎝ ⎛⎪⎫x －π2y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2.10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相．解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×π6＋φ＝－2， ∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －3π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4.层级二 应试能力达标1.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A. 12，1π B ．2，1πC. 12，π D ．2，π解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π，故选A.2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B. 3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称 解析：选 A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4 解析：选 D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4的图象． 5．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的一部分，如图所示．(1)求出f (x )的解析式；(2)若g (x )与f (x )的图象关于x ＝2对称，求g (x )的解析式． 解：(1)由题图知A ＝2，∵周期T ＝8， ∴2πω＝8，∴ω＝π4.∵点(－1,0)在图象上， ∴0＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0，∴φ＝π4.∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x ＝2的对称点P ′为(4－x ，y )．又∵点P ′在y ＝f (x )的图象上，∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－π4x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4.∴g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4.。
2017_2018学年高中数学课时作业9函数y=Asinωx+φ的图象北师大版必修420170906
课时作业9函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1 2ππ1．最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是()2 3 61 xπA．y＝sin 6)2 (＋31 xπB．y＝2sin (6)－31 πC．y＝2sin (3x－6)1 πD．y＝2sin(3x＋6)2ππ解析：由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.3 6答案：Dπ2．要得到函数y＝sin(2x＋3)的图象，只要将函数y＝sin2x的图象()πA．向左平移个单位长度3πB．向右平移个单位长度3πC．向左平移个单位长度6πD．向右平移个单位长度6πππ解析：因为y＝sin (2x＋3)＝sin2(x＋6)，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单6 ππ位长度，就可得到函数y＝sin2(x＋6)＝sin(2x＋3)的图象．答案：Cπ3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正2确的是()A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为ππC．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称2πD．y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称2ππ解 析：函数 y ＝sin x 的图象向左平移 2个单位长度后，得到函数 f (x )＝sin(x ＋ 2)＝cos xππ 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，周期为 2π；又因为 f(2 )＝cos ＝0，所以 f (x )＝cos x2π π π 的图象不关于直线 x ＝ 对称；又由 f ＝cos＝0，知 f (x )＝cos x 的图象关于点2(－ 2 ) (－ 2 )1π(－，0)对称．故选D.2答案：Dπ5π4．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻4 4的对称轴，则φ＝()ππA. B.4 3π3πC. D.2 45ππ解析：由题意得周期T＝2(－4)＝2π，42π∴2π＝，即ω＝1，ω∴f(x)＝sin(x＋φ)，ππ∴f(4 )＝sin(＋φ)＝±1.4ππ5π∵0<φ<π，∴<φ＋< ，4 4 4πππ∴φ＋＝，∴φ＝.4 2 4答案：Aπππ5．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝3对称；(3)在[－，3]6 上单调递增”的一个函数是()xππA．y＝sin (6)B．y＝cos(2x＋3)＋2ππC．y＝sin(2x－6)D．y＝cos(2x－6)2ππ解析：由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证ω 3知只有C符合要求．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：将函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y＝3sin 1 1 1x再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝3sin3(x－3)＝3sin(x－1).3 31答案：y＝3sin (x－1)3π2π7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝6 3 时，有最小值－2，则ω＝________.T2πππ2π解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.2 3 6 2 ω答案：28．如图所示的曲线是y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．24 5ππ2π解析：由函数图象可知A＝2，T＝3(12)＝π，即＝π，故ω＝2.－6 ω5π5ππ又(，0)是五点法作图的第五个点，即2×＋φ＝2π，则φ＝.故所求函数的解6 6 3π析式为y＝2sin (2x＋3).π答案：y＝2sin(2x＋3) 三、解答题(每小题10分，共20分)π9．已知函数f(x)＝sin(ωx－3)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像．2π2π解析：(1)ω＝＝＝2.T ππ(2)由(1)可知f(x)＝sin(2x－3).列表：ππ3π2x－0 π2π3 2 2π5π2π11π7πx6 12 3 12 6πsin(2x－3)0 1 0 －1 0 作图(如图所示)．ππ10．将函数y＝sin(2x－3)的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各41点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的函数的解析式．2π解析：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为4ππ5π 1 y＝sin[2(x－－4)]＝sin(2x－6 )，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，6 25π则与其对应的函数的解析式为y＝sin(4x－6 ).|能力提升|(20分钟，40分)11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列3函数中与 g (x )＝ 2sin(x ＋ 4)能构成“和谐”函数的是( )πA ．f (x )＝sin (x ＋ 4)πB ．f (x )＝2sin (x － 4)x πC ．f (x )＝ 2sin( 4)＋ 2 πD ．f (x )＝ 2sin (x ＋ 4)＋2 解 析：将函数 g (x )图象上的所有的点向上平移 2个单位长度，即得到函数 f (x )＝ 2sin(x π＋ )＋2的图象，故选 D. 4答案：D3π2π12．关于函数 f (x )＝2sin (3x － 4 )，以下说法：①其最小正周期为 ；②图象关于点3ππ( ，0)对称；③直线 x ＝－ 是其一条对称轴．其中正确的序号是________． 4 4 2π 2π解析：T ＝ ＝ ，故①正确； ω 3 π x ＝ 时，43πf (x )＝2sin (3x － 4)3π 3π ＝2sin(－ 4 )＝0，4π所以图象关于点( ，0)对称，故②正确．4 πx ＝－ 时， 43π3π 3πf (x )＝2sin (3x － 4 )＝2sin (－4 )＝2，－ 4π所以直线 x ＝－ 是其一条对称轴，故③正确．4答案：①②③13．函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)π π(A > 0，ω > 0，－2)< φ <的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；π(2)当x∈[－π，－6]时，求f(x)的取值范围．T2πππ解析：(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.4 3 6 2ππππ将点(，1)代入得sin(＋φ)＝1，而－<φ< ，6 6 2 24π所以 φ＝ ，因此函数的解析式为3πf (x )＝sin (x ＋ 3).π 2π π π π 1(2)由于－π≤x ≤－ ，－≤x ＋ ≤ ，所以－1≤sin3)≤ ，6(x ＋63 321所以 f (x )的取值范围是[－1，2].π14．已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当 x ＝ 时，127f (x )取得最大值 3；当 x ＝ π 时，f (x )取得最小值－3.12 (1)求函数 f (x )的解析式；(2)求函数 f (x )的单调递减区间；π π(3)若 x ∈[－时，函数 h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数 m 的取值范围．， 6]37π2πππ 解析：(1)由题意，易知 A ＝3，T ＝2( π－ ＝π，∴ω＝＝2.由 2× ＋φ＝ ＋12 T 12212)π2k π，k ∈Z ，得 φ＝ ＋2k π，k ∈Z .3ππ又∵－π<φ<π，∴φ＝ 3，∴f (x )＝3sin(2x ＋ 3).π π 3π π7π(2)由 ＋2k π≤2x ＋ ≤ ＋2k π，k ∈Z ，得 ＋k π≤x ≤ ＋k π，k ∈Z ， 2 3 2 12 12∴函数 f (x )的单调递减区间为 π 7π[＋k π]＋k π， ，k ∈Z .12 12πm －1π π(3)由 题 意 知 ， 方 程 sin (2x ＋ ＝在 区 间 上 有 两 个 实3)6[－， 6]3π π根．∵x ∈[－6]，， 3 π π 2π m －13 ∴2x ＋∈， ，∴ ∈ ，3[－3] 6[ ，1)3 2∴m ∈[1＋3 3，7)．5。
2018届高三数学 第28练 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质练习
第28练 函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与性质一、选择题1．已知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ，在直角坐标系下利用“五点法”作f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．－π3，0，π2，2π3，πC ．－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3D ．－π3，0，π2，π，3π2，5π32．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)3．已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( ) A ．向左平移512π个单位B ．向右平移512π个单位C ．向左平移1112π个单位D ．向右平移1112π个单位4．(2016·长春三调)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.325.(2016·南阳期中)如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 的面积最大时PM →·PN →＝0，则ω等于( )A.π4B.π3C.π2D ．86.(2017·郑州质检)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733C.833D ．4 37．(2016·开封第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r二、填空题8．(2016·辽源联考)若0≤x ≤π，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的单调递增区间为__________．9．(2016·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．10．关于x 的方程3sin 2x ＋cos 2x ＝k ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两相异实根，则k 的取值范围是__________．11．(2016·皖北协作区联考)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称.答案精析1．C [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，当2x ＋π3＝－π3，0，π2，π，3π2，5π3时，x 的值分别为－π3，－π6，π12，π3，7π12，2π3，故选C.] 2．D [当x ＝0时，f (x )＝1，代入验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.]3．A [由题意得ω＝2，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位即可得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．]4．A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象．又其为奇函数，则π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3.又|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 5．A [由图象可知，当P 位于M 、N 之间函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象的最高点时，△MPN 的面积最大．又此时PM →·PN →＝0，∴△MPN 为等腰直角三角形， 过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PQ ＝2， 则MN ＝2PQ ＝4，∴周期T ＝2MN ＝8. ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.故选A.]6．C [依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2PQ ＝6，ω＝π3，A sin φ＝－4，f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A >0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833.] 7．C [f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π. ∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9是最大值．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .]8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ·(－sin x )＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )，又0≤x ≤π，则函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.9．8解析 由图象知y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8. 10．[0,1) 解析3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，作出函数y ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6和y ＝k ＋1的大致图象如图所示，由图象易知当1≤k ＋1<2，即0≤k <1时，方程有两相异实根．11．①③④⑤解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确；因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin(－π6＋π3)＝1≠0，所以②不正确； 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，所以③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，所以④正确；因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－g (x )，所以⑤正确．。
「精品」高中数学课时天天提分练9函数y=Asinωx+φ的图像习题课北师大版必修4
B．函数f(x－1)一定是偶函数
C．函数f(x＋1)一定是奇函数
D．函数f(x＋1)一定是偶函数
答案：D
解析：因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝1处取得最大值，则说明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，因此函数利用诱导公式，f(x＋1)必然是偶函数，选D.
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－ ＝kπ＋ (k∈Z)，
∴φ＝kπ＋ (k∈Z)．
又0<φ<π，
∴φ＝ ，
∴f(x)＝2sin ＋1＝2cosωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为 ，
∴T＝ ＝2× ，
∴ω＝2，
∴f(x)＝2cos2x＋1，
∴f ＝2cos ＋1＝ ＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移 个单位长度后，得到函数f 的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f 的图像，
(2)∵0<x<π，∴方程f(x)＝m的根的情况，相当于f(x)＝2sin 的图像与g(x)＝m的图像的交点个数情况.
又0<x<π，∴在同一坐标系中画出f(x)＝2sin (0<x<π)和g(x)＝m(m∈R)的图像(如图所示)．
由图，可知当－2<m<1或1<m<2时，直线g(x)＝m与曲线f(x)有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不同的实数根，
9．关于f(x)＝3sin(2x＋ )有以下命题：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z);②f(x)图像与g(x)＝3cos(2x－ )图像相同；③f(x)在区间[－ ，－ ]上是减函数；④f(x)图像关于点(－ ，0)对称．
2017-2018学年北师大高二数学必修4课时作业：9函数y=Asin(ωx+φ)的图象 Word版含解析
C．向左平移 个单位长度
D．向右平移 个单位长度
解析：因为y＝sin ＝sin2 ，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单位长度，就可得到函数y＝sin2 ＝sin 的图象．
答案：C
3．将函数y＝sinx的图象向左平移 个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是()
解析：由函数图象可知A＝2，T＝ ＝π，即 ＝π，故ω＝2.
又 是五点法作图的第五个点，即2× ＋φ＝2π，则φ＝ .故所求函数的解析式为y＝2sin .
答案：y＝2sin
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像．
答案：y＝3sin
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝ 时，有最大值2，当x＝ 时，有最小值－2，则ω＝________.
解析：依题意知 ＝ － ＝ ，所以T＝π，又T＝ ＝π，得ω＝2.
答案：2
8．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
6．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．
解析：将函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y＝3sin x再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝3sin (x－3)＝3sin .
答案：A
5．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝ 对称；(3)在 上单调递增”的一个函数是()
课时作业9：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
§4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 答案 D解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π2＝ cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选D. 2．(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3．(2017·衡水中学模拟)若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π3答案 A解析 由题图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π6－⎝⎛⎭⎫－π3＝π， 所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－φ＝0， 所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故选A.4．(2018·湖南四校联考)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3 D.π4答案 B解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．5．(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 B解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的最小值是π3，故选B.6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12 D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值－32. 7．(2017·青岛质检)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析 y ＝sin x ――――――――――――→向右平移π10个单位长度 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10 ―――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 8．(2017·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝⎛⎭⎫π3，－1，则f (x )＝________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析 由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6(经检验满足题意)． 9．(2018·济南模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象如图所示．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 10．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π， ∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 12．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时， f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π， ∴2ω＝2πT＝2，ω＝1.(2)∵x ∈[0，π]，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6. 当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，f (x )单调递减，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.13．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为________． 答案5π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15.(2017·长春质检)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 16．(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
课时作业1：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
§4.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是( )2．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π43.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0,0)中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0等于( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π125．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32B ．－12C.12D.326.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．7．(2015·山西康杰中学等四校第二次联考)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 8．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值．10.设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[32，＋∞)12．(2014·天津)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是____________．14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.15．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．答案解析1．D [∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.]2．B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 3．D [由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.]4．C [f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0,0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3.] 5．A [由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32.] 6．－5解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT ＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎫1300，10， ∴10sin(100π×1300＋φ)＝10，∴sin(π3＋φ)＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．7.32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π， 即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 8.π3或43π 解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 11．D [当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．]12．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.]13.⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1， 要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18.14.143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈[－32，1]． 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}．。
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A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
C．y＝f(－1) D．y＝f(－)
答案：B
解析：因为图(2)中的图像可以看作是图(1)中的图像先向右平移一个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图(2)所对应的函数解析式应是y＝f(2x－1)．故选B.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取得最大值，则()
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，
∴ω＝2，
∴f(x)＝2cos2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像，
答案：A
解析：由T＝6π，得ω＝＝.当x＝时，sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z.而－π<φ≤π，可得φ＝.故f(x)＝2sin，结合其图像可知选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________.
答案：
解析：由图，知＝－＝，∴T＝.又T＝＝，∴ω＝.
8．已知函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度后与函数g(x)＝sin的图像重合，则正数ω的最小值为________．
答Hale Waihona Puke ：解析：函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度后，得到的图像所对应的函数是y＝sin，其图像与函数g(x)＝sin的图像重合，∴ω＋＝＋2kπ，k∈Z.又ω>0，∴当k＝1时，ω取得最小值为.
9函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知函数f(x)＝sinπx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的函数解析式可以为()
(1)(2)
A．y＝f(2x－)B．y＝f(2x－1)
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值
D．可以取得最小值
答案：C
解析：由f(x)在[a，b]上为增函数及f(a)＝－2,f(b)＝2知，g(x)在[a，b]上先增后减，可以取到最大值．
5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是()
答案：D
解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且f(x)的最小值为正数，选项A符合；当|a|>1时，T<2π，且f(x)的最小值为负数，选项B符合；在选项D中，由振幅得|a|>1，则T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.
解：(1)观察图像，得A＝2，T＝÷＝π.
∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵函数f(x)的图像经过点，
∴2sin＝2，
即sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)∵0<x<π，∴方程f(x)＝m的根的情况，相当于f(x)＝2sin的图像与g(x)＝m的图像的交点个数情况.
9．关于f(x)＝3sin(2x＋)有以下命题：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z);②f(x)图像与g(x)＝3cos(2x－)图像相同；③f(x)在区间[－，－]上是减函数；④f(x)图像关于点(－，0)对称．
其中正确的命题是________．
答案：①②
解析：f＝3sin＝3sin＝－3，∴①正确；由－<x<⇒－<2x－<，函数y＝3sinx在上单调递增，知函数f(x)在上单调递增，②正确；因为f(x)＝3sin2，∴把y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝3sin的图像，③不正确．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知函数f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间．
又0<x<π，∴在同一坐标系中画出f(x)＝2sin(0<x<π)和g(x)＝m(m∈R)的图像(如图所示)．
所以g(x)＝f＝2cos2＋1＝2cos＋1.
而2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．
A．函数f(x－1)一定是奇函数
B．函数f(x－1)一定是偶函数
C．函数f(x＋1)一定是奇函数
D．函数f(x＋1)一定是偶函数
答案：D
解析：因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝1处取得最大值，则说明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，因此函数利用诱导公式，f(x＋1)必然是偶函数，选D.
3．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是()
A.B.
C.D．3
答案：C
解析：因为ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，说明至少平移一个周期，或者是周期的整倍数，因此＝nT＝n·∴当n＝1，ω＝.
4．函数f(x)＝3sin(3x＋φ)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－2,f(b)＝2，则g(x)＝2cos(2x＋φ)在[a，b]上()