含绝对值的不等式恒成立问题
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含绝对值不等式恒成立问题
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
分析：
3 x 1 0, x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 3 x 10, x 4.
．
1 a 2
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
解:(1)略
(２)令 y f ( x) , y ax
由图象可知,
只需 y f ( x) 的图象有落在
y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 1 故a 的取值范围是 a 或 a 2 . 2
练习3 设函数 f ( x) | x 3 | | x 4 | 若存在实数 a 满足 f ( x) ax 1 ，试求实数
a 的取值范围.
2. 数形结合法： 对于 f ( x) g ( x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象 再处理.
例3.已知函数 f ( x) | 2 x 4 | 1 (1)作出函数 y f ( x) 的图象；
.
(２)若不等式 f ( x ) ax 的解集非空，求实数 a 的取值范围
(或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义． 2. 一类函数最值的求法
f ( x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
1. 分离参数法： 通过参数分离,将问题转化为 a
f ( x) (或 a f ( x) ) 求最值； a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]max
a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]min
wk.baidu.com
类似的
a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]min a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]max a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)] min a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)]max
，即
3 x 4 时取等号．
．则
所以 | x 4 | | x 3 | 的最小值为 1 故实数 a 的取值范围是 ( ,1] ．
a 1 ．
练习１
已知函数 f ( x) | 2 x 1 | | 2 x 3 | ． 若关于 x 的不等式 f ( x) | a 1 | 的解集非空，求实数 a
(4) f x g( x ) g ( x ) f x g ( x )
(5) f x g x f x g x
2 2
复习
1. 含绝对值不等式的解法 形如
| x a | | x b | c
的取值范围．
答案： a 3 或
设函数 f ( x) | x 1 | | x a | ．
a5
如果 x R ， f ( x) 2 ，求实数 a 的取值范围． 答案： a 1 或
a3
例2. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围. 解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 令 f ( x) | x 4 | | x 3 | ，则
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 （
B）
(D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的 不是空集？ ( , 2] 取值范围是---------（2，+∞）
例1. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 因为 | x 4 | | x 3 || ( x 4) ( x 3) | 1 ，当且仅当
( x 4)( x 3) 0
1 , x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 1, x 4.
则函数 f ( x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ． 故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2 已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a , 若不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
分析：
3 x 1 0, x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 3 x 10, x 4.
．
1 a 2
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
解:(1)略
(２)令 y f ( x) , y ax
由图象可知,
只需 y f ( x) 的图象有落在
y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 1 故a 的取值范围是 a 或 a 2 . 2
练习3 设函数 f ( x) | x 3 | | x 4 | 若存在实数 a 满足 f ( x) ax 1 ，试求实数
a 的取值范围.
2. 数形结合法： 对于 f ( x) g ( x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象 再处理.
例3.已知函数 f ( x) | 2 x 4 | 1 (1)作出函数 y f ( x) 的图象；
.
(２)若不等式 f ( x ) ax 的解集非空，求实数 a 的取值范围
(或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义． 2. 一类函数最值的求法
f ( x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
1. 分离参数法： 通过参数分离,将问题转化为 a
f ( x) (或 a f ( x) ) 求最值； a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]max
a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]min
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类似的
a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]min a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]max a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)] min a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)]max
，即
3 x 4 时取等号．
．则
所以 | x 4 | | x 3 | 的最小值为 1 故实数 a 的取值范围是 ( ,1] ．
a 1 ．
练习１
已知函数 f ( x) | 2 x 1 | | 2 x 3 | ． 若关于 x 的不等式 f ( x) | a 1 | 的解集非空，求实数 a
(4) f x g( x ) g ( x ) f x g ( x )
(5) f x g x f x g x
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复习
1. 含绝对值不等式的解法 形如
| x a | | x b | c
的取值范围．
答案： a 3 或
设函数 f ( x) | x 1 | | x a | ．
a5
如果 x R ， f ( x) 2 ，求实数 a 的取值范围． 答案： a 1 或
a3
例2. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围. 解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 令 f ( x) | x 4 | | x 3 | ，则
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 （
B）
(D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的 不是空集？ ( , 2] 取值范围是---------（2，+∞）
例1. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 因为 | x 4 | | x 3 || ( x 4) ( x 3) | 1 ，当且仅当
( x 4)( x 3) 0
1 , x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 1, x 4.
则函数 f ( x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ． 故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2 已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a , 若不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．