含绝对值的不等式恒成立问题
高一数学 含有绝对值的不等式解法(启东名师)
含有绝对值的不等式解法江苏省启东中学 王建彬知识精讲1.含绝对值的不等式的同解原理源于实数绝对值的定义． 若x ∈R ，a ∈R ＋，|x|≥0恒成立；a x a a x <<-⇔<||恒成立；a x a x >⇔>||或a x -<恒成立．2.理解不等式||||b a -≤||b a +≤||||b a +，正确应用||||b a -≤||b a ±≤||||b a +，重视“取等号”的条件．3.解含绝对值的不等式的思路是：将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解．4.解题的过程仍是转换，化归、化简的过程，具体地表现于运算． 由于绝对值符号束缚了运算，故应化去绝对值符号，以获得运算的自由． 化去绝对值符号的常用方法有：定义化简法、区间化简法、平方化简法、分类讨论法等．解含有两个或两个以上绝对值符号，并且其形式是和或差的不等式可用零点分段法来分段讨论求解，但在求解过程中，注意不要丢掉区间端点的讨论．处理与绝对值有关的不等式的基本思路是依据绝对值的定义或性质，化归为不含绝对值的问题来解决． 如解绝对值不等式的基本模式是：)()()(|)(|x g x f x g x f >⇔>或)()(x g x f -<；)()()()(|)(|x g x f x g x g x f <<-⇔<；22)]([)]([|)(||)(|x g x f x g x f >⇔>．对含多个绝对值的不等式可按照定义，分段讨论． 对于含绝对值的客观题（选择题、填空题等）有时可用特殊化法处理.数学思想 含绝对值的不等式中蕴含了丰富的数学思想方法，其中涉及的有①分类讨论思想.如分区间讨论去绝对值符号，运用的就是分类讨论的思想;②数形结合思想.如利用绝对值的几何意义解决某些最值问题;③等价转化思想.这是我们处理绝对值不等式的基本思想.对数学思想的灵活应用，是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方法.典例精析不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 2233,0 的解集是（ ）(A) {x|0＜x ＜2} B ． {x|0＜x ＜2．5} C ． {x|0＜x ＜6} D ． {x|0＜x ＜3} 分析一 运用分类讨论求解解法一 因为x ＞0，故可分两种情形讨论第二个不等式的解．当0＜x ≤2时，得(2＋x)(3－x)＞(2－x)(3＋x)，即2x ＞0，故得0＜x ≤2 ．当x ＞2时，得(2＋x)(3－x)＞(x －2)(3＋x)，即x 2＜6，故得2＜x ＜6．综合，得不等式组的解集：{x|0＜x ＜6}，故选C ． ．分析二 运用等价转化法求解．解法二 由x x x x +->+-2233 可知033>+-xx ， 两边平方，原不等式组等价于60.0)6)(6(,0<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+>⇔x x x x x ，故选C ． ． 分析三 运用特殊值验算法求解．解法三 由四个选项可知，只要代入2，2.5，6，3即可分晓，x=2代入不等式成立，选项(A)可排除；x=2.5代入得4.5＞5.5不成立，选项B 可以排除；x=3代入得510>不成立，同理排除D ，故C 正确 ．总结 解法一的去掉绝对值号分段讨论，解法二的平方转化法，虽然都是常规解法，但这样解与解答题无异，与选择题的快速、低分值是不相称的，尤其是运算量大的选择题，必须选择解答选择题的最佳方法，如利用选项提供的端点进行半估半算，逐一排除不正确的选项，这样比常规解法更快捷 ．实际上，6=x 代入时，使不等式对应的方程xx x x +-=+-2233成立，与6非常接近的数使得不等式成立，根据函数、方程、不等式三者间的特殊关系，可猜想C ．成立． 这比解法一的常规解法，去掉绝对值符号分类讨论，和解法二中的平方升次求解都简捷．解不等式|x ＋1|－|x －1|＞1．分析 本题含两个绝对值符号，可以通过讨论，或用平方的方法来去绝对值号加以解决． 解法一 （分段讨论）不等式左边有两个零值点x 1=－1，x 2=1，于是可分为三段进行讨论．（1）当x ＜－1时，原不等式可化为⎩⎨⎧>-++--<,11)1(,1x x x 解得 ∅∈x ．（Ⅱ）当－1≤x ≤1时，原不等式可化为解得 x <21≤1 ． （Ⅲ）当x ＞1时，即不等式可化为解得 x ＞1 ．综上，原不等式的解集为 }21|{>x x ． 总结 含两个或两个以上绝对值号的不等式，可先求出每个绝对值的零值点，这些零值点把数轴分为若干区间，可从左到右，对每个区间上的情况进行讨论，得出不等式在各区间上的解集，再把它们并起来，即为原不等式的解集．解法二 （平方法）1|1||1|1|1||1|+->+⇒>--+x x x x ，两边平方可得 1|1|2121222+-++->++x x x x x ，整理得 212|1|-<-x x ， 等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-->--<-).212(1,2121x x x x解得 21>x ． ∴ 原不等式解集为 }21|{>x x ． 总结 移项后，不等式两边均非负，可以使用不等式的性质同解变形，去掉一个绝对值符号，整理后，即转化为已有固定模式而获解决．x 的等式22(1)(1)22a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤（其中a R ∈）的解集依次记为A 与B ．求使A B ⊆的a 的取值范围．分析 先求出两不等式的解集，也就是化简集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论，再结合数轴求出使A B ⊆的a 的取值范围． 解 由2211(1)(1)22x a a -+≤-，得222111(1)(1)(1),222a x a a --≤-+≤- 2222(1)(1)(1)(1)22a a a a x +--++-≤≤, ∴{}221A x a x a =≤≤+．由23(1)2(31)0x a x a -+++≤，得(2)[(31)]0x x a --+≤，当312,a +≥即13a ≥时，得{}|231B x x a =≤≤+． 当312,a +<即13a <，得{}|312B x a x =+≤≤． 当13a ≥时，若使A B ⊆，只要222131a a a ≤⎧⎨+≤+⎩，得13a ≤≤． 当13a <时，若使A B ⊆，只要231212a a a +≤⎧⎨+≤⎩，得a ＝－1． 综上，使A B ⊆的a 的范围是{}|131a a a ≤≤=-或．总结 （１） a ＝－1容易漏掉，由312a a +≤，得1a ≤-，由212a +≤，得11a -≤≤，那么1a ≥-又要1a ≤-，只有a ＝－1．（２）利用条件A B ⊆时，借助数轴进行数形对照转化有助于增强解题的直观性．高考链接(2004年全国高考北京卷)某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=5km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
绝对值不等式的恒成立问题
绝对值不等式的恒成立问题【例4】(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．【解】(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集．(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解：(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x >32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，或 ⎩⎨⎧ －12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，或 ⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.。
第二十二讲 绝对值不等式恒成立能成立问题(经典题型+答案)
第二十二讲 绝对值不等式问题 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。
例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。
例3：3232≤---x x解：222|2|3|2|||2||333x x x x x ---=----+根据同小反大原理负号的绝对值较大，属于反大类型，故有最大值2224|2|||2||23333x x x -----≤-=，不等式解集为R 。
秒杀秘籍:绝对值不等式之最值确定之前谈到绝对值不等式，主要谈及不等式的数轴解法，但对于一些不等式如2236x x x +++>-之类的，就需要另外的解法。
定理1：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =-+-=-+-+-≥-+-，当x b =时取得最小值a b -； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x m x a n x b =-+-()()m x a x b n m x b =-+-+-- ()m a b n m x b ≥-+--；故两个一次绝对值不等式之和能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。
定理2：()2f x x a x b x a x b x b a b x b =---=-----≤---，当x b =时取得最大值a b -； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x m x a n x b =---()()m x a x b n m x b =------ ()m a b n m x b ≤----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最大值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最大。
定理3：()2f x x a x b x a x b x a x a a b =---=---+-≥---，当x a =时取得最小值a b --； 这个定理可以演绎为：当0n m ≥>时；()f x n x a m x b =---()()m x a x b n m x a =---+-- ()n m x a m a b ≥----；故两个一次绝对值不等式之差能求出最小值，并且在绝对值系数较大的部分为零时取到最小。
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究
结论 2 关于 x 的不等式 |f (x)| + |g(x)| > h(x) 成立的 充要条件是 |f (x) + g(x)| > h(x) 或 |f (x) − g(x)| > h(x) 成 立.
解析 根据结论 1, 因为 x2 − a + |2x + a| < 10 对 x ∈ [0, 2] 恒成立, 所以 x2 + 2x < 10 且 x2 − 2x − 2a < 10 对 x ∈ [0, 2] 恒成立, 所以 x2 + 2x < 10 对 x ∈ [0, 2]
引理 2 关于 x 的不等式 |f (x)| > g(x) 成立的充要条件 是 f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x) 成立.
结论 1 关于 x 的不等式 |f (x)| + |g(x)| < h(x) 成立的 充要条件是 |f (x) + g(x)| < h(x) 且 |f (x) − g(x)| < h(x) 成 立.
⇔
|g(x)| < f (x) + h(x)
g(x) < −f (x) + h(x) g(x) > f (x) − h(x)
⇔
g(x) < f (x) + h(x) g(x) > −f (x) − h(x)
−h(x) < f (x) + g(x) < h(x)
⇔
−h(x) < f (x) − g(x) < h(x)
点题 不等 式 |f (x)| + |g(x)| < h(x) 对 x ∈ D 恒成
⃝1 当 a < − 9 时, 因为 −x − 2a > 0, 根据参考文献
绝对值不等式恒成立
1． 已知当[]1,3x ∈，不等式21a x a -≥-恒成立，则a 的取值范围是．解法一：结合()2f x a x =-的图象分类讨论： 当21a ≤，即12a ≤时，112a a -≤-，解得12a ≤ 当23a ≥，即32a ≥时，123a a -≤-，解得2a ≥ 当123a <<，即1322a <<时，10a -≤，解得112a <≤ 综上可知： 1a ≤或2a ≥解法二：当1a ≤时显然成立当1a >时，有2121a x a x a a -≥-⇔-≥-或21x a a -≤-进而有：min13x a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()max 1a x ≥-所以23a ≤或2a ≥ 综上：1a ≤或2a ≥2．设实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件a 组成的集合是。
解法一：设()232f x x a x a =-+-当0a ≥时，()53,22,23253,3a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以23a a ≤，解得103a ≤≤ 当0a <时，()253,32,3253,2a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以23a a ≤-，解得103a -≤< 综上，1133a -≤≤解法二：由齐次化思想，令()x at t =∈R ，则原不等式为22132a t a t a -+-≥ 转化为2132a t t ≤-+-对任意t ∈R 恒成立易得()min 121323t t -+-= 所以13a ≤，解得1133a -≤≤2015年浙江第18题3.设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值 （1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
考点121 含绝对值不等式的恒成立问题
或 或
或 ．
(2)原命题 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
．
当 时， ；当 时， ，∴不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，∴ ．
当 ， 时，
∴ 的取值范围是 ．
8．（2018全国Ⅰ文理）已知 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时不等式 成立，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
(2)当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
（2）当 时， ，∴ 的解集包含 ，等价于当 时 ．
又 在 的最小值必为 与 之一，∴ 且 ，得 ，∴ 的取值范围为 ．
13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
当 时， 无解；
当 时，由 得， ，解得 ；
当 时，由 解得 ．
若 ， 的解集为 ，∴ ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
9．（2018全国Ⅱ文理）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时，
可得 的解集为 ．
(2) 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，∴ 的取值范围是 ．
10．（2018全国Ⅲ文理）设函数 ．
考点121含绝对值不等式的恒成立问题
6．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【思路导引】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
含绝对值不等式的恒成立的问题
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
例2(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
题型一 绝对值不等式的解法
题型二 利用绝对值不等式求最值
题型三 绝对值不等式的综合应用
例1(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.
解①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)
当x<－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，
解绝对值不等式恒成立应注意的问题
值， 因为 点 Ｎ为一 动点 ， 以需求 Ｏ ・ Ｍ 的值 ． 所 Ｎ Ｏ
解 连结 Ｏ 因 为 Ａ Ｃ 是 正方 形 ， 以 Ａ． Ｂ０ 所
０ ＡＭ ＋ Ｃ ＝ ４。 ５．
关 面积 的问题 ， 能抓 住 与 之有 关 的 面积 的基 本 若
图形 ， 析问题 ， 分 常能化 难 为易 ， 繁为简 ， 问题 化 使
迎刃 而解 ．
又由 Ｏ ＡＭ ＋ Ｏ ＡＮ ＝ ４ 。 ５，
解 绝对值 不等 式恒 成 立应 注 意 的 问题
蒋鼎 宏 （ 江苏省 淮 阴中学 ２３０ ） ２ ０ ０
在处 理含绝 对值不 等式 恒成 立 问题 时 ， 常 常 会 遇 到 这 样 两 种 类 型 ： ｌ， ｚ Ｉ ｇ ） 和 （） ≥ （
即 ｎ＞ ｉ ｎ ｚ— Ｉ ｎ
解
将 原 命 题 先 转 化 为 ｆ口一 Ｉ ＋ ｎＸ Ｉ
≥ ｏ 又 Ｉ — ・ ｎ
对 意 ｚ 『，］成 ， ① Ｉ ≤ ｏ， 法 ２知 Ｉ 任 的 ∈百÷恒 立 １ ｎ 由解 ｎ 故ｎ ＞ ｉ ｌ ３ ｎｘｍ ｎ ｚ ｘ ［，］ Ｉ ｌ ０， 以 ｌ 一 Ｉ — Ｉ ／ ∈吉÷或 ｎ ≥ 所 以 ｎＸ ｌ ｎ ｎ （ ＋ ￣３ｒ ∈百号． ② 号的条件是 ｎ— Ｉ ＜ ・ ・ Ｘｉ ［， ｎ ｎ ）Ｘ １ ］ ａ ｎ ｎ÷．
≤ ｇ（ ）一 ５， 以 一 １≤ ｄ≤ ３， 为 所 求 ． ２ 所 即
解法 １是 利用 绝 对值 不 等式 的定义 ， 结 合 再 解不 等式 恒 成 立 的 通 用 方 法 将 其 转 化 为 最 值 问 题 ； 法 ２是 利用数 形结 合的思 想 ， 合 函数 的性 解 结 质 ， 出两个 函数值 的大小 关 系 ， 找 从而解 出 ｎ的取 值 范 围． 这两种 方法 各有千 秋 ， 是解决 这类 问题 都
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含参绝对值不等式恒成立问题
【评注】
本题就是绝对值不等式恒成立问题的典型，将不等式左端视为新函数，求出该函数的最大值，然后转化为一元二次不等式的解法。
法1利用零点分段法，思路清晰，作出图象，直观明了；法2利用绝对值三角不等式，简洁迅速，二者殊途同归。
在小题中，提倡用法2，节约时间。
【评注】
恒成立的对立面就是无解，要使原不等式无解，只需右端比左端的最小值还小即可。
于是本题转化为左端函数的最小值问题，所用方法与例题1一致。
【评注】
本题中，应用零点分段法没有什么可说的，值得注意的是法2，对于变量系数不相同时，怎么拆分利用绝对值三角不等式，这是很多人都面临的困难，本题给出了答案。
专题23 不等式选讲-备战2022年高考数学(理)母题题源解密(全国乙卷)(解析版)
专题23 不等式选讲【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【试题解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）a b a b+≤+.（2）a b a c c b-≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ;ax b c ax b c x a x b c+≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【命题方向】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等.【得分要点】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；（3）零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即①定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立.③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.（二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.（三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b +≥a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即123n n n a a a a n +++≥，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数()()1a x a x x f =-++∈R ．（1）当6a =时，解不等式()9f x ≥；（2）若()220f x a -≥对任意x ∈R 成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）(][),27,-∞-+∞；（2）1． 【分析】 (1)根据题意，讨论去绝对值即可求解；(2)由题意得，()2min 2f x a ≥，结合绝对值的三角不等式即可求出()min f x ，进而可得实数a 的最大值． 【详解】(1)当6a =时，()6161f x x x x x =-++=-++，此时不等式()9f x ≥为619x x -++≥，∴6,619x x x >⎧⎨-++≥⎩或16,619x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或1,619x x x <-⎧⎨---≥⎩， 解得7x ≥或2x -≤，即所求不等式解集为(][),27,-∞-+∞． (2)∴11a x x a x x -++≥-++， ∴11a x x a -++≥+，又()220f x a -≥对任意x ∈R 成立， ∴212a a +≥，∴112a -≤≤， ∴所求实数a 的最大值为1．2．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（理））已知函数()|21||2|,()|1|||f x x x g x x x a a =-++=+--+．（1）解不等式f (x )>3；（2）对于∀x 1，x 2∈R ，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；（2）34a ≤． 【分析】 （1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）依题意即()()min max f x g x ≥，所以求出()min f x 和()max g x ，得到关于a 的不等式，解出即可．【详解】解：（1）由2313x x ≤-⎧⎨-->⎩或12233x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或12313x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩，解得0x <或23x >， ∴()3f x >的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． （2）因为()|21||2|,()|1|||f x x x g x x x a a =-++=+--+所以()|21||2|f x x x =-++函数图象如下所示：所以当12x =时，()min 52f x =； ()()()|1|||11g x x x a a x x a a a a =+--+≤+--+=++当且仅当()()10x x a +-≥时成立，即()max 1g x a a =++．由题意，得()()min max f x g x ≥，即512a a ++≤，即512a a +≤-， ∴225025(1)()2a a a ⎧-⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩，解得34a ≤． ∴的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 3．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知函数()|6||8|f x x x =---.（1）解不等式()1f x >；（2）记()f x 的最大值为t ，若||,||m t n t <<，求证：42mn m n+>+. 【答案】（1）15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由()1f x >，得到|6||8|1x x --->，分类讨论，即可求解；（2）由绝对值三角不等式，求得()2f x ≤，得到2t =，即||2,||2m n <<，要证42mn m n+>+，只需证22(4)4()mn m n +>+，结合比较法，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()|6||8|f x x x =---，因为()1f x >，即|6||8|1x x --->，可得6681x x x ≤⎧⎨-+->⎩或68681x x x <<⎧⎨-+->⎩或8681x x x ≥⎧⎨--+>⎩， 解得x 无实根或1582x <<或8x ≥， 综上可得，不等式()1f x >的解集为15,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）由()|6||8||68|2f x x x x x =---≤--+=，当且仅当(6)(8)0x x --≥，且|6||8|x x ->-，即8x ≥时取等号，所以2t =，即||2,||2m n <<， 要证42mn m n+>+， 只需证|4|2||mn m n +>+，即证22(4)4()mn m n +>+，(22222(4)4()8164mn m n m n mn m +-+=++-+)22n mn +()()222222441644m n m n m n =--+=--.又224,4m n <<，所以()()22440m n -->， 所以22(4)4()mn m n +>+，即|4|2||mn m n +>+，所以42mn m n+>+. 4．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数()|1||2|f x x x =-++∣(1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)当()f x 取最小值时，求使得21mx m x -=+成立的正实数m 的取值范围.【答案】(1)[]5,4-；(2)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】(1)根据零点分段讨论法进行分类讨论解不等式；(2)利用绝对值不等式的性质求出当()f x 取最小值时x 的取值范围，并对式子21mx m x -=+进行变形，从而可求正实数m 的取值范围.【详解】(1)由不等式()9f x ≤，可得()129f x x x =-++≤，可化为2129x x x <-⎧⎨---≤⎩或21129x x x -≤≤⎧⎨-++≤⎩或1129x x x >⎧⎨-++≤⎩， 解，得52x -≤<-或21x -≤≤或14x <≤，综上知不等式的解集为[]5,4-.(2)因为()1212123f x x x x x x x =-++=-++≥-++=，当且仅当(1)(2)0x x -+≤，即21x -≤≤时，等号成立.故当21x -≤≤时，min ()3f x =，法一：当()f x 取最小值时，21mx m x -=+，即211m x m +=-， 所以021211m m m >⎧⎪+⎨-≤≤⎪-⎩，即021212111m m m m m ⎧⎪>⎪+⎪≥-⎨-⎪+⎪≤⎪-⎩，解得104m <≤， 故所求m 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 法二：13122x m x x +==+-- 因为21x -≤≤，所以421x -≤-≤-，所以11124x -≤≤--， 所以33324x -≤≤--，即312124x -≤+≤-，所以104m <≤， 故所求m 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ 5．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知函数()()21f x x a x a R =-++∈. （1）当2a =时，解不等式()4f x <；（2）记关于x 的不等式()5f x x ≤+的解集为M ，若[]1,2M -⊆，求a 的取值范围. 【答案】（1）71,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）[]0,1. 【分析】（1）分类讨论去绝对值符号，然后解不等式即可；（2）首先根据x 的范围，确定10x +≥，50x +>，然后解不等式得到22a x a -≤≤+.，进而根据集合的包含关系得到不等式组，解不等式组即可.【详解】解：（1）当2a =时，()221f x x x =-++，原不等式可化为14214x x x <-⎧⎨---<⎩，或124214x x x -≤≤⎧⎨-++<⎩或22414x x x >⎧⎨-++<⎩，解得x ∈∅或12x <≤或723x <<， ∴原不等式的解集为71,3⎛⎫⎪⎝⎭. （2）若()5f x x ≤+的解集包含[]1,2-，即当[]1,2x ∈-时，215x a x x -++≤+恒成立，由于在[]1,2-上，10x +≥，50x +>， ∴11x x +=+，55x x +=+， ∴()5f x x ≤+，等价于24x a -≤， 即2x a -≤，22x a -≤-≤，∴22a x a -≤≤+.由于当[]1,2x ∈-时该不等式恒成立，∴21a -≤-且22a +≥，∴01a ≤≤，即a 的取值范围为[]0,1.6．（2021·河南高三其他模拟（理））已知函数()32x x a f a =-+.（1）当1a =-时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）设函数()1g x x =-，当x ∈R 时，()()39f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（1）823x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[)4,+∞. 【分析】（1）将所求不等式变形为317x +≤，解此不等式即可得解；（2）利用三角不等式可得()()min 3f x g x +⎡⎤⎣⎦，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，()312f x x =+-. 由3125x +-≤，得317x +≤，整理得7317x -≤+≤，解得823x -≤≤， 因此不等式()5f x ≤的解集为823x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）当x ∈R 时,()()33233333232f x g x x a a x x a x a a a +=-++-≥--++=-+. 所以当x ∈R 时，()()39f x g x +≥等价于329a a -+≥.∴当3a ≤时，∴等价于39a +≥，无解；当3a >时，∴等价于329a a -+≥，解得4a ≥.所以a 的取值范围是[)4,+∞.7．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））设函数()121f x x x =--+的最大值为m ． （1）作出函数()f x 的图像；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值．【答案】（1）图像见详解；（2）34 【分析】（1）去绝对值将函数写成分段函数的形式，接着画出函数图像即可；（2）由（1）知32m =，接着利用基本不等式求2ab bc +的最大值即可.【详解】 （1）12,21()1213,122,1x x f x x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩， 作出函数()f x 的图像如下：（2）由（1）可知：函数()121f x x x =--+的最大值为13()22m f =-=， 所以()22222223232242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+, 当且仅当12a b c ===时等号成立， 所以3242ab bc ≥+，即324ab bc +≤， 所以2ab bc +的最大值为34. 8．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知函数()42f x x m x m =---，m ∈R ． （1）若2m =，求不等式()1f x x >+的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x m ≤-恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）(),3-∞；（2）(][),33,-∞-+∞．【分析】 （1）分4x <、48x ≤≤、8x >讨论去绝对值，解不等式可得答案；（2）利用a b a b -≤-解不等式可得答案.【详解】（1）当2m =时，不等式()1f x x >+，即841x x x --->+，∴当4x <时，841x x x -+->+，解得3x <，故3x <；∴当48x ≤≤时，841x x x --+>+，解得113x <，故此时无解； ∴当8x >时，841x x x --+>+，解得5x <-，故此时无解；综上，不等式()1f x x >+的解集为(),3-∞．（2）∴()42422f x x m x m x m x m m =---≤--+=，∴由不等式()23f x m ≤-恒成立，得223m m ≤-， 即2230m m --≥，即3m ≥，解得3m ≥或3m ≤-．∴实数m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞．9．（2021·吉林高三其他模拟（理））已知0a >，函数()12f x x x a =++-，()g x ax a =+ （1）当1a =时，解不等式()2f x ≤；（2）若函数()y f x =的图象恒在()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围.【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,1. 【分析】（1）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得不等式()120x x a ax a a ++->+>恒成立.去绝对值，结合不等式恒成立思想和一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.解：【详解】（1）当1a =时，不等式()2f x ≤即为1212x x ++-≤， 等价为11122x x x ≤-⎧⎨--+-≤⎩或1121122x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或121212x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-≤⎩， 解得x ∈∅或102x ≤<或1223x ≤≤，所以原不等式的解集为20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）若函数()y f x =的图象恒在()y g x =的图象的上方， 则不等式()120x x a ax a a ++->+>恒成立.当1x ≤-时，12x a x ax a --+->+，即为()13a x ->+恒成立，可得()13a ->-+，解得2a >-，则0a >； 当12a x -<<时，12x a x ax a ++->+，即为()11a x >+恒成立， 可得()112a a +⋅≥，解得20a -≤≤，则01a <≤； 由上面可得01a <≤， 又当2a x ≥时，12x x a ax a ++->+，即为()123a a x ->-恒成立， 由于01a <≤，30a -<，可得()()332a a x a --≤， 则()1232a a a ->-， 解得21a -≤≤，则01a <≤.所以，a 的取值范围是(]0,1.10．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知,,a b c 均为正数，且满足 1.abc =证明：（1）3ab bc ca ++；（2）333a b c ab bc ac ++++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由基本不等式可以直接证出；（2）由基本不等式得33333313,13,13a b ab b c bc a c ac ++++++，再用不等式得基本性质即可证得.【详解】（1）由基本不等式可知322233ab bc ac a b c ++=，当且仅当1a b c ===时，等号成立．（2）因为33333313,13,13a b ab b c bc a c ac ++++++，所以三式相加可得()()33323 3.a b c ab bc ac ++++-故只需证明()()332ab bc ac ab bc ac ++-++，即证 3.ab bc ac ++由（1）可知上式成立，故不等式333a b c ab bc ac ++++当且仅当1a b c ===时，等号成立． 11．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函数()222f x x x =+--.（1）解不等式()6f x ≥.（2）已知0a >，0b >，()()1g x f x x =-+的最大值m ，11m a b +=，求22a b +的最小值. 【答案】（1）{10x x ≤-或}2x ≥；（2）最小值为89. 【分析】（1）分2x >，12x -≤≤和1x <-三种情况解不等式；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最大值为3m =，从而得113a b+=，所以()222221119a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，化简后利用基本不等式求解即可 【详解】解：（1）函数()4,22223,124,1x x f x x x x x x x +>⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪--<-⎩，当2x >时，不等式()6f x ≥即为46+≥x ，解得2x ≥，所以2x >；当12x -≤≤时，不等式()6f x ≥即为36x ≥，解得2x ≥，所以2x =；当1x <-时，不等式()6f x ≥即为46x --≥，解得10x ≤-，所以10x ≤-.综上所述，不等式()6f x ≥的解集为{10x x ≤-或}2x ≥；（2）()()()()112123=-+=+--≤+--=g x f x x x x x x ，所以()g x 的最大值为3m =， 则113a b+=， 故()222222222111122299⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b a b b a18299⎛≥+= ⎝， 当且仅当2222a b b a=且22a b b a =，即23a b ==时取等号， 故22a b +的最小值为89. 12．（2021·福建省永春第一中学高三其他模拟）已知函数()|22||1|f x x x =++-．（1）在图中的坐标系中画出()y f x =的图象；（2）若()y f x =的最小值为m ，当正数a ，b 满足22a b m +=，证明：2a b ab +≥．【答案】（1）函数图象见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）将函数解析式转化成分段函数，再根据函数解析式画出函数图象；（2）由（1）可得2m =，再利用基本不等式和不等式的传递性，即可得证．【详解】解：（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=++-=+-⎨⎪+>⎩，其图象如图所示（2）由（1）可知，()(1)2min f x f =-=，2m ∴=所以222a b +=，0a >，0b >，因为222a b ab +，所以1ab ，2a b ab +，则12， 即有122ababa b +，当且仅当a b =时，取等号． 所以2a b ab +．13．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数f (x )=|x ﹣m |+|x +2m |.（1）当m =﹣1时，求不等式f (x )≤7的解集；（2）若不等式f (x )≤9有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[﹣3，4]；（2）[﹣3，3].【分析】（1）代入m 的值，用零点分段讨论法求解即可；（2）用三角不等式求得()f x 的最小值，进而可得结果.【详解】（1）m =﹣1时，f (x )=|x +1|+|x ﹣2|=21,23,1212,1x x x x x -⎧⎪-<⎨⎪-<-⎩，∴ x ≥2时，2x ﹣1≤7，解得：2≤x ≤4，x <﹣1时，1﹣2x ≤7，解得：﹣3≤x <﹣1，﹣1≤x <2时，3<7成立，解得：﹣1≤x <2，故不等式的解集是[﹣3，4]；（2）因为()2()(2)33f x x m x m x m x m m m =-++≥--+=-=， 所以min ()3f x m =，依题意可得39m ≤，解得33m -≤≤，即实数m 的取值范围是[3,3]-.【点睛】结论点睛：对于不等式有解问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥有解min ()a f x ⇔≥；（2）()a f x ≤有解max ()a f x ⇔≤.14．（2021·黑龙江高三其他模拟（理））已知函数()|2|||f x x x a =---.（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.【答案】（1）空集；（2）[1,3].【分析】（1）根据零点分段法即可解出；（2）根据绝对值三角不等式求出函数()f x 的最大值为|2|a -，再解不等式|2|1a -≤即可求出．【详解】（1）1a =时，()|2||1|f x x x =---当2x ≥时，()|2||1|1f x x x =---=-当12x ≤≤时，()|2||1|21323f x x x x x x =---=--+=-≥，无解当1x ≤时，()|2||1|1f x x x =---=不等式()3f x ≥的解集是空集；（2）若()1f x ≤，()|2||||(2)()||2|f x x x a x x a a =---≤---=-所以max ()|2|f x a =-，即有|2|112113a a a -≤⇔-≤-≤⇔≤≤a 的取值范围是[1,3].15．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））已知函数())||2|1|(f x x a x a R =-++∈.（1）当4a =时，解不等式()8f x <；（2）记关于x 的不等式()2|3|f x x ≤-的解集为M ，若[4,1]M --⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()2,2-；（2）[]9,4-.【分析】（1）当4a =时23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，进而分类讨论求解即可；（2）根据题意得当[4,1]x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，进而得||8x a -≤恒成立，再结合[4,1]x ∈--即可得答案.【详解】解：（1）当4a =时，()421f x x x =-++，不等式可转化为23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，若()8f x <，1238x x <-⎧⎨-<⎩或1468x x -≤≤⎧⎨+<⎩或4328x x >⎧⎨-<⎩ 解得：21x -<<-或12x -≤<或x ∈∅，综上，不等式的解集是()2,2-.（2）若[]4,1M --⊆，()23f x x ≤-，即当[]4,1x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，在[4,1]--上，10x +≤，30x -≤， |1|1x x ∴+=--，|3|3x x -=-，()23f x x ∴≤-等价于8x a -≤，即88x a -≤-≤，当[]4,1x ∈--时该不等式恒成立， 1848a a --≤⎧∴⎨--≥-⎩，解得94a -≤≤. 即a 的范围是[]9,4-.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，根据解集求参数，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将解不等式转化为恒成立问题求解.。
含绝对值不等式恒成立问题的解法
例 ｌ 已知 函数 ． 厂 （ ） 是偶 函数 且 在 ［ ０ ， ＋ ） 上
［ ｏ ， ２ ］ 上单 调递增 ， 则 ① ｆ （ ｚ ） 是 偶 函 数 ；② ＿ ， （ ） 是 周期 函数 ；③ ． 厂 （ １ ５ ） 一０ ；④ ＿ 厂 （ ） 在［ 一１ ８ ， 一１ ６ ］ － ｋ 单调 递减 ； ⑤ ， ’ （ ） 图象 关 于直 线 ｚ：３对称 ， 正确 的
２ ） ＝厂 （ ２ 一ｚ ） ， 又 ， ’ （ ｚ十 ２ ） 一一ｆ （ ｚ ） ， 故 厂 （ ２ 一ｚ） ＝
～
厂 （ ） ，所 以 厂 （ － ｚ ） 的图象 关 于点 （ １ ， ０ ） 对称 ． 根 据 对
最 ［ １ １ ａ ｘ ＋
＋ ｌ ￣Ｏ
＇
≤
一
，
或 （ ＿ 杰 二 ？ ； ￣ 一 ２ － ． ； Ｕ 在 ∈ ，
象 的对 称点 ． 故正 确 的命 题有 ①② ③④． 以上例 题 中 ， 例１ 、 例 ２主要 利用 ＇ 『双对 称 函数具 有周期 性． 而例 ３ 、 例４ 、 例 ５的解法 有 如 下解 题 规律 ： 先设法 求 出 函数 的 周期 、 某 一 条 对称 轴 、 某 一 个 对 称
则难免 出错．
■●
０ ２ ４ ＼ ＼ ６ ／８
／ ｌ
所 以 ４ － ２ ＋３ ２ ３ 十 ４ 一 ６× ２ ＋２ Ｘ ２ 一一８ ．
一
例 ５ 定义 在 Ｒ上 的 函数 ． 厂 （ ） 满足 ｆ （ ｘ ＋２ ） ＝ ＝ ＝ ／ （ ｚ ） ， 且 ／（ ＋２ ） 图 象关 于 轴 对 称 ， 且 ／ （ ） 在
．
， （ ～４ ） 一． ， （ 一 ） ， 故 ， ‘ （ ） 的 图象 关于 直 线 工 一 一２
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究是一类具有重要意义的数学问题，它是极小优化问题的一种形式，它可以用来求解最优化和最佳化问题。
它的研究涉及到多种领域，其中有投资学、运输规划、库存管理、排队论、能源管理、社会经济学、统计学、概率论和信息论等。
恒成立问题是指在给定的条件下，线性方程组的解必须满足给定的约束条件。
在绝对值不等式的约束条件中，存在由|x-c|≤b所组成的约束条件，其中x∈R,c∈R,b≥0。
事实上，这种约束条件有时也被称为“一般约束条件”，它是现代数学和工程应用中经常使用的约束条件。
含两个绝对值不等式的恒成立问题是一类比较复杂的极小优化问题，它包括了线性、二次和非线性规划问题，它主要是通过改变某些变量的取值，使得一组约束条件永久地满足而追求最优解。
一般来说，可以采用数学优化的方法来解决这类问题。
数学优化的方法可以分为两大类，即有限解法和无限解法。
有限解法是将恒成立问题转换为极小优化问题，然后使用梯度下降算法、拟牛顿法、模拟退火法等方法来解决极小优化问题，以获得最优解。
无限解法是利用凸优化技术，如Kuhn-Tucker条件、Karush-Kuhn-Tucker条件、Lagrange乘子法等，将恒成立问题转化为凸优化问题，以便获得最优解。
此外，含两个绝对值不等式的恒成立问题还可以使用元素法、随机搜索法和贝叶斯优化等方法来解决。
元素法是指将最优化问题转换为一系列子问题，然后逐个解决子问题，最后合并子问题的解来获得最优解。
随机搜索法是通过在可行域内随机生成解来解决恒成立问题，这种方法可以在不知道原问题的情况下搜索出近似最优解。
贝叶斯优化是一种启发式优化方法，它利用贝叶斯理论来对恒成立问题进行求解。
总之，含有两个绝对值不等式的恒成立问题的研究是一类具有重要意义的数学问题，它不仅可以用来求解极小优化问题，而且还可以用于投资学、运输规划、库存管理、排队论、社会经济学、统计学、概率论和信息论等领域。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先利用根式的性质将函数的解析式化为含绝对的函数，在将具体化为，利用零点分析法化为不等式组，通过解不等式组解出的解集；（Ⅱ）利用零点分析法，通过分讨论将的解析式化为分段函数，作出函数的图像，由函数知，函数图像是恒过（3,0），斜率为的直线，由对任意的都成立知，函数的图像恒在函数的上方，作出函数的图像，观察满足的条件，求出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或． 5分（Ⅱ）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为. 10分【考点】根式性质，含绝对不等式解法，分段函数，数形结合思想，分类整合思想2. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质3.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．4.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．5.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.（1）由得，，或，或，解得：或，原不等式的解集为；（2）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则，解得：或所以实数的取值范围为.【考点】1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立6.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.7.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.8.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围．【答案】5＜b＜7【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以解得所以5＜b＜7.9.A．不等式的解集为B.如图，已知的两条直角边的长分别为3cm,4cm，以为直径的圆与交于点，则．C.已知圆的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标系为_______【答案】A．；B．；C．和【解析】A．当时，原不等式等价于，即不成立；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，即恒成立，所以原不等式的解集为．B．在中，．∵以为直径的圆与交于点，∴，∴，∴，∴．C．由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为．联立方程，得或，故所求交点的直角坐标为和．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、与圆有关的比例线段；3、直线与圆的参数方程．10. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.11.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题12.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法13.已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．【答案】【解析】因为，所以的最小值为.因为函数的图象恒在轴上方，所以因此有，解得．试题解析：解：的最小值为， 5分由题设，得，解得． 10分【考点】绝对值不等式的应用14.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) a＝2 (2) (－∞，5]【解析】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)方法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．方法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．15.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．16.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.【答案】2【解析】由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.17.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.18.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．【考点】绝对值不等式的解法．19.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．20.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是。
绝对值不等式总结
1设函数f(x)中含有绝对值，则(1)绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|.2.f(x)>a有解⇔f(x)max>a.(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解．3.不等式恰成立问题(1)不等式f(x)＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＞A的解集为D；(2)不等式f(x)＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＜B的解集为D.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法1.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在实数解，则实数a的取值范围是________.2.不等式3≤|5－2x|<9的解集为()A.[－2，1)∪[4，7)B.(－2，1]∪(4，7]C.(－2，－1]∪[4，7)D.(－2，1]∪[4，7)3.不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是()A.[－5，7]B.[－4，6]C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)D.(－∞，＋∞)4.已知不等式|2x－5|＋|2x＋1|>ax－1.(1)当a＝1时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求a的取值范围.5.已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.6.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.①当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；②若f(x)≤1，求a的取值范围.7. (1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值.(2)若a≥2，x∈R，证明：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.8.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.9.已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.10(1)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －3a |.①若f (x )的最小值为2，求a 的值；②若对∀x ∈R ，∃a ∈[－1，1]，使得不等式m 2－|m |－f (x )<0成立，求实数m 的取值范围.11.已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R . (1)求实数m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：|x －3|－2x ≤2n －4.12.已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范13. 已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )．(1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围．14.设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，求实数a 的取值范围． 14.已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)．(1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值； (2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围． 15.．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围．16.设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．17.．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．18.设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围． 19．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋8m ＋|x －2m |(m >0)．(1)求证：f (x )≥8恒成立； (2)求使得不等式f (1)>10成立的实数m 的取值范围．20.设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( )A.|a ＋b |＞|a －b |B.|a ＋b |＜|a －b |C.|a －b |＜||a |－|b || D .|a －b |＜|a |＋|b |21..不等式|2x －a |＜b 的解集为{x |－1＜x ＜4}，则a ＋b 的值为( )A.－2B.2C.8D.－822.设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |＜1.(1)解不等式|f (x )|＞5.(2)求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1).23.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围24.已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值；(2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围.25.设函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋g(x)＜2；(2)对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|x－2y＋1|≤3.。
含参数绝对值不等式恒成立问题的辨析与求解(长沙市南雅中学石向阳)
错解原因分析：错解问题到底出在哪里呢？下面
x∈M 内恒成立或 a ＜ f（x）- g（x）在 x∈M 内恒成立， 就这个问题的逻辑关系进行简单阐述.
且不知道错在哪里． 从两个问题探究出发，分析了错 解的原因在于没有考虑“或”命题恒成立逻辑上的第 三种情况． 在分析比较两个问题、探究三种经典解法 的基础上，归纳总结出解决这一类问题的通法．
一、问题探究
在 x∈M2 恒成立，但在 x∈M 不恒成立，且（M1∪M）2 勐M. 按此解释，问题 1 的错解，错在把“坌x∈M，p（x）∨
问题 1：已知不等式
a-
x2 + x 2
>
x2 - x 2
在 x∈
［0，1］上恒成立，求 a 的取值范围.
错解：原不等式转化为 a -
x2 + x 2
>
x2 - x 2
，
即 a ＞ x2 或 a ＜ x.
因为原不等式在 x∈［0，1］上恒成立，
所以 a ＞（x2）max = 1 或 a ＜（x）min = 0.
故 a 的取值范围为（-∞，0）∪（1，+∞）.
正解 1：因为 x∈［0，1］，
当 a > 1 时，原不等式的解集为｛x - 姨 a < x < 姨 a ，或 a < x < +∞｝勐［0，1］；
价转化.
正解 2 （数形结合）：令 f（x）= ax + 1 ，g（x）= 2 - x，
≠ ≠ 定义域均为
1 2
，1
.
可画出函数 y = g（x）的图象，而函数 y = f（x）的图
象过点（0，1）且在函数 y = g（x）的图象的上方，
由图
活跃在竞赛中的含绝对值不等式问题
Ｆ （ ） ＝ Ｊ ｓ ｉ ｎ ２ ＋ ） Ｉ ， 只 要 取 ＝ 詈 ， 。 ＝ ５ ， ｇ － ￣ ， ， ： ， 使 得 Ｆ （ ） 取 得 最 大 值 以 下 用 反 证 法 证 明 它 就 是 要 求 的 最 小 的 Ｍ 值 ． 若 设 Ｆ （ ） ≤ （ ０ ≤ ≤ ） ， 则 有 （ 詈 ） ≤ ， Ｆ （ ） ≤ ， Ｆ （ ） ≤ ， 即
１
＋
１
＋
１
＋
１
．
，
矛 盾． 因此 ， 存 在 ０ ， Ｙ ｏ ， 使０ ≤ ｏ ≤１ ， ０≤） ， ห้องสมุดไป่ตู้ ≤１ ， 且Ｉ ｘ ｏ ｙ ０ － ｆ （ ｏ ）一 ｇ （ Ｙ ｏ ） Ｉ ≥－ ２ － ．
若 ， … 满 足条件 ｎ
＝
。，
砉 Ｉ Ｘ ｉ ｌ ＝ １ ， 试 证 ： ｆ ｘ ＿ Ｌ ｆ ≤ １ 一 １ ．
（ １ ９ ８ ９年 全 国高 中数 学联 赛试 题 ）
３ 正 难则 反
对 于有 些 含绝对 值 的不 等 式 问题 ， 当我们 直接 去解 决有 困难 时 ， 不妨 换 一个 角度 ， 从其 反 面去思 考 ， 得 出矛 盾后 否定 假设 从 而证 明原命 题 的正 确性 ， 这就 是正难 则 反思 想 ， 体 现在解 题 方法 上就是 反证 法． 例 ３ 设厂 （ ） ， ｇ （ ） 是定义在 ［ ０ ， １ ］ 上 的 函数 ， 求证 ： 存 在 。 ， Ｙ ｏ ， 使 ０≤ ≤１ ， ０ Ｙ ｏ ≤１ ， 且Ｊ ． Ｘ ０ Ｙ ｏ 一
一 — ≤ ≤ ｝ 了 （ １ ≤ ≤ ｎ ） ． ・
一 —
１
≤
≤
一
由 Ａ ｂ ｅ ｌ 变 换 ， 得
含有绝对值不等式的解法-典型例题
含绝对值不等式的解法例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得｜x+3｜2>｜x-5｜2，即（x+3）2>（x-5）2,x>1．∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝．评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ）A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B．评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3．分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论．解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;①当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为｛x｜x<- ，或x>2｝．例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ）?或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得<x≤5，解（Ⅲ）得? x>5；（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集．说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5? 解不等式1≤｜2x-1｜<5．解法一：原不等式等价于① 或②解①得? 1≤x<3;解②得? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，? 或? -5<2x-1≤-1，即? 2≤2x<6，? 或? -4<2x≤0，解得? 1≤x<3，? 或? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析? 比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a≤｜x｜≤b a≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析? 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如下图．y1＝不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数形结合思想方法的优越性!。
含绝对值的不等式恒成立问题
(２)令y f (x) , y ax
由图象可知,
只需 y f (x) 的图象有落在 y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 故a 的取值范围是 a 1 或 a 2 .
2
练习3 设函数 f (x) | x 3 | | x 4 |
若存在实数 a 满足 f (x) ax 1 a ，试求实数 的取值范围.
1, x 4.
则函数 f (x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ．
故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2
已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a ,
若不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
分析：
3x 1 0, x 3,
f
(
复习
1. 含绝对值不等式的解法
形如 | x a | | x b | c (或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
2. 一类函数最值的求法
f (x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
2. 数形结合法：
对于 f (x) g(x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象
再处理.
1. 分离变量法：
通过参变分离,将问题转化为 a f (x) (或 a f (x)) 求最值；
a f (x) 对 x D 恒成立 a [ f (x)]max
a f (x) 对 x D 恒成立 a [ f (x)]min
类似的
a f (x) 对 x D 有解 a [ f (x)]min
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(5) f x g x f x g x
2 2
复习
1. 含绝对值不等式的解法 形如
| x a | | x b | c
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．
解：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1， 可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]min
类似的
a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]min a f ( x) 对 x D 有解 a [ f ( x)]max a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)] min a f ( x) 对 x D 无解 a [ f ( x)]max
1 , x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 1, x 4.
则函数 f ( x) 的最小值为 1 ． 则 a 1 ． 故实数 a 的取值范围是(,1] ．
练习2 已知不等式 2 | x 3 | | x 4 | 2a , 若不等式的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．
的取值范围．பைடு நூலகம்
答案： a 3 或
设函数 f ( x) | x 1 | | x a | ．
a5
如果 x R ， f ( x) 2 ，求实数 a 的取值范围． 答案： a 1 或
a3
例2. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围. 解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 令 f ( x) | x 4 | | x 3 | ，则
(或 c )
(i)零点分段讨论法；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义． 2. 一类函数最值的求法
f ( x) | x a | | x b |
(i)绝对值三角不等式；(ii)分段函数；(iii)绝对值的几何意义．
1. 分离参数法： 通过参数分离,将问题转化为 a
f ( x) (或 a f ( x) ) 求最值； a f ( x) 对 x D 恒成立 a [ f ( x)]max
分析：
3 x 1 0, x 3, f ( x) 2 x 7 , 3 x 4, 3 x 10, x 4.
．
1 a 2
[练 ]
已知不等式|x＋2|-|x＋3|>m.
(1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为∅. 分别求出m的范围．
2. 数形结合法： 对于 f ( x) g ( x) 型问题,也常用数形结合思想转化为函数图象 再处理.
例3.已知函数 f ( x) | 2 x 4 | 1 (1)作出函数 y f ( x) 的图象；
.
(２)若不等式 f ( x ) ax 的解集非空，求实数 a 的取值范围
a 的取值范围.
例1. 求使不等式| x 4 | | x 3 | a 恒成立的 a 的取值范围.
解： 由题意知，只需 (| x 4 | | x 3 |)min a 因为 | x 4 | | x 3 || ( x 4) ( x 3) | 1 ，当且仅当
( x 4)( x 3) 0
解:(1)略
(２)令 y f ( x) , y ax
由图象可知,
只需 y f ( x) 的图象有落在
y ax 的图象下方(或有公共点)的部分. 1 故a 的取值范围是 a 或 a 2 . 2
练习3 设函数 f ( x) | x 3 | | x 4 | 若存在实数 a 满足 f ( x) ax 1 ，试求实数
，即
3 x 4 时取等号．
．则
所以 | x 4 | | x 3 | 的最小值为 1 故实数 a 的取值范围是 ( ,1] ．
a 1 ．
练习１
已知函数 f ( x) | 2 x 1 | | 2 x 3 | ． 若关于 x 的不等式 f ( x) | a 1 | 的解集非空，求实数 a
含绝对值不等式恒成立问题
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 （
B）
(D)k≤-3
2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的 不是空集？ ( , 2] 取值范围是---------（2，+∞）