高中数学人教A版必修四第二章 3.1数乘向量 Word练习题含答案

§3 从速度的倍数到数乘向量3．1 数 乘 向 量, )1．问题导航(1)若λa ＝0(λ∈R )，则λ＝0是否成立？(2)实数与向量的数乘、数乘之间的和差运算等(比如化简3(3a ＋5b )－12(a －8b －c )＋3b )与多项式的运算有什么相同之处？(3)若向量a ，b 不共线，且λa ＝μb ，则λ，μ的值如何？为什么？ 2．例题导读P 83例1.通过本例学习，学会向量的线性运算． 试一试：教材P 87习题2－3 A 组T 1你会吗？P 84例2，例3.通过此两例的学习，学会利用向量共线的判定与性质解决向量共线问题． 试一试：教材P 87习题2－3 A 组T 2你会吗？1．数乘向量(1)一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa .它的长度为|λa |＝|λ||a |，它的方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，方向任意．(2)几何意义λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a ，b 为向量，λ，μ为实数． ①λ(μ a )＝(λμ)a ； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ； ④特别地(－λ)a ＝－(λa )； λ(a －b )＝λa －λb ． (4)线性运算 向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)． (5)a|a |表示a 方向上的单位向量．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量数乘，结果仍是一个向量．( )(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．( ) (3)λa 的方向与a 的方向一致．( )(4)对于任意实数m 和向量a ，b 若m a ＝m b ，则a ＝b .( )解析：(1)正确．根据实数与向量数乘的定义，可知实数与向量数乘，结果仍是一个向量．(2)错误．若条件a ≠0去掉，当b ≠0，a ＝0时，λ不存在．(3)错误．当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向一致；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，方向任意．(4)错误．当m ＝0时，m a ＝m b ，a 与b 可以不相等． 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形解析：选C.因为AB →＝－12CD →，所以AB ∥CD ，且AB ＝12CD ，所以四边形ABCD 为梯形．3．已知向量a 与b 不共线，向量c ＝3a －b ，d ＝6a －2b ，则向量c 与d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)解析：d ＝6a －2b ＝2(3a －b )＝2c ， 所以向量c 与d 共线． 答案：共线 4.13⎣⎡⎦⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）＝________． 解析：13⎣⎡⎦⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ） ＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b ) ＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝2b －a . 答案：2b －a1．从两个角度看数乘向量 (1)代数角度①λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量； ②λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. (2)几何角度①当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞1)或反方向(λ＜－1)上伸长到|a |的|λ|倍；②当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a |的|λ|倍．2．对数乘向量的运算律的两点说明(1)数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数． (2)对运算律λ(a ＋b )＝λa ＋λb 的几点说明①当a ，b 中有一个等于0，或λ＝0或1时，等式显然成立； ②若a ，b 都不等于0且λ≠1，λ≠0， 当λ＞0且λ≠1时，如图，OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ， OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb ，由作法知AB →∥A 1B 1→，所以|A 1B 1→|＝λ|AB →|，所以|OB 1→|＝λ|OB →|， 且OB 1→与OB →方向也相同， 故有λ(a ＋b )＝λa ＋λb 成立． 当λ＜0时，同理可证．综上，λ(a ＋b )＝λa ＋λb 成立．3．正确理解向量共线的判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理和性质定理实际上是由实数与向量的积推出的．两个定理分别从正、反两方面加以论述，即当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa .(2)定理中，之所以限定a ≠0，是由于若a ＝b ＝0，虽然λ仍然存在，但λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．(3)由于零向量的方向不确定，在处理有关向量共线问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行．a ，b 都不是零向量时，若a ＝λb ，则λ＞0时，a 与b 同向；λ＜0时，a 与b 反向．(4)若a ，b 不共线，且λa ＝μb ，则必有λ＝μ＝0.(5)向量共线的判断(证明)可把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线；向量共线的应用是存在实数，使两向量可以互相表示，利用向量共线的条件列式，通过计算得出结论．向量的线性运算(1)计算下列各式： ①3(a －2b ＋c )－(2c ＋b －a )； ②25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )． (2)设x ，y 是未知向量．①解方程5(x ＋a )＋3(x －b )＝0；②解方程组⎩⎨⎧12x －y ＝a ，x －12y ＝b .(链接教材P 83例1)[解] (1)①原式＝3a －6b ＋3c －2c －b ＋a ＝4a －7b ＋c .②原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝⎝⎛⎭⎫25－23＋415a ＋⎝⎛⎭⎫－25－43＋2615b ＝0×a ＋0×b ＝0.(2)①原方程可变为5x ＋5a ＋3x －3b ＝0，即8x ＝－5a ＋3b ，所以x ＝－58a ＋38b .②把第一个方程的左、右两边同乘－2，然后与第二个方程相加， 得32y ＝－2a ＋b ，从而y ＝－43a ＋23b . 代入原来第二个方程得x ＝－23a ＋43b .所以⎩⎨⎧x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b .方法归纳向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．(1)若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，c ，b 为已知向量，则未知向量y ＝________．(2)化简4(a ＋b )－3(a －b )＝________．解析：(1)由2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0得2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，即72y －23a －12c ＋12b ＝0， 所以y ＝421a －17b ＋17c .(2)4(a ＋b )－3(a －b )＝4a －3a ＋4b ＋3b ＝a ＋7b .答案：(1)421a －17b ＋17c (2)a ＋7b向量共线的判定定理和性质定理设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)已知k a ＋b 和a ＋k b 共线，求实数k 的值． (链接教材P 84例2，例3)[解] (1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.所以AB →，BD →共线．又因为它们有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是不共线的两个非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0.所以k ＝±1.方法归纳(1)证明三点共线问题可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想的运用．2．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B ，C ，D B ．A ，B ，C C ．A ，B ，D D ．A ，C ，D(2)已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．解析：(1)因为BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，所以向量BD →，BA →共线，故A ，B ，D 三点共线．(2)由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一条线上，由共线向量定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →， 即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 答案：(1)C (2)1用已知向量表示其他向量(1)如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．①AC →＝________； ②MN →＝________．(2)如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.(链接教材P 87习题2－3 A 组T 5，T 6)[解] (1)①因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB →＝2DC →，DC →＝12AB →，所以AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.②MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2. 故①填e 2＋12e 1；②填14e 1－e 2.(2)设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝e 1－12x ，DL →＝12DC →＝12AB →＝12e 1－14x .由AD →＋DL →＝AL →得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1.由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝12x －e 1＝12⎝⎛⎭⎫43e 2－23e 1－e 1 ＝－43e 1＋23e 2.本例(1)中，若BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →. 解：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →， MN →＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)， 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD →＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0.所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.方法归纳用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．3．(1)如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ，AC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →.(2)如图，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM →＝13BC →，CN→＝13CD →，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解：(1)由三角形中位线定理，知DE 綊12BC ，故DE →＝12BC →，即DE →＝12a .CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .(2)因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． 所以MN →＝ON →－OM → ＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .(本题满分12分)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →；(2)证明：B ，E ，F 三点共线．[解] (1)如图所示，延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到四边形ABGC .2分因为D 是BC 和AG 的中点，所以四边形ABGC 是平行四边形， 则AG →＝AB →＋AC →＝a ＋b ，所以AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b ).5分因为F 是AC 的中点，所以AF →＝12AC →＝12b .所以BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a＝13(b －2a ).8分 BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a ).9分(2)证明：由(1)可知， BE →＝13(b －2a )，BF →＝12(b －2a )，所以BE →＝23BF →，即BE →，BF →是共线向量，又因为它们有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线.12分[规范与警示] (1)由中点联想到平行四边形，作辅助线得处的结论是解答本题的关键；若在处不能正确地利用向量的加减法以及已表示出的AE →，则易出现运算错误，导致失分；若未能正确地表示出处的结论，则无法证得结论，是又一易失分点．(2)①在向量的加减运算中，需遵循平行四边形法则和三角形法则，在给出的图形中有时需要借助辅助线构造出相应的图形．②对于常见图形中的基本量，要熟练应用三角形法则或平行四边形法则表示． ③利用向量共线定理可以证明三点共线，也可以求相关的参数的值，其基本的关系就是a ＝λb (λ∈R ，b ≠0)．1．下列说法正确的是( )A ．平行于同一向量的两个向量是共线向量B ．单位向量都相等C ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λbD ．与非零向量a 相等的向量有无数个解析：选D.若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A 不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B 不正确；“a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ”需在b ≠0的前提下才成立，故选项C 不正确；平移非零向量a ，所得向量都与a 相等，故与非零向量a 相等的向量有无数个．故选D.2．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝________．解析：(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .答案：－16i ＋323j3．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若BD →＝2DC →，则AD →＝________(用a ，b 表示)．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：13a ＋23b, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ＝( ) A.35 B ．53C ．±35D ．±53解析：选C.因为|a |＝3，|b |＝5，a ＝λb ，所以|a |＝|λ||b |，即3＝5|λ|，所以|λ|＝35，λ＝±35.2.如图所示，已知AB →＝2BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A.OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC →＝OA →＋3(OC →－OB →)，所以OC →＝32OB →－12OA →，即c＝32b －12a . 3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12解析：选D.将k 的值逐一代入检验，当k ＝0，1和2时m 与n 均不共线，当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2，此时n ＝2m ，故m ，n 共线．4．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →解析：选D.OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝OM →＋MA →＋OM →＋MB →＋OM →＋MC →＋OM →＋MD →，而MA →＋MC →＝0，MB →＋MD →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.5．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，又AP →＝tAB →，则实数t 的值为( )A .13B ．23C .12D ．53解析：选A .由题意可得AP →＝CP →－CA →＝23CA →＋13CB →－CA →＝13(CB →－CA →)＝13AB →，又AP →＝tAB →，所以t ＝13.6．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________．解析：由(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0， 且向量a ，b 不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12.答案：12 127．在△ABC 所在平面上有一点，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是________．解析：P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →， 即PC →＝－2P A →，所以AP AC ＝13，所以S △P AB S △ABC ＝13.答案：1∶38．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，所以AC ＝2AO ，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →. 又AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2. 答案：29．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b ，求证：DE →＝13(b －a )．证明：因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →)＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝－13a －13b ＋23b ＝13(b －a )． 10．已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2.(1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线？若存在，求出k 的值，否则说明理由．解：(1)由a ＝λb ，得2e 1－e 2＝λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1⇒k ＝－2. (2)不存在．若e 1与e 2共线，则e 2＝λe 1，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（2－λ）e 1，b ＝（k ＋λ）e 1， 因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k ，所以12－λa ＝1k ＋λb ，即a ＝2－λk ＋λb ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意． [B.能力提升]1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB→＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选C.因为OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，所以AP →＝λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，即AP →与AB →＋AC →共线，而AB →＋AC →是以AB →，AC →为邻边的平行四边形的对角线表示的向量，而对角线与BC 的交点是中点，所以P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．2．对于△ABC 内部一点O ，存在实数λ，使得OA →＋OB →＝λ(OA →＋OC →)成立，则△OBC与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶3D ．2∶3解析：选A.如图，设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，以OA ，OB 为邻边作▱OAGB ，以OA ，OC 为邻边作▱OAFC ，则OA →＋OB →＝OG →＝2OD →，OA →＋OC →＝OF →＝2OE →，因为OA →＋OB →＝λ(OA →＋OC →)，所以OD →＝λOE →，所以点D ，O ，E 三点共线，所以点O 在直线DE 上，又因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△OBC 与△ABC 的面积之比为1∶2.3．已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ＝________． 解析：如图，因为P 1P →＝23PP 2→，所以点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →||PP 2→|＝23.所以PP 1→与P 1P 2→反向，且|PP 1→||P 1P 2→|＝25， 所以PP 1→＝－25P 1P 2→，故λ＝－25. 答案：－254．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)．解析：因为NC →＝14AC →＝14e 2，所以CN →＝－14e 2， 因为BM →＝12MC →，BM →＋MC →＝BC →＝AC →－AB →＝e 2－e 1， 所以MC →＝23(e 2－e 1)，所以MN →＝MC →＋CN →＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2. 答案：－23e 1＋512e 2 5．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．解：(1)证明：因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →＝λOB →－λOA →，即AM →＝λAB →，又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM →，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →，AB →同向且|AM →|＞|AB →|(如图所示)．所以λ＞1.6．(选做题)在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且BD →＝13BC →，CE →＝13CA →，AD 与BE 交于R ，证明：RD →＝17AD →.证明：由A ，D ，R 三点共线，可得CR →＝λCD →＋(1－λ)CA →＝23λCB →＋(1－λ)CA →. 由B ，E ，R 三点共线，可得CR →＝μCB →＋(1－μ)CE →＝μCB →＋13(1－μ)CA →.所以⎩⎨⎧23λ＝μ，1－λ＝13（1－μ），所以⎩⎨⎧λ＝67，μ＝47， 所以CR →＝47CB →＋17CA →. 所以AD →＝CD →－CA →＝23CB →－CA →， RD →＝CD →－CR →＝23CB →－⎝⎛⎭⎫47CB →＋17CA → ＝221CB →－17CA → ＝17⎝⎛⎭⎫23CB →－CA →＝17AD →.。