人教版2017高中数学(选修1-1)1.1.3 四种命题间的相互关系 情境互动课型PPT课件
2017版高中数学选修1-1(课件)：1.1 命题及其关系 1.1.3
规范解答 等价命题的实际应用 【典例】(12分)(2015·天津高二检测)命题:对任意x∈R,ax2-2ax-3>0不成 立是真命题,求实数a的取值范围. 【审题指导】利用等价命题进行转化,然后根据不等式恒成立的条件列出关于 参数a的不等式求解.
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1
题.
2≠ 假
2
1
6
2
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【知识探究】 知识点 四种命题之间的关系
观察如图所示内容,回答下列问题:
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问题1:四种命题中原命题是确定的吗?
问题2:四种命题之间有怎样的相互关系.
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【解析】1.选A.设p为“若A,则B”,那么q为“若¬A,则¬B”,r为“若¬B,则
¬A”.由于q和r的条件和结论互换,故q和r互为逆命题. 2.选D.原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”.
因此逆命题的等价命题为“若p正确,则q正确”.
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所以a< <2.
所以原命7 题是真命题. 因为互为4逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命题.
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【延伸探究】
1.(改变问法)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的 解集是空集,则a<2”的逆命题的真假.
【总结提升】 对四种命题相互关系的三点认识
(1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆 否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性.
人教版高中数学选修1-1教案：1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系
2
让学生结合所举例子，思考： 若原命题为“若 P，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命 题应分别写成什么形式？ 学生通过思考、分析、比较，总结如下： 原命题：若 P，则 q．则： 逆命题：若 q，则 P． 否命题：若￢P，则￢q． （说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定 符号． “￢p”表示 p 的否定；即不是 p；非 p） 逆否命题：若￢q，则￢P． ６．巩固练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假： （１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除； （３） 若 x =1,则 x=1； （４） 若整数 a 是素数，则是 a 奇数。 ７．思考、分析 结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？ 通过此问，学生将发现： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。 结合以上练习完成下列表格： 原 真 命 题 逆 真 假 假 假 真 假 真 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
＝
1 1 1 2 2 2 ２ ［ （p －q） ＋（p ＋q） ］≥ （p ＋q） ＞ ×２ 2 2 2
高二年级数学（文科） 集 体 备 课 教 案
项目
内容
1.1.2 四种命题
课题
1.1.3 四种命题的相互关系
修改与创新 （1 课时）
1.知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概 念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四 种命题的真假． 2.过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现 教学 问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象 目标 概括能力和思维能力． 3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积 极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
人教版2017高中数学(选修1-1)1.1.3 四种命题间的相互关系 探究导学课型PPT课件
【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.
2.已知命题p：“若|a|=|b|，则a=b”，则命题p及其逆命题、否命 题、逆否命题中，正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 ( D.4个 )
【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p的逆 命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题； 又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，原命题与其逆否命题互
【解题指南】解答本题先要分清涉及两个命题的条件和结论，再比较 两 .
【解析】(1)已知两命题的条件和结论分别互否，故它们是互否关系 .
(2)已知两命题的条件和结论正好互换，故它们是互逆关系 .
(3)已知两命题的条件和结论分别互否且正好交换，故它们是互为逆
为逆否命题，故真命题的个数是2个.
【归纳总结】 1.对四种命题间关系的说明 对于两个命题的条件和结论之间的关系，若“只换位不换质”，则两 者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是 “互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命 题”.
2.等价命题的两个关注点 (1)当两个命题互为逆否命题时，这两个命题是等价命题. (2)由于原命题与其逆否命题，原命题的逆命题与原命题的否命题是 互为逆否关系，所以原命题与其逆否命题是等价命题，原命题的逆命 题与原命题的否命题是等价命题.
否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的 .
3.在四种命题中，原命题是固定的吗？ 提示：不固定，是相对而言的.
【过关小练】 1.命题p：“若m>0，则x2+x-m=0有实根”，与命题q：“若x2+x-m=0 没有实根，则m≤0”的关系是 A.互逆 B.互否 C.互为逆否 ( )
人教版高中数学选修1-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
三维目标
1．知识与技能 (1)了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念． (2)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2．过程与方法 多让学生举例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生的抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析 问题和解决问题的能力．
备课素材
对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则 |a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都 把它作为大前提． 在写一个命题的否命题时要将命题中的关键词语改写成否定词语，特别地，“且” 的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”等．
备课素材
[例]写出下列命题的逆命题、否 命题和逆否命题． (1)若 a＋ 5是有理数，则 a 是无 理数； (2)若 ab＝0，则 a，b 中至少有 一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线 平行．
解： (1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是 有理数； 否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无 理数； 逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是 有理数．
新课导入
[导入一] 情景引入 在商品大战中，广告成了电视节目中一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 谙这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效 果相当大．哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了．你能写出其广告词的一 个等价命题吗？
高中数学选修1-1精品课件1：1.1.3 四种命题间的相互关系
解法二：原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数 根”的逆否命题为“若方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根，则 m≤0”．
方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根， ∴Δ＝4＋12m<0.∴m<－13≤0. ∴“若方程 x2＋2x－3m＝0 无实数根，则 m≤0”为真．
[点评] 本题中解法一利用了原命题与它的逆否命题同真 同假的方法解决；解法二是先写出原命题的逆否命题，再判断 其真假．
逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个 四边形不是菱形．是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．是 真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全 等．是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等 高．是假命题．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦 的垂直平分线．是假命题．
命题方向 互为逆否命题同真同假的应用
[例 2] 判断命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数 根”的逆否命题的真假．
[分析] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆 否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价 命题的同真同假判断．
[解析] 解法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程 x2＋2x－3＝0 的判别式 Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”为 真． 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若 m>0，则方程 x2＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不 平分弦所对的弧．是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不 是弦的垂直平分线．是真命题．
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
2017版高中数学选修1-1(课件)：1.1 命题及其关系 1.1.3 四种命题间的相互关系
它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数
为（ D ）
A．4
B．3
C．2
D．0
第十五页，编辑于星期六：三点 二十三分。
例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0. 证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0， 所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命 题.
【变式练习】
求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边 所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等 腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这 两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等.
这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命 题是真命题，所以原命题也是真命题.
第四页，编辑于星期六：三点 二十三分。
探究点1 四种命题之间的关系
四种命题形式:
原命题, 逆命题, 否命题,逆否命题
符号“￢”叫做否 定符号．“￢p”读
作“非p”，表示p的
否定，即不是p
提示：四种命题形式:
原命题: 逆命题:
否命题: 逆否命题:
若p, 则 q
若q, 则 p 若┐p , 则┐q 若┐q , 则┐p
【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的 真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原 命题为真命题.
第十六页，编辑于星期六：三点 二十三分。
在数学的证明中，我们会常常用到一种 方法——反证法.
反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾 来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种 数学证明方法.
1.1.3 四种命题间的相互关系
高中数学选修1-1：1.1.3 四种命题间的相互关系
【典例训练】 2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) （A）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l （B）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l （C）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 （D）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
眼皮蹦跳跳专 16
1.命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、
否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
（A）4 （B）3 2.有下列四个命题：
（C）2
（D）0
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“若A∪B＝B，则A B”的逆否命题．
眼皮蹦跳跳专 4
3.命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”以及它的逆命 题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________. 【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数” 是假命题，则其逆否命题也为假命题.其逆命题“若函数是一次 函数，则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题，则它的逆否命 题（即原命题的否命题）也为真，所以真命题的个数为2. 答案：2
眼皮蹦跳跳专 5
1.对四种命题间结构关系的认识 “互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命 题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个 命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
眼皮蹦跳跳专 6
2.对四种命题间真假关系的认识 （1）当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题 的真假是没有关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假. （2）当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等 价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一.
人教版高中数学选修1-1第一章1.1四种命题之间的相互关系及真假判断1
§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假关系判断[教学目的]使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系.[教学过程]一、复习引入⒈四种命题的形式是什么？答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题.⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容.二、学习、讲解新课⒈四种命题的相互关系经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：⒉四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题.⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命题.结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.⒊巩固新课，反馈矫正例（P例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命32题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.练习：课本P练习：1，2.32答案：1.⑴正确；⑵正确.2.⑴逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.⑵逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.三、小结本节课我们主要学习了四种命题之间的相互关系和真假关系，两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题）.四、布置作业内容，熟悉巩固有关概念和方法.(一)复习：课本P31-32(二)书面：课本P习题1.7：3，4.33-34答案：3.⑴真；⑵假；⑶真；⑷真.4.⑴逆命题：若a是无理数，则a+5是无理数.逆命题为真.否命题：若a+5不是无理数，则a不是无理数 .否命题为真 .逆否命题：若a不是无理数，则a+5不是无理数.逆否命题为真.⑵逆命题：若一个四边形的两条对角线相等，则它是矩形.逆命题为假.否命题：若一个四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等 .否命题为假.逆否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.逆否命题为真.(三)思考题：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？反证法.(四)预习：课本P32-33。
2016-2017高中数学人教A版选修1-1课件：第一章1.1-1.1.3四种命题间的相互关系
所以Δ＝1＋4a＜0，解得 a＜－14＜0. 所以命题“若方程 x2＋x－a＝0 无实根，则 a＜0”是 真命题． 法二：因为 a≥0，所以 4a≥0，所以 4a＋1＞0. 所以方程 x2＋x－a＝0 的判别式Δ＝1＋4a＞0. 所以方程 x2＋x－a＝0 有实根．
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1．写出一个命题的其他三种形式时的关注点： (1)正确地将原命题改写成“若 p，则 q”的形式． (2)正确地对原命题的条件和结论进行否定． (3)对存在大前提的命题，注意在写其他三种命题时 大前提不要改变． (4)在一个命题及其他三种形式中，原命题是人为指 定的，要注意它们之间的关系．
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2．四种命题结构
温馨提示 不是“若 p，则 q”形式的命题，最好先改写成“若 p，则 q”的形式，然后写出其他三种命题．
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3．四种命题 五十一分。
4．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系． 温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系 1．1.2 四种命题 1．1.3 四种命题间的相互关系
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[学习目标] 1.掌握命题的逆命题、否命题与逆否命 题的概念(重点、难点)． 2.认识四种命题间的相互关系 及真假性之间的关系(重点)． 3.会利用逆否命题的真假 性解决问题(难点)．
高中数学人教版选修1-1 1.1.2、3四种命题、四种命题间的相互关系 教案(系列三)
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系一：教法分析●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．●重点、难点重点：四种命题之间相互的关系．难点：正确区分命题的否定形式及否命题．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．二：方案设计●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．●教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!三、自主导学给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.四、互动探究例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.（一）规律方法1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．（二）变式训练分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.例2(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．（一）规律方法1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．（二）变式训练下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C．②③D．①【解析】①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程x2＋x－m＝0无实根，∴判别式Δ＝1＋4m＜0，m＜－14.故m≤0，为真命题．故正确的命题是①，③选B.【答案】 B例3若【思路探究】(1)a，b，c不可能都是奇数包含几种情况？(2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，所以a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a2＋b2＝c2，则a、b、c不可能都是奇数．（一）规律方法1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．（二）变式训练“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a－7＜0，解得a＜74.因此a＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.五、易误辨析因否定错误致误典例 写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】 逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为零，是假命题．【错因分析】 本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x ，y 全为零”的否定，应为“x ，y 不全为零”，而不是“x ，y 全不为零”．【防范措施】 要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】 逆命题：若x ，y 全为零，则x 2＋y 2＝0，是真命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，是真命题．六、课堂小结1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.七、双基达标1．(2013·福州高二检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( ) A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1 B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1 【解析】 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2＜12”，故否命题为：“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12”． 【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．无关命题【解析】 从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x ＝2时，x 2＋x －6＝0”的逆否命题是____．【解析】 原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】 当x 2＋x －6≠0时，x ≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn ＜0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根；(2)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.【解】 (1)逆命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn ＜0.假命题；否命题：若mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.真命题．(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0.真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0.真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0.真命题．八、知能检测一、选择题1．命题“若綈p ，则q ”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )A ．若p ，则綈qB ．若q ，则綈pC ．若綈q ，则pD ．若綈q ，则綈p【解析】 若“綈p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则p ”，又互为逆否命题真假性相同． ∴“若綈q ，则p ”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p 的否命题为q ，命题p 的逆否命题为r ，则q 与r 的关系是( )A ．互逆命题B ．互否命题C ．互为逆否命题D ．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】 若A ∪B ≠B ，则A B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎨⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解．②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题； ④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题是真命题，证明如下：∵ac ＜0，专业文档∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.九、备课资源（一）备选例题判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．（二）备选变式已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad －2bc＋2ad＝2，即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.珍贵文档。
推荐-高中数学人教A版选修1-1课件1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
题型一
题型二
题型三
典例透析
易错辨析 易错点 写错否定词致错
【例3】 写出命题“两个有理数的和是有理数”的否命题. 错解:“若两个数不是有理数,则它们的和不是有理数”. 错因分析:把原命题改为“若p,则q”的形式为“若两个数是有理数, 则它们的和是有理数”,其中的“是”是指“都是”之意,错解中忽视了 这一点. 正解:“若两个数不都是有理数,则它们的和不是有理数”.
题型一
题型二
题型三
典例透析
反思在写四种命题时,要先找出原命题的条件和结论,把结论作为 条件,条件作为结论就得到逆命题;否定条件作为条件,否定结论作 为结论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.判 断它们的真假,要注意它们之间的相互关系;若利用其他知识判断 真假,就需要对其他知识熟练掌握.
题型一
题型二
题型三
典例透析
判断四种命题的真假 【例1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断 它们的真假:
(1)矩形的对角线相等; (2)正偶数不是质数. 分析:将原命题改写成“若p,则q”的形式,再分别写出其逆命题、 否命题、逆否命题.在判定各种形式命题的真假时,要注意利用等 价命题的原理和规律.
知识梳理
也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若������ p,则 ������ q”.
对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做互为 逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原 命题的逆否命题.
证明:原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)内的增函 数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
高中数学人教A版选修1-1课件：1.1.2+1.1.3+四种命题+四种命题间的相互关系
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
-11-
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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做一做3 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命
(方法二)命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,
则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命
题是假命题.
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
探究一
探究二
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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(3)逆否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆
否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命
题的逆否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命
不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的
人教版高中数学选修1-1《1.1.3四种命题的相互关系》
【探究二】合作与讨论
1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，判断真假并填写真值表 （1）若一个角是直角，则它等于90° （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面． （3）相等的角是对顶角。 （4）质数都是奇数。
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
（1） （2） （3）
（4）
思考：原命题的真假与其它三种命题的真假的关系是什么？
思考：你能说出其中任意两个之间的关系吗？
四种命题之间的 关系
原命题
若p则q 互 否
互逆
逆命题
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
逆否命题
若﹁q则﹁p
三、合作探究
智力比拼
游戏规则： 1、老师选定某一个组作为第一组回答指定问题 2、若回答正确，则由该组选定下一组回答指定问题； 若回答不正确，则由上一组选定下一组回答指定问 题； 3、本组回答对一个问题本组得2分，选定该小组的 得1分,并组回答； 4、回答问题以以下为主： 5、活动结束后得分最高的小组为本节课的最佳小组。 （并且每人奖励金牌一枚）
思考：
的语言表达吗？
二、知识储备库
命题概念
原命题：若p则q 逆命题：若q则p
原命题 逆命题 四 种 命 题 的 关 系
命 题
命题的判断
命题的结 构形式
四种命题
否命题
否命题：若﹁p则﹁q 真命题 假命题 逆否命题：若﹁q则﹁p
逆否命题
【探究一】观察与思考
1、若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数。 2、若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数。 3、若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数。 4、若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
2016-2017学年高中数学人教A版选修1-1课件：1.1.2+3 四种命题 四种命题间的相互关系
[探究共研型]
等价命题的应用 探究 1 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命 题有困难时，该怎么办？ 【提示】 可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为 真命题． 探究 2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明 方法的理论基础？ 【提示】 是反证法的理论基础．
第二十五页，编辑于星期五：十六点 二十四分。
这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写出逆否命题，后判断， 如法一；二是间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真 假，如法二．
第二十六页，编辑于星期五：十六点 二十四分。
[再练一题] 3．证明：已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若 f(a)＋f(b)≥f(－ a)＋f(－b)，则 a＋b≥0. 【解】 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， a，b∈R，若 a＋b＜0，则 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．” ∵当 a＋b＜0 时，a＜－b，b＜－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)． ∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)， 即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．
第十三页，编辑于星期五：十六点 二十四分。
2．常见词语的否定 词语 是 都是 ＞ 至少有 n 个 至多有 n 个 否定 不是 不都是 ≤ 至多有 n－1 个 至少有 n＋1 个
第十四页，编辑于星期五：十六点 二十四分。
[再练一题] 1．(1)命题“若 m＞n，则 m－1＞n－2”的逆否命题为________． (2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题： ①正数的平方根不等于 0； ②若 x2＋y2＝0(x，y∈R)，则 x，y 全为 0.
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你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?
解答：四种命题之间的关系
原命题 若p,则q
互逆
逆命题 若q,则p
互 否
否命题 若﹁p,则﹁q
互 否
逆否命题 若﹁q,则﹁p
互逆
【即时训练】
若命题 p 的否命题是 q，命题 q 的逆命题是 r，则 r 是 p 的 逆命题的( C )． A．原命题 C．否命题 B．逆命题 D．逆否命题
1.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一 个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况 是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
2.命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的 等价命题是（ D ） A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确 C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确
3.设A是原命题，B、C、D分别是A的逆、否、逆 否命题．从4个命题中任取两个命题，则这两个
命题是等价命题的概率是（ C ） 1 1 A． B． C．1 D．1
4 6 3 2
4. 命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的
2+2x+q =0 无实根，则q>1 若 x 逆否命题是__ _______________ _ .
四种命题间的相互关系
小故事
路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小
伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把
树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎
站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙
伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,
怎么知道李子是苦的啊?”
（2）原命题：若a > b,
则 ac2>bc2.
（假） （真）
逆命题：若ac2>bc2,则a>b.
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.
（真） （假）
提示：一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面 四种情况:
原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假
四种命题的真假 有什么联系？
探究点2
四种命题的真假
(真 ) (真 )
看下面的例子：（判断真假）
（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0.
逆命题：若x2-5x+6=0, 否命题：若x≠2且x≠3, 则x=2或x=3. 则x2-5x+6≠0.
(真 )
(真 )
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.
【提升总结】 （1）原命题为真，则其逆否命题一定为真. 但其逆命题、否命题不一定为真. （2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真.
但原命题、其逆否命题不一定为真.
比一比 由以上三例及总结我们能发现什么？
解：原命题与其逆否命题同真假.
原命题的逆命题与否命题同真假.
(两个命题为互逆命题或互否命题,
它们的真假性没有关系).
四种命题形式: 原命题, 逆命题, 否命题,逆否命题
提示：四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:
若 p , 则 q 若 q , 则 p 若┐p , 则┐q 若┐q , 则┐p
观察与思考
？
1. 2. 3. 4.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.
【即时训练】
判断下列说法是否正确. （1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定 为真； （对） （2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （对） （3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假. （错） （4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假. （错）
例1
设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出
它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的
真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该
保留.
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”. 解析：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边, 李子早就没了！李子现在还那么多,所以 啊,肯定李子是苦的，不好吃!” 下面让我们进入今天的学习
1.明确四种命题的相互关系.（重点）
2.能够判断四种命题的真假.（难点） 3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立.
探究点1
四种命题之间的关系
符号“￢”叫做否 定符号．“￢p”读 作“非p”，表示p 的否定，即不是p
（真）
（真）
【变式练习】
命题“若a＞b,则ac＞bc”(这里a,b,c都是实数)与 它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数 为（ D ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.
证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则 x2＞0，所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0.
因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真
命题.
【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的
真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证
明原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种 方法——反证法. 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾 来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种 数学证明方法.
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论 的反面成立; 反设
（2）从这个假设出发 , 经过推理论证,
得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 命题的结论正确. 从而肯定 结论
归谬
【变式练习】
求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条 边所对的角也不相等. 证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三 角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是 说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的 逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.