《利息理论》复习提纲[1]
利息理论总复习
1 + i0 = (1 + i )
k
则年金的现值和终值分别为： 则年金的现值和终值分别为：
& a& n i 和 &&n i s
0
0
3、永续年金
1）期末付
lim a kn sk
n→∞
1 − v kn 1 1 = lim ⋅ = （i为每次的利率） n→∞ i sk is k
2）期初付
i ( m ) = m(e m − 1)
δ
1、期末付年金的现值与终值
( ( anm ) (∞) = anm ) = i
1− v i ( m)
n
=
1 − e − nδ m(e m − 1)
δ
。
( ( s nm ) ( ∞ ) = s n m ) i
(1 + i ) n − 1 = i (m)
2 、期初付年金的现值与终值
第一章
利息的基础知识
1、积累函数
a ( t )=
或：
a n − a n −1 an
=
i 1+ i
d = i ⋅v i=
d 1−d
贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1− v
及：
vt = v = (1 − d )
t
t
及：
v = 1− d
at = (1 − d )
同理： 同理：
&&n m = &&n (1 + i ) = &&m + n − &&m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
利息理论第一章-1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
第一章 利息理论基础
A (5 )
5000
1 5 2%
( 4 ) 2 % 复贴现计息
5556
5000 A ( 5 ) （ 1 2 % ）5 5531
3、名义（年）利率和名义（年）贴现率
（1）名义利率
名义利率
i m ，是指每
1 m
个度量期支付利息一
次，而在每 1 个度量期的实质利率为：i m
m
m
A nA n 1 In an an 1 d n A n A n an
n1,n为整数
同样有，第 1期的实质贴现率为：
d1A1 AA 111a1a 1a01a11 a111d1
（3）利率与贴现率之间的等关系
等价——相同的本金经过相同的计息周期 产生相同的累积值。
(1)d i v i(v 1 折现因子,discountfactor）
i 1 i
d m m
1
m im
m
d m
m im m im
1 d m
1 m
1 im
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例1.3答案
季、月、日、小时、分钟、秒等等。利 率通常是指年利率。） 时期长度（计息周期，Measure period）
举例说明：利率的度量期与计息周期
二、积累函数与贴现函数
1、积累函数（Accumulation Function）
a(t)
1--------------------------------- a (t )
1、单利和复利（假设时间t内利率相 同）
利息理论知识点
利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。
在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。
第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。
它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。
第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。
其中最常见的是简单利息和复利息。
简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。
它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。
复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。
它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。
第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。
利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。
例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。
2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。
当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。
3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。
风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。
第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。
1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。
了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。
2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。
通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。
3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。
低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。
高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。
第1章利息理论
2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
利息理论复习资料
贴现函数(discount function)
单利的贴现函数 a1(t) 1 (1 it)1 1 it
复利的贴现函数
a1(t)
1 1
i
t
(1 i)t
14
几个术语：
v 1 1i
vt
(1+ i)
(1 i)t
贴现因子： discount factor t年贴现因子： t-year discount factor 累积因子： accumulation factor
(1 dt)2 (d ) (1 dt)1
d, 1 dt
0 t 1/ d
单贴现的利息力是时间的递增函数。
32
复利在时刻 t 的利息力
因为
a(t) (1 i)t
a '(t) (1 i)t ln(1 i)
所以时刻 t 的利息力为
t
a '(t) a(t)
ln(1
i)
复利的利息力是常数！与时间无关。 ln(1 i)称为复利
m
1
d (m) m
m
（3）如果把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 计息期内等价的实 际利率和实际贴现率，则
i(m) d (m) i(m) d (m) m m mm
27
利息力(force of ) interest
定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小 的时间区间内）增长的强度。
问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？
答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存 1000元满3个月可得利息 1000 × 1.8 / 4 = 4.5 元。
21
名义利率与实际利率的关系： 名义利率与等价的实际利率有如下关系：
利息理论——第一章1.1
1
这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。
我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
1
1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )
例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
利息
我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)
注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1
实际利率
定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。
《利息理论》期末复习
基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值 较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定 理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次 符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题
利息理论复习资料
利息理论复习资料一、名词解释1.价值等式2. 收益率3.债券的账面值4.银行家规则5.标准型年金6.利息强度的定义及其表达式7.债券的平价与市价8.延期年金9.偿债基金10．名义利率，实际贴现率，并请写出二者之间的等价关系11.永续年金12.债券溢价，债券折价二、简答题1.利息度量的主要方式有哪些？假设以复利计息，请写出各度量方式之间的等价关系式。
（需要写出4种以上）2.(1)1(,)(,)ni is n is n i+=+表示期末付标准型年金终值系数。
试简要说明该等式的经济含义。
3.利率变动型年金的利率变动形式有哪两种？请以期末付年金为例，分别写出其年金现值表达式。
4. 实际利率i与实际贴现率d之间有如下关系，i-d=id，试说明该等式的经济含义。
5. 设m大于1，按大小增加的次序排列i、m i、d、md与δ（需做简要推导）。
三、推导题1．推导首期付款额为P,以后每期付款额比前一期增加Q的期末付永续年金的现值公式。
2. 证明下列恒等式，其中，a(k),s(k)分别表示标准型期末付年金现值、终值系数。
（1）()()()m a m n a m a n v +=+（2）()()(1)()m s m n s m i s n +=++四、计算题1．确定10000元在3年末的积累值：（1）名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%（2）名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%2. 某人在第1、2年初各投资1000元到某基金，第1年末积累额为1200元，第2年末积累额为2200元。
（1）根据投资额加权法，计算年收益率；（2）根据时间加权法计算年收益率。
3. 某投资者在每年初投资1000元，投资5年。
假设原始投资的利率为6％、而利息的再投资利率为5％：试计算该投资者在第5年末的积累值。
4.某投资者在每年初投资1000元，投资5年。
假设原始投资的利率为6％、而利息的再投资利率为5％：试计算该投资者在第5年末的积累值。
利息理论利息的基础知识共73页文档
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
73
利息理论利息的基础知识
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
利息理论总结
第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。
总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。
A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。
那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。
2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。
3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。
利息理论 第1章 利息的基础知识
ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2
时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0
a1 1
第二年：
i2
A2 A1 A1
a2 a1 a1
第 n年：
in
An An1 A n 1
a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d
10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？
利息理论1
[
k −1
]i
n
A(n ) − A(0 ) = A(0 )(1 + i ) − 1
[
]
3.单利与复利的比较 A.设年有效利率不变，虽然单利与复利对 单 个度量 时期 会产生 同 样 的 结果 ， 但对较 长 时期，复利 比 单利 产生较大 的积累值， 而对较短时期来说，情况正好相反。
(1 + i )t (1 + it )
利息理论
知识回顾
• • • • 什么是利息 影响利息的因素 支付利息的方式 计算利息的方法
接下来考察一下不同支付方式和计息方法 下的利息和利息率。
a(t ) 表示时刻0时的1单位 定义2.1（积累函数） 货币到时刻 t时的积累值。 a(t ) 具有如下几点性质： （1） a(0) = 1 ； （2）通常是增函数。
− δ ( s )ds
t
− ∫0 δ ( s )ds − 0.09 t e e = (0 ≤ t < 5) 5 t δ δ ( s )ds s d s − − ( ) ∫0 ∫ 5 v(t ) = e = e −0.05−0.08t (5 ≤ t < 10) t − 5δ ( s )ds − 10 δ s ds − ( ) ∫5 ∫10 δ ( s )ds = e −0.15−0.07t (10 ≤ t ) e ∫0
ih =
e
∫t
h +t
δ ( s )ds
−1
h
δ ( s )ds ∫ 0 A(t ) = A(0)e
t
2.5积累因子和贴现因子
δ ( s ) ds ∫ 0 称 e 为积累因子。即原始投资1到时刻t
t
时的值为 e ∫ δ ( s )ds. 时刻t时的资本值为1，可知在时刻0时需投资 − ∫ δ ( s )ds 才能保证在时刻t时资本额为1．我们称 − ∫ δ ( s )ds e e 为贴现因子，以v(t ) 记之.
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《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念第一节 利息度量一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n = 例题：1.1.3三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四.名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m mi d i dm m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m p δ---+=+==-=-=。
例题：1.1.12要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。
第二节 利息问题求解一. 价值等式 例题：1.2.1 二. 投资期的确定计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。
三. 未知时间问题72律：利率为i 时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i 。
例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1．线性插值法2．迭代法 例题：1.2.7重点：价值等式；利用线性插值法求利率。
第二章 年金第一节 年金的标准型一. 期末付年金现值为 211nn n n v a v v vv i--=++++=终值为 221(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n i s i i i i i--+-=+++++++++=n a 与n s 的关系： （1） (1)n n n i a s +=（2）11n ni a s =+ 例题：2.1.2、2.13 二. 期初付年金现值为 ..22111n n n n v a v v vvd---=+++++=终值为 ..21(1)1(1)(1)(1)(1)n n nn i s i i i i d-+-=++++++++=..n a 与..n s 的关系：（1） ....(1)n n ni a s += （2）....11nnd a s =+期初付与期末付年金现值与终值之间的关系：..(1)n n a i a =+，..(1)n n s i s =+..11n n a a -=+，..11n n s s +=-例题：2.1.5 三. 永续年金（1） 期末付永续年金的现值21111lim n n n nn n a v v v v v v i i -∞∞→∞==+++++-===∑（2） 期初付永续年金..211111lim n n n nn n a v v v v v v d d ∞-∞→∞==++++++-===∑例题：2.1.6四. 年金的未知时间问题还款方式：（1） 标准式付款：按照规则的付款期进行支付（2） 上浮式还款：最后一期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头 （3） 扣减式付款：最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头 这三种方式付款的最后零头一般都不一致。
五. 年金的未知利率问题有关年金时间的计算方法：（1） 对于n 较小的情形，求解一元n 次方程，其有效根即为利率（2） 对于n 较大的情形，可用已知的年金值以及其倒数进行展开，再利用线性插值法求未知利率的有效数值解（3） 对于n 较大的情形，利用迭代法获得任意精度的数值解，此方法最为常用 只要求（1），迭代法不要求。
例题：2.1.10第二节 年金的一般型一. 付款频率与计息频率不同的年金1． 付款频率低于计息频率（1） 期末付年金 年金现值为：2(1)1111(1)1(1)1n k kkkn k k kk n k k kn n kk n kv v vv v v v v v v v i i i i a s ++++--==----==⋅+-+-=年金积累值为：2(1)(1)(1)11(1)1(1)1(1)1(1)n k n k k n n k k n ki i i i i i i i i s s --+++++++-+-+==⋅-+-+=例题：2.2.3、2.2.4（2） 期初付年金 年金现值为：(1)2....1111111n k k kkn k n kk k n k n n kkv v v v v v v v i i v a a a a -++++--==---=⋅-==年金积累值为：....(1)(1)(1)(1)(1(1))(1(1)1(1)1(1)11n n k k k n n k k n k n n kki i i i i i i v i i i v s s a a -+++++++-+-+==-+-+-=⋅-==（3）永续年金 其现值为211(1)11k k nk k k k kv v v v v i is ++++==-+-=2． 付款频率低于计息频率设m 为每个计息期内的付款次数，n 为计息期数，i 为每个计息期的利率，m 、n 为正整数，总付款次数为mn 次。
（1） 期末付年金假设每个付款期期末付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。
()1/2/(1)/1/1/1/1/()1()1111(1)11m m mmn m n n m n m m nm n m a v v v v mv v m v vm i v i-+=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭⎛⎫-=⎪+-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()()()(1)1(1)(1)1m m nn n nn m n m s a i v i ii i =+-=⋅++-=显然()()()()11n n m m m m nn v v i i aa i i i i--==⋅= ()()()()(1)(1)m n m n m m n n n n i i s i a a i s ii=+⋅=⋅+=例题：2.2.7（2） 期初付年金假设每个付款期期初付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()..m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。
()..1/2/(1)/1/1/1(1)1111m n m m mn m n m n ma v v v mv m v v d-=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭-= n 时刻的年金积累值为()()....()()1(1)(1)(1)1m m n n nnnm nm vs a i i di d -=+=⋅++-=显然()....()()()11m n nn n m m m v v d d aa d d d d--==⋅= ()()........()()(1)(1)m m n n n n n nm m d d s i a i a s dd=+=+⋅=例题：2.2.8永续年金的现值分别为()()1m m a i ∞=，()..()1m n m a d =二. 连续年金连续付款（付款频率无限大）的年金叫做永续年金。
连续付款n 个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值为001ln nt n ntn t v v a v dt v δ=-===⎰其中t v 为时刻t 到时刻0 的折现因子。
连续年金的积累值为000(1)(1)1(1)(1)ln(1)ns n nnn t sn n s i i s a i dt i ds i δ-=++-==+=+==+⎰⎰三. 基本变化年金1. 各年付款额成等差数列关系1....11()1(1)(1)n n n n nn n n n nnn n a nv v a nvv Ia i i ia n va n v iia nv i+--+--=+=+-+-+==-=....()()(1)(1)n n nnnn n a nv Is Ia i i is n i -=+=+-=同理可得, ()nn nn n nn n a nv n nv a nv n a Da na ii i---+-=-==(1)()()(1)n n nn n n i s Ds Da i i+-=+=要求计算它们的值。
2. 各年付款额成等比数列关系假设期末付款，第一次付款额为1，并且每次付款额都是前一次付款额的1+k 倍，共支付n 次，每个付款期的利率为i ，则该年金的现值为23212211(0)(1)(1)(1)[1(1)(1)(1)]1[(1)]()1(1)11()1n n n n n n V v v k v k v k v v k v k v k v k vi k v k k i i k---=+++++++=+++++++-+=≠-++-+=-四. 更一般变化年金1. 付款频率小于计息频率的情形(0)n nkka mv a V is -=2. 付款频率大于计息频率的情形（1） 每个计息期内的m 次付款额保持不变11()()()()()11()n n n n m m m m nnn m v niv v niv Ia ivi di ivia nv i++---==--= （2） 每个计息期内的m 次付款额按等差数列递增()()()()()nm n m m m n a nv I a i-=五. 连续变化年金(0)()n t V f t v dt =⎰ 注：四、五、部分不要求。