2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题2(数学)
重庆市2009届高三数学模拟试题分类汇编——立体几何
重庆市2009届高三数学模拟试题分类汇编——立体几何一、选择题1、（2009万州区理）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=1, 则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）（A ）63（B ）552（C ）155 （D ）105D2、（2009万州区文）在下列五个图所表示的正方体中，能够得到AB ⊥CD 的是（ ）(A)①② (B)①②③ (C)①②③④ (D)①②③④⑤ A3、（2009重庆八中）若点P 是平面α外一点，则下列命题中正确的是（ ）A.过点P 只能作一条直线与平面α相交B.过点P 可作无数条直线与平面α垂直C.过点P 只能作一条直线与平面α平行D.过点P 可作无数条直线与平面α平行 D4、（2009重庆八中）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为( ) A.223 B 23 C.24D.13D5、（2009合川中学）已知平面βα//，直线βαα.,,平面点l P l ∈⊂之间的距离为8，则在β内到P 点的距 离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 （ ）A ．一个圆B ．两条直线C ．四个点D ．两个点C6、（2009铁路中学）设有平面α,β,γ两两互相垂直,且α,β,γ三个平面有一个公共点A,现有一个半径为1的小球与α,β,γ这三个平面均相切,则小球上任一点到点A 的最近距离为（ ）1A ABC D 1D1C 1BA ．21 B ．22 C ．3 D ．2－1C二、填空题1、（2009重庆八中）14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱底面边长为1，体积为2，则这个球的表面积是________________ 4π2、（2009重庆八中）已知三棱锥P ABC -的三条侧棱PA 、PB 、PC 的长分别为a 、b 、c ，且两两垂直，并满足22()6a b c += ,当三棱锥体积最大时，侧面PAB 与底面ABC 成060，则三棱锥体积最大时a =__________________ 13、（2009合川中学）已知正四面体的棱长为6，则这个正四面体的外接球的体积是 .29π4、（2009合川中学）已知直线α⊂a ，直线l 与平面α所成的角为3π，则两直线a 、l 所成的角的范围是 .]2,3[ππ 5、（2009铁路中学） 现有4个条件：（其中a,b 表示不同的直线，α,β,γ表示不同的平面）①γ⊥α，γ⊥β ②a //b ，a ⊥α，b ⊥β③a ,b 异面，a ⊂α，b ⊂β，且a //β,b//α④α内距离为d 的两平行直线在β内的射影仍为两条距离为d 的平等行线其中能推出 α//β的条件是 （写出所有满足题意的条件的序号） ②③三、解答题 1、（2009重庆八中）17．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点,060ABC ∠= （1）证明：直线MN OCD 平面‖； （2）求异面直线AB 与MD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面OCD 的距离。
2009届高二数学立体几何检测试题(参考答案)
嵩明一中2009届高二数学立体几何检测试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A 棱台B 棱锥C 棱柱D 都不对Key:（课本P74，图9-104）A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台2、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 平行B 相交C 异面D 以上都有可能Key: D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系 3、下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A 0B 1C 2D 3Key: A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内 4、若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为（ ） ABCDKey: （课本P64，9-88）C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则22222222,,x y a y z b x z c +=+=+=得2222221()2x y z a b c ++=++，则对角线长为=5、 在长方体1111ABCD A BC D -，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11ABD 主视图 左视图 俯视图的距离为( )A83 B 38 C 43 D 34Key:C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则1124633h ⨯⨯=⨯⨯ 6、下列说法不正确的．．．．是（ ） A 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B 同一平面的两条垂线一定共面；C 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。
2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---圆锥曲线解答题(二)
2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《圆锥曲线》（二）71.记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件下动点M 的轨迹方程C ．（1）已知直线12l ,l 的方程为：2y x =±， （a ）若22126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；（b ）若124d d +=，求方程C 所表示的曲线所围成区域的面积； （c ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出3个结论．（2）若222122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C恰为椭圆的标准方程12222=+by a x （0>>b a ）．【解】（1）（a ）2229x y +=（b y x y -+= 方程C 所表示的曲线所围成区域为正方形面积为（c ）22236x y -=， 范围：6,x y ≤≤,x y 和原点对称；渐近线为：y = （2）设直线12l ,l 的方程为：bxy a=±（0>>b a ），则由222122d d d +=得 ，222222211()x y d a b a b +=+ 令d =，即得椭圆的标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）．72.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。
（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（I ）由0)42(:4222=+-+⎩⎨⎧=+=b x b x y xy bx y 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(22=--=∆∴b b 1=∴b2222221,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=.1222=+y x（II ） 当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222)34()31(=++y x当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x ,由⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++101)34()31(22222y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2009届全国名校高三模拟试题汇编——立体几何解答题
（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（3）求二面角 的大小．
18．解：
（1） …4分
（2）AD∥BC ∠PCB（或其补角）为异面直线PC与AD所成角
……………………………………8分
（3）作
为二面角 的平面角…………………………10分
…………………………………………12分
4、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)如图，在△ 中， , ， 为 的中点，沿 将△ 折起到△ 的位置，使得直线 与平面 成 角。
（3）当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE…………9分
∵D、E分别为AC、C1C的中点
∴DE∥AC1∵AC1⊥平面A1BD
∴DE⊥平面A1BD
又DE 平面BDE
∴平面A1BD⊥平面BDE…………12分
8、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是AB与PD的中点.
（1）求证: ；
（2）求二面角 的正切值.
（1）证明：∵ , …………2分
∴ , …………3分
∴ ,而
∴ …………5分
（2）解：取 的中点 ，连 ， ,如图
∵ ∴ ∴ …………7分
又由（1）知 ，
∴ ,
∴ 为Байду номын сангаас面角 的平面角………9分
在 中， ,
∴ ,∴ …………10分
又
在 中，
即二面角 的正切值为 .…………12分
(1)若点 到直线 的距离为 ，求二面角 的大小；
(2)若 ，求 边的长。
解：(I)由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC.
高中《立体几何》大题(附答案解析)
《立体几何》大题及答案解析1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。
（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；()ΙΙ求二面角S AM B −−的大小。
2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小ACBA 1B 1C 1DE3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD −的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A −−的大小。
2009届全国名校真题模拟专题训练数列解答题2数学
1于是J 口 ——ki k 2 3k 11 1 1^f(^_f(_^^_^f(_^). 2009届全国名校真题模拟专题训练03数列与数学归纳法三、解答题（二）1）已知函数f （x ）在（-1,1）上有意义,fq ）二-1,且任意的x + yy(-1,1)都有 f(x) f(y r f r|巴卜：11 X nx 亠X）5后）"Xn ）恨）4曲■丄区』=2. {f(X n )}是以-1为首项，以2为公比的等比数列，故f(X nH-2nJ f(X n )0 + 0(2)由题设，有 f (0)f(0) = f (- -)= f(0),故 f(0) = 01+0又 x (-1,1),有f(x) f(-x)二 f(^4)= f(0) =0, 1 -x得f(-X )二-f (x),故知f (x)在(-1,1)上为奇函数.由2k 3k 1 (k 1)(k2)-1 1(k+1)(k+2)11 1 1 得 f(k^3rn"f(芦)"c"f(厂51、 （广东省四校联合体第一次联考 (1) 1若数列｛X n ｝满足X 1匕，X n.1寻(nN *),求f(x n).(2) 求 1 f （^） f （丄）• f （5 112 ) * f(^^)的值-n 3n 1 n 2解:(1^ 1 x ； _2|x n |(k 1)(k 2)=_k 1 k 21 —(k 1)(k52、（广东省五校2008年高三上期末联考）已知数列｛a .｝的前n 项和S n 满足：aS n(a n -1) (a 为常数，且a =0,a =1) • (I)求｛a n ｝的通项公式;a -12S（n ）设b n n 1，若数列｛b n ｝为等比数列，求a 的值;a n求证：T ； In-1 •3解：(I) S = — (a i -1),二 a<, = a, a-1 当 n _2 时，a n二旦a n -一^aa —1a —1出二a ，即｛a n ｝是等比数列.••• a . =aan 11故1 f (丄)f5（存f （七）"5）在满足条件（n ）的情形下，设「古数列｛c n ｝的前n 项和为T nnJ,2 旦(a n -1)(n)由(I)知，bn = a _1(3a -1)a n -2a则有 b ?2 = b 1 b 3,而 b| =3,b 2= ——2,b3a n(a-1)3a 2 2a 2，若｛b n ｝为等比数列,故（2）2=3.a1再将a 二1代入得b n 31 所以a =丄.33a 2 2a 22，a=3n 成立,解得 1a 一3，（ill ）证明：由（n ）知a n3n 1 -1 3 _ 3n 1- =2「才■ 由n3 1 3所以c n =2 -(n1 -1 13n1 -13n 1 -1) 13 -1 1 ____ 3n+1 3 =1 1 1 13n(3)"，所以 G 二 —' 1 —二盯131 (2)n 1 _(!)n 1 3 1 3 3 31 1一一 1 —1 ----------- 3n 1 3n1 -13n 1 -11 1 1 ..1 n 1 得 n n 1' n3 3 13 -13 3 、 c , 1 百)2一(了 一 ， -1 3 12分1 1 1 1 1 1从而T n =C1 y + 卅+c n >[2 —(3一評]+[2 —(孑—亍)]+ 川[2 ——尹)]1 1 11^11=2n _[(<32)(厂33)川(3n _3n1)]1 1 1=2n -( nr) 2n -3 3 31即T n 2n . .................................. 14 分353、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列la n』中，印=2 , a n d-a n cn (C是常数，n =1,2,3,川)，且6, a2, a?成公比不为1的等比数列。
2009—数二真题标准答案及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-.()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A . ()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. （Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+，而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A . ()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆 1111000066000100B BA A AB B BBAA A**---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ） ()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dy dx= 所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = .【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k=-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0【解析】令sin sin cos x x xn I e nxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x xn e nx nenx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1y e x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e -=+ 对''1y y xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y y y xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e -==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为 . 【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e =.又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21ey e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而T βα是一个常数，是矩阵T αβ的对角元素之和，则T 2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )lim sin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim lim sin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x→-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln1412(1)1ln(1211ln(122t tdx Ct t tx Cx x C+++=+-+--+=++-+=+++⎰（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy=+-，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yfxzf f xfy∂'''=++∂∂'''=-+∂12312321112132122233313233 31122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z zdz dx dyx yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f xx yf f f xyf x y f x y f∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂''''''''''''''''''' =⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x= ()0x≥满足微分方程20xy y'''-+=，当曲线()y y x= 过原点时，其与直线1x=及0y=围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20xy y'''-+=得其通解212122,y C x C x C C=++其中，为任意常数又因为()y y x=通过原点时与直线1x=及0y=围成平面区域的面积为2，于是可得1C=111223222002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x==+=+=+⎰⎰从而23C=于是，所求非负函数223(0)y x x x=+ ≥又由223y x x=+ 可得，在第一象限曲线()y f x=表示为11)3x=（于是D 围绕y 轴旋转所得旋转体的体积为15V V π=-，其中5522100511)9(2393918V x dy dyy dy ππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式. 【解析】由题意，当0x π-<<时，'xy y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+ 令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f fx ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. 【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则 1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。
2009年高考数学三轮复习模拟题(9)含答案
2009届高考数学第三轮复习精编模拟九参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…， 第一部分 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是 （ ）（A ）()sin f x x =； (B) ()1f x x =-+；(C) 1()()2x x f x a a -=+；(D) 2()2xf x ln x-=+. 2 01,a <<下列不等式一定成立的是（ ）（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>； (B) (1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+；(C) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+--++<-++； (D) (1)(1)(1)(1)log (1)log (1)log (1)log (1)a a a a a a a a +-+---+>--+ 3、锐角三角形的内角A 、B 满足1tan tan sin 2A B A-=，则有 （ ）（A ）sin 2cos 0A B -=；（B ）sin 2cos 0A B +=； （C ）sin 2sin 0A B -=； D ）sin 2sin 0A B +=.4、不等式113x <+<的解集为（ ）A.()0,2B.()()2,02,4-C.()4,0-D.()()4,20,2--5、方程xx x 222=-的正根个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、已知012:,022:21=-+=-+y mx l my x l ，且21l l ⊥，则m 的值为（ ）A 、2B 、1C 、0D 、不存在7，这个长方体对角线的长是 （ ）()A ()B ()6C (D 8、在)2,0(π内，使x x cos sin>成立的x 的取值范围是（ ）（A ）)45,()2,4(ππππ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ 9、如果n 是正偶数，则C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝（ ）。
2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何填空题(数学)
2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何 二、填空题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)与不共面的四点距离都相等的平面共有______个。
答案：72、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知线段AB 在平面α外，AB 两点到平面α的距离分别是1和3，则线段AB 中点到平面α的距离是__________.答案：1或23、(江苏省启东中学高三综合测试二)正三棱锥P －ABC 的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是____________. 答案：34、(江苏省启东中学高三综合测试三)三棱锥P －ABC 的四个顶点点在同一球面上，若PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是直角三角形，PA=2, AC=BC=1，则此球的表面积为 。
答案：6π5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)正三棱柱的底面边长为２，高为２，则它的外接球的表面积为______； 答案：π328 6、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)在120°的二面角内放置一个半径为5的小球，它与二面角的两个面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离为___________________.本题考查二面角、球的基本知识及其运用.解析：设球心为O ，根据几何知识可得∠AOB ＝180°－120°＝60°从而A 、B 两点的球面距离为5×π3＝5π3答案：5π37、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于_____；将这个结论推广到空间是：棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和等于 . 答案：32a , 63a 8、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是π332，那么这个三棱柱的体积是 . 答案：48 39、(北京市东城区2008年高三综合练习一）在三棱锥P —ABC 中，△ABC 是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=34，则点P 到平面ABC 的距离为 ；若P ，A ，B ，C 四点在某个球面上，则球的半径为 .答案：6；410、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)在北纬60°圈上有A ，B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于2R π(R 是地球的半径)，则A ，B 两地的球面距离为______________. 答案：3R π 11、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知球O 的表面积为16π，且球心O 在60︒的二面角l αβ--内部，若平面α与球相切于M 点，平面β与球相截，且截面圆1O 的半径为3， P 为圆1O 的圆周上任意一点，则M 、P 两点的球面距离的最小值为___ _____；球心O 到l 的面距离为 _________． 答案：23π，221312、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知A B C ，，三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O ABC -为正四面体，那么A B ，两点的球面距离为__________；点O 到平面ABC 的距离为__________ .答案：π； 613、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则折起后B ，D 两点的距离为 ；三棱锥D —ABC 的体积是 。
2009届全国名校真题模拟专题训练2-函数解答题(数学)
又f（x）=f[（ax）a]= = = = = =f（x），对于定义域内的每个x值都成立
∴f（x）为奇函数------------------------------------------------------------------------------------（4分）
……3分
（2）解不等式
……6分
（3）（Ⅰ）
当且仅当 时，即x=7时等号成立．
到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．……10分
（Ⅱ）
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元……11分
盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．
∴对任意x∈R，f(x)>0
(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0
∴
∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0∴0<x<3
3、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)求函数 的定义域：
解：由题意得
4、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数
(1)判断函数 的奇偶性。(2)判断函数 的单调性。
解：（1）
=
∴ 为奇函数
（2） 是R上的增函数，（证明略）
5、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数 = 的图像过点(-4，4)，且关于直线 成轴对称图形，试确定 的解析式.
2009届高考数学名校试题精选立体几何部分专项训练
2009届高考数学名校试题精选——立体几何部分专项训练一、选择题：1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）（A ）7 （Ｂ）6 （Ｃ）5 （Ｄ）32、如图1，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则（ ） （A ）EF 与GH 互相平行 （B ）EF 与GH 异面（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上 （D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上 3、下列说法正确的是（ ）（A ）直线l 平行于平面α内的无数直线，则l ∥α （B ）若直线l 在平面α外，则l ∥α（C ）若直线l ∥b ，直线b ⊂α，则l ∥α（D ）若直线l ∥b ，直线b ⊂α，那么直线l 就平行平面α内的无数条直线 4、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．10π B ．12π C ．13π D ．14π 5、设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的 一个充分条件是（ ）A) βαβα⊥⊥,//,b a B) βαβα//,,⊥⊥b a C) βαβα//,,⊥⊂b a D) βαβα⊥⊂,//,b a6． 如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 是1CC 的中点。
那么异面直线EO 和1D A 所成的角的余弦值等于（ ）A ．12B ．2 C．3 D．37． 已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ① 若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥； ② 若//m α，//m β，则//αβ； ③ 若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ④ 若异面直线m ，n 互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直. 其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．①③C ．②④D ．③④8．球O 的截面把垂直于截面的直径分为1:3两部分，若截面圆半径为3，则球O的体积图1俯视图正(主)视图 侧(左)视图EA 1CB为（ ） A ．16π B ．316π C ．332πD ．π34 9．在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，如果AB =60ACB ∠=︒，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm10． 一平面截球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（ ）A ．3cm 3100π B ．3cm 3208π C.．3cm 3500π D ．3cm 3416π11．设地球半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬度75︒东经120︒，则甲、乙两地球面距离为（ ） AB ．6R πC ．56R π D ．23R π12、在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A.32π B. 52π C. 72π D. 92π 13、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB ＝10，AD ＝5，1AA ＝4。
广东省2009届高考数学选择填空模拟试题分类——立体几何
立体几何1．（佛山质量检测一）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是A ．若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβB ．若//,//,//m n αβαβ，则//m nC ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 2．（惠州二次调研）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π3（江门市模拟）已知a 、b 是两异面直线，b a ⊥，点a P ∉且b P ∉．下列命题中，真命题是A.在上述已知条件下，一定存在平面α，使α∈P ，α//a 且α//b ．B.在上述已知条件下，一定存在平面α，使α∉P ，α⊂a 且α⊥b ．C.在上述已知条件下，一定存在直线c ，使c P ∈，c a //且c b //．D.在上述已知条件下，一定存在直线c ，使c P ∉，c a ⊥且c b ⊥．4（惠州第三次调研）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖5．（中山市四校联考）一个空间几何体的三视图及部分数据如右图所示，则这个几何体的体积是 . 6．（中山市一模）已知直线a 、b 、c 和平面M ，则a//b 的一个充分条件是A ．a//M ，b//MB ．a ⊥c ，b ⊥cC ．a 、b 与平面M 成等角D ．a ⊥M ，b ⊥M ． 7. （广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm 2.8．（深圳市第一次调研）已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，正视图侧视图俯视图1则直线21//l l 的一个充分条件是A ．α//1l 且α//2lB ．α⊥1l 且α⊥2lC ．α//1l 且α⊄2lD ．α//1l 且α⊂2l 9．（湛江测试图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与1510. （韶关第一次调研）已知两个不同的平面α、β个命题①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个11．（深圳市第一次调研）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A ．π32B ．π16C ．π12D ．π812. （汕头一中综合测试）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是A.若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//αβB.若//,//,//m n αβαβ，则//m nC.若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D.若//,//,//,m n m n αβ则//αβ 13、（茂名市模拟）如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是（ ）俯视图左视图主视图俯视图主视图B C DA。
2009届全国名校高三模拟试题汇编093圆锥曲线解答题
本资料来源于《七彩教育网》 2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上) 09圆锥曲线三、解答题1、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知椭圆的两个焦点 斤(0,1)、F 2(0, -1)，直 线y =4是它的一条准线， Ai 、A 分别是椭圆的上、下两个顶点.(I) 求椭圆的方程； (n)设以原点为顶点，A i 为焦点的抛物线为 C ，若过点F i 的直线与C 相交于不同M 、N 的两点、，求线段MN 的中点Q 的轨迹方程.解：(I)设椭圆方程为X ? + *==1(a >b > 0)=■ a = 2,从而 b 2= 32 2• I 椭圆的方程——1 ；4 3(n)设抛物线 C 的方程为x 2= 2py(p > 0) 由 2= 2 二 p = 4•••抛物线方程为x 2= 8y设线段MN 的中点Q(x,y)，直线I 的方程为y = kx + 1 丄y = kx 1 2 由 2 得x 2-8kx-8=0 ,(这里0恒成立)，x =8y设 M(x 1,y 1),N(X 2,y 2)2由韦达定理，得 x 1 x 2 =8k , y 1 • y 2 =k(X 1 • X 2)• 2 =8k 2 , 所以中点坐标为Q (4k,4k 21),2由题意，得c = 1, — = 4cx =4k(x, y)，令y =4k 2消去参数k ，得到x 2 =4(y-1)为所求轨迹方程.• x = 4k,y = 4k2+ 1消去k得Q点轨迹方程为：x2= 4(y —1)2、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)如图，设F是椭圆2 2C :笃爲=1(a b 0)a b 的左焦点，直线I为其左准线，直线I与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴，已知| MN |=8,且| PM |=2| MF |.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：/ AFM= / BFN ;(3)(理科)求三角形ABF面积的最大值。
2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---空间向量与立体几何
A
． 24
B 32
．
C 12
．
D
． 48
A (A) B O C D
第2题 第3题 第4题 5.如图，在三棱锥 P − ABC 中， PA ⊥底面 ABC ，∠ ACB = 90 ， AE ⊥ PB 于 E ， AF ⊥ PC 于 F , 若 PA = AB = 2 ，∠ BPC = θ ，则当 ∆AEF 的面积最大时， tan θ 的值为( D )
1 1 1 1 1 1
P
E
F A C
B
第5题 第6题 第7题 8.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ，侧棱与底面所成的角为 60 ，则该棱锥的体积为（B ） A、3 B、6 C、9 D、18 9.如图,正方体 ABCD − A B C D 的棱长为 4, E, F 分别是棱 E D CD 、 C D 的中点,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在线段 EF 上运动,另一个端点 N 在底面 A B C D 上运动,则线段 M •B MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与二面角 D − C D − B 所围成 A P 的几何体的体积为( D ) • D 4π 2π A． 3 B. 3 N• F π A C. π D. B 6 3 10.已知一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都等于θ , 则 sin θ 的值为（ C ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 6 2 2 3 4
2009 年全国各地数学模拟试卷（ 年全国各地数学模拟试卷（新课标） 新课标）分章精编
《空间向量与立体几何》 空间向量与立体几何》
一、选择题 1.三棱锥 D—ABC 的三个侧面分别与底面全等，且 AB＝AC＝ 3 ，BC＝2，则二面角 A—BC— D 的大小为 D A． 30 B． 45 C．60 D．90 2.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线 BD 将△ABD 折起，使 A 点在平面 BCD 内的 射影落在 BC 边上，若二面角 C—AB—D 的平面角大小为 θ，则 sin θ 的值等于( A ) 3 7 3 7 4 B． C． D． A． 4 4 7 3 3. 如图，已知平面 α ⊥ 平面 β ， A 、 B 是平面 α 与平面 β 的交线上的两个定点， DA ⊂ β , CB ⊂ β ，且 DA ⊥ α ， CB ⊥ α ， AD = 4 ， BC = 8 ， AB = 6 ，在平面 α 内有一 个动点 P ，使得 ∠APD = ∠BPC ，则 ∆PAB 的面积的最大值是（ C ）
2009届高考数学二轮冲刺专题测试——立体几何
二、填空题：请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上． 19、正四棱锥 S ABCD 中的侧棱长为 2 ，底面边长为 3 、E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC 所成的角为 。 20、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2cm, 高为 4cm，过 BC 作一个截面，截面与底面 ABC 成 60角，则截面的面积是 21、已知∠AOB=90°,过 O 点引∠AOB 所在平面的斜线 OC，与 OA、OB 分别成 45°、60°，则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于______ A 22、 如右图，空间四点 A、B、C、D 中，每两点所连线段的长都 等于 a，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，则 P 与 Q 的 P D 最短距离为______
2009 届高考数学二轮冲刺专题测试——立体几何
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、直线 a 与平面α内的两条直线都垂直，则 a 与α的位置关系是（ ） A.垂直 B.平行 C.斜交 D.上述都有可能 2、 “直线 l 垂直平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3、下列命题不正确的是 A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； B．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直； C．两异面直线的公垂线有且只有一条； D．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若 m 、 n 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①
AC BC 2 ， A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D ，
又知 BA1 AC1 。 （I）求证： AC1 平面 A1 BC ； （II）求 CC1 到平面 A1 AB 的距离； （III）求二面角 A A1 B C 的大小。
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2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何三、解答题(第二部分)31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。
（1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求二面角C —PA —B 的大小的余弦值。
（1）解：∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB 。
∵CD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴CD ⊥AB 。
又PC ∩CD ＝C ， ∴AB ⊥平面PCB 。
（2）解法一：取AB 的中点E ，连结CE 、DE 。
∵PC ＝AC ＝2，∴CE ⊥PA ，CE ＝.2∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA 。
∴∠CED 为二面角C —PA —B 的平面角。
由（1）AB ⊥平面PCB ，∴AB ⊥BC ， 又∵AB ＝BC ，AC ＝2，求得BC ＝.2（2）解法二：∵AB ⊥BC ，AB ⊥平面PBC ，过点B 作直线l ∥PA ， 则l ⊥AB ，l ⊥BC ，以BC 、BA 、l 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图）。
…………6分设平面PAB 的法向量为).,,(z y x m =),0,0,2(),2,0,2(),0,2,0(C P A ,1.20,022202.0,0),2,2,2(),0,2,0(-=⎩⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅-==∴z zx y z y x y m AP m BA AP BA 令解得即则 得).1,0,2(-=m …………8分 设平面PAC 的法向量为),,(111z y x n =，,02202.0,0),0,2,2(),2,0,0(111⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅-==y x z n AC n CP AC CP 即则 解得).0,1,1(,1.01111==⎩⎨⎧==n x y x z 得令…………10分.33232||||,cos =⨯=⋅⋅><∴n m n m n m …………11分.33cosar B PA C 大小为二面角--∴ …………12分（2）解法三：∵CD ⊥平面PAB ，∴CD 是平面PAB 的一个法向量。
取AC 中点F ，∵AB ＝BC ＝2，∴BF ⊥AC ， 又PC ⊥平面ABC ，有平面PAC ⊥平面ABC ， ∴BF ⊥平面PAC ，∴BF 是平面PAC 的一个法向量。
)(21BC BA BF +=…………7分2||,2||,0||)1(||,0,0)1(,0)())1((0,)1(22===--∴=⋅=⋅=-⋅-+=⋅⊥-+=CB CP CB CP BA CP CB CP CB CP CB CP BP CD BP CD CB CP CD 而知由得即设λλλλλλ .3231,31CB CP CD +=∴=∴λ…………9分 ,1)22(41||,34294491||22=+⨯==⨯+⨯=BF CD…………10分.33||||,cos -=⋅⋅>=<∴BF CD BF CD BF CD 32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，EC ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，EF ＝EC ＝1，⑴求证：平面BEF ⊥平面DEF ； ⑵求二面角A －BF －E 的大小。
解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，EC ⊥AC ， ∴EC ⊥平面ABCD ；连接BD 交AC 于点O ，连接FO ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴AC ＝BD ＝2； 在直角梯形ACEF 中，∵EF ＝EC ＝1，O 为AC 中点，∴FO ∥EC ，且FO ＝1；易求得DF ＝BF ＝2， DE ＝BE ＝3，由勾股定理知 DF ⊥EF ，BF ⊥EF ， ∴∠BFD 是二面角B －EF －D 的平面角，由BF ＝DF ＝2，BD ＝2可知∠BFD ＝90， ∴平面BEF ⊥平面DEF ………………（6分） ⑵取BF 中点M ，BE 中点N ，连接AM 、MN 、AN ， ∵AB ＝BF ＝AF ＝2，∴AM ⊥BF ， 又∵MN ∥EF ，EF ⊥BF ，∴MN ⊥BF ，∴∠AMN 就是二面角A －BF －E 的平面角。
易求得3622AM AB ==，1122MN EF ==； 在Rt △APN 中，可求得222114AN AP NP =+=， ∴在△AMN 中，由余弦定理求得6cos 3AMN ∠=-，∴6arccos 3AMN π∠=- ……………………………（12分）解法2：⑴∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，EC ⊥AC ，∴EC ⊥平面ABCD ； 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，则)0,2,2(A )0,2,(0B ,)0,0,2(D ,)1,0,(0E ,)1,22,22(F , ∴)0,22,22(=EF ，)1,2,(0-=BE ，)1,0,2(-=DE …(2分) 设平面BEF 、平面DEF 的法向量分别为)1,,( )1,,(2211y x n y x m ==，则0222211=+=⋅y x EF m ① 0121=+-=⋅y BE m ②，0222222=+=⋅y x EF n ③, 0122=+-=⋅x DE n ④. 由①③③④解得22.22;22,222211-===-=y x y x ,∴)1,22,22( )1,22,22(-=-=n m ,…（4分）∴012121=+--=⋅n m ，∴n m ⊥，故平面BEF ⊥平面DEF …………（6分）⑵设平面ABF 的法向量为)1,,( 33y x p =，∵)1,22,22(-=BF ，)0,0,2(=BA∴01222233=+-=⋅y x BF p ，023==⋅x BA p ，解得330,2x y ==∴(0,2,1)p = ，………（8分）∴26cos ,3 23m p m p m p ⋅<>===⋅⋅ㄧㄧㄧㄧ……（10分）由图知，二面角A －BF －E 的平面角是钝角，故所求二面角的大小为36arccos-π 33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=，1AD =，3BC =，2PC CD ==，PC ⊥底面ABCD ，OCD AFEBMNPCD AFB ExzyP EABDCHFPz E 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成的角； （Ⅲ）求点B 到平面PDE 的距离. 解法一：（Ⅰ）设AC 与DE 交点为G ，延长DE 交CB 的延长线于点F ， 则DAE FBE ∆≅∆，∴1BF AD ==，∴4CF =，∴1tan 2DC F CF ∠==， 又∵1tan 2AD ACD DC ∠==，∴F ACD ∠=∠， 又∵90ACD ACF ∠+∠=，∴90F ACF ∠+∠=，∴90CGF ∠=，∴AC DE ⊥又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC DE ⊥，∴DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC …………………………………（4分） （Ⅱ）连结PG ，过点C 作CH PG ⊥于H 点， 则由（Ⅰ）知平面PDE ⊥平面PAC ， 且PG 是交线，根据面面垂直的性质， 得CH ⊥平面PDE ，从而CPH ∠即 CPG ∠为直线PC 与平面PDE 所成的角.在Rt DCA ∆中，2CD CG AC =222245521==+， 在Rt PCG ∆中，tan CPG ∠CG PC=4525525==. 所以有25arctan 5CPG ∠=，即直线PC 与平面PDE 所成的角为25arctan 5…………………………………（8分） （Ⅲ）由于14BF CF =，所以可知点B 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离的14，即14CH . 在Rt PCG ∆中，2222452453452()5PC CG CH PC CG ⨯⋅===++， 从而点B 到平面PDE 的距离等于13………………………………………………（12分） 解法二：如图所示，以点C 为坐标原点， 直线,,CD CB CP 分别为,,x y z 轴，DPEABC建立空间直角坐标系C xyz -， 则相关点的坐标为(0,0,0),(2,1,0)C A(0,3,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,2,0)E .（Ⅰ）由于(1,2,0)DE =- ，(2,1,0)CA =，(0,0,2)CP =，所以(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ⋅=-⋅=， (1,2,0)(0,0,2)0DE CP ⋅=-⋅=，所以,DE CA DE CP ⊥⊥，而CP CA C = ，所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC ……………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设(,,)n x y z =是平面PDE 的一个法向量，则0n DE n PE ⋅=⋅= ，由于(1,2,0)DE =- ，(1,2,2)PE =-，所以有(,,)(1,2,0)20(,,)(1,2,2)220n DE x y z x y n PE x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =，再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，而(0,0,2)PC =-， 所以|(2,1,2)(0,0,2)|2sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3||||n PC n PC n PC α⋅⋅-=<>===⋅-⋅， ∴2arcsin3α=，因此直线PC 与平面PDE 所成的角为2arcsin 3………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n = 是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-，所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1|(2,1,2)|3n BE d n⋅⋅-===34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2P A A D ==，点M 、N 分别在侧棱PD 、PC 上，且PM MD = （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PCD ；错误！未找到引用源。